Đạo hàm bằng hệ số của tiếp tuyến. Bài "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số"

Ở giai đoạn phát triển hiện nay của giáo dục, một trong những nhiệm vụ chính của nó là hình thành nhân cách tư duy sáng tạo. Khả năng sáng tạo ở sinh viên chỉ có thể được phát triển nếu họ tham gia một cách có hệ thống vào những vấn đề cơ bản của hoạt động nghiên cứu. Nền tảng để học sinh sử dụng năng lực, khả năng và tài năng sáng tạo của mình được hình thành toàn diện về kiến thức và kỹ năng. Trước vấn đề này, vấn đề hình thành hệ thống kiến thức, kĩ năng cơ bản theo từng chủ đề của môn Toán học đường có tầm quan trọng không hề nhỏ. Đồng thời, các kỹ năng chính thức không phải là mục tiêu của giáo huấn không phải của các nhiệm vụ cá nhân, mà là của hệ thống được suy nghĩ cẩn thận của họ. Theo nghĩa rộng nhất, hệ thống được hiểu là một tập hợp các yếu tố tương tác liên kết với nhau có tính toàn vẹn và cấu trúc ổn định.

Hãy xem xét một phương pháp để dạy học sinh cách vẽ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Về bản chất, tất cả các nhiệm vụ để tìm phương trình tiếp tuyến được rút gọn thành việc phải chọn từ tập hợp (bó, họ) các đường mà chúng thỏa mãn một yêu cầu nhất định - chúng tiếp tuyến với đồ thị của một hàm số nhất định. Trong trường hợp này, tập hợp các dòng mà từ đó lựa chọn được thực hiện có thể được chỉ định theo hai cách:

a) một điểm nằm trên mặt phẳng xOy (bút chì chính giữa của các đường);
b) hệ số góc (bó đường thẳng song song).

Về vấn đề này, khi nghiên cứu đề tài "Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số" để tách các phần tử của hệ, chúng tôi xác định hai loại nhiệm vụ:

1) nhiệm vụ trên một tiếp tuyến cho bởi một điểm mà nó đi qua;
2) nhiệm vụ trên một tiếp tuyến cho trước bởi hệ số góc của nó.

Học cách giải quyết các vấn đề trên một tiếp tuyến được thực hiện bằng cách sử dụng thuật toán do A.G. Mordkovich. Sự khác biệt cơ bản của nó so với những cái đã biết là abscissa của điểm tiếp tuyến được ký hiệu bằng chữ a (thay vì x0), liên quan đến phương trình tiếp tuyến có dạng

y \ u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(so sánh với y \ u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Kỹ thuật phương pháp này, theo quan điểm của chúng tôi, cho phép học sinh nhanh chóng và dễ dàng nhận ra tọa độ của điểm hiện tại được viết ở đâu trong phương trình tiếp tuyến tổng quát, và các điểm tiếp xúc ở đâu.

Thuật toán biên phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f (x)

1. Chỉ định bằng chữ a là abscissa của điểm tiếp xúc.
2. Tìm f (a).
3. Tìm f "(x) và f" (a).
4. Thay các số tìm được a, f (a), f "(a) vào phương trình tổng quát của tiếp tuyến y \ u003d f (a) \ u003d f" (a) (x - a).

Thuật toán này có thể được biên soạn trên cơ sở lựa chọn độc lập các thao tác của học sinh và trình tự thực hiện của chúng.

Thực hành đã chỉ ra rằng giải pháp nhất quán của từng nhiệm vụ quan trọng bằng cách sử dụng thuật toán cho phép bạn hình thành khả năng viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm theo từng giai đoạn và các bước của thuật toán đóng vai trò là điểm mạnh cho các hành động . Cách tiếp cận này tương ứng với lý thuyết về sự hình thành dần dần của các hành động tinh thần do P.Ya. Galperin và N.F. Talyzina.

Trong loại nhiệm vụ đầu tiên, hai nhiệm vụ chính đã được xác định:

Tiếp tuyến đi qua một điểm nằm trên đường cong (bài toán 1);
Tiếp tuyến đi qua một điểm không nằm trên đường cong (Bài toán 2).

Nhiệm vụ 1. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M (3; - 2).

Quyết định. Điểm M (3; - 2) là giao điểm, vì

1. a = 3 - abscissa của điểm tiếp xúc.
2. f (3) = - 2.
3. f "(x) \ u003d x 2 - 4, f" (3) \ u003d 5.
y \ u003d - 2 + 5 (x - 3), y \ u003d 5x - 17 là phương trình tiếp tuyến.

Nhiệm vụ 2. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x 2 - 4x + 2 đi qua điểm M (- 3; 6).

