Cấp số cộngđặt tên cho một dãy số (các thành viên của một tiến trình)

Trong đó mỗi số hạng tiếp theo khác với số hạng trước bởi một số hạng thép, còn được gọi là sự khác biệt về bước hoặc tiến trình.

Do đó, bằng cách đặt bước của tiến trình và số hạng đầu tiên của nó, bạn có thể tìm thấy bất kỳ phần tử nào của nó bằng cách sử dụng công thức

Tính chất của một cấp số cộng

1) Mỗi ​​thành viên của cấp số cộng, bắt đầu từ số thứ hai, là trung bình cộng của thành viên trước đó và tiếp theo của cấp số

Các ngược lại cũng đúng. Nếu trung bình cộng của các thành viên lẻ (chẵn) lân cận của cấp số nhân bằng với thành viên đứng giữa chúng, thì dãy số này là một cấp số cộng. Theo khẳng định này, rất dễ dàng để kiểm tra bất kỳ trình tự nào.

Cũng theo tính chất của cấp số cộng, công thức trên có thể được tổng quát thành như sau

Điều này rất dễ xác minh nếu chúng ta viết các điều khoản ở bên phải của dấu bằng

Nó thường được sử dụng trong thực tế để đơn giản hóa các phép tính trong các bài toán.

2) Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng được tính bằng công thức

Nhớ kỹ công thức tính tổng của một cấp số cộng, nó không thể thiếu trong các phép tính và khá phổ biến trong các tình huống đơn giản của cuộc sống.

3) Nếu bạn không cần phải tìm toàn bộ tổng mà là một phần của dãy bắt đầu từ thành viên thứ k của nó, thì công thức tổng sau đây sẽ hữu ích cho bạn

4) Điều quan tâm thực tế là tìm tổng của n phần tử của một cấp số cộng bắt đầu từ số thứ k. Để làm điều này, hãy sử dụng công thức

Đây là lúc tài liệu lý thuyết kết thúc và chúng ta chuyển sang giải quyết các vấn đề thường gặp trong thực tế.

Ví dụ 1. Tìm số hạng thứ bốn mươi của cấp số cộng 4; 7; ...

Quyết định:

Theo điều kiện, chúng tôi có

Xác định bước tiến triển

Theo công thức nổi tiếng, chúng tôi tìm thấy số hạng thứ bốn mươi của tiến trình

Ví dụ2. Cấp số cộng được cho bởi các thành viên thứ ba và thứ bảy. Tìm số hạng đầu tiên của cấp tiến và tổng của mười.

Quyết định:

Chúng tôi viết các phần tử đã cho của cấp tiến theo công thức

Chúng tôi trừ phương trình đầu tiên khỏi phương trình thứ hai, kết quả là chúng ta tìm thấy bước lũy tiến

Giá trị tìm được được thay vào bất kỳ phương trình nào để tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tính tổng của mười số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Không cần áp dụng các phép tính phức tạp, chúng tôi đã tìm thấy tất cả các giá trị cần thiết.

Ví dụ 3. Một cấp số cộng được cho bởi mẫu số và một trong các thành viên của nó. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân, tổng 50 số hạng của nó bắt đầu từ 50 và tổng của 100 số hạng đầu tiên.

Quyết định:

Hãy viết công thức cho phần tử thứ trăm của cấp số nhân

và tìm cái đầu tiên

Dựa trên số thứ nhất, chúng tôi tìm thấy số hạng thứ 50 của tiến trình

Tìm tổng của một phần của tiến trình

và tổng của 100 đầu tiên

Tổng của lũy tiến là 250.

Ví dụ 4

Tìm số thành viên của một cấp số cộng nếu:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Quyết định:

Chúng tôi viết các phương trình dưới dạng số hạng đầu tiên và bước của cấp tiến và xác định chúng

Chúng tôi thay thế các giá trị thu được vào công thức tổng để xác định số thành viên trong tổng

Đơn giản hóa

và giải phương trình bậc hai

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có số 8 là phù hợp với điều kiện của bài toán. Do đó, tổng của tám số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 111.

Ví dụ 5

giải phương trình

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Giải: Phương trình này là tổng của một cấp số cộng. Chúng tôi viết ra số hạng đầu tiên của nó và tìm sự khác biệt của tiến trình

Máy tính trực tuyến.
Giải pháp cấp số cộng.
Cho: a n, d, n
Tìm: a 1

Chương trình toán học này tìm \ (a_1 \) của một cấp số cộng dựa trên các số do người dùng chỉ định \ (a_n, d \) và \ (n \).
Các số \ (a_n \) và \ (d \) không chỉ có thể được chỉ định dưới dạng số nguyên mà còn ở dạng phân số. Hơn nữa, một số phân số có thể được nhập dưới dạng phân số thập phân (\ (2.5 \)) và dưới dạng phân số thông thường (\ (- 5 \ frac (2) (7) \)).

Chương trình không chỉ đưa ra câu trả lời cho vấn đề mà còn hiển thị quá trình tìm ra giải pháp.

Máy tính trực tuyến này có thể hữu ích cho học sinh trung học trong việc chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, kiểm tra kiến ​​thức trước kỳ thi Thống nhất Quốc gia và cho phụ huynh kiểm soát lời giải của nhiều bài toán trong toán học và đại số. Hoặc có thể nó quá đắt đối với bạn để thuê một gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành bài tập toán hoặc đại số của mình càng nhanh càng tốt? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với một giải pháp chi tiết.

Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo của chính mình và / hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của bạn, trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực nhiệm vụ cần giải quyết được tăng lên.

Nếu bạn không quen với các quy tắc nhập số, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.

Quy tắc nhập số

Các số \ (a_n \) và \ (d \) không chỉ có thể được chỉ định dưới dạng số nguyên mà còn ở dạng phân số.
Số \ (n \) chỉ có thể là một số nguyên dương.

