Hàm lũy thừa y x p. Hàm lũy thừa, thuộc tính và đồ thị của chúng

Bài và thuyết trình về chủ đề: "Hàm số. Tính chất. Đồ thị"

Tài liệu bổ sung
Người dùng thân mến, đừng quên để lại ý kiến, phản hồi, đề xuất của bạn! Tất cả các tài liệu được kiểm tra bởi một chương trình chống vi-rút.

Máy trợ giảng và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến "Tích phân" dành cho lớp 11
Sách hướng dẫn tương tác cho lớp 9-11 "Lượng giác"
Sách hướng dẫn tương tác cho lớp 10-11 "Logarit"

Hàm lũy thừa, miền xác định.

Các bạn ơi, trong bài học trước chúng ta đã học cách làm việc với các số với số mũ hữu tỉ. Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét các hàm lũy thừa và tự giới hạn trong trường hợp số mũ là hữu tỉ.
Chúng ta sẽ xem xét các hàm có dạng: $ y = x ^ (\ frac (m) (n)) $.
Đầu tiên chúng ta hãy xem xét các hàm có số mũ là $ \ frac (m) (n)> 1 $.
Hãy cho chúng ta một hàm cụ thể $ y = x ^ 2 * 5 $.
Theo định nghĩa mà chúng ta đã đưa ra trong bài học trước: nếu $ x≥0 $ thì miền của hàm số của chúng ta là tia $ (x) $. Hãy mô tả một cách giản đồ đồ thị hàm số của chúng ta.

Tính chất của hàm $ y = x ^ (\ frac (m) (n)) $, $ 0 2. Không chẵn cũng không lẻ.
3. Tăng thêm $$,
b) $ (2,10) $,
c) trên tia $$.
Quyết định.
Các bạn ơi, các bạn có nhớ cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn ở lớp 10 không?
Đúng vậy, chúng tôi đã sử dụng đạo hàm. Hãy giải ví dụ của chúng tôi và lặp lại thuật toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.
1. Tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
$ y "= \ frac (16) (5) * \ frac (5) (2) x ^ (\ frac (3) (2)) - x ^ 3 = 8x ^ (\ frac (3) (2)) -x ^ 3 = 8 \ sqrt (x ^ 3) -x ^ 3 $.
2. Đạo hàm tồn tại trên toàn miền của nguyên hàm thì không tồn tại điểm tới hạn. Hãy tìm các điểm đứng yên:
$ y "= 8 \ sqrt (x ^ 3) -x ^ 3 = 0 $.
$ 8 * \ sqrt (x ^ 3) = x ^ 3 $.
$ 64x ^ 3 = x ^ 6 $.
$ x ^ 6-64x ^ 3 = 0 $.
$ x ^ 3 (x ^ 3-64) = 0 $.
$ x_1 = 0 $ và $ x_2 = \ sqrt (64) = 4 $.
Chỉ có một nghiệm $ x_2 = 4 $ thuộc đoạn đã cho.
Hãy xây dựng một bảng các giá trị của hàm số của chúng ta ở cuối đoạn và tại điểm cực trị:
Trả lời: $ y_ (name) = - 862,65 $ với $ x = 9 $; $ y_ (max) = 38,4 $ cho $ x = 4 $.

Ví dụ. Giải phương trình: $ x ^ (\ frac (4) (3)) = 24-x $.
Quyết định. Đồ thị của hàm $ y = x ^ (\ frac (4) (3)) $ đang tăng trong khi đồ thị của hàm $ y = 24-x $ đang giảm. Các bạn và tôi biết: nếu một hàm tăng và hàm kia giảm thì chúng chỉ cắt nhau tại một điểm, tức là ta chỉ có một nghiệm.
Ghi chú:
$ 8 ^ (\ frac (4) (3)) = \ sqrt (8 ^ 4) = (\ sqrt (8)) ^ 4 = 2 ^ 4 = 16 $.
$24-8=16$.
Tức là, với $ х = 8 $, chúng ta có đẳng thức đúng $ 16 = 16 $, đây là nghiệm của phương trình của chúng ta.
Đáp số: $ x = 8 $.

Ví dụ.
Vẽ đồ thị của hàm: $ y = (x-3) ^ \ frac (3) (4) + 2 $.
Quyết định.
Đồ thị của hàm số của chúng ta nhận được từ đồ thị của hàm $ y = x ^ (\ frac (3) (4)) $, dịch nó sang phải 3 đơn vị và lên 2 đơn vị.

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường thẳng $ y = x ^ (- \ frac (4) (5)) $ tại điểm $ x = 1 $.
Quyết định. Phương trình tiếp tuyến được xác định theo công thức mà chúng ta đã biết:
$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $.
Trong trường hợp của chúng ta $ a = 1 $.
$ f (a) = f (1) = 1 ^ (- \ frac (4) (5)) = 1 $.
Hãy tìm đạo hàm:
$ y "= - \ frac (4) (5) x ^ (- \ frac (9) (5)) $.
Hãy tính toán:
$ f "(a) = - \ frac (4) (5) * 1 ^ (- \ frac (9) (5)) = - \ frac (4) (5) $.
Tìm phương trình tiếp tuyến:
$ y = 1- \ frac (4) (5) (x-1) = - \ frac (4) (5) x + 1 \ frac (4) (5) $.
Trả lời: $ y = - \ frac (4) (5) x + 1 \ frac (4) (5) $.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $ y = x ^ \ frac (4) (3) $ trên đoạn:
a) $$.
b) $ (4,50) $.
c) trên tia $$.
3. Giải phương trình: $ x ^ (\ frac (1) (4)) = 18-x $.
4. Vẽ đồ thị của hàm số: $ y = (x + 1) ^ (\ frac (3) (2)) - 1 $.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường thẳng $ y = x ^ (- \ frac (3) (7)) $ tại điểm $ x = 1 $.

Các hàm y \ u003d ax, y \ u003d ax 2, y \ u003d a / x - là các loại hàm lũy thừa đặc biệt cho N = 1, N = 2, N = -1 .

Nếu N Số phân số P/ q với một mẫu số chẵn q và tử số lẻ R, sau đó là giá trị có thể có hai dấu hiệu và biểu đồ có một phần nữa ở cuối trục x X, và nó đối xứng với phần trên.

Chúng tôi thấy đồ thị của một hàm hai giá trị y \ u003d ± 2x 1/2, tức là được biểu diễn bằng một parabol với trục hoành.

Đồ thị hàm số y = xN tại N = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Các đồ thị này đi qua điểm (1; 1).

Khi nào N = -1 chúng tôi nhận được cường điệu hóa. Tại N < - 1 đồ thị của hàm lũy thừa đầu tiên nằm trên hyperbol, tức là ở giữa x = 0 và x = 1, và sau đó bên dưới (tại x> 1). Nếu một N> -1 đồ thị chạy ngược lại. Giá trị âm X và giá trị phân số N tương tự cho tích cực N.

Tất cả các đồ thị đều tiếp cận vô thời hạn theo trục x X, cũng như trục y tại mà không cần tiếp xúc với họ. Bởi vì chúng giống với một hyperbol, những đồ thị này được gọi là hyperbol. N thứ tự gọi món.

Dữ liệu tham khảo về hàm mũ được cung cấp - các thuộc tính, đồ thị và công thức cơ bản. Các câu hỏi sau được xem xét: miền định nghĩa, tập giá trị, tính đơn điệu, hàm ngược, đạo hàm, tích phân, khai triển chuỗi lũy thừa và biểu diễn bằng số phức.

Sự định nghĩa

Hàm số mũ là một tổng quát của tích của n số bằng a:
y (n) = a n = a a a a,
vào tập hợp các số thực x:
y (x) = x.
Đây là một số thực cố định, được gọi là cơ số của hàm mũ.
Một hàm mũ với cơ số a còn được gọi là hàm mũ đến cơ số a.

Việc tổng quát hóa được thực hiện như sau.
Đối với x = tự nhiên 1, 2, 3,... , hàm số mũ là tích của x thừa số:
.
Hơn nữa, nó có các thuộc tính (1.5-8) (), tuân theo các quy tắc nhân các số. Tại các giá trị 0 và âm của số nguyên, hàm số mũ được xác định theo công thức (1.9-10). Đối với các giá trị phân số x = m / n của một số hữu tỉ, nó được xác định theo công thức (1.11). Đối với thực, hàm mũ được định nghĩa là giới hạn của dãy số:
,
trong đó là một dãy số hữu tỉ tùy ý hội tụ đến x:.
Với định nghĩa này, hàm mũ được xác định cho tất cả, và thỏa mãn các tính chất (1,5-8), cũng như cho x tự nhiên.

Công thức toán học chặt chẽ về định nghĩa của hàm số mũ và cách chứng minh các tính chất của nó được cung cấp trên trang "Định nghĩa và chứng minh các tính chất của hàm số mũ".

Các thuộc tính của hàm mũ

Hàm mũ y = a x có các tính chất sau trên tập các số thực ():
(1.1) được xác định và liên tục, cho, cho tất cả;
(1.2) khi một ≠ 1 có nhiều nghĩa;
(1.3) tăng nghiêm ngặt tại, giảm nghiêm ngặt tại,
là hằng số tại;
(1.4) tại ;
tại ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Các công thức hữu ích khác
.
Công thức chuyển đổi thành hàm số mũ với cơ số lũy thừa khác:

Với b = e, chúng ta nhận được biểu thức của hàm số mũ dưới dạng số mũ:

Giá trị riêng tư

, , , , .

Hình bên cho thấy đồ thị của hàm số mũ
y (x) = x
cho bốn giá trị căn cứ độ: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 và a = 1/8 . Có thể thấy rằng đối với một> 1 hàm số mũ đang tăng đơn điệu. Cơ sở của độ a càng lớn thì sinh trưởng càng mạnh. Tại 0 < a < 1 hàm số mũ là đơn điệu giảm dần. Số mũ a càng nhỏ thì giảm càng mạnh.

Tăng dần, giảm dần

Hàm số mũ tại là đơn điệu nên nó không có cực trị. Các thuộc tính chính của nó được trình bày trong bảng.

	y = a x, a> 1	y = x, 0 < a < 1
Lãnh địa	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Phạm vi giá trị	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Giọng bằng bằng	tăng đơn điệu	giảm đơn điệu
Zeros, y = 0	Không	Không
Giao điểm với trục y, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Chức năng trái ngược

Nghịch đảo của một hàm số mũ với cơ số a là logarit với cơ số a.

Nếu, thì
.
Nếu, thì
.

Sự khác biệt của hàm số mũ

Để phân biệt một hàm số mũ, cơ số của nó phải rút gọn thành số e, áp dụng bảng đạo hàm và quy tắc phân biệt một hàm số phức.

Để làm điều này, bạn cần sử dụng thuộc tính của logarit
và công thức từ bảng đạo hàm:
.

Cho một hàm số mũ được cho:
.
Chúng tôi mang nó đến cơ sở e:

Ta áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một biến

sau đó

Từ bảng đạo hàm ta có (thay biến x bằng z):
.
Vì là một hằng số, nên đạo hàm của z đối với x là
.
Theo quy luật phân hoá của một hàm phức:
.

Đạo hàm của hàm số mũ

.
Đạo hàm của đơn hàng thứ n:
.
Bắt nguồn của công thức>>>

Một ví dụ về phân biệt một hàm số mũ

Tìm đạo hàm của một hàm số
y = 35 x

Quyết định

Chúng ta biểu diễn cơ sở của hàm số mũ dưới dạng số e.
3 = e log 3
sau đó
.
Chúng tôi giới thiệu một biến
.
sau đó

Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.
Trong chừng mực 5ln 3 là một hằng số, thì đạo hàm của z đối với x là:
.
Theo quy luật phân hoá của một hàm phức, ta có:
.

Trả lời

Tích phân

Biểu thức dưới dạng số phức

Xét hàm số phức z:
f (z) = az
trong đó z = x + iy; tôi 2 = - 1 .
Chúng ta biểu thị hằng số phức a theo môđun r và đối số φ:
a = r e i φ
sau đó


.
Đối số φ không được xác định duy nhất. Nói chung
φ = φ 0 + 2 pn,
với n là một số nguyên. Do đó, hàm f (z) cũng mơ hồ. Thường được coi là tầm quan trọng chính của nó
.

Mở rộng hàng loạt

.

Người giới thiệu:
TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay Toán học cho Kỹ sư và Sinh viên của các Cơ sở Giáo dục Đại học, Lan, 2009.

1. Hàm lũy thừa, các tính chất và đồ thị của nó;

2. Biến đổi:

Chuyển giao song song;

Phép đối xứng về các trục tọa độ;

Đối xứng về nguồn gốc;

Phép đối xứng về đường thẳng y = x;

Kéo dài và co lại dọc theo các trục tọa độ.

3. Một hàm số mũ, các tính chất của nó và vẽ đồ thị, các phép biến hình đồng dạng;

4. Hàm số lôgarit, các tính chất và đồ thị của nó;

5. Hàm số lượng giác, các tính chất và đồ thị của nó, các phép biến hình đồng dạng (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Hàm: y = x \ n - thuộc tính và đồ thị của nó.

Hàm lũy thừa, các thuộc tính và đồ thị của nó

y \ u003d x, y \ u003d x 2, y \ u003d x 3, y \ u003d 1 / x v.v ... Tất cả các hàm này là các trường hợp đặc biệt của hàm nguồn, tức là hàm y = xp, trong đó p là một số thực cho trước.
Các thuộc tính và đồ thị của một hàm lũy thừa về cơ bản phụ thuộc vào các thuộc tính của một lũy thừa với số mũ thực, và đặc biệt là vào các giá trị mà x và P có ý nghĩa xp. Hãy để chúng tôi tiến hành xem xét tương tự đối với các trường hợp khác nhau, tùy thuộc vào
số mũ P.

1. Chỉ báo p = 2n là một số tự nhiên chẵn.

y = x2n, ở đâu N là một số tự nhiên và có các tính chất sau:

• miền định nghĩa là tất cả các số thực, tức là tập R;
• tập hợp các giá trị - các số không âm, tức là y lớn hơn hoặc bằng 0;
• hàm số y = x2n thậm chí, bởi vì x 2n = (-x) 2n
• chức năng đang giảm dần trong khoảng thời gian x< 0 và tăng lên trong khoảng thời gian x> 0.

Đồ thị hàm số y = x2n có dạng giống như, ví dụ, đồ thị của một hàm y = x4.

2. Chỉ số p = 2n - 1- số tự nhiên lẻ

Trong trường hợp này, hàm nguồn y = x2n-1, ở đâu là một số tự nhiên, có các thuộc tính sau:

• miền xác định - tập R;
• tập hợp các giá trị - đặt R;
• hàm số y = x2n-1 lẻ vì (- x) 2n-1= x 2n-1;
• hàm đang tăng trên toàn bộ trục thực.

Đồ thị hàm số y = x2n-1 y = x3.

3. Chỉ báo p = -2n, ở đâu N- số tự nhiên.

Trong trường hợp này, hàm nguồn y = x-2n = 1 / x2n có các thuộc tính sau:

• tập hợp các giá trị - số dương y> 0;
• chức năng y = 1 / x2n thậm chí, bởi vì 1 / (- x) 2n= 1 / x2n;
• hàm số đang tăng trên khoảng x0.

Đồ thị của hàm y = 1 / x2n có dạng giống như, ví dụ, đồ thị của hàm số y = 1 / x2.

4. Chỉ báo p = - (2n-1), ở đâu N- số tự nhiên.
Trong trường hợp này, hàm nguồn y = x- (2n-1) có các thuộc tính sau:

• miền xác định là tập R, ngoại trừ x = 0;
• tập hợp các giá trị - đặt R, ngoại trừ y = 0;
• hàm số y = x- (2n-1) lẻ vì (- x) - (2n-1) = -x- (2n-1);
• chức năng đang giảm dần theo khoảng thời gian x< 0 và x> 0.

Đồ thị hàm số y = x- (2n-1) có dạng giống như, ví dụ, đồ thị của hàm y = 1 / x3.