Quyết định. Điểm M (- 3; 6) không phải là tiếp tuyến, vì f (- 3) 6 (Hình 2).

2. f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \ u003d - 2x - 4, f" (a) \ u003d - 2a - 4.
4. y \ u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - phương trình tiếp tuyến.

Tiếp tuyến đi qua điểm M (- 3; 6) nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình tiếp tuyến.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Nếu a = - 4 thì phương trình tiếp tuyến là y = 4x + 18.

Nếu a \ u003d - 2 thì phương trình tiếp tuyến có dạng y \ u003d 6.

Trong loại thứ hai, các nhiệm vụ chính sẽ như sau:

tiếp tuyến song song với một đường thẳng nào đó (bài toán 3);
Tiếp tuyến đi một góc nào đó đối với đường thẳng đã cho (Bài toán 4).

Nhiệm vụ 3. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y \ u003d x 3 - 3x 2 + 3, song song với đường thẳng y \ u003d 9x + 1.

1. a - abscissa của điểm tiếp xúc.
2. f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \ u003d 3x 2 - 6x, f" (a) \ u003d 3a 2 - 6a.

Nhưng mặt khác, f "(a) \ u003d 9 (điều kiện song song). Vì vậy, chúng ta cần giải phương trình 3a 2 - 6a \ u003d 9. Các gốc của nó a \ u003d - 1, a \ u003d 3 (Hình . 3).

4. 1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 là phương trình tiếp tuyến;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 là phương trình tiếp tuyến.

Nhiệm vụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 0,5x 2 - 3x + 1, hợp với đường thẳng y = 0 một góc 45o (Hình 4).

Quyết định. Từ điều kiện f "(a) \ u003d tg 45 ° ta tìm được: a - 3 \ u003d 1 ^ a \ u003d 4.

1. a = 4 - abscissa của điểm tiếp xúc.
2. f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \ u003d 4 - 3 \ u003d 1.
4. y \ u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \ u003d x - 7 - phương trình của tiếp tuyến.

Dễ dàng chỉ ra rằng giải pháp của bất kỳ vấn đề nào khác được rút gọn thành giải pháp của một hoặc một số vấn đề chính. Hãy xem xét hai vấn đề sau đây làm ví dụ.

1. Viết phương trình các tiếp tuyến của parabol y = 2x 2 - 5x - 2, nếu các tiếp tuyến đó cắt nhau một góc vuông và một trong hai tiếp tuyến đó tiếp xúc với parabol tại điểm có hoành độ 3 (Hình 5).

Quyết định. Vì áp suất của điểm tiếp xúc được đưa ra, phần đầu tiên của giải pháp được rút gọn thành vấn đề then chốt 1.

1. a \ u003d 3 - hoành độ của điểm tiếp xúc của một trong các cạnh của góc vuông.
2. f (3) = 1.
3. f "(x) \ u003d 4x - 5, f" (3) \ u003d 7.
4. y \ u003d 1 + 7 (x - 3), y \ u003d 7x - 20 - phương trình của tiếp tuyến thứ nhất.

Gọi a là hệ số góc của tiếp tuyến đầu tiên. Vì tiếp tuyến vuông góc nên góc nghiêng của tiếp tuyến thứ hai. Từ phương trình y = 7x - 20 của tiếp tuyến thứ nhất ta có tg a = 7. Tìm

Điều này có nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến thứ hai là.

Giải pháp tiếp theo là rút gọn thành nhiệm vụ trọng tâm 3.

Gọi B (c; f (c)) là tiếp tuyến của đường thẳng thứ hai, khi đó

1. - abscissa của điểm tiếp xúc thứ hai.
2.
3.
4.
là phương trình của tiếp tuyến thứ hai.

Ghi chú. Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được tìm thấy dễ dàng hơn nếu học sinh biết tỉ số các hệ số của đường vuông góc k 1 k 2 = - 1.

2. Viết phương trình của tất cả các tiếp tuyến chung của đồ thị hàm số

Quyết định. Nhiệm vụ được rút gọn trong việc tìm các hoành độ của các điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến chung, nghĩa là giải bài toán quan trọng 1 nói chung, biên soạn một hệ phương trình và sau đó giải nó (Hình 6).

1. Gọi a là hoành độ của điểm tiếp xúc nằm trên đồ thị của hàm số y = x 2 + x + 1.
2. f (a) = a 2 + a + 1.
3. f ”(a) = 2a + 1.
4. y \ u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \ u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Gọi c là hoành độ của điểm tiếp tuyến nằm trên đồ thị của hàm số
2.
3. f ”(c) = c.
4.

Vì các tiếp tuyến là chung nên

Vậy y = x + 1 và y = - 3x - 3 là các tiếp tuyến chung.

