Y 2 x 1 tìm diện tích. Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường

Nhiệm vụ 1(về cách tính diện tích hình thang lượn).

Trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật xOy, một hình cho trước (xem hình vẽ), giới hạn bởi trục x, các đường thẳng x \ u003d a, x \ u003d b (một hình thang cong. Cần phải tính diện tích của \ u200b \ u200 hình thang cong.
Dung dịch. Geometry cung cấp cho chúng ta các công thức để tính diện tích của đa giác và một số phần của hình tròn (khu vực, đoạn thẳng). Sử dụng các phép tính hình học, chúng ta sẽ chỉ có thể tìm được một giá trị gần đúng của diện tích cần thiết, lập luận như sau.

Hãy tách đoạn [a; b] (đáy của hình thang lượn) thành n phần bằng nhau; phân vùng này khả thi với sự trợ giúp của các điểm x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Hãy để chúng tôi vẽ các đường thẳng qua những điểm này song song với trục y. Khi đó hình thang cong đã cho sẽ được chia thành n phần, thành n cột hẹp. Diện tích toàn bộ hình thang bằng tổng diện tích các cột.

Xem xét riêng cột thứ k, tức là hình thang cong, đáy là một đoạn. Hãy thay nó bằng một hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao bằng f (x k) (xem hình vẽ). Diện tích của hình chữ nhật là \ (f (x_k) \ cdot \ Delta x_k \), trong đó \ (\ Delta x_k \) là chiều dài của đoạn; điều tự nhiên là coi sản phẩm đã biên dịch là giá trị gần đúng của diện tích cột thứ k.

Nếu bây giờ chúng ta làm tương tự với tất cả các cột khác, thì chúng ta đi đến kết quả sau: diện tích S của một hình thang cong cho trước xấp xỉ bằng diện tích S n của một hình bậc được tạo thành từ n hình chữ nhật (xem hình vẽ):
\ (S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + \ dot + f (x_k) \ Delta x_k + \ dot + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) \)
Ở đây, vì sự đồng nhất của ký hiệu, chúng tôi coi rằng a \ u003d x 0, b \ u003d x n; \ (\ Delta x_0 \) - độ dài đoạn, \ (\ Delta x_1 \) - độ dài đoạn, v.v.; trong khi, như chúng tôi đã đồng ý ở trên, \ (\ Delta x_0 = \ dot = \ Delta x_ (n-1) \)

Vì vậy, \ (S \ khoảng S_n \), và đẳng thức gần đúng này càng chính xác, n càng lớn.
Theo định nghĩa, người ta tin rằng diện tích mong muốn của hình thang cong bằng giới hạn của dãy (S n):
$$ S = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

Nhiệm vụ 2(về việc di chuyển một điểm)
Một chất điểm chuyển động trên một đường thẳng. Sự phụ thuộc của tốc độ vào thời gian được biểu thị bằng công thức v = v (t). Tìm độ dời của một điểm trong khoảng thời gian [a; b].
Dung dịch. Nếu chuyển động là đều, thì vấn đề sẽ được giải quyết rất đơn giản: s = vt, tức là s = v (b-a). Đối với chuyển động không đều, người ta phải sử dụng các ý tưởng tương tự mà giải pháp của bài toán trước đã dựa trên.
1) Chia khoảng thời gian [a; b] thành n phần bằng nhau.
2) Xem xét một khoảng thời gian và giả sử rằng trong khoảng thời gian này, tốc độ không đổi, chẳng hạn như tại thời điểm t k. Vì vậy, chúng ta giả sử rằng v = v (t k).
3) Tìm giá trị gần đúng của độ dời điểm trong khoảng thời gian, giá trị gần đúng này sẽ được ký hiệu là s k
\ (s_k = v (t_k) \ Delta t_k \)
4) Tìm giá trị gần đúng của độ dời s:
\ (s \ khoảng S_n \) ở đâu
\ (S_n = s_0 + \ dot + s_ (n-1) = v (t_0) \ Delta t_0 + \ dot + v (t_ (n-1)) \ Delta t_ (n-1) \)
5) Chuyển vị yêu cầu bằng giới hạn của dãy (S n):
$$ s = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

Hãy tóm tắt lại. Các giải pháp của các vấn đề khác nhau được giảm xuống cùng một mô hình toán học. Nhiều vấn đề từ các lĩnh vực khoa học và công nghệ khác nhau dẫn đến cùng một mô hình trong quá trình giải quyết. Vì vậy, mô hình toán học này cần được đặc biệt nghiên cứu.

Khái niệm về một tích phân xác định

Chúng ta hãy đưa ra một mô tả toán học về mô hình được xây dựng trong ba bài toán được xem xét cho hàm y = f (x), liên tục (nhưng không nhất thiết là không âm, như đã được giả định trong các bài toán đã xét) trên đoạn [ một; b]:
1) tách đoạn [a; b] thành n phần bằng nhau;
2) sum $$ S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + f (x_1) \ Delta x_1 + \ dot + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) $$
3) tính $$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

Trong quá trình phân tích toán học, người ta đã chứng minh được rằng giới hạn này tồn tại trong trường hợp của một hàm liên tục (hoặc liên tục từng phần). Ông được gọi là một tích phân xác định của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] và được biểu thị như sau:
\ (\ int \ limit_a ^ b f (x) dx \)
Các số a và b được gọi là giới hạn của tích phân (tương ứng dưới và trên).

