Làm thế nào để tìm diện tích của hình thang cong? Diện tích của hình thang cong về mặt số học bằng một tích phân nào đó.

Chủ đề: Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định

Nhiệm vụ: Tìm hiểu định nghĩa và công thức tính diện tích hình thang lượn;

Xét các trường hợp khác nhau để tìm diện tích của hình thang cong;

Tính được diện tích của hình thang lượn.

Kế hoạch:

Hình thang cong.

Công thức tính diện tích hình thang lượn.

Hình thang cong gọi là hình, giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) liên tục, không âm trên khoảng, các đoạn thẳng x = a và x = b, cũng như một đoạn trục x giữa các điểm a và B.

Hình ảnh của hình thang cong:

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các tùy chọn khả thi cho vị trí của các hình, diện tích của \ u200b \ u200bà phải được tính toán trên mặt phẳng tọa độ.

Ngày thứ nhất sẽ có tùy chọn đơn giản nhất (hình ảnh đầu tiên), thông thường hình thang cong, như trong định nghĩa. Ở đây không cần phải phát minh ra bất cứ thứ gì, chỉ cần lấy tích phân từ một trước b từ chức năng f (x). Chúng ta tìm tích phân - chúng ta sẽ biết diện tích của hình thang này.


Trong thứ hai tùy chọn, hình của chúng ta sẽ bị giới hạn không phải bởi trục x mà bởi một hàm khác g (x). Do đó, để tìm ra khu vực CEFD, trước tiên chúng ta cần tìm khu vực AEFB(sử dụng tích phân của f (x)), sau đó tìm khu vực ACDB(sử dụng tích phân của g (x)). Và diện tích mong muốn của \ u200b \ u200bthe con số CEFD, sẽ là sự khác biệt giữa diện tích thứ nhất và thứ hai của hình thang cong. Vì các ranh giới tích phân là giống nhau ở đây, tất cả điều này có thể được viết dưới một tích phân (xem công thức bên dưới hình), tất cả phụ thuộc vào độ phức tạp của các hàm, trong trường hợp đó, việc tìm tích phân sẽ dễ dàng hơn.



Thứ ba rất giống với hình đầu tiên, nhưng chỉ có hình thang của chúng tôi được đặt, không qua trục x và bên dưới nó. Vì vậy, ở đây chúng ta phải lấy cùng một tích phân, chỉ với một dấu trừ, vì giá trị của tích phân sẽ âm, và giá trị của diện tích phải dương. Nếu thay vì một hàm f (x)đảm nhận một chức năng -f (x), khi đó đồ thị của nó sẽ giống nhau được hiển thị đối xứng đơn giản so với trục x.


Và thứ tư một tùy chọn khi một phần của hình của chúng ta ở trên trục x và một phần ở dưới nó. Do đó, trước hết chúng ta phải tìm diện tích của hình AEFB, như trong phiên bản đầu tiên, và sau đó là diện tích \ u200b \ u200b hình A B C D, như trong tùy chọn thứ ba và sau đó thêm chúng. Kết quả là, chúng tôi nhận được diện tích \ u200b \ u200bthe con số DEFC. Vì các ranh giới tích phân là giống nhau ở đây, tất cả điều này có thể được viết dưới một tích phân (xem công thức bên dưới hình), tất cả phụ thuộc vào độ phức tạp của các hàm, trong trường hợp đó, việc tìm tích phân sẽ dễ dàng hơn.

Câu hỏi tự kiểm tra:

Hình nào được gọi là hình thang cong?

Làm thế nào để tìm diện tích của hình thang cong?

Lùi về phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang trình bày chỉ dành cho mục đích thông tin và có thể không thể hiện toàn bộ phạm vi của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Từ khóa: tích phân, hình thang cong, diện tích các hình giới hạn bởi hoa loa kèn

Trang thiết bị: bảng trắng, máy tính, máy chiếu đa phương tiện

Loại bài học: bài-giảng

Mục tiêu bài học:

• giáo dục: hình thành văn hóa lao động trí óc, tạo hoàn cảnh thành đạt cho mỗi học sinh, hình thành động cơ tích cực trong học tập; phát triển khả năng nói và lắng nghe người khác.
• đang phát triển: hình thành tính độc lập trong tư duy của học sinh trong việc vận dụng kiến ​​thức vào các tình huống khác nhau, khả năng phân tích và rút ra kết luận, phát triển logic, phát triển khả năng đặt câu hỏi chính xác và tìm câu trả lời cho chúng. Nâng cao hình thành kỹ năng tính toán, tính toán, phát triển tư duy của học sinh trong quá trình thực hiện nhiệm vụ đề ra, phát triển văn hóa thuật toán.
• giáo dục: hình thành các khái niệm về hình thang cong, về tích phân, rèn kĩ năng tính diện tích hình phẳng.

