Trường trung học nông thôn Kopyevskaya

10 cách để giải quyết phương trình bậc hai

Trưởng phòng: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

giáo viên toán học

s.Kopyevo, 2007

1. Lịch sử phát triển của phương trình bậc hai

1.1 Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

1.2 Cách Diophantus biên dịch và giải phương trình bậc hai

1.3 Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

1.4 Phương trình bậc hai trong al-Khwarizmi

1.5 Phương trình bậc hai trong Châu Âu XIII- Thế kỷ XVII

1.6 Về định lý Vieta

2. Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Sự kết luận

Văn chương

1. Lịch sử phát triển của phương trình bậc hai

1.1 Phương trình bậc hai ở Babylon cổ đại

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ ở cấp một mà còn cả cấp hai trong thời cổ đại là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến tìm diện tích. thửa đất và với các hoạt động đào đất có tính chất quân sự, cũng như với sự phát triển của thiên văn học và toán học. Phương trình bậc hai đã có thể giải được khoảng 2000 năm trước Công nguyên. e. Người Babylon.

Áp dụng ký hiệu đại số hiện đại, chúng ta có thể nói rằng trong các văn bản chữ hình nêm của họ, ngoài những văn bản không hoàn chỉnh, chẳng hạn như, các phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Quy tắc giải các phương trình này, được nêu trong các văn bản của người Babylon, về cơ bản trùng khớp với quy tắc hiện đại, nhưng không biết người Babylon đã đưa ra quy tắc này như thế nào. Hầu như tất cả các văn bản chữ hình nêm được tìm thấy cho đến nay chỉ đưa ra các vấn đề với các giải pháp được nêu dưới dạng công thức, không có dấu hiệu cho thấy chúng được tìm thấy như thế nào.

Mặc dù cấp độ cao sự phát triển của đại số ở Babylon, trong các văn bản chữ hình nêm không có khái niệm về số âm và phương pháp phổ biến nghiệm của phương trình bậc hai.

1.2 Cách Diophantus biên dịch và giải phương trình bậc hai.

Diophantus 'Arithmetic không chứa phần giải thích đại số một cách có hệ thống, nhưng nó chứa một chuỗi các vấn đề có hệ thống, kèm theo lời giải thích và được giải bằng cách lập các phương trình ở nhiều mức độ khác nhau.

Khi biên soạn các phương trình, Diophantus đã khéo léo chọn các ẩn số để đơn giản hóa lời giải.

Đây, ví dụ, là một trong những nhiệm vụ của anh ấy.

Nhiệm vụ 11."Tìm hai số biết rằng tổng của chúng là 20 và tích của chúng là 96"

Diophantus lập luận như sau: điều kiện của bài toán là các số mong muốn không bằng nhau, vì nếu chúng bằng nhau, thì tích của chúng sẽ không bằng 96 mà bằng 100. Như vậy, một trong số chúng sẽ nhiều hơn một nửa tổng số tiền của chúng, tức là. 10 + x, cái còn lại nhỏ hơn, tức là 10 của. Sự khác biệt giữa chúng Gấp đôi .

Do đó phương trình:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Từ đây x = 2. Một trong những con số mong muốn là 12 , khác 8 . Dung dịch x = -2 vì Diophantus không tồn tại, vì toán học Hy Lạp chỉ biết các số dương.

Nếu chúng ta giải bài toán này bằng cách chọn một trong các số mong muốn làm ẩn số, thì chúng ta sẽ đi đến nghiệm của phương trình

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Rõ ràng là Diophantus đơn giản hóa giải pháp bằng cách chọn hiệu số nửa của các số mong muốn làm ẩn số; anh ấy xoay sở để giảm vấn đề thành giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh (1).

1.3 Phương trình bậc hai ở Ấn Độ

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong đường thiên văn "Aryabhattam", được biên soạn vào năm 499 bởi nhà toán học và thiên văn học Ấn Độ Aryabhatta. Một học giả Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), giải thích nguyên tắc chung nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn thành một hình thức kinh điển:

à 2+ b x = c, a> 0. (1)

Trong phương trình (1), các hệ số, ngoại trừ một, cũng có thể là tiêu cực. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản trùng khớp với quy tắc của chúng ta.

TẠI ấn độ cổ đại cuộc thi công khai trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn là phổ biến. Trong một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ, điều sau đây được nói về các cuộc thi như vậy: "Khi mặt trời chiếu sáng các ngôi sao bằng ánh sáng rực rỡ của nó, vậy người đàn ông khoa học làm lu mờ vinh quang của người khác trong các cuộc họp công khai, đề xuất và giải quyết các vấn đề đại số. Các nhiệm vụ thường được đặt dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học Ấn Độ nổi tiếng thế kỷ XII. Bhaskara.

Nhiệm vụ 13.

“Một đàn khỉ cuồng nhiệt Và mười hai cây dây leo ...

Có sức ăn, có niềm vui. Họ bắt đầu nhảy, treo ...

Một phần tám trong số chúng trong một hình vuông Có bao nhiêu con khỉ ở đó,

Vui chơi trên đồng cỏ. Bạn nói cho tôi biết, trong đàn này?

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng ông biết về giá trị hai của các nghiệm thức của phương trình bậc hai (Hình 3).

Phương trình tương ứng với bài toán 13 là:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara viết dưới chiêu bài:

x 2 - 64x = -768

và, để hoàn thành vế trái của phương trình này thành một hình vuông, anh ấy thêm vào cả hai vế 32 2 , nhận được sau đó:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Phương trình bậc hai trong al-Khorezmi

Chuyên luận đại số của Al-Khorezmi đưa ra sự phân loại các phương trình tuyến tính và bậc hai. Tác giả liệt kê 6 loại phương trình, diễn đạt chúng như sau:

1) "Bình phương bằng căn", tức là ax 2 + c = b X.

2) "Hình vuông bằng số", tức là ax 2 = s.

3) "Rễ bằng số", tức là à = s.

4) "Số bình phương và số bằng căn", tức là ax 2 + c = b X.

5) "Hình vuông và gốc bằng một số", tức là à 2+ bx = s.

6) "Rễ và số lượng bằng các hình vuông", tức là bx + c \ u003d ax 2.

Đối với al-Khwarizmi, người đã tránh sử dụng các số âm, các số hạng của mỗi phương trình này là số phụ, không phải là số trừ. Trong trường hợp này, các phương trình không có nghiệm dương rõ ràng không được tính đến. Tác giả nêu ra các cách giải quyết các phương trình được chỉ định, sử dụng các kỹ thuật của al-jabr và al-muqabala. Tất nhiên, quyết định của anh ấy không hoàn toàn trùng khớp với quyết định của chúng tôi. Không đề cập đến việc nó hoàn toàn là phép tu từ, ví dụ, cần lưu ý rằng khi giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh loại một.

al-Khorezmi, giống như tất cả các nhà toán học trước thế kỷ 17, không tính đến nghiệm số 0, có lẽ vì nó không quan trọng trong các bài toán thực tế cụ thể. Khi giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh của al - Khorezmi trên một phần Ví dụ sốđặt ra các quy tắc quyết định, và sau đó là các chứng minh hình học.