Hãy quay lại các nhiệm vụ đã thảo luận ở trên. Định nghĩa về diện tích đã cho trong vấn đề 1 bây giờ có thể được viết lại như sau:
\ (S = \ int \ limit_a ^ b f (x) dx \)
ở đây S là diện tích của hình thang lượn trong hình trên. Đây là những gì ý nghĩa hình học của tích phân xác định.

Định nghĩa độ dời s của một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc v = v (t) trong khoảng thời gian từ t = a đến t = b, cho trong Bài toán 2, có thể được viết lại như sau:

Newton - công thức Leibniz

Để bắt đầu, chúng ta hãy trả lời câu hỏi: mối quan hệ giữa một tích phân xác định và một đạo hàm là gì?

Câu trả lời có thể được tìm thấy trong bài toán 2. Một mặt, độ dời s của một chất điểm chuyển động dọc theo đường thẳng với vận tốc v = v (t) trong một khoảng thời gian từ t = a đến t = b và được tính bằng công thức
\ (S = \ int \ limit_a ^ b v (t) dt \)

Mặt khác, tọa độ của chất điểm chuyển động là vi phân của vận tốc - hãy ký hiệu nó là s (t); do đó độ dời s được biểu thị bằng công thức s = s (b) - s (a). Kết quả là, chúng tôi nhận được:
\ (S = \ int \ limit_a ^ b v (t) dt = s (b) -s (a) \)
trong đó s (t) là đạo hàm đối với v (t).

Định lý sau đây đã được chứng minh trong quá trình phân tích toán học.
Định lý. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], sau đó là công thức
\ (S = \ int \ limit_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) \)
trong đó F (x) là đạo hàm của f (x).

Công thức này thường được gọi là Công thức Newton-Leibnizđể vinh danh nhà vật lý người Anh Isaac Newton (1643-1727) và nhà triết học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716), những người đã nhận nó một cách độc lập và gần như đồng thời.

Trong thực tế, thay vì viết F (b) - F (a), họ sử dụng ký hiệu \ (\ left. F (x) \ right | _a ^ b \) (đôi khi nó được gọi là thay thế kép) và do đó, viết lại công thức Newton-Leibniz ở dạng sau:
\ (S = \ int \ limit_a ^ b f (x) dx = \ left. F (x) \ right | _a ^ b \)

Tính một tích phân xác định, trước tiên hãy tìm đạo hàm, sau đó thực hiện phép thay thế kép.

Dựa trên công thức Newton-Leibniz, người ta có thể thu được hai tính chất của một tích phân xác định.

Thuộc tính 1. Tích phân của tổng các hàm bằng tổng của các tích phân:
\ (\ int \ limit_a ^ b (f (x) + g (x)) dx = \ int \ limit_a ^ b f (x) dx + \ int \ limit_a ^ b g (x) dx \)

Tài sản 2. Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu tích phân:
\ (\ int \ limit_a ^ b kf (x) dx = k \ int \ limit_a ^ b f (x) dx \)

Tính diện tích của các hình phẳng bằng cách sử dụng một tích phân xác định

Bằng cách sử dụng tích phân, bạn có thể tính diện tích không chỉ của hình thang cong mà còn của các hình phẳng thuộc loại phức tạp hơn, chẳng hạn như thể hiện trong hình. Hình bên P giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của các hàm số y = f (x), y = g (x) liên tục và trên đoạn [a; b] bất đẳng thức \ (g (x) \ leq f (x) \) đúng. Để tính diện tích S của một hình, chúng ta sẽ tiến hành như sau:
\ (S = S_ (ABCD) = S_ (aDCb) - S_ (aABb) = \ int \ limit_a ^ b f (x) dx - \ int \ limit_a ^ b g (x) dx = \)
\ (= \ int \ limit_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

Vậy, diện tích S của hình giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của các hàm số y = f (x), y = g (x), liên tục trên đoạn và sao cho x bất kỳ từ đoạn [a; b] bất đẳng thức \ (g (x) \ leq f (x) \) được thỏa mãn, được tính bằng công thức
\ (S = \ int \ limit_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

Bảng tích phân bất định (đạo hàm) của một số hàm số

$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C $$

Trong phần trước, dành cho việc phân tích ý nghĩa hình học của một tích phân xác định, chúng ta đã có được một số công thức tính diện tích hình thang cong:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x để hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x để hàm số y = f (x) liên tục và không dương trên đoạn [a; b].

Các công thức này có thể áp dụng để giải các bài toán tương đối đơn giản. Trên thực tế, chúng ta thường phải làm việc với những hình dạng phức tạp hơn. Về vấn đề này, chúng tôi sẽ dành phần này để phân tích các thuật toán để tính diện tích các hình được giới hạn bởi các hàm ở dạng rõ ràng, tức là như y = f (x) hoặc x = g (y).

