Cách tìm đạo hàm của hàm số theo bậc. Đạo hàm của một hàm số logarit

Chứng minh và rút ra các công thức về đạo hàm của cấp số nhân (e thành lũy thừa của x) và hàm số mũ (a với lũy thừa của x). Ví dụ về tính đạo hàm của e ^ 2x, e ^ 3x và e ^ nx. Công thức cho các dẫn xuất của đơn đặt hàng cao hơn.

Đạo hàm của số mũ bằng chính số mũ (đạo hàm của e theo lũy thừa của x bằng e với lũy thừa của x):
(1) (e x) ′ = e x.

Đạo hàm của hàm số mũ có cơ số a bằng chính hàm số đó, nhân với logarit tự nhiên của a:
(2) .

Suy ra công thức tính đạo hàm của số mũ, e thành lũy thừa của x

Số mũ là một hàm số mũ có cơ số mũ bằng số e, giới hạn nào sau đây:
.
Ở đây nó có thể là một số tự nhiên hoặc một số thực. Tiếp theo, chúng ta suy ra công thức (1) cho đạo hàm của số mũ.

Suy ra công thức tính đạo hàm của số mũ

Xét số mũ, e thành lũy thừa của x:
y = e x.
Chức năng này được xác định cho tất cả. Hãy tìm đạo hàm của nó đối với x. Theo định nghĩa, đạo hàm là giới hạn sau:
(3) .

Hãy biến đổi biểu thức này để giảm nó thành các tính chất và quy tắc toán học đã biết. Đối với điều này, chúng tôi cần các dữ kiện sau:
NHƯNG) Thuộc tính lũy thừa:
(4) ;
B) Thuộc tính lôgarit:
(5) ;
TẠI) Tính liên tục của lôgarit và tính chất của giới hạn cho một hàm liên tục:
(6) .
Đây, là một số hàm có giới hạn và giới hạn này là dương.
G)Ý nghĩa của giới hạn tuyệt vời thứ hai:
(7) .

Chúng tôi áp dụng những dữ kiện này vào giới hạn của chúng tôi (3). Chúng tôi sử dụng thuộc tính (4):
;
.

Hãy thay người. Sau đó ; .
Do tính liên tục của số mũ,
.
Do đó, tại,. Kết quả là, chúng tôi nhận được:
.

Hãy thay người. Sau đó . Tại , . Và chúng ta có:
.

Chúng tôi áp dụng tính chất của lôgarit (5):
. sau đó
.

Hãy để chúng tôi áp dụng tài sản (6). Vì có giới hạn dương và lôgarit là liên tục nên:
.
Ở đây chúng tôi cũng đã sử dụng giới hạn đáng chú ý thứ hai (7). sau đó
.

Như vậy, chúng ta đã có được công thức (1) cho đạo hàm của số mũ.

Suy ra công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

Bây giờ ta suy ra công thức (2) cho đạo hàm của hàm số mũ với cơ số là a. Chúng tôi tin rằng và. Khi đó, hàm mũ
(8)
Được xác định cho tất cả mọi người.

Hãy biến đổi công thức (8). Đối với điều này, chúng tôi sử dụng thuộc tính của hàm số mũ và logarit.
;
.
Vì vậy, chúng tôi đã biến đổi công thức (8) thành dạng sau:
.

Đạo hàm bậc cao của e với lũy thừa của x

Bây giờ chúng ta hãy tìm các dẫn xuất của các lệnh cao hơn. Trước tiên hãy nhìn vào số mũ:
(14) .
(1) .

Ta thấy rằng đạo hàm của hàm số (14) bằng chính hàm số (14). Phân biệt (1), chúng ta thu được các đạo hàm bậc hai và bậc ba:
;
.

Điều này cho thấy rằng đạo hàm bậc n cũng bằng hàm ban đầu:
.

Đạo hàm bậc cao của hàm mũ

Bây giờ hãy xem xét một hàm số mũ với cơ số là a:
.
Chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm bậc nhất của nó:
(15) .

