Công thức diện tích Pitago. Lịch sử của định lý Pitago

Cấp số cộng. Lý thuyết chi tiết với các ví dụ (2019)

Dãy số

Vì vậy, chúng ta hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:
Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu tùy thích (trong trường hợp của chúng tôi là chúng). Bất kể chúng ta viết bao nhiêu số, chúng ta luôn có thể nói trong số đó là số đầu tiên, số nào là số thứ hai, và tiếp tục đến số cuối cùng, tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về một dãy số:

Dãy số
Ví dụ, đối với chuỗi của chúng tôi:

Số được chỉ định chỉ cụ thể cho một số thứ tự. Nói cách khác, không có ba số thứ hai trong dãy. Số thứ hai (giống như số -th) luôn luôn giống nhau.
Số có số được gọi là phần tử thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ dãy là một số chữ cái (ví dụ,) và mỗi thành viên của dãy này - cùng một chữ cái với chỉ số bằng số của thành viên này:.

Trong trường hợp của chúng ta:

Giả sử chúng ta có một dãy số trong đó hiệu số giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Ví dụ:

vân vân.
Một dãy số như vậy được gọi là một cấp số cộng.
Thuật ngữ "sự tiến triển" được tác giả người La Mã Boethius đưa ra vào đầu thế kỷ thứ 6 và được hiểu theo nghĩa nghĩa rộng, như một dãy số vô hạn. Tên "số học" được chuyển từ lý thuyết về tỷ lệ liên tục, mà người Hy Lạp cổ đại đã tham gia vào.

Đây là một dãy số, mỗi phần tử bằng với phần trước đó, được cộng với cùng một số. Số này được gọi là hiệu của một cấp số cộng và được ký hiệu là.

Cố gắng xác định dãy số nào là cấp số cộng và dãy số nào không:

một)
b)
c)
d)

Hiểu rồi? So sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là một cấp số cộng - b, c.
Không phải cấp số cộng - a, d.

Quay lại tiến bộ nhất định() và cố gắng tìm giá trị của thành viên thứ của nó. Hiện hữu hai cách để tìm thấy nó.

1. Phương pháp

Chúng ta có thể thêm vào giá trị trước đó của số cấp tiến cho đến khi đạt đến số hạng thứ của cấp tiến. Thật tốt là chúng tôi không có nhiều thứ để tóm tắt - chỉ có ba giá trị:

Vì vậy, thành viên thứ-của cấp số cộng được mô tả bằng.

2. Phương pháp

Điều gì xảy ra nếu chúng ta cần tìm giá trị của số hạng thứ của cấp số nhân? Việc tổng kết sẽ khiến chúng tôi mất hơn một giờ, và thực tế không phải là chúng tôi đã không mắc sai lầm khi cộng các con số.
Tất nhiên, các nhà toán học đã nghĩ ra một cách mà bạn không cần thêm hiệu của một cấp số cộng với giá trị trước đó. Hãy quan sát kỹ bức tranh đã vẽ ... Chắc chắn bạn đã nhận ra một mẫu nào đó, cụ thể là:

Ví dụ: hãy xem điều gì tạo nên giá trị của thành viên thứ-trong cấp số cộng này:

Nói cách khác:

Cố gắng tìm một cách độc lập giá trị của một thành viên của cấp số cộng này.

Tính toán? So sánh các mục nhập của bạn với câu trả lời:

Hãy chú ý rằng bạn nhận được chính xác cùng một số như trong phương pháp trước, khi chúng tôi thêm liên tiếp các phần tử của một cấp số cộng vào giá trị trước đó.
Hãy cố gắng "cá nhân hóa" công thức này- đưa cô ấy đến hình thức chung và lấy:

Phương trình cấp số cộng.

Các cấp số cộng đang tăng hoặc giảm.

Tăng dần- tiến trình trong đó mỗi giá trị tiếp theo của các điều khoản lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Giảm dần- tiến trình trong đó mỗi giá trị tiếp theo của các điều khoản nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Công thức dẫn xuất được sử dụng để tính toán các số hạng theo cả số hạng tăng và giảm của một cấp số cộng.
Hãy kiểm tra nó trong thực tế.
Chúng ta được đưa ra một cấp số cộng bao gồm những con số sau: Hãy kiểm tra xem số thứ của cấp số cộng này sẽ ra sao nếu chúng ta sử dụng công thức của chúng tôi khi tính toán nó:

Kể từ đó:

Vì vậy, chúng tôi tin rằng công thức hoạt động theo cả việc giảm dần và tăng dần cấp số cộng.
Cố gắng tìm các thành viên thứ -th và -th của cấp số cộng này của riêng bạn.

Hãy so sánh kết quả:

Thuộc tính cấp số học

Hãy làm phức tạp nhiệm vụ - chúng ta suy ra tính chất của một cấp số cộng.
Giả sử chúng ta được đưa ra điều kiện sau:
- cấp số cộng, tìm giá trị.
Bạn nói thật dễ dàng và bắt đầu đếm theo công thức bạn đã biết:

Hãy để, a, sau đó:

Hoàn toàn đúng. Nó chỉ ra rằng đầu tiên chúng tôi tìm thấy, sau đó thêm nó vào số đầu tiên và nhận được những gì chúng tôi đang tìm kiếm. Nếu tiến trình được biểu diễn bằng các giá trị nhỏ, thì không có gì phức tạp về nó, nhưng nếu chúng ta được cung cấp các số trong điều kiện thì sao? Đồng ý, có khả năng mắc sai lầm trong tính toán.
Bây giờ hãy nghĩ xem, có thể giải quyết vấn đề này trong một bước bằng cách sử dụng bất kỳ công thức nào không? Tất nhiên, có, và chúng tôi sẽ cố gắng đưa nó ra ngay bây giờ.

