Sin là một hàm chẵn hoặc lẻ. Các hàm chẵn và lẻ

Hàm chẵn.

Thậm chí Một hàm có dấu không thay đổi khi dấu được thay đổi được gọi là x.

x bình đẳng f(–x) = f(x). Ký tên x không ảnh hưởng đến dấu hiệu y.

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tọa độ (Hình 1).

Ví dụ về hàm chẵn:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Giải trình:
Hãy thực hiện một chức năng y = x 2 hoặc y = –x 2 .
Đối với bất kỳ giá trị nào x chức năng là tích cực. Ký tên x không ảnh hưởng đến dấu hiệu y. Đồ thị đối xứng qua trục tọa độ. Đây là một chức năng chẵn.

hàm lẻ.

số lẻ là một hàm có dấu hiệu thay đổi khi dấu hiệu bị thay đổi x.

Nói cách khác, đối với bất kỳ giá trị nào x bình đẳng f(–x) = –f(x).

Đồ thị của một hàm số lẻ đối xứng với gốc tọa độ (Hình 2).

Ví dụ về một hàm lẻ:

y= tội lỗi x

y = x 3

y = –x 3

Giải trình:

Lấy hàm y = - x 3 .
Tất cả các giá trị tại nó sẽ có một dấu trừ. Đó là dấu hiệu xảnh hưởng đến dấu hiệu y. Nếu biến độc lập là một số dương thì hàm số dương; nếu biến số độc lập là một số âm thì hàm số âm: f(–x) = –f(x).
Đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ. Đây là một chức năng kỳ lạ.

Tính chất của hàm chẵn và hàm lẻ:

GHI CHÚ:

Không phải tất cả các tính năng là chẵn hoặc lẻ. Có những chức năng không chịu sự phân cấp như vậy. Ví dụ, hàm gốc tại = √X không áp dụng cho các hàm chẵn hoặc lẻ (Hình 3). Khi liệt kê các thuộc tính của các hàm như vậy, cần đưa ra một mô tả thích hợp: không chẵn cũng không lẻ.

Các chức năng định kỳ.

Như bạn đã biết, tính tuần hoàn là sự lặp lại của các quá trình nhất định trong một khoảng thời gian nhất định. Các hàm mô tả các quá trình này được gọi là chức năng tuần hoàn. Đó là, đây là những hàm mà trong đồ thị có các phần tử lặp lại ở những khoảng số nhất định.

Làm thế nào để chèn các công thức toán học trên trang web?

Nếu bạn cần thêm một hoặc hai công thức toán học vào trang web, thì cách dễ nhất để thực hiện việc này như được mô tả trong bài viết: các công thức toán học dễ dàng được chèn vào trang web dưới dạng hình ảnh mà Wolfram Alpha tự động tạo ra. Ngoài sự đơn giản, phương pháp phổ quát này sẽ giúp cải thiện khả năng hiển thị của trang web trong các công cụ tìm kiếm. Nó đã hoạt động trong một thời gian dài (và tôi nghĩ rằng nó sẽ hoạt động mãi mãi), nhưng nó đã lỗi thời về mặt đạo đức.

Mặt khác, nếu bạn liên tục sử dụng các công thức toán học trên trang web của mình, thì tôi khuyên bạn nên sử dụng MathJax, một thư viện JavaScript đặc biệt hiển thị ký hiệu toán học trong trình duyệt web sử dụng đánh dấu MathML, LaTeX hoặc ASCIIMathML.

Có hai cách để bắt đầu sử dụng MathJax: (1) sử dụng mã đơn giản, bạn có thể nhanh chóng kết nối tập lệnh MathJax với trang web của mình, tập lệnh này sẽ được tự động tải từ máy chủ từ xa vào đúng thời điểm (danh sách các máy chủ); (2) tải tập lệnh MathJax từ máy chủ từ xa lên máy chủ của bạn và kết nối nó với tất cả các trang trên trang web của bạn. Phương pháp thứ hai phức tạp hơn và tốn thời gian hơn và sẽ cho phép bạn tăng tốc độ tải các trang trên trang web của mình và nếu máy chủ MathJax mẹ tạm thời không khả dụng vì lý do nào đó, điều này sẽ không ảnh hưởng đến trang web của bạn theo bất kỳ cách nào. Mặc dù có những ưu điểm này, tôi đã chọn phương pháp đầu tiên, vì nó đơn giản hơn, nhanh hơn và không đòi hỏi kỹ năng kỹ thuật. Hãy làm theo ví dụ của tôi, và trong vòng 5 phút, bạn sẽ có thể sử dụng tất cả các tính năng của MathJax trên trang web của mình.

