Phương trình của tiếp tuyến và phương trình của pháp tuyến đối với đồ thị của hàm số. máy tính trực tuyến
ví dụ 1 Cho một chức năng f(x) = 3x 2 + 4x- 5. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm của biểu đồ có abscissa x 0 = 1.
Quyết định.Đạo hàm hàm f(x) tồn tại cho bất kỳ x R . Hãy tìm nó:
= (3x 2 + 4x- 5) ′ = 6 x + 4.
sau đó f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),
y = 10(x – 1) + 2,
y = 10x – 8.
Trả lời. y = 10x – 8.
Ví dụ 2 Cho một chức năng f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x), song song với dòng y = 2x – 11.
Quyết định.Đạo hàm hàm f(x) tồn tại cho bất kỳ x R . Hãy tìm nó:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) ′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Vì tiếp tuyến với đồ thị của hàm số f(x) tại điểm với abscissa x 0 song song với dòng y = 2x- 11, thì độ dốc của nó là 2, tức là ( x 0) = 2. Tìm abscissa này với điều kiện 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Đẳng thức này chỉ có giá trị đối với x 0 = 0 và x 0 = 2. Vì trong cả hai trường hợp f(x 0) = 5, thì đường thẳng y = 2x + b Tiếp xúc với đồ thị của hàm số tại điểm (0; 5) hoặc tại điểm (2; 5).
Trong trường hợp đầu tiên, đẳng thức số là đúng 5 = 2 × 0 + b, ở đâu b= 5 và trong trường hợp thứ hai, đẳng thức số là đúng 5 = 2 × 2 + b, ở đâu b = 1.
Vậy có hai tiếp tuyến y = 2x+ 5 và y = 2x+ 1 vào đồ thị của hàm số f(x) song song với dòng y = 2x – 11.
Trả lời. y = 2x + 5, y = 2x + 1.
Ví dụ 3 Cho một chức năng f(x) = x 2 – 6x+ 7. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm Một (2; –5).
Quyết định. Như f(2) –5, sau đó là điểm Một không thuộc đồ thị của hàm số f(x). Để cho được x 0 - abscissa của điểm tiếp xúc.
Đạo hàm hàm f(x) tồn tại cho bất kỳ x R . Hãy tìm nó:
= (x 2 – 6x+ 1) ′ = 2 x – 6.
sau đó f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Kể từ thời điểm Một thuộc tiếp tuyến thì đẳng thức số đúng
–5 = (2x 0 - 6) × 2– x+ 7,
ở đâu x 0 = 0 hoặc x 0 = 4. Điều này có nghĩa là thông qua điểm Một Có thể vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị của hàm số f(x).
Nếu một x 0 = 0 thì phương trình tiếp tuyến có dạng y = –6x+ 7. Nếu x 0 = 4 thì phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2x – 9.
Trả lời. y = –6x + 7, y = 2x – 9.
Ví dụ 4 Các chức năng đã cho f(x) = x 2 – 2x+ 2 và g(x) = –x 2 - 3. Hãy viết phương trình tiếp tuyến chung của đồ thị của các hàm số này.
Quyết định.Để cho được x 1 - abscissa của điểm tiếp xúc của đường thẳng mong muốn với đồ thị của hàm số f(x), một x 2 - hoành độ giao điểm của cùng một đường thẳng với đồ thị của hàm số g(x).
Đạo hàm hàm f(x) tồn tại cho bất kỳ x R . Hãy tìm nó:
= (x 2 – 2x+ 2) ′ = 2 x – 2.
sau đó f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Hãy tìm đạo hàm của hàm số g(x):
= (–x 2 - 3) ′ = –2 x.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích tất cả các dạng bài toán để tìm
Xin hãy nhớ ý nghĩa hình học của đạo hàm: nếu kẻ tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại một điểm thì hệ số góc của tiếp tuyến (bằng hoành độ của góc giữa tiếp tuyến và chiều dương của trục) bằng đạo hàm của hàm số tại quan điểm.
Lấy một điểm tùy ý trên tiếp tuyến có tọa độ:
Và xét một tam giác vuông:
Trong tam giác này 
Từ đây 
Đây là phương trình của tiếp tuyến vẽ đồ thị của hàm số tại điểm.
Để viết phương trình của tiếp tuyến, chúng ta chỉ cần biết phương trình của hàm số và điểm tại đó tiếp tuyến đó được vẽ. Sau đó, chúng tôi có thể tìm thấy và.
