Hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát
Để cho được M 0 là tập nghiệm của hệ (4) thuần nhất của phương trình tuyến tính.
Định nghĩa 6.12. Vectơ với 1 ,với 2 , …, với p, là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, được gọi là bộ giải pháp cơ bản(viết tắt FNR) nếu
1) vectơ với 1 ,với 2 , …, với pđộc lập tuyến tính (có nghĩa là, không cái nào trong số chúng có thể được thể hiện theo nghĩa của những cái khác);
2) bất kỳ nghiệm nào khác của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có thể được biểu diễn dưới dạng nghiệm với 1 ,với 2 , …, với p.
Lưu ý rằng nếu với 1 ,với 2 , …, với p là một số f.n.r., sau đó bằng biểu thức k 1 × với 1 + k 2 × với 2 + … + kp× với p có thể mô tả toàn bộ M 0 giải pháp cho hệ thống (4), vì vậy nó được gọi là cái nhìn chung về giải pháp hệ thống (4).
Định lý 6.6. Bất kỳ hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất định đều có tập nghiệm cơ bản.
Cách để tìm ra bộ giải pháp cơ bản như sau:
Tìm nghiệm tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất;
Xây dựng ( N – r) các nghiệm riêng của hệ thống này, trong khi các giá trị của ẩn số tự do phải tạo thành ma trận nhận dạng;
Viết ra dạng tổng quát của giải pháp có trong M 0 .
Ví dụ 6.5. Tìm tập nghiệm cơ bản của hệ sau:
Quyết định. Hãy cùng chúng tôi tìm ra giải pháp chung của hệ thống này.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Hệ thống này có năm ẩn số ( N= 5), trong đó có hai ẩn số chính ( r= 2), ba ẩn số miễn phí ( N – r), nghĩa là, tập nghiệm cơ bản chứa ba vectơ nghiệm. Hãy xây dựng chúng. Chúng ta có x 1 và x 3 - ẩn số chính, x 2 , x 4 , x 5 - ẩn số miễn phí
Giá trị của ẩn số miễn phí x 2 , x 4 , x 5 hình thành ma trận nhận dạng Eđơn hàng thứ ba. Có vectơ đó với 1 ,với 2 , với 3 mẫu f.n.r. hệ thống này. Khi đó tập nghiệm của hệ thuần nhất này sẽ là M 0 = {k 1 × với 1 + k 2 × với 2 + k 3 × với 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu điều kiện tồn tại nghiệm khác không của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, hay nói cách khác là điều kiện tồn tại của tập nghiệm cơ bản.
Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác không, nghĩa là, nó là vô định nếu
1) hạng của ma trận chính của hệ thống nhỏ hơn số ẩn số;
2) trong một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, số phương trình ít hơn số ẩn số;
3) nếu trong một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, số phương trình bằng số ẩn số và định thức của ma trận chính bằng 0 (tức là | Một| = 0).
Ví dụ 6.6. Tại giá trị nào của tham số một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 
có các giải pháp khác không?
Quyết định. Hãy lập ma trận chính của hệ này và tìm định thức của nó: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - một- 4. Định thức của ma trận này bằng 0 khi một = –4.
Trả lời: –4.
7. Số học N-không gian vectơ chiều
Các khái niệm cơ bản
Ở các phần trước, chúng ta đã gặp khái niệm tập hợp các số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Đây là một ma trận hàng (hoặc ma trận cột) và một giải pháp cho một hệ phương trình tuyến tính với N không xác định. Thông tin này có thể được tóm tắt.
Định nghĩa 7.1. N-vector số học chiềuđược gọi là một tập hợp có thứ tự của N số thực.
Có nghĩa một= (a 1, a 2,…, a N), nơi một tôiО R, tôi = 1, 2, …, N là hình chiếu chung của vectơ. Con số N triệu tập kích thước vectơ và các số a tôiđã gọi cho anh ấy tọa độ.
Ví dụ: một= (1, –8, 7, 4,) là một vectơ năm chiều.
Tất cả các thiết lập N vectơ-chiều thường được ký hiệu là R n.
Định nghĩa 7.2. Hai vectơ một= (a 1, a 2,…, a N) và b= (b 1, b 2,…, b N) của cùng một thứ nguyên bình đẳng nếu và chỉ khi các tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau, tức là a 1 = b 1, a 2 = b 2,…, a N= b N.
Định nghĩa 7.3.Tổng hai N vectơ-chiều một= (a 1, a 2,…, a N) và b= (b 1, b 2,…, b N) được gọi là một vectơ một + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2,…, a N+ b N).
Định nghĩa 7.4. công việc số thực k mỗi vectơ một= (a 1, a 2,…, a N) được gọi là một vectơ k× một = (k× a 1, k× a 2,…, k× a N)
Định nghĩa 7.5. Véc tơ Về= (0, 0,…, 0) được gọi là số không(hoặc null-vector).
Dễ dàng kiểm tra rằng các hành động (phép toán) cộng vectơ và nhân chúng với một số thực có các thuộc tính sau: một, b, c Î R n, " k, lОR:
1) một + b = b + một;
2) một + (b+ c) = (một + b) + c;
3) một + Về = một;
4) một+ (–một) = Về;
5) 1 × một = một, 1 О R;
6) k×( l× một) = l×( k× một) = (l× k)× một;
7) (k + l)× một = k× một + l× một;
8) k×( một + b) = k× một + k× b.
Định nghĩa 7.6. Một loạt các R n với các phép toán cộng các vectơ và nhân chúng với một số thực đã cho trên nó được gọi là không gian vectơ n chiều số học.
Một hệ thống đồng nhất luôn nhất quán và có một giải pháp tầm thường 
. Để tồn tại một giải pháp quan trọng, điều cần thiết là hạng của ma trận 
nhỏ hơn số ẩn số:
.