Định lý

Cho các hàm số y = f 1 (x) và y = f 2 (x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b], và f 1 (x) ≤ f 2 (x) với mọi giá trị x từ [a; b]. Khi đó, công thức tính diện tích của hình \ u200b \ u200ba được giới hạn bởi các dòng x \ u003d a, x \ u003d b, y \ u003d f 1 (x) và y \ u003d f 2 (x) sẽ giống như S ( G) \ u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Một công thức tương tự sẽ có thể áp dụng cho diện tích của \ u200b \ u200 hình được giới hạn bởi các dòng y \ u003d c, y \ u003d d, x \ u003d g 1 (y) và x \ u003d g 2 (y): S (G) \ u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Bằng chứng

Chúng tôi sẽ phân tích ba trường hợp mà công thức sẽ hợp lệ.

Trong trường hợp đầu tiên, có tính đến tính chất cộng của diện tích, tổng diện tích của hình ban đầu G và hình thang cong G 1 bằng diện tích của hình G 2. Nó có nghĩa là

Do đó, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.

Chúng ta có thể thực hiện chuyển đổi cuối cùng bằng cách sử dụng thuộc tính thứ ba của tích phân xác định.

Trong trường hợp thứ hai, đẳng thức đúng: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Hình minh họa đồ họa sẽ như sau:

Nếu cả hai hàm đều không dương, ta được: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Hình minh họa đồ họa sẽ như sau:

Hãy chuyển sang xét trường hợp tổng quát khi y = f 1 (x) và y = f 2 (x) cắt trục O x.

Chúng ta sẽ ký hiệu các giao điểm là x i, i = 1, 2 ,. . . , n - 1. Các điểm này phá vỡ đoạn [a; b] thành n phần x i - 1; x i, i = 1, 2 ,. . . , n, trong đó α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Do đó,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Chúng ta có thể thực hiện chuyển đổi cuối cùng bằng cách sử dụng thuộc tính thứ năm của tích phân xác định.

Hãy để chúng tôi minh họa trường hợp tổng quát trên đồ thị.

Công thức S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x có thể được coi là đã được chứng minh.

Và bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần phân tích các ví dụ về cách tính diện tích của \ u200b \ u200bfigures được giới hạn bởi các đường y \ u003d f (x) và x \ u003d g (y).

Xem xét bất kỳ ví dụ nào, chúng ta sẽ bắt đầu với việc xây dựng một biểu đồ. Hình ảnh sẽ cho phép chúng ta biểu diễn các hình dạng phức tạp dưới dạng kết hợp của các hình dạng đơn giản hơn. Nếu bạn gặp khó khăn khi vẽ đồ thị và hình trên chúng, bạn có thể nghiên cứu phần về các hàm cơ bản cơ bản, biến đổi hình học của đồ thị của hàm số, cũng như vẽ đồ thị trong khi kiểm tra một hàm số.

ví dụ 1

Cần phải xác định diện tích của \ u200b \ u200 hình được giới hạn bởi parabol y \ u003d - x 2 + 6 x - 5 và các đoạn thẳng y \ u003d - 1 3 x - 1 2, x \ u003d 1, x \ u003d 4.

Dung dịch

Hãy vẽ các đường thẳng trên đồ thị trong hệ tọa độ Descartes.

Trên khoảng [1; 4] đồ thị của parabol y = - x 2 + 6 x - 5 nằm trên đường thẳng y = - 1 3 x - 1 2. Về vấn đề này, để có câu trả lời, chúng tôi sử dụng công thức thu được trước đó, cũng như phương pháp tính tích phân xác định bằng công thức Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Đáp số: S (G) = 13

Hãy xem xét một ví dụ phức tạp hơn.

Ví dụ 2

Cần tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường y = x + 2, y = x, x = 7.

Dung dịch

Trong trường hợp này, chúng ta chỉ có một đường thẳng song song với trục x. Đây là x = 7. Điều này đòi hỏi chúng ta phải tự tìm ra giới hạn tích hợp thứ hai.

Hãy xây dựng một đồ thị và đặt trên đó các đường thẳng cho trước trong điều kiện của bài toán.

Có một biểu đồ trước mắt, chúng ta có thể dễ dàng xác định rằng giới hạn dưới của tích phân sẽ là hoành độ của giao điểm của biểu đồ với một đường thẳng y \ u003d x và một bán parabol y \ u003d x + 2. Để tìm abscissa, chúng ta sử dụng các giá trị bằng nhau:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Nó chỉ ra rằng abscissa của giao điểm là x = 2.

Chúng tôi thu hút sự chú ý của bạn đến thực tế là trong ví dụ chung trong hình vẽ, các đường y = x + 2, y = x cắt nhau tại điểm (2; 2), vì vậy các tính toán chi tiết như vậy có vẻ thừa. Chúng tôi đã cung cấp một giải pháp chi tiết như vậy ở đây chỉ vì trong những trường hợp phức tạp hơn, giải pháp có thể không rõ ràng như vậy. Điều này có nghĩa là tốt hơn hết bạn nên luôn tính toán tọa độ giao điểm của các đường một cách phân tích.

Trên khoảng [2; 7] thì đồ thị của hàm số y = x nằm phía trên đồ thị của hàm số y = x + 2. Áp dụng công thức để tính diện tích:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Đáp số: S (G) = 59 6

Ví dụ 3

Cần phải tính diện tích của \ u200b \ u200 hình này được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y \ u003d 1 x và y \ u003d - x 2 + 4 x - 2.