Có ba dạng bài toán chính về phương trình tiếp tuyến.
1. Cho một điểm tiếp xúc
2. Cho hệ số góc của tiếp tuyến, tức là giá trị của đạo hàm của hàm số tại điểm.
3. Cho tọa độ của điểm mà tiếp tuyến được vẽ nhưng không phải là tiếp tuyến.
Hãy xem xét từng loại vấn đề.
một . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
tại điểm .
.
b) Tìm giá trị của đạo hàm tại điểm. Đầu tiên chúng ta tìm đạo hàm của hàm
Thay các giá trị tìm được vào phương trình tiếp tuyến:
Hãy mở dấu ngoặc ở phía bên phải của phương trình. Chúng tôi nhận được:
Trả lời: .
2. Tìm hoành độ của các điểm mà tại đó các hàm số tiếp xúc với đồ thị 
song song với trục x.
Nếu tiếp tuyến song song với trục x thì góc giữa tiếp tuyến và chiều dương của trục bằng không nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng không. Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại các điểm tiếp xúc bằng không.
a) Tìm đạo hàm của hàm số .
b) Lập phương trình đạo hàm bằng 0 và tìm các giá trị tại đó tiếp tuyến song song với trục:
Chúng tôi đánh đồng từng yếu tố với 0, chúng tôi nhận được:
Đáp số: 0; 3; 5
3. Viết phương trình các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số , song song, tương đông thẳng .
Tiếp tuyến song song với đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng này là -1. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng này, do đó, hệ số góc của tiếp tuyến cũng là -1. I E chúng ta biết hệ số góc của tiếp tuyến, và như vậy giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp xúc.
Đây là dạng bài toán thứ hai để tìm phương trình tiếp tuyến.
Vì vậy, chúng ta đã cho một hàm và giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp xúc.
a) Tìm những điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng -1.
Đầu tiên, chúng ta hãy tìm phương trình đạo hàm.
Hãy tính đạo hàm với số -1.
Tìm giá trị của hàm số tại điểm.
(theo điều kiện)
.
b) Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm.
Tìm giá trị của hàm số tại điểm.
(theo điều kiện).
Thay các giá trị này vào phương trình tiếp tuyến:
.
Trả lời:
4 . Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong , đi qua một điểm
Đầu tiên, hãy kiểm tra xem điểm đó có phải là điểm tiếp xúc hay không. Nếu điểm đó là tiếp tuyến thì nó thuộc đồ thị của hàm số và tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình của hàm số. Thay tọa độ của điểm vào phương trình của hàm số.
Title = "(! LANG: 1sqrt (8-3 ^ 2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} không phải là một đầu mối liên hệ.
Đây là dạng bài toán cuối cùng để tìm phương trình tiếp tuyến. Điều đầu tiên chúng ta cần tìm ra điểm tiếp xúc.
Hãy tìm giá trị.
Hãy là đầu mối liên hệ. Điểm thuộc tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Nếu chúng ta thay tọa độ của điểm này vào phương trình tiếp tuyến, chúng ta nhận được đẳng thức đúng:
.
Giá trị của hàm tại điểm là 
.
Tìm giá trị của đạo hàm của hàm số tại điểm.
Trước hết chúng ta hãy tìm đạo hàm của hàm số. Đây là .
Đạo hàm tại một điểm là 
.
Chúng ta hãy thay các biểu thức cho và vào phương trình của tiếp tuyến. Chúng tôi nhận được phương trình cho:
Hãy giải phương trình này.
Giảm tử số và mẫu số của phân số đi 2:
Ta đưa vế phải của đẳng thức về một mẫu số chung. Chúng tôi nhận được:
Đơn giản hóa tử số của phân số và nhân cả hai phần với - biểu thức này hoàn toàn lớn hơn 0.
Chúng tôi nhận được phương trình
Hãy giải quyết nó. Để thực hiện việc này, chúng ta chọn cả hai phần và chuyển đến hệ thống.
Title = "(! LANG: delim (lbrace) (matrix (2) (1) ((64-48 (x_0) +9 (x_0) ^ 2 = 8- (x_0) ^ 2) (8-3x_0> = 0 ))) ()">!}
Hãy giải phương trình đầu tiên.
Chúng tôi giải phương trình bậc hai, chúng tôi nhận được
Căn thứ hai không thỏa mãn điều kiện title = "(! LANG: 8-3x_0> = 0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}
Hãy viết phương trình của tiếp tuyến với đường cong tại điểm. Để làm điều này, chúng tôi thay thế giá trị trong phương trình 
Chúng tôi đã ghi lại nó.