Phương pháp giảng dạy: giải thích và minh họa.

Trong các lớp học

Trong các lớp trước, chúng ta đã học cách tính diện tích của các hình có ranh giới là các đường đứt đoạn. Trong toán học, có những phương pháp cho phép bạn tính diện tích của \ u200b \ u200bfigures được giới hạn bởi các đường cong. Những hình như vậy được gọi là hình thang cong, và diện tích của chúng được tính bằng cách sử dụng các chất phản ứng.

Hình thang cong ( slide 1)

Hình thang cong là hình được giới hạn bởi đồ thị hàm số, ( w.m.), thẳng x = a và x = b và abscissa

Các loại hình thang cong ( trang trình bày 2)

Chúng ta xem xét các dạng hình thang cong khác nhau và nhận thấy: một trong các đường suy biến thành một điểm, vai trò của hàm giới hạn được thực hiện bởi đường

Diện tích hình thang cong (trang trình bày 3)

Cố định phần cuối bên trái của khoảng thời gian một, và phải X chúng ta sẽ thay đổi, tức là chúng ta di chuyển thành bên phải của hình thang cong và nhận được một hình thay đổi. Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số là đạo hàm F cho chức năng f

Và trên đoạn [ một; b] diện tích của hình thang cong do hàm f, bằng với gia số của hàm antideriuctor của hàm này:

Bài tập 1:

Tìm thiết diện của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của một hàm số: f (x) = x 2 và trực tiếp y = 0, x = 1, x = 2.

Quyết định: ( theo thuật toán slide 3)

Vẽ đồ thị của hàm và các đường

Tìm một trong các đạo hàm của hàm f (x) = x 2 :

Tự kiểm tra trang trình bày

Tích phân

Xét một hình thang cong do hàm số cho trước f trên đoạn [ một; b]. Hãy chia đoạn này thành nhiều phần. Diện tích của toàn bộ hình thang sẽ được chia thành tổng diện tích của hình thang có đường cong nhỏ hơn. ( trang trình bày 5). Mỗi hình thang như vậy có thể được coi là một hình chữ nhật. Tổng diện tích của các hình chữ nhật này cho ta một ý tưởng gần đúng về toàn bộ diện tích của hình thang cong. Càng nhỏ chúng ta càng phá vỡ phân đoạn [ một; b], chúng tôi càng tính toán chính xác diện tích.

Chúng tôi viết những cân nhắc này dưới dạng công thức.

Chia đoạn [ một; b] thành n phần có dấu chấm x 0 \ u003d a, x1, ..., xn \ u003d b. Chiều dài k- thứ tự biểu thị bởi xk = xk - xk-1. Hãy tổng hợp lại

Về mặt hình học, tổng này là diện tích của hình được tô bóng trong hình ( sh.m.)

Các tổng có dạng được gọi là tổng tích phân của hàm f. (sch.m.)

Tính tích phân cho giá trị gần đúng của diện tích. Giá trị chính xác nhận được bằng cách chuyển đến giới hạn. Hãy tưởng tượng rằng chúng tôi tinh chỉnh phân vùng của phân đoạn [ một; b] để độ dài của tất cả các đoạn nhỏ có xu hướng bằng không. Khi đó diện tích của hình có cấu tạo sẽ tiến gần đến diện tích của hình thang lượn. Chúng ta có thể nói rằng diện tích của hình thang cong bằng giới hạn của tổng tích phân, Sk.t. (sch.m.) hoặc tích phân, tức là,

Sự định nghĩa:

tích phân hàm f (x) từ một trước bđược gọi là giới hạn của tổng tích phân

= (sch.m.)