Mục tiêu chính của các nhiệm vụ được xem xét là chuẩn bị cho học sinh tự nhận thức về loại nhiệm vụ chính khi giải quyết các nhiệm vụ phức tạp hơn đòi hỏi một số kỹ năng nghiên cứu nhất định (khả năng phân tích, so sánh, khái quát hóa, đưa ra giả thuyết, v.v.). Các nhiệm vụ như vậy bao gồm bất kỳ nhiệm vụ nào trong đó nhiệm vụ chính được bao gồm như một thành phần. Chúng ta hãy coi như một ví dụ bài toán (ngược với bài toán 1) tìm một hàm từ họ các tiếp tuyến của nó.

3. Đối với b và c thì các đường thẳng y \ u003d x và y \ u003d - 2x tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 + bx + c?

Gọi t là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x với parabol y = x 2 + bx + c; p là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = - 2x với parabol y = x 2 + bx + c. Khi đó phương trình tiếp tuyến y = x sẽ có dạng y = (2t + b) x + c - t 2, và phương trình tiếp tuyến y = - 2x sẽ có dạng y = (2p + b) x + c - p 2 .

Soạn và giải hệ phương trình

Trả lời:

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích tất cả các dạng bài toán để tìm

Xin hãy nhớ ý nghĩa hình học của đạo hàm: nếu kẻ tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại một điểm thì hệ số góc của tiếp tuyến (bằng hoành độ của góc giữa tiếp tuyến và chiều dương của trục) bằng đạo hàm của hàm số tại quan điểm.

Lấy một điểm tùy ý trên tiếp tuyến có tọa độ:

Và xét một tam giác vuông:

Trong tam giác này

Từ đây

Đây là phương trình của tiếp tuyến vẽ đồ thị của hàm số tại điểm.

Để viết phương trình của tiếp tuyến, chúng ta chỉ cần biết phương trình của hàm số và điểm tại đó tiếp tuyến đó được vẽ. Sau đó, chúng tôi có thể tìm thấy và.

Có ba dạng bài toán chính về phương trình tiếp tuyến.

1. Cho một điểm tiếp xúc

2. Cho hệ số góc của tiếp tuyến, tức là giá trị của đạo hàm của hàm số tại điểm.

3. Cho tọa độ của điểm mà tiếp tuyến được vẽ nhưng không phải là tiếp tuyến.

Hãy xem xét từng loại vấn đề.

một . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm .

b) Tìm giá trị của đạo hàm tại điểm. Đầu tiên chúng ta tìm đạo hàm của hàm

Thay các giá trị tìm được vào phương trình tiếp tuyến:

Hãy mở dấu ngoặc ở phía bên phải của phương trình. Chúng tôi nhận được:

Trả lời: .

2. Tìm hoành độ của các điểm mà tại đó các hàm số tiếp xúc với đồ thị song song với trục x.

Nếu tiếp tuyến song song với trục x thì góc giữa tiếp tuyến và chiều dương của trục bằng không nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng không. Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại các điểm tiếp xúc bằng không.

a) Tìm đạo hàm của hàm số .

b) Lập phương trình đạo hàm bằng 0 và tìm các giá trị tại đó tiếp tuyến song song với trục:

Chúng tôi đánh đồng từng yếu tố với 0, chúng tôi nhận được:

Đáp số: 0; 3; 5

3. Viết phương trình các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số , song song, tương đông thẳng .

Tiếp tuyến song song với đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng này là -1. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng này, do đó, hệ số góc của tiếp tuyến cũng là -1. I E chúng ta biết hệ số góc của tiếp tuyến, và như vậy giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp xúc.

Đây là dạng bài toán thứ hai để tìm phương trình tiếp tuyến.

Vì vậy, chúng ta đã cho một hàm và giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp xúc.

a) Tìm những điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng -1.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm phương trình đạo hàm.

Hãy tính đạo hàm với số -1.

Tìm giá trị của hàm số tại điểm.

(theo điều kiện)

b) Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm.

Tìm giá trị của hàm số tại điểm.

(theo điều kiện).

Thay các giá trị này vào phương trình tiếp tuyến:

Trả lời:

4 . Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong , đi qua một điểm

Đầu tiên, hãy kiểm tra xem điểm đó có phải là điểm tiếp xúc hay không. Nếu điểm đó là tiếp tuyến thì nó thuộc đồ thị của hàm số và tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình của hàm số. Thay tọa độ của điểm vào phương trình của hàm số.

Title = "(! LANG: 1sqrt (8-3 ^ 2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} không phải là một đầu mối liên hệ.

