Chủ đề: Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định

Nhiệm vụ: Tìm hiểu định nghĩa và công thức tính diện tích hình thang lượn;

Xét các trường hợp khác nhau để tìm diện tích của hình thang cong;

Tính được diện tích của hình thang lượn.

Kế hoạch:

Hình thang cong.

Công thức tính diện tích hình thang lượn.

Hình thang congđược gọi là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) liên tục, không âm trên khoảng, các đoạn thẳng x = a và x = b cũng như một đoạn trục x giữa hai điểm a và b .

Hình ảnh của hình thang cong:

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các tùy chọn khả thi cho vị trí của các hình, diện tích của \ u200b \ u200bà phải được tính toán trên mặt phẳng tọa độ.

Ngày thứ nhất sẽ có tùy chọn đơn giản nhất (hình ảnh đầu tiên), thông thường hình thang cong, như trong định nghĩa. Ở đây không cần phải phát minh ra bất cứ thứ gì, chỉ cần lấy tích phân từ một trước b từ chức năng f (x). Chúng ta tìm tích phân - chúng ta sẽ biết diện tích của hình thang này.


Trong thứ hai tùy chọn, hình của chúng ta sẽ bị giới hạn không phải bởi trục x mà bởi một hàm khác g (x). Do đó, để tìm ra khu vực CEFD, trước tiên chúng ta cần tìm khu vực AEFB(sử dụng tích phân của f (x)), sau đó tìm khu vực ACDB(sử dụng tích phân của g (x)). Và diện tích mong muốn của \ u200b \ u200bthe con số CEFD, sẽ là sự khác biệt giữa diện tích thứ nhất và thứ hai của hình thang cong. Vì các ranh giới tích phân là giống nhau ở đây, tất cả đều có thể được viết dưới một tích phân (xem công thức bên dưới hình), tất cả phụ thuộc vào độ phức tạp của các hàm, trong trường hợp đó, việc tìm tích phân sẽ dễ dàng hơn.



Thứ ba rất giống với hình đầu tiên, nhưng chỉ có hình thang của chúng tôi được đặt, không qua trục x và bên dưới nó. Vì vậy, ở đây chúng ta phải lấy cùng một tích phân, chỉ với một dấu trừ, vì giá trị của tích phân sẽ âm, và giá trị của diện tích phải dương. Nếu thay vì một hàm f (x)đảm nhận một chức năng -f (x), khi đó đồ thị của nó sẽ giống nhau được hiển thị đối xứng đơn giản so với trục x.


Và thứ tư một tùy chọn khi một phần của hình của chúng ta ở trên trục x và một phần ở dưới nó. Do đó, trước hết chúng ta phải tìm diện tích của hình AEFB, như trong phiên bản đầu tiên, và sau đó là diện tích \ u200b \ u200b hình A B C D, như trong tùy chọn thứ ba và sau đó thêm chúng. Kết quả là, chúng tôi nhận được diện tích \ u200b \ u200bthe con số DEFC. Vì các ranh giới tích phân là giống nhau ở đây, tất cả đều có thể được viết dưới một tích phân (xem công thức bên dưới hình), tất cả phụ thuộc vào độ phức tạp của các hàm, trong trường hợp đó, việc tìm tích phân sẽ dễ dàng hơn.

Câu hỏi tự kiểm tra:

Hình nào được gọi là hình thang cong?

Làm thế nào để tìm diện tích của hình thang cong?

Tích phân xác định. Cách tính diện tích của một hình

Bây giờ chúng ta chuyển sang việc xem xét các ứng dụng của phép tính tích phân. Trong bài học này, chúng ta sẽ phân tích một nhiệm vụ điển hình và phổ biến nhất. Cách sử dụng một tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng. Cuối cùng, những người tìm kiếm ý nghĩa trong toán học cao hơn - có thể họ sẽ tìm thấy nó. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một ngôi nhà tranh mùa hè với các chức năng cơ bản và tìm diện tích của nó bằng cách sử dụng một tích phân nhất định.

Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:

1) Hiểu tích phân không xác định ít nhất ở mức độ trung cấp. Vì vậy, đầu tiên người giả nên đọc bài học Không.

2) Có thể áp dụng công thức Newton-Leibniz và tính tích phân xác định. Bạn có thể thiết lập mối quan hệ thân thiện nồng ấm với một số thành phần không thể thiếu trên trang Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp.

Trên thực tế, để tìm diện tích của hình \ u200b \ u200ba, bạn không cần quá nhiều kiến ​​thức về tích phân bất định và xác định. Nhiệm vụ "tính diện tích sử dụng một tích phân xác định" luôn liên quan đến việc xây dựng một bản vẽ, vì vậy kiến ​​thức và kỹ năng vẽ của bạn sẽ là một vấn đề phù hợp hơn nhiều. Về vấn đề này, sẽ rất hữu ích khi làm mới bộ nhớ về các đồ thị của các hàm cơ bản chính, và ở mức tối thiểu, để có thể xây dựng một đường thẳng, một parabol và một hyperbol. Điều này có thể được thực hiện (nhiều người cần) với sự trợ giúp của tài liệu phương pháp luận và một bài báo về các phép biến đổi hình học của đồ thị.

Thực ra mọi người đều đã quen với bài toán tìm diện tích bằng tích phân xác định từ hồi còn đi học, chúng ta sẽ đi trước một chút về chương trình học ở trường. Bài báo này có thể hoàn toàn không tồn tại, nhưng thực tế là vấn đề xảy ra với 99 trường hợp trong số 100 trường hợp, khi một sinh viên bị dày vò bởi một tòa tháp đáng ghét với sự nhiệt tình thông thạo một khóa học về toán cao hơn.

Các tài liệu của hội thảo này được trình bày đơn giản, chi tiết và ít lý thuyết.

Hãy bắt đầu với một hình thang cong.

Hình thang cong gọi là hình phẳng giới hạn bởi trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn không đổi dấu trên khoảng này. Hãy để hình này được định vị không ít hơn abscissa:

sau đó diện tích của hình thang cong về mặt số học bằng một tích phân nào đó. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. Vào bài học Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp Tôi đã nói rằng một tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nêu một sự thật hữu ích khác. Theo quan điểm của hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH.

I E, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một số hình. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Tích phân xác định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (những người muốn có thể hoàn thành bản vẽ), và tích phân xác định chính nó bằng số bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Thời điểm quyết định đầu tiên và quan trọng nhất là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng ĐÚNG.

Khi xây dựng một bản thiết kế, tôi khuyên bạn nên theo thứ tự sau: lúc đầu tốt hơn là xây dựng tất cả các dòng (nếu có) và chỉ sau- parabol, hypebol, đồ thị của các hàm số khác. Đồ thị hàm số có lợi hơn khi xây dựng từng điểm, với kỹ thuật xây dựng theo chiều kim loại có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản. Ở đó, bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích liên quan đến bài học của chúng tôi - cách tạo nhanh một parabol.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ một hình vẽ (lưu ý rằng phương trình xác định trục):

Tôi sẽ không tạo ra một hình thang cong, rõ ràng là chúng ta đang nói về lĩnh vực nào ở đây. Giải pháp tiếp tục như thế này:

Trên đoạn, đồ thị của hàm số có vị trí qua trục, Đó là lý do tại sao:

Trả lời:

Ai gặp khó khăn trong việc tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz , tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp.

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bản vẽ và tìm ra câu trả lời là có thật luôn hữu ích. Trong trường hợp này, “bằng mắt thường” chúng ta đếm số ô trong hình vẽ - khoảng 9 ô sẽ được gõ, có vẻ là đúng. Rõ ràng là nếu chúng ta có, giả sử, câu trả lời: 20 đơn vị hình vuông, thì rõ ràng, một sai lầm đã được thực hiện ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không phù hợp với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định, thì nhiệm vụ đó cũng đã được giải quyết không chính xác.

Ví dụ 2

Tính diện tích của hình bị giới hạn bởi các đường và trục

Đây là một ví dụ tự làm. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trục?