Hãy biểu thị số hạng mong muốn của cấp số cộng là, chúng ta biết công thức để tìm nó - đây là công thức giống như công thức mà chúng ta suy ra ở phần đầu:
, sau đó:

thành viên trước đó của tiến trình là:
kỳ hạn tiếp theo của tiến trình là:

Hãy tổng hợp các thành viên trước đó và tiếp theo của tiến trình:

Nó chỉ ra rằng tổng của các thành viên trước đó và tiếp theo của cấp tiến bộ gấp đôi giá trị của thành viên của cấp số nhân nằm giữa chúng. Nói cách khác, để tìm giá trị của số hạng lũy tiến với các giá trị liên tiếp, bạn cần phải cộng chúng lại và chia cho.

Đúng vậy, chúng tôi có cùng một số. Hãy sửa chữa tài liệu. Hãy tự mình tính toán giá trị cho số tiến, bởi vì nó không khó chút nào.

Làm tốt! Bạn biết hầu hết mọi thứ về sự tiến bộ! Vẫn chỉ có thể tìm ra một công thức mà theo truyền thuyết, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, "vua của các nhà toán học" - Karl Gauss, đã dễ dàng tự suy ra ...

Khi Carl Gauss 9 tuổi, một giáo viên đang bận kiểm tra bài vở của học sinh các lớp khác, đã yêu cầu nhiệm vụ sau đây ở bài học: “Tính tổng của tất cả số tự nhiên từ đến (theo các nguồn khác cho đến) bao gồm. Giáo viên ngạc nhiên làm sao khi một học sinh của ông (chính là Karl Gauss) sau một phút đã đưa ra đáp án chính xác cho nhiệm vụ, trong khi hầu hết các bạn cùng lớp của những kẻ liều lĩnh sau nhiều lần tính toán lại nhận được kết quả sai ...

Carl Gauss thời trẻ đã nhận thấy một hình mẫu mà bạn có thể dễ dàng nhận thấy.
Giả sử chúng ta có một cấp số cộng bao gồm các thành viên -ti: Chúng ta cần tìm tổng các thành viên đã cho của cấp số cộng. Tất nhiên, chúng ta có thể tính tổng tất cả các giá trị theo cách thủ công, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta cần tìm tổng các số hạng của nó trong nhiệm vụ, như Gauss đang tìm kiếm?

Hãy mô tả sự tiến triển được cung cấp cho chúng tôi. Nhìn kỹ các số được đánh dấu và cố gắng thực hiện các phép toán khác nhau với chúng.

Cố gắng? Bạn đã nhận thấy điều gì? Chính xác! Tổng của chúng bằng nhau

Bây giờ hãy trả lời, sẽ có bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình được đưa ra cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa của tất cả các con số.
Dựa trên thực tế rằng tổng của hai thành viên của một cấp số cộng bằng nhau và các cặp tương tự bằng nhau, chúng ta nhận được rằng tổng cộng bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Trong một số vấn đề, chúng tôi không biết số hạng thứ, nhưng chúng tôi biết sự khác biệt về lũy tiến. Cố gắng thay thế trong công thức tổng, công thức của thành viên thứ.
Bạn đã nhận được gì?

Làm tốt! Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại bài toán đã được đưa cho Carl Gauss: hãy tự tính toán xem tổng các số bắt đầu từ -th là bao nhiêu và tổng các số bắt đầu từ -th.

Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss đã hóa ra rằng tổng các số hạng bằng nhau và tổng các số hạng. Đó có phải là cách bạn quyết định?

Trên thực tế, công thức tính tổng các thành viên của một cấp số cộng đã được chứng minh bởi nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Diophantus vào thế kỷ thứ 3, và trong suốt thời gian này. người hóm hỉnhđã sử dụng các thuộc tính của một cấp số cộng với might và main.
Ví dụ, hãy tưởng tượng Ai Cập cổ đại và công trường xây dựng lớn nhất thời bấy giờ - công trình xây dựng kim tự tháp ... Hình bên cho thấy một mặt của nó.

Bạn nói đâu là sự tiến triển ở đây? Hãy xem xét cẩn thận và tìm một mô hình trong số lượng khối cát trong mỗi hàng của bức tường kim tự tháp.

Tại sao không phải là một cấp số cộng? Đếm xem cần bao nhiêu khối để xây một bức tường nếu đặt gạch khối vào đế. Tôi hy vọng bạn sẽ không đếm bằng cách di chuyển ngón tay của bạn trên màn hình, bạn có nhớ công thức cuối cùng và mọi thứ chúng ta đã nói về cấp số cộng không?

TẠI trường hợp này sự tiến triển trông như thế này:
Hiệu cấp số cộng.
Số thành viên của một cấp số cộng.
Hãy thay thế dữ liệu của chúng tôi vào các công thức cuối cùng (chúng tôi đếm số khối theo 2 cách).

Phương pháp 1.

Phương pháp 2.

Và bây giờ bạn cũng có thể tính toán trên màn hình: so sánh các giá trị thu được với số khối có trong kim tự tháp của chúng ta. Nó đã đồng ý chưa? Làm tốt lắm, bạn đã nắm được tổng các số hạng thứ của một cấp số cộng.
Tất nhiên, bạn không thể xây một kim tự tháp từ các khối ở chân đế, nhưng từ? Hãy thử tính xem cần bao nhiêu viên gạch cát để xây một bức tường với điều kiện này.
Bạn đã quản lý?
Câu trả lời đúng là các khối:

Tập thể dục

Nhiệm vụ:

Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần ngồi xổm lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong tuần nếu cô ấy squat ở buổi tập đầu tiên.
Tổng của tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu.
Khi lưu trữ nhật ký, thợ rừng xếp chồng chúng theo cách sao cho mỗi lớp trên cùng chứa ít nhật ký hơn lớp trước. Có bao nhiêu bản ghi trong một khối xây, nếu nền của khối xây là các bản ghi.

