Các kiểu hàm và thuộc tính của chúng. Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm

Sự định nghĩa: Một hàm số là một sự tương ứng ánh xạ tới mỗi số x từ một số tập hợp nhất định số ít y.

Chỉ định:

trong đó x là biến độc lập (đối số), y là biến phụ thuộc (hàm). Tập giá trị x được gọi là miền của hàm số (ký hiệu là D (f)). Tập giá trị y được gọi là khoảng của hàm (ký hiệu là E (f)). Đồ thị của hàm số là tập hợp các điểm trong mặt phẳng có tọa độ (x, f (x))

Các cách thiết lập một hàm.

phương pháp phân tích (sử dụng công thức toán học);
phương pháp bảng (sử dụng bảng);
phương pháp miêu tả (sử dụng miêu tả bằng lời nói);
phương pháp đồ thị (sử dụng đồ thị).

Các tính chất cơ bản chức năng.

1. Chẵn và lẻ

Một hàm được gọi ngay cả khi
- miền xác định của hàm là đối xứng với 0
f (-x) = f (x)

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục 0y

Một hàm được gọi là lẻ nếu
- miền xác định của hàm là đối xứng với 0
- với bất kỳ x nào từ miền định nghĩa f (-x) = -f (x)

Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

2. Tính định kỳ

Hàm f (x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ nếu với x bất kỳ thuộc miền xác định f (x) = f (x + T) = f (x-T) .

Lịch trình chức năng tuần hoàn bao gồm các đoạn giống hệt nhau lặp lại vô hạn.

3. Đơn điệu (tăng, giảm)

Hàm f (x) tăng trên tập P nếu với bất kỳ x 1 và x 2 nào từ tập này, sao cho x 1

Hàm f (x) đang giảm trên tập P nếu với x 1 và x 2 bất kỳ từ tập này sao cho x 1 f (x 2).

4. Cực trị

Điểm X max được gọi là điểm cực đại của hàm f (x) nếu với mọi x từ một lân cận X max, bất đẳng thức f (x) f (X max) được thỏa mãn.

Giá trị Y max = f (X max) được gọi là giá trị cực đại của hàm này.

X max - điểm tối đa
Max có mức tối đa

Điểm X min được gọi là điểm cực tiểu của hàm f (x) nếu với mọi x thuộc một lân cận X min nào đó, bất đẳng thức f (x) f (X min) được thỏa mãn.

Giá trị của Y min = f (X min) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm này.

X min - điểm tối thiểu
Y min - tối thiểu

X tối thiểu, X tối đa - điểm cực trị
Y min, Y max - cực trị.

5. Số không của hàm

Giá trị không của hàm y = f (x) là giá trị của đối số x mà tại đó hàm biến mất: f (x) = 0.

X 1, X 2, X 3 là các số không của hàm số y = f (x).

Nhiệm vụ và bài kiểm tra về chủ đề "Các tính chất cơ bản của hàm số"

Thuộc tính hàm - Các hàm số Lớp 9
Bài: 2 Bài tập: 11 Kiểm tra: 1
Tính chất của logarit - Minh chứng và hàm logarit Lớp 11
Bài: 2 Bài tập: 14 Kiểm tra: 1
Hàm căn bậc hai, các tính chất và đồ thị của nó - Hàm số căn bậc hai. Thuộc tính căn bậc hai Lớp 8
Bài học: 1 Bài tập: 9 Kiểm tra: 1
Hàm lũy thừa, thuộc tính và đồ thị của chúng - Độ và gốc. Chức năng nguồn Lớp 11
Bài: 4 Bài tập: 14 Kiểm tra: 1
Chức năng - Chủ đề quan trọng vì sự lặp lại của kỳ thi toán học
Nhiệm vụ: 24

Sau khi nghiên cứu chủ đề này, bạn sẽ có thể tìm miền định nghĩa của các hàm số khác nhau, xác định các khoảng đơn điệu của một hàm số bằng cách sử dụng đồ thị và kiểm tra các hàm số chẵn và lẻ. Hãy xem xét giải pháp của những vấn đề như vậy trên các ví dụ sau.

Các ví dụ.

1. Tìm miền của hàm số.

Quyết định: phạm vi của chức năng được tìm thấy từ điều kiện

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định một người cụ thể hoặc liên hệ với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

Do chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và liên lạc quan trọng.
Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

Nếu cần - theo quy định của pháp luật, lệnh tư pháp, trong quá trình tố tụng pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ của Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp vì lý do bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

Phạm vi và phạm vi của chức năng. Trong toán học sơ cấp, các hàm chỉ được nghiên cứu trên tập số thực RĐiều này có nghĩa là đối số hàm chỉ có thể nhận các giá trị thực mà hàm được xác định, tức là nó cũng chỉ chấp nhận các giá trị thực. Một loạt các X tất cả các giá trị hợp lệ hợp lệ của đối số x, mà chức năng y= f(x) được xác định, được gọi là phạm vi chức năng. Một loạt các Y tất cả các giá trị thực y mà hàm chấp nhận được gọi là phạm vi chức năng. Bây giờ bạn có thể cho nhiều hơn Định nghĩa chính xác Tính năng, đặc điểm: luật lệ(luật) tương ứng giữa tập X và Y, theo đó cho mỗi phần tử từ tập hợpX có thể tìm thấy một và chỉ một phần tử từ tập Y, được gọi là một hàm.

Từ định nghĩa này, một hàm được coi là đã cho nếu:

Phạm vi của chức năng được thiết lập X ;

Phạm vi của chức năng được thiết lập Y ;

Quy tắc (luật) của sự tương ứng đã được biết đến và như vậy đối với mỗi

Chỉ có thể tìm thấy một giá trị hàm cho một giá trị đối số.

Yêu cầu về tính duy nhất của hàm này là bắt buộc.

hàm đơn điệu. Nếu đối với bất kỳ hai giá trị nào của đối số x 1 và x 2 trong số các điều kiện x 2 > x 1 người theo dõi f(x 2) > f(x 1), sau đó là hàm f(x) được gọi là tăng dần; nếu có x 1 và x 2 trong số các điều kiện x 2 > x 1 người theo dõi f(x 2) < f(x 1), sau đó là hàm f(x) được gọi là suy tàn. Một hàm chỉ tăng hoặc chỉ giảm được gọi là đơn điệu.

Chức năng giới hạn và không giới hạn. Hàm được gọi là giới hạn nếu có như vậy số dương M cái gì | f(x) | M cho tất cả các giá trị x. Nếu không có số nào như vậy tồn tại, thì hàm là vô hạn.

CÁC VÍ DỤ.

Hàm được mô tả trong Hình 3 là có giới hạn, nhưng không đơn điệu. Hàm trong hình 4 là ngược lại, đơn điệu, nhưng không giới hạn. (Vui lòng giải thích điều này!)

Các chức năng liên tục và không liên tục. Hàm số y = f (x) được gọi là tiếp diễn tại điểmx = một, nếu:

1) chức năng được định nghĩa cho x = một, I E. f (một) hiện hữu;

2) tồn tại có hạn giới hạn lim f (x) ;

x→một

(Xem "Giới hạn của chức năng")

3) f (một) = lim f (x) .

x→một

Nếu ít nhất một trong các điều kiện này không được đáp ứng, thì hàm được gọi là không liên tục tại điểm x = một.

Nếu hàm liên tục trong tất cả các các điểm của miền định nghĩa của nó, sau đó nó được gọi là chức năng liên tục.

Hàm chẵn và hàm lẻ. Nếu cho không tí nào x f(- x) = f (x), thì hàm được gọi là thậm chí; nếu nó không: f(- x) = - f (x), thì hàm được gọi là số lẻ. Lịch trình hàm chẵnđối xứng về trục Y(Hình 5), một đồ thị hàm lẻ Simthước đo về nguồn gốc(Hình 6).

Chức năng định kỳ. Hàm số f (x) - định kỳ nếu có như vậy khác không con số Tđể làm gì không tí nào x từ phạm vi của định nghĩa chức năng diễn ra: f (x + T) = f (x). Như là ít nhất số được gọi là thời kỳ chức năng. Tất cả các hàm lượng giác là định kỳ.

VÍ DỤ 1. Chứng minh rằng tội lỗi x có khoảng thời gian là 2.

GIẢI PHÁP Chúng ta biết rằng tội lỗi ( x + 2N) = tội lỗi x, ở đâu N= 0, ± 1, ± 2,…

Do đó, việc thêm 2 Nđối số sin

Thay đổi giá trị của nó. Có số khác với cái này không

Cùng một tài sản?

Hãy giả vờ như vậy P- một con số như vậy, tức là bình đẳng:

Tội ( x + P) = tội lỗi x,

Có giá trị cho mọi giá trị x. Nhưng sau đó nó có

Vị trí và x= / 2, tức là

tội lỗi (/ 2 + P) = sin / 2 = 1.

Nhưng theo công thức rút gọn sin (/ 2 + P) = cos P. sau đó

Theo sau từ hai bằng nhau cuối cùng mà cos P= 1, nhưng chúng tôi

Chúng tôi biết rằng điều này chỉ đúng khi P = 2N. Kể từ khi nhỏ nhất

Một số khác 0 trong số 2 N là 2, sau đó là số này

Và có một thời kỳ tội lỗi x. Nó được chứng minh tương tự rằng 2 từ N là, vì vậy đây là giai đoạn sin 2 x.

Hàm nulls. Giá trị của đối số mà hàm bằng 0 được gọi là số không (root) các chức năng. Một hàm có thể có nhiều số không. Ví dụ: hàm y = x (x + 1) (x-3) có ba số không: x= 0, x= -1, x= 3. Về mặt hình học hàm null - là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục X .

Hình 7 cho thấy đồ thị của hàm với các số không: x= một, x = b và x= c.

Asymptote. Nếu đồ thị của một hàm số tiếp cận một đường thẳng nào đó một cách vô hạn khi nó đi ra xa gốc tọa độ thì đường thẳng này được gọi là asymptote.

Số không của hàm
Giá trị 0 của hàm là giá trị X, tại đó hàm trở thành 0, nghĩa là, f (x) = 0.

Zeros là giao điểm của đồ thị của hàm với trục Ồ.

Chức năng chẵn lẻ
Một hàm được gọi ngay cả khi đối với bất kỳ X từ miền định nghĩa, đẳng thức f (-x) = f (x)

Một hàm chẵn đối xứng qua trục Đơn vị tổ chức

Chức năng kỳ quặc
Một hàm được gọi là lẻ nếu với bất kỳ X Từ miền xác định, đẳng thức f (-x) = -f (x) được thỏa mãn.

Một hàm lẻ đối xứng với gốc tọa độ.
Một hàm không chẵn cũng không lẻ được gọi là hàm tổng quát.

Tăng hàm
Hàm f (x) được gọi là tăng nếu giá trị lớn hơnđối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm, tức là

Chức năng giảm dần
Hàm f (x) được gọi là giảm nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm, tức là

Khoảng thời gian mà hàm chỉ giảm hoặc chỉ tăng được gọi là khoảng thời gian đơn điệu. Hàm số f (x) có 3 khoảng là đơn điệu:

Tìm khoảng của đơn điệu bằng cách sử dụng dịch vụ Khoảng của các hàm tăng và giảm

Tối đa địa phương
Chấm x 0được gọi là một điểm tối đa địa phương, nếu có X từ một vùng lân cận của một điểm x 0 bất đẳng thức sau đây đúng: f (x 0)> f (x)

Địa phương tối thiểu
Chấm x 0được gọi là một điểm địa phương tối thiểu, nếu có X từ một vùng lân cận của một điểm x 0 bất đẳng thức sau đây đúng: f (x 0)< f(x).

Điểm cực đại cục bộ và điểm cực tiểu cục bộ được gọi là điểm cực trị cục bộ.

điểm cực trị cục bộ.

Tính chu kỳ của chức năng
Hàm f (x) được gọi là tuần hoàn, với chu kỳ T, nếu có X f (x + T) = f (x).

Khoảng liên tục
Khoảng thời gian mà hàm số chỉ dương hoặc chỉ âm được gọi là khoảng thời gian của dấu không đổi.

Tính liên tục của chức năng
Hàm f (x) được gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu giới hạn của hàm là x → x 0 bằng giá trị các chức năng tại thời điểm này, tức là .