Phân biệt (15), chúng ta thu được các dẫn xuất bậc hai và bậc ba:
;
.

Chúng ta thấy rằng mỗi sự khác biệt dẫn đến nhân của nguyên hàm với. Do đó, đạo hàm cấp n có dạng sau:
.

Định nghĩa hàm số mũ. Tính đạo hàm của một công thức tính đạo hàm của nó. Các ví dụ về tính đạo hàm của hàm số mũ được phân tích chi tiết.

hàm số mũ là một hàm có dạng hàm lũy thừa
y = u v,
có cơ số u và số mũ v là một số hàm của biến x:
u = u (x); v = v (x).
Chức năng này còn được gọi là lũy thừa hoặc .

Lưu ý rằng hàm mũ có thể được biểu diễn dưới dạng hàm mũ:
.
Do đó, nó còn được gọi là hàm số mũ phức tạp.

Tính toán sử dụng đạo hàm lôgarit

Tìm đạo hàm của hàm số mũ
(2) ,
ở đâu và là các hàm của biến.
Để làm điều này, chúng ta lấy logarit của phương trình (2), sử dụng tính chất của logarit:
.
Phân biệt với x:
(3) .
Nộp đơn các quy tắc để phân biệt một chức năng phức tạp và hoạt động:
;
.

Thay thế trong (3):
.
Từ đây
.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm của hàm số mũ:
(1) .
Nếu số mũ không đổi thì. Khi đó đạo hàm bằng đạo hàm của hàm lũy thừa:
.
Nếu cơ sở của li độ là không đổi thì. Khi đó đạo hàm bằng đạo hàm của hàm số mũ hợp chất:
.
Khi và là các hàm của x thì đạo hàm của hàm số mũ bằng tổng các đạo hàm của hàm hợp và hàm số mũ.

Tính đạo hàm bằng cách rút gọn thành một hàm số mũ phức

Bây giờ chúng ta tìm đạo hàm của hàm số mũ
(2) ,
biểu diễn nó dưới dạng một hàm số mũ phức tạp:
(4) .

Hãy phân biệt sản phẩm:
.
Chúng tôi áp dụng quy tắc để tìm đạo hàm của một hàm phức:

.
Và chúng ta lại có công thức (1).

ví dụ 1

Tìm đạo hàm của hàm số sau:
.

Quyết định

Chúng tôi tính toán bằng cách sử dụng đạo hàm lôgarit. Chúng tôi lấy logarit của hàm ban đầu:
(P1.1) .

Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
;
.
Theo công thức tính đạo hàm của một tích, chúng ta có:
.
Chúng tôi phân biệt (A1.1):
.
Trong chừng mực
,
sau đó
.

Trả lời

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số
.

Quyết định

Chúng tôi lấy logarit của hàm ban đầu:
(P2.1) .

Phép toán tìm đạo hàm được gọi là phép phân biệt.

Kết quả của việc giải các bài toán tìm đạo hàm của các hàm đơn giản nhất (và không đơn giản lắm) bằng cách định nghĩa đạo hàm là giới hạn của tỷ số giữa số tăng với số gia của đối số, một bảng đạo hàm và các quy tắc phân biệt được xác định chính xác đã xuất hiện. . Isaac Newton (1643-1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) là những người đầu tiên làm việc trong lĩnh vực tìm kiếm các dẫn xuất.

Vì vậy, ở thời đại chúng ta, để tìm đạo hàm của một hàm số nào đó, không cần tính giới hạn nói trên của tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số mà chỉ cần sử dụng bảng. của các dẫn xuất và các quy luật phân biệt. Thuật toán sau đây phù hợp để tìm đạo hàm.