Nhiệm vụ 14.“Hình vuông và số 21 bằng 10 căn. Tìm gốc " (giả sử là nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 21 = 10x).

Giải pháp của tác giả tương tự như sau: chia đôi số gốc, bạn được 5, nhân 5 với chính nó, trừ đi 21 cho tích, còn lại 4. Lấy gốc của 4, bạn được 2. Trừ 2 với 5, bạn lấy 3, đây sẽ là gốc mong muốn. Hoặc thêm 2 đến 5, sẽ cho ra 7, đây cũng là một gốc.

Treatise al - Khorezmi là cuốn sách đầu tiên đến với chúng tôi, trong đó việc phân loại các phương trình bậc hai được nêu một cách có hệ thống và đưa ra các công thức cho nghiệm của chúng.

1.5 Phương trình bậc hai ở Châu Âu XIII - XVII thế kỉ

Công thức giải phương trình bậc hai trên mô hình al-Khorezmi ở Châu Âu lần đầu tiên được đưa ra trong "Sách Bàn tính", được viết vào năm 1202 bởi nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci. Công trình đồ sộ này, phản ánh ảnh hưởng của toán học, cả các quốc gia theo đạo Hồi và Hy Lạp cổ đại, khác nhau về tính đầy đủ và rõ ràng của cách trình bày. Tác giả đã độc lập phát triển một số mới ví dụ đại số giải quyết vấn đề và là người đầu tiên ở Châu Âu tiếp cận sự ra đời của số âm. Cuốn sách của ông đã góp phần truyền bá kiến ​​thức đại số không chỉ ở Ý, mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều nhiệm vụ từ "Sách Bàn tính" đã được đưa vào hầu hết các sách giáo khoa của châu Âu thế kỷ 16 - 17. và một phần là XVIII.

Quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc:

x 2+ bx = với,

cho tất cả các kết hợp có thể có của các dấu hiệu của hệ số b , Với chỉ được sản xuất ở Châu Âu vào năm 1544 bởi M. Stiefel.

Suy ra công thức giải phương trình bậc hai trong nhìn chung Việt có, nhưng Việt chỉ nhận ra rễ tích cực. Các nhà toán học Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli là những nhà toán học đầu tiên của thế kỷ 16. Hãy tính đến, ngoài gốc tích cực và tiêu cực. Chỉ trong thế kỷ XVII. Cảm ơn công trình của Girard, Descartes, Newton và những người khác cách nhà khoa học giải phương trình bậc hai có dạng hiện đại.

1.6 Về định lý Vieta

Định lý biểu thị mối quan hệ giữa các hệ số của phương trình bậc hai và nghiệm nguyên của nó, mang tên Vieta, được ông đưa ra lần đầu tiên vào năm 1591 như sau: “Nếu B + D nhân với Một - Một 2 , bằng BD, sau đó Một bằng TẠI và bằng nhau D ».

Để hiểu Vieta, người ta phải nhớ rằng NHƯNG, giống như bất kỳ nguyên âm nào, đối với anh ta có nghĩa là không xác định (của chúng tôi X), Nguyên âm TẠI, D- hệ số cho điều chưa biết. Theo ngôn ngữ của đại số hiện đại, công thức của Vieta ở trên có nghĩa là: nếu

(a + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Biểu thị mối quan hệ giữa nghiệm nguyên và hệ số của phương trình công thức chung, được viết bằng các kí hiệu, Việt thiết lập tính đồng nhất trong các phương pháp giải phương trình. Tuy nhiên, tính biểu tượng của Vieta vẫn còn xa cái nhìn hiện đại. Ông không nhận ra các số âm, và do đó, khi giải các phương trình, ông chỉ xem xét các trường hợp mà tất cả các nghiệm đều dương.

2. Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là nền tảng mà trên đó xây dựng nên tòa nhà đại số hùng vĩ. Phương trình bậc hai được sử dụng rộng rãi trong việc giải các phương trình và bất phương trình lượng giác, mũ, logarit, vô tỉ và siêu việt. Từ khi đi học (lớp 8) chúng ta đều biết giải phương trình bậc hai cho đến khi ra trường.

Phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai- phương trình đại số nhìn chung

trong đó x là một biến tự do,

a, b, c, - hệ số và

Biểu hiện gọi là một tam thức vuông.

Các phương pháp giải phương trình bậc hai.

1. PHƯƠNG PHÁP : Thừa số hóa vế trái của phương trình.

Hãy giải phương trình x 2 + 10x - 24 = 0. Hãy phân tích vế trái:

x 2 + 10x - 24 \ u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \ u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \ u003d (x + 12) (x - 2).

Do đó, phương trình có thể được viết lại thành:

(x + 12) (x - 2) = 0

Vì sản phẩm bằng 0 nên ít nhất một trong các yếu tố của nó bằng 0. Do đó, vế trái của phương trình biến mất ở x = 2, cũng như tại x = - 12. Điều này có nghĩa là số 2 và - 12 là gốc của phương trình x 2 + 10x - 24 = 0.

2. PHƯƠNG PHÁP : Phương pháp chọn toàn bình phương.

Hãy giải phương trình x 2 + 6x - 7 = 0. Đánh dấu ở phía bên trái hình vuông đầy đủ.

Để làm điều này, chúng tôi viết biểu thức x 2 + 6x trong mẫu sau:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Trong biểu thức kết quả, số hạng đầu tiên là bình phương của số x và số hạng thứ hai là sản phẩm kép x bằng 3. Do đó, để có được một hình vuông đầy đủ, bạn cần thêm 3 2, vì

x 2+ 2 x 3 + 3 2 \ u003d (x + 3) 2.

Bây giờ chúng ta biến đổi vế trái của phương trình

x 2 + 6x - 7 = 0,

cộng với nó và trừ 3 2. Chúng ta có:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Theo cách này, phương trình đã cho có thể được viết như thế này:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Do đó, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 hoặc x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. PHƯƠNG PHÁP :Nghiệm của phương trình bậc hai bằng công thức.

Nhân cả hai vế của phương trình

ax 2 + bx + c \ u003d 0, a ≠ 0

trên 4a và liên tiếp, chúng tôi có:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac \ u003d 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \ u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \ u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

Các ví dụ.

một) Hãy giải phương trình: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0 hai gốc khác nhau;

Do đó, trong trường hợp có sự phân biệt đối xử tích cực, tức là tại

b 2 - 4ac> 0, phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai gốc khác nhau.

b) Hãy giải phương trình: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a \ u003d 4, b \ u003d - 4, c \ u003d 1, D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 \ u003d 0,

D = 0 một gốc;

Vì vậy, nếu số phân biệt bằng 0, tức là b 2 - 4ac = 0, sau đó phương trình

ax 2 + bx + c = 0 có một gốc duy nhất

Trong) Hãy giải phương trình: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Vì vậy, nếu đối tượng phân biệt là âm, tức là b2-4ac< 0 , phương trình

ax 2 + bx + c = 0 không có rễ.

