Các phép biến đổi hình học về đồ thị của bảng hàm số. Biến đổi đồ thị của các hàm lượng giác

Giả thuyết: Nếu bạn nghiên cứu chuyển động của đồ thị trong quá trình hình thành phương trình của hàm số, thì bạn có thể thấy rằng tất cả các đồ thị đều tuân theo các mẫu chung do đó, có thể xây dựng các định luật tổng quát không phụ thuộc vào các hàm số, điều này không chỉ giúp cho việc xây dựng các đồ thị của các hàm số khác nhau mà còn có thể sử dụng chúng trong việc giải các bài toán.

Mục đích: Nghiên cứu sự chuyển động của đồ thị của các hàm số:

1) Nhiệm vụ học văn

2) Học cách xây dựng đồ thị của các hàm khác nhau

3) Tìm hiểu cách chuyển đổi biểu đồ hàm tuyến tính

4) Xem xét việc sử dụng đồ thị trong việc giải quyết vấn đề

Đối tượng nghiên cứu: Đồ thị hàm số

Đối tượng nghiên cứu: Chuyển động của đồ thị hàm số

Mức độ phù hợp: Việc xây dựng đồ thị hàm số theo quy tắc mất nhiều thời gian và cần sự chú ý của học sinh, tuy nhiên nếu nắm được các quy tắc biến đổi đồ thị hàm số và đồ thị của các hàm số cơ bản thì bạn có thể nhanh chóng và dễ dàng xây dựng đồ thị hàm số, điều này sẽ cho phép bạn không chỉ hoàn thành nhiệm vụ vẽ đồ thị hàm số mà còn giải quyết các vấn đề liên quan đến nó (để tìm điểm cực đại (độ cao tối thiểu của thời gian và điểm gặp nhau))

Dự án này hữu ích cho tất cả học sinh của trường.

Tổng quan văn học:

Tài liệu thảo luận về các cách xây dựng đồ thị của các hàm số khác nhau, cũng như các ví dụ về sự biến đổi đồ thị của các hàm số này. Đồ thị của hầu hết tất cả các chức năng chính được sử dụng trong các quy trình kỹ thuật khác nhau, giúp trình bày rõ ràng hơn diễn biến của quá trình và lập trình kết quả

Chức năng vĩnh viễn. Hàm này được cho bởi công thức y = b, với b là một số nào đó. lịch trình chức năng vĩnh viễn là đường thẳng song song với trục x và đi qua điểm (0; b) trên trục y. Đồ thị của hàm số y \ u003d 0 là trục abscissa.

Các dạng của hàm 1Tỷ lệ tương ứng trực tiếp. Hàm này được cho bởi công thức y \ u003d kx, trong đó hệ số tỉ lệ k ≠ 0. Đồ thị tỉ lệ thuận là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Hàm tuyến tính. Một hàm như vậy được cho bởi công thức y = kx + b, trong đó k và b là số thực. Đồ thị của một hàm số tuyến tính là một đường thẳng.

Đồ thị hàm số tuyến tính có thể cắt nhau hoặc song song.

Vì vậy, các đường của đồ thị của hàm số tuyến tính y \ u003d k 1 x + b 1 và y \ u003d k 2 x + b 2 cắt nhau nếu k 1 ≠ k 2; nếu k 1 = k 2, thì các đường thẳng song song.

2 Tỷ lệ nghịch là một hàm được cho bởi công thức y \ u003d k / x, trong đó k ≠ 0. K được gọi là hệ số tỷ lệ nghịch. Đồ thị tỉ lệ nghịch là một hyperbol.

Hàm số y \ u003d x 2 được biểu diễn bằng đồ thị gọi là parabol: trên khoảng [- ~; 0] thì hàm giảm, trên khoảng thời gian thì hàm tăng.

Hàm y \ u003d x 3 tăng dọc theo toàn bộ trục số và được biểu diễn bằng đồ thị bằng một parabol khối.

Chức năng nguồn với chỉ số tự nhiên. Hàm này được cung cấp bởi công thức y \ u003d x n, trong đó n là số tự nhiên. Đồ thị chức năng quyền lực với một số mũ tự nhiên phụ thuộc vào n. Ví dụ, nếu n = 1, thì đồ thị sẽ là một đường thẳng (y = x), nếu n = 2, thì đồ thị sẽ là một parabol, v.v.

Hàm lũy thừa với số nguyên chỉ báo tiêu cựcđược biểu diễn bằng công thức y \ u003d x -n, trong đó n là số tự nhiên. Hàm số này xác định với mọi x ≠ 0. Đồ thị của hàm số cũng phụ thuộc vào số mũ n.

Chức năng quyền lực với tích cực chỉ số phân số. Hàm này được biểu diễn bằng công thức y \ u003d x r, trong đó r là phân số dương bất khả quy. Hàm này cũng không chẵn cũng không lẻ.

Đường đồ thị hiển thị mối quan hệ của các biến phụ thuộc và độc lập trên mặt phẳng tọa độ. Biểu đồ dùng để hiển thị các yếu tố này một cách trực quan.