Để tìm đạo hàm, bạn cần một biểu thức dưới dấu đột quỵ chia nhỏ các chức năng đơn giản và xác định những hành động (tích, tổng, thương) các chức năng này có liên quan với nhau. Hơn nữa, chúng ta tìm thấy các đạo hàm của các hàm cơ bản trong bảng đạo hàm và các công thức cho các đạo hàm của tích, tổng và thương - trong các quy tắc phân biệt. Bảng đạo hàm và quy tắc phân biệt được đưa ra sau hai ví dụ đầu tiên.

ví dụ 1 Tìm đạo hàm của một hàm số

Quyết định. Từ các quy tắc phân biệt, chúng ta phát hiện ra rằng đạo hàm của tổng các hàm là tổng các đạo hàm của các hàm, tức là

Từ bảng đạo hàm, ta tìm ra đạo hàm của "X" bằng một, và đạo hàm của sin là côsin. Ta thay các giá trị này vào tổng các đạo hàm và tìm đạo hàm theo yêu cầu của bài toán:

Ví dụ 2 Tìm đạo hàm của một hàm số

Quyết định. Phân biệt đạo hàm của tổng, trong đó số hạng thứ hai với hệ số không đổi, nó có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm:

Nếu vẫn còn thắc mắc về nguồn gốc của thứ gì đó, thì chúng, như một quy luật, sẽ trở nên rõ ràng sau khi đọc bảng đạo hàm và các quy tắc phân biệt đơn giản nhất. Chúng tôi sẽ đến với họ ngay bây giờ.

Bảng đạo hàm của các hàm đơn giản

1. Đạo hàm của một (số) hằng số. Bất kỳ số nào (1, 2, 5, 200 ...) có trong biểu thức hàm. Luôn luôn là số không. Điều này rất quan trọng cần nhớ, vì nó được yêu cầu rất thường xuyên
2. Đạo hàm của biến độc lập. Thông thường nhất là "x". Luôn luôn bằng một. Điều này cũng quan trọng cần nhớ
3. Đạo hàm của độ. Khi giải bài toán, bạn cần chuyển các căn bậc hai thành lũy thừa.
4. Đạo hàm của một biến thành lũy thừa của -1
5. Đạo hàm của căn bậc hai
6. Đạo hàm sin
7. Đạo hàm cosin
8. Đạo hàm tiếp tuyến
9. Đạo hàm của cotang
10. Đạo hàm của arcsine
11. Đạo hàm của cung cosin
12. Đạo hàm của tiếp tuyến cung
13. Đạo hàm của tiếp tuyến nghịch đảo
14. Đạo hàm của lôgarit tự nhiên
15. Đạo hàm của một hàm số lôgarit
16. Đạo hàm của số mũ
17. Đạo hàm của hàm số mũ

Quy tắc phân biệt

1. Đạo hàm của tổng hoặc hiệu
2. Phái sinh của một sản phẩm
2a. Đạo hàm của một biểu thức nhân với một hệ số không đổi
3. Đạo hàm của thương số
4. Đạo hàm của một hàm phức

Quy tắc 1Nếu chức năng

có thể phân biệt được ở một số điểm, sau đó ở cùng một thời điểm, các chức năng

và

những thứ kia. đạo hàm của tổng đại số của các hàm bằng tổng đại số của đạo hàm của các hàm này.

Hậu quả. Nếu hai hàm phân biệt khác nhau bởi một hằng số, thì đạo hàm của chúng là, I E.

Quy tắc 2Nếu chức năng

có thể khác biệt ở một số điểm, thì sản phẩm của họ cũng có thể khác biệt ở cùng một điểm

và

những thứ kia. Đạo hàm của tích của hai hàm bằng tổng của tích của mỗi hàm này và đạo hàm của hàm kia.

Hệ quả 1. Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm:

Hệ quả 2. Đạo hàm của tích của một số hàm phân biệt bằng tổng các tích của đạo hàm của từng thừa số và của tất cả các nhân tố khác.

Ví dụ, đối với ba cấp số nhân:

Quy tắc 3Nếu chức năng

có thể phân biệt ở một số điểm và , thì tại thời điểm này, thương số của chúng cũng có thể phân biệt được.u / v, và

những thứ kia. đạo hàm của một thương số của hai hàm số bằng một phân số có tử số là hiệu giữa tích của mẫu số và đạo hàm của tử số và tử số và đạo hàm của mẫu số và mẫu số là bình phương của tử số cũ .