Bạn có thể kết nối tập lệnh thư viện MathJax từ một máy chủ từ xa bằng hai tùy chọn mã được lấy từ trang web MathJax chính hoặc từ trang tài liệu:

Một trong những tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã của trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và hoặc ngay sau thẻ . Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản mới nhất của MathJax. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, thì nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn dán mã thứ hai, thì các trang sẽ tải chậm hơn, nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật của MathJax.

Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, thêm tiện ích con được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích con gần hơn ở đầu mẫu (nhân tiện, điều này không cần thiết, vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Đó là tất cả. Bây giờ hãy học cú pháp đánh dấu MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng để nhúng các công thức toán học vào các trang web của mình.

Fractal nào cũng được xây dựng theo một quy tắc nhất định, được áp dụng nhất quán không giới hạn số lần. Mỗi lần như vậy được gọi là một lần lặp.

Thuật toán lặp lại để xây dựng một miếng bọt biển Menger khá đơn giản: hình lập phương ban đầu có cạnh 1 được chia bởi các mặt phẳng song song với các mặt của nó thành 27 hình lập phương bằng nhau. Một khối ở giữa và 6 khối liền kề với nó dọc theo các mặt được loại bỏ khỏi nó. Nó chỉ ra một tập hợp bao gồm 20 hình khối nhỏ hơn còn lại. Làm tương tự với mỗi hình lập phương này, ta được một tập hợp gồm 400 hình lập phương nhỏ hơn. Tiếp tục quá trình này vô thời hạn, chúng ta nhận được miếng bọt biển Menger.

Sự phụ thuộc của biến y vào biến x, trong đó mỗi giá trị của x ứng với một giá trị duy nhất của y được gọi là một hàm số. Kí hiệu là y = f (x). Mỗi hàm có một số thuộc tính cơ bản, chẳng hạn như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và các tính chất khác.

Xem xét thuộc tính chẵn lẻ chi tiết hơn.

Hàm y = f (x) được gọi là ngay cả khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

2. Giá trị của hàm số tại điểm x thuộc khoảng của hàm số phải bằng giá trị của hàm số tại điểm -x. Nghĩa là, đối với bất kỳ điểm x nào, từ miền của hàm số, đẳng thức f (x) \ u003d f (-x) sau đây phải đúng.

Đồ thị của một hàm chẵn

Nếu bạn xây dựng một đồ thị của một hàm số chẵn, nó sẽ đối xứng qua trục y.

Ví dụ, hàm số y = x ^ 2 chẵn. Hãy cùng kiểm tra nào. Miền xác định là toàn bộ trục số, nghĩa là đối xứng qua điểm O.

Lấy x = 3 tùy ý. f (x) = 3 ^ 2 = 9.

f (-x) = (- 3) ^ 2 = 9. Do đó, f (x) = f (-x). Vì vậy, cả hai điều kiện đều được thỏa mãn đối với chúng ta, có nghĩa là hàm là số chẵn. Dưới đây là đồ thị của hàm số y = x ^ 2.

Hình bên cho thấy đồ thị đối xứng qua trục y.

Đồ thị của một hàm số lẻ

Hàm số y = f (x) được gọi là hàm lẻ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. Miền của hàm số đã cho phải đối xứng với điểm O. Tức là nếu điểm a nào đó thuộc miền hàm số thì điểm -a tương ứng cũng phải thuộc miền hàm số đã cho.

2. Đối với điểm x bất kỳ, thuộc miền của hàm số, đẳng thức f (x) \ u003d -f (x) sau đây phải thỏa mãn.

Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua điểm O - gốc tọa độ. Ví dụ, hàm y = x ^ 3 là hàm lẻ. Hãy cùng kiểm tra nào. Miền xác định là toàn bộ trục số, nghĩa là đối xứng qua điểm O.

Lấy x = 2 tùy ý. f (x) = 2 ^ 3 = 8.

f (-x) = (- 2) ^ 3 = -8. Do đó f (x) = -f (x). Do đó, cả hai điều kiện đều được thỏa mãn đối với chúng ta, có nghĩa là hàm là số lẻ. Dưới đây là đồ thị của hàm số y = x ^ 3.

Hình bên ta thấy rõ rằng hàm số lẻ y = x ^ 3 đối xứng với gốc tọa độ.

Chuyển đổi biểu đồ.

Mô tả bằng lời về chức năng.

Cách đồ họa.

Cách thức đồ họa để chỉ định một hàm là cách minh họa rõ ràng nhất và thường được sử dụng trong kỹ thuật. Trong phân tích toán học, cách thức đồ họa để xác định các hàm được sử dụng như một minh họa.