Câu trả lời:

Hãy để chúng tôi xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
(tuần = ngày).
Trả lời: Trong hai tuần, Masha nên ngồi xổm mỗi ngày một lần.
Số lẻ đầu tiên, số cuối cùng.
Hiệu cấp số cộng.
Tuy nhiên, số lượng các số lẻ bằng một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm phần tử thứ-của một cấp số cộng:
Các số có chứa các số lẻ.
Chúng tôi thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:
Trả lời: Tổng của tất cả các số lẻ có trong bằng.
Nhắc lại bài toán về hình chóp. Đối với trường hợp của chúng ta, a, vì mỗi lớp trên cùng bị giảm đi một bản ghi, nên chỉ có một loạt các lớp, nghĩa là.
Thay thế dữ liệu trong công thức:
Trả lời: Có các bản ghi trong khối xây.

Tổng hợp

- dãy số trong đó hiệu số giữa các số liền kề là giống nhau và bằng nhau. Nó đang tăng và giảm.
Tìm công thức thành viên thứ của một cấp số cộng được viết bởi công thức -, trong đó là số lượng các số trong cấp số cộng.
Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng- - trong đó - số lượng các số trong lũy tiến.
Tổng các thành viên của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:

, số lượng giá trị ở đâu.

CẤP SỐ CỘNG. CẤP ĐỘ TRUNG GIAN

Dãy số

Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu tùy thích. Nhưng bạn luôn có thể biết cái nào trong số chúng là cái đầu tiên, cái nào là thứ hai, v.v., tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về một dãy số.

Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Nói cách khác, mỗi số có thể được liên kết với một số tự nhiên nhất định, và chỉ một. Và chúng tôi sẽ không gán số này cho bất kỳ số nào khác từ bộ này.

Số có số được gọi là phần tử thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ dãy là một số chữ cái (ví dụ,) và mỗi thành viên của dãy này - cùng một chữ cái với chỉ số bằng số của thành viên này:.

Sẽ rất thuận tiện nếu thành viên thứ của dãy có thể được cho bởi một số công thức. Ví dụ, công thức

thiết lập trình tự:

Và công thức là dãy sau:

Ví dụ, một cấp số cộng là một dãy số (số hạng đầu tiên ở đây là bằng và hiệu). Hoặc (, sự khác biệt).

công thức số hạng thứ n

Chúng tôi gọi công thức lặp lại, trong đó, để tìm ra số hạng thứ, bạn cần biết số hạng trước đó hoặc một số số hạng trước đó:

Ví dụ, để tìm số hạng thứ của lũy tiến bằng công thức như vậy, chúng ta phải tính số hạng chín trước đó. Ví dụ, hãy để. Sau đó:

Chà, bây giờ thì rõ ràng là công thức là gì?

Trong mỗi dòng, chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Để làm gì? Rất đơn giản: đây là số thành viên hiện tại bị trừ:

Bây giờ thoải mái hơn nhiều, phải không? Chung ta kiểm tra:

Quyết định cho chính mình:

Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ trăm.

Quyết định:

Thành viên đầu tiên là bình đẳng. Và sự khác biệt là gì? Và đây là những gì:

(xét cho cùng, nó được gọi là hiệu số vì nó bằng hiệu số của các thành viên kế tiếp nhau trong tiến trình).

Vì vậy, công thức là:

Khi đó số hạng thứ một trăm là:

Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là bao nhiêu?

Theo truyền thuyết, nhà toán học vĩ đại Carl Gauss, một cậu bé 9 tuổi, đã tính toán số tiền này trong vài phút. Ông nhận thấy rằng tổng của số đầu tiên và số cuối cùng bằng nhau, tổng của số thứ hai và áp chót bằng nhau, tổng của số thứ ba và số thứ 3 từ cuối cùng bằng nhau, v.v. Có bao nhiêu cặp như vậy? Đúng vậy, chính xác là một nửa số của tất cả các con số, nghĩa là. Cho nên,

Công thức chung cho tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả số có hai chữ số, bội số.

Quyết định:

Con số như vậy đầu tiên là cái này. Mỗi điều sau đây có được bằng cách thêm vào số trước. Do đó, số lượng quan tâm đối với chúng tôi hình thành cấp số cộng với số hạng đầu tiên và sự khác biệt.

Công thức của số hạng thứ cho tiến trình này là:

Có bao nhiêu số hạng trong cấp tiến nếu chúng phải có hai chữ số?

Rất dễ: .

Số hạng cuối cùng của lũy tiến sẽ bằng nhau. Sau đó, tổng:

Trả lời: .

Bây giờ hãy tự quyết định:

Mỗi ngày vận động viên chạy hơn ngày trước 1m. Hỏi người đó sẽ chạy được bao nhiêu km trong tuần nếu ngày đầu tiên chạy được km m?
Một người đi xe đạp mỗi ngày nhiều hơn số km so với người trước đó. Vào ngày đầu tiên anh ta đã đi được km. Anh ta phải lái xe bao nhiêu ngày để đi hết một km? Người đó sẽ đi được bao nhiêu km vào ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
Giá tủ lạnh trong cửa hàng năm nào cũng giảm tương ứng. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.

Câu trả lời:

Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của tiến trình này:
.
Trả lời:
Ở đây nó được đưa ra:, nó là cần thiết để tìm.
Rõ ràng, bạn cần sử dụng cùng một công thức tính tổng như trong bài toán trước:
.
Thay thế các giá trị:
Gốc rõ ràng là không phù hợp, vì vậy câu trả lời.
Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày qua bằng công thức của số hạng thứ:
(km).
Trả lời:
Được cho: . Để tìm: .
Nó không trở nên dễ dàng hơn:
(xoa).
Trả lời:

CẤP SỐ CỘNG. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

Đây là một dãy số trong đó sự khác biệt giữa các số liền kề là giống nhau và bằng nhau.

