Quy tắc giải các phương trình đơn giản. Từ thực hành của tôi

Khi chúng ta làm việc với các biểu thức khác nhau, bao gồm số, chữ cái và các biến, chúng ta phải thực hiện một số lượng lớn các phép toán số học. Khi chúng ta thực hiện một phép biến đổi hoặc tính toán một giá trị, điều rất quan trọng là phải tuân theo thứ tự chính xác của các hành động này. Nói cách khác, các phép toán số học có thứ tự thực hiện đặc biệt của riêng chúng.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cho bạn biết những hành động nào nên được thực hiện trước và hành động nào sau đó. Trước tiên, chúng ta hãy xem xét một vài biểu thức đơn giản chỉ chứa các biến hoặc giá trị số, cũng như các dấu hiệu chia, nhân, trừ và cộng. Sau đó, chúng tôi sẽ lấy các ví dụ có dấu ngoặc và xem xét chúng nên được đánh giá theo thứ tự nào. Trong phần thứ ba, chúng tôi sẽ đưa ra thứ tự chính xác của các phép biến đổi và tính toán trong các ví dụ bao gồm các dấu của căn, lũy thừa và các hàm khác.

Định nghĩa 1

Trong trường hợp các biểu thức không có dấu ngoặc, thứ tự của các hành động được xác định rõ ràng:

1. Tất cả các hành động được thực hiện từ trái sang phải.
2. Trước hết, chúng ta thực hiện phép chia và phép nhân, và thứ hai là phép trừ và phép cộng.

Ý nghĩa của các quy tắc này rất dễ hiểu. Thứ tự viết truyền thống từ trái sang phải xác định trình tự cơ bản của các phép tính, và sự cần thiết phải nhân hoặc chia trước tiên được giải thích bằng chính bản chất của các phép toán này.

Chúng ta hãy làm một vài nhiệm vụ để rõ ràng. Chúng tôi đã chỉ sử dụng các biểu thức số đơn giản nhất để tất cả các phép tính có thể được thực hiện trong tính nhẩm. Nhờ đó bạn có thể nhanh chóng ghi nhớ thứ tự mong muốn và nhanh chóng kiểm tra kết quả.

ví dụ 1

Điều kiện: tính toán bao nhiêu 7 − 3 + 6 .

Quyết định

Không có dấu ngoặc trong biểu thức của chúng ta, phép nhân và phép chia cũng không có, vì vậy chúng ta thực hiện tất cả các hành động theo thứ tự đã chỉ định. Đầu tiên, trừ ba với bảy, sau đó cộng sáu với phần còn lại, và kết quả là chúng ta nhận được mười. Đây là bản ghi của toàn bộ giải pháp:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Trả lời: 7 − 3 + 6 = 10 .

Ví dụ 2

Điều kiện: các phép tính phải được thực hiện theo thứ tự nào trong biểu thức 6: 2 8: 3?

Quyết định

Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi đọc lại quy tắc cho các biểu thức không có dấu ngoặc đơn mà chúng tôi đã xây dựng trước đó. Ở đây chúng ta chỉ có phép nhân và phép chia, có nghĩa là chúng ta giữ nguyên thứ tự đã viết của phép tính và đếm tuần tự từ trái sang phải.

Trả lời:đầu tiên, chúng ta chia sáu cho hai, nhân kết quả với tám và chia số kết quả cho ba.

Ví dụ 3

Điều kiện: tính xem sẽ là 17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2.

Quyết định

Đầu tiên, hãy xác định thứ tự chính xác của các phép toán, vì ở đây chúng ta có tất cả các loại phép toán số học cơ bản - cộng, trừ, nhân, chia. Điều đầu tiên chúng ta cần làm là chia và nhân. Những hành động này không có mức độ ưu tiên hơn nhau, vì vậy chúng tôi thực hiện chúng theo thứ tự đã viết từ phải sang trái. Tức là, 5 phải nhân với 6 và được 30, sau đó 30 chia 3 và được 10. Sau đó, chúng ta chia 4 cho 2, đó là 2. Thay thế các giá trị tìm được vào biểu thức ban đầu:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Ở đây không có phép chia hay phép nhân, vì vậy chúng ta thực hiện các phép tính còn lại theo thứ tự và nhận được câu trả lời:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Trả lời:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Cho đến khi nắm chắc thứ tự thực hiện các hành động, bạn có thể đặt các con số trên các dấu hiệu của các phép tính số học, cho biết thứ tự của phép tính. Ví dụ, đối với vấn đề ở trên, chúng ta có thể viết nó như sau:

Nếu chúng ta có các biểu thức chữ, thì chúng ta làm tương tự với chúng: đầu tiên chúng ta nhân và chia, sau đó chúng ta cộng và trừ.

Bước một và bước hai là gì

Đôi khi trong các sách tham khảo, tất cả các phép toán số học được chia thành các phép toán của giai đoạn thứ nhất và thứ hai. Hãy để chúng tôi xây dựng định nghĩa cần thiết.

Các hoạt động của giai đoạn đầu tiên bao gồm trừ và cộng, thứ hai - nhân và chia.

Biết những tên này, chúng ta có thể viết quy tắc được đưa ra trước đó về thứ tự của các hành động như sau:

Định nghĩa 2

Trong một biểu thức không có dấu ngoặc, trước tiên bạn phải thực hiện các hành động của bước thứ hai theo hướng từ trái sang phải, sau đó là các hành động của bước đầu tiên (theo cùng một hướng).

Thứ tự đánh giá trong biểu thức có dấu ngoặc

Bản thân dấu ngoặc đơn là một dấu hiệu cho chúng ta biết thứ tự mong muốn để thực hiện các hành động. Trong trường hợp này, quy tắc mong muốn có thể được viết như sau:

Định nghĩa 3

Nếu có dấu ngoặc trong biểu thức, thì hành động trong chúng được thực hiện trước, sau đó chúng ta nhân và chia, sau đó cộng và trừ theo hướng từ trái sang phải.

Đối với biểu thức được đặt trong ngoặc đơn, nó có thể được coi là một thành phần của biểu thức chính. Khi tính toán giá trị của biểu thức trong ngoặc, chúng ta giữ nguyên quy trình đã biết. Hãy minh họa ý tưởng của chúng tôi bằng một ví dụ.

Ví dụ 4

Điều kiện: tính toán bao nhiêu 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2.

Quyết định

Biểu thức này có dấu ngoặc đơn, vì vậy hãy bắt đầu với chúng. Trước hết, hãy tính xem 7 - 2 · 3 sẽ là bao nhiêu. Ở đây chúng ta cần nhân 2 với 3 và trừ kết quả cho 7:

7 - 2 3 = 7 - 6 = 1

Chúng tôi xem xét kết quả trong dấu ngoặc thứ hai. Ở đó, chúng tôi chỉ có một hành động: 6 − 4 = 2 .

Bây giờ chúng ta cần thay thế các giá trị kết quả vào biểu thức ban đầu:

5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 5 + 1 2: 2

Hãy bắt đầu với phép nhân và phép chia, sau đó trừ và nhận:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Điều này hoàn thành các tính toán.

Trả lời: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 6.

Đừng lo lắng nếu điều kiện có chứa một biểu thức trong đó một số dấu ngoặc vuông bao quanh những người khác. Chúng ta chỉ cần áp dụng quy tắc trên một cách nhất quán cho tất cả các biểu thức trong ngoặc đơn. Hãy nhận nhiệm vụ này.

Ví dụ 5

Điều kiện: tính toán bao nhiêu 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Quyết định

Chúng ta có dấu ngoặc trong ngoặc. Chúng ta bắt đầu với 3 + 1 + 4 (2 + 3), cụ thể là 2 + 3. Nó sẽ là 5. Giá trị sẽ cần được thay thế vào biểu thức và tính 3 + 1 + 4 5. Chúng ta nhớ rằng trước tiên chúng ta phải nhân, và sau đó cộng: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Thay các giá trị tìm được vào biểu thức ban đầu, chúng tôi tính được câu trả lời: 4 + 24 = 28 .

Trả lời: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Nói cách khác, khi đánh giá giá trị của một biểu thức liên quan đến dấu ngoặc trong ngoặc, chúng ta bắt đầu với dấu ngoặc bên trong và làm việc theo cách của chúng ta với các dấu ngoặc đơn bên ngoài.

Giả sử chúng ta cần tìm là bao nhiêu (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Chúng ta bắt đầu với biểu thức trong ngoặc bên trong. Vì 4 - 6: 2 = 4 - 3 = 1 nên biểu thức ban đầu có thể được viết dưới dạng (4 + (4 + 1) - 1) - 1. Một lần nữa chúng ta chuyển sang dấu ngoặc bên trong: 4 + 1 = 5. Chúng ta đã đến với biểu thức (4 + 5 − 1) − 1 . Chúng tôi tin tưởng 4 + 5 − 1 = 8 và kết quả là chúng ta nhận được hiệu số 8 - 1, kết quả của nó sẽ là 7.

Thứ tự tính toán trong biểu thức với lũy thừa, căn, logarit và các hàm khác

Nếu chúng ta có một biểu thức trong điều kiện với bậc, căn, logarit hoặc hàm lượng giác (sin, cosin, tiếp tuyến và cotang) hoặc các hàm khác, thì trước hết chúng ta tính giá trị của hàm. Sau đó, chúng tôi hành động theo các quy tắc được chỉ định trong các đoạn trước. Nói cách khác, các hàm có tầm quan trọng ngang nhau so với biểu thức được đặt trong dấu ngoặc.

Hãy xem một ví dụ về một phép tính như vậy.

Ví dụ 6

Điều kiện: tìm bao nhiêu sẽ là (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7.

Quyết định

Chúng tôi có một biểu thức với một mức độ, giá trị của nó phải được tìm thấy đầu tiên. Chúng tôi coi: 6 2 \ u003d 36. Bây giờ chúng ta thay kết quả vào biểu thức, sau đó nó sẽ có dạng (3 + 1) 2 + 36: 3 - 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Trả lời: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.

Trong một bài viết riêng dành cho việc tính toán giá trị của biểu thức, chúng tôi cung cấp các ví dụ tính toán khác phức tạp hơn trong trường hợp biểu thức có căn, độ, v.v. Chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với nó.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Trong bài học này, quy trình thực hiện các phép tính số học trong biểu thức không có dấu ngoặc và có dấu ngoặc sẽ được xem xét chi tiết. Học sinh có cơ hội trong quá trình hoàn thành các bài tập để xác định xem ý nghĩa của biểu thức có phụ thuộc vào thứ tự thực hiện các phép toán số học hay không, để tìm hiểu xem thứ tự của các phép tính số học có khác nhau trong các biểu thức không có dấu ngoặc và có dấu ngoặc hay không, để thực hành áp dụng quy tắc đã học, để tìm và sửa các lỗi mắc phải trong việc xác định thứ tự của các hành động.