Công thức Newton-Leibniz.

Hãy nhớ rằng giới hạn của tổng tích phân bằng diện tích của hình thang cong, vì vậy chúng ta có thể viết:

Sk.t. = (sch.m.)

Mặt khác, diện tích hình thang cong được tính bằng công thức

S đến. T. (sch.m.)

So sánh các công thức này, chúng tôi nhận được:

= (sch.m.)

Đẳng thức này được gọi là công thức Newton-Leibniz.

Để thuận tiện cho việc tính toán, công thức được viết dưới dạng:

= = (sch.m.)

Nhiệm vụ: (sch.m.)

1. Tính tích phân bằng công thức Newton-Leibniz: ( kiểm tra slide 5)

2. Lập tích phân theo hình vẽ ( kiểm tra trên slide 6)

3. Tìm diện tích của một hình được giới hạn bởi các dòng: y \ u003d x 3, y \ u003d 0, x \ u003d 1, x \ u003d 2. ( Trang trình bày 7)

Tìm diện tích của các hình phẳng ( slide 8)

Làm thế nào để tìm diện tích của các hình không phải là hình thang cong?

Giả sử hai hàm số đã cho, các đồ thị mà bạn thấy trên trang trình bày . (sch.m.) Tìm diện tích của hình được tô bóng . (sch.m.). Hình trong câu hỏi có phải là hình thang cong không? Và làm thế nào bạn có thể tìm thấy khu vực của nó, bằng cách sử dụng thuộc tính cộng thêm của khu vực? Xét hai hình thang cong và trừ diện tích của hình kia cho diện tích của một trong số chúng ( w.m.)

Hãy tạo một thuật toán để tìm khu vực từ hoạt ảnh trên trang chiếu:

1. Chức năng lô đất
2. Chiếu các giao điểm của đồ thị lên trục x
3. Che bóng hình thu được bằng cách vượt qua các biểu đồ
4. Tìm các hình thang có đường tròn và giao tuyến là hình đã cho.
5. Tính diện tích của mỗi
6. Tìm sự khác biệt hoặc tổng của các khu vực

Nhiệm vụ miệng: Cách lấy diện tích của một hình bóng mờ (cho biết bằng cách sử dụng hoạt ảnh, slide 8 và 9)

Bài tập về nhà: Làm phần tóm tắt, Số 353 (a), Số 364 (a).

Thư mục

1. Đại số và sự khởi đầu của phân tích: sách giáo khoa dành cho lớp 9-11 của trường học buổi tối (ca) / ed. G.D. Máy tráng men. - M: Khai sáng, 1983.
2. Bashmakov M.I. Đại số và sự khởi đầu của phân tích: sách giáo khoa dành cho lớp 10-11 của trường trung học cơ sở / Bashmakov M.I. - M: Khai sáng, 1991.
3. Bashmakov M.I. Toán học: một cuốn sách giáo khoa cho các cơ sở giáo dục bắt đầu. và trung bình hồ sơ giáo dục / M.I. Bashmakov. - M: Học viện, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Đại số và sự khởi đầu của phép phân tích: sách giáo khoa dành cho 10-11 ô. tổ chức giáo dục / A.N. Kolmogorov. - M: Khai sáng, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Cách trình bày cho bài học? / S.L. Ostrovsky. - M.: Đầu tháng 9 năm 2010.

Để hàm số không âm và liên tục trên khoảng. Khi đó, theo ý nghĩa hình học của một tích phân nào đó, diện tích hình thang cong giới hạn từ phía trên bởi đồ thị của hàm này, từ phía dưới bởi trục, từ trái và phải bởi các đường thẳng và (xem Hình 2 ) được tính bằng công thức

Ví dụ 9 Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi một đường và trục.

Quyết định. Đồ thị hàm số là một parabol có các nhánh hướng xuống dưới. Hãy xây dựng nó (Hình 3). Để xác định giới hạn của tích phân, ta tìm các giao điểm của đường thẳng (parabol) với trục (đường thẳng). Để làm được điều này, chúng ta giải hệ phương trình

Chúng tôi nhận được: , ở đâu , ; vì thế, , .