Dung dịch

Hãy vẽ các đường trên biểu đồ.

Hãy xác định các giới hạn của tích hợp. Để làm được điều này, chúng ta xác định tọa độ của các giao điểm của các đường thẳng bằng cách lập phương trình 1 x và - x 2 + 4 x - 2. Với điều kiện x không bằng 0, đẳng thức 1 x \ u003d - x 2 + 4 x - 2 trở thành tương đương với phương trình bậc ba - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \ u003d 0 với hệ số nguyên . Bạn có thể làm mới bộ nhớ của thuật toán để giải các phương trình như vậy bằng cách tham khảo phần "Giải phương trình bậc ba".

Nghiệm của phương trình này là x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Chia biểu thức - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 cho nhị thức x - 1, ta được: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Ta có thể tìm các nghiệm nguyên còn lại từ phương trình x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \ u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Chúng ta đã tìm thấy một khoảng x ∈ 1; 3 + 13 2, trong đó G nằm trên đường màu xanh lam và bên dưới đường màu đỏ. Điều này giúp chúng tôi xác định diện tích của hình:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Đáp số: S (G) \ u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Ví dụ 4

Cần tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường cong y \ u003d x 3, y \ u003d - log 2 x + 1 và trục x.

Dung dịch

Hãy đặt tất cả các đường trên biểu đồ. Ta có thể lấy đồ thị của hàm số y = - log 2 x + 1 từ đồ thị y = log 2 x nếu đặt đối xứng qua trục x và dời nó lên một đơn vị. Phương trình của trục x y \ u003d 0.

Hãy biểu thị các giao điểm của các đường.

Như hình bên, đồ thị của hai hàm số y \ u003d x 3 và y \ u003d 0 cắt nhau tại điểm (0; 0). Điều này là do x \ u003d 0 là nghiệm thực duy nhất của phương trình x 3 \ u003d 0.

x = 2 là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình - log 2 x + 1 = 0 nên đồ thị của các hàm số y = - log 2 x + 1 và y = 0 cắt nhau tại điểm (2; 0).

x = 1 là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình x 3 = - log 2 x + 1. Về phương diện này, đồ thị của các hàm số y \ u003d x 3 và y \ u003d - log 2 x + 1 cắt nhau tại điểm (1; 1). Câu lệnh cuối cùng có thể không rõ ràng, nhưng phương trình x 3 \ u003d - log 2 x + 1 không thể có nhiều hơn một căn, vì hàm y \ u003d x 3 đang tăng dần và hàm y \ u003d - log 2 x + 1 đang giảm dần.

Bước tiếp theo liên quan đến một số tùy chọn.

Tùy chọn số 1

Ta có thể biểu diễn hình G là tổng của hai hình thang cong nằm phía trên trục abscissa, hình thang thứ nhất nằm dưới đường trung trực trên đoạn x ∈ 0; 1 và điểm thứ hai nằm dưới vạch đỏ trên đoạn x ∈ 1; 2. Điều này có nghĩa là diện tích sẽ bằng S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.

Tùy chọn số 2

Hình G có thể được biểu diễn bằng hiệu của hai hình, hình đầu tiên nằm trên trục x và dưới đường màu xanh lam trên đoạn x ∈ 0; 2, và điểm thứ hai nằm giữa các đường màu đỏ và xanh lam trên đoạn x ∈ 1; 2. Điều này cho phép chúng tôi tìm thấy khu vực như thế này:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Trong trường hợp này, để tìm diện tích, bạn sẽ phải sử dụng công thức có dạng S (G) \ u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Trên thực tế, các đường giới hạn hình dạng có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm của đối số y.

Hãy giải các phương trình y = x 3 và - log 2 x + 1 với x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Chúng tôi nhận diện tích theo yêu cầu:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Đáp số: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Ví dụ 5

Cần tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường y \ u003d x, y \ u003d 2 3 x - 3, y \ u003d - 1 2 x + 4.

Dung dịch

Vẽ một đường thẳng trên biểu đồ bằng một đường thẳng màu đỏ, được cho bởi hàm số y = x. Vẽ đường thẳng y = - 1 2 x + 4 màu xanh lam và đánh dấu đường thẳng y = 2 3 x - 3 màu đen.

Lưu ý các điểm giao nhau.

Tìm giao điểm của các đồ thị của hàm số y = x và y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \ u003d 144 x 1 \ u003d 20 + 144 2 \ u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i là nghiệm của phương trình x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 là nghiệm của phương trình ⇒ (4; 2) giao điểm i y = x và y = - 1 2 x + 4

Tìm giao điểm của các đồ thị của hàm số y = x và y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kiểm tra: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \ u003d 2 3 9 - 3 \ u003d 3 ⇒ x 1 \ u003d 9 là nghiệm của phương trình ⇒ (9; 3) điểm và giao điểm y = x và y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 không phải là nghiệm của phương trình

Tìm giao điểm của các đường thẳng y = - 1 2 x + 4 và y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) giao điểm y = - 1 2 x + 4 và y = 2 3 x - 3

Phương pháp số 1

Chúng tôi biểu diễn diện tích của hình mong muốn dưới dạng tổng diện tích của các hình riêng lẻ.