Quy tắc nhập phân số thập phân.
Phần nguyên và phần thập phân có thể được phân tách bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy.
Ví dụ: bạn có thể nhập các số thập phân như 2,5 hoặc như 2,5

Quy tắc nhập phân số thông thường.
Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số.

Mẫu số không được âm.

Khi nhập phân số, tử số được ngăn cách với mẫu số bằng một dấu chia: /
Đầu vào:
Kết quả: \ (- \ frac (2) (3) \)

Phần nguyên được phân tách khỏi phân số bằng dấu và: &
Đầu vào:
Kết quả: \ (- 1 \ frac (2) (3) \)

Nhập các số a n, d, n

Tìm một 1

Người ta thấy rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết công việc này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.

Bạn đã tắt JavaScript trong trình duyệt của mình.
JavaScript phải được bật để giải pháp xuất hiện.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.

Tại vì Có rất nhiều người muốn giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn xếp hàng.
Sau một vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Làm ơn chờ giây ...

nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, sau đó bạn có thể viết về nó trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định điều gì nhập vào các lĩnh vực.

Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:

Một chút lý thuyết.

Dãy số

Trong thực tế hàng ngày, việc đánh số các đối tượng khác nhau thường được sử dụng để chỉ ra thứ tự vị trí của chúng. Ví dụ, các ngôi nhà trên mỗi con phố được đánh số. Trong thư viện, các đăng ký của độc giả được đánh số và sau đó sắp xếp theo thứ tự của các số được ấn định trong các tủ tài liệu đặc biệt.

Trong một ngân hàng tiết kiệm, bằng số tài khoản cá nhân của người gửi tiền, bạn có thể dễ dàng tìm thấy tài khoản này và xem nó có loại tiền gửi nào. Giả sử có một khoản tiền gửi a1 rúp vào tài khoản số 1, một khoản tiền gửi a2 rúp vào tài khoản số 2, v.v. Hóa ra là dãy số
a 1, a 2, a 3, ..., a N
trong đó N là số tất cả các tài khoản. Ở đây, mỗi số tự nhiên n từ 1 đến N được gán một số a n.

Toán học cũng nghiên cứu dãy số vô hạn:
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
Số a 1 được gọi là thành viên đầu tiên của chuỗi, số a 2 - thành viên thứ hai của chuỗi, số a 3 - thành viên thứ ba của chuỗi vân vân.
Số a n được gọi là thành viên thứ n (thứ n) của dãy, và số tự nhiên n là con số.

Ví dụ, trong dãy bình phương các số tự nhiên 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... và 1 = 1 là thành viên đầu tiên của dãy; và n = n 2 là thành viên thứ n của dãy; a n + 1 = (n + 1) 2 là phần tử thứ (n + 1) của dãy số. Thường thì một dãy có thể được xác định bằng công thức của số hạng thứ n của nó. Ví dụ: công thức \ (a_n = \ frac (1) (n), \; n \ in \ mathbb (N) \) cho dãy \ (1, \; \ frac (1) (2), \; \ frac (1) (3), \; \ frac (1) (4), \ dấu chấm, \ frac (1) (n), \ dấu chấm \)

Cấp số cộng

Độ dài của một năm là khoảng 365 ngày. Giá trị chính xác hơn là \ (365 \ frac (1) (4) \) ngày, vì vậy cứ sau bốn năm, một ngày sẽ tích lũy sai số.

Để giải thích cho sai số này, một ngày được thêm vào mỗi năm thứ tư, và năm kéo dài được gọi là năm nhuận.

Ví dụ, trong thiên niên kỷ thứ ba, các năm nhuận là 2004, 2008, 2012, 2016,….

Trong dãy này, mỗi thành viên, bắt đầu từ thứ hai, bằng phần trước, được thêm vào với cùng số 4. Các dãy như vậy được gọi là cấp số cộng.

Sự định nghĩa.
Dãy số a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... được gọi là cấp số cộng, nếu với mọi tự nhiên n thì bình đẳng
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \)
trong đó d là số nào đó.

Theo công thức này, a n + 1 - a n = d. Số d được gọi là hiệu cấp số cộng.

Theo định nghĩa của một cấp số cộng, chúng ta có:
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \ quad a_ (n-1) = a_n-d, \)
ở đâu
\ (a_n = \ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \), trong đó \ (n> 1 \)

Như vậy, mỗi thành viên của cấp số cộng, bắt đầu từ cấp thứ hai, bằng trung bình cộng của hai thành viên liền kề với nó. Điều này giải thích cho cái tên cấp tiến "số học".

Lưu ý rằng nếu cho trước a 1 và d thì các số hạng còn lại của cấp số cộng có thể được tính bằng công thức đệ quy a n + 1 = a n + d. Bằng cách này, không khó để tính toán một vài số hạng đầu tiên của lũy tiến, tuy nhiên, ví dụ, đối với 100, rất nhiều phép tính sẽ được yêu cầu. Thông thường, công thức số hạng thứ n được sử dụng cho việc này. Theo định nghĩa của một cấp số cộng
\ (a_2 = a_1 + d, \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d, \)
\ (a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d \)
vân vân.
Nói chung là,
\ (a_n = a_1 + (n-1) d, \)
vì thành viên thứ n của một cấp số cộng được lấy từ thành viên đầu tiên bằng cách cộng (n-1) nhân với số d.
Công thức này được gọi là công thức của thành viên thứ n của một cấp số cộng.

Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

Hãy tìm tổng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 100.
Chúng tôi viết tổng này theo hai cách:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Chúng tôi thêm các phần tử bình đẳng này theo từng thuật ngữ:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Có 100 điều khoản trong tổng này.
Do đó, 2S = 101 * 100, khi đó S = 101 * 50 = 5050.