Cơm. 3

Diện tích của hình được tính theo công thức (5):

Nếu hàm số nghịch biến và liên tục trên đoạn thì diện tích của hình thang cong, giới hạn từ dưới bởi đồ thị của hàm số này từ trên xuống theo trục, từ trái sang phải bởi các đường thẳng và là tính theo công thức

. (6)

Nếu hàm liên tục trên một đoạn và đổi dấu tại một số điểm hữu hạn, thì diện tích của hình tô bóng (Hình 4) bằng tổng đại số của các tích phân xác định tương ứng:

Cơm. 4

Ví dụ 10 Tính diện tích của \ u200b \ u200 hình giới hạn bởi trục và đồ thị của hàm số cho.

Cơm. 5

Quyết định. Hãy vẽ một bản vẽ (Hình 5). Khu vực mong muốn là tổng của các khu vực và. Chúng ta hãy tìm từng lĩnh vực này. Đầu tiên, chúng tôi xác định các giới hạn của tích hợp bằng cách giải quyết hệ thống Chúng tôi nhận được , . Vì thế:

;

.

Do đó, diện tích của hình được tô bóng là

(đơn vị sq.).

Cơm. 6

Cuối cùng, để cho hình thang cong được giới hạn từ trên xuống dưới bởi các đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn và,
và ở bên trái và bên phải - thẳng và (Hình 6). Sau đó, diện tích của nó được tính bằng công thức

. (8)

Ví dụ 11. Tìm diện tích của hình được bao bởi các đường thẳng và.

Quyết định. Hình này được thể hiện trong Hình. 7. Chúng tôi tính diện tích của nó bằng công thức (8). Giải hệ phương trình, ta tìm được ,; vì thế, , . Trên phân đoạn, chúng tôi có:. Do đó, trong công thức (8) chúng ta coi như x, và dưới dạng -. Chúng tôi nhận được:

(đơn vị sq.).

Các bài toán phức tạp hơn về tính diện tích được giải quyết bằng cách chia hình thành các phần không giao nhau và tính diện tích của cả hình dưới dạng tổng diện tích của các phần này.

Cơm. 7

Ví dụ 12. Tìm diện tích của hình bị giới hạn bởi các đường,.

Quyết định. Hãy vẽ một bản vẽ (Hình 8). Hình này có thể được coi là một hình thang cong giới hạn từ bên dưới bởi trục, từ trái và phải - bởi các đường thẳng và, từ trên - bởi đồ thị của các hàm số và. Vì hình bên được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số nên để tính diện tích của nó, ta chia hình thẳng này thành hai phần (1 là hoành độ giao điểm của các đường thẳng và). Diện tích của mỗi phần này được tính theo công thức (4):

(đơn vị sq.); (đơn vị sq.). Vì thế:

(đơn vị sq.).

Cơm. tám

X= j ( tại)

Cơm. chín

Kết luận, chúng ta lưu ý rằng nếu một hình thang cong được giới hạn bởi các đường thẳng và, trục và liên tục trên đường cong (Hình 9), thì diện tích của nó được tìm thấy bằng công thức

Khối lượng của một cơ thể của cuộc cách mạng

Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục trên một đoạn thẳng, một trục, các đường thẳng và quay quanh trục (Hình 10). Sau đó, thể tích của phần thân tạo thành vòng quay được tính bằng công thức

. (9)

Ví dụ 13 Tính thể tích của vật thể nhận được khi quay quanh trục của một hình thang cong giới hạn bởi một hyperbol, các đường thẳng và trục.

Quyết định. Hãy vẽ một bản vẽ (Hình 11).

Nó xuất phát từ điều kiện của vấn đề mà,. Theo công thức (9) chúng ta thu được

.

Cơm. mười

Cơm. mười một

Thể tích của vật thể thu được khi quay quanh một trục Đơn vị tổ chức hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng y = c và y = d, trục Đơn vị tổ chức và đồ thị của một hàm số liên tục trên một đoạn (Hình 12), được xác định bởi công thức

. (10)

X= j ( tại)

Cơm. 12

Ví dụ 14. Tính thể tích của vật thể thu được khi quay quanh một trục Đơn vị tổ chức hình thang cong có giới hạn bởi các đường X 2 = 4tại, y = 4, x = 0 (Hình 13).