Hệ thống quyết định cơ bản
hệ thống đồng nhất 
gọi hệ thức có dạng vectơ cột 
, tương ứng với cơ sở kinh điển, tức là cơ sở trong đó các hằng số tùy ý 
lần lượt được đặt bằng một, trong khi các phần còn lại được đặt bằng không.
Khi đó nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất có dạng:
ở đâu 
là các hằng số tùy ý. Nói cách khác, nghiệm tổng quát là sự kết hợp tuyến tính của hệ thống các nghiệm cơ bản.
Do đó, các nghiệm cơ bản có thể nhận được từ nghiệm tổng quát nếu các ẩn số tự do được đặt xen kẽ với giá trị thống nhất, giả sử tất cả các ẩn số khác bằng không.
Ví dụ. Hãy cùng tìm giải pháp cho hệ thống
Chúng tôi chấp nhận, sau đó chúng tôi nhận được giải pháp ở dạng:
Bây giờ chúng ta hãy xây dựng một hệ thống giải pháp cơ bản:
.
Giải pháp chung có thể được viết là:
Các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có các tính chất sau:
Nói cách khác, bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm đối với một hệ thuần nhất lại là một nghiệm.
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Giải hệ phương trình tuyến tính đã được các nhà toán học quan tâm trong vài thế kỷ. Những kết quả đầu tiên thu được vào thế kỷ XVIII. Năm 1750, G. Kramer (1704–1752) xuất bản công trình của mình về các định thức của ma trận vuông và đề xuất một thuật toán tìm ma trận nghịch đảo. Năm 1809, Gauss đã vạch ra một phương pháp giải mới được gọi là phương pháp khử.
Phương pháp Gauss, hay phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số, thực tế là, với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ phương trình được rút gọn thành một hệ tương đương có dạng bậc (hoặc tam giác). Các hệ thống như vậy cho phép bạn luôn tìm thấy tất cả các ẩn số theo một thứ tự nhất định.
Giả sử rằng trong hệ thống (1) 
(luôn luôn có thể).
(1)
Lần lượt nhân phương trình đầu tiên với cái gọi là những con số phù hợp
và cộng kết quả của phép nhân với các phương trình tương ứng của hệ, ta được một hệ tương đương, trong đó tất cả các phương trình, trừ phương trình thứ nhất, sẽ không có ẩn số X 1
(2)
Bây giờ chúng ta nhân phương trình thứ hai của hệ (2) với các số thích hợp, giả sử rằng 
,
và thêm nó vào những cái thấp hơn, chúng tôi loại bỏ biến 
của tất cả các phương trình, bắt đầu bằng phương trình thứ ba.
Tiếp tục quá trình này, sau 
các bước chúng tôi nhận được:
(3)
Nếu ít nhất một trong các số 
không bằng 0, thì đẳng thức tương ứng là không nhất quán và hệ (1) là không nhất quán. Ngược lại, đối với bất kỳ hệ thống số chung nào 
đều bằng không. Con số 
không là gì khác ngoài thứ hạng của ma trận hệ thống (1).
Quá trình chuyển đổi từ hệ thống (1) sang (3) được gọi là trong một đường thẳng Phương pháp Gaussian và tìm ẩn số từ (3) - ngược .
Nhận xét : Sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện các phép biến đổi không phải với chính các phương trình mà với ma trận mở rộng của hệ (1).
Ví dụ. Hãy cùng tìm giải pháp cho hệ thống
.
Hãy viết ma trận tăng cường của hệ thống:
.
Hãy cộng vào các dòng 2,3,4 đầu tiên, nhân với (-2), (-3), (-2) tương ứng:
.
Hãy hoán đổi hàng 2 và 3, sau đó trong ma trận kết quả thêm hàng 2 vào hàng 4, nhân với 
:
.
Thêm vào dòng 4 dòng 3 nhân với 
:
.
Hiển nhiên là 
, do đó hệ thống tương thích. Từ hệ phương trình kết quả
chúng tôi tìm ra giải pháp bằng cách thay thế ngược lại:
,
,
,
.
Ví dụ 2 Tìm giải pháp hệ thống:
.
Rõ ràng là hệ thống không nhất quán, bởi vì 
, một 
.
Ưu điểm của phương pháp Gauss :
Ít tốn thời gian hơn so với phương pháp của Cramer.
Thiết lập rõ ràng tính tương thích của hệ thống và cho phép bạn tìm ra giải pháp.
Cung cấp khả năng xác định thứ hạng của bất kỳ ma trận nào.
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE) chắc chắn là chủ đề quan trọng nhất của khóa học đại số tuyến tính. Một số lượng lớn các bài toán từ tất cả các nhánh của toán học được chuyển thành giải hệ phương trình tuyến tính. Những yếu tố này giải thích lý do tạo ra bài viết này. Tài liệu của bài viết được chọn lọc và cấu trúc để với sự trợ giúp của nó, bạn có thể
- chọn phương pháp tối ưu để giải hệ phương trình đại số tuyến tính của bạn,
- nghiên cứu lý thuyết của phương pháp đã chọn,
- giải hệ phương trình tuyến tính của bạn, sau khi xem xét chi tiết lời giải của các ví dụ và vấn đề điển hình.
Mô tả ngắn gọn về tài liệu của bài báo.
Đầu tiên, chúng tôi đưa ra tất cả các định nghĩa, khái niệm cần thiết và giới thiệu một số ký hiệu.
Tiếp theo, chúng ta xem xét các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính trong đó số phương trình bằng số biến chưa biết và có nghiệm duy nhất. Đầu tiên, chúng ta hãy tập trung vào phương pháp Cramer, thứ hai, chúng tôi sẽ đưa ra phương pháp ma trận để giải các hệ phương trình đó, và thứ ba, chúng tôi sẽ phân tích phương pháp Gauss (phương pháp loại bỏ liên tiếp các biến chưa biết). Để củng cố lý thuyết, chúng tôi chắc chắn sẽ giải quyết một số SLAE theo nhiều cách khác nhau.