Khi đó diện tích của hình đó là:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Phương pháp số 2

Diện tích của hình ban đầu có thể được biểu diễn bằng tổng của hai hình còn lại.

Sau đó, chúng tôi giải phương trình đường thẳng cho x, và chỉ sau đó chúng tôi áp dụng công thức tính diện tích \ u200b \ u200b của hình.

y = x ⇒ x = y 2 đường đỏ y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 đường đen y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Vậy diện tích là:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Như bạn có thể thấy, các giá trị khớp với nhau.

Đáp số: S (G) = 11 3

Kết quả

Để tìm diện tích của một hình giới hạn bởi các đường cho trước, chúng ta cần vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng, tìm giao điểm của chúng và áp dụng công thức tính diện tích. Trong phần này, chúng tôi đã xem xét các tùy chọn phổ biến nhất cho các tác vụ.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Trong bài này, bạn sẽ học cách tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường bằng cách sử dụng các phép tính tích phân. Lần đầu tiên chúng ta bắt gặp việc xây dựng một bài toán như vậy ở trường phổ thông, khi việc nghiên cứu một tích phân nào đó vừa hoàn thành và là lúc bắt đầu giải thích hình học cho những kiến thức đã học được trong thực tế.

Vì vậy, điều gì cần thiết để giải thành công bài toán tìm diện tích của hình \ u200b \ u200ba bằng cách sử dụng tích phân:

Có khả năng vẽ chính xác bản vẽ;
Khả năng giải một tích phân xác định bằng công thức Newton-Leibniz nổi tiếng;
Khả năng "nhìn thấy" một giải pháp có lợi hơn - tức là để hiểu làm thế nào trong trường hợp này hoặc trường hợp đó sẽ thuận tiện hơn để thực hiện tích hợp? Dọc theo trục x (OX) hay trục y (OY)?
Chà, ở đâu mà không có phép tính chính xác?) Điều này bao gồm việc hiểu cách giải loại tích phân khác và các phép tính số chính xác.

Thuật toán giải bài toán tính diện tích hình giới hạn bởi đường thẳng:

1. Chúng tôi xây dựng một bản vẽ. Đó là khuyến khích để làm điều này trên một mảnh giấy trong lồng, trên quy mô lớn. Chúng tôi ký tên bằng bút chì trên mỗi đồ thị tên của hàm này. Chữ ký của đồ thị chỉ được thực hiện để thuận tiện cho các tính toán tiếp theo. Sau khi nhận được biểu đồ của hình mong muốn, trong hầu hết các trường hợp, nó sẽ rõ ràng ngay lập tức giới hạn tích hợp nào sẽ được sử dụng. Do đó, chúng tôi giải quyết vấn đề bằng đồ thị. Tuy nhiên, nó sẽ xảy ra rằng các giá trị của các giới hạn là phân số hoặc không hợp lý. Do đó, bạn có thể tính toán bổ sung, chuyển sang bước hai.

2. Nếu các giới hạn tích phân không được đặt rõ ràng, thì chúng tôi tìm các giao điểm của các đồ thị với nhau và xem liệu giải pháp đồ họa của chúng tôi có trùng với giải pháp phân tích hay không.

3. Tiếp theo, bạn cần phân tích bản vẽ. Tùy thuộc vào cách định vị đồ thị của các hàm số, có những cách tiếp cận khác nhau để tìm diện tích của \ u200b \ u200b hình. Hãy xem xét các ví dụ khác nhau về việc tìm diện tích của một hình bằng cách sử dụng tích phân.

3.1. Phiên bản cổ điển nhất và đơn giản nhất của bài toán là khi bạn cần tìm diện tích của hình thang cong. Hình thang cong là gì? Đây là một hình phẳng giới hạn bởi trục x (y = 0), dài x = a, x = b và bất kỳ đường cong nào liên tục trong khoảng thời gian từ một trước b. Đồng thời, hình này không âm và nằm không thấp hơn trục x. Trong trường hợp này, diện tích của hình thang cong bằng số bằng tích phân xác định được tính bằng công thức Newton-Leibniz:

ví dụ 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Những đường nào xác định hình vẽ? Chúng tôi có một hình parabol y = x2 - 3x + 3, nằm trên trục OH, nó không âm, bởi vì tất cả các điểm của parabol này đều dương. Tiếp theo, các đường thẳng đã cho x = 1 và x = 3 chạy song song với trục OU, là các đường giới hạn của hình bên trái và bên phải. Tốt y = 0, cô ấy là trục x, giới hạn hình bên dưới. Hình kết quả được tô bóng, như trong hình bên trái. Trong trường hợp này, bạn có thể ngay lập tức bắt đầu giải quyết vấn đề. Trước chúng ta là một ví dụ đơn giản về hình thang cong, sau đó chúng ta giải bằng công thức Newton-Leibniz.

