Khái niệm về công thức tích phân số. Hướng dẫn Nghiên cứu Phương pháp Toán học trong Địa lý

Trang 1

Khoa Toán cao cấp
Trừu tượng:

Hoàn thành bởi: Matveev F.I.
Kiểm tra bởi: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Phương pháp tích phân số

2. Suy ra công thức Simpson

3. minh họa hình học

4. Lựa chọn bước tích hợp

5. ví dụ

1. Phương pháp tích phân số
Nhiệm vụ hội nhập số là tính tích phân

thông qua một loạt các giá trị của tích hợp
.

Các bài toán tích phân số phải được giải cho các hàm cho trong bảng, một hàm mà tích phân không được đưa vào chức năng cơ bản, vân vân. Chỉ xem xét các chức năng của một biến.

Thay vì hàm được tích hợp, chúng ta hãy tích hợp đa thức nội suy. Các phương pháp dựa trên việc thay thế tích phân bằng một đa thức nội suy cho phép ước tính độ chính xác của kết quả bằng các tham số của đa thức hoặc chọn các tham số này với độ chính xác nhất định.

Các phương pháp số có thể được phân nhóm có điều kiện theo phương pháp xấp xỉ tích phân.

Phương pháp Newton-Cotes dựa trên tính gần đúng của hàm
đa thức bậc . Thuật toán của lớp này chỉ khác nhau về mức độ của đa thức. Theo quy luật, các nút của đa thức gần đúng có quan hệ như nhau.

Các phương pháp tích hợp spline dựa trên tính gần đúng hàm
đa thức spline-piecewise.

Các phương pháp có độ chính xác đại số cao nhất (phương pháp Gauss) sử dụng các nút không bằng nhau được lựa chọn đặc biệt để cung cấp sai số tích phân tối thiểu cho một số nút đã cho (đã chọn).

Phương pháp Monte Carlo được sử dụng thường xuyên nhất trong tính toán nhiều tích phân, các nút được chọn ngẫu nhiên, câu trả lời là xác suất.

tổng số lỗi

giảm thiểu lôi

lỗi làm tròn

Dù chọn phương pháp nào thì trong quá trình tích phân số cũng cần tính giá trị gần đúng của tích phân và ước lượng sai số. Sai số giảm khi số n tăng lên

phân vùng của phân khúc
. Tuy nhiên, điều này làm tăng lỗi làm tròn.

bằng cách tính tổng các giá trị của tích phân trên các đoạn từng phần.

Lỗi cắt ngắn phụ thuộc vào các thuộc tính của tích phân và độ dài cắt một phần.
2. Suy ra công thức Simpson
Nếu đối với mỗi cặp đoạn
xây dựng một đa thức bậc hai, sau đó tích phân nó và sử dụng tính chất cộng của tích phân, sau đó chúng ta thu được công thức Simpson.

Xem xét chức năng tích hợp
trên phân khúc
. Hãy để chúng tôi thay thế tích phân này bằng một đa thức nội suy Lagrange bậc hai trùng với
tại các điểm:

Hãy tích hợp
:

Công thức:

và được gọi là công thức Simpson.

Thu được cho tích phân
giá trị giống như khu vực hình thang cong, giới hạn bởi trục , thẳng
,
và một parabol đi qua các điểm

Bây giờ chúng ta hãy ước tính sai số tích phân theo công thức Simpson. Chúng tôi sẽ giả định rằng trên phân khúc
có các dẫn xuất liên tục
. Soạn sự khác biệt

Định lý giá trị trung bình đã có thể được áp dụng cho mỗi trong hai tích phân này, vì
liên tục
và hàm không âm trên khoảng tích phân đầu tiên và không dương trên khoảng tích phân thứ hai (nghĩa là nó không đổi dấu trên mỗi khoảng này). Cho nên:

(chúng tôi đã sử dụng định lý giá trị trung bình bởi vì
- chức năng liên tục;
).

phân biệt
hai lần và sau đó áp dụng định lý giá trị trung bình, chúng ta thu được
một biểu thức khác:

, ở đâu

Từ cả hai ước tính cho
theo đó công thức Simpson là chính xác cho các đa thức bậc ba. Ví dụ, chúng tôi viết công thức Simpson như sau:

,
.

Nếu phân khúc
tích hợp quá lớn, sau đó nó được chia thành
các phần bằng nhau(giả định
), sau đó đến từng cặp phân đoạn lân cận
,
,...,
Công thức Simpson được sử dụng, cụ thể là:

Chúng tôi viết công thức Simpson ở dạng tổng quát:

(1)

(2)

Lỗi của công thức Simpson - phương pháp bậc 4:

,
(3)

Vì phương pháp của Simpson cho phép chúng tôi có được độ chính xác cao, nếu
không quá lớn. Nếu không, phương pháp thứ hai có thể cho độ chính xác cao hơn.

Ví dụ, đối với một hàm, hình thang tại
vì
cho kết quả chính xác
, trong khi theo công thức Simpson, chúng ta nhận được

3. Minh họa hình học

Trên phân khúc
chiều dài 2h một parabol được xây dựng đi qua ba điểm
,
. Diện tích bên dưới hình parabol nằm giữa trục OX và các đường thẳng
, Chấp nhận bằng tích phân
.

Một đặc điểm của việc áp dụng công thức Simpson là số lượng phân vùng của phân đoạn tích hợp là số chẵn.

Nếu số lượng đoạn phân hoạch là số lẻ, thì đối với ba đoạn đầu tiên, người ta nên áp dụng công thức sử dụng parabol bậc ba đi qua bốn điểm đầu tiên để tính gần đúng tích phân.

(4)

Đây là công thức "ba phần tám" của Simpson.

Đối với khoảng thời gian tích hợp tùy ý
công thức (4) có thể được "tiếp tục"; số lượng các phân đoạn một phần phải là bội số của ba (
điểm).

, m = 2,3, ... (5)

- Toàn bộ phần

Bạn có thể nhận các công thức Newton-Cotes của các đơn hàng cao hơn:

(6)

- số lượng các phân đoạn phân vùng;

- bậc của đa thức được sử dụng;

- phát sinh -thứ tự tại điểm
;

- bước tách.

Bảng 1 liệt kê các hệ số
. Mỗi dòng tương ứng với một bộ khoảng trống
các nút để xây dựng một đa thức bậc k. Để sử dụng chương trình này cho hơn bộ (ví dụ: với k = 2 và n = 6), bạn cần "tiếp tục" các hệ số, rồi thêm chúng.

Bảng 1:

k	C0	A0	a1	a2	a3	a4	a5	a6
2		1	4	1
				1	4	1
						1	4	1
		1	4	2		2	4	1	

Thuật toán ước tính sai số của công thức hình thang và Simpson có thể được viết dưới dạng:
(7),

ở đâu - hệ số phụ thuộc vào phương pháp tích phân và các tính chất của tích phân;

h - bước tích hợp;

p là bậc của phương thức.

Quy tắc Runge được sử dụng để tính sai số bằng cách tính hai lần tích phân với các bước h và kh.

(8)

(8) - một ước tính hậu kỳ. Sau đó, Ispec. = + Ro (9),
giá trị cập nhật của tích phân
.

Nếu thứ tự của phương pháp không xác định, cần tính I lần thứ ba với một bước
, I E:

từ hệ ba phương trình:

với không biết tôi, A và p chúng tôi nhận được:

(10)

Từ (10) nó theo sau
(11)

Do đó, phương pháp tính kép, sử dụng số lần cần thiết, cho phép bạn tính tích phân với một mức độ chính xác nhất định. Việc lựa chọn số lượng phân vùng cần thiết được thực hiện tự động. Trong trường hợp này, người ta có thể sử dụng nhiều lệnh gọi đến các chương trình con của các phương thức tích phân tương ứng mà không làm thay đổi thuật toán của các phương thức này. Tuy nhiên, đối với các phương pháp sử dụng các nút cách đều nhau, có thể sửa đổi các thuật toán và giảm một nửa số phép tính của tích phân bằng cách sử dụng tổng tích phân được tích lũy trong nhiều phân hoạch trước đó của khoảng tích phân. Hai giá trị gần đúng của tích phân
và
, được tính theo phương pháp hình thang với các bước và
, có liên quan bởi mối quan hệ:

Tương tự, đối với tích phân được tính bằng công thức với các bước và
, các quan hệ sau là hợp lệ:

(13)

4. Lựa chọn bước tích hợp
Để chọn bước tích hợp, bạn có thể sử dụng biểu thức của số hạng còn lại. Lấy ví dụ, số hạng còn lại của công thức Simpson:

Nếu 

, sau đó 

.

Với độ chính xác  của phương pháp tích phân, chúng tôi xác định bước thích hợp từ bất đẳng thức cuối cùng.

,
.

Tuy nhiên, phương pháp này yêu cầu đánh giá
(điều này không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được trong thực tế). Do đó, họ sử dụng các phương pháp khác để xác định ước tính độ chính xác, mà trong quá trình tính toán, có thể chọn bước h yêu cầu.

Chúng ta hãy xem xét một trong những phương pháp này. Để cho được

,

ở đâu - giá trị gần đúng của tích phân với một bước . Hãy giảm bước hai lần, phá vỡ phân đoạn
thành hai phần bằng nhau
và
(
).

Giả sử bây giờ rằng
không thay đổi quá nhanh, vì vậy
hầu như không đổi:. sau đó
và
, ở đâu
, I E
.

Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng nếu
, nghĩa là, nếu
,
, một là độ chính xác cần thiết, sau đó là bước thích hợp để tính tích phân với đủ độ chính xác. Nếu
, sau đó phép tính được lặp lại với một bước và sau đó so sánh
và
vân vân. Quy tắc này được gọi là quy tắc Runge.

Tuy nhiên, khi áp dụng quy tắc Runge, cần tính đến độ lớn của sai số tính toán: với sự giảm dần lỗi tuyệt đối tính tích phân tăng lên (sự phụ thuộc
từ tỷ lệ nghịch) và đủ nhỏ có thể lớn hơn sai số của phương pháp. Nếu vượt quá
, Sau đó bước này Không thể áp dụng quy tắc Runge và không thể đạt được độ chính xác mong muốn. Trong những trường hợp như vậy, nó là cần thiết để tăng giá trị .

Khi suy ra quy tắc của Runge, về cơ bản bạn đã sử dụng giả định rằng
. Nếu chỉ có một bảng giá trị , sau đó kiểm tra
"cho sự bền bỉ" có thể được thực hiện trực tiếp từ bảng Phát triển hơn nữa trong số các thuật toán trên cho phép bạn chuyển sang các thuật toán thích ứng, trong đó, do sự lựa chọn của một bước tích hợp khác trong các bộ phận khác nhau khoảng thời gian tích hợp tùy thuộc vào các thuộc tính
số lượng phép tính của tích phân giảm dần.

Một sơ đồ khác để tinh chỉnh các giá trị của tích phân là quy trình Eitnen. Tích phân được tính bằng các bước
, và
. Tính toán các giá trị. sau đó
(14).

Giá trị sau được lấy làm thước đo độ chính xác của phương pháp Simpson:

5. Ví dụ
ví dụ 1 Tính tích phân
theo công thức Simpson, nếu
được đưa ra bởi bảng. Ước tính sai số.

bàn số 3

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	1	0.995	0.98	0.955	0.921	0.878	0.825	0.765	0.697

Giải: Tính theo công thức (1) với

và

tích phân.

Theo quy tắc của Runge, chúng tôi nhận được
Chúng tôi đồng ý.

Ví dụ 2 Tính tích phân

Giải pháp: Chúng tôi có
. Do đó h =
= 0,1. Kết quả tính toán được thể hiện trong Bảng 4.

Bảng 4

Tính tích phân bằng công thức Simpson

tôi
0	0		y0 = 1,00000
1	0.1	0,90909
2	0.2		0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4		0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6		0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0,50000 = yn
		3,45955 (1)	2,72818 (2)

Theo công thức Simpson, chúng ta nhận được:

Hãy tính sai số của kết quả. tổng số lỗi tạo thành từ lỗi và phần còn lại . Rõ ràng là: -0.289687

4

2,35

-0,70271

-0,299026

2,4

-0,73739

-0,307246

2

2,45

-0,77023

-0,314380

2,5

-0,80114

-0,320465

4

2,55

-0,83005

-0,325510

2,6

-0,85689

-0,329573

2

2,65

-0,88158

-0,332672

2,7

-0,90407

-0,334841

4

2,75

-0,92430

-0,336109

 3.

Hãy để chúng tôi thay thế tích phân trong (2.50) bằng một đa thức nội suy Lagrange có bậc 0 đi qua giữa đoạn, điểm X = (một + b) / 2(Hình 2.5). Diện tích hình thang cong có thể được thay thế bằng diện tích hình chữ nhật, tức là

Công thức (2.52) được gọi là CÔNG THỨC PHẢN XẠ hoặc CÔNG THỨC HÀNG KHÔNG. Lỗi của nó là

Phân rã chức năng f (x) liên tiếp đối với giữa đoạn có dạng

Thay biểu thức (2.54) vào (2.53), ta được

Cơm. 2,5

Khi tính toán lỗi tích hợp, không chỉ thuật ngữ mở rộng đầu tiên mà còn cả thuật ngữ mở rộng thứ hai cũng bị hủy, được liên kết với sự lựa chọn đối xứng của nút tích hợp. Và mặc dù theo cách xây dựng, công thức là chính xác cho đa thức đơn hàng không, việc lựa chọn một nút nội suy đối xứng dẫn đến thực tế là công thức là chính xác cho bất kỳ hàm tuyến tính nào.

Giá trị của số hạng còn lại trong công thức hình chữ nhật (2.53) có thể lớn, vì hiệu (6 - a) có thể khá lớn. Để cải thiện độ chính xác, chúng tôi giới thiệu lưới

với một bước khá nhỏ h t= jc (- xt_ j và áp dụng công thức hình chữ nhật ở mỗi bước lưới. Sau đó, chúng tôi nhận được công thức tổng quát của hình chữ nhật

với thời hạn còn lại

Trên một lưới đồng nhất với một bước h t «= X ( - x t _ j = const công thức (2.56) được đơn giản hóa và có dạng

giá trị của số hạng còn lại là Thay tổng trong (2.58) bằng tích phân, chúng ta thu được

Để ước lượng của số hạng còn lại (2.58) là hợp lệ, sự tồn tại của đạo hàm cấp hai liên tục là cần thiết; nếu đạo hàm thứ hai f "x) liên tục từng phần, khi đó chỉ có thể thực hiện ước tính bất khả kháng bằng cách thay thế f "(x) giá trị tối đa của nó cho [một, 6]. Khi đó, nếu ta ký hiệu M 2 = max | f "(x)| [và phần còn lại

Trong trường hợp khi hàm f (x) được cho dưới dạng một bảng, giá trị của nó ở giữa khoảng không xác định. Giá trị này được tìm thấy, như một quy luật, bằng phép nội suy, dẫn đến việc giảm độ chính xác của công thức.

Trong trường hợp của một bảng tính thiết lập các chức năng thuận tiện khi chọn phần đầu và phần cuối của phân đoạn tích hợp làm các nút nội suy, tức là thay thế hàm f (x)Đa thức Lagrange bậc nhất. Chúng ta có

Cơm. 2,6

Trong trường hợp này, giá trị của tích phân, bằng diện tích hình thang cong, được thay thế gần đúng bằng diện tích của hình thang (Hình 2.6). Do đó, chúng tôi nhận được

ghi nhớ rằng x 0 \ u003d a, x r = b. Công thức này được gọi là CÔNG THỨC TRAPEZIUM. Khi sử dụng công thức hình thang cho

ước tính của lỗi tích hợp, chúng tôi tính toán J dx từ

công thức (2.18). Chúng ta có

Sai số của công thức hình thang gấp đôi sai số của công thức hình chữ nhật. Điều này được giải thích là do việc lựa chọn các hình chữ nhật trong công thức làm nút nội suy của nút đối xứng dẫn đến tăng độ chính xác của nó.

Để cải thiện độ chính xác của công thức (2.61), chúng tôi giới thiệu trên phân đoạn [a, b] lưới

Tính giá trị của tích phân cho mỗi khoảng và cộng các giá trị này, chúng ta thu được khái quát công thức hình thang

với giá trị còn lại

Các công thức này được đơn giản hóa trên lưới với bước không đổi L = L (= Xj- q :, t = const (i - 0, 1, - 1):

Chúng tôi giới thiệu ký hiệu M 2 ~ max | ГХ ^) 1 (а &] Trong thực tế, ước tính bất khả kháng của số hạng còn lại

Do đó, công thức hình thang (cũng như công thức hình chữ nhật) có độ chính xác bậc hai đối với khoảng cách lưới và sai số tiệm cận có xu hướng bằng không h- »0 lên đến các điều khoản lớn hơn bậc cao sự nhỏ bé.

Để tăng bậc chính xác của công thức tích phân số, chúng tôi thay thế tích phân bằng một parabol - một đa thức nội suy Lagrange bậc hai, chọn các đầu và giữa của đoạn tích phân làm các nút nội suy: x 0 = a, x x ~ (a + b) / 2, x z = b(Hình 2.7).

Trong trường hợp này, tích phân đa thức nội suy cho các nút cách đều nhau, chúng ta thu được

Cơm. 2,7

Trong trường hợp này, giá trị của phần tử còn lại R ~ J D 2 (x) dx được ước tính bằng tỷ lệ gần đúng °

Công thức (2.67) được gọi là CÔNG THỨC CỦA SIMPSON. Đối với các nút cách đều nhau x 0, Xj, x 2, giá trị F Là

Như trong hai trường hợp trước, để cải thiện độ chính xác của công thức (2.67), chúng tôi giới thiệu một lưới có bước đủ nhỏ. Tổng các giá trị của tích phân thu được bằng (2.67) cho mỗi khoảng, chúng ta thu được công thức Simpson tổng quát (parabolas), công thức này trên một lưới đồng nhất có dạng

và giá trị của phần còn lại là

Do đó, công thức parabol có bậc chính xác thứ tư đối với bước lưới. Chúng tôi giới thiệu ký hiệu M 4== tối đa | / IV (x) | :

.
Sau đó .
Chúng tôi sẽ sử dụng nội suy tuyến tính của tích phân.
Nếu thay vào đoạn [-1; 1] để lấy các nút chuyển động t1, t2 làm nút nội suy thì bạn cần chọn các giá trị này sao cho diện tích hình thang giới hạn từ phía trên bởi đường thẳng đi qua các điểm A1 (t1, φ (t1) ) và A2 (t2, φ (t2)) bằng tích phân của bất kỳ đa thức nào của một số mức độ cao nhất.
Giả sử rằng đây là một đa thức bậc ba, chúng tôi tính t1, t2, lần lượt là bằng và, chỉ khác nhau về cách đánh số các giá trị.
Hơn nữa, chia đoạn tích phân thành n phần, áp dụng ý tưởng được mô tả ở trên cho mỗi phần trong số chúng, chúng ta có thể thu được công thức Gauss:

lập trình công thức tích phân số

Giới thiệu

1. Các phương pháp tích phân số

2. Các công thức cầu phương

3. Tự động chọn bước tích hợp

Sự kết luận

Danh sách thư mục

Giới thiệu

Mục đích của phần tóm tắt là nghiên cứu và phân tích so sánh phương pháp tích phân số của hàm số; thực hiện các phương pháp này dưới dạng chương trình máy trong ngôn ngữ cấp độ cao và giải pháp thực tế của các bài toán tích phân số trên máy tính.

Khi giải quyết các vấn đề kỹ thuật, nó thường trở nên cần thiết để tính toán các giá trị tích phân xác định Tốt bụng

. (1)

Nếu hàm liên tục trên đoạn [ một , b] và chất chống vi khuẩn của nó có thể được định nghĩa theo chức năng đã biết, thì việc tính tích phân như vậy được thực hiện theo công thức Newton-Leibniz:

TẠI nhiệm vụ kỹ thuật hiếm khi có thể nhận được giá trị của tích phân ở dạng giải tích. Ngoài ra, chức năng f (x) có thể được đưa ra, ví dụ, bằng một bảng dữ liệu thực nghiệm. Do đó, trong thực tế, để tính tích phân xác định, người ta sử dụng phương pháp đặc biệt, dựa trên bộ máy nội suy.

Ý tưởng đằng sau những phương pháp này như sau. Thay vì tính tích phân bằng công thức (1), các giá trị của hàm được tính trước tiên f (x tôi) = y tôiở một số nút x tôi Î[ một , b]. Sau đó đa thức nội suy được chọn P (x) đi qua các điểm thu được ( x tôi , y tôi), được sử dụng để tính giá trị gần đúng của tích phân (1):

Khi triển khai cách tiếp cận này, các công thức tích phân số sẽ như sau hình thức chung:

, (2) - các nút nội suy, A tôi là một số hệ số, R- số hạng dư đặc trưng cho sai số của công thức. Lưu ý rằng các công thức dạng (2) được gọi là công thức vuông góc.

Ý nghĩa hình học của tích phân số là tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (X), một trục abscissa và hai đường thẳng x = a và x = b. Phép tính gần đúng diện tích dẫn đến việc loại bỏ số hạng dư trong công thức vuông góc Rđặc trưng cho lỗi của phương pháp, được thêm vào bởi lỗi tính toán.

1. Phương pháp tích hợp số

TẠI nghiên cứu ứng dụng thường thì cần phải tính giá trị của một tích phân xác định

Như đã biết từ quá trình toán học, việc tính toán tích phân không thể được thực hiện trong mọi trường hợp. Và ngay cả trong trường hợp có thể tìm được dạng giải tích của tích phân này thì quy trình tính toán cũng cho kết quả gần đúng, do đó nảy sinh bài toán về giá trị gần đúng của tích phân này.

Bản chất của phép tính gần đúng bao gồm hai hoạt động: 1. trong việc lựa chọn số giới hạn thay vì n; 2. trong lựa chọn điểm

trong phân đoạn tương ứng.

Tùy thuộc vào sự lựa chọn

chúng tôi nhận được các công thức khác nhau để tính tích phân: Công thức cho hình chữ nhật bên trái và bên phải (5), (6)

(5)

(6)

Công thức hình thang:

Công thức Simpson

b, a - các đầu của đoạn đang xét.

Để so sánh kết quả của phép tính theo các công thức tích phân số trên, ta tính tích phân sau theo 3 cách, chia đoạn thành 6 đoạn bằng nhau: h =

Theo công thức của các hình chữ nhật bên trái:

Theo công thức hình thang:

Theo công thức của Simpson:

Và kết quả thu được về mặt phân tích bằng

Do đó, có thể kết luận rằng phương pháp số tích hợp theo công thức Simpson chính xác hơn, nhưng được sử dụng trong trường hợp chung khi chia đoạn đang cãi vã thành một số chẵn khoảng trống.

2. Các công thức cầu phương

Công thức hình chữ nhật là những công thức vuông góc đơn giản nhất. Hãy để chúng tôi phân chia khoảng thời gian tích hợp [ a, b] trên P chiều dài các phần bằng nhau

. Lưu ý rằng giá trị hđược gọi là bước tích hợp. Tại các điểm phân chia X 0 = a ,X 1 = a + h , ..., x n = b lưu ý các sắc lệnh y 0 ,y 1 ,…,y n quanh co f (x), I E. tính toán i = f (x tôi), x i = a + ih = x i -1 + h (tôi =). Trên mỗi đoạn chiều dài h xây dựng một hình chữ nhật với các cạnh h và y tôi, ở đâu tôi =, I E. bởi các giá trị của các thứ tự được tính toán ở đầu bên trái của các phân đoạn. Khi đó, diện tích của hình thang cong, xác định giá trị của tích phân (1), có thể được biểu diễn gần đúng bằng tổng diện tích của các hình chữ nhật (Hình 1). Từ đây, chúng tôi nhận được công thức của hình chữ nhật:
. (3)

Nếu khi tính tổng tích phân, chúng ta lấy các giá trị của hàm f (x) không phải ở bên trái, mà ở đầu bên phải của các đoạn có độ dài h, được hiển thị trong hình. 1 với một đường chấm chấm, sau đó chúng tôi nhận được phiên bản thứ hai của công thức hình chữ nhật:

. (4)

Có thể thu được biến thể thứ ba của công thức hình chữ nhật bằng cách sử dụng các giá trị của hàm f (x) được tính tại điểm giữa của mỗi đoạn độ dài h(Hình 2):

. (5)

Công thức (3), (4) và (4) lần lượt được gọi là công thức của hình chữ nhật bên trái, bên phải và trung tâm.

Công thức Simpson. Chúng tôi chia khoảng tích hợp thành 2 N chiều dài các phần bằng nhau

. Trên mỗi đoạn [ x tôi , x i + 2] sự tích hợp f (X) được thay thế bằng một parabol đi qua các điểm ( x tôi , y tôi), (x tôi +1 , y tôi +1), (x tôi +2 , y tôi+2). Khi đó giá trị gần đúng của tích phân được xác định theo công thức Simpson:. (7)

Khi tính toán trên máy tính, công thức sau sẽ thuận tiện hơn:

Phương pháp Simpson là một trong những phương pháp tích phân số được biết đến và sử dụng rộng rãi nhất, nó cho giá trị chính xác của tích phân khi tích phân đa thức có đến bậc ba.

Công thức Newton. Giá trị gần đúng của tích phân theo công thức Newton được tính như sau:

trong đó số phân đoạn của phân vùng là bội số của ba, tức là là 3 N. Khi phát triển các chương trình máy tính, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng công thức tương đương:

Phương pháp Newton đưa ra các giá trị chính xác của tích phân khi tích phân các đa thức lên đến bậc 4 bao hàm.

3. Tự động chọn bước tích hợp

Kết quả của phép tính theo công thức (3) - (8) thu được một giá trị gần đúng của tích phân, giá trị này có thể khác giá trị chính xác một giá trị nào đó, được gọi là sai số tích phân. Lỗi được xác định bằng công thức phần dư R, khác nhau đối với từng phương pháp tích hợp. Nếu yêu cầu tính giá trị của tích phân với sai số không vượt quá e thì phải chọn bước tích phân như vậy. hđể thỏa mãn sự bất bình đẳng R (h) £ e. Trong thực tế, lựa chọn giá trị tự động được sử dụng h, đảm bảo đạt được lỗi đã chỉ định. Đầu tiên hãy tính giá trị của tích phân Tôi (N), chia khoảng tích hợp thành P phần, sau đó số phần được tăng gấp đôi và tích phân được tính Tôi (2N). Quá trình tính toán được tiếp tục cho đến khi điều kiện trở thành đúng.