Sau đó chuyển sang giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát, trong đó số phương trình không trùng với số biến chưa biết hoặc ma trận chính của hệ suy biến. Chúng tôi xây dựng định lý Kronecker-Capelli, cho phép chúng tôi thiết lập tính tương thích của SLAE. Hãy để chúng tôi phân tích lời giải của các hệ thống (trong trường hợp tương thích của chúng) bằng cách sử dụng khái niệm cơ sở nhỏ nhất của ma trận. Chúng tôi cũng sẽ xem xét phương pháp Gauss và mô tả chi tiết các giải pháp của các ví dụ.
Đảm bảo nắm vững cấu trúc của nghiệm tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất. Hãy để chúng tôi đưa ra khái niệm về hệ thống giải pháp cơ bản và chỉ ra cách giải pháp chung của SLAE được viết bằng cách sử dụng các vectơ của hệ thống nghiệm cơ bản. Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ.
Kết luận, chúng tôi xem xét các hệ phương trình được rút gọn thành tuyến tính, cũng như các bài toán khác nhau, trong lời giải mà SLAE nảy sinh.
Điều hướng trang.
Định nghĩa, khái niệm, chỉ định.
Chúng ta sẽ xét hệ phương trình đại số tuyến tính p với n biến chưa biết (p có thể bằng n) có dạng
Các biến không xác định, - hệ số (một số số thực hoặc số phức), - các phần tử tự do (cũng là số thực hoặc số phức).
Dạng SLAE này được gọi là danh từ: Tọa độ.
TẠI dạng ma trận hệ phương trình này có dạng,
ở đâu 
- ma trận chính của hệ thống, - cột ma trận của các biến chưa biết, - cột ma trận của các phần tử tự do.
Nếu chúng ta thêm vào ma trận A dưới dạng cột thứ (n + 1) cột ma trận gồm các số hạng tự do, thì chúng ta nhận được cái gọi là ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính. Thông thường, ma trận tăng cường được ký hiệu bằng chữ T và cột gồm các phần tử tự do được phân tách bằng một đường thẳng đứng so với phần còn lại của các cột, nghĩa là 
Bằng cách giải một hệ phương trình đại số tuyến tínhđược gọi là tập hợp các giá trị của các biến chưa biết, biến tất cả các phương trình của hệ thành đồng nhất. Phương trình ma trận cho các giá trị đã cho của các biến chưa biết cũng biến thành một định danh.
Nếu một hệ phương trình có ít nhất một nghiệm thì nó được gọi là chung.
Nếu hệ phương trình không có nghiệm thì gọi là không tương thích.
Nếu SLAE có một giải pháp duy nhất, thì nó được gọi là chắc chắn; nếu có nhiều hơn một giải pháp, thì - không chắc chắn.
Nếu các số hạng tự do của tất cả các phương trình của hệ bằng 0 
, sau đó hệ thống được gọi là đồng nhất, nếu không thì - không đồng nhất.
Giải pháp của hệ thống cơ bản của phương trình đại số tuyến tính.
Nếu số phương trình của hệ bằng số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của nó không bằng 0, thì chúng ta sẽ gọi là SLAE đó sơ cấp. Các hệ phương trình như vậy có nghiệm duy nhất và trong trường hợp hệ thuần nhất, tất cả các biến chưa biết đều bằng không.
Chúng tôi bắt đầu nghiên cứu SLAE như vậy ở trường trung học. Khi giải chúng, chúng tôi lấy một phương trình, biểu diễn một biến chưa biết theo nghĩa của các biến khác và thay nó vào các phương trình còn lại, sau đó lấy phương trình tiếp theo, biểu diễn biến chưa biết tiếp theo và thay nó vào các phương trình khác, v.v. Hoặc họ đã sử dụng phương pháp cộng, tức là họ đã thêm hai hoặc nhiều phương trình để loại bỏ một số biến chưa biết. Chúng tôi sẽ không đi sâu vào các phương pháp này một cách chi tiết, vì chúng về cơ bản là các sửa đổi của phương pháp Gauss.
Các phương pháp chính để giải hệ phương trình tuyến tính sơ cấp là phương pháp Cramer, phương pháp ma trận và phương pháp Gauss. Hãy phân loại chúng ra.
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer.
Chúng ta hãy giải một hệ phương trình đại số tuyến tính 
trong đó số phương trình bằng số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ khác 0, nghĩa là.
Hãy là yếu tố quyết định của ma trận chính của hệ thống, và 
là các yếu tố quyết định của ma trận nhận được từ A bằng cách thay thế 1, 2,…, n cột tương ứng với cột thành viên miễn phí: 
Với ký hiệu như vậy, các biến chưa biết được tính bằng các công thức của phương pháp Cramer như 
. Đây là cách tìm nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Cramer.
Ví dụ.
Phương pháp Cramer 
.
Quyết định.
Ma trận chính của hệ thống có dạng 
. Tính định thức của nó (nếu cần, hãy xem bài viết): 
Vì định thức của ma trận chính của hệ thống khác 0, hệ thống có một nghiệm duy nhất có thể tìm được bằng phương pháp Cramer.
Soạn và tính toán các yếu tố quyết định cần thiết 
(định thức nhận được bằng cách thay thế cột đầu tiên trong ma trận A bằng một cột gồm các phần tử tự do, định thức - bằng cách thay thế cột thứ hai bằng một cột các phần tử tự do, - bằng cách thay thế cột thứ ba của ma trận A bằng một cột các phần tử tự do ): 
Tìm các biến không xác định bằng công thức 
:
Trả lời:
Nhược điểm chính của phương pháp Cramer (nếu có thể gọi là nhược điểm) là sự phức tạp của việc tính toán các yếu tố quyết định khi số phương trình hệ nhiều hơn ba.
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận (sử dụng ma trận nghịch đảo).
Cho hệ phương trình đại số tuyến tính được cho dưới dạng ma trận, trong đó ma trận A có số chiều n bằng n và định thức của nó khác không.
Từ đó ma trận A khả nghịch, tức là tồn tại một ma trận khả nghịch. Nếu chúng ta nhân cả hai vế của đẳng thức với bên trái, thì chúng ta sẽ có công thức tìm ma trận cột của các biến chưa biết. Như vậy ta đã có nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận.
Ví dụ.
Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp ma trận.
Quyết định.
Hãy viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận: 
Như
thì SLAE có thể được giải bằng phương pháp ma trận. Sử dụng ma trận nghịch đảo, giải pháp cho hệ thống này có thể được tìm thấy là 
.
Hãy xây dựng một ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng ma trận đại số các phần tử của ma trận A (nếu cần, hãy xem bài viết): 
Nó vẫn còn để tính toán - ma trận của các biến chưa biết bằng cách nhân ma trận nghịch đảo 
trên cột ma trận của các thành viên miễn phí (nếu cần, hãy xem bài viết): 
Trả lời:
hoặc trong một ký hiệu khác x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Vấn đề chính trong việc tìm lời giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận là độ phức tạp của việc tìm ma trận nghịch đảo, đặc biệt là đối với ma trận vuông bậc ba.
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss.
Giả sử chúng ta cần tìm một nghiệm cho một hệ gồm n phương trình tuyến tính với n biến chưa biết 
định thức của ma trận chính khác 0.
Bản chất của phương pháp Gauss bao gồm việc loại trừ liên tiếp các biến chưa biết: thứ nhất, x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai, sau đó x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ ba, v.v., cho đến khi chỉ có biến chưa biết x n vẫn ở trong phương trình cuối cùng. Quá trình biến đổi phương trình của hệ để loại bỏ liên tiếp các biến chưa biết như vậy được gọi là phương pháp Gauss trực tiếp. Sau khi hoàn thành quá trình chạy về phía trước của phương pháp Gaussian, x n được tìm thấy từ phương trình cuối cùng, x n-1 được tính từ phương trình áp chót bằng cách sử dụng giá trị này, và cứ như vậy, x 1 được tìm thấy từ phương trình đầu tiên. Quá trình tính toán các biến chưa biết khi chuyển từ phương trình cuối cùng của hệ sang phương trình đầu tiên được gọi là đảo ngược phương pháp Gauss.
Hãy để chúng tôi mô tả ngắn gọn thuật toán loại bỏ các biến chưa biết.
Chúng ta sẽ giả định rằng, vì chúng ta luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ thống. Chúng tôi loại trừ biến chưa biết x 1 khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai. Để thực hiện việc này, hãy cộng phương trình đầu tiên nhân với phương trình thứ hai của hệ thống, cộng số nhân đầu tiên với phương trình thứ ba, v.v., cộng số nhân đầu tiên vào phương trình thứ n. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng 
nơi một 
.
Chúng ta sẽ đi đến kết quả tương tự nếu biểu thị x 1 theo các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ thống và thay biểu thức kết quả vào tất cả các phương trình khác. Do đó, biến x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ hai.
Tiếp theo, chúng tôi hành động tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình 
Để thực hiện việc này, hãy cộng nhân thứ hai với phương trình thứ ba của hệ thống, cộng nhân thứ hai với phương trình thứ tư, và cứ thế cộng nhân thứ hai vào phương trình thứ n. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng 
nơi một 
. Do đó, biến x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ ba.
Tiếp theo, chúng tôi tiến hành loại bỏ x 3 chưa biết, trong khi hành động tương tự với phần của hệ thống được đánh dấu trong hình 
Vì vậy, chúng tôi tiếp tục quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss cho đến khi hệ thống có dạng 
Kể từ lúc này, chúng ta bắt đầu quy trình ngược lại của phương pháp Gauss: chúng ta tính x n từ phương trình cuối cùng, sử dụng giá trị thu được của x n, chúng ta tìm được x n-1 từ phương trình áp chót, và cứ thế, chúng ta tìm x 1 từ phương trình đầu tiên.
Ví dụ.
Giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gaussian.
Quyết định.
Hãy loại trừ biến x 1 chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ. Để làm điều này, đối với cả hai phần của phương trình thứ hai và thứ ba, chúng tôi cộng các phần tương ứng của phương trình thứ nhất, nhân với và tương ứng với: 
Bây giờ chúng ta loại trừ x 2 khỏi phương trình thứ ba bằng cách thêm vào phần bên trái và bên phải của nó các phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, nhân với: 
Khi này, quá trình thuận của phương pháp Gauss đã hoàn thành, chúng ta bắt đầu quá trình ngược lại.
Từ phương trình cuối cùng của hệ phương trình, ta tìm được x 3: 
Từ phương trình thứ hai chúng ta nhận được.
Từ phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy biến chưa biết còn lại và điều này hoàn thành quy trình ngược lại của phương pháp Gauss.
Trả lời:
X 1 \ u003d 4, x 2 \ u003d 0, x 3 \ u003d -1.
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.
Trong trường hợp tổng quát, số phương trình của hệ p không trùng với số biến n chưa biết là:
Những SLAE như vậy có thể không có giải pháp, có một giải pháp duy nhất hoặc có vô số giải pháp. Câu lệnh này cũng áp dụng cho các hệ phương trình có ma trận chính là vuông và suy biến.
Định lý Kronecker-Capelli.
Trước khi tìm ra lời giải cho một hệ phương trình tuyến tính, cần thiết lập tính tương thích của nó. Câu trả lời cho câu hỏi khi nào SLAE tương thích và khi nào không tương thích, Định lý Kronecker – Capelli:
Để một hệ phương trình p với n ẩn số (p có thể bằng n) là nhất quán thì cần và đủ rằng hạng của ma trận chính của hệ bằng hạng của ma trận mở rộng, tức là hạng ( A) = Hạng (T).
Chúng ta hãy xem xét ứng dụng của định lý Kronecker-Cappelli để xác định tính tương thích của một hệ phương trình tuyến tính làm ví dụ.
Ví dụ.
Tìm xem hệ phương trình tuyến tính có 
các giải pháp.
Quyết định.
. Chúng ta hãy sử dụng phương pháp giáp tiểu nhân. Phần nhỏ của đơn hàng thứ hai 
khác 0. Chúng ta hãy xem xét những người vị thành niên bậc ba xung quanh nó: 
Vì tất cả các con lân cận bậc ba đều bằng 0, nên hạng của ma trận chính là hai.
Đổi lại, thứ hạng của ma trận tăng cường 
bằng ba, vì con thứ của bậc thứ ba 
khác 0.
Vì vậy, Rang (A), do đó, theo định lý Kronecker-Capelli, chúng ta có thể kết luận rằng hệ phương trình tuyến tính ban đầu là không nhất quán.
Trả lời:
Không có hệ thống giải pháp.
Vì vậy, chúng ta đã học cách thiết lập tính không nhất quán của hệ thống bằng cách sử dụng định lý Kronecker-Capelli.
Nhưng làm thế nào để tìm ra giải pháp của SLAE nếu tính tương thích của nó được thiết lập?
Để làm được điều này, chúng ta cần khái niệm về hạng cơ sở của ma trận và định lý về hạng của ma trận.
Con bậc cao nhất của ma trận A, khác 0, được gọi là nền tảng.
Theo định nghĩa của phần tử cơ sở thì thứ tự của nó bằng hạng của ma trận. Đối với một ma trận A khác 0, có thể có một số phần tử cơ bản; luôn có một phần tử cơ bản.
Ví dụ, hãy xem xét ma trận 
.
Tất cả các phần tử bậc ba của ma trận này đều bằng 0, vì các phần tử của hàng thứ ba của ma trận này là tổng các phần tử tương ứng của hàng thứ nhất và thứ hai.
Các phần tử nhỏ sau của thứ tự thứ hai là cơ bản, vì chúng không phải là 
Trẻ vị thành niên 
không phải là cơ bản, vì chúng bằng không.
Định lý hạng ma trận.
Nếu hạng của ma trận bậc p theo n là r, thì tất cả các phần tử của hàng (và cột) của ma trận không tạo thành phần tử cơ sở đã chọn được biểu diễn tuyến tính theo các phần tử tương ứng của hàng (và cột ) tạo thành phần nhỏ cơ sở.
Định lý hạng ma trận cho chúng ta điều gì?
Nếu, theo định lý Kronecker-Capelli, chúng ta đã thiết lập được tính tương thích của hệ thống, thì chúng ta chọn bất kỳ ma trận nhỏ cơ bản nào của ma trận chính của hệ thống (bậc của nó bằng r) và loại trừ khỏi hệ thống tất cả các phương trình không tạo thành trẻ vị thành niên cơ bản đã chọn. SLAE thu được theo cách này sẽ tương đương với phương trình ban đầu, vì các phương trình bị loại bỏ vẫn còn dư thừa (theo định lý hạng ma trận, chúng là một tổ hợp tuyến tính của các phương trình còn lại).
Kết quả là, sau khi loại bỏ các phương trình thừa của hệ thống, có thể xảy ra hai trường hợp.
Nếu số phương trình r trong hệ kết quả bằng số biến chưa biết thì nó sẽ xác định và chỉ có nghiệm duy nhất có thể tìm được bằng phương pháp Cramer, phương pháp ma trận hoặc phương pháp Gauss.
Ví dụ.
.
Quyết định.
Thứ hạng của ma trận chính của hệ thống 
bằng hai, vì số nhỏ của bậc thứ hai 
khác 0. Xếp hạng ma trận mở rộng 
cũng bằng hai, vì số nhỏ duy nhất của bậc thứ ba bằng không 
và con của bậc thứ hai được xét ở trên khác 0. Dựa trên định lý Kronecker-Capelli, người ta có thể khẳng định tính tương thích của hệ phương trình tuyến tính ban đầu, vì Hạng (A) = Hạng (T) = 2.
Với tư cách là trẻ vị thành niên, chúng tôi lấy . Nó được hình thành bởi các hệ số của phương trình thứ nhất và thứ hai: 
Phương trình thứ ba của hệ không tham gia vào việc hình thành hạng tử cơ bản, vì vậy chúng ta loại nó khỏi hệ dựa trên định lý hạng ma trận: 
Như vậy chúng ta đã thu được một hệ phương trình đại số tuyến tính sơ cấp. Hãy giải quyết nó bằng phương pháp của Cramer: 
Trả lời:
x 1 \ u003d 1, x 2 \ u003d 2.
Nếu số phương trình r trong SLAE kết quả nhỏ hơn số biến chưa biết n, thì chúng ta để các số hạng tạo thành hạng tử cơ bản ở phần bên trái của phương trình, và chuyển các số hạng còn lại sang phần bên phải của phương trình hệ thống với dấu hiệu ngược lại.
Các biến chưa biết (có r trong số chúng) còn lại ở phía bên trái của phương trình được gọi là chủ yếu.
Các biến không xác định (có n - r trong số chúng) kết thúc ở phía bên phải được gọi là miễn phí.
Bây giờ chúng ta giả định rằng các biến chưa biết tự do có thể nhận các giá trị tùy ý, trong khi r biến chưa biết chính sẽ được biểu diễn dưới dạng các biến chưa biết tự do theo một cách duy nhất. Biểu thức của chúng có thể được tìm thấy bằng cách giải SLAE kết quả bằng phương pháp Cramer, phương pháp ma trận hoặc phương pháp Gauss.
Hãy lấy một ví dụ.
Ví dụ.
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính 
.
Quyết định.
Tìm hạng của ma trận chính của hệ thống 
bằng phương pháp tiểu giáp. Chúng ta hãy lấy một 1 1 = 1 là một số nhỏ bậc nhất khác 0. Hãy bắt đầu tìm kiếm một trẻ vị thành niên bậc hai khác không xung quanh trẻ vị thành niên này: 
Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy một số nhỏ khác 0 của bậc thứ hai. Hãy bắt đầu tìm kiếm một con giáp khác 0 của bậc thứ ba: 
Do đó, hạng của ma trận chính là ba. Thứ hạng của ma trận tăng cường cũng bằng ba, tức là hệ thống nhất quán.
Số nhỏ khác 0 được tìm thấy của bậc thứ ba sẽ được coi là bậc cơ bản.
Để rõ ràng hơn, chúng tôi hiển thị các yếu tố tạo nên yếu tố cơ bản: 
Chúng ta để các số hạng tham gia vào hạng tử cơ bản ở bên trái của các phương trình của hệ, và chuyển phần còn lại có dấu trái dấu sang bên phải: 
Chúng tôi cung cấp các biến miễn phí chưa biết x 2 và x 5 giá trị tùy ý, nghĩa là chúng tôi lấy 
, đâu là số tùy ý. Trong trường hợp này, SLAE có dạng 
Chúng tôi giải hệ phương trình đại số tuyến tính cơ bản thu được bằng phương pháp Cramer: 
Vì thế, .
Trong câu trả lời, đừng quên chỉ ra các biến miễn phí chưa biết.
Trả lời:
Đâu là những con số tùy ý.
Tổng kết.
Để giải một hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát, trước tiên chúng ta tìm hiểu tính tương thích của nó bằng cách sử dụng định lý Kronecker-Capelli. Nếu hạng của ma trận chính không bằng hạng của ma trận mở rộng thì ta kết luận rằng hệ thống không nhất quán.
Nếu hạng của ma trận chính bằng hạng của ma trận mở rộng thì ta chọn hạng phụ cơ bản và loại bỏ các phương trình của hệ không tham gia vào việc hình thành hạng phụ cơ bản đã chọn.
Nếu bậc của biến nhỏ cơ sở bằng số biến chưa biết, thì SLAE có một giải pháp duy nhất, có thể được tìm thấy bằng bất kỳ phương pháp nào mà chúng tôi đã biết.
Nếu bậc của cơ sở nhỏ hơn số biến chưa biết thì ở vế trái của phương trình của hệ ta để số hạng có biến chính chưa biết, chuyển các số hạng còn lại sang vế phải và gán giá trị tùy ý. Cho các biến không xác định miễn phí. Từ hệ phương trình tuyến tính thu được, ta tìm được các biến chính chưa biết bằng phương pháp Cramer, phương pháp ma trận hoặc phương pháp Gauss.
Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.
Sử dụng phương pháp Gauss, người ta có thể giải các hệ phương trình đại số tuyến tính thuộc bất kỳ loại nào mà không cần khảo sát sơ bộ về tính tương thích của chúng. Quá trình loại bỏ liên tiếp các biến không xác định giúp có thể đưa ra kết luận về cả tính tương thích và không nhất quán của SLAE và nếu tồn tại giải pháp, bạn có thể tìm ra giải pháp đó.
Từ quan điểm của công việc tính toán, phương pháp Gaussian thích hợp hơn.
Xem mô tả chi tiết của nó và các ví dụ đã phân tích trong bài viết Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.
Ghi lại nghiệm tổng quát của hệ đại số tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất sử dụng vectơ của hệ nghiệm cơ bản.
Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào các hệ phương trình đại số tuyến tính đồng nhất và không thuần nhất có vô số nghiệm.
Trước tiên, hãy giải quyết các hệ thống thuần nhất.
Hệ thống quyết định cơ bản của một hệ thuần nhất gồm p phương trình đại số tuyến tính với n biến chưa biết là tập hợp (n - r) nghiệm độc lập tuyến tính của hệ này, trong đó r là bậc của cơ sở nhỏ của ma trận chính của hệ.
Nếu chúng ta chỉ định các nghiệm độc lập tuyến tính của SLAE đồng nhất là X (1), X (2),…, X (n-r) (X (1), X (2),…, X (n-r) là ma trận cột có thứ nguyên n bằng 1), thì nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất này được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ của hệ nghiệm cơ bản với các hệ số hằng số tùy ý С 1, С 2,…, С (n-r), nghĩa là.
Thuật ngữ nghiệm tổng quát của một hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất (oroslau) có nghĩa là gì?
Ý nghĩa rất đơn giản: công thức chỉ định tất cả các giải pháp có thể có cho SLAE ban đầu, nói cách khác, lấy bất kỳ bộ giá trị nào của các hằng số tùy ý C 1, C 2, ..., C (n-r), theo công thức chúng ta sẽ nhận được một trong các giải pháp của SLAE đồng nhất ban đầu.
Do đó, nếu chúng ta tìm thấy một hệ thống giải pháp cơ bản, thì chúng ta có thể đặt tất cả các giải pháp của SLAE đồng nhất này là.
Hãy để chúng tôi trình bày quá trình xây dựng hệ thống giải pháp cơ bản cho SLAE đồng nhất.
Chúng ta chọn hạng tử cơ bản của hệ phương trình tuyến tính ban đầu, loại trừ tất cả các phương trình khác khỏi hệ và chuyển sang vế phải các phương trình của hệ có dấu trái dấu với tất cả các số hạng có chứa biến tự do chưa biết. Hãy cung cấp cho các biến chưa biết miễn phí các giá trị 1,0,0,…, 0 và tính các ẩn số chính bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính cơ bản thu được theo bất kỳ cách nào, chẳng hạn bằng phương pháp Cramer. Như vậy sẽ thu được X (1) - nghiệm đầu tiên của hệ cơ bản. Nếu chúng ta cho các ẩn số tự do các giá trị 0,1,0,0,…, 0 và tính các ẩn số chính, thì chúng ta nhận được X (2). Vân vân. Nếu chúng ta cung cấp cho các biến chưa biết miễn phí các giá trị 0,0,…, 0,1 và tính toán các ẩn số chính, thì chúng ta nhận được X (n-r). Đây là cách hệ thống cơ bản của các giải pháp của SLAE đồng nhất sẽ được xây dựng và giải pháp chung của nó có thể được viết dưới dạng.
Đối với hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất, nghiệm tổng quát được biểu diễn dưới dạng
Hãy xem các ví dụ.
Ví dụ.
Tìm nghiệm cơ bản và nghiệm tổng quát của một hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất 
.
Quyết định.
Hạng của ma trận chính của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn bằng hạng của ma trận mở rộng. Chúng ta hãy tìm hạng của ma trận chính bằng phương pháp lập diềm. Là một con khác không của bậc đầu tiên, chúng tôi lấy phần tử a 1 1 = 9 của ma trận chính của hệ thống. Tìm số phụ khác 0 giáp với thứ tự thứ hai: 
Một phần nhỏ của bậc thứ hai, khác với số 0, được tìm thấy. Chúng ta hãy đi qua các vị thành niên bậc ba giáp với nó để tìm kiếm một số khác không: 
Tất cả các con giáp của bậc ba đều bằng 0, do đó, hạng của ma trận chính và ma trận mở rộng là hai. Chúng ta hãy lấy tiểu cơ bản. Để rõ ràng, chúng tôi lưu ý các yếu tố của hệ thống hình thành nó: 
Phương trình thứ ba của SLAE ban đầu không tham gia vào việc hình thành phương trình phụ cơ bản, do đó, nó có thể bị loại trừ: 
Chúng ta để các số hạng chứa ẩn số chính ở vế phải của phương trình và chuyển các số hạng có ẩn số tự do sang vế phải:
Chúng ta hãy xây dựng một hệ thống nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ban đầu. Hệ thống giải pháp cơ bản của SLAE này bao gồm hai giải pháp, vì SLAE ban đầu chứa bốn biến chưa biết và thứ tự của biến nhỏ cơ bản là hai. Để tìm X (1), ta cho các biến chưa biết tự do là các giá trị x 2 \ u003d 1, x 4 \ u003d 0, sau đó ta tìm ẩn số chính từ hệ phương trình 
.
Chúng tôi sẽ tiếp tục đánh bóng kỹ thuật biến đổi cơ bản trên hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Theo những đoạn đầu tiên, tài liệu có vẻ nhàm chán và bình thường, nhưng ấn tượng này là lừa dối. Sẽ có rất nhiều thông tin mới để phát triển thêm các kỹ thuật, vì vậy hãy cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ trong bài viết này.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là gì?
Câu trả lời tự nó gợi ý. Một hệ phương trình tuyến tính là thuần nhất nếu số hạng tự do tất cả mọi người hệ phương trình bằng không. Ví dụ:
Rõ ràng là hệ thống đồng nhất luôn nhất quán, nghĩa là, nó luôn có một giải pháp. Và, trước hết, cái gọi là không đáng kể quyết định 
. Trivial, đối với những người không hiểu ý nghĩa của tính từ, có nghĩa là bespontovoe. Tất nhiên không phải về mặt học thuật, nhưng dễ hiểu =) ... Tại sao lại đánh vòng quanh bụi rậm, hãy cùng tìm hiểu xem hệ thống này có giải pháp nào khác không nhé:
ví dụ 1
Quyết định: để giải quyết một hệ thống thuần nhất, cần phải viết ma trận hệ thống và với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản đưa nó về dạng bậc. Lưu ý rằng không cần phải viết ra thanh dọc và cột 0 của thành viên miễn phí ở đây - bởi vì bất cứ điều gì bạn làm với số 0, chúng sẽ vẫn là 0: 
(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -3.
(2) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -1.
Chia hàng thứ ba cho 3 không có nhiều ý nghĩa.
Theo kết quả của các phép biến đổi cơ bản, một hệ thuần nhất tương đương thu được 
, và, áp dụng bước đảo ngược của phương pháp Gaussian, có thể dễ dàng xác minh rằng lời giải là duy nhất.
Trả lời: 
Hãy để chúng tôi xây dựng một tiêu chí rõ ràng: một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có giải pháp duy nhất tầm thường, nếu thứ hạng ma trận hệ thống(trong trường hợp này là 3) bằng số biến (trong trường hợp này là 3 chiếc.).
Chúng tôi hâm nóng và điều chỉnh đài của mình theo làn sóng biến đổi cơ bản:
Ví dụ 2
Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 
Để cuối cùng sửa chữa thuật toán, hãy phân tích tác vụ cuối cùng:
Ví dụ 7
Giải hệ thuần nhất, viết đáp án dưới dạng vectơ. 
Quyết định: chúng tôi viết ma trận của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi đưa nó về dạng bậc: 
(1) Dấu hiệu của dòng đầu tiên đã được thay đổi. Một lần nữa, tôi thu hút sự chú ý đến kỹ thuật được gặp nhiều lần, cho phép bạn đơn giản hóa đáng kể hành động sau.
(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 2 và 3. Dòng đầu tiên nhân với 2 được thêm vào dòng thứ 4.
(3) Ba dòng cuối cùng tỉ lệ với nhau, hai dòng trong số đó đã bị loại bỏ.
Kết quả là, một ma trận bước tiêu chuẩn thu được và giải pháp tiếp tục theo đường khía:
- các biến cơ bản;
là các biến tự do.
Chúng tôi thể hiện các biến cơ bản dưới dạng các biến tự do. Từ phương trình thứ 2:
- thay thế trong phương trình thứ nhất:
Vì vậy, giải pháp chung là:
Vì có ba biến tự do trong ví dụ đang xét nên hệ cơ bản chứa ba vectơ.
Hãy thay thế một bộ ba giá trị 
vào nghiệm tổng quát và thu được một vectơ có tọa độ thỏa mãn mỗi phương trình của hệ thuần nhất. Và một lần nữa, tôi nhắc lại rằng rất mong muốn kiểm tra từng vectơ đã nhận - nó sẽ không mất quá nhiều thời gian, nhưng nó sẽ tiết kiệm một trăm phần trăm khỏi lỗi.
Đối với một bộ ba giá trị 
tìm vectơ
Và cuối cùng cho bộ ba 
chúng ta nhận được vectơ thứ ba:
Trả lời: , ở đâu
Những người muốn tránh các giá trị phân số có thể xem xét các bộ ba 
và nhận câu trả lời ở dạng tương đương:
Phát biểu về phân số. Hãy xem ma trận thu được trong bài toán 
và đặt câu hỏi - liệu có thể đơn giản hóa giải pháp hơn nữa không? Rốt cuộc, ở đây trước tiên chúng ta biểu thị biến cơ bản dưới dạng phân số, sau đó là biến cơ bản dưới dạng phân số, và tôi phải nói rằng, quá trình này không phải là dễ nhất và cũng không phải là dễ chịu nhất.
Giải pháp thứ hai:
Ý tưởng là thử chọn các biến cơ bản khác. Hãy nhìn vào ma trận và nhận thấy hai ma trận trong cột thứ ba. Vì vậy, tại sao không nhận được số 0 ở đầu? Hãy thực hiện thêm một phép biến đổi cơ bản:
Để hiểu những gì là hệ thống quyết định cơ bản bạn có thể xem video hướng dẫn để biết ví dụ tương tự bằng cách nhấp vào. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần mô tả tất cả các công việc cần thiết. Điều này sẽ giúp bạn hiểu bản chất của vấn đề này một cách chi tiết hơn.
Làm thế nào để tìm hệ thống nghiệm cơ bản của một phương trình tuyến tính?
Lấy ví dụ về hệ phương trình tuyến tính sau:
Hãy tìm lời giải cho hệ phương trình tuyến tính này. Để bắt đầu, chúng tôi ghi ma trận hệ số của hệ thống.
Hãy biến đổi ma trận này thành ma trận tam giác. Chúng tôi viết lại dòng đầu tiên mà không có thay đổi. Và tất cả các phần tử dưới $ a_ (11) $ phải bằng không. Để tạo một số 0 ở vị trí của phần tử $ a_ (21) $, bạn cần trừ phần tử đầu tiên xuống dòng thứ hai và viết sự khác biệt vào dòng thứ hai. Để tạo một số 0 ở vị trí của phần tử $ a_ (31) $, bạn cần trừ số đầu tiên cho hàng thứ ba và viết sự khác biệt vào hàng thứ ba. Để tạo một số 0 thay cho phần tử $ a_ (41) $, bạn cần trừ số nhân đầu tiên với 2 ở dòng thứ tư và viết hiệu ở dòng thứ tư. Để tạo một số 0 thay cho phần tử $ a_ (31) $, hãy lấy dòng thứ năm trừ đi số thứ nhất đã nhân với 2 và viết hiệu ở dòng thứ năm. 
Chúng tôi viết lại dòng đầu tiên và dòng thứ hai mà không có thay đổi. Và tất cả các phần tử dưới $ a_ (22) $ phải được làm bằng không. Để tạo một số 0 ở vị trí của phần tử $ a_ (32) $, cần phải lấy hàng thứ ba trừ đi nhân thứ hai với 2 và viết hiệu vào hàng thứ ba. Để tạo số 0 ở vị trí của phần tử $ a_ (42) $, cần lấy số thứ hai trừ đi nhân 2 ở dòng thứ tư và ghi hiệu ở dòng thứ tư. Để tạo một số 0 thay cho phần tử $ a_ (52) $, hãy lấy dòng thứ năm trừ số thứ hai với 3 và viết hiệu ở dòng thứ năm. 
Chúng ta thấy rằng ba dòng cuối giống nhau, vì vậy nếu bạn trừ phần thứ ba với phần thứ tư và thứ năm, thì chúng sẽ trở thành số không. 
Đối với ma trận này viết ra một hệ phương trình mới.
Chúng ta thấy rằng chúng ta chỉ có ba phương trình độc lập tuyến tính và năm ẩn số, vì vậy hệ nghiệm cơ bản sẽ bao gồm hai vectơ. Vì vậy chúng tôi di chuyển hai ẩn số cuối cùng sang bên phải.
Bây giờ, chúng ta bắt đầu thể hiện những ẩn số ở phía bên trái thông qua những ẩn số ở phía bên phải. Chúng tôi bắt đầu với phương trình cuối cùng, đầu tiên chúng tôi biểu thị $ x_3 $, sau đó chúng tôi thay thế kết quả thu được vào phương trình thứ hai và biểu thị $ x_2 $, sau đó vào phương trình đầu tiên và ở đây chúng tôi biểu thị $ x_1 $. Như vậy, chúng ta đã biểu diễn tất cả các ẩn số ở phía bên trái thông qua các ẩn số ở phía bên phải. 
Sau đó, thay vì $ x_4 $ và $ x_5 $, bạn có thể thay thế bất kỳ số nào và tìm $ x_1 $, $ x_2 $ và $ x_3 $. Mỗi năm số như vậy sẽ là gốc của hệ phương trình ban đầu của chúng ta. Để tìm các vectơ được bao gồm trong FSR chúng ta cần thay 1 thay vì $ x_4 $ và thay 0 thay vì $ x_5 $, tìm $ x_1 $, $ x_2 $ và $ x_3 $, rồi ngược lại $ x_4 = 0 $ và $ x_5 = 1 $.
Tư liệu thông tin "góc bạn đọc trẻ"
Tiến sĩ xa để tiêu diệt
Mua axit sunfuric ở đâu?