3.2. Trong đoạn 3.1 trước, trường hợp đã được phân tích khi hình thang cong nằm phía trên trục x. Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi các điều kiện của bài toán là như nhau, ngoại trừ hàm số nằm dưới trục x. Một dấu trừ được thêm vào công thức Newton-Leibniz tiêu chuẩn. Làm thế nào để giải quyết một vấn đề như vậy, chúng tôi sẽ xem xét thêm.

Ví dụ 2 . Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Trong ví dụ này, chúng ta có một parabol y = x2 + 6x + 2, bắt nguồn từ dưới trục OH, dài x = -4, x = -1, y = 0. Nơi đây y = 0 giới hạn con số mong muốn từ phía trên. Thẳng thắn x = -4 và x = -1đây là những ranh giới mà trong đó tích phân xác định sẽ được tính. Nguyên tắc giải bài toán tìm diện tích của hình vẽ \ u200b \ u200ba gần như hoàn toàn trùng khớp với ví dụ số 1. Chỉ khác là hàm số đã cho là không dương và mọi vật cũng liên tục trên khoảng [-4; -1] . Không tích cực có nghĩa là gì? Như hình bên có thể thấy, hình nằm trong x cho trước có tọa độ "âm" độc quyền, đây là điều chúng ta cần xem và ghi nhớ khi giải bài toán. Chúng tôi đang tìm diện tích của \ u200b \ u200 hình bằng cách sử dụng công thức Newton-Leibniz, chỉ với một dấu trừ ở đầu.

Bài báo chưa hoàn thành.

Trên thực tế, để tìm diện tích của hình \ u200b \ u200ba, bạn không cần quá nhiều kiến thức về tích phân xác định và không xác định. Nhiệm vụ "tính diện tích sử dụng một tích phân xác định" luôn liên quan đến việc xây dựng một bản vẽ, vì vậy kiến thức và kỹ năng vẽ của bạn sẽ là một vấn đề phù hợp hơn nhiều. Về vấn đề này, sẽ rất hữu ích khi làm mới bộ nhớ về các đồ thị của các hàm cơ bản chính, và ở mức tối thiểu, có thể xây dựng một đường thẳng và một hyperbol.

Hình thang cong là hình phẳng giới hạn bởi trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn không đổi dấu trên khoảng này. Hãy để hình này được định vị không ít hơn abscissa:

sau đó diện tích của hình thang cong về mặt số học bằng một tích phân nào đó. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt.

Về mặt hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH.

Đó là, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) tương ứng về mặt hình học với diện tích của một số hình. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Tích phân xác định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (những người muốn có thể hoàn thành bản vẽ), và tích phân xác định chính nó bằng số bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Thời điểm quyết định đầu tiên và quan trọng nhất là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng BÊN PHẢI.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ một bản vẽ (lưu ý rằng phương trình xác định trục):

Trên đoạn, đồ thị của hàm số có vị trí qua trục, đó là lý do tại sao:

Câu trả lời:

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bản vẽ và tìm ra câu trả lời có phải là thật hay không luôn hữu ích. Trong trường hợp này, "bằng mắt thường" chúng ta đếm số ô trong bản vẽ - tốt, khoảng 9 sẽ được gõ, có vẻ là đúng. Rõ ràng là nếu chúng ta có, giả sử, câu trả lời: 20 đơn vị hình vuông, thì rõ ràng, một sai lầm đã được thực hiện ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không phù hợp với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định, thì nhiệm vụ đó cũng đã được giải quyết không chính xác.

Ví dụ 3

Tính diện tích của hình giới hạn bởi đường thẳng và trục tọa độ.

Dung dịch: Hãy vẽ một bức tranh:

Nêu được hình thang cong dưới trục(hoặc ít nhất không cao hơn trục cho trước), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trong trường hợp này:

Chú ý! Đừng nhầm lẫn giữa hai loại nhiệm vụ:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải chỉ một tích phân xác định mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng cách sử dụng tích phân xác định, thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao dấu trừ xuất hiện trong công thức vừa xét.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 4

Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường,.

Dung dịch: Đầu tiên bạn cần hoàn thiện bản vẽ. Nói chung, khi xây dựng một bản vẽ trong các bài toán về diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến các giao điểm của các đường. Hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Cách đầu tiên là phân tích. Chúng tôi giải phương trình:

Do đó, giới hạn dưới của tích hợp, giới hạn trên của tích hợp.

Tốt nhất là không nên sử dụng phương pháp này nếu có thể..

Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn nếu xây dựng các đường từng điểm một, trong khi các giới hạn của việc tích hợp được tìm ra như thể “một mình”. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm các giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc cấu trúc phân luồng không tiết lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc không hợp lý). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.

Chúng ta quay trở lại nhiệm vụ của mình: đầu tiên sẽ hợp lý hơn khi dựng một đường thẳng và sau đó chỉ là một parabol. Hãy vẽ một bức tranh:

Và bây giờ là công thức làm việc: Nếu có một số hàm liên tục trên khoảng lớn hơn hoặc bằng một hàm số liên tục, thì diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của các hàm số và đường thẳng này, có thể được tìm thấy bằng công thức:

Ở đây, không còn cần thiết phải nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hoặc bên dưới trục, và nói một cách đại khái, vấn đề quan trọng là biểu đồ nào TRÊN(so với một biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI ĐÂY.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng, parabol nằm trên đường thẳng, và do đó cần phải trừ đi

Việc hoàn thành giải pháp có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol từ bên trên và một đường thẳng từ bên dưới.
Trên phân đoạn, theo công thức tương ứng:

Câu trả lời:

Ví dụ 4

Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường,,,.