Một biến độc lập là một biến có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong phạm vi của một hàm (trong đó chức năng nhất định có ý nghĩa (không thể chia cho không)

Để vẽ một đồ thị hàm số,

1) Tìm ODZ (phạm vi giá trị có thể chấp nhận được)

2) lấy một số giá trị tùy ý cho biến độc lập

3) Tìm giá trị của biến phụ thuộc

4) Xây dựng mặt phẳng tọa độđánh dấu những điểm này trên nó

5) Nối các đường thẳng của chúng, nếu cần, hãy khảo sát đồ thị kết quả.

Chuyển đổi đồ thị

TẠI thể tinh khiết các chức năng cơ bản cơ bản gặp phải, không may, không thường xuyên như vậy. Nhiều khả năng đối phó với chức năng cơ bản thu được từ những cái cơ bản cơ bản bằng cách thêm các hằng số và hệ số. Đồ thị của các hàm như vậy có thể được xây dựng bằng cách áp dụng các phép biến đổi hình học thành đồ thị của các hàm cơ bản cơ bản tương ứng (hoặc đi tới hệ thống mới tọa độ). Ví dụ, công thức hàm bậc hai là parabol bậc hai một công thức được nén ba lần so với trục tung, hiển thị đối xứng so với trục abscissa, dịch chuyển so với hướng của trục này 2/3 đơn vị và dịch dọc theo hướng của trục tọa độ 2 đơn vị.

Chúng ta hãy tìm hiểu các phép biến đổi hình học này của đồ thị của một hàm số từng bước bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể.

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi hình học đối với đồ thị của hàm f (x), đồ thị của bất kỳ hàm nào có dạng công thức đều có thể được xây dựng, trong đó công thức là hệ số nén hoặc hệ số giãn nở dọc theo trục oy và ox, tương ứng là hệ số trừ các dấu hiệu phía trước công thức hệ số và công thức biểu thị sự hiển thị đối xứng của biểu đồ liên quan đến trục tọa độ, a và b lần lượt xác định sự dịch chuyển so với trục hoành độ và trục tọa độ.

Như vậy, có ba dạng biến đổi hình học của đồ thị hàm số:

Loại đầu tiên là mở rộng (nén hoặc kéo dài) dọc theo cơ bụng và trục tọa độ.

Sự cần thiết phải chia tỷ lệ được chỉ ra bởi các hệ số công thức khác một, nếu số nhỏ hơn 1, thì đồ thị được nén so với oy và kéo giãn so với ox, nếu số lớn hơn 1, thì chúng ta kéo dài theo trục tung. và co lại dọc theo trục abscissa.

Loại thứ hai là màn hình đối xứng (gương) đối với các trục tọa độ.

Sự cần thiết của phép biến đổi này được biểu thị bằng các dấu trừ phía trước các hệ số của công thức (trong trường hợp này, chúng tôi hiển thị biểu đồ đối xứng với trục ox) và công thức (trong trường hợp này, chúng tôi hiển thị biểu đồ đối xứng với đối với trục y). Nếu không có dấu trừ, thì bước này được bỏ qua.

Tóm tắt bài giảng đại số và giải tích đầu bài lớp 10

về chủ đề: "Chuyển đổi biểu đồ hàm lượng giác»

Mục đích của bài học: hệ thống hóa kiến ​​thức về chủ đề "Tính chất và đồ thị của hàm số lượng giác y \ u003d sin (x), y \ u003d cos (x)".

Mục tiêu bài học:

• lặp lại các tính chất của hàm lượng giác y \ u003d sin (x), y \ u003d cos (x);
• lặp lại các công thức rút gọn;
• chuyển đổi đồ thị của hàm số lượng giác;
• phát triển sự chú ý, trí nhớ, suy nghĩ logic; kích hoạt hoạt động tinh thần khả năng phân tích, khái quát và suy luận;
• giáo dục tính cần cù, siêng năng thực hiện mục tiêu, yêu thích môn học.

Thiết bị bài học: ict

Loại bài học: học mới

Trong các lớp học

Trước bài, 2 HS lên bảng dựng biểu đồ từ vở bài tập.

Thời gian tổ chức:

Xin chào các bạn!

Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ chuyển đổi đồ thị của các hàm lượng giác y \ u003d sin (x), y \ u003d cos (x).

Làm việc bằng miệng:

Kiểm tra bài tập về nhà.

giải quyết câu đố.

Học tài liệu mới

Tất cả các phép biến đổi của đồ thị hàm số là phổ quát - chúng phù hợp với tất cả các hàm, kể cả hàm lượng giác. Ở đây chúng tôi giới hạn bản thân trong một lời nhắc ngắn gọn về các phép biến đổi chính của đồ thị.

Phép biến đổi đồ thị của hàm số.

Hàm y \ u003d f (x) đã cho. Chúng tôi bắt đầu xây dựng tất cả các đồ thị từ đồ thị của hàm này, sau đó chúng tôi thực hiện các hành động với nó.

Hàm số

Làm gì với lịch trình

y = f (x) + a

Chúng tôi nâng tất cả các điểm của biểu đồ đầu tiên lên một đơn vị.

y = f (x) - a

Tất cả các điểm của biểu đồ đầu tiên được hạ xuống một đơn vị.

y = f (x + a)

Chúng tôi dịch chuyển tất cả các điểm của biểu đồ đầu tiên một đơn vị sang trái.

y = f (x - a)

Chúng tôi dịch chuyển tất cả các điểm của biểu đồ đầu tiên một đơn vị sang bên phải.

y = a * f (x), a> 1

Chúng tôi sửa các số không tại chỗ, chúng tôi dịch chuyển các điểm trên cao hơn một lần, các điểm thấp hơn chúng tôi hạ thấp hơn một lần.