Trong cuộc sống, chúng ta liên tục thực hiện một số loại hành động: chúng ta đi bộ, học tập, đọc, viết, đếm, cười, cãi nhau và làm lành. Chúng tôi thực hiện các bước này theo một thứ tự khác. Đôi khi chúng có thể được hoán đổi, đôi khi chúng không thể. Ví dụ, đi học vào buổi sáng, trước tiên bạn có thể tập thể dục, sau đó dọn dẹp giường hoặc ngược lại. Nhưng bạn không thể đến trường trước rồi mới mặc quần áo.

Và trong toán học, có nhất thiết phải thực hiện các phép tính số học theo một thứ tự nhất định?

Hãy kiểm tra

Hãy so sánh các biểu thức:
8-3 + 4 và 8-3 + 4

Chúng ta thấy rằng cả hai biểu thức đều hoàn toàn giống nhau.

Hãy thực hiện các hành động trong một biểu thức từ trái sang phải và trong một biểu thức khác từ phải sang trái. Các con số có thể chỉ ra thứ tự các hành động được thực hiện (Hình 1).

Cơm. 1. Thủ tục

Trong biểu thức đầu tiên, trước tiên chúng ta sẽ thực hiện phép tính trừ, sau đó cộng số 4 vào kết quả.

Trong biểu thức thứ hai, đầu tiên chúng ta tìm giá trị của tổng, sau đó lấy kết quả trừ đi 7 lấy 8.

Chúng ta thấy rằng giá trị của các biểu thức là khác nhau.

Hãy kết luận: Không thể thay đổi thứ tự thực hiện các phép toán số học..

Hãy cùng tìm hiểu quy tắc thực hiện các phép tính số học trong biểu thức không có dấu ngoặc.

Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ bao gồm cộng và trừ hoặc chỉ nhân và chia, thì các hành động được thực hiện theo thứ tự được viết.

Hãy cùng luyện tập.

Xem xét biểu thức

Biểu thức này chỉ có các phép tính cộng và trừ. Những hành động này được gọi là hành động bước đầu tiên.

Chúng tôi thực hiện các hành động từ trái sang phải theo thứ tự (Hình 2).

Cơm. 2. Thủ tục

Hãy xem xét biểu thức thứ hai

Trong biểu thức này, chỉ có các phép toán nhân và chia - Đây là các bước thứ hai.

Chúng tôi thực hiện các hành động từ trái sang phải theo thứ tự (Hình 3).

Cơm. 3. Thủ tục

Các phép tính số học được thực hiện theo thứ tự nào nếu biểu thức không chỉ có cộng và trừ mà còn có nhân và chia?

Nếu biểu thức không có dấu ngoặc không chỉ bao gồm cộng và trừ mà còn nhân và chia hoặc cả hai phép toán này, thì trước tiên hãy thực hiện nhân và chia theo thứ tự (từ trái sang phải), sau đó thực hiện cộng và trừ.

Hãy xem xét một biểu thức.

Chúng tôi lập luận như thế này. Biểu thức này chứa các phép toán cộng và trừ, nhân và chia. Chúng tôi hành động theo quy tắc. Đầu tiên, chúng tôi thực hiện theo thứ tự (từ trái sang phải) nhân và chia, sau đó là cộng và trừ. Hãy đặt ra các thủ tục.

Hãy tính giá trị của biểu thức.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Các phép tính số học được thực hiện theo thứ tự nào nếu biểu thức chứa dấu ngoặc đơn?

Nếu biểu thức chứa dấu ngoặc đơn thì giá trị của biểu thức trong dấu ngoặc đơn sẽ được tính trước.

Hãy xem xét một biểu thức.

30 + 6 * (13 - 9)

Chúng ta thấy rằng trong biểu thức này có một hành động trong ngoặc, có nghĩa là chúng ta sẽ thực hiện hành động này trước, sau đó, theo thứ tự, nhân và cộng. Hãy đặt ra các thủ tục.

30 + 6 * (13 - 9)

Hãy tính giá trị của biểu thức.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Một lý do như thế nào để thiết lập chính xác thứ tự của các phép tính số học trong một biểu thức số?

Trước khi thực hiện các phép tính, cần xem xét biểu thức (tìm xem nó có chứa dấu ngoặc không, nó có những thao tác gì) và chỉ sau đó thực hiện các thao tác theo thứ tự sau:

1. hành động viết trong ngoặc;

2. nhân và chia;

3. cộng và trừ.

Sơ đồ sẽ giúp bạn nhớ quy tắc đơn giản này (Hình 4).

Cơm. 4. Thủ tục

Hãy cùng luyện tập.

Xem xét các biểu thức, thiết lập thứ tự của các hoạt động và thực hiện các phép tính.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Hãy làm theo các quy tắc. Biểu thức 43 - (20 - 7) +15 có các phép toán trong dấu ngoặc đơn cũng như các phép toán cộng và trừ. Hãy thiết lập quá trình hành động. Bước đầu tiên là thực hiện hành động trong dấu ngoặc, sau đó theo thứ tự từ trái sang phải, trừ và cộng.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Biểu thức 32 + 9 * (19 - 16) có các phép toán trong dấu ngoặc đơn cũng như các phép toán nhân và cộng. Theo quy tắc, đầu tiên chúng ta thực hiện hành động trong ngoặc, sau đó nhân (số 9 được nhân với kết quả thu được của phép trừ) và cộng.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Trong biểu thức 2 * 9-18: 3 không có dấu ngoặc, nhưng có các phép toán nhân, chia và trừ. Chúng tôi hành động theo quy tắc. Đầu tiên, chúng ta thực hiện phép nhân và phép chia từ trái sang phải, sau đó từ kết quả thu được của phép nhân, chúng ta trừ kết quả nhận được bằng phép chia. Nghĩa là, hành động đầu tiên là nhân, hành động thứ hai là chia và hành động thứ ba là trừ.

2*9-18:3=18-6=12

Hãy cùng tìm hiểu xem thứ tự của các hành động trong các biểu thức sau có được xác định đúng hay không.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Chúng tôi lập luận như thế này.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Không có dấu ngoặc trong biểu thức này, có nghĩa là trước tiên chúng ta thực hiện phép nhân hoặc phép chia từ trái sang phải, sau đó là phép cộng hoặc phép trừ. Trong biểu thức này, hành động đầu tiên là chia, hành động thứ hai là nhân. Hành động thứ ba nên là cộng, thứ tư - trừ. Kết luận: thứ tự của các hành động được xác định đúng.

Tìm giá trị của biểu thức này.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Chúng tôi tiếp tục tranh luận.

Biểu thức thứ hai có dấu ngoặc, có nghĩa là đầu tiên chúng ta thực hiện hành động trong dấu ngoặc, sau đó từ trái sang phải nhân hoặc chia, cộng hoặc trừ. Chúng tôi kiểm tra: hành động đầu tiên nằm trong ngoặc, hành động thứ hai là chia, hành động thứ ba là cộng. Kết luận: thứ tự của các hành động được xác định không chính xác. Sửa các lỗi, tìm giá trị của biểu thức.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Biểu thức này cũng có dấu ngoặc, có nghĩa là đầu tiên chúng ta thực hiện hành động trong dấu ngoặc, sau đó từ trái sang phải nhân hoặc chia, cộng hoặc trừ. Chúng tôi kiểm tra: hành động đầu tiên là trong ngoặc, hành động thứ hai là nhân, hành động thứ ba là trừ. Kết luận: thứ tự của các hành động được xác định không chính xác. Sửa các lỗi, tìm giá trị của biểu thức.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Hãy hoàn thành nhiệm vụ.

Hãy sắp xếp thứ tự của các hành động trong biểu thức bằng cách sử dụng quy tắc đã học (Hình 5).

Cơm. 5. Thủ tục

Chúng ta không nhìn thấy giá trị số nên sẽ không tìm được ý nghĩa của biểu thức, nhưng chúng ta sẽ thực hành áp dụng quy tắc đã học.

Chúng tôi hành động theo thuật toán.

Biểu thức đầu tiên có dấu ngoặc đơn, vì vậy hành động đầu tiên nằm trong dấu ngoặc đơn. Sau đó từ trái sang phải nhân và chia, sau đó từ trái sang phải trừ và cộng.

Biểu thức thứ hai cũng chứa dấu ngoặc, có nghĩa là chúng ta thực hiện hành động đầu tiên trong dấu ngoặc. Sau đó, từ trái sang phải, nhân và chia, sau đó - trừ.

Hãy tự kiểm tra (Hình 6).

Cơm. 6. Thủ tục

Hôm nay trong bài học chúng ta đã làm quen với quy tắc thứ tự thực hiện các hành động trong biểu thức không có ngoặc và có ngoặc.

Thư mục

1. M.I. Moro, M.A. Bantova và những người khác Toán học: Sách giáo khoa. Lớp 3: gồm 2 phần, phần 1. - M .: "Khai sáng", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova và những người khác Toán học: Sách giáo khoa. Lớp 3: gồm 2 phần, phần 2. - M .: "Khai sáng", 2012.
3. M.I. Moreau. Tiết dạy Toán: Hướng dẫn của giáo viên. Lớp 3 - M.: Giáo dục, 2012.
4. Văn bản quy định. Theo dõi và đánh giá kết quả học tập. - M.: "Khai sáng", 2011.
5. "School of Russia": Các chương trình dành cho cấp tiểu học. - M.: "Khai sáng", 2011.
6. S.I. Volkov. Toán học: Công việc kiểm tra. Lớp 3 - M.: Giáo dục, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Các bài kiểm tra. - M.: "Đề thi", 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Bài tập về nhà

1. Xác định thứ tự của các hành động trong các biểu thức này. Tìm nghĩa của các biểu thức.

2. Xác định thứ tự các hành động này được thực hiện theo biểu thức nào:

1. nhân; 2. bộ phận ;. 3. bổ sung; 4. phép trừ; 5. bổ sung. Tìm giá trị của biểu thức này.

3. Soạn ba biểu thức trong đó có thứ tự các hành động sau:

1. nhân; 2. bổ sung; 3. phép trừ

1. bổ sung; 2. phép trừ; 3. bổ sung

1. nhân; 2. phân chia; 3. bổ sung

Tìm ý nghĩa của các biểu thức này.