Tìm ở đâu trên các trang khác

Khi tìm đạo hàm của tích và thương trong các bài toán thực, luôn phải áp dụng một lúc nhiều quy tắc phân biệt, vì vậy trong bài viết có thêm các ví dụ về các đạo hàm này."Đạo hàm của một tích và một thương số".

Nhận xét. Bạn không nên nhầm lẫn một hằng số (nghĩa là một số) là một số hạng trong tổng và như một hệ số hằng số! Trong trường hợp một số hạng, đạo hàm của nó bằng 0 và trong trường hợp một thừa số không đổi, nó được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Đây là một sai lầm điển hình thường xảy ra ở giai đoạn đầu nghiên cứu đạo hàm, nhưng khi học sinh trung bình giải một số ví dụ một hai thành phần, sai lầm này không còn mắc phải nữa.

Và nếu, khi phân biệt một sản phẩm hoặc một thương số, bạn có một thuật ngữ u"v, trong đó u- một số, ví dụ, 2 hoặc 5, tức là một hằng số, thì đạo hàm của số này sẽ bằng 0 và do đó, toàn bộ số hạng sẽ bằng 0 (trường hợp như vậy được phân tích trong ví dụ 10) .

Một sai lầm phổ biến khác là giải pháp cơ học của đạo hàm của một hàm phức tạp là đạo hàm của một hàm đơn giản. Cho nên đạo hàm của một hàm phức dành cho một bài báo riêng biệt. Nhưng trước hết chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của các hàm đơn giản.

Trên đường đi, bạn không thể làm mà không có các phép biến đổi của các biểu thức. Để làm điều này, bạn có thể cần phải mở trong sổ tay hướng dẫn sử dụng cửa sổ mới Hành động có quyền hạn và nguồn gốc và Các thao tác với phân số .

Nếu bạn đang tìm kiếm các giải pháp cho các đạo hàm có lũy thừa và gốc, nghĩa là khi hàm trông giống như , sau đó theo dõi bài “Đạo hàm của tổng phân số với lũy thừa và nghiệm nguyên”.

Nếu bạn có một nhiệm vụ như , thì bạn đang ở bài học "Đạo hàm của hàm số lượng giác đơn giản".

Ví dụ từng bước - cách tìm đạo hàm

Ví dụ 3 Tìm đạo hàm của một hàm số

Quyết định. Chúng tôi xác định các phần của biểu thức của hàm: toàn bộ biểu thức đại diện cho sản phẩm và các thừa số của nó là tổng, trong phần thứ hai của số hạng đó chứa một hệ số không đổi. Ta áp dụng quy tắc phân biệt tích: đạo hàm của tích hai hàm bằng tổng tích của mỗi hàm này và đạo hàm của hàm kia:

Tiếp theo, ta áp dụng quy tắc phân biệt của tổng: đạo hàm của tổng đại số của các hàm số bằng tổng đại số của đạo hàm của các hàm này. Trong trường hợp của chúng ta, trong mỗi tổng, số hạng thứ hai với một dấu trừ. Trong mỗi tổng, chúng ta thấy cả một biến độc lập, đạo hàm của nó bằng một, và một hằng số (số), đạo hàm của nó bằng không. Vì vậy, "x" biến thành một, và trừ 5 - thành không. Trong biểu thức thứ hai, "x" được nhân với 2, vì vậy chúng ta nhân hai với cùng đơn vị với đạo hàm của "x". Chúng tôi nhận được các giá trị sau của các dẫn xuất:

Chúng ta thay các đạo hàm tìm được thành tổng các tích và thu được đạo hàm của toàn hàm theo yêu cầu của bài toán:

Ví dụ 4 Tìm đạo hàm của một hàm số

Quyết định. Chúng tôi được yêu cầu để tìm đạo hàm của thương. Ta áp dụng công thức phân biệt một thương số: Đạo hàm của một thương số của hai hàm số bằng một phân số có tử số là hiệu giữa tích của mẫu số và đạo hàm của tử số và tử số và đạo hàm của mẫu số, và mẫu số là bình phương của tử số cũ. Chúng tôi nhận được:

Chúng ta đã tìm ra đạo hàm của các thừa số trong tử số trong Ví dụ 2. Cũng đừng quên rằng tích, là thừa số thứ hai trong tử số, được lấy bằng dấu trừ trong ví dụ hiện tại:

Nếu bạn đang tìm kiếm giải pháp cho những vấn đề như vậy, trong đó bạn cần tìm đạo hàm của một hàm số, trong đó có một đống liên tục các nghiệm thức và độ, chẳng hạn như, sau đó chào mừng bạn đến lớp "Đạo hàm của tổng phân số với lũy thừa và căn" .

Nếu bạn cần tìm hiểu thêm về các đạo hàm của sin, cosin, tiếp tuyến và các hàm lượng giác khác, tức là khi hàm có dạng , sau đó bạn có một bài học "Đạo hàm của các hàm lượng giác đơn giản" .

Ví dụ 5 Tìm đạo hàm của một hàm số

Quyết định. Trong hàm này, chúng ta thấy một tích, một trong những thừa số của nó là căn bậc hai của biến độc lập, với đạo hàm mà chúng ta đã làm quen trong bảng đạo hàm. Theo quy tắc phân biệt tích và giá trị dạng bảng của đạo hàm của căn bậc hai, ta nhận được:

Ví dụ 6 Tìm đạo hàm của một hàm số

Quyết định. Trong hàm này, chúng ta thấy thương, cổ tức là căn bậc hai của biến độc lập. Theo quy tắc phân biệt của thương, chúng ta đã lặp lại và áp dụng trong ví dụ 4, và giá trị dạng bảng của đạo hàm của căn bậc hai, chúng ta nhận được:

Để loại bỏ phân số ở tử số, hãy nhân tử số và mẫu số với.

Trên đó chúng ta đã phân tích các đạo hàm đơn giản nhất, đồng thời làm quen với các quy tắc phân biệt và một số kỹ thuật tìm đạo hàm. Vì vậy, nếu bạn không rành về đạo hàm của hàm số hoặc một số điểm của bài viết này chưa hoàn toàn rõ ràng, thì trước tiên hãy đọc bài học trên. Vui lòng điều chỉnh tâm trạng nghiêm túc - tài liệu không dễ, nhưng tôi vẫn sẽ cố gắng trình bày đơn giản và rõ ràng.

Trong thực tế, bạn phải xử lý đạo hàm của một hàm phức tạp rất thường xuyên, tôi thậm chí sẽ nói hầu như luôn luôn, khi bạn được giao nhiệm vụ tìm đạo hàm.

Chúng ta xem bảng ở quy tắc (số 5) để phân biệt một hàm phức tạp:

Chúng ta hiểu. Trước hết, chúng ta hãy nhìn vào ký hiệu. Ở đây chúng ta có hai hàm - và, hàm, nói một cách hình tượng, được lồng trong hàm. Một hàm thuộc loại này (khi một hàm được lồng trong một hàm khác) được gọi là một hàm phức.

Tôi sẽ gọi hàm chức năng bên ngoài, và chức năng - hàm bên trong (hoặc lồng nhau).

! Những định nghĩa này không phải là lý thuyết và không nên xuất hiện trong thiết kế cuối cùng của các bài tập. Tôi chỉ sử dụng các biểu thức không chính thức "hàm bên ngoài", "hàm bên trong" để giúp bạn hiểu tài liệu dễ dàng hơn.

Để làm rõ tình hình, hãy xem xét:

ví dụ 1

Tìm đạo hàm của một hàm số

Dưới sin, chúng ta không chỉ có ký tự "x", mà là toàn bộ biểu thức, vì vậy việc tìm đạo hàm ngay lập tức từ bảng sẽ không hiệu quả. Chúng tôi cũng nhận thấy rằng không thể áp dụng bốn quy tắc đầu tiên ở đây, có vẻ như có sự khác biệt, nhưng thực tế là không thể "xé nhỏ" sin:

Trong ví dụ này, đã có từ những giải thích của tôi, trực quan rõ ràng rằng hàm là một hàm phức, và đa thức là một hàm bên trong (nhúng) và một hàm bên ngoài.

Bước đầu tiên, phải được thực hiện khi tìm đạo hàm của một hàm phức là hiểu chức năng nào là bên trong và chức năng nào là bên ngoài.

Trong trường hợp ví dụ đơn giản, rõ ràng là một đa thức được lồng dưới sin. Nhưng nếu nó không rõ ràng thì sao? Làm thế nào để xác định chính xác chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong? Để làm điều này, tôi đề xuất sử dụng kỹ thuật sau, có thể được thực hiện trong tâm trí hoặc trên bản nháp.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần tính giá trị của biểu thức bằng máy tính (thay vì một, có thể có bất kỳ số nào).

Chúng ta tính cái gì đầu tiên? Chủ yếu bạn sẽ cần thực hiện hành động sau:, vì vậy đa thức sẽ là một hàm bên trong:

Thứ hai bạn sẽ cần phải tìm, vì vậy sin - sẽ là một hàm bên ngoài:

Sau khi chúng ta HIỂU KHÔNG với hàm bên trong và hàm bên ngoài, đã đến lúc áp dụng quy tắc phân biệt hàm ghép .

Chúng tôi bắt đầu quyết định. Từ bài học Làm thế nào để tìm đạo hàm? chúng tôi nhớ rằng thiết kế của nghiệm của bất kỳ đạo hàm nào luôn bắt đầu như thế này - chúng tôi đặt biểu thức trong dấu ngoặc và đặt một nét ở trên cùng bên phải:

Lúc đầu ta tìm đạo hàm của hàm ngoài (sin), tra bảng đạo hàm của hàm sơ cấp và nhận thấy điều đó. Tất cả các công thức dạng bảng đều có thể áp dụng ngay cả khi "x" được thay thế bằng một biểu thức phức tạp, trong trường hợp này:

Lưu ý rằng chức năng bên trong không thay đổi, chúng tôi không chạm vào nó.

Chà, rõ ràng là

Kết quả của việc áp dụng công thức sạch sẽ trông như thế này:

Hệ số hằng thường được đặt ở đầu biểu thức:

Nếu có bất kỳ sự hiểu lầm nào, hãy viết quyết định ra giấy và đọc lại các giải thích.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của một hàm số

Như mọi khi, chúng tôi viết:

Chúng tôi tìm ra đâu là chức năng bên ngoài và đâu là chức năng bên trong. Để làm điều này, chúng tôi thử (tính nhẩm hoặc trên nháp) để tính giá trị của biểu thức cho. Điều gì cần phải được thực hiện đầu tiên? Trước hết, bạn cần tính cơ số bằng:, nghĩa là đa thức là hàm nội:

Và, chỉ khi đó phép lũy thừa mới được thực hiện, do đó, hàm lũy thừa là một hàm bên ngoài:

Theo công thức , trước tiên bạn cần tìm đạo hàm của hàm số bên ngoài, trong trường hợp này là độ. Chúng tôi đang tìm kiếm công thức mong muốn trong bảng:. Chúng tôi nhắc lại một lần nữa: bất kỳ công thức dạng bảng nào không chỉ hợp lệ cho "x" mà còn cho một biểu thức phức tạp. Như vậy, kết quả của việc áp dụng quy luật phân biệt của một hàm phức Kế tiếp:

Tôi nhấn mạnh lại rằng khi chúng ta lấy đạo hàm của hàm số bên ngoài, hàm số bên trong không thay đổi:

Bây giờ nó vẫn còn để tìm một đạo hàm rất đơn giản của hàm bên trong và "lược" kết quả một chút:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ để bạn tự giải (đáp án ở cuối bài).

Để củng cố sự hiểu biết về đạo hàm của một hàm phức, tôi sẽ đưa ra một ví dụ không có nhận xét, bạn thử tự tìm hiểu xem, lý do, đâu là ngoại diên và đâu là nội hàm, tại sao các nhiệm vụ lại được giải theo cách đó?

