Tọa độ trên mặt phẳng tọa độ. Video bài học "Mặt phẳng tọa độ

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 hoặc x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Tất nhiên, sau khi học cách giải các phương trình ở cấp độ một, tôi muốn làm việc với những người khác, đặc biệt là với các phương trình cấp độ hai, được gọi là bậc hai.

Phương trình bậc hai là phương trình loại ax² + bx + c = 0, trong đó biến là x, các số sẽ là - a, b, c, trong đó a không bằng không.

Nếu trong một phương trình bậc hai, một hoặc hệ số kia (c hoặc b) bằng 0, thì phương trình này sẽ quy về một phương trình bậc hai không đầy đủ.

Làm thế nào để giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh nếu từ trước đến nay học sinh chỉ biết giải phương trình bậc nhất? Xét phương trình bậc hai không đầy đủ các loại khác nhau và những cách dễ dàng để giải quyết chúng.

a) Nếu hệ số c bằng 0 và hệ số b không bằng 0 thì ax ² + bx + 0 = 0 được rút gọn thành phương trình có dạng ax ² + bx = 0.

Để giải một phương trình như vậy, bạn cần biết công thức giải một phương trình không đầy đủ phương trình bậc hai, bao gồm việc phân tích phần bên trái của nó thành các thừa số và sau đó sử dụng điều kiện rằng tích bằng không.

Ví dụ: 5x ² - 20x \ u003d 0. Chúng tôi phân tích vế trái của phương trình thành các thừa số, trong khi thực hiện như bình thường phép toán: lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc

5x (x - 4) = 0

Chúng tôi sử dụng điều kiện rằng các sản phẩm bằng không.

5 x = 0 hoặc x - 4 = 0

Câu trả lời sẽ là: gốc đầu tiên là 0; căn thứ hai là 4.

b) Nếu b \ u003d 0 và số hạng tự do không bằng 0, thì phương trình ax ² + 0x + c \ u003d 0 được rút gọn thành một phương trình có dạng ax ² + c \ u003d 0. Giải phương trình bằng hai các cách: a) Rút gọn đa thức của phương trình ở vế trái thành nhân tử; b) sử dụng các tính chất của số học căn bậc hai. Một phương trình như vậy được giải bằng một trong các phương pháp, ví dụ:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Câu trả lời là: gốc đầu tiên là 5/2; gốc thứ hai là - 5/2.

c) Nếu b bằng 0 và c bằng 0 thì ax² + 0 + 0 = 0 rút gọn thành phương trình có dạng ax² = 0. Trong phương trình đó, x sẽ bằng 0.

Như bạn thấy, phương trình bậc hai không hoàn chỉnh có thể có nhiều nhất hai nghiệm nguyên.

Phương trình bậc hai - dễ giải! * Hơn nữa trong văn bản "KU". Các bạn, có vẻ như trong toán học có thể dễ dàng hơn việc giải một phương trình như vậy. Nhưng có điều gì đó nói với tôi rằng nhiều người có vấn đề với anh ấy. Tôi quyết định xem Yandex cung cấp bao nhiêu lần hiển thị cho mỗi yêu cầu mỗi tháng. Đây là những gì đã xảy ra, hãy xem:

Nó có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là khoảng 70.000 người mỗi tháng đang tìm kiếm thông tin này, mùa hè này có liên quan gì đến nó, và điều gì sẽ xảy ra trong số năm học- yêu cầu sẽ lớn gấp đôi. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên, vì những chàng trai, cô gái đã ra trường từ lâu và chuẩn bị cho kỳ thi đang tìm kiếm thông tin này, và học sinh cũng đang cố gắng làm mới trí nhớ của mình.

Mặc dù thực tế là có rất nhiều trang web hướng dẫn cách giải phương trình này, tôi vẫn quyết định đóng góp và xuất bản tài liệu. Thứ nhất, tôi muốn khách truy cập đến trang web của tôi theo yêu cầu này; thứ hai, trong các bài báo khác, khi bài phát biểu “KU” xuất hiện, tôi sẽ đưa ra một liên kết đến bài viết này; thứ ba, tôi sẽ cho bạn biết thêm một chút về giải pháp của anh ấy hơn là những gì thường được nêu trên các trang web khác. Bắt đầu nào! Nội dung của bài báo:

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng:

trong đó hệ số a,bvà với các số tùy ý, với ≠ 0.

TẠI khóa học ở trường vật liệu được đưa vào mẫu sau- theo điều kiện, các phương trình được chia thành ba loại:

1. Có hai gốc.

2. * Chỉ có một gốc.

3. Không có rễ. Điều đáng chú ý ở đây là chúng không có rễ thật

Rễ được tính như thế nào? Chỉ cần!

Chúng tôi tính toán phân biệt. Dưới từ "khủng khiếp" này là một công thức rất đơn giản:

Các công thức gốc như sau:

* Các công thức này phải thuộc lòng.

Bạn có thể ngay lập tức viết ra và quyết định:

Ví dụ:

1. Nếu D> 0 thì phương trình có hai nghiệm.

2. Nếu D = 0 thì phương trình có một nghiệm nguyên.

3. Nếu D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Hãy xem xét phương trình:

Trong trường hợp này, khi số phân biệt bằng 0, khóa học nói rằng thu được một gốc, ở đây nó bằng chín. Đúng vậy, nhưng ...