Ví dụ 3

Tính diện tích của hình giới hạn bởi đường thẳng và trục tọa độ.

Quyết định: Hãy vẽ một bức tranh:

Nêu được hình thang cong dưới trục(hoặc ít nhất không cao hơn trục cho trước), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:
Trong trường hợp này:

Chú ý! Đừng nhầm lẫn giữa hai loại nhiệm vụ:

1) Nếu bạn được yêu cầu chỉ giải một tích phân xác định mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng cách sử dụng tích phân xác định, thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao dấu trừ xuất hiện trong công thức vừa xét.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 4

Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường,.

Quyết định: Đầu tiên bạn cần hoàn thiện bản vẽ. Nói chung, khi xây dựng một bản vẽ trong các bài toán về diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến các giao điểm của các đường. Hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Cách đầu tiên là phân tích. Chúng tôi giải phương trình:

Do đó, giới hạn dưới của tích hợp, giới hạn trên của tích hợp.
Tốt nhất là không nên sử dụng phương pháp này nếu có thể..

Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn nếu xây dựng các đường từng điểm một, trong khi các giới hạn của việc tích hợp được tìm ra như thể “một mình”. Kỹ thuật xây dựng từng điểm cho các biểu đồ khác nhau được thảo luận chi tiết trong phần trợ giúp Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm các giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc cấu trúc phân luồng không tiết lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc không hợp lý). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.

Chúng ta quay trở lại nhiệm vụ của mình: đầu tiên sẽ hợp lý hơn khi dựng một đường thẳng và sau đó chỉ là một parabol. Hãy vẽ một bức tranh:

Tôi lặp lại rằng với cấu trúc theo chiều điểm, các giới hạn của tích hợp thường được tìm ra một cách “tự động”.

Và bây giờ là công thức làm việc: Nếu có một số hàm liên tục trên khoảng lớn hơn hoặc bằng một hàm số liên tục, thì diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của các hàm số và đường thẳng này, có thể được tìm thấy bằng công thức:

Ở đây, không còn cần thiết phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hoặc bên dưới trục, và nói một cách đại khái, vấn đề quan trọng là biểu đồ nào TRÊN(so với một biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI ĐÂY.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng, parabol nằm trên đường thẳng, và do đó cần phải trừ đi

Việc hoàn thành giải pháp có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol từ bên trên và một đường thẳng từ bên dưới.
Trên phân đoạn, theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Thực tế, công thức tính diện tích hình thang cong trong nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ đơn giản số 3) là một trường hợp đặc biệt của công thức . Vì trục được cho bởi phương trình và đồ thị của hàm có vị trí không cao hơn trục, sau đó

Và bây giờ là một vài ví dụ cho một giải pháp độc lập

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Tìm diện tích của hình được bao bởi các đường,.

Trong quá trình giải các bài toán tính diện tích bằng một tích phân nào đó, đôi khi vẫn xảy ra một sự cố buồn cười. Bản vẽ đã được thực hiện chính xác, các tính toán chính xác, nhưng do không chú ý ... tìm thấy khu vực của hình sai, đó là cách mà người hầu ngoan ngoãn của bạn đã làm hỏng nhiều lần. Đây là một trường hợp thực tế:

Ví dụ 7

Tính diện tích của hình bị giới hạn bởi các đường,,,.

Quyết định: Hãy vẽ trước:

… Eh, bản vẽ thì tào lao, nhưng mọi thứ có vẻ dễ đọc.

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam.(xem kỹ tình trạng - con số có hạn!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý, "trục trặc" thường xảy ra, bạn cần tìm vùng của \ u200b \ u200b của hình được tô màu xanh lá cây!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ, diện tích \ u200b \ u200b của hình được tính bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Thật sự:

1) Trên đoạn thẳng trên trục có đồ thị là đường thẳng;

2) Trên đoạn nằm trên trục là đồ thị hyperbol.