Công thức (1) nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 cho phép bạn tìm ra gốc rễ không tí nào phương trình bậc hai (nếu có), kể cả rút gọn và không đầy đủ. Công thức (1) được diễn đạt bằng lời như sau: nghiệm của phương trình bậc hai bằng một phân số có tử số bằng hệ số thứ hai, được lấy từ dấu hiệu ngược lại, cộng trừ căn bậc hai của bình phương của hệ số này mà không nhân bốn tích của hệ số đầu tiên và số hạng tự do, và mẫu số gấp đôi hệ số thứ nhất.

4. PHƯƠNG PHÁP: Giải phương trình sử dụng định lý Vieta.

Như đã biết, phương trình bậc hai đã cho có dạng

x 2 + px + c = 0.(1)

Các gốc của nó thỏa mãn định lý Vieta, khi a = 1 có hình thức

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Từ đó ta có thể rút ra các kết luận sau (dấu của nghiệm nguyên có thể được dự đoán từ các hệ số p và q).

a) Nếu thuật ngữ tóm tắt q của phương trình rút gọn (1) là dương ( q> 0), thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu và đây là nghiệm của hệ số thứ hai P. Nếu một R< 0 , thì cả hai gốc đều âm nếu R< 0 , thì cả hai gốc đều dương.

Ví dụ,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 và x 2 \ u003d 1, tại vì q = 2> 0 và p = -3< 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 và x 2 \ u003d - 1, tại vì q = 7> 0 và p = 8> 0.

b) Nếu một thành viên miễn phí q của phương trình rút gọn (1) là âm ( q< 0 ), thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm lớn hơn về giá trị tuyệt đối sẽ dương nếu P< 0 , hoặc phủ định nếu p> 0 .

Ví dụ,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5 và x 2 \ u003d 1, tại vì q = - 5< 0 và p = 4> 0;

x 2 - 8x - 9 \ u003d 0; x 1 = 9 và x 2 \ u003d - 1, tại vì q = - 9< 0 và p = -8< 0.

Các ví dụ.

1) Giải phương trình 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Dung dịch. Tại vì a + b + c \ u003d 0 (345 - 137 - 208 \ u003d 0), sau đó

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Trả lời 1; -208/345.

2) Giải phương trình 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Dung dịch. Tại vì a + b + c \ u003d 0 (132 - 247 + 115 \ u003d 0), sau đó

x 1 \ u003d 1, x 2 \ u003d c / a \ u003d 115/132.

Trả lời 1; 115/132.

B. Nếu hệ số thứ hai b = 2k là một số chẵn, sau đó là công thức của căn

Thí dụ.

Hãy giải phương trình 3x2 - 14x + 16 = 0.

Dung dịch. Chúng ta có: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D \ u003d k 2 - ac \ u003d (- 7) 2 - 3 16 \ u003d 49 - 48 \ u003d 1, D \ u003e 0, hai gốc khác nhau;

Trả lời: 2; 8/3

TẠI. Phương trình rút gọn

x 2 + px + q \ u003d 0

trùng với phương trình tổng quát, trong đó a = 1, b = p và c = q. Do đó, đối với phương trình bậc hai rút gọn, công thức nghiệm nguyên

Có dạng:

Công thức (3) đặc biệt thuận tiện để sử dụng khi R- số chẵn.

Thí dụ. Hãy giải phương trình x 2 - 14x - 15 = 0.

Dung dịch. Chúng ta có: x 1,2 \ u003d 7 ±

Đáp số: x 1 = 15; x 2 \ u003d -1.

5. PHƯƠNG PHÁP: Giải phương trình bằng đồ thị.

Thí dụ. Giải phương trình x2 - 2x - 3 = 0.

Hãy vẽ đồ thị của hàm y \ u003d x2 - 2x - 3

1) Ta có: a = 1, b = -2, x0 = 1, y0 = f (1) = 12 - 2 - 3 = -4. Điều này có nghĩa là điểm (1; -4) là đỉnh của parabol và đường thẳng x \ u003d 1 là trục của parabol.

2) Lấy hai điểm trên trục x đối xứng qua trục của parabol, ví dụ, các điểm x \ u003d -1 và x \ u003d 3.

Ta có f (-1) = f (3) = 0. Ta xây dựng trên mặt phẳng tọa độđiểm (-1; 0) và (3; 0).

3) Qua các điểm (-1; 0), (1; -4), (3; 0) ta vẽ một parabol (Hình 68).

Nghiệm của phương trình x2 - 2x - 3 = 0 là hoành độ của các giao điểm của parabol với trục x; nên nghiệm nguyên của phương trình là: x1 = - 1, x2 - 3.

Với chương trình toán học này, bạn có thể giải phương trình bậc hai.

Chương trình không chỉ đưa ra câu trả lời cho vấn đề mà còn hiển thị quá trình giải theo hai cách:
- sử dụng từ phân biệt
- sử dụng định lý Vieta (nếu có thể).

Hơn nữa, câu trả lời được hiển thị chính xác, không gần đúng.
Ví dụ: đối với phương trình \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), câu trả lời được hiển thị ở dạng sau:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ thay vì thế này: \ (x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \)

Chương trình này Có thể hữu ích cho học sinh trung học trường giáo dục phổ thông chuẩn bị cho Công việc kiểm soát và các kỳ thi, khi kiểm tra kiến ​​thức trước kỳ thi, phụ huynh phải kiểm soát lời giải của nhiều bài toán toán và đại số. Hoặc có thể nó quá đắt đối với bạn để thuê một gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành nó càng sớm càng tốt? bài tập về nhà toán học hay đại số? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với một giải pháp chi tiết.

Do đó, bạn có thể thực hiện đào tạo riêng và / hoặc đào tạo họ em trai hoặc chị em, trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực nhiệm vụ được giải quyết tăng lên.

Nếu bạn không quen thuộc với các quy tắc nhập đa thức vuông, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.

Quy tắc nhập đa thức vuông

Bất kỳ chữ cái Latinh nào cũng có thể hoạt động như một biến.
Ví dụ: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \), v.v.

Số có thể được nhập dưới dạng số nguyên hoặc phân số.
Hơn thế nữa, số phân số có thể được nhập không chỉ dưới dạng số thập phân mà còn ở dạng phân số thông thường.

Quy tắc nhập phân số thập phân.
Trong phân số thập phân, phần phân số từ số nguyên có thể được phân tách bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy.
Ví dụ, bạn có thể nhập số thập phân vì vậy: 2,5x - 3,5x ^ 2

Quy tắc nhập phân số thông thường.
Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số.

Mẫu số không được âm.

Khi nhập phân số, tử số được ngăn cách với mẫu số bằng một dấu chia: /
Toàn bộ phầnđược phân tách khỏi phân số bằng dấu và: &
Đầu vào: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Kết quả: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Khi nhập một biểu thức bạn có thể sử dụng dấu ngoặc. Trong trường hợp này, khi giải một phương trình bậc hai, biểu thức đã giới thiệu trước tiên được đơn giản hóa.
Ví dụ: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

Quyết định

Người ta thấy rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết công việc này đã không tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.