Đây là dạng bài toán cuối cùng để tìm phương trình tiếp tuyến. Điều đầu tiên chúng ta cần tìm ra điểm tiếp xúc.

Hãy tìm giá trị.

Hãy là đầu mối liên hệ. Điểm thuộc tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Nếu chúng ta thay tọa độ của điểm này vào phương trình tiếp tuyến, chúng ta nhận được đẳng thức đúng:

Giá trị của hàm tại điểm là .

Tìm giá trị của đạo hàm của hàm số tại điểm.

Trước hết chúng ta hãy tìm đạo hàm của hàm số. Đây là .

Đạo hàm tại một điểm là .

Chúng ta hãy thay các biểu thức cho và vào phương trình của tiếp tuyến. Chúng tôi nhận được phương trình cho:

Hãy giải phương trình này.

Giảm tử số và mẫu số của phân số đi 2:

Ta đưa vế phải của đẳng thức về một mẫu số chung. Chúng tôi nhận được:

Đơn giản hóa tử số của phân số và nhân cả hai phần với - biểu thức này hoàn toàn lớn hơn 0.

Chúng tôi nhận được phương trình

Hãy giải quyết nó. Để thực hiện việc này, chúng ta chọn cả hai phần và chuyển đến hệ thống.

Title = "(! LANG: delim (lbrace) (matrix (2) (1) ((64-48 (x_0) +9 (x_0) ^ 2 = 8- (x_0) ^ 2) (8-3x_0> = 0 ))) ()">!}

Hãy giải phương trình đầu tiên.

Chúng tôi giải phương trình bậc hai, chúng tôi nhận được

Căn thứ hai không thỏa mãn điều kiện title = "(! LANG: 8-3x_0> = 0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Hãy viết phương trình của tiếp tuyến với đường cong tại điểm. Để làm điều này, chúng tôi thay thế giá trị trong phương trình Chúng tôi đã ghi lại nó.

Trả lời:
.

Tiếp tuyến là một đường thẳng , tiếp xúc với đồ thị của hàm tại một điểm và tất cả các điểm của chúng cách đồ thị của hàm một khoảng nhỏ nhất. Do đó, tiếp tuyến đi qua tiếp tuyến với đồ thị của hàm số một góc xác định và một số tiếp tuyến không thể đi qua tiếp tuyến đó ở các góc khác nhau. Các phương trình tiếp tuyến và phương trình của pháp tuyến với đồ thị của hàm số được biên soạn bằng cách sử dụng đạo hàm.

Phương trình tiếp tuyến được suy ra từ phương trình đường thẳng .

Ta suy ra phương trình của tiếp tuyến và sau đó là phương trình của pháp tuyến đối với đồ thị của hàm số.

y = kx + b .

Trong anh ấy k- hệ số góc.

Từ đây, chúng tôi nhận được mục nhập sau:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Giá trị phái sinh f "(x 0 ) chức năng y = f(x) tại điểm x0 bằng với độ dốc k= tg φ tiếp tuyến với đồ thị của một hàm số được vẽ qua một điểm M0 (x 0 , y 0 ) , ở đâu y0 = f(x 0 ) . Đây là những gì ý nghĩa hình học của đạo hàm .

Do đó, chúng ta có thể thay thế k trên f "(x 0 ) và nhận được những điều sau đây phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Trong các công việc biên soạn phương trình tiếp tuyến với đồ thị của một hàm số (và chúng ta sẽ sớm chuyển sang chúng), cần phải đưa phương trình thu được từ công thức trên về phương trình tổng quát của một đường thẳng. Để làm điều này, bạn cần chuyển tất cả các chữ cái và số sang phía bên trái của phương trình và để lại số 0 ở phía bên phải.

Bây giờ về phương trình bình thường. Bình thường là đường thẳng đi qua tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với tiếp tuyến. Phương trình bình thường :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Để làm nóng ví dụ đầu tiên, bạn được yêu cầu tự giải quyết nó, sau đó xem xét giải pháp. Có mọi lý do để hy vọng rằng nhiệm vụ này sẽ không phải là một "cơn mưa rào" cho độc giả của chúng tôi.

Ví dụ 0. Lập phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M (1, 1) .

ví dụ 1 Lập phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số nếu abscissa của điểm tiếp xúc là.

Hãy tìm đạo hàm của hàm số:

Bây giờ chúng ta có mọi thứ cần được thay thế vào mục nhập được đưa ra trong tài liệu tham khảo lý thuyết để có được phương trình tiếp tuyến. Chúng tôi nhận được

Trong ví dụ này, chúng tôi đã may mắn: độ dốc hóa ra bằng 0, vì vậy không cần phải đưa riêng phương trình về dạng tổng quát. Bây giờ chúng ta có thể viết phương trình bình thường:

Trong hình bên dưới: đồ thị của một hàm số có màu đỏ tía, tiếp tuyến màu xanh lục, pháp tuyến màu cam.