Và khi tính toán các giá trị của biểu thức, các hành động được thực hiện theo một thứ tự nhất định, hay nói cách khác, bạn phải quan sát thứ tự của các hành động.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tìm ra hành động nào nên được thực hiện trước và hành động nào sau chúng. Hãy bắt đầu với các trường hợp đơn giản nhất, khi biểu thức chỉ chứa các số hoặc các biến được kết nối bằng cộng, trừ, nhân và chia. Tiếp theo, chúng tôi sẽ giải thích thứ tự thực hiện các hành động nên được tuân theo trong các biểu thức có dấu ngoặc. Cuối cùng, hãy xem xét trình tự mà các hành động được thực hiện trong các biểu thức có chứa lũy thừa, gốc và các hàm khác.

Điều hướng trang.

Nhân và chia đầu tiên, sau đó cộng và trừ

Trường cung cấp những thứ sau quy tắc xác định thứ tự mà các hành động được thực hiện trong các biểu thức không có dấu ngoặc đơn:

• các hành động được thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải,
• trong đó phép nhân và phép chia được thực hiện trước, sau đó là phép cộng và phép trừ.

Quy tắc đã nêu được nhận thức khá tự nhiên. Thực hiện các hành động theo thứ tự từ trái sang phải được giải thích là do chúng ta lưu giữ các bản ghi từ trái sang phải theo thông lệ. Và thực tế là phép nhân và phép chia được thực hiện trước phép cộng và phép trừ được giải thích bởi ý nghĩa mà các hành động này mang trong mình.

Hãy xem một vài ví dụ về việc áp dụng quy tắc này. Ví dụ, chúng tôi sẽ lấy các biểu thức số đơn giản nhất để không bị phân tâm bởi các phép tính, mà tập trung vào thứ tự thực hiện các hành động.

Ví dụ.

Thực hiện theo các bước 7−3 + 6.

Quyết định.

Biểu thức ban đầu không chứa dấu ngoặc đơn, cũng không chứa phép nhân và phép chia. Vì vậy, chúng ta nên thực hiện tất cả các hành động theo thứ tự từ trái sang phải, tức là, đầu tiên chúng ta trừ 3 với 7, chúng ta được 4, sau đó chúng ta cộng 6 với hiệu số 4 được 10.

Một cách ngắn gọn, giải pháp có thể được viết như sau: 7−3 + 6 = 4 + 6 = 10.

Trả lời:

7−3+6=10 .

Ví dụ.

Cho biết thứ tự thực hiện các thao tác trong biểu thức 6: 2 · 8: 3.

Quyết định.

Để trả lời câu hỏi của bài toán, chúng ta hãy chuyển sang quy tắc chỉ ra thứ tự các hành động được thực hiện trong biểu thức không có dấu ngoặc. Biểu thức ban đầu chỉ chứa các phép toán nhân và chia, và theo quy tắc, chúng phải được thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải.

Trả lời:

Lúc đầu 6 chia cho 2, thương này nhân với 8, cuối cùng, kết quả là chia cho 3.

Ví dụ.

Tính giá trị của biểu thức 17−5 · 6: 3−2 + 4: 2.

Quyết định.

Trước tiên, hãy xác định thứ tự các hành động trong biểu thức gốc sẽ được thực hiện. Nó bao gồm cả nhân và chia và cộng và trừ. Đầu tiên, từ trái sang phải, bạn cần thực hiện phép nhân và chia. Vậy ta nhân 5 với 6 ta được 30, chia số này cho 3 ta được 10. Bây giờ chúng ta chia 4 cho 2, chúng ta được 2. Chúng tôi thay thế giá trị tìm được 10 thay vì 5 6: 3 trong biểu thức ban đầu và giá trị 2 thay vì 4: 2, chúng tôi có 17−5 6: 3−2 + 4: 2 = 17−10−2 + 2.

Không có phép nhân và phép chia trong biểu thức, vì vậy nó vẫn phải thực hiện các hành động còn lại theo thứ tự từ trái sang phải: 17−10−2 + 2 = 7−2 + 2 = 5 + 2 = 7.

Trả lời:

17−5 6: 3−2 + 4: 2 = 7.

Lúc đầu, để không nhầm lẫn thứ tự thực hiện các hành động khi tính giá trị của một biểu thức, có thể thuận tiện đặt các số phía trên các dấu hiệu của các hành động tương ứng với thứ tự thực hiện chúng. Đối với ví dụ trước, nó sẽ giống như sau:.

Thứ tự các phép toán tương tự - đầu tiên là nhân và chia, sau đó là cộng và trừ - phải được tuân theo khi làm việc với các biểu thức chữ.

Bước 1 và 2

Trong một số sách giáo khoa về toán học, có sự phân chia các phép tính số học thành các phép toán bậc nhất và bậc hai. Hãy đối phó với điều này.

Sự định nghĩa.

Hành động bước đầu tiênđược gọi là cộng và trừ, và nhân và chia được gọi là hành động bước thứ hai.

Theo các thuật ngữ này, quy tắc từ đoạn trước, xác định thứ tự thực hiện các hành động, sẽ được viết như sau: nếu biểu thức không chứa dấu ngoặc, thì theo thứ tự từ trái sang phải, các hành động của giai đoạn thứ hai ( nhân và chia) được thực hiện đầu tiên, sau đó là các hành động của giai đoạn đầu tiên (cộng và trừ).

Thứ tự thực hiện các phép tính số học trong biểu thức có dấu ngoặc

Biểu thức thường chứa dấu ngoặc đơn để chỉ ra thứ tự thực hiện các hành động. Trong trường hợp này quy tắc chỉ định thứ tự mà các hành động được thực hiện trong các biểu thức có dấu ngoặc, được xây dựng như sau: đầu tiên, các hành động trong dấu ngoặc được thực hiện, trong khi nhân và chia cũng được thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải, sau đó là cộng và trừ.

Vì vậy, các biểu thức trong ngoặc được coi là các thành phần của biểu thức ban đầu và thứ tự của các hành động mà chúng ta đã biết được giữ nguyên trong chúng. Hãy xem xét các giải pháp của các ví dụ để rõ ràng hơn.

Ví dụ.

Thực hiện các bước đã cho 5+ (7−2 3) (6−4): 2.

Quyết định.

Biểu thức có chứa các dấu ngoặc, vì vậy trước tiên chúng ta hãy thực hiện các phép toán trong các biểu thức được đặt trong các dấu ngoặc này. Hãy bắt đầu với biểu thức 7−2 3. Trong đó, trước tiên bạn phải thực hiện phép nhân, và chỉ sau đó thực hiện phép trừ, chúng ta có 7−2 3 = 7−6 = 1. Chúng ta chuyển sang biểu thức thứ hai trong ngoặc 6−4. Chỉ có một hành động ở đây - phép trừ, chúng tôi thực hiện nó 6−4 = 2.

Chúng tôi thay thế các giá trị thu được vào biểu thức ban đầu: 5+ (7−2 3) (6−4): 2 = 5 + 1 2: 2. Trong biểu thức kết quả, đầu tiên chúng ta thực hiện phép nhân và chia từ trái sang phải, sau đó thực hiện phép trừ, ta được 5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6. Trên điều này, tất cả các hành động đã hoàn thành, chúng tôi tuân theo thứ tự thực hiện sau: 5+ (7−2 3) (6−4): 2.

Hãy viết một giải pháp ngắn gọn: 5+ (7−2 3) (6−4): 2 = 5 + 1 2: 2 = 5 + 1 = 6.

Trả lời:

5+ (7−2 3) (6−4): 2 = 6.

Nó xảy ra rằng một biểu thức chứa các dấu ngoặc trong ngoặc. Bạn không nên lo lắng về điều này, bạn chỉ cần áp dụng nhất quán quy tắc được lồng tiếng để thực hiện các hành động trong biểu thức có dấu ngoặc. Hãy đưa ra một giải pháp ví dụ.

Ví dụ.

Thực hiện các thao tác trong biểu thức 4+ (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)).

Quyết định.

Đây là một biểu thức có dấu ngoặc, có nghĩa là việc thực hiện các hành động phải bắt đầu bằng biểu thức trong ngoặc, nghĩa là với 3 + 1 + 4 (2 + 3). Biểu thức này cũng chứa các dấu ngoặc đơn, vì vậy trước tiên bạn phải thực hiện các hành động trong chúng. Hãy làm điều này: 2 + 3 = 5. Thay giá trị tìm được, ta được 3 + 1 + 4 5. Trong biểu thức này, đầu tiên chúng ta thực hiện phép nhân, sau đó là phép cộng, ta có 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Giá trị ban đầu, sau khi thay thế giá trị này, có dạng 4 + 24 và nó chỉ còn lại để hoàn thành các hành động: 4 + 24 = 28.

Trả lời:

4+ (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Nói chung, khi các dấu ngoặc bên trong dấu ngoặc đơn xuất hiện trong một biểu thức, bạn thường bắt đầu với dấu ngoặc đơn bên trong và thực hiện theo cách của bạn với các dấu ngoặc đơn bên ngoài.

Ví dụ, giả sử chúng ta cần thực hiện các phép toán trong biểu thức (4+ (4+ (4−6: 2)) - 1) −1. Đầu tiên, chúng ta thực hiện các hành động trong dấu ngoặc trong, vì 4−6: 2 = 4−3 = 1, sau đó biểu thức ban đầu sẽ có dạng (4+ (4 + 1) −1) −1. Một lần nữa, chúng ta thực hiện hành động trong dấu ngoặc bên trong, vì 4 + 1 = 5, sau đó chúng ta đi đến biểu thức sau (4 + 5−1) −1. Một lần nữa, chúng tôi thực hiện các hành động trong dấu ngoặc: 4 + 5−1 = 8, trong khi chúng tôi đạt được hiệu số 8−1, bằng 7.

Phương trình là một trong những chủ đề khó thành thạo nhất, nhưng chúng đủ mạnh để giải quyết hầu hết các vấn đề.

Với sự trợ giúp của các phương trình, các quá trình khác nhau xảy ra trong tự nhiên được mô tả. Phương trình được sử dụng rộng rãi trong các ngành khoa học khác: trong kinh tế, vật lý, sinh học và hóa học.

Trong bài học này, chúng ta sẽ cố gắng hiểu bản chất của các phương trình đơn giản nhất, học cách biểu diễn ẩn số và giải một số phương trình. Khi bạn học các tài liệu mới, các phương trình sẽ trở nên phức tạp hơn, vì vậy việc hiểu các kiến ​​thức cơ bản là rất quan trọng.

Kỹ năng sơ bộ Nội dung bài học

Một phương trình là gì?

Phương trình là một đẳng thức có chứa một biến có giá trị mà bạn muốn tìm. Giá trị này phải sao cho khi thay nó vào phương trình ban đầu, thì sẽ thu được đẳng thức số đúng.

Ví dụ, biểu thức 2 + 2 = 4 là một đẳng thức. Khi tính vế trái, ta nhận được đẳng thức số đúng là 4 = 4.