Bạn đã tắt JavaScript trong trình duyệt của mình.
JavaScript phải được bật để giải pháp xuất hiện.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.

Tại vì Có rất nhiều người muốn giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn xếp hàng.
Sau một vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Làm ơn chờ giây ...

nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, sau đó bạn có thể viết về nó trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định điều gì nhập vào các lĩnh vực.

Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:

Một chút lý thuyết.

Phương trình bậc hai và nghiệm nguyên của nó. Phương trình bậc hai không đầy đủ

Mỗi phương trình
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
có hình thức
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
trong đó x là một biến, a, b và c là các số.
Trong phương trình thứ nhất a = -1, b = 6 và c = 1,4, trong phương trình thứ hai a = 8, b = -7 và c = 0, trong phương trình thứ ba a = 1, b = 0 và c = 4/9. Phương trình như vậy được gọi là phương trình bậc hai.

Sự định nghĩa.
phương trình bậc hai một phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 được gọi, trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và \ (a \ neq 0 \).

Các số a, b và c là hệ số của phương trình bậc hai. Số a được gọi là hệ số thứ nhất, số b là hệ số thứ hai và số c là hệ số chặn.

Trong mỗi phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó \ (a \ neq 0 \), lũy thừa lớn nhất của biến x là một bình phương. Do đó có tên: phương trình bậc hai.

Lưu ý rằng phương trình bậc hai còn được gọi là phương trình bậc hai, vì vế trái của nó là đa thức bậc hai.

Phương trình bậc hai trong đó hệ số tại x 2 là 1 được gọi là phương trình bậc hai rút gọn. Ví dụ, phương trình bậc hai đã cho là phương trình
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Nếu trong phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một trong các hệ số b hoặc c bằng 0 thì phương trình đó được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ. Vậy, các phương trình -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 là phương trình bậc hai không hoàn toàn. Trong lần đầu tiên trong số họ b ​​= 0, trong lần thứ hai c = 0, trong lần thứ ba b = 0 và c = 0.

Phương trình bậc hai không đầy đủ có ba loại:
1) ax 2 + c = 0, trong đó \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, trong đó \ (b \ neq 0 \);
3) ax2 = 0.

Hãy xem xét nghiệm của các phương trình của mỗi loại này.

Để giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh có dạng ax 2 + c = 0 for \ (c \ neq 0 \), số hạng tự do của nó được chuyển thành bên phải và chia cả hai vế của phương trình cho:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Vì \ (c \ neq 0 \), thì \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Nếu \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), thì phương trình có hai nghiệm.

Nếu \ (- \ frac (c) (a) Để giải một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh dạng ax 2 + bx = 0, hãy tính \ (b \ neq 0 \) thừa số hóa vế trái của nó và thu được phương trình
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightarrow \ left \ (\ begin (mảng) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (mảng) \ phải. \)

Do đó, một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 + bx = 0 cho \ (b \ neq 0 \) luôn có hai nghiệm.

Phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 \ u003d 0 tương đương với phương trình x 2 \ u003d 0 và do đó có một căn 0.

Công thức nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta hãy xem xét cách giải phương trình bậc hai trong đó cả hệ số của ẩn số và số hạng tự do đều khác không.

Chúng ta giải phương trình bậc hai ở dạng tổng quát và kết quả là chúng ta thu được công thức của nghiệm nguyên. Sau đó, công thức này có thể được áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.

Giải phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0

Chia cả hai phần của nó cho a, chúng ta thu được phương trình bậc hai rút gọn tương đương
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Chúng tôi biến đổi phương trình này bằng cách tô sáng bình phương của nhị thức:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Rightarrow \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Rightarrow \) \ (\ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Rightarrow \ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Rightarrow \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Rightarrow x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt (b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Rightarrow \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Biểu thức gốc được gọi là phân biệt của một phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ("phân biệt" trong tiếng Latinh - phân biệt). Nó được ký hiệu bằng chữ D, tức là
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Bây giờ, sử dụng ký hiệu của phân biệt, chúng ta viết lại công thức cho nghiệm nguyên của phương trình bậc hai:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), trong đó \ (D = b ^ 2-4ac \)

Hiển nhiên là:
1) Nếu D> 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm nguyên.
2) Nếu D = 0 thì phương trình bậc hai có một căn \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Nếu D Như vậy, tùy thuộc vào giá trị của phân thức, phương trình bậc hai có thể có hai căn (với D> 0), một căn (với D = 0) hoặc không có căn (với D. Khi giải phương trình bậc hai bằng công thức này , nên làm theo cách sau:
1) tính số phân biệt và so sánh nó với số không;
2) Nếu số phân biệt là dương hoặc bằng 0, thì sử dụng công thức căn, nếu số phân biệt là âm thì viết ra không có căn nào.

Định lý Vieta

Phương trình bậc hai ax 2 -7x + 10 = 0 đã cho có căn là 2 và 5. Tổng của căn là 7 và tích là 10. Ta thấy rằng tổng của các căn bằng hệ số thứ hai, lấy với ngược dấu, và tích của các gốc bằng số hạng tự do. Bất kỳ phương trình bậc hai rút gọn nào có nghiệm nguyên đều có tính chất này.

Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho bằng hệ số thứ hai, lấy trái dấu và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do.

Những thứ kia. Định lý Vieta phát biểu rằng các nghiệm nguyên x 1 và x 2 của phương trình bậc hai rút gọn x 2 + px + q = 0 có tính chất:
\ (\ left \ (\ begin (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)

Cấp độ đầu tiên

Phương trình bậc hai. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Trong thuật ngữ "phương trình bậc hai" từ khóa là "bậc hai". Điều này có nghĩa là phương trình nhất thiết phải chứa một biến (cùng một X) trong ô vuông, đồng thời không được có X ở bậc ba (hoặc lớn hơn).

Nghiệm của nhiều phương trình được rút gọn thành nghiệm của phương trình bậc hai.

Hãy tìm hiểu để xác định rằng chúng ta có một phương trình bậc hai, chứ không phải một số khác.

ví dụ 1

Loại bỏ mẫu số và nhân mỗi số hạng của phương trình với

Hãy chuyển mọi thứ sang phía bên trái và sắp xếp các số hạng theo thứ tự lũy thừa giảm dần của x

Bây giờ chúng ta có thể tự tin nói rằng phương trình này là bậc hai!

Ví dụ 2

Nhân các cạnh bên trái và bên phải với:

Phương trình này, mặc dù ban đầu nó nằm trong nó, không phải là một hình vuông!

Ví dụ 3

Hãy nhân mọi thứ với:

Đáng sợ? Bậc thứ tư và bậc thứ hai ... Tuy nhiên, nếu chúng ta thay thế, chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta có một phương trình bậc hai đơn giản:

Ví dụ 4

Có vẻ như vậy, nhưng chúng ta hãy xem xét kỹ hơn. Hãy di chuyển mọi thứ sang phía bên trái:

Bạn thấy đấy, nó đã bị thu hẹp - và bây giờ nó là một phương trình tuyến tính đơn giản!