Ví dụ tiếp theo cũng không phức tạp: hàm, như trong ví dụ trước, cũng là một đa thức, nhưng hệ số góc sẽ không bằng 0, do đó, một bước nữa sẽ được thêm vào - đưa phương trình về dạng tổng quát.

Ví dụ 2

Quyết định. Hãy tìm tọa độ của điểm tiếp xúc:

Hãy tìm đạo hàm của hàm số:

Hãy tìm giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp xúc, tức là hệ số góc của tiếp tuyến:

Chúng tôi thay thế tất cả dữ liệu thu được vào "công thức trống" và nhận được phương trình tiếp tuyến:

Chúng tôi đưa phương trình về dạng tổng quát (chúng tôi thu thập tất cả các chữ cái và số khác 0 ở phía bên trái và để lại số 0 ở phía bên phải):

Chúng tôi soạn phương trình của pháp tuyến:

Ví dụ 3 Lập phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số nếu hoành độ của tiếp điểm là.

Quyết định. Hãy tìm tọa độ của điểm tiếp xúc:

Hãy tìm đạo hàm của hàm số:

Hãy tìm giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp xúc, tức là hệ số góc của tiếp tuyến:

Ta tìm được phương trình của tiếp tuyến:

Trước khi đưa phương trình về dạng tổng quát, bạn cần "kết hợp" nó một chút: nhân số hạng với số hạng với 4. Chúng ta làm điều này và đưa phương trình về dạng tổng quát:

Chúng tôi soạn phương trình của pháp tuyến:

Ví dụ 4 Lập phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số nếu hoành độ của tiếp điểm là.

Quyết định. Hãy tìm tọa độ của điểm tiếp xúc:

Hãy tìm đạo hàm của hàm số:

Hãy tìm giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp xúc, tức là hệ số góc của tiếp tuyến:

Ta nhận được phương trình tiếp tuyến:

Ta đưa phương trình về dạng tổng quát:

Chúng tôi soạn phương trình của pháp tuyến:

Một sai lầm phổ biến khi viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến là không nhận thấy rằng hàm số cho trong ví dụ là phức tạp và tính đạo hàm của nó như là đạo hàm của một hàm số đơn giản. Các ví dụ sau đây đã chức năng phức tạp(bài học tương ứng sẽ mở trong cửa sổ mới).

Ví dụ 5 Lập phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm số nếu hoành độ của tiếp điểm là.

Quyết định. Hãy tìm tọa độ của điểm tiếp xúc:

Chú ý! Hàm này phức tạp, vì đối số của tiếp tuyến (2 x) tự nó là một hàm. Do đó, ta tìm đạo hàm của một hàm số là đạo hàm của một hàm số phức.

ví dụ 1 Cho một chức năng f(x) = 3x 2 + 4x- 5. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm của biểu đồ có abscissa x 0 = 1.

Quyết định.Đạo hàm hàm f(x) tồn tại cho bất kỳ x R . Hãy tìm nó:

= (3x 2 + 4x- 5) ′ = 6 x + 4.

sau đó f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Trả lời. y = 10x – 8.

Ví dụ 2 Cho một chức năng f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x), song song với dòng y = 2x – 11.

Quyết định.Đạo hàm hàm f(x) tồn tại cho bất kỳ x R . Hãy tìm nó:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) ′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Vì tiếp tuyến với đồ thị của hàm số f(x) tại điểm với abscissa x 0 song song với dòng y = 2x- 11, thì độ dốc của nó là 2, tức là ( x 0) = 2. Tìm abscissa này với điều kiện 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Đẳng thức này chỉ có giá trị đối với x 0 = 0 và x 0 = 2. Vì trong cả hai trường hợp f(x 0) = 5, thì đường thẳng y = 2x + b Tiếp xúc với đồ thị của hàm số tại điểm (0; 5) hoặc tại điểm (2; 5).

Trong trường hợp đầu tiên, đẳng thức số là đúng 5 = 2 × 0 + b, ở đâu b= 5 và trong trường hợp thứ hai, đẳng thức số là đúng 5 = 2 × 2 + b, ở đâu b = 1.

Vậy có hai tiếp tuyến y = 2x+ 5 và y = 2x+ 1 vào đồ thị của hàm số f(x) song song với dòng y = 2x – 11.

Trả lời. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Ví dụ 3 Cho một chức năng f(x) = x 2 – 6x+ 7. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm Một (2; –5).