Nhưng bình đẳng 2 + x= 4 là một phương trình vì nó chứa một biến x, giá trị của ai có thể được tìm thấy. Giá trị phải sao cho khi thay giá trị này vào phương trình ban đầu, thì sẽ thu được đẳng thức số đúng.

Nói cách khác, chúng ta cần tìm một giá trị mà dấu bằng sẽ biện minh cho vị trí của nó - cạnh trái phải bằng cạnh phải.

Phương trình 2+ x= 4 là sơ cấp. Giá trị biến x bằng số 2. Mọi giá trị khác sẽ không bằng

Số 2 được cho là nguồn gốc hoặc nghiệm của phương trình 2 + x = 4

Nguồn gốc hoặc nghiệm của phương trình là giá trị của biến mà tại đó phương trình trở thành một đẳng thức số thực.

Có thể có một số rễ hoặc không có rễ nào cả. giải phương trình có nghĩa là tìm ra gốc rễ của nó hoặc để chứng minh rằng không có gốc rễ.

Biến trong phương trình còn được gọi là không xác định. Bạn có thể tự do gọi nó bất cứ điều gì bạn thích. Đây là những từ đồng nghĩa.

Ghi chú. Cụm từ "giải phương trình" tự nó nói lên điều đó. Để giải một phương trình có nghĩa là "cân bằng" một phương trình - làm cho nó cân bằng sao cho phần bên trái bằng bên phải.

Thể hiện một trong những điều khoản khác

Việc nghiên cứu các phương trình theo truyền thống bắt đầu bằng việc học cách diễn đạt một số có trong đẳng thức thông qua một số khác. Chúng ta đừng phá vỡ truyền thống này và hãy làm điều tương tự.

Hãy xem xét biểu thức sau:

8 + 2

Biểu thức này là tổng của các số 8 và 2. Giá trị của biểu thức này là 10

8 + 2 = 10

Chúng tôi có sự bình đẳng. Bây giờ bạn có thể biểu thị bất kỳ số nào từ đẳng thức này dưới dạng các số khác được bao gồm trong cùng một đẳng thức. Ví dụ, hãy diễn đạt số 2.

Để diễn đạt số 2, bạn cần đặt câu hỏi: “cần phải làm gì với số 10 và số 8 để được số 2.”. Rõ ràng là để có được số 2, bạn cần phải trừ số 8 với số 10.

Vì vậy chúng tôi làm. Chúng ta viết ra số 2 và thông qua dấu bằng, chúng ta nói rằng để có được số 2 này, chúng ta đã trừ số 8 cho số 10:

2 = 10 − 8

Chúng tôi biểu diễn số 2 từ phương trình 8 + 2 = 10. Như bạn có thể thấy từ ví dụ, không có gì phức tạp về điều này.

Khi giải phương trình, đặc biệt là khi biểu thị một số dưới dạng số khác, ta có thể thay dấu bằng bằng từ " có" . Điều này phải được thực hiện trong tinh thần, và không phải trong chính biểu thức.

Vì vậy, biểu diễn số 2 từ đẳng thức 8 + 2 = 10, ta có đẳng thức 2 = 10 - 8. Phương trình này có thể được đọc như sau:

2 có 10 − 8

Đó là, dấu hiệu = được thay thế bằng từ "là". Hơn nữa, đẳng thức 2 = 10 - 8 có thể được dịch từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ chính thức của con người. Sau đó, nó có thể được đọc như thế này:

Số 2 có sự khác biệt giữa 10 và 8

Số 2 có sự khác biệt giữa số 10 và số 8.

Nhưng chúng ta sẽ tự giới hạn việc thay thế dấu bằng bằng từ “là”, và không phải lúc nào chúng ta cũng làm điều này. Các biểu thức cơ bản có thể được hiểu mà không cần dịch ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ của con người.

Hãy trả lại phương trình kết quả 2 = 10 - 8 về trạng thái ban đầu:

8 + 2 = 10

Lần này hãy biểu diễn số 8. Với các số còn lại ta phải làm như thế nào để được số 8? Đúng rồi bạn cần trừ số 2 cho số 10.

8 = 10 − 2

Hãy trả lại phương trình kết quả 8 = 10 - 2 về trạng thái ban đầu:

8 + 2 = 10

Lần này chúng ta sẽ thể hiện số 10. Nhưng hóa ra số mười không cần phải được thể hiện, vì nó đã được thể hiện rồi. Chỉ cần hoán đổi phần bên trái và bên phải là đủ, sau đó chúng tôi nhận được những gì chúng tôi cần:

10 = 8 + 2

Ví dụ 2. Xét đẳng thức 8 - 2 = 6

Ta biểu thị số 8 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 8, phải thêm hai số còn lại:

8 = 6 + 2

Hãy trả lại phương trình kết quả 8 = 6 + 2 về trạng thái ban đầu:

8 − 2 = 6

Chúng ta biểu thị số 2 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 2, chúng ta cần lấy 6 trừ đi 8

2 = 8 − 6

Ví dụ 3. Xét phương trình 3 × 2 = 6

Biểu thị số 3. Để biểu thị số 3, bạn cần chia 6 cho 2

Hãy trả lại bình đẳng kết quả về trạng thái ban đầu của nó:

3 x 2 = 6

Hãy biểu diễn số 2 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 2, bạn cần chia 3 cho 6

Ví dụ 4. Hãy xem xét sự bình đẳng

Chúng ta biểu thị số 15 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 15, bạn cần nhân các số 3 và 5

15 = 3 x 5

Hãy trả lại phương trình kết quả 15 = 3 × 5 về trạng thái ban đầu:

Chúng ta biểu thị số 5 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 5, bạn cần chia 15 cho 3

Quy tắc tìm ẩn số

Hãy xem xét một số quy tắc để tìm ẩn số. Có lẽ chúng đã quen thuộc với bạn, nhưng bạn không cần phải lặp lại chúng một lần nữa. Trong tương lai, chúng có thể bị lãng quên, vì chúng ta sẽ học cách giải các phương trình mà không áp dụng các quy tắc này.

Hãy quay lại ví dụ đầu tiên, mà chúng ta đã xem xét trong chủ đề trước, trong đó trong phương trình 8 + 2 = 10, nó được yêu cầu để biểu thị số 2.

Trong phương trình 8 + 2 = 10, các số 8 và 2 là các số hạng, và số 10 là tổng.

Để thể hiện số 2, chúng tôi đã làm như sau:

2 = 10 − 8

Tức là, trừ 8 với tổng của 10.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 8 + 2 = 10, thay vì số 2, có một biến x

8 + x = 10

Trong trường hợp này, phương trình 8 + 2 = 10 trở thành phương trình 8 + x= 10 và biến x thuật ngữ không xác định

Nhiệm vụ của chúng ta là tìm số hạng chưa biết này, nghĩa là giải phương trình 8 + x= 10. Để tìm thuật ngữ không xác định, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm số hạng chưa biết, lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.

Về cơ bản, đó là những gì chúng tôi đã làm khi chúng tôi biểu thị hai trong phương trình 8 + 2 = 10. Để biểu thị số hạng 2, chúng tôi lấy tổng 10 trừ đi một số hạng 8 khác

2 = 10 − 8

Và bây giờ để tìm thuật ngữ chưa biết x, chúng ta phải lấy tổng 10 trừ số hạng 8 đã biết:

x = 10 − 8

Nếu bạn tính vế phải của đẳng thức kết quả, thì bạn có thể tìm ra biến đó bằng x

x = 2

Chúng tôi đã giải quyết phương trình. Giá trị biến x bằng 2. Để kiểm tra giá trị của một biến x gửi đến phương trình ban đầu 8 + x= 10 và thay thế cho x. Bạn nên làm điều này với bất kỳ phương trình đã giải nào, vì bạn không thể chắc chắn rằng phương trình được giải một cách chính xác:

Kết quả là

Quy tắc tương tự sẽ được áp dụng nếu số hạng chưa biết là số 8 đầu tiên.

x + 2 = 10

Trong phương trình này x là số hạng chưa biết, 2 là số hạng đã biết, 10 là tổng. Để tìm thuật ngữ không xác định x, bạn cần lấy tổng 10 trừ số hạng 2 đã biết

x = 10 − 2

x = 8

Hãy quay lại ví dụ thứ hai từ chủ đề trước, trong đó trong phương trình 8 - 2 = 6, yêu cầu biểu thị số 8.

Trong phương trình 8 - 2 = 6, số 8 là số dư, số 2 là số phụ, số 6 là hiệu

Để thể hiện số 8, chúng tôi đã làm như sau:

8 = 6 + 2

Tức là cộng hiệu số của 6 và số bị trừ 2.

Bây giờ, hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 8 - 2 = 6, thay vì số 8, có một biến x

x − 2 = 6

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận vai trò của cái gọi là minuend không xác định

Để tìm giá trị tối thiểu không xác định, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm giá trị minuend không xác định, bạn cần phải thêm subtrahend vào sự khác biệt.

Đó là những gì chúng ta đã làm khi biểu diễn số 8 trong phương trình 8 - 2 = 6. Để thể hiện minuend 8, chúng tôi đã thêm subtrahend 2 với hiệu số của 6.

Và bây giờ, để tìm ra điểm tối thiểu không xác định x, chúng ta phải thêm chuỗi con 2 vào sự khác biệt 6

x = 6 + 2

Nếu bạn tính vế bên phải, thì bạn có thể tìm ra biến đó bằng x

x = 8

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 8 - 2 = 6, thay vì số 2, có một biến x

8 − x = 6

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò giao dịch con không xác định

Để tìm chuỗi con không xác định, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm giá trị con chưa biết, bạn cần trừ đi phần chênh lệch với giá trị nhỏ nhất.

Đây là những gì chúng ta đã làm khi biểu diễn số 2 trong phương trình 8 - 2 = 6. Để biểu thị số 2, chúng ta lấy hiệu số 8 trừ đi hiệu số 6.

Và bây giờ, để tìm chuỗi phụ không xác định x, bạn phải lấy lại hiệu số 6 trừ đi 8 trừ đi một lần nữa

x = 8 − 6

Tính vế phải và tìm giá trị x

x = 2

Hãy quay trở lại ví dụ thứ ba từ chủ đề trước, trong đó trong phương trình 3 × 2 = 6, chúng ta đã cố gắng biểu thị số 3.

Trong phương trình 3 × 2 = 6, số 3 là cấp số nhân, số 2 là cấp số nhân, số 6 là tích

Để thể hiện số 3, chúng tôi đã làm như sau:

Tức là, chia tích của 6 cho thừa số 2.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 3 × 2 = 6, thay vì số 3, có một biến x

x× 2 = 6

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò nhân và không xác định.