Ví dụ 5

a) Tìm đạo hàm của hàm số

b) Tìm đạo hàm của hàm số

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây chúng ta có một gốc, và để phân biệt gốc, nó phải được biểu diễn dưới dạng một mức độ. Do đó, trước tiên chúng ta đưa hàm về dạng thích hợp để phân biệt:

Phân tích hàm số, chúng ta đi đến kết luận rằng tổng của ba số hạng là một hàm số bên trong và lũy thừa là một hàm số bên ngoài. Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức :

Bậc một lần nữa được biểu diễn dưới dạng một căn (gốc), và đối với đạo hàm của hàm nội, chúng ta áp dụng một quy tắc đơn giản để phân biệt tổng:

Sẵn sàng. Bạn cũng có thể đưa biểu thức về một mẫu số chung trong ngoặc và viết mọi thứ dưới dạng một phân số. Tất nhiên là đẹp, nhưng khi lấy được các dẫn xuất dài dòng rườm rà, tốt hơn hết bạn không nên làm điều này (dễ nhầm lẫn, mắc lỗi không đáng có và sẽ bất tiện cho giáo viên khi kiểm tra).

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ để bạn tự giải (đáp án ở cuối bài).

Điều thú vị là đôi khi, thay vì quy tắc phân biệt một hàm phức tạp, người ta có thể sử dụng quy tắc để phân biệt một thương số , nhưng một giải pháp như vậy sẽ giống như một sự biến thái không bình thường. Đây là một ví dụ điển hình:

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây bạn có thể sử dụng quy tắc phân biệt của thương số , nhưng sẽ có lợi hơn nhiều nếu tìm đạo hàm thông qua quy tắc phân biệt của một hàm phức:

Chúng tôi chuẩn bị hàm để phân biệt - chúng tôi lấy đi dấu trừ của đạo hàm và nâng côsin lên tử số:

Cosine là một hàm bên trong, lũy thừa là một hàm bên ngoài.
Hãy sử dụng quy tắc của chúng tôi :

Chúng tôi tìm đạo hàm của hàm bên trong, đặt lại cosine trở lại:

Sẵn sàng. Trong ví dụ được xem xét, điều quan trọng là không bị nhầm lẫn trong các dấu hiệu. Nhân tiện, hãy thử giải quyết nó bằng quy tắc , các câu trả lời phải phù hợp.

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ để bạn tự giải (đáp án ở cuối bài).

Cho đến nay, chúng tôi đã xem xét các trường hợp mà chúng tôi chỉ có một tổ hợp trong một hàm phức tạp. Trong các tác vụ thực tế, bạn thường có thể tìm thấy các dẫn xuất, trong đó, giống như những con búp bê lồng vào nhau, cái này bên trong cái kia, 3 hoặc thậm chí 4-5 hàm được lồng cùng một lúc.

Ví dụ 10

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng tôi hiểu các tệp đính kèm của chức năng này. Chúng tôi cố gắng đánh giá biểu thức bằng cách sử dụng giá trị thực nghiệm. Làm thế nào chúng ta sẽ tính trên một máy tính?

Đầu tiên bạn cần tìm, có nghĩa là arcsine là tổ sâu nhất:

Cung hợp nhất này sau đó sẽ được bình phương:

Và cuối cùng, chúng tôi nâng bảy lên thành sức mạnh:

Nghĩa là, trong ví dụ này, chúng ta có ba hàm khác nhau và hai lồng nhau, trong khi hàm trong cùng là arcsine và hàm ngoài cùng là hàm mũ.

Chúng tôi bắt đầu quyết định

Theo quy luật trước tiên bạn cần lấy đạo hàm của hàm ngoài. Ta xem bảng đạo hàm và tìm đạo hàm của hàm số mũ: Chỉ khác là thay vì "x" ta có một biểu thức phức, điều này không phủ nhận tính hợp lệ của công thức này. Vì vậy, kết quả của việc áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức Kế tiếp.