Quyết định. Như f(2) –5, sau đó là điểm Một không thuộc đồ thị của hàm số f(x). Để cho được x 0 - abscissa của điểm tiếp xúc.

Đạo hàm hàm f(x) tồn tại cho bất kỳ x R . Hãy tìm nó:

= (x 2 – 6x+ 1) ′ = 2 x – 6.

sau đó f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Kể từ thời điểm Một thuộc tiếp tuyến thì đẳng thức số đúng

–5 = (2x 0 - 6) × 2– x+ 7,

ở đâu x 0 = 0 hoặc x 0 = 4. Điều này có nghĩa là thông qua điểm Một Có thể vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị của hàm số f(x).

Nếu một x 0 = 0 thì phương trình tiếp tuyến có dạng y = –6x+ 7. Nếu x 0 = 4 thì phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2x – 9.

Trả lời. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Ví dụ 4 Các chức năng đã cho f(x) = x 2 – 2x+ 2 và g(x) = –x 2 - 3. Hãy viết phương trình tiếp tuyến chung của đồ thị của các hàm số này.

Quyết định.Để cho được x 1 - abscissa của điểm tiếp xúc của đường thẳng mong muốn với đồ thị của hàm số f(x), một x 2 - hoành độ giao điểm của cùng một đường thẳng với đồ thị của hàm số g(x).

Đạo hàm hàm f(x) tồn tại cho bất kỳ x R . Hãy tìm nó:

= (x 2 – 2x+ 2) ′ = 2 x – 2.

sau đó f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Hãy tìm đạo hàm của hàm số g(x):

= (–x 2 - 3) ′ = –2 x.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Vùng Chelyabinsk

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài báo được xuất bản với sự hỗ trợ của ITAKA + Hotel Complex. Ở lại thành phố của những người đóng tàu Severodvinsk, bạn sẽ không phải đối mặt với vấn đề tìm nhà ở tạm thời. , trên trang web của tổ hợp khách sạn "ITAKA +" http://itakaplus.ru, bạn có thể dễ dàng và nhanh chóng thuê một căn hộ trong thành phố, cho bất kỳ thời hạn nào, với khoản thanh toán hàng ngày.

Hãy xem xét một phương pháp để dạy học sinh cách vẽ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Về bản chất, tất cả các công việc tìm phương trình tiếp tuyến được rút gọn thành cần phải chọn từ tập hợp (bó, họ) các đường thỏa mãn một yêu cầu nhất định - chúng tiếp tuyến với đồ thị của một hàm số nhất định. Trong trường hợp này, tập hợp các dòng mà từ đó lựa chọn được thực hiện có thể được chỉ định theo hai cách:

a) một điểm nằm trên mặt phẳng xOy (bút chì chính giữa của các đường);
b) hệ số góc (bó đường thẳng song song).

Về vấn đề này, khi nghiên cứu đề tài "Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số" để tách các phần tử của hệ, chúng tôi xác định hai loại nhiệm vụ:

1) nhiệm vụ trên một tiếp tuyến được cho bởi một điểm mà nó đi qua;
2) nhiệm vụ trên một tiếp tuyến cho trước bởi hệ số góc của nó.

y \ u003d f (a) + f "(a) (x - a)

Thuật toán biên phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f (x)

1. Chỉ định bằng chữ a là abscissa của điểm tiếp xúc.
2. Tìm f (a).
3. Tìm f "(x) và f" (a).
4. Thay các số tìm được a, f (a), f "(a) vào phương trình tổng quát của tiếp tuyến y \ u003d f (a) \ u003d f" (a) (x - a).

Thuật toán này có thể được biên soạn trên cơ sở lựa chọn độc lập các thao tác của học sinh và trình tự thực hiện của chúng.

Trong loại nhiệm vụ đầu tiên, hai nhiệm vụ chính đã được xác định:

Tiếp tuyến đi qua một điểm nằm trên đường cong (bài toán 1);
Tiếp tuyến đi qua một điểm không nằm trên đường cong (Bài toán 2).

Nhiệm vụ 1. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M (3; - 2).

Quyết định. Điểm M (3; - 2) là giao điểm, vì

1. a = 3 - abscissa của điểm tiếp xúc.
2. f (3) = - 2.
3. f "(x) \ u003d x 2 - 4, f" (3) \ u003d 5.
y \ u003d - 2 + 5 (x - 3), y \ u003d 5x - 17 là phương trình tiếp tuyến.

Nhiệm vụ 2. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x 2 - 4x + 2 đi qua điểm M (- 3; 6).

Quyết định. Điểm M (- 3; 6) không phải là tiếp tuyến vì f (- 3) 6 (Hình 2).