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Trả lời:

Hãy chuyển sang một nhiệm vụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 8

Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường,
Hãy trình bày các phương trình ở dạng "trường" và thực hiện vẽ từng điểm:

Từ hình vẽ có thể thấy rằng giới hạn trên của chúng ta là "tốt" :.
Nhưng giới hạn dưới là gì? Rõ ràng đây không phải là một số nguyên, nhưng là gì? Có lẽ ? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, nó có thể thành ra điều đó. Hoặc root. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng tôi không hiểu được biểu đồ đúng?

Trong những trường hợp như vậy, người ta phải dành thêm thời gian và tinh chỉnh các giới hạn của tích hợp một cách phân tích.

Hãy tìm giao điểm của đường thẳng và parabol.
Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình:


,

Thật sự, .

Các giải pháp xa hơn là nhỏ, điều chính là không để bị nhầm lẫn trong các thay thế và các dấu hiệu, các tính toán ở đây không phải là dễ dàng nhất.

Trên phân khúc , theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Vâng, trong phần kết của bài học, chúng ta sẽ xem xét hai nhiệm vụ khó hơn.

Ví dụ 9

Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường,

Quyết định: Vẽ hình này trong hình vẽ.

Thiệt là quên kí lịch rồi làm lại hình, tiếc hùi hụi không hotz. Không phải bản vẽ, tóm lại hôm nay là một ngày =)

Đối với việc xây dựng từng điểm, cần phải biết sự xuất hiện của hình sin (và nói chung, rất hữu ích nếu biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản), cũng như một số giá trị sin, chúng có thể được tìm thấy trong bảng lượng giác. Trong một số trường hợp (như trường hợp này), cho phép xây dựng một bản vẽ giản đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân phải được hiển thị một cách chính xác về nguyên tắc.

Không có vấn đề gì với các giới hạn tích hợp ở đây, chúng tuân theo trực tiếp điều kiện: - "x" thay đổi từ 0 thành "pi". Chúng tôi đưa ra một quyết định khác:

Trên đoạn, đồ thị của hàm số nằm trên trục nên:

Hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số không âm $ f (x) $ liên tục trên đoạn $$ và các đường $ y = 0, \ x = a $ và $ x = b $ được gọi là hình thang cong.

Diện tích của hình thang lượn tương ứng được tính theo công thức:

$ S = \ int \ limit_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Các bài toán tìm diện tích hình thang cong có điều kiện chúng ta sẽ chia thành các loại $ 4 $. Hãy xem xét từng loại chi tiết hơn.

Loại I: hình thang cong được cho một cách rõ ràng. Sau đó áp dụng ngay công thức (*).

Ví dụ: tìm diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số $ y = 4- (x-2) ^ (2) $ và các đường $ y = 0, \ x = 1 $ và $ x = 3 $.

Hãy vẽ hình thang cong này.

Áp dụng công thức (*), ta tìm được diện tích của hình thang cong này.

$ S = \ int \ limit_ (1) ^ (3) (\ left (4 - (x-2) ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limit_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ limit_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ left. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ right | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ right) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ left ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Loại II: hình thang cong được đưa ra một cách ngầm định. Trong trường hợp này, các đường thẳng $ x = a, \ x = b $ thường không được chỉ định hoặc được chỉ định một phần. Trong trường hợp này, bạn cần tìm giao điểm của hai hàm $ y = f (x) $ và $ y = 0 $. Các điểm này sẽ là điểm $ a $ và $ b $.

Ví dụ, tìm diện tích của hình bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm $ y = 1-x ^ (2) $ và $ y = 0 $.

Hãy tìm các giao điểm. Để làm điều này, chúng tôi đánh đồng các phần bên phải của các chức năng.

Vậy $ a = -1 $ và $ b = 1 $. Hãy vẽ hình thang cong này.

Tìm thiết diện của hình thang cong này.

$ S = \ int \ giới hạn _ (- 1) ^ (1) (\ left (1-x ^ (2) \ right) dx) = \ int \ giới hạn _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ giới hạn _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (-1) ^ (1) = $

$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 2 - \ frac (1) (3) \ left (1 + 1 \ right) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Loại III: diện tích hình giới hạn bởi giao điểm của hai hàm số không âm liên tục. Hình này sẽ không phải là hình thang cong, có nghĩa là sử dụng công thức (*) bạn không thể tính được diện tích của nó. Làm sao để? Nó chỉ ra rằng diện tích của hình này có thể được tìm thấy là sự khác biệt giữa diện tích của hình thang cong giới hạn bởi hàm trên và $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $) và hàm dưới và $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $), trong đó vai trò của $ x = a, \ x = b $ được thực hiện bởi tọa độ $ x $ của các giao điểm của các hàm này, tức là

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

Điều quan trọng nhất khi tính toán các khu vực như vậy là không "bỏ sót" với sự lựa chọn của các chức năng trên và dưới.

Ví dụ, tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các hàm $ y = x ^ (2) $ và $ y = x + 6 $.

Hãy tìm giao điểm của các đồ thị này:

Theo định lý Vieta,

$ x_ (1) = - 2, \ x_ (2) = 3. $

Tức là, $ a = -2, \ b = 3 $. Hãy vẽ một hình dạng:

Vậy hàm số trên là $ y = x + 6 $ và hàm số dưới là $ y = x ^ (2) $. Tiếp theo, tìm $ S_ (uf) $ và $ S_ (lf) $ bằng công thức (*).

$ S_ (uf) = \ int \ giới hạn _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ giới hạn _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ giới hạn _ (- 2 ) ^ (3) (6dx) = \ left. \ Frac (x ^ (2)) (2) \ right | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3) = 32 , 5 $ (đơn vị $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limit _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ left. \ Frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (- 2) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Thay thế được tìm thấy trong (**) và nhận được:

$ S = 32,5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Loại IV: diện tích của một hình bị giới hạn bởi (các) hàm không thỏa mãn điều kiện không âm.Để tìm được diện tích của một hình như vậy, bạn cần phải đối xứng qua trục $ Ox $ ( nói cách khác,đặt “minuses” trước các chức năng) hiển thị khu vực và sử dụng các phương pháp được mô tả trong loại I - III, tìm diện tích của khu vực được hiển thị. Khu vực này sẽ là khu vực bắt buộc. Đầu tiên, bạn có thể phải tìm các giao điểm của các đồ thị hàm số.

Ví dụ, tìm diện tích của hình bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm $ y = x ^ (2) -1 $ và $ y = 0 $.

Hãy tìm giao điểm của các đồ thị hàm số:

những thứ kia. $ a = -1 $ và $ b = 1 $. Hãy vẽ khu vực.

Hãy hiển thị khu vực một cách đối xứng:

$ y = 0 \ \ Rightarrow \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ \ Rightarrow \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.

Bạn nhận được một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số $ y = 1-x ^ (2) $ và $ y = 0 $. Đây là bài toán tìm hình thang cong loại hai. Chúng tôi đã giải quyết nó. Câu trả lời là: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $). Vì vậy, diện tích của hình thang cong mong muốn bằng:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Xét một hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, một đường cong y \ u003d f (x) và hai đường thẳng: x \ u003d a và x \ u003d b (Hình 85). Lấy một giá trị tùy ý của x (chỉ không a và không b). Chúng ta hãy cho nó một gia số h = dx và coi một dải được giới hạn bởi các đường thẳng AB và CD, bởi trục Ox và bởi một cung BD thuộc đường cong đang xét. Dải này sẽ được gọi là dải sơ cấp. Diện tích của dải sơ cấp khác với diện tích của hình chữ nhật ACQB bởi tam giác cong BQD và diện tích của dải sau nhỏ hơn diện tích của hình chữ nhật BQDM với các cạnh BQ = = h = dx) QD = Ay và diện tích bằng hAy = Ay dx. Khi bên h giảm, bên Du cũng giảm và đồng thời với h, có xu hướng bằng không. Do đó, diện tích BQDM là vô số của bậc hai. Diện tích của dải sơ cấp là phần tăng diện tích và diện tích của hình chữ nhật ACQB, bằng AB-AC == / (x) dx> là vi phân diện tích. Do đó, chúng tôi tìm diện tích bằng cách tích phân vi phân của nó. Trong giới hạn của hình đang xét, biến độc lập l: thay đổi từ a thành b, do đó diện tích yêu cầu 5 sẽ bằng 5 = \ f (x) dx. (I) Ví dụ 1. Tính diện tích giới hạn bởi parabol y - 1 -x *, các đường thẳng X \ u003d - Fj-, x \ u003d 1 và trục O * (Hình 86). tại Hình. 87. Hình. 86. 1 Ở đây f (x) = 1 - l ?, các giới hạn của tích phân a = - và t = 1, do đó 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Ví dụ 2. Tính diện tích giới hạn của hình sin y = sinXy, trục Ox và đường thẳng (Hình 87). Áp dụng công thức (I), ta thu được L 2 S \ u003d J sinxdx \ u003d [-cos x] Q \ u003d 0 - (-1) \ u003d lf Ví dụ 3. Tính diện tích giới hạn bởi cung của hình sin ^ y \ u003d sin jc nằm giữa hai giao điểm kề nhau với trục Ox (ví dụ: giữa gốc tọa độ và điểm có hoành độ i). Lưu ý rằng từ việc xem xét hình học, rõ ràng diện tích này sẽ gấp đôi diện tích của ví dụ trước. Tuy nhiên, hãy thực hiện các phép tính: i 5 = | s \ nxdx \ u003d [- cosx) * - - cos i- (- cos 0) \ u003d 1 + 1 \ u003d 2. o Thật vậy, giả định của chúng tôi hóa ra là công bằng. Ví dụ 4. Tính diện tích giới hạn bởi hình sin và trục Ox trong một chu kỳ (Hình 88). Các phán đoán sơ bộ về con số cho thấy diện tích sẽ lớn hơn gấp 4 lần so với ở pr. 2. Tuy nhiên, sau khi thực hiện các phép tính, chúng tôi nhận được “i G, * i S - \ sin x dx \ u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \ u003d - 1 + 1 \ u003d 0. Kết quả này cần được làm rõ. Để làm rõ bản chất của vấn đề, chúng tôi cũng tính diện tích giới hạn bởi cùng một hình sin y \ u003d sin l: và trục Ox nằm trong khoảng từ l đến 2n. Áp dụng công thức (I), chúng ta thu được Như vậy, chúng ta thấy rằng khu vực này đã hóa ra tiêu cực. So sánh nó với diện tích được tính trong Ví dụ 3, chúng tôi thấy rằng các giá trị tuyệt đối của chúng là như nhau, nhưng các dấu hiệu khác nhau. Nếu chúng ta áp dụng tính chất V (xem Ch. XI, § 4), thì chúng ta tình cờ nhận được. Luôn luôn là vùng bên dưới trục x, với điều kiện là biến độc lập thay đổi từ trái sang phải, thu được bằng cách tính toán bằng cách sử dụng tích phân âm. Trong khóa học này, chúng tôi sẽ luôn xem xét các khu vực không có dấu. Do đó, câu trả lời trong ví dụ vừa phân tích sẽ như sau: diện tích yêu cầu bằng 2 + | -2 | = 4. Ví dụ 5. Hãy tính diện tích của BAB trong hình. 89. Diện tích này giới hạn bởi trục Ox, parabol y = - xr và đường thẳng y - = -x + \. Diện tích hình thang sin Diện tích cần tìm OAB gồm hai phần: OAM và MAB. Vì điểm A là giao điểm của parabol và đường thẳng nên ta tìm tọa độ của nó bằng cách giải hệ phương trình 3 2 Y \ u003d mx. (ta chỉ cần tìm hoành độ của điểm A). Giải hệ, ta tìm được l; = ~. Vì vậy, diện tích phải được tính toán theo từng phần, đầu tiên xin vui lòng. OAM, và sau đó làm ơn. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM- ^ x = [thay thế:

] =

Do đó, tích phân không đúng hội tụ và giá trị của nó bằng.