Trả lời:
.
Ở giai đoạn phát triển hiện nay của giáo dục, một trong những nhiệm vụ chính của nó là hình thành nhân cách tư duy sáng tạo. Khả năng sáng tạo ở sinh viên chỉ có thể được phát triển nếu họ tham gia một cách có hệ thống vào những vấn đề cơ bản của hoạt động nghiên cứu. Nền tảng để học sinh sử dụng năng lực, khả năng và tài năng sáng tạo của mình được hình thành kiến thức và kỹ năng đầy đủ. Trước vấn đề này, vấn đề hình thành hệ thống kiến thức, kỹ năng cơ bản theo từng chủ đề của môn Toán học đường có tầm quan trọng không hề nhỏ. Đồng thời, các kỹ năng chính thức phải là mục tiêu giáo dục không phải của các nhiệm vụ cá nhân, mà là của hệ thống được suy nghĩ cẩn thận của họ. Theo nghĩa rộng nhất, hệ thống được hiểu là một tập hợp các yếu tố tương tác liên kết với nhau có tính toàn vẹn và cấu trúc ổn định.
Hãy xem xét một phương pháp để dạy học sinh cách vẽ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Về bản chất, tất cả các nhiệm vụ để tìm phương trình tiếp tuyến được rút gọn thành việc phải chọn từ tập hợp (bó, họ) các đường mà chúng thỏa mãn một yêu cầu nhất định - chúng tiếp tuyến với đồ thị của một hàm số nhất định. Trong trường hợp này, tập hợp các dòng mà từ đó lựa chọn được thực hiện có thể được chỉ định theo hai cách:
a) một điểm nằm trên mặt phẳng xOy (bút chì chính giữa của các đường);
b) hệ số góc (bó đường thẳng song song).
Về vấn đề này, khi nghiên cứu đề tài "Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số" để tách các phần tử của hệ, chúng tôi xác định hai loại nhiệm vụ:
1) nhiệm vụ trên một tiếp tuyến được cho bởi một điểm mà nó đi qua;
2) nhiệm vụ trên một tiếp tuyến cho trước bởi hệ số góc của nó.
Học cách giải quyết các vấn đề trên một tiếp tuyến được thực hiện bằng cách sử dụng thuật toán do A.G. Mordkovich. Sự khác biệt cơ bản của nó so với những cái đã biết là abscissa của điểm tiếp tuyến được ký hiệu bằng chữ a (thay vì x0), liên quan đến phương trình tiếp tuyến có dạng
y \ u003d f (a) + f "(a) (x - a)
(so sánh với y \ u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Kỹ thuật phương pháp này, theo quan điểm của chúng tôi, cho phép học sinh nhanh chóng và dễ dàng nhận ra tọa độ của điểm hiện tại được viết ở đâu trong phương trình tiếp tuyến tổng quát, và các điểm tiếp xúc ở đâu.
Thuật toán biên phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f (x)
1. Chỉ định bằng chữ a là abscissa của điểm tiếp xúc.
2. Tìm f (a).
3. Tìm f "(x) và f" (a).
4. Thay các số tìm được a, f (a), f "(a) vào phương trình tổng quát của tiếp tuyến y \ u003d f (a) \ u003d f" (a) (x - a).
Thuật toán này có thể được biên soạn trên cơ sở lựa chọn độc lập các thao tác của học sinh và trình tự thực hiện của chúng.
Thực hành đã chỉ ra rằng giải pháp nhất quán của từng nhiệm vụ chính bằng cách sử dụng thuật toán cho phép bạn hình thành khả năng viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm theo từng giai đoạn và các bước của thuật toán đóng vai trò là điểm mạnh cho các hành động . Cách tiếp cận này tương ứng với lý thuyết về sự hình thành dần dần của các hành động tinh thần do P.Ya. Galperin và N.F. Talyzina.
Trong loại nhiệm vụ đầu tiên, hai nhiệm vụ chính đã được xác định:
- Tiếp tuyến đi qua một điểm nằm trên đường cong (bài toán 1);
- Tiếp tuyến đi qua một điểm không nằm trên đường cong (Bài toán 2).
Nhiệm vụ 1. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 
tại điểm M (3; - 2).
Quyết định. Điểm M (3; - 2) là giao điểm, vì
1. a = 3 - abscissa của điểm tiếp xúc.