2. f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \ u003d - 2x - 4, f" (a) \ u003d - 2a - 4.
4. y \ u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - phương trình tiếp tuyến.

Tiếp tuyến đi qua điểm M (- 3; 6) nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình tiếp tuyến.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Nếu a = - 4 thì phương trình tiếp tuyến là y = 4x + 18.

Nếu a \ u003d - 2 thì phương trình tiếp tuyến có dạng y \ u003d 6.

Trong loại thứ hai, các nhiệm vụ chính sẽ như sau:

tiếp tuyến song song với một đường thẳng nào đó (bài toán 3);
Tiếp tuyến đi một góc nào đó đối với đường thẳng đã cho (Bài toán 4).

Nhiệm vụ 3. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y \ u003d x 3 - 3x 2 + 3, song song với đường thẳng y \ u003d 9x + 1.

Quyết định.

1. a - abscissa của điểm tiếp xúc.
2. f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \ u003d 3x 2 - 6x, f" (a) \ u003d 3a 2 - 6a.

Nhưng mặt khác, f "(a) \ u003d 9 (điều kiện song song). Vì vậy, chúng ta cần giải phương trình 3a 2 - 6a \ u003d 9. Các gốc của nó a \ u003d - 1, a \ u003d 3 (Hình . 3).

4. 1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 là phương trình tiếp tuyến;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 là phương trình tiếp tuyến.

Nhiệm vụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 0,5x 2 - 3x + 1, hợp với đường thẳng y = 0 một góc 45o (Hình 4).

Quyết định. Từ điều kiện f "(a) \ u003d tg 45 ° ta tìm được: a - 3 \ u003d 1^ a = 4.

1. a = 4 - abscissa của điểm tiếp xúc.
2. f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \ u003d 4 - 3 \ u003d 1.
4. y \ u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \ u003d x - 7 - phương trình của tiếp tuyến.

Quyết định. Vì áp suất của điểm tiếp xúc được đưa ra, phần đầu tiên của giải pháp được rút gọn thành vấn đề then chốt 1.

1. a \ u003d 3 - hoành độ của điểm tiếp xúc của một trong các cạnh của góc vuông.
2. f (3) = 1.
3. f "(x) \ u003d 4x - 5, f" (3) \ u003d 7.
4. y \ u003d 1 + 7 (x - 3), y \ u003d 7x - 20 - phương trình của tiếp tuyến thứ nhất.

Hãy để một là góc nghiêng của tiếp tuyến thứ nhất. Vì tiếp tuyến vuông góc nên góc nghiêng của tiếp tuyến thứ hai. Từ phương trình y = 7x - 20 của tiếp tuyến thứ nhất ta có tg a = 7. Tìm

Điều này có nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến thứ hai là.

Giải pháp tiếp theo là rút gọn thành nhiệm vụ trọng tâm 3.

Gọi B (c; f (c)) là tiếp tuyến của đường thẳng thứ hai, khi đó

1. - abscissa của điểm tiếp xúc thứ hai.
2.
3.
4.
là phương trình của tiếp tuyến thứ hai.

Ghi chú. Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được tìm thấy dễ dàng hơn nếu học sinh biết tỉ số các hệ số của đường vuông góc k 1 k 2 = - 1.

2. Viết phương trình của tất cả các tiếp tuyến chung của đồ thị hàm số

1. Gọi a là hoành độ của điểm tiếp xúc nằm trên đồ thị của hàm số y = x 2 + x + 1.
2. f (a) = a 2 + a + 1.
3. f ”(a) = 2a + 1.
4. y \ u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \ u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Gọi c là hoành độ của điểm tiếp tuyến nằm trên đồ thị của hàm số
2.
3. f ”(c) = c.
4.

Vì các tiếp tuyến là chung nên

Vậy y = x + 1 và y = - 3x - 3 là các tiếp tuyến chung.

3. Đối với b và c thì các đường thẳng y \ u003d x và y \ u003d - 2x tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 + bx + c?

Quyết định.

Soạn và giải hệ phương trình

Trả lời:

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập

1. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x 2 - 4x + 3 tại các giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = x + 3.

Đáp số: y \ u003d - 4x + 3, y \ u003d 6x - 9,5.

2. Với những giá trị nào của a thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y \ u003d x 2 - ax tại điểm của đồ thị có hoành độ x 0 \ u003d 1 đi qua điểm M (2; 3) ?

Đáp số: a = 0,5.

3. Với những giá trị nào của p thì đường thẳng y = px - 5 tiếp xúc với đường cong y = 3x 2 - 4x - 2?

Trả lời: p 1 \ u003d - 10, p 2 \ u003d 2.