Dung dịch: Hãy vẽ trước:

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam.(xem kỹ tình trạng - con số có hạn!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý, "trục trặc" thường xảy ra, bạn cần phải tìm vùng của \ u200b \ u200b của hình được tô màu xanh lá cây!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ, diện tích \ u200b \ u200b của hình được tính bằng cách sử dụng hai tích phân xác định.

Có thật không:

1) Trên đoạn thẳng trên trục có đồ thị là đường thẳng;

2) Trên đoạn thẳng trên trục là đồ thị hyperbol.

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Tích phân xác định. Cách tính diện tích của một hình

Bây giờ chúng ta chuyển sang việc xem xét các ứng dụng của phép tính tích phân. Trong bài học này, chúng ta sẽ phân tích một nhiệm vụ điển hình và phổ biến nhất. Cách sử dụng một tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng. Cuối cùng, những người tìm kiếm ý nghĩa trong toán học cao hơn - có thể họ sẽ tìm thấy nó. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một ngôi nhà mùa hè với các chức năng cơ bản và tìm diện tích của nó bằng cách sử dụng một tích phân nhất định.

Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:

1) Hiểu được tích phân bất định ít nhất ở trình độ trung cấp. Vì vậy, đầu tiên người giả nên đọc bài học Không.

2) Có thể áp dụng công thức Newton-Leibniz và tính tích phân xác định. Bạn có thể thiết lập mối quan hệ thân thiện nồng ấm với một số thành phần không thể thiếu trên trang Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp.

Trên thực tế, để tìm diện tích của hình \ u200b \ u200ba, bạn không cần quá nhiều kiến thức về tích phân xác định và không xác định. Nhiệm vụ "tính diện tích sử dụng một tích phân xác định" luôn liên quan đến việc xây dựng một bản vẽ, vì vậy kiến thức và kỹ năng vẽ của bạn sẽ là một vấn đề phù hợp hơn nhiều. Về vấn đề này, sẽ rất hữu ích khi làm mới các đồ thị của các hàm cơ bản chính trong bộ nhớ, và ở mức tối thiểu, để có thể xây dựng một đường thẳng, một parabol và một hyperbol. Điều này có thể được thực hiện (nhiều người cần) với sự trợ giúp của tài liệu phương pháp luận và một bài báo về các phép biến đổi hình học của đồ thị.

Thực ra mọi người đã quen thuộc với bài toán tìm diện tích bằng tích phân xác định từ khi còn đi học, và chúng ta sẽ đi trước một chút về chương trình học ở trường. Bài báo này có thể hoàn toàn không tồn tại, nhưng thực tế là vấn đề xảy ra với 99 trường hợp trong số 100 trường hợp, khi một sinh viên bị dày vò bởi một tòa tháp đáng ghét với sự nhiệt tình thông thạo một khóa học về toán cao hơn.

Các tài liệu của hội thảo này được trình bày đơn giản, chi tiết và ít lý thuyết.

Hãy bắt đầu với một hình thang cong.

Hình thang congđược gọi là hình phẳng giới hạn bởi trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn không đổi dấu trên khoảng này. Hãy để hình này được định vị không ít hơn abscissa:

sau đó diện tích của hình thang cong về mặt số học bằng một tích phân nào đó. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. Vào bài học Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp Tôi đã nói rằng một tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nêu một sự thật hữu ích khác. Theo quan điểm của hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH.

Đó là, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một số hình. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Tích phân xác định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (những người muốn có thể hoàn thành bản vẽ), và tích phân xác định chính nó bằng số bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

Khi xây dựng một bản thiết kế, tôi khuyên bạn nên theo thứ tự sau: Đầu tiên tốt hơn là nên xây dựng tất cả các dòng (nếu có) và chỉ sau- parabol, hypebol, đồ thị của các hàm số khác. Đồ thị hàm số có lợi hơn khi xây dựng từng điểm, với kỹ thuật xây dựng theo chiều kim điểm có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản. Ở đó, bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích liên quan đến bài học của chúng tôi - cách nhanh chóng xây dựng một parabol.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ một bản vẽ (lưu ý rằng phương trình xác định trục):

Tôi sẽ không tạo ra một hình thang cong, rõ ràng là chúng ta đang nói về lĩnh vực nào ở đây. Giải pháp tiếp tục như thế này:

Trên đoạn, đồ thị của hàm số có vị trí qua trục, đó là lý do tại sao:

Câu trả lời:

Ai gặp khó khăn trong việc tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz , tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp.

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bản vẽ và tìm ra câu trả lời có phải là thật hay không luôn hữu ích. Trong trường hợp này, “bằng mắt thường” chúng tôi đếm số ô trong hình vẽ - khoảng 9 ô sẽ được gõ, có vẻ đúng. Rõ ràng là nếu chúng ta có, giả sử, câu trả lời: 20 đơn vị hình vuông, thì rõ ràng, một sai lầm đã được thực hiện ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không phù hợp với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định, thì nhiệm vụ đó cũng đã được giải quyết không chính xác.