Bây giờ hãy xem xét một cấp số cộng tùy ý
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Gọi S n là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp tiến này:
S n \ u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
sau đó tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)

Vì \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), sau đó thay thế n vào công thức này, chúng ta nhận được một công thức khác để tìm tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \)

Sách (SGK) Tóm tắt về Kỳ thi thống nhất và kiểm tra OGE trực tuyến Trò chơi, câu đố Vẽ đồ thị chức năng Từ điển chính tả tiếng Nga Từ điển tiếng lóng của giới trẻ Danh mục các trường phổ thông ở Nga Danh mục các trường trung học ở Nga Danh mục các trường đại học Nga Danh mục nhiệm vụ

Ví dụ, dãy \ (2 \); \ (5 \); \(tám\); \ (mười một \); \ (14 \)… là một cấp số cộng, bởi vì mỗi phần tử tiếp theo khác với phần tử trước đó bởi ba phần tử (có thể lấy phần tử trước đó bằng cách thêm ba phần tử):

Trong tiến trình này, hiệu \ (d \) là dương (bằng \ (3 \)), và do đó mỗi số hạng tiếp theo lớn hơn số hạng trước. Những tiến triển như vậy được gọi là tăng dần.

Tuy nhiên, \ (d \) cũng có thể là một số âm. Ví dụ, theo cấp số cộng \ (16 \); \(mười\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \)… hiệu số lũy tiến \ (d \) bằng trừ sáu.

Và trong trường hợp này, mỗi phần tử tiếp theo sẽ ít hơn phần tử trước. Những tiến bộ này được gọi là giảm dần.

Ký hiệu cấp số học

Sự tiến bộ được biểu thị bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Các con số tạo thành một cấp số tiến được gọi là các thành viên(hoặc các phần tử).

Chúng được ký hiệu bằng chữ cái giống như cấp số cộng, nhưng có chỉ số bằng số phần tử theo thứ tự.

Ví dụ, cấp số cộng \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14… \ right \) \) bao gồm các phần tử \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \), v.v.

Nói cách khác, đối với tiến trình \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14… \ right \) \)

Giải các bài toán trên một cấp số cộng

Về nguyên tắc, thông tin trên đã đủ để giải hầu hết mọi vấn đề trên cấp số cộng (bao gồm cả những vấn đề được cung cấp tại OGE).

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được cho bởi các điều kiện \ (b_1 = 7; d = 4 \). Tìm \ (b_5 \).
Quyết định:

Trả lời: \ (b_5 = 23 \)

Ví dụ (OGE). Ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng được cho: \ (62; 49; 36… \) Tìm giá trị của số hạng âm đầu tiên của cấp số cộng này ..
Quyết định:

	Chúng ta được cung cấp các phần tử đầu tiên của dãy và biết rằng đó là một cấp số cộng. Nghĩa là, mỗi phần tử khác với phần tử lân cận bởi cùng một số. Tìm ra cái nào bằng cách trừ phần trước cho phần tử tiếp theo: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Bây giờ chúng ta có thể khôi phục tiến trình của chúng ta về phần tử mong muốn (phủ định đầu tiên).
	Sẵn sàng. Bạn có thể viết một câu trả lời.

Trả lời: \(-3\)

Ví dụ (OGE). Một số phần tử liên tiếp của một cấp số cộng được cho: \ (... 5; x; 10; 12,5 ... \) Tìm giá trị của phần tử được ký hiệu bằng chữ cái \ (x \).
Quyết định:

	Để tìm \ (x \), chúng ta cần biết phần tử tiếp theo khác với phần trước đó bao nhiêu, hay nói cách khác là sự chênh lệch lũy tiến. Hãy tìm nó từ hai phần tử lân cận đã biết: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \).
	Và bây giờ chúng tôi tìm thấy những gì chúng tôi đang tìm kiếm mà không gặp bất kỳ sự cố nào: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \).
	Sẵn sàng. Bạn có thể viết một câu trả lời.

Trả lời: \(7,5\).

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được cho bởi các điều kiện sau: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Tìm tổng của sáu số hạng đầu tiên của cấp tiến này.
Quyết định:

Chúng ta cần tìm tổng của sáu số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Nhưng chúng tôi không biết ý nghĩa của chúng, chúng tôi chỉ được cung cấp yếu tố đầu tiên. Do đó, trước tiên, chúng tôi tính toán các giá trị lần lượt bằng cách sử dụng các giá trị đã cho: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) Và sau khi tính toán sáu phần tử chúng tôi cần, chúng tôi tìm thấy tổng của chúng.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Số tiền yêu cầu đã được tìm thấy.

Trả lời: \ (S_6 = 9 \).

Ví dụ (OGE). Theo cấp số cộng \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Tìm sự khác biệt của tiến trình này.
Quyết định:

Trả lời: \ (d = 7 \).

Các công thức lũy tiến số học quan trọng

Như bạn có thể thấy, nhiều vấn đề về cấp số cộng có thể được giải quyết đơn giản bằng cách hiểu điều chính - rằng cấp số cộng là một chuỗi số và mỗi phần tử tiếp theo trong chuỗi này có được bằng cách cộng cùng một số với phần trước (sự khác biệt của tiến trình).

Tuy nhiên, đôi khi có những tình huống giải quyết “sứt đầu mẻ trán” rất bất tiện. Ví dụ, hãy tưởng tượng rằng trong ví dụ đầu tiên, chúng ta không cần tìm phần tử thứ năm \ (b_5 \), mà là ba trăm tám mươi sáu \ (b_ (386) \). Đó là gì, chúng tôi (385 \) lần để thêm bốn? Hoặc tưởng tượng rằng trong ví dụ áp chót, bạn cần tìm tổng của 73 phần tử đầu tiên. Việc đếm thật khó hiểu ...