Biểu diễn này hơi không chính xác. Trên thực tế, có hai gốc rễ. Vâng, vâng, đừng ngạc nhiên, hóa ra là hai gốc bằng nhau, và để chính xác về mặt toán học, hai gốc phải được viết trong câu trả lời:

x 1 = 3 x 2 = 3

Nhưng điều này là như vậy - một sự lạc đề nhỏ. Ở trường, bạn có thể viết ra và nói rằng chỉ có một gốc.

Bây giờ là ví dụ sau:

Như chúng ta biết, gốc của một số âm không được trích xuất, vì vậy các giải pháp trong trường hợp này không.

Đó là toàn bộ quá trình quyết định.

Hàm bậc hai.

Đây là cách giải pháp trông như thế nào về mặt hình học. Đây là điều cần hiểu vô cùng quan trọng (sắp tới, trong một số bài viết, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết cách giải của bất phương trình bậc hai).

Đây là một chức năng của biểu mẫu:

trong đó x và y là các biến

a, b, c là các số đã cho, trong đó a ≠ 0

Biểu đồ là một parabol:

Có nghĩa là, bằng cách giải một phương trình bậc hai với "y" bằng 0, chúng ta tìm thấy các giao điểm của parabol với trục x. Có thể có hai trong số các điểm này (điểm phân biệt là dương), một (điểm phân biệt bằng 0) hoặc không có (điểm phân biệt là tiêu cực). Tìm hiểu thêm về hàm bậc hai Bạn có thể xem bài báo của Inna Feldman.

Hãy xem xét các ví dụ:

Ví dụ 1: Quyết định Gấp đôi 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Đáp số: x 1 = 8 x 2 = -12

* Bạn có thể ngay lập tức rời đi và bên phải chia phương trình cho 2, nghĩa là, đơn giản hóa nó. Các tính toán sẽ dễ dàng hơn.

Ví dụ 2: Quyết định x2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = -22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Chúng tôi nhận được rằng x 1 \ u003d 11 và x 2 \ u003d 11

Trong câu trả lời, cho phép viết x = 11.

Đáp số: x = 11

Ví dụ 3: Quyết định x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Số phân biệt là số âm, không có nghiệm trong số thực.

Trả lời: không có giải pháp

Người phân biệt là tiêu cực. Có một giải pháp!

Ở đây chúng ta sẽ nói về việc giải phương trình trong trường hợp khi nhận được một phân biệt âm. Bạn có biết gì về số phức? Tôi sẽ không đi vào chi tiết ở đây về lý do tại sao và ở đâu chúng phát sinh cũng như vai trò và sự cần thiết cụ thể của chúng trong toán học là gì, đây là một chủ đề cho một bài báo lớn riêng biệt.

Khái niệm về một số phức.

Một chút lý thuyết.

Số phức z là một số có dạng

z = a + bi

a và b ở đâu số thực, i là đơn vị được gọi là ảo.

a + bi là một SỐ DUY NHẤT, không phải là một phép cộng.

Đơn vị ảo bằng căn của trừ một:

Bây giờ hãy xem xét phương trình:

Nhận hai gốc liên hợp.

Bất phương trình bậc hai.

Hãy xem xét các trường hợp đặc biệt, đây là khi hệ số "b" hoặc "c" bằng 0 (hoặc cả hai đều bằng 0). Chúng được giải quyết một cách dễ dàng mà không có bất kỳ sự phân biệt đối xử nào.

Trường hợp 1. Hệ số b = 0.

Phương trình có dạng:

Hãy biến đổi:

Ví dụ:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Trường hợp 2. Hệ số c = 0.

Phương trình có dạng:

Biến đổi, phân tích nhân tử:

* Tích bằng không khi có ít nhất một trong các thừa số bằng không.

Ví dụ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 hoặc x – 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Trường hợp 3. Hệ số b = 0 và c = 0.

Ở đây rõ ràng là nghiệm của phương trình sẽ luôn là x = 0.

Các thuộc tính hữu ích và các mẫu của hệ số.

Có những tính chất cho phép giải phương trình với hệ số lớn.

mộtx 2 + bx+ c=0 bình đẳng

một + b+ c = 0, sau đó

- nếu đối với các hệ số của phương trình mộtx 2 + bx+ c=0 bình đẳng

một+ với =b, sau đó

Các thuộc tính này giúp một loại nhất định các phương trình.

Ví dụ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Tổng các hệ số là 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, vì vậy

Ví dụ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Bình đẳng một+ với =b, có nghĩa

Tính quy luật của các hệ số.

1. Nếu trong phương trình ax 2 + bx + c = 0, hệ số "b" bằng (a 2 +1) và hệ số "c" bằng số bằng hệ số"a" thì các gốc của nó bằng

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \ u003d 0 \ u003d \ u003e x 1 \ u003d -a x 2 \ u003d -1 / a.

Ví dụ. Xét phương trình 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 \ u003d -6 x 2 \ u003d -1/6.

2. Nếu trong phương trình ax 2 - bx + c \ u003d 0, hệ số "b" là (a 2 +1) và hệ số "c" bằng số bằng hệ số "a", thì nghiệm nguyên của nó là

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \ u003d 0 \ u003d \ u003e x 1 \ u003d a x 2 \ u003d 1 / a.