Ví dụ 2

Tính diện tích của hình bị giới hạn bởi các đường và trục

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trục?

Ví dụ 3

Tính diện tích của hình giới hạn bởi đường thẳng và trục tọa độ.

Dung dịch: Hãy vẽ một bức tranh:

Nêu được hình thang cong dưới trục(hoặc ít nhất không cao hơn trục cho trước), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:
Trong trường hợp này:

Chú ý! Đừng nhầm lẫn giữa hai loại nhiệm vụ:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải chỉ một tích phân xác định mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

Ví dụ 4

Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường,.

Do đó, giới hạn dưới của tích hợp, giới hạn trên của tích hợp.
Tốt nhất là không nên sử dụng phương pháp này nếu có thể..

Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn nếu xây dựng các đường từng điểm một, trong khi các giới hạn của việc tích hợp được tìm ra như thể “một mình”. Kỹ thuật xây dựng từng điểm cho các biểu đồ khác nhau được thảo luận chi tiết trong phần trợ giúp Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm các giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc cấu trúc phân luồng không tiết lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc không hợp lý). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.

Chúng ta quay trở lại nhiệm vụ của mình: đầu tiên sẽ hợp lý hơn khi dựng một đường thẳng và sau đó chỉ là một parabol. Hãy vẽ một bức tranh:

Tôi nhắc lại rằng với cấu trúc theo chiều điểm, các giới hạn của tích hợp thường được tìm ra "tự động" nhất.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng, parabol nằm trên đường thẳng, và do đó cần phải trừ đi

Việc hoàn thành giải pháp có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol từ bên trên và một đường thẳng từ bên dưới.
Trên phân đoạn, theo công thức tương ứng:

Câu trả lời:

Thực tế, công thức tính diện tích hình thang cong trong nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ đơn giản số 3) là một trường hợp đặc biệt của công thức . Vì trục được cho bởi phương trình và đồ thị của hàm có vị trí không cao hơn trục, sau đó

Và bây giờ là một vài ví dụ cho một quyết định độc lập

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Tìm diện tích của hình được bao bởi các đường,.

Trong quá trình giải các bài toán tính diện tích bằng một tích phân nào đó, đôi khi vẫn xảy ra một sự cố buồn cười. Bản vẽ đã được thực hiện chính xác, các tính toán chính xác, nhưng do không chú ý ... tìm thấy diện tích của hình sai, đó là cách mà người hầu ngoan ngoãn của bạn đã làm hỏng nhiều lần. Đây là một trường hợp thực tế:

Ví dụ 7

Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường,,,.

Dung dịch: Hãy vẽ trước:

… Eh, bản vẽ thì tào lao, nhưng mọi thứ có vẻ dễ đọc.

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ, diện tích \ u200b \ u200b của hình được tính bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Có thật không:

1) Trên đoạn thẳng trên trục có đồ thị là đường thẳng;

2) Trên đoạn thẳng trên trục là đồ thị hyperbol.

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Câu trả lời:

Hãy chuyển sang một nhiệm vụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 8

Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường,
Hãy trình bày các phương trình ở dạng "trường" và thực hiện vẽ từng điểm:

Từ hình vẽ có thể thấy rằng giới hạn trên của chúng ta là "tốt" :.
Nhưng giới hạn dưới là gì? Rõ ràng đây không phải là một số nguyên, nhưng là gì? Có lẽ ? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, nó có thể thành ra điều đó. Hoặc root. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta không hiểu được biểu đồ đúng?

Trong những trường hợp như vậy, người ta phải dành thêm thời gian và tinh chỉnh các giới hạn của tích hợp một cách phân tích.

Hãy tìm giao điểm của đường thẳng và parabol.
Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình:

,

Có thật không, .

Các giải pháp xa hơn là nhỏ, điều chính là không để bị nhầm lẫn trong các thay thế và các dấu hiệu, các phép tính ở đây không phải là dễ dàng nhất.

Trên phân khúc , theo công thức tương ứng:

Câu trả lời:

Vâng, trong phần kết của bài học, chúng ta sẽ xem xét hai nhiệm vụ khó hơn.

Ví dụ 9

Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường,

Dung dịch: Vẽ hình này trong hình vẽ.

Thiệt là quên ký lịch rồi làm lại hình, tiếc hùi hụi không hotz. Không phải bản vẽ, tóm lại là hôm nay là ngày =)

Đối với việc xây dựng từng điểm, cần phải biết sự xuất hiện của hình sin (và nói chung, rất hữu ích khi biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản), cũng như một số giá trị sin, chúng có thể được tìm thấy trong bảng lượng giác. Trong một số trường hợp (như trường hợp này), được phép xây dựng một bản vẽ giản đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân phải được hiển thị một cách chính xác về nguyên tắc.

Không có vấn đề gì với các giới hạn tích hợp ở đây, chúng tuân theo trực tiếp điều kiện: - "x" thay đổi từ 0 thành "pi". Chúng tôi đưa ra một quyết định khác:

Trên đoạn, đồ thị của hàm số nằm trên trục nên: