Hàm lũy thừa y x. Hàm lũy thừa với số mũ vô tỉ

Nhắc lại các tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm.

Đối với n chẵn,:

Ví dụ về hàm:

Mọi đồ thị của hàm số đó đều đi qua hai điểm cố định: (1; 1), (-1; 1). Một đặc điểm của các hàm loại này là tính chẵn lẻ của chúng, các đồ thị đối xứng với trục op-y.

Cơm. 1. Đồ thị của một hàm

Đối với n lẻ,:

Ví dụ về hàm:

Mọi đồ thị của hàm số đó đều đi qua hai điểm cố định: (1; 1), (-1; -1). Đặc điểm của các hàm loại này là tính kỳ dị, đồ thị đối xứng với gốc tọa độ.

Cơm. 2. Đồ thị hàm số

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa chính.

Bậc của một số không âm a với một số mũ hữu tỉ dương được gọi là một hợp số.

Bậc của một số dương a với một số mũ hữu tỉ âm được gọi là một hợp số.

Đối với các bình đẳng sau:

Ví dụ: ; - biểu thức không tồn tại theo định nghĩa của bậc với số mũ hữu tỉ âm; tồn tại, vì số mũ là một số nguyên,

Chúng ta hãy chuyển sang việc xem xét các hàm lũy thừa với số mũ âm hữu tỉ.

Ví dụ:

Để vẽ hàm này, bạn có thể lập một bảng. Chúng ta sẽ làm ngược lại: đầu tiên, chúng ta sẽ xây dựng và nghiên cứu đồ thị của mẫu số - chúng ta biết điều đó (Hình 3).

Cơm. 3. Đồ thị của một hàm

Đồ thị của hàm số mẫu số đi qua một điểm cố định (1; 1). Khi dựng đồ thị của nguyên hàm thì điểm này vẫn giữ nguyên, khi gốc cũng có xu hướng bằng 0 thì hàm có xu hướng về vô cùng. Và ngược lại, khi x có xu hướng đến vô cùng, hàm có xu hướng bằng không (Hình 4).

Cơm. 4. Đồ thị hàm số

Hãy xem xét thêm một hàm từ họ các hàm đang nghiên cứu.

Điều quan trọng là theo định nghĩa

Xét đồ thị của hàm số ở mẫu số :, Ta biết đồ thị của hàm số này tăng theo miền xác định của nó và đi qua điểm (1; 1) (Hình 5).

Cơm. 5. Đồ thị hàm số

Khi dựng đồ thị của nguyên hàm thì điểm (1; 1) còn lại, khi gốc cũng có xu hướng bằng 0 thì hàm có xu hướng về vô cùng. Và ngược lại, khi x có xu hướng đến vô cùng, hàm có xu hướng bằng không (Hình 6).

Cơm. 6. Đồ thị hàm số

Các ví dụ được xem xét giúp hiểu cách đồ thị đi như thế nào và các tính chất của hàm đang nghiên cứu là gì - một hàm có số mũ hữu tỉ âm.

Đồ thị hàm số thuộc họ này đi qua điểm (1; 1) thì hàm số giảm trên toàn miền xác định.

Phạm vi chức năng:

Hàm không bị giới hạn từ bên trên, nhưng bị giới hạn từ bên dưới. Hàm không có giá trị lớn nhất cũng không nhỏ nhất.

Hàm là liên tục, nó nhận tất cả các giá trị dương từ 0 đến cộng vô cùng.

Hàm Convex Down (Hình 15.7)

Các điểm A và B được lấy trên đường cong, một đoạn thẳng được vẽ qua chúng, toàn bộ đường cong nằm dưới đoạn thẳng, điều kiện này được thỏa mãn đối với hai điểm tùy ý trên đường cong, do đó hàm là lồi xuống. Cơm. 7.

Cơm. 7. Độ lồi của một hàm

Điều quan trọng là phải hiểu rằng các hàm của họ này được giới hạn từ bên dưới bởi 0, nhưng chúng không có giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 1 - tìm cực đại và cực tiểu của hàm số trên khoảng)