Cấp số cộng ngày càng tăng () và giảm dần ().

Ví dụ:

Công thức tìm phần tử thứ n của một cấp số cộng

được viết dưới dạng công thức, ở đó là số lượng các số trong cấp số nhân.

Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng

Nó giúp dễ dàng tìm thấy một thành viên của tiến trình nếu các thành viên lân cận của nó được biết - số lượng các số trong tiến trình ở đâu.

Tổng các thành viên của một cấp số cộng

Có hai cách để tìm tổng:

Số lượng giá trị ở đâu.

Cấp độ đầu tiên

Cấp số cộng. Lý thuyết chi tiết có ví dụ (2019)

Dãy số

Dãy số
Ví dụ, đối với chuỗi của chúng tôi:

Chúng ta thường gọi toàn bộ dãy là một số chữ cái (ví dụ,) và mỗi thành viên của dãy này - cùng một chữ cái với chỉ số bằng số của thành viên này:.

Trong trường hợp của chúng ta:

Giả sử chúng ta có một dãy số trong đó hiệu số giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Ví dụ:

vân vân.
Một dãy số như vậy được gọi là một cấp số cộng.
Thuật ngữ "lũy tiến" được tác giả người La Mã Boethius đưa ra từ đầu thế kỷ thứ 6 và được hiểu theo nghĩa rộng hơn là một dãy số vô tận. Tên "số học" được chuyển từ lý thuyết về tỷ lệ liên tục, mà người Hy Lạp cổ đại đã tham gia vào.

Cố gắng xác định dãy số nào là cấp số cộng và dãy số nào không:

một)
b)
c)
d)

Hiểu rồi? So sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là một cấp số cộng - b, c.
Không phải cấp số cộng - a, d.

Hãy quay lại lũy tiến đã cho () và cố gắng tìm giá trị của thành viên thứ của nó. Hiện hữu hai cách để tìm thấy nó.

1. Phương pháp

Vì vậy, thành viên thứ-của cấp số cộng được mô tả bằng.

2. Phương pháp

Ví dụ: hãy xem điều gì tạo nên giá trị của thành viên thứ-trong cấp số cộng này:

Nói cách khác:

Cố gắng tìm một cách độc lập giá trị của một thành viên của cấp số cộng này.

Tính toán? So sánh các mục nhập của bạn với câu trả lời:

Hãy chú ý rằng bạn nhận được chính xác cùng một số như trong phương pháp trước, khi chúng tôi thêm liên tiếp các phần tử của một cấp số cộng vào giá trị trước đó.
Hãy thử "phi cá nhân hóa" công thức này - chúng tôi đưa nó vào một dạng tổng quát và nhận được:

Phương trình cấp số cộng.

Các cấp số cộng đang tăng hoặc giảm.

Tăng dần- tiến trình trong đó mỗi giá trị tiếp theo của các điều khoản lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Giảm dần- tiến trình trong đó mỗi giá trị tiếp theo của các điều khoản nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Công thức dẫn xuất được sử dụng để tính toán các số hạng theo cả số hạng tăng và giảm của một cấp số cộng.
Hãy kiểm tra nó trong thực tế.
Chúng ta được cho một cấp số cộng bao gồm các số sau:

Kể từ đó:

Hãy so sánh kết quả:

Thuộc tính cấp số học

Hãy để, a, sau đó:

thành viên trước đó của tiến trình là:
kỳ hạn tiếp theo của tiến trình là:

Hãy tổng hợp các thành viên trước đó và tiếp theo của tiến trình:

Nó chỉ ra rằng tổng của các thành viên trước đó và tiếp theo của cấp tiến bộ gấp đôi giá trị của thành viên của cấp số nhân nằm giữa chúng. Nói cách khác, để tìm giá trị của một lũy thừa với các giá trị trước đó và kế tiếp đã biết, cần phải cộng chúng và chia cho.

Đúng vậy, chúng tôi có cùng một số. Hãy sửa chữa tài liệu. Hãy tự mình tính toán giá trị cho số tiến, bởi vì nó không khó chút nào.

Khi Carl Gauss lên 9 tuổi, thầy giáo bận kiểm tra bài vở của học sinh các lớp khác đã yêu cầu nhiệm vụ sau đây ở tiết học: “Tính tổng của tất cả các số tự nhiên từ lớn đến (theo các nguồn khác cho đến). " Giáo viên ngạc nhiên làm sao khi một học sinh của ông (chính là Karl Gauss) sau một phút đã đưa ra đáp án chính xác cho nhiệm vụ, trong khi hầu hết các bạn cùng lớp của những kẻ liều lĩnh sau nhiều lần tính toán lại nhận được kết quả sai ...

Bây giờ hãy trả lời, sẽ có bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình được đưa ra cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa của tất cả các con số.
Dựa trên thực tế rằng tổng của hai thành viên của một cấp số cộng bằng nhau và các cặp số tương tự bằng nhau, chúng ta nhận được rằng tổng của tổng bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss đã hóa ra rằng tổng các số hạng bằng nhau và tổng các số hạng. Đó có phải là cách bạn quyết định?

Trên thực tế, công thức tính tổng các thành viên của một cấp số cộng đã được nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Diophantus chứng minh vào thế kỷ thứ 3, và trong suốt thời gian này, những người dí dỏm đã sử dụng các tính chất của một cấp số cộng với hùng và chính.
Ví dụ, hãy tưởng tượng Ai Cập cổ đại và công trường xây dựng lớn nhất thời bấy giờ - việc xây dựng một kim tự tháp ... Hình bên cho thấy một mặt của nó.