Để tìm số nhân chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm bội số chưa biết, bạn cần chia tích cho thừa số.

Đó là những gì chúng ta đã làm khi biểu diễn số 3 từ phương trình 3 × 2 = 6. Chúng tôi chia tích của 6 cho hệ số 2.

Và bây giờ để tìm số nhân chưa biết x, bạn cần chia tích của 6 cho hệ số 2.

Phép tính vế phải cho phép chúng ta tìm giá trị của biến x

x = 3

Quy tắc tương tự cũng được áp dụng nếu biến xđược đặt thay vì số nhân, không phải là cấp số nhân. Hãy tưởng tượng rằng trong phương trình 3 × 2 = 6, thay vì số 2, có một biến x.

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò hệ số không xác định. Để tìm một thừa số chưa biết, điều tương tự được cung cấp như để tìm một cấp số nhân chưa biết, cụ thể là chia tích cho một thừa số đã biết:

Để tìm thừa số chưa biết, bạn cần chia tích cho cấp số nhân.

Đó là những gì chúng ta đã làm khi biểu diễn số 2 từ phương trình 3 × 2 = 6. Sau đó, để được số 2, chúng ta chia tích của 6 cho nhân và 3.

Và bây giờ để tìm ra nhân tố chưa biết x chúng tôi chia tích của 6 cho nhân của 3.

Tính vế phải của phương trình cho phép bạn tìm ra x bằng

x = 2

Số nhân và cấp số nhân với nhau được gọi là thừa số. Vì các quy tắc để tìm một cấp số nhân và một thừa số là giống nhau, chúng ta có thể xây dựng một quy tắc chung để tìm một thừa số chưa biết:

Để tìm hệ số chưa biết, bạn cần chia sản phẩm cho hệ số đã biết.

Ví dụ, hãy giải phương trình 9 × x= 18. Biến đổi x là một yếu tố chưa biết. Để tìm thừa số chưa biết này, bạn cần chia tích 18 cho thừa số 9 đã biết

Hãy giải phương trình x× 3 = 27. Biến đổi x là một yếu tố chưa biết. Để tìm thừa số chưa biết này, bạn cần chia tích 27 cho thừa số 3 đã biết

Hãy quay trở lại ví dụ thứ tư từ chủ đề trước, trong đó đẳng thức bắt buộc phải biểu thị số 15. Trong đẳng thức này, số 15 là số bị chia, số 5 là số chia, số 3 là thương.

Để thể hiện số 15, chúng tôi đã làm như sau:

15 = 3 x 5

Nghĩa là, nhân thương của 3 với ước của 5.

Bây giờ, hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức, thay vì số 15, có một biến x

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò cổ tức không xác định.

Để tìm cổ tức không xác định, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm số bị chia chưa biết, bạn cần nhân thương với số chia.

Đó là những gì chúng tôi đã làm khi thể hiện số 15 từ đẳng thức. Để biểu thị số 15, chúng ta đã nhân thương của 3 với ước của 5.

Và bây giờ, để tìm cổ tức không xác định x, bạn cần nhân thương của 3 với ước của 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức, thay vì số 5, có một biến x .

Trong trường hợp này, biến xđảm nhận một vai trò ước số không xác định.

Để tìm ước số chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Đó là những gì chúng tôi đã làm khi thể hiện số 5 từ đẳng thức. Để biểu thị số 5, chúng ta chia số bị chia 15 cho thương 3.

Và bây giờ để tìm ước số chưa biết x, bạn cần chia số cổ tức 15 cho thương số 3

Hãy để chúng tôi tính vế phải của đẳng thức kết quả. Vì vậy, chúng tôi tìm hiểu những gì biến bằng x .

x = 5

Vì vậy, để tìm ẩn số, chúng tôi đã nghiên cứu các quy tắc sau:

• Để tìm số hạng chưa biết, bạn cần lấy tổng trừ số hạng đã biết;
• Để tìm giá trị nhỏ nhất không xác định, bạn cần thêm giá trị con vào phần chênh lệch;
• Để tìm giá trị con chưa biết, bạn cần trừ đi phần chênh lệch với giá trị nhỏ nhất;
• Để tìm bội chưa biết, bạn cần chia tích cho thừa số;
• Để tìm thừa số chưa biết, bạn cần chia tích cho cấp số nhân;
• Để tìm số bị chia chưa biết, bạn cần nhân thương với số chia;
• Để tìm một số chia chưa biết, bạn cần chia số bị chia cho thương.

Các thành phần

Các thành phần mà chúng ta sẽ gọi là các số và biến có trong đẳng thức

Vì vậy, các thành phần của phép cộng là điều kiện và Tổng

Các thành phần trừ là minuend, số bị trừ và Sự khác biệt

Các thành phần của phép nhân là nhân và, nhân tố và công việc

Các thành phần của phép chia là số bị chia, số bị chia và thương số.

Tùy thuộc vào thành phần mà chúng ta đang xử lý, các quy tắc tương ứng để tìm ẩn số sẽ được áp dụng. Chúng tôi đã nghiên cứu các quy tắc này trong chủ đề trước. Khi giải các phương trình, bạn nên biết các quy tắc này thuộc lòng.

ví dụ 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 45+ x = 60

45 - kỳ hạn, x là số hạng chưa biết, 60 là tổng. Chúng tôi đang đối phó với các thành phần bổ sung. Chúng tôi nhắc lại rằng để tìm số hạng chưa biết, bạn cần lấy tổng trừ số hạng đã biết:

x = 60 − 45

Tính vế phải, nhận giá trị x bằng 15

x = 15

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là 45 + x= 60 bằng 15.

Thông thường, thuật ngữ chưa biết phải được rút gọn thành một dạng mà nó có thể được diễn đạt.

Ví dụ 2. giải phương trình

Ở đây, không giống như ví dụ trước, thuật ngữ chưa biết không thể được biểu thị ngay lập tức, vì nó chứa hệ số 2. Nhiệm vụ của chúng ta là đưa phương trình này về dạng mà nó có thể biểu diễn x

Trong ví dụ này, chúng ta đang xử lý các thành phần của phép cộng - các số hạng và tổng. 2 x là số hạng thứ nhất, 4 là số hạng thứ hai, 8 là tổng.

Trong trường hợp này, thuật ngữ 2 x chứa một biến x. Sau khi tìm giá trị của biến x kỳ 2 x sẽ có một hình thức khác. Do đó, thuật ngữ 2 x hoàn toàn có thể được thực hiện cho các thuật ngữ không xác định:

Bây giờ chúng ta áp dụng quy tắc để tìm số hạng chưa biết. Lấy tổng trừ số hạng đã biết:

Hãy tính vế phải của phương trình kết quả:

Chúng tôi có một phương trình mới. Bây giờ chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép nhân: số nhân và số nhân, và tích. 2 - số nhân, x- số nhân, 4 - sản phẩm

Đồng thời, biến x không chỉ là một yếu tố, mà còn là một yếu tố không xác định

Để tìm thừa số chưa biết này, bạn cần chia tích cho bội số và:

Tính vế phải, lấy giá trị của biến x

Để kiểm tra gốc được tìm thấy, hãy gửi nó đến phương trình ban đầu và thay thế x

Ví dụ 3. giải phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56

Thể hiện điều chưa biết x nó bị cấm. Trước tiên, bạn cần đưa phương trình này về dạng mà nó có thể được biểu diễn.

Chúng tôi trình bày ở phía bên trái của phương trình này:

Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. 28 - hệ số, x- số nhân, 56 - sản phẩm. Trong đó x là một yếu tố chưa biết. Để tìm thừa số chưa biết, bạn cần chia tích cho bội số và:

Từ đây x là 2

Phương trình tương đương

Trong ví dụ trước, khi giải phương trình 3x + 9x + 16x = 56 , chúng tôi đã đưa ra các điều khoản giống như ở bên trái của phương trình. Kết quả là một phương trình mới 28 x= 56. phương trình cũ 3x + 9x + 16x = 56 và kết quả là phương trình mới 28 x= 56 đã gọi phương trình tương đương bởi vì gốc rễ của chúng giống nhau.

Các phương trình được cho là tương đương nếu gốc của chúng giống nhau.

Hãy cùng kiểm tra nào. Đối với phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56 chúng tôi tìm thấy căn bằng 2. Thay căn này trước vào phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56 , và sau đó vào Công thức 28 x= 56, là kết quả của việc rút gọn các số hạng tương tự ở bên trái của phương trình trước đó. Chúng ta phải có được các số bằng nhau chính xác

Theo thứ tự của các hoạt động, phép nhân được thực hiện đầu tiên:

Thay căn số 2 vào phương trình thứ hai 28 x= 56

Chúng ta thấy rằng cả hai phương trình đều có cùng một nghiệm. Vì vậy, các phương trình 3x+ 9x+ 16x= 6 và 28 x= 56 thực sự là tương đương.

Để giải phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56 chúng tôi đã sử dụng một trong những điều khoản - giảm lượt thích. Phép biến đổi đồng dạng đúng của phương trình cho phép chúng ta thu được một phương trình tương đương 28 x= 56, dễ giải hơn.

Trong số các phép biến đổi giống hệt nhau, hiện tại chúng ta chỉ có thể rút gọn phân số, đưa các số hạng giống nhau, lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc và cũng có thể mở ngoặc. Có những biến đổi khác mà bạn nên biết. Nhưng đối với một ý tưởng tổng quát về các phép biến đổi đồng dạng của phương trình, các chủ đề chúng ta đã nghiên cứu là khá đủ.