Bây giờ, hãy thử tự xác định xem phương trình nào sau đây là bậc hai và phương trình nào không:

Ví dụ:

Câu trả lời:

1. Quảng trường;
2. Quảng trường;
3. không vuông vắn;
4. không vuông vắn;
5. không vuông vắn;
6. Quảng trường;
7. không vuông vắn;
8. Quảng trường.

Các nhà toán học có điều kiện chia tất cả các phương trình bậc hai thành các loại sau:

• Hoàn thành phương trình bậc hai- các phương trình trong đó các hệ số và cũng như số hạng tự do c không bằng 0 (như trong ví dụ). Ngoài ra, trong số các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, có được là các phương trình trong đó hệ số (phương trình từ ví dụ một không chỉ hoàn chỉnh mà còn được rút gọn!)

• Phương trình bậc hai không đầy đủ- phương trình trong đó hệ số và số hạng tự do c bằng 0:

  Chúng không đầy đủ vì thiếu một số yếu tố trong chúng. Nhưng phương trình phải luôn chứa x bình phương !!! Nếu không, nó sẽ không còn là một phương trình bậc hai nữa mà là một phương trình khác.

Tại sao họ lại đưa ra cách phân chia như vậy? Có vẻ như có một X bình phương, và không sao. Sự phân chia như vậy là do các phương pháp giải. Hãy xem xét từng chi tiết hơn.

Giải phương trình bậc hai không hoàn chỉnh

Đầu tiên, chúng ta hãy tập trung vào việc giải các phương trình bậc hai không hoàn chỉnh - chúng đơn giản hơn nhiều!

Phương trình bậc hai không đầy đủ thuộc loại:

1. , trong phương trình này hệ số bằng nhau.
2. , trong phương trình này, số hạng tự do bằng.
3. , trong phương trình này hệ số và số hạng tự do bằng nhau.

1. i. Vì chúng ta biết cách giải nén Căn bậc hai, sau đó hãy biểu diễn từ phương trình này

Biểu thức có thể là âm hoặc dương. Một số bình phương không thể là số âm, vì khi nhân hai số âm hoặc hai số dương, kết quả sẽ luôn là số dương, do đó: nếu, thì phương trình vô nghiệm.

Và nếu, thì chúng ta nhận được hai gốc. Những công thức này không cần phải ghi nhớ. Điều chính là bạn phải luôn biết và nhớ rằng nó không thể ít hơn.

Hãy thử giải một số ví dụ.

Ví dụ 5:

Giải phương trình

Bây giờ nó vẫn còn để giải nén gốc từ các phần bên trái và bên phải. Rốt cuộc, bạn có nhớ cách nhổ rễ không?

Câu trả lời:

Đừng bao giờ quên về rễ với một dấu hiệu tiêu cực !!!

Ví dụ 6:

Giải phương trình

Câu trả lời:

Ví dụ 7:

Giải phương trình

Ầm ầm! Bình phương của một số không thể âm, có nghĩa là phương trình

không có rễ!

Đối với những phương trình không có nghiệm nguyên như vậy, các nhà toán học đã nghĩ ra một biểu tượng đặc biệt - (tập trống). Và câu trả lời có thể được viết như thế này:

Câu trả lời:

Như vậy, phương trình bậc hai này có hai nghiệm. Không có hạn chế nào ở đây, vì chúng tôi đã không giải nén gốc.
Ví dụ 8:

Giải phương trình

Hãy lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:

Theo cách này,

Phương trình này có hai nghiệm.

Câu trả lời:

Loại đơn giản nhất của phương trình bậc hai không đầy đủ (mặc dù chúng đều đơn giản, phải không?). Rõ ràng, phương trình này luôn chỉ có một nghiệm nguyên:

Ở đây chúng tôi sẽ làm mà không có ví dụ.

Giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh

Chúng tôi nhắc bạn rằng phương trình bậc hai hoàn chỉnh là một phương trình có dạng phương trình trong đó

Giải phương trình bậc hai đầy đủ phức tạp hơn một chút (chỉ một chút) so với những phương trình đã cho.

Nhớ lại, bất kỳ phương trình bậc hai nào có thể được giải bằng cách sử dụng phân biệt! Thậm chí không đầy đủ.

Phần còn lại của các phương pháp sẽ giúp bạn làm điều đó nhanh hơn, nhưng nếu bạn gặp vấn đề với phương trình bậc hai, trước tiên hãy nắm vững cách giải bằng cách sử dụng phân biệt.

1. Giải phương trình bậc hai bằng phép phân biệt.

Giải phương trình bậc hai theo cách này rất đơn giản, điều chính là bạn phải nhớ chuỗi các hành động và một vài công thức.

Nếu, thì phương trình có một căn Đặc biệt chú ý vẽ một bước. Phép phân biệt () cho chúng ta biết số nghiệm của phương trình.

• Nếu, thì công thức ở bước sẽ được giảm xuống. Do đó, phương trình sẽ chỉ có một nghiệm nguyên.
• Nếu, thì chúng tôi sẽ không thể trích xuất gốc của phân biệt ở bước. Điều này chỉ ra rằng phương trình không có nghiệm nguyên.

Hãy quay lại phương trình của chúng ta và xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ 9:

Giải phương trình

Bước 1 nhảy.

Bước 2

Tìm điểm phân biệt:

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Bước 3

Câu trả lời:

Ví dụ 10:

Giải phương trình

Phương trình ở dạng chuẩn, vì vậy Bước 1 nhảy.

Bước 2

Tìm điểm phân biệt:

Vậy phương trình có một căn.

Câu trả lời:

Ví dụ 11:

Giải phương trình

Phương trình ở dạng chuẩn, vì vậy Bước 1 nhảy.

Bước 2

Tìm điểm phân biệt:

Điều này có nghĩa là chúng tôi sẽ không thể trích xuất gốc từ phân biệt. Không có nghiệm nguyên của phương trình.

Bây giờ chúng ta biết làm thế nào để viết ra những câu trả lời như vậy một cách chính xác.

Câu trả lời: không có rễ

2. Giải phương trình bậc hai bằng định lý Vieta.

Nếu bạn nhớ, thì có một loại phương trình được gọi là rút gọn (khi hệ số a bằng):

Các phương trình như vậy rất dễ giải bằng cách sử dụng định lý Vieta:

Tổng của rễ được phương trình bậc hai bằng nhau, và tích của các căn bằng nhau.

Ví dụ 12:

Giải phương trình

Phương trình này phù hợp để giải bằng cách sử dụng định lý Vieta, bởi vì .

Tổng các nghiệm của phương trình là, tức là chúng tôi nhận được phương trình đầu tiên:

Và sản phẩm là:

Hãy tạo và giải quyết hệ thống:

• và. Tổng là;
• và. Tổng là;
• và. Số lượng bằng nhau.

và là giải pháp của hệ thống:

Câu trả lời: ; .

Ví dụ 13:

Giải phương trình

Câu trả lời:

Ví dụ 14:

Giải phương trình

Phương trình được rút gọn, có nghĩa là:

Câu trả lời:

THIẾT BỊ QUADRATIC. CẤP ĐỘ TRUNG BÌNH

Một phương trình bậc hai là gì?