Trong trường hợp này, tiến trình trông như thế này:
Hiệu cấp số cộng.
Số thành viên của một cấp số cộng.
Hãy thay thế dữ liệu của chúng tôi vào các công thức cuối cùng (chúng tôi đếm số khối theo 2 cách).

Phương pháp 1.

Phương pháp 2.

Tập thể dục

Nhiệm vụ:

Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần ngồi xổm lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong tuần nếu cô ấy squat ở buổi tập đầu tiên.
Tổng của tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu.
Khi lưu trữ nhật ký, thợ rừng xếp chồng chúng theo cách sao cho mỗi lớp trên cùng chứa ít nhật ký hơn lớp trước. Có bao nhiêu bản ghi trong một khối xây, nếu nền của khối xây là các bản ghi.

Câu trả lời:

Hãy để chúng tôi xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
(tuần = ngày).
Trả lời: Trong hai tuần, Masha nên ngồi xổm mỗi ngày một lần.
Số lẻ đầu tiên, số cuối cùng.
Hiệu cấp số cộng.
Tuy nhiên, số lượng các số lẻ bằng một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm phần tử thứ-của một cấp số cộng:
Các số có chứa các số lẻ.
Chúng tôi thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:
Trả lời: Tổng của tất cả các số lẻ có trong bằng.
Nhắc lại bài toán về hình chóp. Đối với trường hợp của chúng ta, a, vì mỗi lớp trên cùng bị giảm đi một bản ghi, nên chỉ có một loạt các lớp, nghĩa là.
Thay thế dữ liệu trong công thức:
Trả lời: Có các bản ghi trong khối xây.

Tổng hợp

- dãy số trong đó hiệu số giữa các số liền kề là giống nhau và bằng nhau. Nó đang tăng và giảm.
Tìm công thức thành viên thứ của một cấp số cộng được viết bởi công thức -, trong đó là số lượng các số trong cấp số cộng.
Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng- - trong đó - số lượng các số trong lũy tiến.
Tổng các thành viên của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:

, số lượng giá trị ở đâu.

CẤP SỐ CỘNG. CẤP ĐỘ TRUNG GIAN

Dãy số

Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Số có số được gọi là phần tử thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ dãy là một số chữ cái (ví dụ,) và mỗi thành viên của dãy này - cùng một chữ cái với chỉ số bằng số của thành viên này:.

Sẽ rất thuận tiện nếu thành viên thứ của dãy có thể được cho bởi một số công thức. Ví dụ, công thức

thiết lập trình tự:

Và công thức là dãy sau:

Ví dụ, một cấp số cộng là một dãy số (số hạng đầu tiên ở đây là bằng và hiệu). Hoặc (, sự khác biệt).

công thức số hạng thứ n

Chúng tôi gọi công thức lặp lại, trong đó, để tìm ra số hạng thứ, bạn cần biết số hạng trước đó hoặc một số số hạng trước đó:

Ví dụ, để tìm số hạng thứ của lũy tiến bằng công thức như vậy, chúng ta phải tính số hạng chín trước đó. Ví dụ, hãy để. Sau đó:

Chà, bây giờ thì rõ ràng là công thức là gì?

Trong mỗi dòng, chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Để làm gì? Rất đơn giản: đây là số thành viên hiện tại bị trừ:

Bây giờ thoải mái hơn nhiều, phải không? Chung ta kiểm tra:

Quyết định cho chính mình:

Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ trăm.

Quyết định:

Thành viên đầu tiên là bình đẳng. Và sự khác biệt là gì? Và đây là những gì:

(xét cho cùng, nó được gọi là hiệu số vì nó bằng hiệu số của các thành viên kế tiếp nhau trong tiến trình).

Vì vậy, công thức là:

Khi đó số hạng thứ một trăm là:

Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là bao nhiêu?

Theo truyền thuyết, nhà toán học vĩ đại Carl Gauss, khi đó là một cậu bé 9 tuổi, đã tính toán số tiền này trong vài phút. Ông nhận thấy rằng tổng của số đầu tiên và số cuối cùng bằng nhau, tổng của số thứ hai và áp chót bằng nhau, tổng của số thứ ba và số thứ 3 từ cuối cùng bằng nhau, v.v. Có bao nhiêu cặp như vậy? Đúng vậy, chính xác là một nửa số của tất cả các con số, nghĩa là. Cho nên,

Công thức chung cho tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả các bội có hai chữ số.

Quyết định:

Con số như vậy đầu tiên là cái này. Mỗi tiếp theo có được bằng cách thêm một số vào trước đó. Do đó, các số mà chúng ta quan tâm sẽ tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên và hiệu số.

Công thức của số hạng thứ cho tiến trình này là:

Có bao nhiêu số hạng trong cấp tiến nếu chúng phải có hai chữ số?

Rất dễ: .

Số hạng cuối cùng của lũy tiến sẽ bằng nhau. Sau đó, tổng:

Trả lời: .

Bây giờ hãy tự quyết định:

Mỗi ngày vận động viên chạy hơn ngày trước 1m. Hỏi người đó sẽ chạy được bao nhiêu km trong tuần nếu ngày đầu tiên chạy được km m?
Một người đi xe đạp mỗi ngày nhiều hơn số km so với người trước đó. Vào ngày đầu tiên anh ta đã đi được km. Anh ta phải lái xe bao nhiêu ngày để đi hết một km? Người đó sẽ đi được bao nhiêu km vào ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
Giá tủ lạnh trong cửa hàng năm nào cũng giảm tương ứng. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.