Ví dụ. Xét phương trình 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Nếu trong phương trình ax 2 + bx - c = 0 hệ số "b" bằng (a 2 - 1), và hệ số "c" về số bằng hệ số "a", thì các gốc của nó bằng nhau

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \ u003d 0 \ u003d \ u003e x 1 \ u003d - a x 2 \ u003d 1 / a.

Ví dụ. Xét phương trình 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \ u003d - 17 x 2 \ u003d 1/17.

4. Nếu trong phương trình ax 2 - bx - c \ u003d 0, hệ số "b" bằng (a 2 - 1) và hệ số c về mặt số bằng hệ số "a", thì nghiệm nguyên của nó là

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \ u003d 0 \ u003d \ u003e x 1 \ u003d a x 2 \ u003d - 1 / a.

Ví dụ. Xét phương trình 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \ u003d 10 x 2 \ u003d - 1/10

Định lý Vieta.

Định lý Vieta được đặt tên theo Nhà toán học Pháp François Vieta. Sử dụng định lý Vieta, người ta có thể biểu diễn tổng và tích của các nghiệm nguyên của một KU tùy ý dưới dạng các hệ số của nó.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Tóm lại, số 14 chỉ cho 5 và 9. Đây là các gốc. Với một kỹ năng nhất định, sử dụng định lý đã trình bày, bạn có thể giải ngay lập tức nhiều phương trình bậc hai bằng miệng.

Hơn nữa, định lý Vieta. thuận tiện vì sau khi giải phương trình bậc hai theo cách thông thường (thông qua phép phân biệt) ta có thể kiểm tra được các nghiệm nguyên. Tôi khuyên bạn nên làm điều này mọi lúc.

PHƯƠNG THỨC CHUYỂN

Với phương pháp này, hệ số "a" được nhân với số hạng tự do, như thể được "chuyển" sang nó, đó là lý do tại sao nó được gọi là phương thức chuyển nhượng. Phương pháp này được sử dụng khi dễ dàng tìm nghiệm nguyên của phương trình bằng cách sử dụng định lý Vieta và quan trọng nhất là khi số phân biệt là một bình phương chính xác.

Nếu một một± b + c≠ 0, thì kỹ thuật chuyển giao được sử dụng, ví dụ:

2X 2 – 11x + 5 = 0 (1) => X 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Theo định lý Vieta trong phương trình (2), dễ dàng xác định rằng x 1 \ u003d 10 x 2 \ u003d 1

Các nghiệm thu được của phương trình phải chia hết cho 2 (vì cả hai được "ném" từ x 2), chúng ta nhận được

x 1 \ u003d 5 x 2 \ u003d 0,5.

Cơ sở lý luận là gì? Xem những gì đang xảy ra.

Phân biệt của phương trình (1) và (2) là:

Nếu chúng ta nhìn vào gốc của các phương trình, chúng ta chỉ nhận được mẫu số khác nhau, và kết quả phụ thuộc vào hệ số tại x 2:

Rễ thứ hai (đã biến đổi) lớn gấp 2 lần.

Do đó, chúng tôi chia kết quả cho 2.

* Nếu chúng ta cuộn ba cùng một loại, thì chúng ta chia kết quả cho 3, v.v.

Đáp số: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-tức là và kỳ thi.

Tôi sẽ nói ngắn gọn về tầm quan trọng của nó - BẠN NÊN CÓ THỂ QUYẾT ĐỊNH nhanh chóng và không cần suy nghĩ, bạn cần phải biết công thức của các căn và phân biệt thuộc lòng. Rất nhiều nhiệm vụ là một phần của nhiệm vụ SỬ DỤNG là để giải một phương trình bậc hai (bao gồm cả hình học).

Điều đáng chú ý!

1. Dạng của phương trình có thể là "ẩn". Ví dụ: có thể có mục nhập sau:

15+ 9x 2 - 45x = 0 hoặc 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 hoặc 15 -5x + 10x 2 = 0.

Cần đưa về dạng chuẩn (để không bị nhầm lẫn khi giải).

2. Hãy nhớ rằng x là một giá trị chưa biết và nó có thể được ký hiệu bằng bất kỳ chữ cái nào khác - t, q, p, h và các chữ cái khác.

Hơn một cách đơn giản. Để thực hiện việc này, hãy lấy z ra khỏi dấu ngoặc. Bạn nhận được: z (az + b) = 0. Các thừa số có thể được viết: z = 0 và az + b = 0, vì cả hai đều có thể cho kết quả bằng không. Trong kí hiệu az + b = 0, chúng ta dời dấu thứ hai sang phải bằng một dấu khác. Từ đây ta nhận được z1 = 0 và z2 = -b / a. Đây là những gốc rễ của bản gốc.

Nếu đó là phương trình không đầy đủ có dạng az² + c = 0, trong trường hợp này chúng được tìm thấy bằng cách chuyển số hạng tự do sang vế phải của phương trình. Cũng thay đổi dấu hiệu của nó. Bạn nhận được bản ghi az² \ u003d -s. Biểu thị z² = -c / a. Nắm bắt gốc rễ và viết ra hai giải pháp - tích cực và câu khẳng định căn bậc hai.

Ghi chú

Nếu có trong phương trình tỷ lệ cược phân số nhân toàn bộ phương trình với thừa số thích hợp để loại bỏ các phân số.