Biểu đồ sẽ "kéo dài" lên và xuống, các số không vẫn ở nguyên vị trí.

y = a * f (x), a<1

Chúng tôi sửa các số không, các điểm trên sẽ đi xuống một lần, các điểm thấp hơn sẽ tăng lên một lần. Biểu đồ sẽ "thu nhỏ" theo trục x.

y = -f (x)

Phản chiếu đồ thị đầu tiên về trục x.

y = f (ax), a<1

Cố định một điểm trên trục y. Mỗi đoạn trên trục x được tăng lên một lần. Biểu đồ sẽ trải dài từ trục y theo các hướng khác nhau.

y = f (ax), a> 1

Cố định một điểm trên trục hoành độ, mỗi đoạn trên trục hoành độ giảm đi một lần. Biểu đồ sẽ "thu nhỏ" theo trục y ở cả hai phía.

y = | f (x) |

Các phần của biểu đồ nằm dưới trục x được phản chiếu. Toàn bộ đồ thị sẽ nằm trong nửa mặt phẳng trên.

Các phương án giải pháp.

1)y = sin x + 2.

Chúng tôi xây dựng một đồ thị y \ u003d sin x. Chúng tôi nâng mỗi điểm của biểu đồ lên 2 đơn vị (các số không nữa).

2)y \ u003d cos x - 3.

Chúng tôi xây dựng một đồ thị y \ u003d cos x. Chúng tôi hạ mỗi điểm của biểu đồ xuống 3 đơn vị.

3)y = cos (x - / 2)

Chúng tôi xây dựng một đồ thị y \ u003d cos x. Chúng tôi dịch chuyển tất cả các điểm n / 2 sang phải.

4) y = 2 sin x.

Chúng tôi xây dựng một đồ thị y \ u003d sin x. Chúng ta giữ nguyên các số không, nâng điểm trên lên 2 lần, hạ điểm thấp hơn cùng một lượng.

CÔNG VIỆC THỰC TIỄN Vẽ đồ thị hàm số lượng giác bằng chương trình Advanced Grapher.

Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = -cos 3x + 2.

1. Hãy vẽ đồ thị của hàm y \ u003d cos x.
2. Phản ánh nó về trục x.
3. Biểu đồ này phải được nén ba lần dọc theo trục x.
4. Cuối cùng, một đồ thị như vậy phải được nâng lên ba đơn vị dọc theo trục y.

y = 0,5 sinx.

y = 0,2 cos x-2

y = 5 cos 0 0,5 x

y = -3sin (x + π).

2) Tìm lỗi và sửa chữa nó.

V. Tư liệu lịch sử. Tin nhắn của Euler.

Leonhard Euler là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 18. Sinh ra ở Thụy Sĩ. Trong nhiều năm ông sống và làm việc tại Nga, là thành viên của Viện hàn lâm St.

Tại sao chúng ta phải biết và nhớ tên của nhà khoa học này?

Đến đầu thế kỷ 18, lượng giác vẫn chưa phát triển đầy đủ: không có ký hiệu, công thức được viết bằng chữ, khó đồng hóa chúng, câu hỏi về dấu hiệu của các hàm lượng giác trong các phần tư khác nhau của đường tròn cũng không rõ ràng, chỉ các góc hoặc cung được hiểu là đối số của một hàm lượng giác. Chỉ trong các công trình của lượng giác Euler nhận được một cái nhìn hiện đại. Chính ông là người bắt đầu xem xét hàm lượng giác của một số, tức là đối số không chỉ được hiểu là cung hoặc độ, mà còn được hiểu là số. Euler đã suy luận tất cả các công thức lượng giác từ một số công thức cơ bản, sắp xếp hợp lý câu hỏi về dấu hiệu của hàm lượng giác trong các phần tư khác nhau của đường tròn. Để chỉ định các hàm lượng giác, ông đưa ra các ký hiệu: sin x, cos x, tg x, ctg x.

Trước ngưỡng cửa của thế kỷ 18, một hướng mới đã xuất hiện trong sự phát triển của lượng giác - giải tích. Nếu như trước đó người ta coi mục tiêu chính của lượng giác là nghiệm của tam giác thì Euler lại coi lượng giác là khoa học về các hàm lượng giác. Phần thứ nhất: học thuyết về chức năng là một phần của học thuyết chung về chức năng, được nghiên cứu trong phân tích toán học. Phần thứ hai: lời giải của tam giác - chương hình học. Những đổi mới như vậy đã được thực hiện bởi Euler.

VI. Sự lặp lại

Công việc độc lập "Thêm công thức."

VII. Tom tăt bai học:

1) Bạn học được điều gì mới trong bài học hôm nay?

2) Bạn còn muốn biết gì nữa không?

3) Chấm điểm.