Nói cách khác, phương trình bậc hai là một phương trình có dạng, trong đó - chưa biết, - một số, hơn nữa.

Con số được gọi là cao nhất hoặc hệ số đầu tiên phương trình bậc hai, - hệ số thứ hai, một - thành viên miễn phí.

Tại sao? Bởi vì nếu, phương trình sẽ ngay lập tức trở thành tuyến tính, bởi vì sẽ biến mất.

Trong trường hợp này, và có thể bằng không. Trong phương trình phân này được gọi là không đầy đủ. Nếu tất cả các số hạng ở đúng vị trí, nghĩa là phương trình đã hoàn thành.

Các giải pháp cho các loại phương trình bậc hai

Các phương pháp giải phương trình bậc hai không hoàn toàn:

Để bắt đầu, chúng ta sẽ phân tích các phương pháp giải phương trình bậc hai không hoàn toàn - chúng đơn giản hơn.

Có thể phân biệt các loại phương trình sau:

I., trong phương trình này, hệ số và số hạng tự do bằng nhau.

II. , trong phương trình này hệ số bằng nhau.

III. , trong phương trình này, số hạng tự do bằng.

Bây giờ hãy xem xét giải pháp của từng kiểu con này.

Rõ ràng, phương trình này luôn chỉ có một nghiệm nguyên:

Một số bình phương không thể là số âm, bởi vì khi nhân hai số âm hoặc hai số dương, kết quả sẽ luôn là một số dương. Đó là lý do tại sao:

nếu thì phương trình vô nghiệm;

nếu chúng ta có hai gốc rễ

Những công thức này không cần phải ghi nhớ. Điều chính cần nhớ là nó không thể ít hơn.

Ví dụ:

Các giải pháp:

Câu trả lời:

Đừng bao giờ quên rễ với một dấu hiệu tiêu cực!

Bình phương của một số không thể âm, có nghĩa là phương trình

không có rễ.

Để viết ngắn gọn rằng vấn đề không có giải pháp, chúng tôi sử dụng biểu tượng tập hợp trống.

Câu trả lời:

Vì vậy, phương trình này có hai nghiệm: và.

Câu trả lời:

Hãy lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:

Tích bằng 0 nếu ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Điều này có nghĩa là phương trình có nghiệm khi:

Vì vậy, phương trình bậc hai này có hai nghiệm: và.

Thí dụ:

Giải phương trình.

Dung dịch:

Chúng ta phân tích vế trái của phương trình và tìm nghiệm nguyên:

Câu trả lời:

Các phương pháp giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

1. Phân biệt đối xử

Giải phương trình bậc hai theo cách này rất dễ dàng, điều chính là bạn phải nhớ chuỗi các hành động và một vài công thức. Hãy nhớ rằng, bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng có thể được giải bằng cách sử dụng phân biệt! Thậm chí không đầy đủ.

Bạn có nhận thấy gốc của số phân biệt trong công thức gốc không? Nhưng yếu tố phân biệt có thể là tiêu cực. Để làm gì? Chúng ta cần đặc biệt chú ý đến bước 2. Phân thức cho chúng ta biết số nghiệm của phương trình.

• Nếu, thì phương trình có một căn:
• Nếu, thì phương trình có cùng một căn, nhưng trên thực tế, một căn:

  Những rễ như vậy được gọi là rễ kép.

• Nếu, thì gốc của phân biệt không được trích xuất. Điều này chỉ ra rằng phương trình không có nghiệm nguyên.

Tại sao nó có thể số tiền khác nhau rễ? Hãy chuyển sang cảm giác hình học phương trình bậc hai. Đồ thị của hàm số là một parabol:

Trong một trường hợp cụ thể, đó là một phương trình bậc hai,. Và điều này có nghĩa là nghiệm nguyên của phương trình bậc hai là giao điểm với trục (trục) x. Parabol có thể hoàn toàn không cắt qua trục, hoặc nó có thể cắt nó tại một (khi đỉnh của parabol nằm trên trục) hoặc hai điểm.

Ngoài ra, hệ số chịu trách nhiệm về hướng của các nhánh của parabol. Nếu, thì các nhánh của parabol hướng lên trên, và nếu - thì hướng xuống dưới.

Ví dụ:

Các giải pháp:

Câu trả lời:

Câu trả lời: .

Câu trả lời:

Điều này có nghĩa là không có giải pháp.

Câu trả lời: .

2. Định lý Vieta

Sử dụng định lý Vieta rất dễ dàng: bạn chỉ cần chọn một cặp số có tích bằng số hạng tự do của phương trình, và tổng bằng hệ số thứ hai, lấy với dấu đối diện.

Điều quan trọng cần nhớ là định lý Vieta chỉ có thể áp dụng cho phương trình bậc hai () đã cho.

Hãy xem một vài ví dụ:

Ví dụ 1:

Giải phương trình.

Dung dịch:

Phương trình này thích hợp để giải bằng cách sử dụng định lý Vieta, bởi vì . Các hệ số khác :; .

Tổng các nghiệm của phương trình là:

Và sản phẩm là:

Hãy chọn các cặp số như vậy, tích của chúng bằng nhau và kiểm tra xem tổng của chúng có bằng nhau không:

• và. Tổng là;
• và. Tổng là;
• và. Số lượng bằng nhau.

và là giải pháp của hệ thống:

Do đó, và là gốc của phương trình của chúng tôi.

Câu trả lời: ; .

Ví dụ số 2:

Dung dịch:

Chúng tôi chọn các cặp số như vậy cho trong tích, sau đó kiểm tra xem tổng của chúng có bằng nhau hay không:

và: tổng cộng.

và: tổng cộng. Để có được nó, bạn chỉ cần thay đổi các dấu hiệu của nguồn gốc bị cáo buộc: và sau cùng là sản phẩm.

Câu trả lời:

Ví dụ # 3:

Dung dịch:

Số hạng tự do của phương trình là số âm, và do đó tích của các nghiệm nguyên - một số âm. Điều này chỉ có thể thực hiện được nếu một trong các gốc là âm và gốc kia là dương. Vậy tổng của các gốc là sự khác biệt của các mô-đun của chúng.

Chúng tôi chọn các cặp số như vậy để đưa ra sản phẩm và sự khác biệt của chúng bằng:

và: sự khác biệt của chúng là - không phù hợp;

và: - không phù hợp;

và: - không phù hợp;

và: - phù hợp. Nó vẫn chỉ để nhớ rằng một trong những gốc là âm. Vì tổng của chúng phải bằng nhau nên căn nhỏ hơn có giá trị tuyệt đối phải là số âm:. Chung ta kiểm tra:

Câu trả lời:

Ví dụ # 4:

Giải phương trình.

Dung dịch:

Phương trình được rút gọn, có nghĩa là:

Số hạng tự do là âm, và do đó tích của rễ là âm. Và điều này chỉ có thể xảy ra khi một nghiệm nguyên của phương trình là âm và nghiệm kia là dương.