Kiến thức về cách giải phương trình bậc hai là cần thiết cho cả học sinh và sinh viên, đôi khi nó có thể giúp người lớn trong cuộc sống thường ngày. Có một số một số phương pháp các giải pháp.

Giải phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng a * x ^ 2 + b * x + c = 0. Hệ số x là biến mong muốn, a, b, c - hệ số dạng số. Hãy nhớ rằng dấu "+" có thể thay đổi thành dấu "-".

Để giải phương trình này, bạn phải sử dụng định lý Vieta hoặc tìm phân biệt. Cách phổ biến nhất là tìm số phân biệt, vì đối với một số giá trị của a, b, c thì không thể sử dụng định lý Vieta.

Để tìm số phân biệt (D), bạn phải viết công thức D = b ^ 2 - 4 * a * c. Giá trị của D có thể lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng không. Nếu D lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0 thì sẽ có hai gốc, nếu D = 0 thì chỉ còn lại một gốc, chính xác hơn, ta có thể nói rằng D trong trường hợp này có hai gốc tương đương. Thay các hệ số a, b, c đã biết vào công thức và tính giá trị.

Sau khi bạn đã tìm được phân biệt, để tìm x, sử dụng các công thức: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a trong đó sqrt là hàm lấy căn bậc hai của số đã cho. Sau khi tính toán các biểu thức này, bạn sẽ tìm thấy hai nghiệm nguyên của phương trình, sau đó phương trình được coi là đã giải.

Nếu D nhỏ hơn 0, thì nó vẫn có gốc. Ở trường phần này thực tế không được nghiên cứu. Sinh viên đại học nên biết những gì đang nổi lên một số âm dưới gốc. Chúng ta loại bỏ nó bằng cách tách phần ảo, nghĩa là -1 dưới căn luôn bằng phần tử ảo "i", được nhân với căn với cùng một số dương. Ví dụ, nếu D = sqrt (-20), sau khi chuyển đổi, sẽ thu được D = sqrt (20) * i. Sau khi biến đổi này, nghiệm của phương trình được rút gọn thành cùng một nghiệm của nghiệm nguyên, như đã mô tả ở trên.

Định lý Vieta bao gồm việc lựa chọn các giá trị x (1) và x (2). Đã sử dụng hai các phương trình giống hệt nhau: x (1) + x (2) = -b; x (1) * x (2) = s. Và rất tâm điểm là dấu trước hệ số b, hãy nhớ rằng dấu này ngược lại với dấu trong phương trình. Thoạt nghe, việc tính x (1) và x (2) rất đơn giản, nhưng khi giải, bạn sẽ gặp phải một thực tế là các con số sẽ phải được chọn chính xác.

Các yếu tố để giải phương trình bậc hai

Theo các quy tắc toán học, một số có thể được tính thành nhân tử: (a + x (1)) * (b-x (2)) \ u003d 0, nếu bạn đã quản lý để biến đổi phương trình bậc hai này theo cách này bằng cách sử dụng các công thức toán học, thì vui lòng viết ra câu trả lời. x (1) và x (2) sẽ bằng các hệ số liền kề trong ngoặc, nhưng ngược dấu.

Ngoài ra, đừng quên về phương trình bậc hai không đầy đủ. Bạn có thể thiếu một số thuật ngữ, nếu vậy, thì tất cả các hệ số của nó chỉ đơn giản là bằng không. Nếu x ^ 2 hoặc x đứng trước không thì hệ số a và b bằng 1.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. một

1 Ngân sách thành phố cơ sở giáo dục trung bình trường công lập № 11

Văn bản của tác phẩm được đặt không có hình ảnh và công thức.
Phiên bản đầy đủ công việc có sẵn trong tab "Tệp công việc" ở định dạng PDF

Lịch sử của phương trình bậc hai

Babylon

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ ở mức độ một mà còn ở mức độ thứ hai trong thời cổ đại là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm diện tích. thửa đất, với sự phát triển của thiên văn học và toán học. Phương trình bậc hai đã có thể giải được khoảng 2000 năm trước Công nguyên. e. Người Babylon. Các quy tắc giải các phương trình này, được đặt ra trong các văn bản của người Babylon, về cơ bản trùng khớp với các quy tắc hiện đại, nhưng các văn bản này thiếu khái niệm về một số âm và phương pháp phổ biến nghiệm của phương trình bậc hai.

Hy Lạp cổ đại

Giải pháp của phương trình bậc hai cũng được thực hiện trong Hy Lạp cổ đại các nhà khoa học như Diophantus, Euclid và Heron. Diophantus Diophantus của Alexandria là một nhà toán học Hy Lạp cổ đại, người có lẽ sống vào thế kỷ thứ 3 sau Công Nguyên. Tác phẩm chính của Diophantus là "Số học" trong 13 cuốn sách. Euclid. Euclid là một nhà toán học Hy Lạp cổ đại, tác giả của luận thuyết lý thuyết đầu tiên về toán học đã đến với chúng ta, Heron. Heron - nhà toán học và kỹ sư người Hy Lạp lần đầu tiên đến Hy Lạp vào thế kỷ 1 sau Công Nguyên. đưa ra một cách thuần túy đại số để giải phương trình bậc hai

Ấn Độ

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn Aryabhattam, được biên soạn vào năm 499 bởi nhà toán học và thiên văn học Ấn Độ Aryabhatta. Một học giả Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), giải thích nguyên tắc chung nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn thành một hình thức kinh điển: ax2 + bх = с, a> 0. (1) Trong phương trình (1) các hệ số có thể âm. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản trùng khớp với quy tắc của chúng ta. Ở Ấn Độ, các cuộc thi công khai trong việc giải các bài toán khó diễn ra phổ biến. Trong một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ, điều sau đây được nói về các cuộc thi như vậy: "Khi mặt trời chiếu sáng các ngôi sao bằng ánh sáng rực rỡ của nó, vì vậy người đàn ông khoa học nhật thực vinh quang trong các tập hợp phổ biến, cung cấp và giải quyết các vấn đề đại số. Các nhiệm vụ thường được đặt dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học Ấn Độ nổi tiếng thế kỷ XII. Bhaskara.