Hãy xem xét một số phép biến đổi cho phép chúng ta thu được một phương trình tương đương

Nếu bạn thêm cùng một số vào cả hai vế của phương trình, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với một phương trình đã cho.

và tương tự:

Nếu lấy cùng một số bị trừ cho cả hai vế của phương trình, thì sẽ thu được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Nói cách khác, nghiệm nguyên của phương trình không thay đổi nếu cùng một số được thêm vào (hoặc trừ cả hai vế của) phương trình.

ví dụ 1. giải phương trình

Trừ số 10 cho cả hai vế của phương trình

Có phương trình 5 x= 10. Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Để tìm hệ số chưa biết x, bạn cần chia tích của 10 cho thừa số 5 đã biết.

và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 2

Chúng tôi đã có số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Giải phương trình chúng ta đã trừ số 10 ở cả hai vế của phương trình. Kết quả là một phương trình tương đương. Gốc của phương trình này, giống như các phương trình cũng bằng 2

Ví dụ 2. Giải phương trình 4 ( x+ 3) = 16

Trừ số 12 cho cả hai vế của phương trình

Bên trái sẽ là 4 x và ở bên phải số 4

Có phương trình 4 x= 4. Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Để tìm hệ số chưa biết x, bạn cần chia tích 4 cho hệ số 4 đã biết

Hãy quay lại phương trình ban đầu 4 ( x+ 3) = 16 và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 1

Chúng tôi đã có số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Giải phương trình 4 ( x+ 3) = 16 ta đã trừ số 12 ở cả hai vế của phương trình. Kết quả là, chúng tôi thu được một phương trình tương đương 4 x= 4. Căn của phương trình này, cũng như phương trình 4 ( x+ 3) = 16 cũng bằng 1

Ví dụ 3. giải phương trình

Hãy mở rộng dấu ngoặc ở bên trái của phương trình:

Hãy thêm số 8 vào cả hai vế của phương trình

Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong cả hai phần của phương trình:

Bên trái sẽ là 2 x và ở bên phải số 9

Trong phương trình kết quả 2 x= 9 chúng ta biểu thị thuật ngữ chưa biết x

Quay lại phương trình ban đầu và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 4,5

Chúng tôi đã có số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Giải phương trình chúng tôi đã thêm số 8 vào cả hai vế của phương trình. Kết quả là chúng tôi nhận được một phương trình tương đương. Gốc của phương trình này, giống như các phương trình cũng bằng 4,5

Quy tắc tiếp theo, cho phép bạn nhận được một phương trình tương đương, như sau

Nếu trong phương trình, chúng ta chuyển số hạng từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, thì chúng ta nhận được một phương trình tương đương với một phương trình đã cho.

Nghĩa là, nghiệm nguyên của phương trình sẽ không thay đổi nếu chúng ta chuyển số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình bằng cách thay đổi dấu của nó. Tính chất này là một trong những tính chất quan trọng nhất và là một trong những tính chất thường được sử dụng trong việc giải phương trình.

Hãy xem xét phương trình sau:

Căn của phương trình này là 2. Thay thế thay vì x gốc này và kiểm tra xem có đúng bằng số không

Nó chỉ ra sự bình đẳng đúng. Vì vậy, số 2 thực sự là căn của phương trình.

Bây giờ chúng ta hãy thử nghiệm với các số hạng của phương trình này, chuyển chúng từ phần này sang phần khác, thay đổi các dấu hiệu.

Ví dụ, thuật ngữ 3 x nằm ở phía bên trái của phương trình. Hãy di chuyển nó sang phía bên phải, thay đổi dấu hiệu thành ngược lại:

Nó bật ra phương trình 12 = 9x − 3x . ở bên phải của phương trình này:

x là một yếu tố chưa biết. Hãy tìm yếu tố đã biết này:

Từ đây x= 2. Như bạn có thể thấy, nghiệm nguyên của phương trình không thay đổi. Vậy phương trình 12 + 3 x = 9x và 12 = 9x − 3x là tương đương.

Trên thực tế, phép biến đổi này là một phương pháp đơn giản hóa của phép biến đổi trước đó, trong đó cùng một số được cộng (hoặc trừ) cho cả hai vế của phương trình.

Chúng tôi đã nói rằng trong phương trình 12 + 3 x = 9x kỳ 3 xđã được di chuyển sang phía bên phải bằng cách thay đổi dấu hiệu. Trong thực tế, điều sau đây đã xảy ra: số hạng 3 bị trừ khỏi cả hai vế của phương trình x

Sau đó, các số hạng tương tự được đưa ra ở phía bên trái và phương trình thu được 12 = 9x − 3x. Sau đó, các số hạng tương tự lại được đưa ra, nhưng ở vế phải, và phương trình 12 = 6 đã thu được x.

Nhưng cái gọi là "chuyển giao" thuận tiện hơn cho các phương trình như vậy, đó là lý do tại sao nó trở nên phổ biến như vậy. Khi giải phương trình, chúng ta sẽ thường sử dụng phép biến đổi cụ thể này.

Các phương trình 12 + 3 cũng tương đương x= 9x và 3x - 9x= −12 . Lần này trong phương trình 12 + 3 x= 9x thuật ngữ 12 được chuyển sang phía bên phải và thuật ngữ 9 x Qua bên trái. Không nên quên rằng các dấu hiệu của các điều khoản này đã được thay đổi trong quá trình chuyển nhượng

Quy tắc tiếp theo, cho phép bạn nhận được một phương trình tương đương, như sau:

Nếu cả hai vế của phương trình được nhân hoặc chia với cùng một số không bằng 0, thì một phương trình tương đương với một phương trình đã cho sẽ thu được.

Nói cách khác, nghiệm nguyên của phương trình không thay đổi nếu nhân hoặc chia cả hai vế với cùng một số. Hành động này thường được sử dụng khi bạn cần giải một phương trình có chứa biểu thức phân số.

Đầu tiên, hãy xem xét các ví dụ trong đó cả hai vế của phương trình sẽ được nhân với cùng một số.

ví dụ 1. giải phương trình

Khi giải phương trình có chứa biểu thức phân số, thông thường đầu tiên là đơn giản hóa phương trình này.

Trong trường hợp này, chúng ta đang giải quyết một phương trình như vậy. Để đơn giản hóa phương trình này, cả hai vế có thể được nhân với 8:

Chúng tôi nhớ rằng đối với, bạn cần nhân tử số của một phân số đã cho với số này. Chúng ta có hai phân số và mỗi phân số được nhân với số 8. Nhiệm vụ của chúng ta là nhân tử số của các phân số với số 8 này

Bây giờ điều thú vị nhất xảy ra. Tử số và mẫu số của cả hai phân số đều chứa thừa số là 8, có thể giảm đi 8. Điều này sẽ cho phép chúng ta loại bỏ biểu thức phân số:

Kết quả là, phương trình đơn giản nhất vẫn là

Chà, thật dễ đoán rằng nghiệm nguyên của phương trình này là 4

x giá trị tìm thấy 4

Nó chỉ ra sự bình đẳng số đúng. Vì vậy, phương trình là đúng.

Khi giải phương trình này, chúng tôi nhân cả hai phần của nó với 8. Kết quả là chúng tôi có phương trình. Căn của phương trình này, giống như các phương trình, là 4. Vì vậy, các phương trình này là tương đương.

Số nhân mà cả hai phần của phương trình được nhân với nhau thường được viết trước một phần của phương trình, chứ không phải sau nó. Vì vậy, khi giải phương trình, chúng tôi nhân cả hai phần với hệ số 8 và được kết quả sau:

Từ điều này, căn của phương trình không thay đổi, nhưng nếu chúng ta làm điều này khi còn ở trường, chúng ta sẽ được nhận xét, vì trong đại số, thông thường là viết thừa số trước biểu thức mà nó được nhân. Do đó, nhân cả hai vế của phương trình với hệ số 8 được mong muốn viết lại như sau:

Ví dụ 2. giải phương trình

Ở bên trái, hệ số 15 có thể giảm đi 15 và ở bên phải, hệ số 15 và 5 có thể giảm đi 5

Hãy mở dấu ngoặc ở bên phải của phương trình:

Hãy di chuyển thuật ngữ x từ vế trái của phương trình sang vế phải bằng cách đổi dấu. Và số hạng 15 từ vế phải của phương trình sẽ được chuyển sang vế trái, một lần nữa đổi dấu:

Chúng tôi đưa ra các điều khoản tương tự trong cả hai phần, chúng tôi nhận được

Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Biến đổi x

Quay lại phương trình ban đầu và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 5

Nó chỉ ra sự bình đẳng số đúng. Vì vậy, phương trình là đúng. Khi giải phương trình này, chúng ta nhân cả hai vế với 15. Hơn nữa, thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau, chúng tôi thu được phương trình 10 = 2 x. Gốc của phương trình này, giống như các phương trình bằng 5. Vì vậy, các phương trình này là tương đương.

Ví dụ 3. giải phương trình

Ở phía bên trái, hai bộ ba có thể được giảm bớt, và phía bên phải sẽ bằng 18

Phương trình đơn giản nhất vẫn còn. Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Biến đổi x là một yếu tố chưa biết. Hãy tìm yếu tố đã biết này:

Hãy quay lại phương trình ban đầu và thay thế x giá trị tìm thấy 9

Nó chỉ ra sự bình đẳng số đúng. Vì vậy, phương trình là đúng.

Ví dụ 4. giải phương trình

Nhân cả hai vế của phương trình với 6

Mở dấu ngoặc ở bên trái của phương trình. Ở phía bên phải, thừa số 6 có thể được nâng lên thành tử số:

Chúng tôi giảm trong cả hai phần của phương trình những gì có thể được giảm:

Hãy viết lại những gì chúng ta còn lại:

Chúng tôi sử dụng chuyển nhượng các điều khoản. Các điều khoản chứa điều không xác định x, chúng tôi nhóm ở bên trái của phương trình và các số hạng không có ẩn số - ở bên phải:

Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong cả hai phần:

Bây giờ chúng ta hãy tìm giá trị của biến x. Để làm điều này, chúng tôi chia tích 28 cho hệ số 7 đã biết

Từ đây x= 4.

Quay lại phương trình ban đầu và thay thế thay thế x giá trị tìm thấy 4

Nó chỉ ra sự bình đẳng số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Ví dụ 5. giải phương trình

Hãy mở dấu ngoặc trong cả hai phần của phương trình nếu có thể:

Nhân cả hai vế của phương trình với 15

Hãy mở dấu ngoặc trong cả hai phần của phương trình:

Hãy rút gọn trong cả hai phần của phương trình, những gì có thể được rút gọn:

Hãy viết lại những gì chúng ta còn lại:

Hãy mở ngoặc nếu có thể:

Chúng tôi sử dụng chuyển nhượng các điều khoản. Các số hạng chứa ẩn số được nhóm ở bên trái của phương trình và các số hạng không có ẩn số được nhóm ở bên phải. Đừng quên rằng trong quá trình chuyển nhượng, các điều khoản thay đổi dấu hiệu của chúng thành ngược lại:

Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong cả hai phần của phương trình:

Hãy tìm giá trị x

Trong câu trả lời kết quả, bạn có thể chọn toàn bộ:

Hãy quay lại phương trình ban đầu và thay thế x giá trị tìm thấy

Nó chỉ ra là một cách diễn đạt khá rườm rà. Hãy sử dụng các biến. Chúng tôi đặt phía bên trái của đẳng thức trong một biến Một, và vế phải của đẳng thức thành một biến B

Nhiệm vụ của chúng ta là đảm bảo rằng cạnh trái bằng với mặt phải. Nói cách khác, chứng minh đẳng thức A = B

Tìm giá trị của biểu thức trong biến A.