Câu trả lời:

Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của tiến trình này:
.
Trả lời:
Ở đây nó được đưa ra:, nó là cần thiết để tìm.
Rõ ràng, bạn cần sử dụng cùng một công thức tính tổng như trong bài toán trước:
.
Thay thế các giá trị:
Gốc rõ ràng là không phù hợp, vì vậy câu trả lời.
Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày qua bằng công thức của số hạng thứ:
(km).
Trả lời:
Được cho: . Để tìm: .
Nó không trở nên dễ dàng hơn:
(xoa).
Trả lời:

CẤP SỐ CỘNG. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

Đây là một dãy số trong đó sự khác biệt giữa các số liền kề là giống nhau và bằng nhau.

Cấp số cộng ngày càng tăng () và giảm dần ().

Ví dụ:

Công thức tìm phần tử thứ n của một cấp số cộng

được viết dưới dạng công thức, ở đó là số lượng các số trong cấp số nhân.

Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng

Nó giúp dễ dàng tìm thấy một thành viên của tiến trình nếu các thành viên lân cận của nó được biết - số lượng các số trong tiến trình ở đâu.

Tổng các thành viên của một cấp số cộng

Có hai cách để tìm tổng:

Số lượng giá trị ở đâu.

Loại bài học: học tài liệu mới.

Mục tiêu bài học:

mở rộng và đào sâu các ý tưởng của học sinh về các nhiệm vụ được giải bằng cách sử dụng cấp số cộng; tổ chức hoạt động tìm kiếm của học sinh khi suy ra công thức tính tổng của n hạng tử đầu tiên của một cấp số cộng;
phát triển kỹ năng tiếp thu kiến thức mới một cách độc lập, sử dụng kiến thức đã học để đạt được nhiệm vụ;
sự phát triển của mong muốn và nhu cầu khái quát các sự kiện thu được, sự phát triển của tính độc lập.

Nhiệm vụ:

khái quát và hệ thống hóa những kiến thức đã có về chủ đề “Cấp số cộng”;
suy ra công thức tính tổng của n phần tử đầu tiên của một cấp số cộng;
dạy cách áp dụng các công thức thu được để giải các bài toán khác nhau;
thu hút sự chú ý của học sinh vào quy trình tìm giá trị của một biểu thức số.

Trang thiết bị:

thẻ với các nhiệm vụ cho công việc theo nhóm và cặp;
giấy đánh giá;
bài thuyết trình"Cấp số cộng".

I. Thực trạng kiến thức cơ bản.

1. Làm việc độc lập theo cặp.

Lựa chọn đầu tiên:

Định nghĩa một cấp số cộng. viết ra công thức lặp lại, xác định một cấp số cộng. Cho một ví dụ về một cấp số cộng và chỉ ra sự khác biệt của nó.

Tùy chọn thứ 2:

Viết công thức của số hạng thứ n của một cấp số cộng. Tìm số hạng thứ 100 của một cấp số cộng ( một}: 2, 5, 8 …
Lúc này, hai học sinh mặt trái hội đồng chuẩn bị câu trả lời cho các câu hỏi tương tự.
Học sinh đánh giá bài làm của đối tác bằng cách so sánh với bảng. (Tờ rơi có đáp án được phát).

2. Trò chơi khoảnh khắc.

Bài tập 1.

Cô giáo. Tôi đã hình thành một số cấp số cộng. Chỉ hỏi tôi hai câu để sau khi có câu trả lời, bạn có thể nhanh chóng kể tên thành viên thứ 7 của tiến trình này. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Câu hỏi của sinh viên.

Số hạng thứ sáu của tiến trình là gì và sự khác biệt là gì?
Số hạng thứ tám của lũy tiến là gì và sự khác biệt là gì?

Nếu không có câu hỏi nào nữa, thì giáo viên có thể kích thích họ - một “lệnh cấm” đối với d (sự khác biệt), nghĩa là không được phép hỏi sự khác biệt là gì. Bạn có thể đặt các câu hỏi: số hạng thứ 6 của lũy tiến là gì và số hạng thứ 8 của cấp tiến là gì?

Nhiệm vụ 2.

Có 20 số được viết trên bảng: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Giáo viên đứng quay lưng vào bảng đen. Học sinh nói số của một số, và ngay lập tức giáo viên gọi số đó. Giải thích cách tôi có thể làm điều đó?

Giáo viên ghi nhớ công thức của số hạng thứ n a n \ u003d 3n - 2 và thay các giá trị đã cho của n, tìm được các giá trị tương ứng một .

II. Tuyên bố về nhiệm vụ giáo dục.

Tôi đề xuất giải quyết một vấn đề cũ có từ thiên niên kỷ thứ 2 trước Công nguyên, được tìm thấy trong giấy papyri của Ai Cập.

Nhiệm vụ:“Hãy nói với bạn: chia 10 thước lúa mạch cho 10 người, chênh lệch giữa mỗi người và người hàng xóm của anh ta là 1/8 thước đo.”

Làm thế nào để vấn đề này liên quan đến chủ đề của cấp số cộng? (Mỗi người tiếp theo lấy thêm 1/8 số đo nên hiệu là d = 1/8, 10 người nên n = 10.)
Bạn nghĩ số 10 có ý nghĩa gì? (Tổng của tất cả các thành viên của tiến trình.)
Bạn cần biết gì nữa để có thể chia đại mạch theo điều kiện của bài toán một cách dễ dàng và đơn giản? (Số hạng đầu tiên của tiến trình.)

Mục tiêu bài học- thu được sự phụ thuộc của tổng các số hạng của cấp số nhân vào số của chúng, số hạng đầu tiên và hiệu, và kiểm tra xem bài toán đã được giải đúng cách ở thời cổ đại hay chưa.

Trước khi suy ra công thức, chúng ta hãy xem người Ai Cập cổ đại đã giải quyết vấn đề như thế nào.

Và họ đã giải quyết nó như thế này:

1) 10 thước đo: 10 = 1 thước đo - tỷ lệ trung bình;
2) 1 biện pháp ∙ = 2 biện pháp - nhân đôi trung bìnhđăng lại.
tăng gấp đôi trung bình phần là tổng số cổ phần của người thứ 5 và thứ 6.
3) 2 số đo - 1/8 số đo = 1 7/8 số đo - gấp đôi phần của người thứ năm.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - phần của phần năm; và như vậy, bạn có thể tìm thấy phần chia sẻ của từng người trước đó và sau đó.

Chúng tôi nhận được trình tự:

III. Các giải pháp của nhiệm vụ.

1. Làm việc theo nhóm

Nhóm thứ nhất: Tìm tổng của 20 số tự nhiên liên tiếp: S 20 \ u003d (20 + 1) ∙ 10 \ u003d 210.

Nói chung

Nhóm II: Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100 (Truyền thuyết về Little Gauss).

S 100 \ u003d (1 + 100) ∙ 50 \ u003d 5050

Sự kết luận:

Nhóm III: Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 21.

Bài giải: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18…

Sự kết luận:

Nhóm IV: Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 101.

Sự kết luận:

Phương pháp giải quyết các vấn đề được cân nhắc này được gọi là “phương pháp Gauss”.

2. Từng nhóm trình bày lời giải bài toán trên bảng.

3. Tổng quát các giải pháp được đề xuất cho một cấp số cộng tùy ý:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n \ u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Chúng ta tìm tổng này bằng cách lập luận tương tự:

4. Chúng ta đã giải quyết xong nhiệm vụ chưa?(Đúng.)

IV. Hiểu sơ cấp và vận dụng các công thức thu được vào giải toán.

1. Kiểm tra lời giải của một bài toán cũ bằng công thức.

2. Ứng dụng của công thức trong việc giải các bài toán khác nhau.

3. Bài tập hình thành khả năng vận dụng công thức trong giải toán.

A) Số 613

Được cho :( và N) - cấp số cộng;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Để tìm: S 1500

Quyết định: , và 1 = 1 và 1500 = 1500,

B) Cho trước: ( và N) - cấp số cộng;
(và n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Để tìm: N
Quyết định:

V. Làm việc độc lập với sự xác minh lẫn nhau.

Denis đi làm chuyển phát nhanh. Trong tháng đầu tiên, tiền lương của anh ấy là 200 rúp, trong mỗi tháng tiếp theo sẽ tăng thêm 30 rúp. Anh ta kiếm được bao nhiêu trong một năm?

Được cho :( và N) - cấp số cộng;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Để tìm: S 12
Quyết định:

Trả lời: Denis đã nhận được 4380 rúp trong năm.

VI. Hướng dẫn bài tập về nhà.

trang 4.3 - tìm hiểu đạo hàm của công thức.
№№ 585, 623 .
Soạn một bài toán sẽ được giải bằng cách sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.

VII. Tổng kết bài học.

1. Bảng điểm

2. Tiếp tục các câu

Hôm nay trên lớp tôi đã học ...
Công thức đã học ...
Tôi nghĩ vậy …

3. Bạn có thể tìm tổng các số từ 1 đến 500 không? Bạn sẽ sử dụng phương pháp nào để giải quyết vấn đề này?

Thư mục.

1. Đại số, lớp 9. Hướng dẫn cho tổ chức giáo dục. Ed. G.V. Dorofeeva. Matxcova: Khai sáng, 2009.

Cấp độ đầu tiên

Cấp số cộng. Lý thuyết chi tiết có ví dụ (2019)

Dãy số

Dãy số
Ví dụ, đối với chuỗi của chúng tôi:

Chúng ta thường gọi toàn bộ dãy là một số chữ cái (ví dụ,) và mỗi thành viên của dãy này - cùng một chữ cái với chỉ số bằng số của thành viên này:.

Trong trường hợp của chúng ta:

Giả sử chúng ta có một dãy số trong đó hiệu số giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Ví dụ:

Cố gắng xác định dãy số nào là cấp số cộng và dãy số nào không:

một)
b)
c)
d)

Hiểu rồi? So sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là một cấp số cộng - b, c.
Không phải cấp số cộng - a, d.

Hãy quay lại lũy tiến đã cho () và cố gắng tìm giá trị của thành viên thứ của nó. Hiện hữu hai cách để tìm thấy nó.

1. Phương pháp

Vì vậy, thành viên thứ-của cấp số cộng được mô tả bằng.

2. Phương pháp

Ví dụ: hãy xem điều gì tạo nên giá trị của thành viên thứ-trong cấp số cộng này:

Nói cách khác:

Cố gắng tìm một cách độc lập giá trị của một thành viên của cấp số cộng này.

Tính toán? So sánh các mục nhập của bạn với câu trả lời:

Phương trình cấp số cộng.

Các cấp số cộng đang tăng hoặc giảm.

Tăng dần- tiến trình trong đó mỗi giá trị tiếp theo của các điều khoản lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Giảm dần- tiến trình trong đó mỗi giá trị tiếp theo của các điều khoản nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Kể từ đó:

Hãy so sánh kết quả:

Thuộc tính cấp số học

Hãy để, a, sau đó:

thành viên trước đó của tiến trình là:
kỳ hạn tiếp theo của tiến trình là:

Hãy tổng hợp các thành viên trước đó và tiếp theo của tiến trình:

Đúng vậy, chúng tôi có cùng một số. Hãy sửa chữa tài liệu. Hãy tự mình tính toán giá trị cho số tiến, bởi vì nó không khó chút nào.

Bây giờ hãy trả lời, sẽ có bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình được đưa ra cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa của tất cả các con số.
Dựa trên thực tế rằng tổng của hai thành viên của một cấp số cộng bằng nhau và các cặp số tương tự bằng nhau, chúng ta nhận được rằng tổng của tổng bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss đã hóa ra rằng tổng các số hạng bằng nhau và tổng các số hạng. Đó có phải là cách bạn quyết định?