Văn bản của tác phẩm được đặt không có hình ảnh và công thức.
Phiên bản đầy đủ của tác phẩm có sẵn trong tab "Tệp Công việc" ở định dạng PDF

Giới thiệu

Phép biến hình về đồ thị của hàm số là một trong những khái niệm toán học cơ bản liên quan trực tiếp đến hoạt động thực tiễn. Phép biến hình về đồ thị của hàm số lần đầu tiên gặp ở đại số lớp 9 khi học chủ đề “Hàm số bậc hai”. Hàm số bậc hai được giới thiệu và nghiên cứu gắn liền với phương trình và bất phương trình bậc hai. Ngoài ra, nhiều khái niệm toán học được xem xét bằng phương pháp đồ thị, ví dụ, ở lớp 10-11, việc nghiên cứu một hàm giúp tìm ra miền định nghĩa và phạm vi của hàm, các vùng giảm hoặc tăng, vùng không dấu, khoảng thời gian không đổi, v.v ... Câu hỏi quan trọng này cũng được nộp cho GIA. Theo đó, việc dựng và biến đổi đồ thị hàm số là một trong những nhiệm vụ chính của việc dạy học môn Toán ở nhà trường.

Tuy nhiên, để vẽ nhiều chức năng, một số phương pháp có thể được sử dụng để tạo điều kiện thuận lợi cho việc xây dựng. Các định nghĩa trên sự liên quanđề tài nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu là nghiên cứu về sự biến đổi của đồ thị trong toán học ở trường.

Đề tài nghiên cứu - quy trình dựng và biến đổi đồ thị hàm số ở trường THCS.

câu hỏi vấn đề: Có thể dựng đồ thị của một hàm số chưa quen thuộc, có kỹ năng biến đổi đồ thị của hàm số sơ cấp?

Mục tiêu: vẽ một chức năng trong một tình huống không quen thuộc.

Nhiệm vụ:

1. Phân tích tài liệu giáo dục về vấn đề đang nghiên cứu. 2. Xác định các sơ đồ biến đổi đồ thị hàm số trong môn Toán ở trường. 3. Lựa chọn các phương pháp và công cụ hiệu quả nhất để dựng và chuyển đồ thị hàm số. 4. Có thể áp dụng lý thuyết này trong việc giải quyết vấn đề.

Kiến thức, kỹ năng, năng lực cơ bản cần thiết:

Xác định giá trị của hàm bằng giá trị của đối số theo nhiều cách khác nhau để xác định hàm;

Xây dựng đồ thị của các hàm đã học;

Mô tả hoạt động và tính chất của hàm số từ đồ thị và trong trường hợp đơn giản nhất, từ công thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ ​​đồ thị của hàm số;

Mô tả với sự trợ giúp của các hàm của các phụ thuộc khác nhau, biểu diễn chúng bằng đồ thị, giải thích đồ thị.

Phần chính

Phần lý thuyết

Là đồ thị ban đầu của hàm số y = f (x), em sẽ chọn hàm số bậc hai y = x 2 . Tôi sẽ xem xét các trường hợp biến đổi của đồ thị này kết hợp với những thay đổi trong công thức xác định hàm này và rút ra kết luận cho bất kỳ hàm nào.

1. Hàm số y = f (x) + a

Trong công thức mới, các giá trị hàm (tọa độ của các điểm trên đồ thị) được thay đổi bởi số a, so với giá trị hàm "cũ". Điều này dẫn đến một phép tịnh tiến song song của đồ thị của hàm số dọc theo trục OY:

tăng nếu a> 0; xuống nếu một< 0.

PHẦN KẾT LUẬN

Do đó, đồ thị của hàm số y = f (x) + a nhận được từ đồ thị của hàm số y = f (x) bằng phép tịnh tiến song song theo trục y một đơn vị lên nếu a> 0, và bằng giảm một đơn vị nếu< 0.

2. Hàm số y = f (x-a),

Trong công thức mới, các giá trị đối số (số áp dụng của các điểm trên biểu đồ) được thay đổi bằng số a, so với giá trị đối số "cũ". Điều này dẫn đến sự chuyển song song của đồ thị của hàm số dọc theo trục OX: sang bên phải nếu a< 0, влево, если a >0.

PHẦN KẾT LUẬN

Vậy đồ thị của hàm số y = f (x - a) nhận được từ đồ thị của hàm số y = f (x) bằng phép tịnh tiến song song theo trục abscissa một đơn vị sang trái nếu a> 0 và một đơn vị ở bên phải nếu một< 0.

3. Hàm số y = k f (x), trong đó k> 0 và k ≠ 1

Trong công thức mới, các giá trị hàm (tọa độ của các điểm trên đồ thị) thay đổi k lần so với giá trị hàm "cũ". Điều này dẫn đến: 1) "kéo dài" từ điểm (0; 0) dọc theo trục OY k lần, nếu k> 1, 2) "nén" đến điểm (0; 0) dọc theo trục OY theo một hệ số của 0, nếu 0< k < 1.

PHẦN KẾT LUẬN

Do đó: để xây dựng đồ thị của hàm số y = kf (x), trong đó k> 0 và k ≠ 1, bạn cần nhân các hoành độ của các điểm thuộc đồ thị đã cho của hàm số y = f (x) với k. Phép biến hình như vậy được gọi là kéo dài từ điểm (0; 0) dọc theo trục OY k lần nếu k> 1; co đến điểm (0; 0) dọc theo trục OY theo một hệ số nếu 0< k < 1.