2. f (3) = - 2.
3. f "(x) \ u003d x 2 - 4, f" (3) \ u003d 5.
y \ u003d - 2 + 5 (x - 3), y \ u003d 5x - 17 là phương trình tiếp tuyến.
Nhiệm vụ 2. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x 2 - 4x + 2 đi qua điểm M (- 3; 6).
Quyết định. Điểm M (- 3; 6) không phải là tiếp tuyến, vì f (- 3) 6 (Hình 2).
2. f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \ u003d - 2x - 4, f" (a) \ u003d - 2a - 4.
4. y \ u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - phương trình tiếp tuyến.
Tiếp tuyến đi qua điểm M (- 3; 6) nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình tiếp tuyến.
6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.
Nếu a = - 4 thì phương trình tiếp tuyến là y = 4x + 18.
Nếu a \ u003d - 2 thì phương trình tiếp tuyến có dạng y \ u003d 6.
Trong loại thứ hai, các nhiệm vụ chính sẽ như sau:
- tiếp tuyến song song với một đường thẳng nào đó (bài toán 3);
- Tiếp tuyến đi một góc nào đó đối với đường thẳng đã cho (Bài toán 4).
Nhiệm vụ 3. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y \ u003d x 3 - 3x 2 + 3, song song với đường thẳng y \ u003d 9x + 1.
1. a - abscissa của điểm tiếp xúc.
2. f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \ u003d 3x 2 - 6x, f" (a) \ u003d 3a 2 - 6a.
Nhưng mặt khác, f "(a) \ u003d 9 (điều kiện song song). Vì vậy, chúng ta cần giải phương trình 3a 2 - 6a \ u003d 9. Các gốc của nó a \ u003d - 1, a \ u003d 3 (Hình . 3).
4. 1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);
y = 9x + 8 là phương trình tiếp tuyến;
1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);
y = 9x - 24 là phương trình tiếp tuyến.
Nhiệm vụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 0,5x 2 - 3x + 1, hợp với đường thẳng y = 0 một góc 45o (Hình 4).
Quyết định. Từ điều kiện f "(a) \ u003d tg 45 ° ta tìm được: a - 3 \ u003d 1 ^ a \ u003d 4.
1. a = 4 - abscissa của điểm tiếp xúc.
2. f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \ u003d 4 - 3 \ u003d 1.
4. y \ u003d - 3 + 1 (x - 4).
y \ u003d x - 7 - phương trình của tiếp tuyến.
Dễ dàng chỉ ra rằng giải pháp của bất kỳ vấn đề nào khác được rút gọn thành giải pháp của một hoặc một số vấn đề chính. Hãy xem xét hai vấn đề sau đây làm ví dụ.
1. Viết phương trình các tiếp tuyến của parabol y = 2x 2 - 5x - 2, nếu các tiếp tuyến đó cắt nhau một góc vuông và một trong hai tiếp tuyến đó tiếp xúc với parabol tại điểm có hoành độ 3 (Hình 5).
Quyết định. Vì áp suất của điểm tiếp xúc được đưa ra, phần đầu tiên của giải pháp được rút gọn thành vấn đề then chốt 1.
1. a \ u003d 3 - hoành độ của điểm tiếp xúc của một trong các cạnh của góc vuông.
2. f (3) = 1.
3. f "(x) \ u003d 4x - 5, f" (3) \ u003d 7.
4. y \ u003d 1 + 7 (x - 3), y \ u003d 7x - 20 - phương trình của tiếp tuyến thứ nhất.
Gọi a là hệ số góc của tiếp tuyến đầu tiên. Vì tiếp tuyến vuông góc nên góc nghiêng của tiếp tuyến thứ hai. Từ phương trình y = 7x - 20 của tiếp tuyến thứ nhất ta có tg a = 7. Tìm
Điều này có nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến thứ hai là.
Giải pháp tiếp theo là rút gọn thành nhiệm vụ trọng tâm 3.
Gọi B (c; f (c)) là tiếp tuyến của đường thẳng thứ hai, khi đó
1. - abscissa của điểm tiếp xúc thứ hai.
2. 
3. 
4. 
là phương trình của tiếp tuyến thứ hai.
Ghi chú. Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được tìm thấy dễ dàng hơn nếu học sinh biết tỉ số các hệ số của đường vuông góc k 1 k 2 = - 1.
2. Viết phương trình của tất cả các tiếp tuyến chung của đồ thị hàm số
Quyết định. Nhiệm vụ được rút gọn trong việc tìm các hoành độ của các điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến chung, nghĩa là giải bài toán quan trọng 1 nói chung, biên soạn một hệ phương trình và sau đó giải nó (Hình 6).
1. Gọi a là hoành độ của điểm tiếp xúc nằm trên đồ thị của hàm số y = x 2 + x + 1.
2. f (a) = a 2 + a + 1.
3. f ”(a) = 2a + 1.
4. y \ u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \ u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.
1. Gọi c là hoành độ của điểm tiếp tuyến nằm trên đồ thị của hàm số 
2. 
3. f ”(c) = c.
4.
Vì các tiếp tuyến là chung nên
Vậy y = x + 1 và y = - 3x - 3 là các tiếp tuyến chung.
Mục tiêu chính của các nhiệm vụ được xem xét là chuẩn bị cho học sinh tự nhận thức về loại nhiệm vụ chính khi giải quyết các nhiệm vụ phức tạp hơn đòi hỏi một số kỹ năng nghiên cứu nhất định (khả năng phân tích, so sánh, khái quát hóa, đưa ra giả thuyết, v.v.). Các nhiệm vụ như vậy bao gồm bất kỳ nhiệm vụ nào trong đó nhiệm vụ chính được bao gồm như một thành phần. Chúng ta hãy coi như một ví dụ bài toán (ngược với bài toán 1) tìm một hàm từ họ các tiếp tuyến của nó.
3. Đối với b và c thì các đường thẳng y \ u003d x và y \ u003d - 2x tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 + bx + c?
Gọi t là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x với parabol y = x 2 + bx + c; p là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = - 2x với parabol y = x 2 + bx + c. Khi đó phương trình tiếp tuyến y = x sẽ có dạng y = (2t + b) x + c - t 2, và phương trình tiếp tuyến y = - 2x sẽ có dạng y = (2p + b) x + c - p 2 .
Soạn và giải hệ phương trình
Trả lời: 
Hãy xem xét hình sau:
Nó cho thấy một số hàm y = f (x) có thể phân biệt được tại điểm a. Đánh dấu điểm M có tọa độ (a; f (a)). Qua một điểm tùy ý P (a + ∆x; f (a + ∆x)) của đồ thị, ta vẽ một MP trực tiếp.
Nếu bây giờ dịch chuyển điểm P dọc theo đồ thị đến điểm M thì đường thẳng MP sẽ quay quanh điểm M. Trong trường hợp này, ∆x sẽ có xu hướng bằng không. Từ đây ta có thể hình thành định nghĩa tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Tiếp tuyến với đồ thị của hàm là vị trí giới hạn của phần tử khi gia số của đối số có xu hướng bằng không. Cần hiểu rằng sự tồn tại của đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 có nghĩa là tại điểm này của đồ thị có đường tiếp tuyến cho anh ta.
Trong trường hợp này, hệ số góc của tiếp tuyến sẽ bằng đạo hàm của hàm số này tại điểm f ’(x0). Đây là ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f phân biệt tại điểm x0 là đường thẳng nào đó đi qua điểm (x0; f (x0)) và có hệ số góc f ’(x0).
Phương trình tiếp tuyến
Hãy thử tìm phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số f nào đó tại điểm A (x0; f (x0)). Phương trình của đường thẳng có hệ số góc k có dạng sau:
Vì hệ số góc của chúng ta bằng đạo hàm f '(x0), khi đó phương trình sẽ có dạng sau: y = f '(x0)* x + b.
Bây giờ hãy tính giá trị của b. Để làm điều này, chúng ta sử dụng thực tế là hàm số đi qua điểm A.
f (x0) = f ’(x0) * x0 + b, từ đây ta biểu diễn b và được b = f (x0) - f’ (x0) * x0.
Chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào phương trình tiếp tuyến:
y = f '(x0) * x + b = f' (x0) * x + f (x0) - f '(x0) * x0 = f (x0) + f' (x0) * (x - x0).
y = f (x0) + f '(x0) * (x - x0).
Xét ví dụ sau: tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) \ u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 tại điểm x \ u003d 2.
2. f (x0) = f (2) = 2 2 - 2 * 2 2 + 1 = 1.
3. f '(x) = 3 * x 2 - 4 * x.
4. f '(x0) = f' (2) = 3 * 2 2 - 4 * 2 = 4.
5. Thay các giá trị thu được vào công thức tiếp tuyến, ta được: y = 1 + 4 * (x - 2). Mở ngoặc và đặt các số hạng giống như vậy, ta được: y = 4 * x - 7.
Đáp số: y = 4 * x - 7.
Sơ đồ chung để biên dịch phương trình tiếp tuyến thành đồ thị của hàm số y = f (x):
1. Xác định x0.
2. Tính f (x0).
3. Tính f '(x)
Chương trình toán học này tìm phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của hàm \ (f (x) \) tại một điểm do người dùng chỉ định \ (a \).
Chương trình không chỉ hiển thị phương trình tiếp tuyến mà còn hiển thị quá trình giải bài toán.
Máy tính trực tuyến này có thể hữu ích cho học sinh trung học trong việc chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, kiểm tra kiến thức trước kỳ thi Thống nhất Quốc gia và cho phụ huynh kiểm soát lời giải của nhiều bài toán trong toán học và đại số. Hoặc có thể nó quá đắt đối với bạn để thuê một gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành bài tập toán hoặc đại số của mình càng nhanh càng tốt? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với một giải pháp chi tiết.
Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo của chính mình và / hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của bạn, trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực nhiệm vụ cần giải quyết được tăng lên.
Nếu bạn cần tìm đạo hàm của một hàm, thì chúng ta có nhiệm vụ Tìm Đạo hàm.
Nếu bạn không quen thuộc với các quy tắc giới thiệu các chức năng, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.
Nhập biểu thức hàm \ (f (x) \) và số \ (a \) Tìm phương trình tiếp tuyến Người ta thấy rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết công việc này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.
JavaScript phải được bật để giải pháp xuất hiện.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.
Tại vì Có rất nhiều người muốn giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn xếp hàng.
Sau một vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Làm ơn chờ giây ...
nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, sau đó bạn có thể viết về nó trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định điều gì nhập vào các lĩnh vực.
Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:
Một chút lý thuyết.
Độ dốc của đường thẳng
Nhớ lại rằng đồ thị của hàm tuyến tính \ (y = kx + b \) là một đường thẳng. Số \ (k = tg \ alpha \) được gọi là độ dốc của một đường thẳng và góc \ (\ alpha \) là góc giữa đường thẳng này và trục Ox
Nếu \ (k> 0 \), thì \ (0 Nếu \ (k Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
Nếu điểm M (a; f (a)) thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) và nếu tại điểm này kẻ được một tiếp tuyến của đồ thị hàm số không vuông góc với thì trục x thì từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ta suy ra rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng f "(a). Tiếp theo, chúng ta sẽ phát triển một thuật toán để biên dịch phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của một hàm số bất kỳ.
Cho hàm số y \ u003d f (x) và điểm M (a; f (a)) trên đồ thị của hàm số này; Hãy cho biết rằng tồn tại f "(a). Hãy lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị của một hàm số đã cho tại một điểm cho trước. Phương trình này giống như phương trình của bất kỳ đường thẳng nào không song song với trục y , có dạng y \ u003d kx + b, vì vậy nhiệm vụ là tìm giá trị của các hệ số k và b.
Mọi thứ đều rõ ràng với hệ số góc k: biết rằng k \ u003d f "(a). Để tính giá trị của b, chúng ta sử dụng thực tế là đường thẳng mong muốn đi qua điểm M (a; f (a)) . Điều này có nghĩa là nếu chúng ta thay tọa độ của điểm M vào phương trình của một đường thẳng, chúng ta nhận được đẳng thức đúng: \ (f (a) \ u003d ka + b \), tức là \ (b \ u003d f (a ) - ka \).
Nó vẫn là thay thế các giá trị tìm được của các hệ số k và b vào phương trình của một đường thẳng:
Chúng tôi đã nhận được phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số\ (y = f (x) \) tại điểm \ (x = a \).
Thuật toán tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \ (y = f (x) \)
1. Chỉ định abscissa của điểm tiếp xúc với chữ cái \ (a \)
2. Tính \ (f (a) \)
3. Tìm \ (f "(x) \) và tính \ (f" (a) \)
4. Thay các số tìm được \ (a, f (a), f "(a) \) vào công thức \ (y \ u003d f (a) + f" (a) (x-a) \)
Trò chơi "Skyrim": tất cả những tiếng hét Skyrim hét lên 4 từ
The Elder Scrolls V: Skyrim
The Elder Scrolls V: Skyrim Walkthrough