"Một đàn khỉ cuồng nhiệt

Và mười hai dọc theo dây leo

Họ bắt đầu nhảy, treo cổ

Họ bình phương phần tám

Có bao nhiêu con khỉ

Vui chơi trên đồng cỏ

Bạn nói cho tôi biết, trong đàn này?

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng tác giả đã nhận thức được giá trị hai của các nghiệm thức của phương trình bậc hai. Bhaskar viết phương trình tương ứng với bài toán dưới dạng x2 - 64x = - 768 và, để hoàn thành vế trái của phương trình này thành một hình vuông, anh ta thêm 322 vào cả hai phần, sau đó nhận được: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 \ u003d 256, x - 32 \ u003d ± 16, x1 \ u003d 16, x2 \ u003d 48.

Phương trình bậc hai trong Châu Âu XVII thế kỷ

Các công thức giải phương trình bậc hai trên mô hình Al-Khorezmi ở Châu Âu lần đầu tiên được đưa ra trong "Sách Bàn tính", được viết vào năm 1202 bởi nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci. Công trình đồ sộ này, phản ánh ảnh hưởng của toán học, của cả các quốc gia Hồi giáo và Hy Lạp cổ đại, được phân biệt bởi cả sự hoàn chỉnh và rõ ràng của cách trình bày. Tác giả đã độc lập phát triển một số mới ví dụ đại số giải quyết vấn đề và là người đầu tiên ở Châu Âu tiếp cận sự ra đời của số âm. Cuốn sách của ông đã góp phần truyền bá kiến ​​thức đại số không chỉ ở Ý, mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều nhiệm vụ từ "Sách Bàn tính" đã được đưa vào hầu hết các sách giáo khoa của châu Âu thế kỷ 16 - 17. và một phần là XVIII. Suy ra công thức giải phương trình bậc hai trong nhìn chung Việt có, nhưng Việt chỉ nhận ra rễ tích cực. Các nhà toán học Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli là những nhà toán học đầu tiên của thế kỷ 16. Ngoài tính tích cực, và rễ tiêu cực. Chỉ trong thế kỷ XVII. Cảm ơn công trình của Girard, Descartes, Newton và những người khác cách nhà khoa học giải phương trình bậc hai có dạng hiện đại.

Định nghĩa phương trình bậc hai

Phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số, được gọi là phương trình bình phương.

Hệ số của một phương trình bậc hai

Các số a, b, c là hệ số của phương trình bậc 2. a là hệ số thứ nhất (trước x²), a ≠ 0; b là hệ số thứ hai (trước x); c là số hạng tự do (không có x).

Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc hai?

1. 4x² + 4x + 1 \ u003d 0; 2. 5x - 7 \ u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \ u003d 0; 4. 2 / x² + 3x + 4 = 0; 5. ¼ x² - 6x + 1 \ u003d 0; 6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 \ u003d 0; 8. x² - 1 / x \ u003d 0; 9. 2x² - x \ u003d 0; 10. x² -16 = 0; 11. 7x² + 5x = 0; 12. -8х² = 0; 13. 5x³ + 6x -8 = 0.

Các loại phương trình bậc hai

Tên	Quan điểm chung của phương trình	Tính năng (hệ số gì)	Ví dụ về phương trình
	ax2 + bx + c = 0	a, b, c - các số khác 0	1 / 3x 2 + 5x - 1 = 0
chưa hoàn thiện
			x 2 - 1 / 5x = 0
Được cho	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Một phương trình bậc hai rút gọn được gọi là, trong đó hệ số đứng đầu là bằng một. Một phương trình như vậy có thể nhận được bằng cách chia toàn bộ biểu thức cho hệ số hàng đầu một:

x 2 + px + q = 0, p = b / a, q = c / a

Một phương trình bậc hai được cho là hoàn chỉnh nếu tất cả các hệ số của nó khác không.

Một phương trình bậc hai như vậy được gọi là không đầy đủ nếu ít nhất một trong các hệ số, ngoại trừ hệ số cao nhất (hệ số thứ hai hoặc số hạng tự do), bằng không.

Các cách giải phương trình bậc hai

Tôi đường. Công thức chung để tính rễ

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai cây rìu 2 + b + c = 0 trong trường hợp chung nên sử dụng thuật toán sau:

Tính giá trị của phân thức của phương trình bậc hai: đây là biểu thức cho nó D = b 2 - 4ac

Xuất phát của công thức:

Ghi chú: Rõ ràng là công thức cho căn bậc hai là một trường hợp đặc biệt của công thức tổng quát, nó nhận được bằng cách thay hằng đẳng thức D = 0 vào nó, và kết luận về sự vắng mặt của căn thức thực tại D0, và (\ displaystyle ( sqrt (-1)) = i) = i.