4. Hàm y = f (kx), trong đó k> 0 và k ≠ 1

Trong công thức mới, các giá trị của đối số (các điểm của đồ thị) thay đổi k lần so với giá trị "cũ" của đối số. Điều này dẫn đến: 1) "kéo dài" từ điểm (0; 0) dọc theo trục OX 1 / k lần nếu 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

PHẦN KẾT LUẬN

Và như vậy: để xây dựng đồ thị của hàm số y = f (kx), trong đó k> 0 và k ≠ 1, bạn cần nhân các điểm thuộc đồ thị đã cho của hàm số y = f (x) với k . Phép biến đổi như vậy được gọi là kéo dài từ điểm (0; 0) dọc theo trục OX 1 / k lần nếu 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Hàm số y = - f (x).

Trong công thức này, các giá trị của hàm (tọa độ của các điểm trên đồ thị) được đảo ngược. Sự thay đổi này dẫn đến một màn hình đối xứng của đồ thị ban đầu của hàm số về trục x.

PHẦN KẾT LUẬN

Để dựng đồ thị của hàm số y = - f (x), bạn cần có đồ thị của hàm số y = f (x)

phản xạ đối xứng qua trục OX. Phép biến hình như vậy được gọi là phép biến hình đối xứng qua trục OX.

6. Hàm số y = f (-x).

Trong công thức này, các giá trị của đối số (số áp của các điểm trên đồ thị) được đảo ngược. Sự thay đổi này dẫn đến sự hiển thị đối xứng của đồ thị hàm số ban đầu đối với trục OY.

Ví dụ cho hàm y \ u003d - x², phép biến đổi này không đáng chú ý, vì hàm này chẵn và đồ thị không thay đổi sau khi biến đổi. Sự biến đổi này có thể nhìn thấy khi hàm là lẻ và khi không chẵn hay lẻ.

7. Hàm số y = | f (x) |.

Trong công thức mới, các giá trị hàm (tọa độ của các điểm trên đồ thị) nằm dưới dấu hiệu mô-đun. Điều này dẫn đến sự biến mất của các phần của đồ thị của hàm số ban đầu với các hoành độ âm (nghĩa là các phần nằm trong nửa mặt phẳng phía dưới so với trục Ox) và sự hiển thị đối xứng của các phần này so với trục Ox.

8. Hàm số y = f (| x |).

Trong công thức mới, các giá trị đối số (áp suất của các điểm đồ thị) nằm dưới dấu hiệu mô-đun. Điều này dẫn đến sự biến mất của các phần của đồ thị của hàm số ban đầu có các điểm áp âm (nghĩa là các phần nằm trong nửa mặt phẳng bên trái so với trục OY) và thay thế chúng bằng các phần của đồ thị ban đầu đối xứng về trục OY. trục.

Phần thực hành

Hãy xem xét một vài ví dụ về ứng dụng của lý thuyết trên.

VÍ DỤ 1.

Quyết định. Hãy biến đổi công thức này:

1) Hãy xây dựng đồ thị của hàm số

VÍ DỤ 2.

Vẽ đồ thị của hàm theo công thức

Quyết định. Hãy để chúng tôi biến đổi công thức này bằng cách đánh dấu tam thức vuông bình phương nhị thức:

1) Hãy xây dựng đồ thị của hàm số

2) Thực hiện chuyển song song đồ thị đã dựng thành vectơ

VÍ DỤ 3.

NHIỆM VỤ TỪ VIỆC SỬ DỤNG Vẽ một chức năng từng mảnh

Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = | 2 (x-3) 2-2 |; một

Chuyển giao song song.

CHUYỂN ĐỔI CÙNG TRỤC Y

f (x) => f (x) - b
Giả sử bắt buộc phải vẽ đồ thị của hàm y \ u003d f (x) - b. Dễ dàng nhận thấy rằng các hoành độ của đồ thị này với mọi giá trị của x trên | b | nhỏ hơn đơn vị so với hoành độ tương ứng của đồ thị hàm số y = f (x) với b> 0 và | b | đơn vị hơn - tại b 0 hoặc lên tại b Để vẽ đồ thị của hàm số y + b = f (x), hãy vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) và di chuyển trục x tới | b | đơn vị lên cho b> 0 hoặc bằng | b | đơn vị xuống ở b

CHUYỂN ĐỔI CÙNG TRỤC X

f (x) => f (x + a)
Để nó được yêu cầu để vẽ đồ thị của hàm y = f (x + a). Xét một hàm y = f (x), tại một thời điểm nào đó x = x1 nhận giá trị y1 = f (x1). Rõ ràng, hàm y = f (x + a) sẽ nhận cùng giá trị tại điểm x2, tọa độ của nó được xác định từ đẳng thức x2 + a = x1, tức là x2 = x1 - a, và đẳng thức đang xét có giá trị đối với tổng của tất cả các giá trị trong miền của hàm. Do đó, đồ thị hàm số y = f (x + a) có thể nhận được bằng phép dời hình song song đồ thị hàm số y = f (x) dọc theo trục x sang trái một góc | a | những cái cho a> 0 hoặc bên phải của | a | đơn vị cho a Để vẽ đồ thị hàm số y = f (x + a), hãy vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và di chuyển trục y đến | a | đơn vị ở bên phải đối với a> 0 hoặc | a | đơn vị bên trái cho một

Ví dụ:

1.y = f (x + a)

2.y = f (x) + b

Sự phản xạ.

VẼ HÌNH CHỨC NĂNG CỦA CHẾ ĐỘ XEM Y = F (-X)

f (x) => f (-x)
Rõ ràng, các hàm y = f (-x) và y = f (x) nhận các giá trị bằng nhau tại các điểm có hoành độ bằng giá trị tuyệt đối, nhưng ngược lại trong dấu hiệu. Nói cách khác, hoành độ của đồ thị hàm số y = f (-x) trong miền giá trị dương (âm) của x sẽ bằng hoành độ của đồ thị hàm số y = f (x) với các giá trị âm (dương) x tương ứng về giá trị tuyệt đối. Do đó, chúng tôi nhận được quy tắc sau đây.
Để vẽ biểu đồ của hàm y = f (-x), bạn nên vẽ biểu đồ của hàm y = f (x) và phản ánh nó dọc theo trục y. Đồ thị kết quả là đồ thị của hàm số y = f (-x)

LƯU ĐỒ CHỨC NĂNG CỦA CHẾ ĐỘ XEM Y = - F (X)

f (x) => - f (x)
Các hoành độ của đồ thị hàm số y = - f (x) với mọi giá trị của đối số đều bằng nhau về giá trị tuyệt đối, nhưng ngược dấu với các hoành độ của đồ thị hàm số y = f (x) đối với cùng các giá trị của đối số. Do đó, chúng tôi nhận được quy tắc sau đây.
Để vẽ đồ thị của hàm y = - f (x), bạn nên vẽ đồ thị của hàm y = f (x) và phản ánh nó về trục x.

Ví dụ:

1.y = -f (x)

2.y = f (-x)

3.y = -f (-x)

Sự biến dạng.

ĐỊNH NGHĨA CỦA HÌNH ẢNH CÙNG TRỤC Y

f (x) => kf (x)
Xét một hàm có dạng y = k f (x), trong đó k> 0. Dễ thấy rằng đối với giá trị ngang nhau của đối số, các hoành độ của đồ thị của hàm số này sẽ lớn hơn k lần so với các hoành độ của đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) với k> 1 hoặc nhỏ hơn 1 / k lần so với các hoành độ của đồ thị của hàm số y = f (x) với k Để vẽ đồ thị của hàm số y = k f (x), bạn nên vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) và tăng các hoành độ của nó lên k lần với k> 1 (kéo dài đồ thị trục tọa độ) hoặc giảm tọa độ của nó đi 1 / k lần đối với k
k> 1- kéo dài từ trục Ox
0 - nén theo trục OX

ĐỊNH MỨC HÌNH ẢNH CŨNG TRỤC X

f (x) => f (kx)
Giả sử yêu cầu vẽ đồ thị của hàm y = f (kx), trong đó k> 0. Hãy xem xét một hàm y = f (x), trong đó điểm tùy ý x = x1 nhận giá trị y1 = f (x1). Rõ ràng, hàm số y = f (kx) nhận cùng một giá trị tại điểm x = x2, tọa độ của nó được xác định bởi đẳng thức x1 = kx2, và đẳng thức này có giá trị đối với tổng tất cả các giá trị của x từ miền của hàm. Do đó, đồ thị của hàm số y = f (kx) bị nén (với k 1) dọc theo trục abscissa so với đồ thị của hàm số y = f (x). Do đó, chúng tôi nhận được quy tắc.
Để vẽ đồ thị của hàm số y = f (kx), hãy vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) và giảm abscissa của nó đi k lần với k> 1 (thu nhỏ đồ thị dọc theo abscissa) hoặc tăng abscissa của nó lên 1 / k lần với k
k> 1- nén theo trục Oy
0 - kéo dài từ trục OY

Công việc được thực hiện bởi Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov dưới sự giám sát của Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
© 2014

Các hàm cơ bản cơ bản ở dạng thuần túy mà không có phép biến đổi là rất hiếm, vì vậy hầu hết bạn phải làm việc với các hàm cơ bản thu được từ các hàm cơ bản bằng cách thêm các hằng số và hệ số. Các đồ thị như vậy được xây dựng bằng cách sử dụng các phép biến đổi hình học của các hàm cơ bản đã cho.

Hãy xem một ví dụ hàm bậc hai có dạng y \ u003d - 1 3 x + 2 3 2 + 2, đồ thị của nó là một parabol y \ u003d x 2, được nén ba lần đối với O y và đối xứng với O x, hơn nữa, dịch chuyển O x sang phải 2 3, O hướng lên trên 2 đơn vị. Trên đường tọa độ, nó trông giống như sau:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Các phép biến đổi hình học của đồ thị hàm số

Áp dụng các phép biến đổi hình học của đồ thị đã cho, ta thu được đồ thị được biểu diễn bởi một hàm có dạng ± k 1 f (± k 2 (x + a)) + b khi k 1> 0, k 2> 0 là nén tỷ lệ ở mức 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1, k 2> 1 dọc theo O y và O x. Dấu hiệu phía trước các hệ số k 1 và k 2 cho biết sự hiển thị đối xứng của đồ thị so với các trục, a và b dịch chuyển nó dọc theo O x và O y.

Định nghĩa 1

Có 3 loại đồ họa chuyển đổi hình học:

• Mở rộng quy mô dọc theo O x và O y. Điều này bị ảnh hưởng bởi các hệ số k 1 và k 2, miễn là 1 không bằng nhau, khi 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2> 1 thì đồ thị bị dãn dọc theo O y và nén dọc theo O x.
• Hiển thị đối xứng về các trục tọa độ. Nếu có dấu “-” trước k 1 thì phép đối xứng với O x, trước k 2 thì nó đối xứng với O y. Nếu thiếu "-", thì điểm quyết định bị bỏ qua;
• Dịch song song (dịch chuyển) dọc theo O x và O y. Phép biến đổi được thực hiện khi các hệ số a và b không bằng 0. Nếu giá trị của a là dương thì đồ thị bị dịch chuyển sang trái bởi | a | đơn vị, nếu âm a thì sang phải một khoảng bằng nhau. Giá trị của b xác định chuyển động dọc theo trục O y, nghĩa là nếu b dương thì hàm số đi lên và nếu b âm thì hàm số đi xuống.

Xem xét các giải pháp bằng cách sử dụng các ví dụ, bắt đầu với một hàm nguồn.

ví dụ 1

Biến đổi y = x 2 3 và vẽ đồ thị của hàm số y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3.

Quyết định

Hãy biểu diễn các chức năng như sau:

y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

Trong trường hợp k 1 \ u003d 2, bạn nên chú ý đến sự hiện diện của "-", a \ u003d - 1 2, b \ u003d 3. Từ đây, chúng ta nhận thấy rằng các phép biến đổi hình học được thực hiện từ việc kéo dài dọc theo O y hai lần, hiển thị đối xứng với O x, dịch sang phải 1 2 và lên 3 đơn vị.

Nếu chúng ta đại diện cho hàm quyền lực ban đầu, chúng ta nhận được

khi kéo dài hai lần dọc theo O y, chúng ta có

Một ánh xạ đối xứng với O x có dạng

và di chuyển sang phải 1 2

chuyển 3 đơn vị lên có dạng

Chúng ta sẽ xem xét các phép biến đổi của hàm số mũ bằng cách sử dụng các ví dụ.

Ví dụ 2

Vẽ đồ thị của hàm số mũ y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8.

Quyết định.

Chúng ta biến đổi hàm dựa trên các tính chất của hàm lũy thừa. Sau đó, chúng tôi nhận được điều đó

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Điều này cho thấy rằng chúng ta nhận được một chuỗi các phép biến đổi y = 1 2 x:

y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Chúng tôi nhận được rằng bản gốc hàm số mũ có hình thức

Ép hai lần dọc theo Ô y cho

Kéo dài dọc theo O x

Ánh xạ đối xứng đối với O x

Ánh xạ đối xứng với O y

Tăng 8 đơn vị

Hãy xem xét giải pháp với một ví dụ hàm logarit y = log (x).

Ví dụ 3

Xây dựng hàm số y = ln e 2 · - 1 2 x 3 bằng phép biến đổi y = ln (x).

Quyết định

Để giải nó, bạn cần sử dụng các thuộc tính của logarit, sau đó chúng ta nhận được:

y = ln e 2 - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Các phép biến đổi của hàm logarit có dạng như sau:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Vẽ đồ thị của hàm số logarit ban đầu

Ta nén hệ thống theo O y

Chúng tôi kéo dài dọc theo O x

Chúng tôi lập bản đồ liên quan đến O y

Chúng tôi tăng 2 đơn vị, chúng tôi nhận được

Để biến đổi đồ thị của một hàm số lượng giác, cần đưa các nghiệm có dạng ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b vào sơ đồ. Điều cần thiết là k 2 bằng T k 2. Do đó, chúng tôi nhận được rằng 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Hãy xem xét các ví dụ về giải các nhiệm vụ với các phép biến đổi y = sin x.

Ví dụ 4

Vẽ đồ thị y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 bằng cách sử dụng các phép biến đổi của hàm y = sinx.

Quyết định

Cần đưa hàm số về dạng ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b. Đối với điều này:

y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Có thể thấy rằng k 1 \ u003d 3, k 2 \ u003d 1 2, a \ u003d - 3, b \ u003d - 2. Vì có “-” trước k 1, nhưng không có trước k 2, nên ta nhận được một chuỗi các phép biến đổi có dạng:

y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Chuyển đổi sóng sin chi tiết. Khi vẽ đồ thị hình sin ban đầu y \ u003d sin (x), chúng ta thấy rằng T \ u003d 2 π được coi là chu kỳ dương nhỏ nhất. Tìm cực đại tại các điểm π 2 + 2 π · k; 1, và cực tiểu - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z.

Giãn dọc O y thực hiện 3 lần tức là cứ tăng biên độ dao động lên 3 lần. T = 2 π là nhỏ nhất giai đoạn tích cực. Cực đại tiến tới π 2 + 2 π · k; 3, k ∈ Z, cực tiểu - - π 2 + 2 π · k; - 3, k ∈ Z.

Khi dãn dọc O x hai lần, ta thu được chu kì dương nhỏ nhất tăng lên 2 lần và bằng T \ u003d 2 π k 2 \ u003d 4 π. Cực đại tiến tới π + 4 π · k; 3, k ∈ Z, cực tiểu - in - π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.

Ảnh được tạo ra đối xứng với O x. Khoảng thời gian dương nhỏ nhất trong trường hợp này không thay đổi và bằng T = 2 π k 2 = 4 π. Quá trình chuyển đổi cực đại có dạng - π + 4 π · k; 3, k ∈ Z, và cực tiểu là π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.

Đồ thị được dịch chuyển xuống 2 đơn vị. Không có sự thay đổi trong thời kỳ chung nhỏ nhất. Tìm cực đại có phép chuyển thành điểm - π + 3 + 4 π · k; 1, k ∈ Z, cực tiểu - π + 3 + 4 π · k; - 5, k ∈ Z.

Trên sân khấu nàyđồ thị của một hàm số lượng giác được coi là biến đổi.

Coi như chuyển đổi chi tiết các hàm số y = cos x.

Ví dụ 5

Vẽ đồ thị của hàm số y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 bằng cách sử dụng một phép biến đổi hàm dưới dạng y = cos x.

Quyết định

Theo thuật toán, chức năng nhất định rút gọn về dạng ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b. Sau đó, chúng tôi nhận được điều đó

y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1

Có thể thấy từ điều kiện k 1 \ u003d 3 2, k 2 \ u003d 2, a \ u003d - 1, b \ u003d 1, trong đó k 2 có "-" và nó không có trước k 1.

Từ đây, chúng ta nhận được rằng chúng ta sẽ có được đồ thị của một hàm số lượng giác có dạng:

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1 )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

Chuyển đổi từng bước cosine với minh họa đồ họa.

Tại lịch trình nhất định y = cos (x) có thể thấy chu kỳ chung nhỏ nhất bằng T = 2 π. Tìm cực đại trong 2 π · k; 1, k ∈ Z, và cực tiểu π + 2 π · k; - 1, k ∈ Z.

Khi bị dãn dọc theo O y một đoạn 32 thì biên độ dao động tăng thêm một đoạn 32. T = 2 π là chu kỳ dương nhỏ nhất. Tìm cực đại trong 2 π · k; 3 2, k ∈ Z, cực tiểu trong π + 2 π · k; - 3 2, k ∈ Z.

Khi nén dọc O x hai lần, ta thu được chu kì dương nhỏ nhất là số T = 2 π k 2 = π. Các cực đại được chuyển thành π · k; 3 2, k ∈ Z, cực tiểu - π 2 + π · k; - 3 2, k ∈ Z.

Ánh xạ đối xứng đối với O y. Vì đồ thị là số lẻ nên nó sẽ không thay đổi.

Khi dịch chuyển đồ thị bằng 1. Chu kỳ dương nhỏ nhất T = π không thay đổi. Tìm cực đại trong π · k + 1; 3 2, k ∈ Z, cực tiểu - π 2 + 1 + π · k; - 3 2, k ∈ Z.

Khi dịch chuyển 1 thì chu kì dương nhỏ nhất là T = π và không thay đổi. Tìm cực đại trong π · k + 1; 5 2, k ∈ Z, cực tiểu trong π 2 + 1 + π · k; - 1 2, k ∈ Z.

Sự biến đổi của hàm cosin đã hoàn thành.

Xem xét các phép biến đổi bằng cách sử dụng ví dụ y = t g x.

Ví dụ 6

Vẽ đồ thị của hàm số y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 bằng cách sử dụng các phép biến đổi của hàm số y = t g (x).

Quyết định

Để bắt đầu, cần đưa hàm đã cho về dạng ± k 1 f ± k 2 x + a + b, sau đó ta nhận được

y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Rõ ràng là k 1 \ u003d 1 2, k 2 \ u003d 2 3, a \ u003d - π 2, b \ u003d π 3 và trước các hệ số k 1 và k 2 có dấu "-". Vì vậy, sau khi biến đổi các tiếp tuyến, chúng ta nhận được

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Biến đổi từng bước của một tiếp tuyến với một hình ảnh đồ họa.

Ta có đồ thị ban đầu là y = t g (x). Chu kì biến thiên theo chiều dương là T = π. Miền xác định là - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z.

Ta bóp 2 lần dọc Ô y. T \ u003d π được coi là chu kỳ dương nhỏ nhất, trong đó miền xác định là - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z.

Giãn dọc O x 3 2 lần. Hãy tính chu kỳ dương nhỏ nhất và bằng T = π k 2 = 3 2 π. Và miền của hàm số có tọa độ - 3 π 4 + 3 2 π · k; 3 π 4 + 3 2 π · k, k ∈ Z, chỉ có miền xác định thay đổi.

Phép đối xứng qua cạnh O x. Khoảng thời gian sẽ không thay đổi vào thời điểm này.

Cần phải hiển thị các trục tọa độ một cách đối xứng. Miền định nghĩa trong trường hợp này là không thay đổi. Biểu đồ vẫn giống như trước đây. Điều này cho thấy rằng hàm tiếp tuyến là hàm lẻ. Nếu để hàm lẻ thiết lập một ánh xạ đối xứng O x và O y, sau đó ta sẽ biến đổi về nguyên hàm.