Phương pháp 1.

Phương pháp 2.

Tập thể dục

Nhiệm vụ:

Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần ngồi xổm lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong tuần nếu cô ấy squat ở buổi tập đầu tiên.
Tổng của tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu.
Khi lưu trữ nhật ký, thợ rừng xếp chồng chúng theo cách sao cho mỗi lớp trên cùng chứa ít nhật ký hơn lớp trước. Có bao nhiêu bản ghi trong một khối xây, nếu nền của khối xây là các bản ghi.

Câu trả lời:

Hãy để chúng tôi xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
(tuần = ngày).
Trả lời: Trong hai tuần, Masha nên ngồi xổm mỗi ngày một lần.
Số lẻ đầu tiên, số cuối cùng.
Hiệu cấp số cộng.
Tuy nhiên, số lượng các số lẻ bằng một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm phần tử thứ-của một cấp số cộng:
Các số có chứa các số lẻ.
Chúng tôi thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:
Trả lời: Tổng của tất cả các số lẻ có trong bằng.
Nhắc lại bài toán về hình chóp. Đối với trường hợp của chúng ta, a, vì mỗi lớp trên cùng bị giảm đi một bản ghi, nên chỉ có một loạt các lớp, nghĩa là.
Thay thế dữ liệu trong công thức:
Trả lời: Có các bản ghi trong khối xây.

Tổng hợp

- dãy số trong đó hiệu số giữa các số liền kề là giống nhau và bằng nhau. Nó đang tăng và giảm.
Tìm công thức thành viên thứ của một cấp số cộng được viết bởi công thức -, trong đó là số lượng các số trong cấp số cộng.
Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng- - trong đó - số lượng các số trong lũy tiến.
Tổng các thành viên của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:

, số lượng giá trị ở đâu.

CẤP SỐ CỘNG. CẤP ĐỘ TRUNG GIAN

Dãy số

Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Số có số được gọi là phần tử thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ dãy là một số chữ cái (ví dụ,) và mỗi thành viên của dãy này - cùng một chữ cái với chỉ số bằng số của thành viên này:.

Sẽ rất thuận tiện nếu thành viên thứ của dãy có thể được cho bởi một số công thức. Ví dụ, công thức

thiết lập trình tự:

Và công thức là dãy sau:

Ví dụ, một cấp số cộng là một dãy số (số hạng đầu tiên ở đây là bằng và hiệu). Hoặc (, sự khác biệt).

công thức số hạng thứ n

Chúng tôi gọi công thức lặp lại, trong đó, để tìm ra số hạng thứ, bạn cần biết số hạng trước đó hoặc một số số hạng trước đó:

Ví dụ, để tìm số hạng thứ của lũy tiến bằng công thức như vậy, chúng ta phải tính số hạng chín trước đó. Ví dụ, hãy để. Sau đó:

Chà, bây giờ thì rõ ràng là công thức là gì?

Trong mỗi dòng, chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Để làm gì? Rất đơn giản: đây là số thành viên hiện tại bị trừ:

Bây giờ thoải mái hơn nhiều, phải không? Chung ta kiểm tra:

Quyết định cho chính mình:

Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ trăm.

Quyết định:

Thành viên đầu tiên là bình đẳng. Và sự khác biệt là gì? Và đây là những gì:

(xét cho cùng, nó được gọi là hiệu số vì nó bằng hiệu số của các thành viên kế tiếp nhau trong tiến trình).

Vì vậy, công thức là:

Khi đó số hạng thứ một trăm là:

Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là bao nhiêu?

Công thức chung cho tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả các bội có hai chữ số.

Quyết định:

Công thức của số hạng thứ cho tiến trình này là:

Có bao nhiêu số hạng trong cấp tiến nếu chúng phải có hai chữ số?

Rất dễ: .

Số hạng cuối cùng của lũy tiến sẽ bằng nhau. Sau đó, tổng:

Trả lời: .

Bây giờ hãy tự quyết định:

Mỗi ngày vận động viên chạy hơn ngày trước 1m. Hỏi người đó sẽ chạy được bao nhiêu km trong tuần nếu ngày đầu tiên chạy được km m?
Một người đi xe đạp mỗi ngày nhiều hơn số km so với người trước đó. Vào ngày đầu tiên anh ta đã đi được km. Anh ta phải lái xe bao nhiêu ngày để đi hết một km? Người đó sẽ đi được bao nhiêu km vào ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
Giá tủ lạnh trong cửa hàng năm nào cũng giảm tương ứng. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.

Câu trả lời:

Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của tiến trình này:
.
Trả lời:
Ở đây nó được đưa ra:, nó là cần thiết để tìm.
Rõ ràng, bạn cần sử dụng cùng một công thức tính tổng như trong bài toán trước:
.
Thay thế các giá trị:
Gốc rõ ràng là không phù hợp, vì vậy câu trả lời.
Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày qua bằng công thức của số hạng thứ:
(km).
Trả lời:
Được cho: . Để tìm: .
Nó không trở nên dễ dàng hơn:
(xoa).
Trả lời:

CẤP SỐ CỘNG. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

Đây là một dãy số trong đó sự khác biệt giữa các số liền kề là giống nhau và bằng nhau.

Cấp số cộng ngày càng tăng () và giảm dần ().

Ví dụ:

Công thức tìm phần tử thứ n của một cấp số cộng

được viết dưới dạng công thức, ở đó là số lượng các số trong cấp số nhân.

Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng

Nó giúp dễ dàng tìm thấy một thành viên của tiến trình nếu các thành viên lân cận của nó được biết - số lượng các số trong tiến trình ở đâu.

Tổng các thành viên của một cấp số cộng

Có hai cách để tìm tổng:

Số lượng giá trị ở đâu.