4. Tìm tất cả các điểm chung của đồ thị hàm số y = 3x - x 3 và tiếp tuyến của đồ thị này đi qua điểm P (0; 16).

Đáp số: A (2; - 2), B (- 4; 52).

5. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa parabol y = x 2 + 6x + 10 và đường thẳng

Trả lời:

6. Trên đường cong y \ u003d x 2 - x + 1, tìm điểm mà tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng y - 3x + 1 \ u003d 0.

Đáp số: M (2; 3).

7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 2 + 2x - | 4x | tiếp xúc với nó tại hai điểm. Vẽ tranh.

Đáp số: y = 2x - 4.

8. Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x - 1 không cắt đường cong y = x 4 + 3x 2 + 2x. Tìm khoảng cách giữa các điểm gần nhất của chúng.

Trả lời:

9. Trên parabol y \ u003d x 2, lấy hai điểm có hoành độ x 1 \ u003d 1, x 2 \ u003d 3. Một đoạn thẳng được vẽ qua các điểm này. Tại điểm nào của parabol thì tiếp tuyến của nó sẽ song song với secant được vẽ? Viết phương trình tiếp tuyến và tiếp tuyến.

Trả lời: y \ u003d 4x - 3 - phương trình bậc nhất; y = 4x - 4 là phương trình tiếp tuyến.

10. Tìm góc q giữa các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y \ u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, được vẽ tại các điểm có hoành độ 0 và 1.

Đáp số: q = 45 °.

11. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với trục Ox một góc 135 0 tại những điểm nào?

Đáp số: A (0; - 1), B (4; 3).

12. Tại điểm A (1; 8) đến đường cong một tiếp tuyến được vẽ. Tìm độ dài đoạn tiếp tuyến nằm giữa các trục tọa độ.

Trả lời:

13. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến chung của đồ thị các hàm số y \ u003d x 2 - x + 1 và y \ u003d 2x 2 - x + 0,5.

Đáp số: y = - 3x và y = x.

14. Tìm khoảng cách giữa các tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục x.

Trả lời:

15. Xác định xem parabol y \ u003d x 2 + 2x - 8 cắt trục x ở những góc nào.

Trả lời: q 1 \ u003d arctan 6, q 2 \ u003d arctan (- 6).

16. Trên đồ thị của hàm số Tìm tất cả các điểm, tiếp tuyến tại mỗi điểm của đồ thị này cắt các bán trục tọa độ dương, cắt các đoạn bằng nhau khỏi chúng.

Đáp số: A (-3; 11).

17. Đường thẳng y = 2x + 7 và parabol y = x 2 - 1 cắt nhau tại điểm M và N. Tìm giao điểm K của các đường tiếp tuyến với parabol tại điểm M và N.

Đáp số: K (1; - 9).

18. Với những giá trị nào của b thì đường thẳng y \ u003d 9x + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y \ u003d x 3 - 3x + 15?

Trả lời 1; 31.

19. Với những giá trị nào của k thì đường thẳng y = kx - 10 có duy nhất một điểm chung với đồ thị của hàm số y = 2x 2 + 3x - 2? Với các giá trị tìm được của k, hãy xác định tọa độ của điểm.

Đáp số: k 1 = - 5, A (- 2; 0); k 2 = 11, B (2; 12).

20. Với những giá trị nào của b thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = bx 3 - 2x 2 - 4 tại điểm có hoành độ x 0 = 2 đi qua điểm M (1; 8)?

Đáp số: b = - 3.

21. Một parabol có đỉnh nằm trên trục x là tiếp tuyến của đường thẳng đi qua các điểm A (1; 2) và B (2; 4) tại điểm B. Tìm phương trình của parabol đó.

Trả lời:

22. Tại giá trị nào của hệ số k thì parabol y \ u003d x 2 + kx + 1 tiếp xúc với trục Ox?

Đáp số: k = q 2.

23. Tìm các góc giữa đường thẳng y = x + 2 và đường cong y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Tìm khoảng cách giữa các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số hợp với chiều dương của trục Ox một góc 45o.

Trả lời:

30. Tìm quỹ tích các đỉnh của tất cả các parabol có dạng y = x 2 + ax + b tiếp xúc với đường thẳng y = 4x - 1.

Đáp số: đường thẳng y = 4x + 3.

Văn chương

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Đại số và sự khởi đầu của phân tích: 3600 vấn đề cho học sinh và ứng viên đại học. - M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Buổi hội thảo lần thứ tư dành cho giáo viên trẻ. Chủ đề là "Ứng dụng phái sinh". - M., "Toán học", số 21/94.
3. Hình thành kiến thức và kỹ năng theo lý thuyết về sự đồng hóa dần dần của các hành động tinh thần. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Đại học Tổng hợp Moscow, 1968.