Giá trị biến NHƯNG bằng nhau. Bây giờ chúng ta hãy tìm giá trị của biến B. Đó là, giá trị của mặt phải của sự bình đẳng của chúng ta. Nếu nó bằng thì phương trình sẽ được giải đúng

Chúng ta thấy rằng giá trị của biến B, cũng như giá trị của biến A là. Điều này có nghĩa là bên trái bằng với bên phải. Từ đó chúng tôi kết luận rằng phương trình đã được giải đúng.

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng không nhân cả hai vế của phương trình với cùng một số mà là chia.

Xem xét phương trình 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Chúng ta giải nó theo cách thông thường: chúng ta nhóm các số hạng có chứa ẩn số ở bên trái của phương trình và các số hạng không có ẩn số ở bên phải. Hơn nữa, thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau đã biết, chúng tôi tìm thấy giá trị x

Thay thế giá trị tìm được 2 thay vì x vào phương trình ban đầu:

Bây giờ chúng ta hãy thử tách tất cả các số hạng của phương trình 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 bằng một số nào đó. Chúng tôi lưu ý rằng tất cả các số hạng của phương trình này đều có một thừa số chung là 2. Chúng tôi chia mỗi số hạng cho nó:

Hãy giảm bớt trong mỗi thuật ngữ:

Hãy viết lại những gì chúng ta còn lại:

Chúng tôi giải phương trình này bằng cách sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau đã biết:

Chúng tôi đã có gốc 2. Vì vậy, các phương trình 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 và 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 là tương đương.

Chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số cho phép bạn giải phóng ẩn số khỏi hệ số. Trong ví dụ trước, khi chúng ta có phương trình 7 x= 14, chúng ta cần phải chia tích 14 cho hệ số đã biết 7. Nhưng nếu chúng ta giải phóng ẩn số khỏi hệ số 7 ở vế trái, thì ngay lập tức tìm được căn. Để làm điều này, chỉ cần chia cả hai phần cho 7

Chúng tôi cũng sẽ sử dụng phương pháp này thường xuyên.

Nhân với trừ một

Nếu cả hai vế của phương trình được nhân với trừ một, thì một phương trình tương đương với một phương trình đã cho sẽ thu được.

Quy tắc này tuân theo thực tế là khi nhân (hoặc chia) cả hai phần của phương trình với cùng một số, nghiệm của phương trình này không thay đổi. Điều này có nghĩa là căn sẽ không thay đổi nếu cả hai phần của nó đều được nhân với −1.

Quy tắc này cho phép bạn thay đổi dấu hiệu của tất cả các thành phần có trong phương trình. Nó dùng để làm gì? Một lần nữa, để có được một phương trình tương đương dễ giải hơn.

Xét phương trình. Căn thức của phương trình này là gì?

Hãy thêm số 5 vào cả hai vế của phương trình

Dưới đây là các điều khoản tương tự:

Và bây giờ chúng ta hãy nhớ về. Vế trái của phương trình là gì. Đây là tích của trừ một và biến x

Đó là, dấu trừ ở phía trước của biến x không tham chiếu đến chính biến x, nhưng đến đơn vị, chúng tôi không thấy, vì theo thói quen không ghi hệ số 1. Điều này có nghĩa là phương trình thực sự trông giống như sau:

Chúng tôi đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Để tìm X, bạn cần chia tích −5 cho thừa số −1 đã biết.

hoặc chia cả hai vế của phương trình cho −1, điều này thậm chí còn dễ dàng hơn

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là 5. Để kiểm tra, chúng tôi thay thế nó vào phương trình ban đầu. Đừng quên rằng trong phương trình ban đầu, số trừ đứng trước biến xđề cập đến một đơn vị vô hình

Nó chỉ ra sự bình đẳng số chính xác. Vì vậy, phương trình là đúng.

Bây giờ chúng ta hãy thử nhân cả hai vế của phương trình với trừ một:

Sau khi mở ngoặc, biểu thức được hình thành ở phía bên trái và phía bên phải sẽ bằng 10

Căn của phương trình này, giống như phương trình, là 5

Vậy các phương trình là tương đương.

Ví dụ 2. giải phương trình

Trong phương trình này, tất cả các thành phần đều âm. Sẽ thuận tiện hơn khi làm việc với các thành phần dương hơn là với các thành phần âm, vì vậy chúng ta hãy thay đổi dấu hiệu của tất cả các thành phần có trong phương trình. Để làm điều này, hãy nhân cả hai vế của phương trình này với −1.

Rõ ràng là sau khi nhân với −1, bất kỳ số nào sẽ đổi dấu thành ngược lại. Do đó, quy trình nhân với −1 và mở ngoặc không được mô tả chi tiết, nhưng các thành phần của phương trình có dấu đối nghịch được viết ra ngay lập tức.

Vì vậy, phép nhân một phương trình với −1 có thể được viết chi tiết như sau:

hoặc bạn chỉ có thể thay đổi các dấu hiệu của tất cả các thành phần:

Nó sẽ giống nhau, nhưng sự khác biệt là chúng tôi sẽ tiết kiệm thời gian cho chính mình.

Vì vậy, nhân cả hai vế của phương trình với −1, ta được phương trình. Hãy giải phương trình này. Trừ số 4 cho cả hai phần và chia cả hai phần cho 3

Khi tìm thấy gốc, biến thường được viết ở bên trái và giá trị của nó ở bên phải, chúng ta đã làm như vậy.

Ví dụ 3. giải phương trình

Nhân cả hai vế của phương trình với −1. Sau đó, tất cả các thành phần sẽ thay đổi các dấu hiệu của chúng thành ngược lại:

Trừ 2 cho cả hai vế của phương trình kết quả x và thêm các điều khoản tương tự:

Chúng tôi thêm sự thống nhất cho cả hai phần của phương trình và đưa ra các thuật ngữ như:

Bằng không

Gần đây, chúng ta đã học được rằng nếu trong một phương trình, chúng ta chuyển một số hạng từ phần này sang phần khác bằng cách thay đổi dấu của nó, chúng ta sẽ nhận được một phương trình tương đương với một phương trình đã cho.

Và điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chuyển từ bộ phận này sang bộ phận khác không phải một thuật ngữ mà là tất cả các điều khoản? Đúng vậy, trong phần mà tất cả các điều khoản được lấy từ đó, số không sẽ vẫn còn. Nói cách khác, sẽ không còn gì cả.

Hãy lấy phương trình làm ví dụ. Chúng tôi giải phương trình này, như thường lệ - chúng tôi nhóm các số hạng chứa ẩn số trong một phần và để các số hạng không chứa ẩn số trong phần kia. Hơn nữa, thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau đã biết, chúng tôi tìm thấy giá trị của biến x

Bây giờ chúng ta hãy thử giải phương trình tương tự bằng cách cho tất cả các thành phần của nó bằng không. Để làm điều này, chúng tôi chuyển tất cả các điều khoản từ bên phải sang bên trái, thay đổi các dấu hiệu:

Dưới đây là các điều khoản tương tự ở phía bên trái:

Hãy cộng 77 vào cả hai phần và chia cả hai phần cho 7

Một thay thế cho các quy tắc tìm ẩn số

Rõ ràng, biết về các phép biến đổi đồng dạng của các phương trình, người ta không thể không ghi nhớ các quy tắc tìm ẩn số.

Ví dụ, để tìm ẩn số trong phương trình, chúng tôi chia tích 10 cho thừa số 2 đã biết

Nhưng nếu trong phương trình cả hai phần đều chia hết cho 2 thì ngay lập tức tìm được căn. Ở vế trái của phương trình, thừa số 2 ở tử số và thừa số 2 ở mẫu số sẽ giảm đi 2. Và vế ​​phải sẽ bằng 5

Chúng tôi đã giải các phương trình có dạng bằng cách biểu thị số hạng chưa biết:

Nhưng bạn có thể sử dụng các phép biến đổi tương tự mà chúng ta đã nghiên cứu ngày hôm nay. Trong phương trình, số hạng 4 có thể được chuyển sang vế phải bằng cách đổi dấu:

Ở phía bên trái của phương trình, hai deuces sẽ được giảm bớt. Bên phải sẽ bằng 2. Do đó.

Hoặc bạn có thể trừ 4 cho cả hai vế của phương trình. Sau đó, bạn sẽ nhận được kết quả sau:

Trong trường hợp phương trình có dạng, sẽ thuận tiện hơn khi chia tích cho một thừa số đã biết. Hãy so sánh cả hai giải pháp:

Giải pháp đầu tiên ngắn hơn và gọn gàng hơn nhiều. Giải pháp thứ hai có thể được rút ngắn đáng kể nếu bạn thực hiện việc phân chia trong đầu.

Tuy nhiên, bạn cần phải biết cả hai phương pháp và chỉ sau đó sử dụng một trong những cách bạn thích nhất.

Khi có nhiều rễ

Một phương trình có thể có nhiều nghiệm. Ví dụ phương trình x(x + 9) = 0 có hai nghiệm là 0 và −9.

Trong phương trình x(x + 9) = 0 nó là cần thiết để tìm một giá trị như vậy x mà phía bên trái sẽ bằng không. Vế trái của phương trình này chứa các biểu thức x và (x + 9), đó là các yếu tố. Từ định luật sản phẩm, chúng ta biết rằng tích bằng 0 nếu ít nhất một trong các yếu tố bằng 0 (thừa số thứ nhất hoặc thứ hai).

Đó là, trong phương trình x(x + 9) = 0 bình đẳng sẽ đạt được nếu x sẽ bằng 0 hoặc (x + 9) sẽ bằng không.

x= 0 hoặc x + 9 = 0

Cho cả hai biểu thức này bằng 0, chúng ta có thể tìm thấy nghiệm nguyên của phương trình x(x + 9) = 0. Gốc đầu tiên, như có thể thấy từ ví dụ, được tìm thấy ngay lập tức. Để tìm căn bậc hai, bạn cần giải phương trình sơ cấp x+ 9 = 0. Dễ dàng đoán rằng nghiệm nguyên của phương trình này là −9. Kiểm tra cho thấy rằng gốc là chính xác:

−9 + 9 = 0

Ví dụ 2. giải phương trình

Phương trình này có hai nghiệm: 1 và 2. Vế trái của phương trình là tích của biểu thức ( x- 1) và ( x- 2). Và tích bằng 0 nếu ít nhất một trong các yếu tố bằng 0 (hoặc thừa số ( x- 1) hoặc hệ số ( x − 2) ).