Phương pháp được mô tả là phổ biến, nhưng nó không phải là phương pháp duy nhất. Giải pháp của một phương trình có thể được tiếp cận theo nhiều cách khác nhau, các tùy chọn thường phụ thuộc vào bản thân người giải. Ngoài ra, đối với điều này, một số phương pháp thường thanh lịch hơn, đơn giản hơn, ít tốn thời gian hơn so với phương pháp tiêu chuẩn.

II cách. Căn của một phương trình bậc hai với một hệ số chẵn b III cách. Giải phương trình bậc hai không hoàn chỉnh

Cách IV. Sử dụng tỷ lệ bộ phận của hệ số

Có những trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai trong đó các hệ số tỉ lệ với nhau, điều này làm cho việc giải chúng trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.

Căn của một phương trình bậc hai trong đó tổng của hệ số đứng đầu và số hạng tự do bằng hệ số thứ hai

Nếu trong một phương trình bậc hai cây rìu 2 + bx + c = 0 tổng của hệ số thứ nhất và số hạng tự do bằng hệ số thứ hai: a + b = c, thì gốc của nó là -1 và số ngược lại với hạn tự do cho hệ số hàng đầu ( -c / a).

Do đó, trước khi giải bất kỳ phương trình bậc hai nào, người ta nên kiểm tra khả năng áp dụng định lý này vào nó: so sánh tổng của hệ số đứng đầu và số hạng tự do với hệ số thứ hai.

Căn của một phương trình bậc hai có tổng tất cả các hệ số bằng 0

Nếu trong một phương trình bậc hai, tổng tất cả các hệ số của nó bằng 0, thì nghiệm nguyên của phương trình đó là 1 và tỉ số của số hạng tự do với hệ số đứng đầu ( c / a).

Do đó, trước khi giải phương trình bằng các phương pháp tiêu chuẩn, người ta nên kiểm tra tính ứng dụng của định lý này với nó: cộng tất cả các hệ số phương trình đã cho và xem liệu tổng này có bằng 0 không.

V cách. Phân tích một tam thức bình phương thành các nhân tử tuyến tính

Nếu một tam thức có dạng (kiểu hiển thị ax ^ (2) + bx + c (anot = 0)) ax 2 + bx + c (a ≠ 0) bằng cách nào đó có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các thừa số tuyến tính (kiểu hiển thị (kx + m) (lx + n) = 0) (kx + m) (lx + n), khi đó chúng ta có thể tìm nghiệm nguyên của phương trình cây rìu 2 + bx + c = 0- chúng sẽ là -m / k và n / l, bởi vì (kiểu hiển thị (kx + m) (lx + n) = 0Longleftrightarrow kx + m = 0cup lx + n = 0) (kx + m) (lx + n) = 0 kx + mUlx + n, và bằng cách giải quyết Các phương trình tuyến tính, chúng tôi nhận được ở trên. Lưu ý rằng tam thức vuông không phải lúc nào cũng được phân rã thành các thừa số tuyến tính với hệ số thực: điều này có thể thực hiện được nếu phương trình tương ứng với nó có nghiệm nguyên thực.

Xem xét một số trường hợp đặc biệt

Sử dụng công thức bình phương của tổng (hiệu)

Nếu một tam thức vuông có dạng (kiểu hiển thị (ax) ^ (2) + 2abx + b ^ (2)) ax 2 + 2abx + b 2, thì áp dụng công thức trên cho nó, chúng ta có thể nhân nó thành các thừa số tuyến tính và, do đó, hãy tìm nguồn gốc:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Lựa chọn hình vuông đầy đủ tổng (chênh lệch)

Ngoài ra, công thức đã đặt tên được sử dụng bằng phương pháp được gọi là "lựa chọn bình phương đầy đủ của tổng (hiệu số)". Liên quan đến phương trình bậc hai đã cho với ký hiệu được giới thiệu trước đó, điều này có nghĩa như sau:

Ghi chú: nếu bạn để ý công thức đã cho trùng với công thức được đề xuất trong phần “Gốc của phương trình bậc hai rút gọn”, do đó, có thể thu được từ công thức tổng quát (1) bằng cách thay thế đẳng thức a = 1. Sự kiện này không chỉ là một sự trùng hợp ngẫu nhiên: bằng phương pháp đã mô tả, sau một số suy luận bổ sung, có thể suy ra và công thức chung, cũng như để chứng minh các thuộc tính của phân biệt.

Cách VI. Sử dụng định lý Vieta trực tiếp và nghịch đảo

Định lý trực tiếp Vieta (xem bên dưới trong phần cùng tên) và định lý nghịch đảo của nó cho phép chúng ta giải các phương trình bậc hai rút gọn bằng miệng mà không cần dùng đến các phép tính khá rườm rà bằng công thức (1).

Dựa theo định lý converse, bất kỳ cặp số (number) nào (kiểu hiển thị x_ (1), x_ (2)) x 1, x 2 là nghiệm của hệ phương trình dưới đây, là nghiệm của phương trình

Trong trường hợp tổng quát, nghĩa là đối với phương trình bậc hai không rút gọn ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \ u003d -b / a, x 1 * x 2 \ u003d c / a

Một định lý trực tiếp sẽ giúp bạn chọn bằng lời các số thỏa mãn các phương trình này. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể xác định các dấu hiệu của rễ mà không cần biết chính rễ. Để làm điều này, hãy làm theo quy tắc:

1) nếu số hạng tự do là số âm, thì các gốc có dấu hiệu khác nhau, và môđun lớn nhất của rễ là dấu, dấu hiệu ngược lại hệ số thứ hai của phương trình;

2) nếu số hạng tự do là dương, thì cả hai gốc đều có cùng một dấu hiệu, và đây là dấu hiệu ngược lại của hệ số thứ hai.

Cách thứ 7. Phương thức chuyển khoản

Phương pháp được gọi là "chuyển giao" có thể làm cho nghiệm của phương trình không giảm và không biến đổi về dạng phương trình rút gọn với hệ số nguyên bằng cách chia chúng cho hệ số đứng đầu của phương trình thành nghiệm của phương trình rút gọn với số nguyên. các hệ số. Nó như sau:

Tiếp theo, phương trình được giải bằng miệng theo cách được mô tả ở trên, sau đó chúng trở về biến ban đầu và tìm nghiệm nguyên của phương trình (displaystyle y_ (1) = ax_ (1)) y 1 = cái rìu 1 và y 2 = cái rìu 2 . (displaystyle y_ (2) = ax_ (2))

cảm giác hình học

Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. Nghiệm (nghiệm) của phương trình bậc hai là hoành độ của các giao điểm của parabol với trục abscissa. Nếu parabol được mô tả hàm bậc hai, không giao với trục x thì phương trình không có nghiệm nguyên. Nếu parabol cắt trục x tại một điểm (tại đỉnh của parabol), phương trình có một nghiệm nguyên (phương trình cũng có hai nghiệm thức trùng nhau). Nếu parabol cắt trục x tại hai điểm thì phương trình có hai nghiệm thực (xem hình bên phải.)

Hệ số if (kiểu hiển thị a) một dương, các nhánh của parabol hướng lên trên và ngược lại. Nếu hệ số (kiểu hiển thị b) bpositive (khi tích cực (kiểu hiển thị a) một, nếu âm, ngược lại), thì đỉnh của parabol nằm trong nửa mặt phẳng bên trái và ngược lại.

Ứng dụng của phương trình bậc hai trong cuộc sống

Phương trình bậc hai là phổ biến. Nó được sử dụng trong nhiều phép tính, cấu trúc, thể thao và cả xung quanh chúng ta.

Hãy xem xét và cho một số ví dụ về ứng dụng của phương trình bậc hai.

Thể thao. Nhảy cao: trong quá trình bật nhảy lên để có cú đánh chính xác nhất vào thanh đẩy và chuyến bay cao sử dụng các phép tính liên quan đến parabol.

Ngoài ra, các tính toán tương tự cũng cần thiết trong việc ném. Phạm vi bay của một vật phụ thuộc vào một phương trình bậc hai.

Thiên văn học. Quỹ đạo của các hành tinh có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng một phương trình bậc hai.

Chuyến bay. Máy bay cất cánh là thành phần chính của chuyến bay. Ở đây tính toán được thực hiện cho một lực cản nhỏ và gia tốc cất cánh.

Ngoài ra, phương trình bậc hai được sử dụng trong các ngành kinh tế, trong các chương trình xử lý âm thanh, video, đồ họa vector và raster.

Sự kết luận

Kết quả của công việc đã làm, hóa ra phương trình bậc hai đã thu hút các nhà khoa học thời cổ đại, họ đã gặp chúng khi giải một số vấn đề và cố gắng giải chúng. Đang cân nhắc nhiều cách khác nhau giải phương trình bậc hai, tôi đi đến kết luận rằng không phải tất cả chúng đều đơn giản. Theo ý kiến ​​của tôi là nhất cách tốt nhất giải phương trình bậc hai là giải bằng công thức. Công thức rất dễ nhớ, phương pháp này là phổ quát. Giả thuyết cho rằng phương trình được sử dụng rộng rãi trong đời sống và toán học đã được khẳng định. Đã nghiên cứu chủ đề, tôi đã học được rất nhiều sự thật thú vị về phương trình bậc hai, công dụng, ứng dụng, dạng bài, cách giải. Và tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu chúng với niềm vui. Tôi hy vọng điều này sẽ giúp tôi làm tốt trong kỳ thi của mình.

Danh sách tài liệu đã sử dụng

Tư liệu trang web:

Wikipedia

Mở bài học.rf

Sổ tay toán tiểu học Vygodsky M. Ya.

Tôi hy vọng được học bài viết này, bạn sẽ học cách tìm nghiệm nguyên của một phương trình bậc hai hoàn chỉnh.

Với sự trợ giúp của phép phân biệt, chỉ phương trình bậc hai hoàn chỉnh mới được giải; để giải phương trình bậc hai không hoàn chỉnh, bạn sẽ sử dụng các phương pháp khác mà bạn sẽ tìm thấy trong bài "Giải phương trình bậc hai không hoàn chỉnh".

Phương trình bậc hai nào được gọi là hoàn chỉnh? Đây là phương trình có dạng ax 2 + b x + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c không bằng không. Vì vậy, để giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh, bạn cần tính D phân biệt.

D \ u003d b 2 - 4ac.

Tùy thuộc vào giá trị mà phân biệt có, chúng tôi sẽ viết ra câu trả lời.

Nếu số phân biệt là một số âm (D< 0),то корней нет.

Nếu số phân biệt bằng 0 thì x \ u003d (-b) / 2a. Khi người phân biệt đối xử số dương(D> 0),

thì x 1 = (-b - √D) / 2a, và x 2 = (-b + √D) / 2a.

Ví dụ. giải phương trình x 2- 4x + 4 = 0.

D \ u003d 4 2 - 4 4 \ u003d 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Trả lời: 2.

Giải phương trình 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \ u003d 1 2 - 4 2 3 \ u003d - 23

Trả lời: không có rễ.

Giải phương trình 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \ u003d 5 2 - 4 2 (-7) \ u003d 81

x 1 \ u003d (-5 - √81) / (2 2) \ u003d (-5 - 9) / 4 \ u003d - 3,5

x 2 \ u003d (-5 + √81) / (2 2) \ u003d (-5 + 9) / 4 \ u003d 1

Trả lời: - 3,5; một.

Vì vậy, hãy hình dung nghiệm của phương trình bậc hai hoàn chỉnh bằng sơ đồ trong Hình 1.

Những công thức này có thể được sử dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai hoàn chỉnh nào. Bạn chỉ cần cẩn thận phương trình đã được viết dưới dạng một đa thức chế độ xem tiêu chuẩn

một x 2 + bx + c, nếu không bạn có thể mắc lỗi. Ví dụ: khi viết phương trình x + 3 + 2x 2 = 0, bạn có thể nhầm lẫn rằng

a = 1, b = 3 và c = 2. Khi đó

D \ u003d 3 2 - 4 1 2 \ u003d 1 thì phương trình có hai nghiệm. Và điều này không đúng. (Xem giải pháp ví dụ 2 ở trên).

Do đó, nếu phương trình không được viết dưới dạng đa thức ở dạng chuẩn thì trước hết phương trình bậc hai hoàn chỉnh phải được viết dưới dạng đa thức ở dạng chuẩn (đơn thức có số mũ lớn nhất phải ở vị trí đầu tiên, nghĩa là một x 2 , sau đó với ít hơn – bx, và sau đó là điều khoản miễn phí với.

Khi giải phương trình bậc hai trên và phương trình bậc hai với hệ số chẵn cho số hạng thứ hai, cũng có thể sử dụng các công thức khác. Hãy làm quen với các công thức này. Nếu trong phương trình bậc hai đầy đủ với số hạng thứ hai hệ số là chẵn (b = 2k), thì phương trình có thể được giải bằng cách sử dụng các công thức thể hiện trong sơ đồ hình 2.

Một phương trình bậc hai hoàn chỉnh được gọi là rút gọn nếu hệ số tại x 2 bằng thống nhất và phương trình có dạng x 2 + px + q = 0. Một phương trình như vậy có thể được đưa ra để giải hoặc nhận được bằng cách chia tất cả các hệ số của phương trình cho hệ số mộtđứng ở x 2 .

Hình 3 cho thấy một sơ đồ của nghiệm của hình vuông thu gọn
các phương trình. Hãy xem xét ví dụ về ứng dụng của các công thức được thảo luận trong bài viết này.

Ví dụ. giải phương trình

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Hãy giải phương trình này bằng cách sử dụng các công thức được hiển thị trong Hình 1.

D \ u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \ u003d 36 + 72 \ u003d 108

√D = √108 = √ (36 3) = 6√3

x 1 \ u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \ u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \ u003d -1 - √ 3

x 2 \ u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \ u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \ u003d -1 + √ 3

Đáp số: -1 - √3; –1 + √3

Bạn có thể thấy rằng hệ số tại x trong phương trình này là một số chẵn, tức là, b \ u003d 6 hoặc b \ u003d 2k, khi đó k \ u003d 3. Sau đó, hãy thử giải phương trình bằng các công thức được hiển thị trong sơ đồ hình D 1 \ u003d 3 2 - 3 (- 6) = 9 + 18 = 27

√ (D 1) = √27 = √ (9 3) = 3√3

x 1 \ u003d (-3 - 3√3) / 3 \ u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \ u003d - 1 - √3

x 2 \ u003d (-3 + 3√3) / 3 \ u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \ u003d - 1 + √3

Đáp số: -1 - √3; –1 + √3. Nhận thấy rằng tất cả các hệ số trong phương trình bậc hai này đều chia hết cho 3 và chia hết, chúng ta nhận được phương trình bậc hai rút gọn x 2 + 2x - 2 = 0 Chúng ta giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức của bậc hai rút gọn
phương trình hình 3.

D 2 \ u003d 2 2 - 4 (- 2) \ u003d 4 + 8 \ u003d 12

√ (D 2) = √12 = √ (4 3) = 2√3

x 1 \ u003d (-2 - 2√3) / 2 \ u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \ u003d - 1 - √3

x 2 \ u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \ u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \ u003d - 1 + √ 3

Đáp số: -1 - √3; –1 + √3.

Như bạn thấy, khi giải phương trình này bằng các công thức khác nhau, chúng ta có cùng một câu trả lời. Do đó, khi nắm vững các công thức thể hiện trong sơ đồ Hình 1, bạn luôn có thể giải được bất kỳ phương trình bậc hai hoàn chỉnh nào.

trang web, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.