Quyết định. Phù hợp với điều kiện của bài toán, chúng tôi nhận thấy các giới hạn của tích phân:,. Theo công thức (10) chúng ta thu được:

Cơm. mười ba

Chiều dài cung của một đường cong phẳng

Cho đường cong được cho bởi phương trình, trong đó, nằm trong một mặt phẳng (Hình 14).

Cơm. mười bốn

Sự định nghĩa. Độ dài của một cung được hiểu là giới hạn mà độ dài của một đường thẳng nội tiếp trong cung này có xu hướng khi số lượng liên kết của đường đó có xu hướng vô cùng và độ dài của liên kết lớn nhất có xu hướng bằng không.

Nếu hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên đoạn thì độ dài cung của đường cong được tính theo công thức

. (11)

Ví dụ 15. Tính độ dài của cung của đường cong nằm giữa các điểm mà .

Quyết định. Từ điều kiện của vấn đề, chúng tôi có . Theo công thức (11) chúng ta thu được:

.

4. Tích phân không đúng
với giới hạn tích hợp vô hạn

Khi đưa ra khái niệm về một tích phân xác định, người ta cho rằng hai điều kiện sau được thỏa mãn:

a) giới hạn của tích hợp một và là hữu hạn;

b) tích phân được giới hạn trên phân đoạn.

Nếu ít nhất một trong các điều kiện này không được đáp ứng, thì tích phân được gọi là không đúng.

Trước hết chúng ta hãy xem xét các tích phân không đúng với giới hạn vô hạn của tích phân.

Sự định nghĩa. Để hàm số xác định và liên tục trên khoảng thì và không bị ràng buộc ở bên phải (Hình 15).

Nếu tích phân không đúng hội tụ, thì diện tích này là hữu hạn; nếu tích phân không đúng phân kỳ, thì diện tích này là vô hạn.

Cơm. mười lăm

Một tích phân không đúng với giới hạn dưới vô hạn của tích phân được định nghĩa tương tự:

. (13)

Tích phân này hội tụ nếu tồn tại giới hạn ở vế phải của đẳng thức (13) và là hữu hạn; nếu không, tích phân được cho là phân kỳ.

Một tích phân không đúng với hai giới hạn tích phân vô hạn được định nghĩa như sau:

, (14)

trong đó с là bất kỳ điểm nào trong khoảng. Tích phân chỉ hội tụ nếu cả hai tích phân đều hội tụ về vế phải của đẳng thức (14).

;

G) = [chọn hình vuông đầy đủ ở mẫu số:] = [thay thế:

] =

Do đó, tích phân không đúng hội tụ và giá trị của nó bằng.

Hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số không âm $ f (x) $ liên tục trên khoảng $$ và các đường $ y = 0, \ x = a $ và $ x = b $ được gọi là hình thang cong.

Diện tích của hình thang lượn tương ứng được tính theo công thức:

$ S = \ int \ limit_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Các bài toán tìm diện tích hình thang cong có điều kiện chúng ta sẽ chia thành các loại $ 4 $. Hãy xem xét từng loại chi tiết hơn.

Loại I: hình thang cong được cho một cách rõ ràng. Sau đó áp dụng ngay công thức (*).

Ví dụ: tìm diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số $ y = 4- (x-2) ^ (2) $ và các đường $ y = 0, \ x = 1 $ và $ x = 3 $.

Hãy vẽ hình thang cong này.

Áp dụng công thức (*), ta tìm được diện tích của hình thang cong này.

$ S = \ int \ limit_ (1) ^ (3) (\ left (4 - (x-2) ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limit_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ limit_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ left. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ right | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ right) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ left ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Loại II: hình thang cong được đưa ra một cách ngầm định. Trong trường hợp này, các đường thẳng $ x = a, \ x = b $ thường không được chỉ định hoặc được chỉ định một phần. Trong trường hợp này, bạn cần tìm giao điểm của hai hàm $ y = f (x) $ và $ y = 0 $. Các điểm này sẽ là điểm $ a $ và $ b $.

Ví dụ, tìm diện tích của hình bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm $ y = 1-x ^ (2) $ và $ y = 0 $.

Hãy tìm các giao điểm. Để làm điều này, chúng tôi đánh đồng các phần bên phải của các chức năng.

Vậy $ a = -1 $ và $ b = 1 $. Hãy vẽ hình thang cong này.

Tìm thiết diện của hình thang cong này.

$ S = \ int \ giới hạn _ (- 1) ^ (1) (\ left (1-x ^ (2) \ right) dx) = \ int \ giới hạn _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ giới hạn _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (-1) ^ (1) = $

$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 2 - \ frac (1) (3) \ left (1 + 1 \ right) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Loại III: diện tích hình giới hạn bởi giao điểm của hai hàm số không âm liên tục. Hình này sẽ không phải là hình thang cong, có nghĩa là sử dụng công thức (*) bạn không thể tính được diện tích của nó. Làm sao để? Nó chỉ ra rằng diện tích của hình này có thể được tìm thấy là sự khác biệt giữa diện tích của hình thang cong giới hạn bởi hàm trên và $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $) và hàm dưới và $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $), trong đó vai trò của $ x = a, \ x = b $ được thực hiện bởi tọa độ $ x $ của các giao điểm của các hàm này, tức là

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

Điều quan trọng nhất khi tính toán các khu vực như vậy là không "bỏ sót" với sự lựa chọn của các chức năng trên và dưới.

Ví dụ, tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các hàm $ y = x ^ (2) $ và $ y = x + 6 $.

Hãy tìm giao điểm của các đồ thị này:

Theo định lý Vieta,

$ x_ (1) = - 2, \ x_ (2) = 3. $

Tức là, $ a = -2, \ b = 3 $. Hãy vẽ một hình:

Vậy hàm số trên là $ y = x + 6 $ và hàm số dưới là $ y = x ^ (2) $. Tiếp theo, tìm $ S_ (uf) $ và $ S_ (lf) $ bằng công thức (*).

$ S_ (uf) = \ int \ giới hạn _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ giới hạn _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ giới hạn _ (- 2 ) ^ (3) (6dx) = \ left. \ Frac (x ^ (2)) (2) \ right | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3) = 32 , 5 $ (đơn vị $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limit _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ left. \ Frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (- 2) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Thay thế được tìm thấy trong (**) và nhận được:

$ S = 32,5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Loại IV: diện tích của một hình bị giới hạn bởi (các) hàm số không thỏa mãn điều kiện không âm.Để tìm được diện tích của một hình như vậy, bạn cần phải đối xứng qua trục $ Ox $ ( nói cách khác,đặt “minuses” trước các chức năng) hiển thị khu vực và sử dụng các phương pháp được mô tả trong loại I - III, tìm diện tích của khu vực được hiển thị. Khu vực này sẽ là khu vực bắt buộc. Đầu tiên, bạn có thể phải tìm các giao điểm của các đồ thị hàm số.

Ví dụ, tìm diện tích của hình bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm $ y = x ^ (2) -1 $ và $ y = 0 $.

Hãy tìm giao điểm của các đồ thị hàm số:

những thứ kia. $ a = -1 $ và $ b = 1 $. Hãy vẽ khu vực.

Hãy hiển thị khu vực một cách đối xứng:

$ y = 0 \ \ Rightarrow \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ \ Rightarrow \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.