Chúng ta hãy tìm nó x theo đó các biểu thức ( x- 1) hoặc ( x- 2) biến mất:

Chúng tôi thay thế các giá trị tìm được lần lượt vào phương trình ban đầu và đảm bảo rằng với các giá trị này, vế trái bằng 0:

Khi có vô số rễ

Một phương trình có thể có vô số nghiệm nguyên. Tức là, bằng cách thay một số bất kỳ vào một phương trình như vậy, chúng ta sẽ có được đẳng thức số đúng.

ví dụ 1. giải phương trình

Căn của phương trình này là một số bất kỳ. Nếu bạn mở dấu ngoặc ở bên trái của phương trình và mang theo các số hạng giống như vậy, thì bạn nhận được đẳng thức 14 \ u003d 14. Sự bình đẳng này sẽ đạt được cho bất kỳ x

Ví dụ 2. giải phương trình

Căn của phương trình này là một số bất kỳ. Nếu bạn mở dấu ngoặc ở phía bên trái của phương trình, bạn sẽ nhận được đẳng thức 10x + 12 = 10x + 12. Sự bình đẳng này sẽ đạt được cho bất kỳ x

Khi không có rễ

Nó cũng xảy ra rằng phương trình không có nghiệm nào cả, nghĩa là nó không có nghiệm. Ví dụ, phương trình không có nghiệm nguyên, vì với bất kỳ giá trị nào x, vế trái của phương trình sẽ không bằng vế phải. Ví dụ, hãy để. Khi đó phương trình sẽ có dạng sau

Ví dụ 2. giải phương trình

Hãy mở rộng dấu ngoặc ở bên trái của phương trình:

Dưới đây là các điều khoản tương tự:

Ta thấy rằng mặt trái không bằng mặt phải. Và vì vậy nó sẽ có giá trị bất kỳ y. Ví dụ, hãy y = 3 .

Phương trình chữ cái

Một phương trình không chỉ có thể chứa các số với các biến mà còn có thể chứa các chữ cái.

Ví dụ, công thức để tìm tốc độ là một phương trình chữ:

Phương trình này mô tả tốc độ của vật trong chuyển động có gia tốc đều.

Một kỹ năng hữu ích là khả năng diễn đạt bất kỳ thành phần nào có trong một phương trình chữ cái. Ví dụ, để xác định khoảng cách từ một phương trình, bạn cần biểu thị biến S .

Nhân cả hai vế của phương trình với t

Các biến ở bên phải t Giảm bằng t

Trong phương trình kết quả, phần bên trái và bên phải được hoán đổi cho nhau:

Chúng ta đã có được công thức tìm khoảng cách mà chúng ta đã nghiên cứu trước đó.

Hãy thử xác định thời gian từ phương trình. Để làm được điều này, bạn cần diễn đạt biến t .

Nhân cả hai vế của phương trình với t

Các biến ở bên phải t Giảm bằng t và viết lại những gì chúng tôi còn lại:

Trong phương trình kết quả v × t = s chia cả hai phần thành v

Các biến bên trái v Giảm bằng v và viết lại những gì chúng tôi còn lại:

Chúng ta đã có được công thức xác định thời gian mà chúng ta đã nghiên cứu trước đó.

Giả sử vận ​​tốc của tàu là 50 km / h

v= 50 km / giờ

Và khoảng cách là 100 km

S= 100 km

Sau đó, bức thư sẽ có dạng sau

Từ phương trình này, bạn có thể tìm ra thời gian. Để làm được điều này, bạn cần có khả năng thể hiện biến t. Bạn có thể sử dụng quy tắc để tìm một ước số chưa biết bằng cách chia số bị chia cho thương số và do đó xác định giá trị của biến t

hoặc bạn có thể sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau. Đầu tiên nhân cả hai vế của phương trình với t

Sau đó chia cả hai phần cho 50

Ví dụ 2 x

Trừ cả hai vế của phương trình một

Chia cả hai vế của phương trình cho b

a + bx = c, sau đó chúng tôi sẽ có một giải pháp được thực hiện sẵn. Nó sẽ đủ để thay thế các giá trị cần thiết vào nó. Những giá trị sẽ được thay thế cho các chữ cái a, b, c triệu tập thông số. Và các phương trình có dạng a + bx = c triệu tập phương trình với các tham số. Tùy thuộc vào các tham số, gốc sẽ thay đổi.

Giải phương trình 2 + 4 x= 10. Nó trông giống như một phương trình theo nghĩa đen a + bx = c. Thay vì thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau, chúng ta có thể sử dụng một giải pháp làm sẵn. Hãy so sánh cả hai giải pháp:

Chúng ta thấy rằng giải pháp thứ hai đơn giản và ngắn gọn hơn nhiều.

Đối với các giải pháp hoàn thành, bạn cần phải đưa ra một nhận xét nhỏ. Tham số b không được bằng 0 (b ≠ 0), vì không được phép chia cho số 0.

Ví dụ 3. Cho một phương trình chữ. Biểu thị từ phương trình này x

Hãy mở dấu ngoặc trong cả hai phần của phương trình

Chúng tôi sử dụng chuyển nhượng các điều khoản. Các tham số có chứa một biến x, chúng tôi nhóm ở bên trái của phương trình và các tham số không có biến này - ở bên phải.

Ở phía bên trái, chúng tôi lấy ra yếu tố x

Chia cả hai phần thành một biểu thức a-b

Ở phía bên trái, tử số và mẫu số có thể được giảm bớt bằng a-b. Vì vậy, biến cuối cùng được biểu thị x

Bây giờ, nếu chúng ta bắt gặp một phương trình có dạng a (x - c) = b (x + d), sau đó chúng tôi sẽ có một giải pháp được thực hiện sẵn. Nó sẽ đủ để thay thế các giá trị cần thiết vào nó.

Giả sử chúng ta được đưa ra một phương trình 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Nó trông giống như một phương trình a (x - c) = b (x + d). Chúng tôi giải quyết nó theo hai cách: sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau và sử dụng một giải pháp có sẵn:

Để thuận tiện, chúng tôi trích xuất từ ​​phương trình 4(x - 3) = 2(x+ 4) giá trị tham số một, b, c, d . Điều này sẽ cho phép chúng tôi không mắc sai lầm khi thay người:

Như trong ví dụ trước, mẫu số ở đây không được bằng 0 ( a - b ≠ 0). Nếu chúng ta bắt gặp một phương trình có dạng a (x - c) = b (x + d) trong đó các thông số một và b giống nhau, chúng ta có thể nói mà không cần giải rằng phương trình này không có nghiệm nguyên, vì hiệu của các số giống nhau bằng không.

Ví dụ, phương trình 2 (x - 3) = 2 (x + 4) là một phương trình có dạng a (x - c) = b (x + d). Trong phương trình 2 (x - 3) = 2 (x + 4) tùy chọn một và b như nhau. Nếu chúng ta bắt đầu giải nó, thì chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng vế trái sẽ không bằng vế phải:

Ví dụ 4. Cho một phương trình chữ. Biểu thị từ phương trình này x

Ta đưa vế trái của phương trình về một mẫu số chung:

Nhân cả hai bên với một

Ở bên trái x lấy nó ra khỏi dấu ngoặc

Chúng tôi chia cả hai phần cho biểu thức (1 - một)

Phương trình tuyến tính với một ẩn số

Các phương trình xét trong bài học này được gọi là phương trình tuyến tính của bậc một với một ẩn số.

Nếu phương trình đã cho ở bậc nhất, không chứa phép chia cho ẩn số và cũng không chứa nghiệm nguyên của ẩn số, thì nó có thể được gọi là tuyến tính. Chúng tôi vẫn chưa học bằng cấp và gốc rễ, vì vậy để không làm phức tạp cuộc sống của chúng tôi, chúng tôi sẽ hiểu từ “tuyến tính” là “đơn giản”.

Hầu hết các phương trình được giải trong bài học này đều được rút gọn thành phương trình đơn giản nhất, trong đó tích phải chia cho một thừa số đã biết. Ví dụ, phương trình 2 ( x+ 3) = 16. Hãy giải quyết nó.

Hãy mở dấu ngoặc ở bên trái của phương trình, chúng ta nhận được 2 x+ 6 = 16. Hãy dời số hạng 6 sang vế phải bằng cách đổi dấu. Sau đó, chúng tôi nhận được 2 x= 16 - 6. Tính vế phải, ta được 2 x= 10. Để tìm x, chúng tôi chia sản phẩm 10 cho hệ số đã biết là 2. Do đó x = 5.

Phương trình 2 ( x+ 3) = 16 là tuyến tính. Nó rút gọn thành phương trình 2 x= 10, để tìm gốc mà cần phải chia tích cho một hệ số đã biết. Phương trình đơn giản này được gọi là phương trình tuyến tính của bậc một với một ẩn số ở dạng chính tắc. Từ "canonical" đồng nghĩa với các từ "đơn giản" hoặc "bình thường".

Phương trình tuyến tính bậc nhất với một ẩn số ở dạng chính tắc được gọi là phương trình có dạng ax = b.

Phương trình 2 của chúng tôi x= 10 là một phương trình tuyến tính của bậc một với một ẩn số ở dạng chính tắc. Phương trình này có bậc một, một ẩn số, nó không chứa phép chia cho ẩn số và không chứa nghiệm nguyên của ẩn số, và nó được trình bày ở dạng chính tắc, nghĩa là, ở dạng đơn giản nhất, dễ dàng xác định được giá trị x. Thay vì các tham số một và b Phương trình của chúng ta chứa các số 2 và 10. Nhưng một phương trình tương tự có thể chứa các số khác: dương, âm hoặc bằng không.

Nếu trong một phương trình tuyến tính một= 0 và b= 0 thì phương trình có vô số nghiệm. Thật vậy, nếu một là 0 và b bằng 0, thì phương trình tuyến tính cây rìu= b có dạng 0 x= 0. Đối với bất kỳ giá trị nào x mặt trái sẽ bằng mặt phải.

Nếu trong một phương trình tuyến tính một= 0 và b≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. Thật vậy, nếu một là 0 và b bằng một số khác 0, chẳng hạn như số 5, thì phương trình ax = b có dạng 0 x= 5. Phía bên trái sẽ là số 0 và phía bên phải là năm. Và số 0 không bằng năm.

Nếu trong một phương trình tuyến tính một≠ 0, và b bằng một số bất kỳ thì phương trình có một nghiệm nguyên. Nó được xác định bằng cách chia tham số b mỗi thông số một

Thật vậy, nếu một bằng một số khác 0, chẳng hạn như số 3, và b bằng một số nào đó, giả sử là số 6, khi đó phương trình sẽ có dạng.
Từ đây.

Có một dạng khác để viết một phương trình tuyến tính của bậc một với một ẩn số. Nó trông như thế này: rìu - b= 0. Đây là phương trình tương tự như ax = b

Bạn có thích bài học không?
Tham gia nhóm Vkontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới