Bảng tích phân dành cho học sinh phức.

Ở trường, nhiều em không giải được tích phân hoặc gặp bất kỳ khó khăn nào với chúng. Bài viết này sẽ giúp bạn tìm ra nó, vì bạn sẽ tìm thấy mọi thứ trong đó. bảng tích phân.

Tích phân là một trong những phép tính và khái niệm chính trong giải tích. Sự xuất hiện của anh ta đến vì hai mục đích:
Mục tiêu đầu tiên- khôi phục lại hàm bằng cách sử dụng đạo hàm của nó.
Mục tiêu thứ hai- Tính diện tích nằm tại khoảng cách từ đồ thị đến hàm số f (x) trên một đường thẳng tại đó a lớn hơn hoặc bằng x lớn hơn hoặc bằng b và trục abscissa.

Những mục tiêu này đưa chúng ta đến các tích phân xác định và không xác định. Mối liên hệ giữa các tích phân này nằm ở việc tìm kiếm các tính chất và tính toán. Nhưng mọi thứ đều chảy và mọi thứ thay đổi theo thời gian, các giải pháp mới được tìm thấy, các bổ sung được tiết lộ, do đó mang lại các tích phân xác định và không xác định cho các dạng tích hợp khác.

Gì không xác định, không thể thiếu bạn hỏi. Đây là hàm ngược dòng F (x) của một biến x trong khoảng a lớn hơn x lớn hơn b. được gọi là hàm F (x) bất kỳ, trong khoảng đã cho với kí hiệu x bất kỳ, đạo hàm bằng F (x). Rõ ràng F (x) là một đạo hàm của f (x) trong khoảng a lớn hơn x lớn hơn b. Do đó F1 (x) = F (x) + C. C - là hằng số bất kỳ và là đạo hàm đối với f (x) trong khoảng đã cho. Tuyên bố này có thể đảo ngược, đối với hàm f (x) - 2, các đạo hàm chỉ khác nhau ở một hằng số. Dựa vào định lý về phép tính tích phân, suy ra rằng mỗi liên tục trong khoảng a

Tích phân xác định được hiểu là một giới hạn trong tổng tích phân, hoặc trong một trường hợp của một hàm số f (x) cho trước được xác định trên một số dòng (a, b) có trên đó là đạo hàm F, có nghĩa là sự khác biệt của các biểu thức của nó ở cuối dòng này F (b) - F (a).

Để rõ ràng, nghiên cứu về chủ đề này, tôi đề nghị xem video. Nó giải thích chi tiết và chỉ ra cách tìm tích phân.

Bản thân mỗi bảng tích phân đều rất hữu ích, vì nó giúp giải một dạng tích phân cụ thể.

Tất cả các loại văn phòng phẩm có thể có và hơn thế nữa. Bạn có thể mua thông qua cửa hàng trực tuyến v-kant.ru. Hoặc chỉ cần theo liên kết Văn phòng phẩm Samara (http://v-kant.ru) chất lượng và giá cả sẽ làm bạn ngạc nhiên.

Hàm ngược và tích phân bất định

Sự thật 1. Tích phân đối lập với phân biệt, cụ thể là sự khôi phục một hàm từ đạo hàm đã biết của hàm này. Chức năng được khôi phục theo cách này F(x) được gọi là nguyên thủy cho chức năng f(x).

Định nghĩa 1. Chức năng F(x f(x) vào khoảng thời gian nào đó X, nếu cho tất cả các giá trị x từ khoảng thời gian này sự bình đẳng F "(x)=f(x), tức là, chức năng này f(x) là đạo hàm của hàm ngược F(x). .

Ví dụ, hàm F(x) = tội lỗi x là chất khử trùng cho chức năng f(x) = cos x trên toàn bộ dòng số, vì với bất kỳ giá trị nào của x (tội x) "= (cos x) .

Định nghĩa 2. Tích phân không xác định của một hàm f(x) là tập hợp của tất cả các chất chống nhiễm trùng của nó. Điều này sử dụng ký hiệu

∫

f(x)dx

,

dấu hiệu ở đâu ∫ được gọi là dấu tích phân, hàm f(x) là một tích hợp, và f(x)dx là tích hợp.

Do đó, nếu F(x) là một số chất chống diệt khuẩn cho f(x) , sau đó

∫

f(x)dx = F(x) +C

ở đâu C - hằng số (hằng số) tùy ý.

Để hiểu ý nghĩa của tập hợp các đạo hàm của một hàm dưới dạng tích phân bất định, phép loại suy sau đây là phù hợp. Để có một cánh cửa (cửa gỗ truyền thống). Chức năng của nó là "trở thành một cánh cửa". Cửa được làm bằng gì? Từ một cái cây. Điều này có nghĩa là tập hợp các đạo hàm của tích phân "là một cửa", tức là tích phân không xác định của nó, là hàm "là một cây + C", trong đó C là một hằng số, trong ngữ cảnh này có thể biểu thị, cho ví dụ, một loài cây. Giống như một cánh cửa được làm bằng gỗ với một số công cụ, đạo hàm của một hàm được "tạo ra" từ hàm phản với công thức mà chúng ta đã học bằng cách nghiên cứu đạo hàm .

Sau đó, bảng chức năng của các vật thể thông thường và nguyên thủy tương ứng của chúng ("làm cửa" - "làm cây", "làm thìa" - "làm kim loại", v.v.) tương tự như bảng tích phân cơ bản không xác định, sẽ được đưa ra dưới đây. Bảng tích phân không xác định liệt kê các hàm phổ biến, chỉ ra các đạo hàm mà từ đó các hàm này được "tạo thành". Là một phần của nhiệm vụ tìm tích phân không xác định, các tích phân như vậy được đưa ra có thể được tích phân trực tiếp mà không cần nỗ lực đặc biệt, tức là, theo bảng tích phân không xác định. Trong các bài toán phức tạp hơn, tích phân trước tiên phải được biến đổi để có thể sử dụng tích phân dạng bảng.

Sự thật 2. Việc khôi phục một hàm dưới dạng hàm antideriuctor, chúng ta phải tính đến một hằng số tùy ý (hằng số) C, và để không viết danh sách các dẫn xuất với các hằng số khác nhau từ 1 đến vô cùng, bạn cần phải viết ra một tập hợp các dẫn xuất với một hằng số tùy ý C, như thế này: 5 x³ + C. Vì vậy, một hằng số tùy ý (hằng số) được bao gồm trong biểu thức của hàm phản đạo hàm, vì đạo hàm có thể là một hàm, ví dụ, 5 x³ + 4 hoặc 5 x³ + 3 và khi phân biệt 4 hoặc 3 hoặc bất kỳ hằng số nào khác sẽ biến mất.

Chúng tôi đặt vấn đề tích hợp: cho một chức năng nhất định f(x) tìm một chức năng như vậy F(x), đạo hàm của ai bằng f(x).

ví dụ 1 Tìm tập hợp các đạo hàm của một hàm số

Dung dịch. Đối với chức năng này, hàm chống dẫn xuất là hàm

Hàm số F(x) được gọi là antideriuctor cho hàm f(x) nếu đạo hàm F(x) bằng f(x), hoặc, cùng một thứ, sự khác biệt F(x) bằng f(x) dx, I E.

(2)

Do đó, hàm là chất chống nhiễm trùng cho hàm. Tuy nhiên, nó không phải là chất khử trùng duy nhất cho. Chúng cũng là các chức năng

ở đâu TỪ là một hằng số tùy ý. Điều này có thể được xác minh bằng cách phân biệt.

Do đó, nếu có một hàm phản đạo hàm, thì đối với nó sẽ có một tập hợp vô hạn các đạo hàm khác nhau bởi một tổng và không đổi. Tất cả các dẫn xuất của một hàm được viết ở dạng trên. Điều này tuân theo định lý sau.

Định lý (phát biểu chính thức của dữ kiện 2). Nếu một F(x) là chất chống lại hàm f(x) vào khoảng thời gian nào đó X, sau đó bất kỳ chất chống diệt khuẩn nào khác cho f(x) trong cùng một khoảng thời gian có thể được biểu diễn dưới dạng F(x) + C, ở đâu TỪ là một hằng số tùy ý.

Trong ví dụ sau, chúng ta đã chuyển sang bảng tích phân, sẽ được đưa ra trong đoạn 3, sau các tính chất của tích phân bất định. Chúng tôi làm điều này trước khi tự làm quen với toàn bộ bảng, để bản chất của phần trên được rõ ràng. Và sau bảng và thuộc tính, chúng ta sẽ sử dụng chúng toàn bộ khi tích hợp.

Ví dụ 2 Tìm bộ chất chống nhiễm trùng:

Dung dịch. Chúng tôi tìm thấy các tập hợp các hàm chống đạo hàm mà từ đó các hàm này được "tạo ra". Khi đề cập đến công thức từ bảng tích phân, bây giờ, chỉ cần chấp nhận rằng có những công thức như vậy, và chúng ta sẽ nghiên cứu đầy đủ hơn về bảng tích phân bất định.

1) Áp dụng công thức (7) từ bảng tích phân cho N= 3, chúng tôi nhận được

2) Sử dụng công thức (10) từ bảng tích phân cho N= 1/3, chúng tôi có

3) Kể từ

thì theo công thức (7) lúc N= -1/4 tìm

Dưới dấu tích phân, chúng không tự viết hàm f và sản phẩm của nó bởi sự khác biệt dx. Điều này được thực hiện chủ yếu để chỉ ra biến nào mà chất chống nhiễm trùng đang được tìm kiếm. Ví dụ,

, ;

ở đây trong cả hai trường hợp, tích phân bằng nhau, nhưng tích phân bất định của nó trong các trường hợp được xem xét hóa ra khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, hàm này được coi là một hàm của một biến x và thứ hai - như một chức năng của z .

Quá trình tìm tích phân không xác định của một hàm được gọi là tích phân của hàm đó.

Ý nghĩa hình học của tích phân bất định

Hãy để nó được yêu cầu để tìm một đường cong y = F (x) và chúng ta đã biết rằng tang của hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó là một hàm cho trước f (x) abscissa của điểm này.

Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, tiếp tuyến của hệ số góc tại một điểm cho trước trên đường cong y = F (x) bằng giá trị của đạo hàm F "(x). Vì vậy, chúng ta cần tìm một hàm như vậy F (x), mà F "(x) = f (x). Chức năng cần thiết trong nhiệm vụ F (x) có nguồn gốc từ f (x). Điều kiện của bài toán được thỏa mãn không phải bởi một đường cong, mà bởi một họ đường cong. y = F (x)- một trong những đường cong này và bất kỳ đường cong nào khác có thể nhận được từ nó bằng cách tịnh tiến song song dọc theo trục Oy.

Hãy gọi đồ thị của hàm số phản đạo hàm là f (x)đường cong tích phân. Nếu một F "(x) = f (x), thì đồ thị của hàm y = F (x) là một đường cong tích phân.

Sự thật 3. Tích phân không xác định được biểu diễn hình học bởi họ tất cả các đường cong tích phân như trong hình dưới đây. Khoảng cách của mỗi đường cong từ điểm gốc được xác định bởi một hằng số tích hợp (hằng số) tùy ý C.

Tính chất của tích phân bất định

Dữ kiện 4. Định lý 1. Đạo hàm của một tích phân không xác định bằng tích phân, và vi phân của nó bằng tích phân.

Sự thật 5. Định lý 2. Tích phân không xác định của vi phân của một hàm f(x) bằng với hàm f(x) lên đến một thời hạn không đổi , I E.

(3)

Định lý 1 và 2 chỉ ra rằng phân biệt và tích phân là các phép toán nghịch biến lẫn nhau.

Sự thật 6. Định lý 3. Nhân tử không đổi trong tích phân có thể được lấy ra khỏi dấu của tích phân bất định , I E.

Chúng tôi liệt kê các tích phân của các hàm cơ bản, đôi khi được gọi là dạng bảng:

Bất kỳ công thức nào ở trên đều có thể được chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của vế phải (kết quả là sẽ thu được tích phân).

Các phương pháp tích hợp

Chúng ta hãy xem xét một số phương pháp tích hợp cơ bản. Bao gồm các:

1. Phương pháp phân hủy(tích hợp trực tiếp).

Phương pháp này dựa trên ứng dụng trực tiếp của tích phân dạng bảng, cũng như áp dụng các tính chất 4 và 5 của tích phân không xác định (nghĩa là lấy thừa số không đổi ra khỏi dấu ngoặc và / hoặc biểu diễn tích phân dưới dạng tổng các hàm - mở rộng tích hợp thành các điều khoản).

ví dụ 1 Ví dụ, để tìm  (dx / x 4), bạn có thể sử dụng trực tiếp tích phân bảng cho x n dx. Thật vậy,  (dx / x 4) = x -4 dx = x -3 / (- 3) + C = -1 / 3x 3 + C.

Hãy xem xét thêm một vài ví dụ.

Ví dụ 2Để tìm, chúng ta sử dụng cùng một tích phân:

Ví dụ 3Để tìm thấy bạn cần phải lấy

Ví dụ 4Để tìm, chúng tôi đại diện cho tích hợp trong biểu mẫu và sử dụng tích phân bảng cho hàm mũ:

Hãy xem xét việc sử dụng hệ số không đổi bù trừ.

Ví dụ 5Ví dụ, chúng ta hãy tìm . Xem xét điều đó, chúng tôi nhận được

Ví dụ 6 Hãy tìm. Vì , chúng tôi sử dụng tích phân bảng Lấy

Bạn cũng có thể sử dụng dấu ngoặc đơn và tích phân bảng trong hai ví dụ sau:

Ví dụ 7

(chúng tôi sử dụng và );

Ví dụ 8

(chúng tôi sử dụng và ).

Hãy xem xét các ví dụ phức tạp hơn sử dụng tích phân tổng.

Ví dụ 9 Ví dụ, chúng ta hãy tìm
. Để áp dụng phương pháp khai triển trong tử số, chúng ta sử dụng công thức tổng lập phương , rồi chia số hạng đa thức thu được cho số hạng cho mẫu số.

=  ((8x 3/2 + 12x + 6x 1/2 + 1) / (x 3/2)) dx =  (8 + 12x -1/2 + 6 / x + x -3/2) dx = 8 dx + 12x -1/2 dx + + 6dx / x + x -3/2 dx =

Cần lưu ý rằng ở cuối lời giải, một hằng số C chung được viết (và không phải là những hằng số riêng biệt khi tích phân từng số hạng). Trong tương lai, người ta cũng đề xuất bỏ hằng số tích phân các số hạng riêng lẻ trong quá trình giải miễn là biểu thức có chứa ít nhất một tích phân không xác định (chúng ta sẽ viết một hằng số ở cuối lời giải).

Ví dụ 10 Hãy tìm . Để giải quyết vấn đề này, chúng ta phân tích tử số (sau đó, chúng ta có thể giảm mẫu số).

Ví dụ 11. Hãy tìm. Nhận dạng lượng giác có thể được sử dụng ở đây.

Đôi khi, để phân tách một biểu thức thành các thuật ngữ, bạn phải sử dụng các kỹ thuật phức tạp hơn.

Ví dụ 12. Hãy tìm . Trong tích phân, chúng tôi chọn phần nguyên của phân số . sau đó

Ví dụ 13 Hãy tìm

2. Phương pháp thay thế biến (phương pháp thay thế)

Phương pháp này dựa trên công thức sau: f (x) dx = f ( (t)) ` (t) dt, trong đó x =  (t) là hàm phân biệt trên khoảng đã xét.

Bằng chứng. Hãy để chúng tôi tìm các đạo hàm đối với biến t từ các phần bên trái và bên phải của công thức.

Lưu ý rằng ở phía bên trái có một hàm phức hợp có đối số trung gian là x =  (t). Do đó, để phân biệt nó đối với t, trước tiên chúng ta phân biệt tích phân đối với x, và sau đó chúng ta lấy đạo hàm của đối số trung gian đối với t.

( f (x) dx) `t = ( f (x) dx)` x * x` t = f (x) ` (t)

Đạo hàm của vế phải:

(f ( (t)) ` (t) dt) `t = f ( (t)) ` (t) = f (x) ` (t)

Vì các đạo hàm này bằng nhau, theo một hệ quả của định lý Lagrange, phần bên trái và bên phải của công thức được chứng minh là khác nhau bởi một số hằng số. Vì bản thân các tích phân không xác định được xác định cho đến một hằng số không xác định, hằng số này có thể được bỏ qua trong ký hiệu cuối cùng. Chứng minh.

Một thay đổi thành công của biến cho phép chúng ta đơn giản hóa tích phân ban đầu và trong trường hợp đơn giản nhất, giảm nó thành một bảng. Trong ứng dụng của phương pháp này, các phương pháp thay thế tuyến tính và phi tuyến tính được phân biệt.

a) Phương pháp thay thế tuyến tính hãy xem một ví dụ.

ví dụ 1
. Lett = 1 - 2x, thì

dx = d (½ - ½t) = - ½dt

Cần lưu ý rằng biến mới không nhất thiết phải được viết ra một cách rõ ràng. Trong những trường hợp như vậy, người ta nói về sự biến đổi của một hàm dưới dấu của vi phân, hoặc sự ra đời của các hằng số và biến dưới dấu của vi phân, tức là Về thay thế biến ngầm định.

Ví dụ 2 Ví dụ, hãy tìm cos (3x + 2) dx. Theo tính chất của vi phân dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), thìcos (3x + 2) dx =  (1/3) cos (3x + 2) d (3x + 2) = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) + C.

Trong cả hai ví dụ đã xét, phép thay thế tuyến tính t = kx + b (k0) đã được sử dụng để tìm tích phân.

Trong trường hợp tổng quát, định lý sau đây là đúng.

Định lý thay thế tuyến tính. Gọi F (x) là một đạo hàm nào đó của hàm f (x). Khi đóf (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + C, với k và b là một số hằng số, k0.

Bằng chứng.

Theo định nghĩa của tích phân f (kx + b) d (kx + b) = F (kx + b) + C. Hod (kx + b) = (kx + b) `dx = kdx. Ta lấy ra thừa số hằng số k cho dấu tích phân: kf (kx + b) dx = F (kx + b) + C. Bây giờ chúng ta có thể chia các phần bên trái và bên phải của đẳng thức cho k và nhận được khẳng định được chứng minh với ký hiệu của một số hạng không đổi.

Định lý này nói rằng nếu biểu thức (kx + b) được thay thế trong định nghĩa của tích phân f (x) dx = F (x) + C, thì điều này sẽ dẫn đến sự xuất hiện của thừa số 1 / k ở phía trước của chất chống chất diệt khuẩn.

Sử dụng định lý đã được chứng minh, chúng ta giải các ví dụ sau.

Ví dụ 3

Hãy tìm . Ở đây kx + b = 3 –x, tức là k = -1, b = 3. Khi đó

Ví dụ 4

Hãy tìm. Ở đây kx + b = 4x + 3, tức là k = 4, b = 3. Khi đó

Ví dụ 5

Hãy tìm . Ở đây kx + b = -2x + 7, tức là k = -2, b = 7. Khi đó

.

Ví dụ 6 Hãy tìm
. Ở đây kx + b = 2x + 0, tức là k = 2, b = 0.

.

Hãy so sánh kết quả thu được với ví dụ 8, được giải bằng phương pháp phân tích. Giải quyết vấn đề tương tự bằng một phương pháp khác, chúng tôi đã có câu trả lời
. Hãy so sánh kết quả: Do đó, các biểu thức này khác nhau bởi một số hạng không đổi , I E. các phản hồi nhận được không mâu thuẫn với nhau.

Ví dụ 7 Hãy tìm
. Chúng tôi chọn một hình vuông đầy đủ ở mẫu số.

Trong một số trường hợp, việc thay đổi biến số không làm giảm tích phân trực tiếp thành dạng bảng, nhưng nó có thể đơn giản hóa lời giải bằng cách áp dụng phương pháp phân tích ở bước tiếp theo.

Ví dụ 8 Ví dụ, chúng ta hãy tìm . Thay t = x + 2 thì dt = d (x + 2) = dx. sau đó

,

trong đó C \ u003d C 1 - 6 (khi thay t vào biểu thức (x + 2), thay vào hai số hạng đầu, ta được ½x 2 -2x - 6).

Ví dụ 9 Hãy tìm
. Đặt t = 2x + 1 thì dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t– 1) / 2.

Ta thay biểu thức (2x + 1) thay cho t, mở ngoặc và đưa ra những biểu thức tương tự.

Lưu ý rằng trong quá trình biến đổi, chúng ta đã chuyển sang một số hạng không đổi khác, bởi vì Có thể bỏ qua nhóm các số hạng không đổi trong quá trình biến đổi.

b) Phương pháp thay thế phi tuyến tính hãy xem một ví dụ.

ví dụ 1
. Cho t = -x 2. Hơn nữa, người ta có thể biểu thị x theo t, sau đó tìm biểu thức cho dx và thực hiện một sự thay đổi của biến trong tích phân yêu cầu. Nhưng trong trường hợp này thì dễ làm hơn. Tìm dt = d (-x 2) = -2xdx. Lưu ý rằng biểu thức xdx là một thừa số của tích phân yêu cầu. Chúng tôi biểu diễn nó từ đẳng thức kết quả xdx = - ½dt. sau đó