Bạn nhận được một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số $ y = 1-x ^ (2) $ và $ y = 0 $. Đây là bài toán tìm hình thang cong loại hai. Chúng tôi đã giải quyết nó. Câu trả lời là: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $). Vì vậy, diện tích của hình thang cong mong muốn bằng:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Xét một hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, một đường cong y \ u003d f (x) và hai đường thẳng: x \ u003d a và x \ u003d b (Hình 85). Lấy một giá trị tùy ý của x (chỉ không a và không b). Chúng ta hãy cho nó một gia số h = dx và coi một dải được giới hạn bởi các đường thẳng AB và CD, bởi trục Ox và bởi một cung BD thuộc đường cong đang xét. Dải này sẽ được gọi là dải sơ cấp. Diện tích của dải sơ cấp khác với diện tích của hình chữ nhật ACQB bởi tam giác cong BQD và diện tích của dải sau nhỏ hơn diện tích của hình chữ nhật BQDM với các cạnh BQ = = h = dx) QD = Ay và diện tích bằng hAy = Ay dx. Khi bên h giảm, bên Du cũng giảm và đồng thời với h, có xu hướng bằng không. Do đó, diện tích BQDM là vô số của bậc hai. Diện tích của dải sơ cấp là phần tăng diện tích và diện tích của hình chữ nhật ACQB, bằng AB-AC == / (x) dx> là vi phân diện tích. Do đó, chúng tôi tìm diện tích bằng cách tích phân vi phân của nó. Trong giới hạn của hình đang xét, biến độc lập l: thay đổi từ a thành b, do đó diện tích yêu cầu 5 sẽ bằng 5 = \ f (x) dx. (I) Ví dụ 1. Tính diện tích giới hạn bởi parabol y - 1 -x *, các đường thẳng X \ u003d - Fj-, x \ u003d 1 và trục O * (Hình 86). tại Hình. 87. Hình. 86. 1 Ở đây f (x) = 1 - l ?, các giới hạn của tích phân a = - và t = 1, do đó 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Ví dụ 2. Tính diện tích giới hạn của hình sin y = sinXy, trục Ox và đường thẳng (Hình 87). Áp dụng công thức (I), ta thu được L 2 S \ u003d J sinxdx \ u003d [-cos x] Q \ u003d 0 - (-1) \ u003d lf Ví dụ 3. Tính diện tích giới hạn bởi cung của hình sin ^ y \ u003d sin jc nằm giữa hai giao điểm kề nhau với trục Ox (ví dụ: giữa gốc tọa độ và điểm có hoành độ i). Lưu ý rằng rõ ràng từ việc xem xét hình học rằng diện tích này sẽ gấp đôi diện tích của ví dụ trước. Tuy nhiên, hãy thực hiện các phép tính: i 5 = | s \ nxdx \ u003d [- cosx) * - - cos i- (- cos 0) \ u003d 1 + 1 \ u003d 2. o Thật vậy, giả định của chúng tôi hóa ra là công bằng. Ví dụ 4. Tính diện tích giới hạn bởi hình sin và trục Ox trong một chu kỳ (Hình 88). Các phán đoán sơ bộ về con số cho thấy diện tích sẽ lớn hơn gấp 4 lần so với ở pr. 2. Tuy nhiên, sau khi thực hiện các phép tính, chúng tôi nhận được “i G, * i S - \ sin x dx \ u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \ u003d - 1 + 1 \ u003d 0. Kết quả này cần được làm rõ. Để làm rõ bản chất của vấn đề, chúng tôi cũng tính diện tích giới hạn bởi cùng một hình sin y \ u003d sin l: và trục Ox nằm trong khoảng từ l đến 2n. Áp dụng công thức (I), chúng ta thu được Như vậy, chúng ta thấy rằng khu vực này đã hóa ra tiêu cực. So sánh nó với diện tích được tính trong Ví dụ 3, chúng tôi thấy rằng các giá trị tuyệt đối của chúng là như nhau, nhưng các dấu hiệu khác nhau. Nếu chúng ta áp dụng tính chất V (xem Ch. XI, § 4), thì chúng ta tình cờ nhận được. Luôn luôn là vùng bên dưới trục x, với điều kiện là biến độc lập thay đổi từ trái sang phải, thu được bằng cách sử dụng phép tính tích phân âm. Trong khóa học này, chúng tôi sẽ luôn xem xét các khu vực không có dấu. Do đó, câu trả lời trong ví dụ vừa phân tích sẽ như sau: diện tích yêu cầu bằng 2 + | -2 | = 4. Ví dụ 5. Hãy tính diện tích của BAB trong hình. 89. Diện tích này giới hạn bởi trục Ox, parabol y = - xr và đường thẳng y - = -x + \. Diện tích hình thang sin Diện tích cần tìm OAB gồm hai phần: OAM và MAB. Vì điểm A là giao điểm của parabol và đường thẳng nên ta tìm tọa độ của nó bằng cách giải hệ phương trình 3 2 Y \ u003d mx. (chúng ta chỉ cần tìm abscissa của điểm A). Giải hệ, ta tìm được l; = ~. Vì vậy, diện tích phải được tính toán theo từng phần, đầu tiên xin vui lòng. OAM, và sau đó làm ơn. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM- ^ x)