Chúng tôi chọn những cặp số như vậy mà tích của chúng bằng nhau, sau đó xác định gốc nào sẽ có dấu âm:

Rõ ràng, chỉ có rễ và phù hợp với điều kiện đầu tiên:

Câu trả lời:

Ví dụ số 5:

Giải phương trình.

Dung dịch:

Phương trình được rút gọn, có nghĩa là:

Tổng của các gốc là âm, có nghĩa là ít nhất một trong các gốc là âm. Nhưng vì sản phẩm của họ là tích cực, nó có nghĩa là cả hai gốc đều bị trừ.

Chúng tôi chọn các cặp số như vậy, tích của chúng bằng:

Rõ ràng, gốc rễ là những con số và.

Câu trả lời:

Đồng ý, nó rất thuận tiện - để phát minh ra rễ bằng miệng, thay vì đếm thứ phân biệt đối xử khó chịu này. Cố gắng sử dụng định lý Vieta thường xuyên nhất có thể.

Nhưng định lý Vieta là cần thiết để tạo điều kiện và tăng tốc độ tìm nghiệm. Để tạo ra lợi nhuận cho bạn khi sử dụng nó, bạn phải đưa các hành động trở thành chủ nghĩa tự động. Và đối với điều này, hãy giải quyết năm ví dụ khác. Nhưng đừng gian lận: bạn không thể sử dụng từ phân biệt! Chỉ định lý Vieta:

Giải pháp cho các nhiệm vụ cho công việc độc lập:

Nhiệm vụ 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Theo định lý Vieta:

Như thường lệ, chúng tôi bắt đầu lựa chọn với sản phẩm:

Không phù hợp vì số lượng;

: số lượng là những gì bạn cần.

Câu trả lời: ; .

Nhiệm vụ 2.

Và một lần nữa, định lý Vieta yêu thích của chúng tôi: tổng tính ra, nhưng tích bằng nhau.

Nhưng vì nó không nên, nhưng, chúng tôi thay đổi các dấu hiệu của các gốc: và (tổng thể).

Câu trả lời: ; .

Nhiệm vụ 3.

Hmm ... Nó ở đâu?

Cần chuyển tất cả các điều khoản thành một phần:

Tổng của các gốc bằng tích.

Vâng, dừng lại! Phương trình không cho trước. Nhưng định lý Vieta chỉ áp dụng được trong các phương trình đã cho. Vì vậy, trước tiên bạn cần đưa phương trình. Nếu bạn không thể nói ra, hãy bỏ ý tưởng này và giải quyết nó theo cách khác (ví dụ: thông qua người phân biệt). Hãy để tôi nhắc bạn rằng để đưa về một phương trình bậc hai có nghĩa là làm cho hệ số hàng đầu bằng:

Xuất sắc. Khi đó tổng của các gốc bằng nhau, và tích.

Ở đây dễ lấy hơn: xét cho cùng - một số nguyên tố (xin lỗi vì tính nguyên tố).

Câu trả lời: ; .

Nhiệm vụ 4.

Thời hạn miễn phí là số âm. Nó có gì đặc biệt? Và thực tế là rễ sẽ có các dấu hiệu khác nhau. Và bây giờ, trong quá trình lựa chọn, chúng tôi không kiểm tra tổng của các gốc, mà là sự khác biệt giữa các mô-đun của chúng: sự khác biệt này là bằng nhau, nhưng là sản phẩm.

Vì vậy, các gốc bằng nhau và, nhưng một trong số chúng bằng một số trừ. Định lý Vieta cho chúng ta biết rằng tổng của các căn bằng hệ số thứ hai với dấu ngược lại, nghĩa là. Điều này có nghĩa là gốc nhỏ hơn sẽ có dấu trừ: và, kể từ.

Câu trả lời: ; .

Nhiệm vụ 5.

Điều gì cần phải được thực hiện đầu tiên? Đúng vậy, đưa ra phương trình:

Một lần nữa: chúng tôi chọn các yếu tố của số và sự khác biệt của chúng phải bằng:

Các rễ bằng nhau và, nhưng một trong số chúng là trừ. Cái mà? Tổng của chúng phải bằng nhau, có nghĩa là với một số trừ sẽ có một căn lớn hơn.

Câu trả lời: ; .

Hãy để tôi tóm tắt:

1. Định lý Vieta chỉ được sử dụng trong các phương trình bậc hai đã cho.
2. Sử dụng định lý Vieta, bạn có thể tìm các nghiệm nguyên bằng cách chọn, bằng miệng.
3. Nếu phương trình không được cho trước hoặc không tìm thấy cặp thừa số thích hợp của số hạng tự do, thì không có nghiệm nguyên và bạn cần giải nó theo cách khác (ví dụ: thông qua phép phân biệt).

3. Phương pháp chọn hình vuông đầy đủ

Nếu tất cả các số hạng chứa ẩn số được biểu diễn dưới dạng các số hạng từ công thức của phép nhân viết tắt - bình phương của tổng hoặc hiệu - thì sau khi thay đổi các biến, phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình bậc hai không đầy đủ của loại.

Ví dụ:

Ví dụ 1:

Giải phương trình:.

Dung dịch:

Câu trả lời:

Ví dụ 2:

Giải phương trình:.

Dung dịch:

Câu trả lời:

Nói chung, sự chuyển đổi sẽ trông như thế này:

Điều này nghĩa là: .

Nó không nhắc bạn về điều gì sao? Đó là sự phân biệt đối xử! Đó chính xác là cách thu được công thức phân biệt.

THIẾT BỊ QUADRATIC. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

Phương trình bậc hai là một phương trình có dạng, trong đó là ẩn số, là các hệ số của phương trình bậc hai, là số hạng tự do.

Hoàn thành phương trình bậc hai- một phương trình trong đó các hệ số không bằng không.

Phương trình bậc hai rút gọn- một phương trình trong đó hệ số, nghĩa là:.

Phương trình bậc hai không đầy đủ- một phương trình trong đó hệ số và số hạng tự do c bằng 0:

• nếu hệ số, phương trình có dạng:,
• nếu một số hạng tự do, phương trình có dạng:,
• nếu và, phương trình có dạng:.

1. Thuật toán giải phương trình bậc hai không hoàn toàn.

1.1. Một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng, trong đó:

1) Thể hiện điều chưa biết:,

2) Kiểm tra dấu của biểu thức:

• nếu, thì phương trình không có nghiệm,
• nếu, thì phương trình có hai nghiệm.

1.2. Một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng, trong đó:

1) Hãy lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:,

2) Tích bằng không nếu ít nhất một trong các thừa số bằng không. Do đó, phương trình có hai nghiệm:

1.3. Một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng, trong đó:

Phương trình này luôn chỉ có một nghiệm nguyên:.

2. Thuật toán giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh có dạng

2.1. Giải pháp sử dụng phân biệt

1) Chúng tôi đưa phương trình về chế độ xem tiêu chuẩn: ,

2) Tính số phân biệt bằng công thức:, cho biết số nghiệm của phương trình:

3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

• nếu, thì phương trình có một căn, được tìm bằng công thức:
• nếu, thì phương trình có một căn, được tìm bằng công thức:
• nếu, thì phương trình không có nghiệm.