Do đó, trong những trường hợp như vậy, họ không giải quyết “trên trán”, mà sử dụng các công thức đặc biệt rút ra cho cấp số cộng. Và công thức chính là công thức cho số hạng thứ n của cấp số nhân và công thức tính tổng \ (n \) của các số hạng đầu tiên.

Công thức cho thành viên thứ \ (n \): \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), trong đó \ (a_1 \) là thành viên đầu tiên của tiến trình;
\ (n \) - số phần tử bắt buộc;
\ (a_n \) là một thành viên của tiến trình với số \ (n \).

Công thức này cho phép chúng ta nhanh chóng tìm ra ít nhất phần tử thứ ba trăm, thậm chí là phần tử thứ triệu, chỉ biết sự khác biệt đầu tiên và lũy tiến.

Ví dụ. Cấp số cộng được cho bởi các điều kiện: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Tìm \ (b_ (246) \).
Quyết định:

Trả lời: \ (b_ (246) = 1850 \).

Công thức tổng của n số hạng đầu tiên là: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), trong đó

\ (a_n \) là số hạng tổng cuối cùng;

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được cho bởi các điều kiện \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Tìm tổng của \ (25 \) số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.
Quyết định:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Để tính tổng của hai mươi lăm phần tử đầu tiên, chúng ta cần biết giá trị của số hạng thứ nhất và thứ hai mươi lăm. Tiến trình của chúng ta được cho bởi công thức của số hạng thứ n tùy thuộc vào số của nó (xem chi tiết). Hãy tính toán phần tử đầu tiên bằng cách thay thế \ (n \) bằng một phần tử.
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \)		Bây giờ, hãy tìm số hạng thứ hai mươi lăm bằng cách thay hai mươi lăm thay cho \ (n \).
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \)		Vâng, bây giờ chúng tôi tính toán số tiền cần thiết mà không có bất kỳ vấn đề nào.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2,8 + 84,4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Câu trả lời đã sẵn sàng.

Trả lời: \ (S_ (25) = 1090 \).

Đối với tổng \ (n \) của các số hạng đầu tiên, bạn có thể nhận được một công thức khác: bạn chỉ cần \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) thay vì \ (a_n \) hãy thay thế công thức cho nó \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Chúng tôi nhận được:

Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên là: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), trong đó

\ (S_n \) - tổng bắt buộc \ (n \) của các phần tử đầu tiên;
\ (a_1 \) là số hạng đầu tiên được tính tổng;
\ (d \) - hiệu số lũy tiến;
\ (n \) - số phần tử trong tổng.

Ví dụ. Tìm tổng của \ (33 \) - số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \ (17 \); \ (15,5 \); \(mười bốn\)…
Quyết định:

Trả lời: \ (S_ (33) = - 231 \).

Các bài toán cấp số cộng phức tạp hơn

Bây giờ bạn có tất cả thông tin cần thiết để giải hầu hết mọi vấn đề về cấp số cộng. Hãy kết thúc chủ đề bằng cách xem xét các vấn đề mà bạn không chỉ cần áp dụng các công thức mà còn phải suy nghĩ một chút (trong toán học, điều này có thể hữu ích ☺)

Ví dụ (OGE). Tìm tổng tất cả các số hạng âm của cấp số nhân: \ (- 19.3 \); \(-mười chín\); \ (- 18,7 \)…
Quyết định:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Nhiệm vụ rất giống với nhiệm vụ trước. Chúng ta bắt đầu giải theo cùng một cách: đầu tiên chúng ta tìm \ (d \).
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \)		Bây giờ chúng ta sẽ thay thế \ (d \) vào công thức tính tổng ... và ở đây một sắc thái nhỏ xuất hiện - chúng ta không biết \ (n \). Nói cách khác, chúng tôi không biết có bao nhiêu thuật ngữ sẽ cần được thêm vào. Làm thế nào để tìm ra? Nghĩ thử xem. Chúng tôi sẽ ngừng thêm các phần tử khi chúng tôi đến phần tử dương đầu tiên. Đó là, bạn cần phải tìm ra số của phần tử này. Thế nào? Hãy viết ra công thức tính phần tử bất kỳ của cấp số cộng: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) cho trường hợp của chúng ta.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \)		Chúng ta cần \ (a_n \) lớn hơn 0. Hãy cùng tìm hiểu xem \ (n \) điều này sẽ xảy ra.
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \)
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \)		Chúng tôi chia cả hai vế của bất bình đẳng cho \ (0,3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Chúng tôi chuyển trừ một, không quên thay đổi dấu hiệu
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Tin học...
\ (n> 65,333… \)		… Và nó chỉ ra rằng phần tử dương đầu tiên sẽ có số \ (66 \). Theo đó, phủ định cuối cùng có \ (n = 65 \). Để đề phòng, chúng ta hãy kiểm tra nó.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19,3+ (66-1) 0,3 = 0,2 \)		Do đó, chúng ta cần thêm các phần tử \ (65 \) đầu tiên.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38,6 + 19,2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630,5 \)		Câu trả lời đã sẵn sàng.

Trả lời: \ (S_ (65) = - 630,5 \).

Ví dụ (OGE). Cấp số cộng được cho bởi các điều kiện: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Tìm tổng từ \ (26 \) đến \ (42 \) bao gồm phần tử.
Quyết định:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	Trong bài toán này, bạn cũng cần tìm tổng các phần tử, nhưng không phải bắt đầu từ phần tử đầu tiên, mà từ phần tử \ (26 \). Chúng tôi không có công thức cho việc này. Làm thế nào để quyết định? Dễ dàng - để lấy tổng từ thứ \ (26 \) đến \ (42 \), trước tiên bạn phải tìm tổng từ \ (1 \) đến \ (42 \), rồi lấy tổng trừ đi đầu tiên đến thứ \ (25 \) (xem hình).
	Đối với tiến trình của chúng tôi \ (a_1 = -33 \) và sự khác biệt \ (d = 4 \) (sau cùng, chúng tôi thêm bốn vào phần tử trước đó để tìm phần tử tiếp theo). Biết được điều này, chúng tôi tìm tổng của phần tử \ (42 \) - uh đầu tiên.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Bây giờ là tổng của phần tử \ (25 \) - thứ nhất.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Và cuối cùng, chúng tôi tính toán câu trả lời.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Trả lời: \ (S = 1683 \).

Đối với một cấp số cộng, có một số công thức khác mà chúng tôi chưa xem xét trong bài viết này do tính hữu ích thực tế thấp của chúng. Tuy nhiên, bạn có thể dễ dàng tìm thấy chúng.

Trước khi chúng tôi bắt đầu quyết định vấn đề cấp số học, hãy xem xét dãy số là gì, vì một cấp số cộng là một trường hợp đặc biệt của dãy số.

Dãy số là một tập hợp số, mỗi phần tử của chúng có số sê-ri riêng. Các phần tử của tập hợp này được gọi là thành viên của dãy. Số thứ tự của một phần tử trình tự được biểu thị bằng chỉ số:

Phần tử đầu tiên của dãy;

Phần tử thứ năm của dãy số;

- Phần tử "thứ n" của dãy, tức là phần tử "đứng trong hàng đợi" ở số n.

Có một sự phụ thuộc giữa giá trị của một phần tử trình tự và số thứ tự của nó. Do đó, ta có thể coi dãy là một hàm có đối số là số thứ tự của một phần tử của dãy. Nói cách khác, người ta có thể nói rằng trình tự là một hàm của đối số tự nhiên:

Trình tự có thể được chỉ định theo ba cách:

1 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng một bảng. Trong trường hợp này, chúng ta chỉ cần đặt giá trị của từng thành viên của chuỗi.

Ví dụ: Một người nào đó quyết định quản lý thời gian cá nhân và bắt đầu tính toán lượng thời gian anh ta dành cho VKontakte trong tuần. Bằng cách viết thời gian vào một bảng, anh ta sẽ nhận được một dãy bao gồm bảy phần tử:

Dòng đầu tiên của bảng chứa số ngày trong tuần, dòng thứ hai - thời gian tính bằng phút. Chúng tôi thấy rằng, vào thứ Hai Có người đã dành 125 phút trên VKontakte, tức là vào thứ Năm - 248 phút và, tức là vào thứ Sáu, chỉ có 15 phút.

2 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng công thức thành viên thứ n.

Trong trường hợp này, sự phụ thuộc của giá trị của một phần tử dãy vào số của nó được biểu thị trực tiếp dưới dạng công thức.

Ví dụ, nếu, thì

Để tìm giá trị của phần tử dãy với một số cho trước, ta thay số phần tử vào công thức cho phần tử thứ n.

Chúng ta làm tương tự nếu chúng ta cần tìm giá trị của một hàm nếu giá trị của đối số đã biết. Chúng tôi thay thế giá trị của đối số vào phương trình của hàm:

Ví dụ: , sau đó

Một lần nữa, tôi lưu ý rằng trong một chuỗi, trái ngược với một hàm số tùy ý, chỉ một số tự nhiên mới có thể là một đối số.

3 . Dãy có thể được chỉ định bằng cách sử dụng công thức biểu thị sự phụ thuộc của giá trị của phần tử của dãy với số n vào giá trị của các phần tử trước đó. Trong trường hợp này, chúng ta chỉ biết số của một phần tử trong dãy để tìm giá trị của nó là không đủ. Chúng ta cần chỉ định thành viên đầu tiên hoặc một vài thành viên đầu tiên của chuỗi.

Ví dụ, hãy xem xét trình tự ,

Chúng ta có thể tìm thấy các giá trị của các thành viên của một chuỗi theo thứ tự, bắt đầu từ phần ba:

Tức là mỗi lần tìm giá trị của phần tử thứ n của dãy, chúng ta quay lại hai phần trước đó. Cách sắp xếp trình tự này được gọi là lặp lại, từ tiếng Latinh định kỳ- sự trở lại.

Bây giờ chúng ta có thể xác định một cấp số cộng. Một cấp số cộng là một trường hợp đặc biệt đơn giản của một dãy số.

Cấp số cộng được gọi là một dãy số, mỗi phần tử của nó, bắt đầu từ thứ hai, bằng thứ trước đó, được thêm vào cùng một số.

Số được gọi là sự khác biệt của một cấp số cộng. Chênh lệch của một cấp số cộng có thể là số dương, số âm hoặc bằng không.

Nếu title = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} tăng dần.

Ví dụ, 2; Số 5; tám; mười một; ...

Nếu, thì mỗi số hạng của cấp số cộng nhỏ hơn số hạng trước đó và cấp số nhân là suy tàn.

Ví dụ, 2; -một; -4; -7; ...

Nếu, thì tất cả các thành viên của tiến trình bằng cùng một số, và cấp tiến là đứng im.

Ví dụ: 2; 2; 2; 2; ...

Tính chất chính của một cấp số cộng:

Hãy nhìn vào bức tranh.

Chúng ta thấy rằng

, và cùng một lúc

Cộng hai giá trị bằng nhau này, chúng ta nhận được:

.

Chia cả hai vế của phương trình cho 2:

Vì vậy, mỗi thành viên của cấp số cộng, bắt đầu từ cấp thứ hai, bằng trung bình cộng của hai cấp số cộng lân cận:

Hơn nữa, kể từ khi

, và cùng một lúc

, sau đó

, và do đó

Mỗi thành viên của cấp số cộng bắt đầu bằng title = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

công thức thành viên thứ.