Đồ thị hàm số f là tập hợp tất cả các điểm (x; y) của mặt phẳng tọa độ, trong đó y = f (x) và x “chạy qua” toàn bộ miền của hàm đã cho.

Tập hợp con của mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số nào đó nếu nó có nhiều nhất một điểm chung với bất kỳ đường thẳng nào song song với trục Oy.

Ví dụ. Các hình dưới đây có phải là đồ thị của hàm số không?

Ưu điểm của một nhiệm vụ đồ họa là sự rõ ràng của nó. Bạn có thể ngay lập tức thấy hàm hoạt động như thế nào, tăng ở đâu, giảm ở đâu. Từ đồ thị, bạn có thể tìm ra ngay một số đặc điểm quan trọng của hàm số.

Nói chung, các cách phân tích và đồ thị để xác định một hàm đi đôi với nhau. Làm việc với công thức giúp xây dựng biểu đồ. Và biểu đồ thường đề xuất các giải pháp mà bạn sẽ không nhận thấy trong công thức.

Hầu như bất kỳ học sinh nào cũng biết ba cách để xác định một hàm mà chúng tôi vừa trình bày.

Chúng ta hãy thử trả lời câu hỏi: "Có những cách nào khác để xác định một hàm không?"

Có một cách như vậy.

Một hàm có thể được định nghĩa khá rõ ràng bằng lời.

Ví dụ, hàm y = 2x có thể được định nghĩa bằng cách mô tả bằng lời sau: mỗi giá trị thực của đối số x được gán giá trị nhân đôi của nó. Quy tắc được thiết lập, chức năng được thiết lập.

Hơn nữa, có thể chỉ định một hàm bằng lời nói, điều này là cực kỳ khó, nếu không muốn nói là không thể, để chỉ định bằng một công thức.

Ví dụ: mỗi giá trị của đối số tự nhiên x được liên kết với tổng các chữ số tạo nên giá trị của x. Ví dụ, nếu x = 3, thì y = 3. Nếu x = 257 thì y = 2 + 5 + 7 = 14. Vân vân. Rất khó để viết ra điều này trong một công thức. Nhưng cái bàn rất dễ chế tạo.

Phương pháp miêu tả bằng lời là một phương pháp khá ít được sử dụng. Nhưng đôi khi nó xảy ra.

Nếu tồn tại luật tương ứng 1-1 giữa x và y thì có một hàm số. Định luật nào, dưới dạng nào mà nó được thể hiện - bằng công thức, máy tính bảng, đồ thị, từ ngữ - không làm thay đổi bản chất của vấn đề.

Xem xét các hàm có miền xác định là đối xứng với gốc tọa độ, tức là cho bất cứ ai X số ngoài phạm vi (- X) cũng thuộc miền định nghĩa. Trong số các chức năng này có chẵn và lẻ.

Sự định nghĩa. Hàm f được gọi là thậm chí, nếu có X ra khỏi miền của nó

Ví dụ. Xem xét chức năng

Cô ấy thậm chí. Hãy cùng kiểm tra nào.

Cho bất cứ ai X sự bình đẳng

Vì vậy, cả hai điều kiện đều được thỏa mãn đối với chúng ta, có nghĩa là hàm là số chẵn. Dưới đây là đồ thị của hàm này.

Sự định nghĩa. Hàm f được gọi là số lẻ, nếu có X ra khỏi miền của nó

Ví dụ. Xem xét chức năng

Cô ấy thật kỳ quặc. Hãy cùng kiểm tra nào.

Miền xác định là toàn bộ trục số, có nghĩa là nó đối xứng về điểm (0; 0).

Cho bất cứ ai X sự bình đẳng

Do đó, cả hai điều kiện đều được thỏa mãn đối với chúng ta, có nghĩa là hàm là số lẻ. Dưới đây là đồ thị của hàm này.

Đồ thị trong hình thứ nhất và thứ ba đối xứng nhau về trục y, và đồ thị trong hình thứ hai và thứ tư đối xứng nhau về gốc tọa độ.

Hàm số nào có đồ thị trong hình bên là hàm số chẵn, hàm số nào là hàm số lẻ?

Các hàm chẵn và lẻ là một trong những tính chất chính của nó, và tính chẵn lẻ chiếm một phần ấn tượng trong khóa học toán học ở trường. Nó quyết định phần lớn bản chất của hoạt động của hàm và tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho việc xây dựng đồ thị tương ứng.

Hãy để chúng tôi xác định tính chẵn lẻ của hàm. Nói chung, hàm đang nghiên cứu được coi là ngay cả khi đối với các giá trị đối lập của biến độc lập (x) nằm trong miền xác định của nó, các giá trị tương ứng của y (hàm) bằng nhau.

Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa chặt chẽ hơn. Xét một số hàm f (x), được xác định trong miền D. Nó sẽ là thậm chí nếu với bất kỳ điểm x nào nằm trong miền xác định:

• -x (dấu chấm đối diện) cũng nằm trong phạm vi đã cho,

• f (-x) = f (x).

Từ định nghĩa trên, điều kiện cần thiết cho miền xác định của một hàm số như vậy tuân theo, đó là tính đối xứng đối với điểm O, là gốc tọa độ, vì nếu một điểm b nào đó nằm trong miền xác định của một hàm chẵn thì điểm - b tương ứng cũng nằm trong miền này. Từ đó rút ra kết luận sau: một hàm số chẵn có dạng đối xứng với trục hoành (Oy).

Làm thế nào để xác định tính chẵn lẻ của một hàm trong thực tế?

Giả sử nó được cho bằng công thức h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). Sau thuật toán theo sau trực tiếp từ định nghĩa, trước hết chúng ta nghiên cứu miền định nghĩa của nó. Rõ ràng, nó được xác định cho tất cả các giá trị của đối số, nghĩa là điều kiện đầu tiên được thỏa mãn.

Bước tiếp theo là thay thế đối số (x) bằng giá trị đối lập của nó (-x).
Chúng tôi nhận được:
h (-x) = 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Vì phép cộng thỏa mãn định luật giao hoán (phép dời hình), hiển nhiên h (-x) = h (x) và sự phụ thuộc hàm đã cho là chẵn.

Hãy kiểm tra tính chẵn của hàm h (x) = 11 ^ x-11 ^ (- x). Theo cùng một thuật toán, chúng ta nhận được h (-x) = 11 ^ (- x) -11 ^ x. Lấy ra trừ đi, kết quả là chúng ta có
h (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (- x)) = - h (x). Do đó h (x) là số lẻ.

Nhân đây, cũng cần nhắc lại rằng có những hàm không thể phân loại theo các tiêu chí này, chúng được gọi là không chẵn cũng không lẻ.

Các hàm chẵn có một số thuộc tính thú vị:

• kết quả của việc bổ sung các chức năng tương tự, một chức năng chẵn thu được;
• kết quả của việc trừ các hàm như vậy, thu được một số chẵn;
• thậm chí, thậm chí thậm chí;
• kết quả của việc nhân hai hàm như vậy, thu được một hàm chẵn;
• kết quả của phép nhân các hàm lẻ và chẵn, thu được một số lẻ;
• kết quả của phép chia các hàm lẻ và hàm chẵn, thu được một hàm lẻ;
• đạo hàm của một hàm như vậy là lẻ;
• Nếu chúng ta bình phương một hàm lẻ, chúng ta nhận được một hàm chẵn.

Tính chẵn lẻ của một hàm có thể được sử dụng để giải phương trình.

Để giải một phương trình như g (x) = 0, trong đó vế trái của phương trình là một hàm chẵn, chỉ cần tìm nghiệm của nó cho các giá trị không âm của biến là đủ. Các nghiệm thu được của phương trình phải được kết hợp với các số đối nhau. Một trong số chúng phải được xác minh.

Tương tự được sử dụng thành công để giải quyết các vấn đề không chuẩn với một tham số.

Ví dụ, có giá trị nào cho tham số a làm cho phương trình 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 có ba nghiệm không?

Nếu chúng ta tính đến rằng biến số đưa vào phương trình theo lũy thừa chẵn, thì rõ ràng rằng việc thay thế x bằng -x sẽ không thay đổi phương trình đã cho. Theo đó, nếu một số nhất định là gốc của nó, thì số ngược lại cũng vậy. Kết luận là hiển nhiên: các nghiệm của phương trình, khác với 0, được bao gồm trong tập các nghiệm của nó theo "cặp".

Rõ ràng là bản thân số 0 thì không, tức là số nghiệm của một phương trình như vậy chỉ có thể là số chẵn và đương nhiên, đối với bất kỳ giá trị nào của tham số, nó không thể có ba nghiệm nguyên.

Nhưng số nghiệm của phương trình 2 ^ x + 2 ^ (- x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 có thể là số lẻ và với bất kỳ giá trị nào của tham số. Thật vậy, dễ dàng kiểm tra rằng tập nghiệm của một phương trình đã cho có chứa các nghiệm theo "cặp" hay không. Hãy kiểm tra xem 0 có phải là một gốc hay không. Khi thay nó vào phương trình, ta được 2 = 2. Như vậy, ngoài "cặp" 0 cũng là một gốc, điều này chứng tỏ số lẻ của chúng.