2.2. Lời giải sử dụng định lý Vieta

Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn (một phương trình có dạng, trong đó) bằng nhau và tích của các nghiệm bằng nhau, tức là , một.

2.3. Giải pháp đầy đủ hình vuông

Phương trình bậc hai được học ở lớp 8 nên không có gì phức tạp ở đây. Khả năng giải quyết chúng là điều cần thiết.

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c là các số tùy ý và a ≠ 0.

Trước khi học các phương pháp cụ thể giải pháp, chúng tôi lưu ý rằng tất cả các phương trình bậc hai có thể được chia thành ba loại có điều kiện:

1. Không có rễ;
2. Chúng có chính xác một gốc;
3. Chúng có hai gốc khác nhau.

Đây là sự khác biệt quan trọng giữa phương trình bậc hai và phương trình tuyến tính, trong đó căn luôn tồn tại và là duy nhất. Làm thế nào để xác định một phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên? Có một điều tuyệt vời cho điều này - phân biệt đối xử.

Phân biệt đối xử

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0. Khi đó phân thức đơn giản là dãy số D = b 2 - 4ac.

Công thức này phải thuộc lòng. Nó đến từ đâu bây giờ không còn quan trọng nữa. Một điều quan trọng nữa là: bằng dấu của phân thức, bạn có thể xác định một phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm nguyên. Cụ thể:

1. Nếu D< 0, корней нет;
2. Nếu D = 0 thì có đúng một căn;
3. Nếu D> 0, sẽ có hai gốc.

Xin lưu ý: dấu hiệu phân biệt cho biết số lượng rễ chứ không phải tất cả các dấu hiệu của chúng, như nhiều người vẫn nghĩ. Hãy xem các ví dụ và bạn sẽ tự hiểu mọi thứ:

Một nhiệm vụ. Phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm nguyên:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Chúng tôi viết các hệ số cho phương trình đầu tiên và tìm phân biệt:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Vì vậy, phân biệt là số dương nên phương trình có hai nghiệm khác nhau. Chúng tôi phân tích phương trình thứ hai theo cách tương tự:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \ u003d 3 2 - 4 5 7 \ u003d 9 - 140 \ u003d -131.

Phân biệt là tiêu cực, không có gốc rễ. Phương trình cuối cùng vẫn là:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Số phân biệt bằng 0 - gốc sẽ là một.

Lưu ý rằng các hệ số đã được viết ra cho mỗi phương trình. Vâng, nó dài, vâng, nó tẻ nhạt - nhưng bạn sẽ không trộn lẫn các tỷ lệ cược và không mắc những sai lầm ngớ ngẩn. Chọn cho mình: tốc độ hoặc chất lượng.

Nhân tiện, nếu bạn “điền đầy tay”, sau một thời gian, bạn sẽ không cần phải viết ra tất cả các hệ số nữa. Bạn sẽ thực hiện các thao tác như vậy trong đầu. Hầu hết mọi người bắt đầu làm điều này ở đâu đó sau khi giải được 50-70 phương trình - nói chung, không quá nhiều.

Căn của một phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải pháp. Nếu số phân biệt D> 0, các gốc có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:

Công thức cơ bản cho nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Khi D = 0, bạn có thể sử dụng bất kỳ công thức nào trong số này - bạn sẽ nhận được cùng một số, đó sẽ là câu trả lời. Cuối cùng, nếu D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Phương trình đầu tiên:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm. Hãy tìm chúng:

Phương trình thứ hai:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ phương trình lại có hai nghiệm. Hãy tìm chúng

\ [\ begin (align) & (x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (căn chỉnh) \]

Cuối cùng, phương trình thứ ba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ phương trình có một nghiệm nguyên. Bất kỳ công thức nào cũng có thể được sử dụng. Ví dụ: cái đầu tiên:

Như bạn có thể thấy từ các ví dụ, mọi thứ rất đơn giản. Nếu bạn biết các công thức và có thể đếm, sẽ không có vấn đề gì. Thông thường, lỗi xảy ra khi các hệ số âm được thay thế vào công thức. Ở đây, một lần nữa, kỹ thuật được mô tả ở trên sẽ giúp ích: nhìn vào công thức theo nghĩa đen, vẽ từng bước - và loại bỏ những sai lầm rất sớm.

Phương trình bậc hai không đầy đủ

Điều xảy ra là phương trình bậc hai hơi khác với những gì được đưa ra trong định nghĩa. Ví dụ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

Dễ dàng nhận thấy rằng một trong các số hạng bị thiếu trong các phương trình này. Những phương trình bậc hai như vậy thậm chí còn dễ giải hơn những phương trình tiêu chuẩn: chúng thậm chí không cần tính số phân biệt. Vì vậy, hãy giới thiệu một khái niệm mới:

Phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là phương trình bậc hai không hoàn toàn nếu b = 0 hoặc c = 0, tức là hệ số của biến x hoặc phần tử tự do bằng không.

Tất nhiên, một trường hợp rất khó có thể xảy ra khi cả hai hệ số này đều bằng 0: b \ u003d c \ u003d 0. Trong trường hợp này, phương trình có dạng ax 2 \ u003d 0. Rõ ràng, một phương trình như vậy có một gốc: x \ u003d 0.

Chúng ta hãy xem xét các trường hợp khác. Đặt b \ u003d 0, sau đó chúng ta nhận được một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 + c \ u003d 0. Hãy biến đổi một chút:

Vì căn bậc hai số học chỉ tồn tại từ một số không âm nên hằng đẳng thức cuối cùng chỉ có nghĩa khi (−c / a) ≥ 0. Kết luận:

1. Nếu một phương trình bậc hai không hoàn toàn dạng ax 2 + c = 0 thỏa mãn bất phương trình (−c / a) ≥ 0 thì sẽ có hai nghiệm nguyên. Công thức được đưa ra ở trên;
2. Nếu (−c / a)< 0, корней нет.

Như bạn có thể thấy, số phân biệt là không cần thiết - không có phép tính phức tạp nào trong phương trình bậc hai không hoàn chỉnh. Trong thực tế, thậm chí không cần nhớ bất đẳng thức (−c / a) ≥ 0. Chỉ cần biểu diễn giá trị của x 2 và xem điều gì nằm ở phía bên kia của dấu bằng. Nếu có một số dương thì sẽ có hai gốc. Nếu tiêu cực, sẽ không có rễ gì cả.

Bây giờ chúng ta hãy xử lý các phương trình có dạng ax 2 + bx = 0, trong đó phần tử tự do bằng không. Mọi thứ đều đơn giản ở đây: sẽ luôn có hai gốc. Nó là đủ để phân tích thành nhân tử của đa thức:

Lấy thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc

Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng không. Đây là nơi bắt nguồn của gốc rễ. Cuối cùng, chúng tôi sẽ phân tích một số phương trình sau:

Một nhiệm vụ. Giải phương trình bậc hai:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Không có rễ, bởi vì bình phương không thể bằng một số âm.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \ u003d -1,5.