Chúng ta thấy rằng đối với các thành viên của cấp số cộng, các quan hệ sau đây giữ nguyên:

và cuối cùng

Chúng tôi có công thức của số hạng thứ n.

QUAN TRỌNG! Bất kỳ thành viên nào của một cấp số cộng đều có thể được biểu diễn dưới dạng và. Biết số hạng đầu tiên và hiệu của một cấp số cộng, bạn có thể tìm thấy bất kỳ thành viên nào của nó.

Tổng của n thành viên của một cấp số cộng.

Trong một cấp số cộng tùy ý, tổng của các số hạng cách đều các cực trị bằng nhau:

Xét một cấp số cộng có n thành viên. Gọi tổng n phần tử của cấp tiến này bằng.

Trước tiên, hãy sắp xếp các số hạng của lũy tiến theo thứ tự tăng dần của các số, sau đó theo thứ tự giảm dần:

Hãy ghép nối nó:

Tổng trong mỗi ngoặc là, số cặp là n.

Chúng tôi nhận được:

Cho nên, Tổng của n thành viên của một cấp số cộng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức:

Coi như giải các bài toán cấp số cộng.

1 . Dãy được cho bởi công thức của số hạng thứ n: . Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số cộng.

Hãy chứng minh rằng hiệu giữa hai thành viên liền kề của dãy bằng cùng một số.

Chúng tôi đã thu được rằng hiệu của hai thành viên liền kề của dãy không phụ thuộc vào số lượng của chúng và là một hằng số. Do đó, theo định nghĩa, dãy số này là một cấp số cộng.

2 . Cho một cấp số cộng -31; -27; ...

a) Tìm 31 số hạng của cấp tiến.

b) Xác định xem số 41 có nằm trong cấp tiến này không.

một) Chúng ta thấy rằng ;

Hãy viết ra công thức của số hạng thứ n để tính lũy tiến của chúng ta.

Nói chung

Trong trường hợp của chúng ta , Đó là lý do tại sao

Chúng tôi nhận được:

b) Giả sử số 41 là một thành viên của dãy số. Hãy tìm số của anh ta. Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình:

Chúng ta có giá trị tự nhiên là n, do đó, số 41 là một thành viên của cấp số nhân. Nếu giá trị tìm được của n không phải là số tự nhiên, thì chúng ta sẽ trả lời rằng số 41 KHÔNG phải là thành viên của cấp số nhân.

3 . a) Giữa các số 2 và 8, hãy chèn 4 số sao cho chúng cùng với các số đã cho lập thành một cấp số cộng.

b) Tìm tổng các số hạng của cấp số nhân.

một) Hãy chèn bốn số vào giữa các số 2 và 8:

Chúng ta có một cấp số cộng, trong đó có 6 số hạng.

Chúng ta hãy tìm sự khác biệt của sự tiến triển này. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng công thức cho số hạng thứ n:

Bây giờ, thật dễ dàng để tìm giá trị của các số:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Trả lời: a) có; b) 30

4. Chiếc xe tải vận chuyển một lô đá dăm nặng 240 tấn, hàng ngày tăng tốc độ vận chuyển lên cùng một số tấn. Được biết, 2 tấn gạch vụn đã được vận chuyển trong ngày đầu tiên. Hãy xác định xem ngày thứ mười hai người ta chở bao nhiêu tấn đá dăm nếu tất cả các công việc hoàn thành trong 15 ngày.

Theo tình trạng của vấn đề, lượng đá dăm mà xe tải vận chuyển mỗi ngày một tăng theo số lượng. Do đó, chúng ta đang xử lý một cấp số cộng.

Chúng tôi hình thành vấn đề này dưới dạng một cấp số cộng.

Trong ngày đầu người ta vận chuyển được 2 tấn đá dăm là: a_1 = 2.

Tất cả công việc được hoàn thành trong 15 ngày:.

Chiếc xe tải chở một lô đá dăm nặng 240 tấn:

Chung ta cân tim .

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm sự khác biệt về tiến trình. Hãy sử dụng công thức cho tổng của n thành viên của cấp tiến.

Trong trường hợp của chúng ta:

Nếu mọi số tự nhiên N khớp với một số thực một , sau đó họ nói rằng đã cho dãy số :

một 1 , một 2 , một 3 , . . . , một , . . . .

Vì vậy, một dãy số là một hàm của một đối số tự nhiên.

Con số một 1 triệu tập thành viên đầu tiên của chuỗi , con số một 2 — thành viên thứ hai của chuỗi , con số một 3 — ngày thứ ba vân vân. Con số một triệu tập thành viên thứ n của dãy , và số tự nhiên N — số của anh ấy .

Từ hai thành viên lân cận một và một +1 chuỗi thành viên một +1 triệu tập tiếp theo (đối với một ), một một — Trước (đối với một +1 ).

Để chỉ định một chuỗi, bạn phải chỉ định một phương pháp cho phép bạn tìm một phần tử của chuỗi với bất kỳ số nào.

Thường thì trình tự được đưa ra với công thức số hạng thứ n , nghĩa là, một công thức cho phép bạn xác định một phần tử của dãy bằng số của nó.

Ví dụ,

dãy các số lẻ dương có thể được cho bởi công thức

một= 2N- 1,

và trình tự xen kẽ 1 và -1 - công thức

b N = (-1)N +1 . ◄

Trình tự có thể được xác định công thức lặp lại, nghĩa là, một công thức thể hiện bất kỳ thành viên nào của dãy, bắt đầu bằng một số, thông qua (một hoặc nhiều) thành viên trước đó.

Ví dụ,

nếu một 1 = 1 , một một +1 = một + 5

một 1 = 1,

một 2 = một 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

một 3 = một 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

một 4 = một 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

một 5 = một 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Nếu một một 1= 1, một 2 = 1, một +2 = một + một +1 , thì bảy thành viên đầu tiên của dãy số được đặt như sau:

một 1 = 1,

một 2 = 1,

một 3 = một 1 + một 2 = 1 + 1 = 2,

một 4 = một 2 + một 3 = 1 + 2 = 3,

một 5 = một 3 + một 4 = 2 + 3 = 5,

một 6 = một 4 + một 5 = 3 + 5 = 8,

một 7 = một 5 + một 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Các chuỗi có thể là cuối cùng và bất tận .

Chuỗi được gọi là tối hậu nếu nó có số lượng thành viên hữu hạn. Chuỗi được gọi là bất tận nếu nó có vô số thành viên.

Ví dụ,

dãy số tự nhiên có hai chữ số:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

cuối cùng.

Dãy số nguyên tố:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

bất tận. ◄

Chuỗi được gọi là tăng dần , nếu mỗi thành viên của nó, bắt đầu từ thứ hai, lớn hơn thành viên trước đó.

Chuỗi được gọi là suy tàn , nếu mỗi thành viên của nó, bắt đầu từ thứ hai, ít hơn thành viên trước đó.

Ví dụ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . là một chuỗi tăng dần;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . là một chuỗi giảm dần. ◄

Một dãy có các phần tử không giảm khi tăng số lượng, hoặc ngược lại, không tăng, được gọi là chuỗi đơn điệu .

Đặc biệt, các trình tự đơn điệu là trình tự tăng và trình tự giảm.

Cấp số cộng

Cấp số cộng một dãy được gọi, mỗi phần tử, bắt đầu từ phần thứ hai, bằng với phần trước đó, cùng một số được thêm vào.

một 1 , một 2 , một 3 , . . . , một, . . .

là một cấp số cộng nếu với bất kỳ số tự nhiên nào N điều kiện được đáp ứng:

một +1 = một + d,

ở đâu d - một số.

Do đó, hiệu số giữa các thành phần tiếp theo và các thành viên trước đó của một cấp số cộng nhất định luôn không đổi:

một 2 - một 1 = một 3 - một 2 = . . . = một +1 - một = d.

Con số d triệu tập sự khác biệt của một cấp số cộng.

Để thiết lập một cấp số cộng, chỉ cần xác định số hạng đầu tiên và hiệu của nó là đủ.

Ví dụ,

nếu một 1 = 3, d = 4 , thì năm số hạng đầu tiên của dãy số được tìm thấy như sau:

một 1 =3,

một 2 = một 1 + d = 3 + 4 = 7,

một 3 = một 2 + d= 7 + 4 = 11,

một 4 = một 3 + d= 11 + 4 = 15,

một 5 = một 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Đối với một cấp số cộng với số hạng đầu tiên một 1 và sự khác biệt d bà ấy N

một = một 1 + (N- 1)d.

Ví dụ,

tìm số hạng thứ ba mươi của một cấp số cộng

1, 4, 7, 10, . . .

một 1 =1, d = 3,

một 30 = một 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

một n-1 = một 1 + (N- 2)d,

một= một 1 + (N- 1)d,

một +1 = một 1 + nd,

sau đó rõ ràng

một=	a n-1 + a n + 1
	2

mỗi thành viên của cấp số cộng, bắt đầu từ cấp thứ hai, bằng trung bình cộng của các cấp số cộng trước và sau đó.

các số a, b và c là thành viên liên tiếp của một cấp số cộng nào đó nếu và chỉ khi một trong hai số đó bằng trung bình cộng của hai số còn lại.

Ví dụ,

một = 2N- 7 , là một cấp số cộng.

Hãy sử dụng câu lệnh trên. Chúng ta có:

một = 2N- 7,

một n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

một n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2N- 5.

Vì thế,

a n + 1 + a n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = một,
2		2

◄

Lưu ý rằng N -thành viên thứ của một cấp số cộng có thể được tìm thấy không chỉ thông qua một 1 , mà còn bất kỳ trước một k

một = một k + (N- k)d.

Ví dụ,

vì một 5 có thể được viết

một 5 = một 1 + 4d,

một 5 = một 2 + 3d,

một 5 = một 3 + 2d,

một 5 = một 4 + d. ◄

một = một n-k + kd,

một = a n + k - kd,

sau đó rõ ràng

một=	một n-k + a n + k
	2

bất kỳ thành viên nào của một cấp số cộng, bắt đầu từ cấp số thứ hai, bằng một nửa tổng các thành viên của cấp số cộng này cách đều nó.

Ngoài ra, đối với bất kỳ cấp số cộng nào, đẳng thức là đúng:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Ví dụ,

trong cấp số cộng

1) một 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (một 9 + một 11 )/2;

2) 28 = một 10 = một 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) một 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, như

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ một,

Đầu tiên N Các thành viên của một cấp số cộng bằng tích của một nửa tổng các số hạng cực trị với số số hạng:

Đặc biệt, từ điều này, điều này dẫn đến việc nếu cần phải tính tổng các điều khoản

một k, một k +1 , . . . , một,

thì công thức trước đó vẫn giữ nguyên cấu trúc của nó:

Ví dụ,

trong cấp số cộng 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Nếu cho một cấp số cộng thì các đại lượng một 1 , một, d, N vàS N được liên kết bởi hai công thức:

Do đó, nếu cho giá trị của ba đại lượng này thì giá trị tương ứng của hai đại lượng còn lại được xác định từ các công thức này gộp lại thành một hệ hai phương trình với hai ẩn số.

Một cấp số cộng là một dãy đơn điệu. Trong đó:

• nếu d > 0 , sau đó nó đang tăng lên;
• nếu d < 0 , sau đó nó đang giảm;
• nếu d = 0 , sau đó chuỗi sẽ đứng yên.

Cấp số nhân

cấp số nhân một dãy được gọi, mỗi số hạng trong đó, bắt đầu từ số thứ hai, bằng số hạng trước đó, nhân với cùng một số.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

là một cấp số nhân hình học nếu với bất kỳ số tự nhiên nào N điều kiện được đáp ứng:

b n +1 = b n · q,

ở đâu q ≠ 0 - một số.

Do đó, tỷ số của số hạng tiếp theo của cấp tiến hình học này với số hạng trước đó là một số không đổi:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Con số q triệu tập mẫu số của một tiến trình hình học.

Để thiết lập một cấp số nhân hình học, chỉ cần xác định số hạng đầu tiên và mẫu số của nó là đủ.

Ví dụ,

nếu b 1 = 1, q = -3 , thì năm số hạng đầu tiên của dãy số được tìm thấy như sau:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

B 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 và mẫu số q bà ấy N số hạng thứ có thể được tìm thấy bằng công thức:

b n = b 1 · q n -1 .

Ví dụ,

tìm số hạng thứ bảy của một tiến trình hình học 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

sau đó rõ ràng

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

mỗi phần tử của tiến trình hình học, bắt đầu từ bậc thứ hai, bằng trung bình hình học (tỷ lệ) của các phần tử trước đó và tiếp theo.

Vì điều ngược lại cũng đúng, khẳng định sau đây đúng:

các số a, b và c là thành viên liên tiếp của một số cấp tiến hình học nếu và chỉ khi bình phương của một trong số chúng bằng tích của hai số kia, tức là một trong các số là trung bình cộng của hai số kia.

Ví dụ,

hãy để chúng tôi chứng minh rằng dãy được cho bởi công thức b n= -3 2 N , là một tiến trình hình học. Hãy sử dụng câu lệnh trên. Chúng ta có:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Vì thế,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

điều đó chứng minh khẳng định bắt buộc. ◄

Lưu ý rằng N thuật ngữ thứ của một tiến trình hình học có thể được tìm thấy không chỉ thông qua b 1 , mà còn bất kỳ thuật ngữ nào trước đó b k , mà nó đủ để sử dụng công thức

b n = b k · q n - k.

Ví dụ,

vì b 5 có thể được viết

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = B 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

sau đó rõ ràng

b n 2 = b n - k· b n + k

Bình phương của bất kỳ thành viên nào của một cấp tiến bộ hình học, bắt đầu từ cấp thứ hai, bằng tích của các thành viên của cấp tiến này cách đều nó.

Ngoài ra, đối với bất kỳ tiến trình hình học nào, đẳng thức là đúng:

b m· b n= b k· b l,

m+ N= k+ l.

Ví dụ,

nhanh chóng

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , như

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Đầu tiên N các thành viên của một tiến trình hình học với một mẫu số q ≠ 0 được tính theo công thức:

Và khi q = 1 - theo công thức

S n= n.b. 1

Lưu ý rằng nếu chúng ta cần tổng hợp các điều khoản

b k, b k +1 , . . . , b n,

thì công thức được sử dụng:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Ví dụ,

nhanh chóng 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Nếu một cấp tiến bộ hình học được đưa ra, thì các đại lượng b 1 , b n, q, N và S n được liên kết bởi hai công thức:

Do đó, nếu cho giá trị của ba đại lượng bất kỳ thì giá trị tương ứng của hai đại lượng còn lại được xác định từ các công thức này gộp lại thành một hệ hai phương trình với hai ẩn số.

Đối với một tiến trình hình học với số hạng đầu tiên b 1 và mẫu số q sau đây diễn ra tính chất đơn điệu :

• tiến trình sẽ tăng lên nếu một trong các điều kiện sau được đáp ứng:

b 1 > 0 và q> 1;

b 1 < 0 và 0 < q< 1;

• Tiến trình giảm dần nếu một trong các điều kiện sau được đáp ứng:

b 1 > 0 và 0 < q< 1;

b 1 < 0 và q> 1.

Nếu một q< 0 , thì tiến trình hình học là dấu-xen kẽ: các số hạng lẻ của nó có cùng dấu với số hạng đầu tiên của nó, và các số hạng chẵn có dấu ngược lại. Rõ ràng rằng một tiến trình hình học xen kẽ không phải là đơn điệu.

Sản phẩm đầu tiên N số hạng của một tiến trình hình học có thể được tính bằng công thức:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Ví dụ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Tiến trình hình học giảm vô hạn

Tiến trình hình học giảm vô hạn được gọi là một cấp tiến hình học vô hạn có môđun mẫu số nhỏ hơn 1 , I E

|q| < 1 .

Lưu ý rằng một cấp độ hình học giảm vô hạn có thể không phải là một chuỗi giảm dần. Điều này phù hợp với trường hợp

1 < q< 0 .

Với mẫu số như vậy, dãy có dấu xen kẽ. Ví dụ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Tổng của một tiến trình hình học giảm vô hạn đặt tên cho số mà tổng của số đầu tiên N điều kiện của sự tiến triển với sự gia tăng không giới hạn về số lượng N . Con số này luôn hữu hạn và được biểu thị bằng công thức

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Ví dụ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Mối quan hệ giữa các cấp số học và hình học

Các cấp số học và hình học có quan hệ mật thiết với nhau. Hãy xem xét hai ví dụ.

một 1 , một 2 , một 3 , . . . d , sau đó

ba 1 , ba 2 , ba 3 , . . . b d .

Ví dụ,

1, 3, 5, . . . - cấp số cộng với hiệu 2 và

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . là một tiến trình hình học với một mẫu số 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . là một tiến trình hình học với một mẫu số q , sau đó

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - cấp số cộng với hiệu log aq .

Ví dụ,

2, 12, 72, . . . là một tiến trình hình học với một mẫu số 6 và

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - cấp số cộng với hiệu lg 6 . ◄