Suy ra công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa (x thành lũy thừa của a). Đạo hàm của các gốc từ x được coi là. Công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa bậc cao. Các ví dụ về tính toán các đạo hàm.

Đạo hàm của x thành lũy thừa của a là một lần x thành lũy thừa của một trừ đi:
(1) .

Đạo hàm của căn bậc n của x với lũy thừa thứ m là:
(2) .

Suy ra công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa

Trường hợp x> 0

Xét một hàm lũy thừa của biến x với số mũ a:
(3) .
Đây là một số thực tùy ý. Hãy xem xét trường hợp đầu tiên.

Để tìm đạo hàm của hàm số (3), ta sử dụng các tính chất của hàm lũy thừa và biến nó về dạng sau:
.

Bây giờ chúng ta tìm đạo hàm bằng cách áp dụng:
;
.
Đây .

Công thức (1) được chứng minh.

Suy ra công thức tính đạo hàm của căn bậc n của x thành bậc m

Bây giờ hãy xem xét một hàm là gốc của biểu mẫu sau:
(4) .

Để tìm đạo hàm, chúng ta chuyển đổi gốc thành một hàm lũy thừa:
.
Đối chiếu với công thức (3), ta thấy rằng
.
sau đó
.

Theo công thức (1) ta tìm được đạo hàm:
(1) ;
;
(2) .

Trong thực tế, không cần thiết phải học thuộc công thức (2). Sẽ thuận tiện hơn nhiều khi chuyển đổi gốc thành hàm lũy thừa, và sau đó tìm các đạo hàm của chúng bằng công thức (1) (xem ví dụ ở cuối trang).

Trường hợp x = 0

Nếu, thì hàm mũ cũng được xác định cho giá trị của biến x = 0 . Hãy để chúng tôi tìm đạo hàm của hàm số (3) cho x = 0 . Để làm điều này, chúng tôi sử dụng định nghĩa của một đạo hàm:
.

Thay thế x = 0 :
.
Trong trường hợp này, bằng đạo hàm, chúng tôi có nghĩa là giới hạn bên phải cho giới hạn đó.

Vì vậy, chúng tôi nhận thấy:
.
Từ đó có thể thấy rằng tại,.
Tại , .
Tại , .
Kết quả này cũng thu được theo công thức (1):
(1) .
Do đó, công thức (1) cũng hợp lệ với x = 0 .

trường hợp x< 0

Hãy xem xét lại hàm (3):
(3) .
Đối với một số giá trị của hằng số a, nó cũng được xác định cho các giá trị âm của biến x. Cụ thể, hãy cho một số hữu tỉ. Sau đó, nó có thể được biểu diễn dưới dạng một phân số bất khả quy:
,
trong đó m và n là các số nguyên không có ước số chung.

Nếu n lẻ, thì hàm mũ cũng được xác định cho các giá trị âm của biến x. Ví dụ, cho n = 3 và m = 1 chúng ta có căn bậc hai của x:
.
Nó cũng được xác định cho các giá trị âm của x.

Hãy để chúng tôi tìm đạo hàm của hàm lũy thừa (3) cho và cho các giá trị hữu tỉ của hằng số a, mà nó được xác định. Để làm điều này, chúng tôi biểu diễn x ở dạng sau:
.
Sau đó ,
.
Ta tìm đạo hàm bằng cách lấy hằng số ra khỏi dấu của đạo hàm và áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm số phức:

.
Đây . Nhưng
.
Kể từ đó
.
sau đó
.
Nghĩa là, công thức (1) cũng hợp lệ cho:
(1) .

Phái sinh của các đơn đặt hàng cao hơn

Bây giờ chúng ta tìm các đạo hàm bậc cao của hàm lũy thừa
(3) .
Chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm bậc nhất:
.

Lấy hằng số a ra khỏi dấu của đạo hàm, ta tìm được đạo hàm cấp hai:
.
Tương tự, chúng tôi tìm thấy các dẫn xuất của lệnh thứ ba và thứ tư:
;

.

Từ đây rõ ràng là đạo hàm của một đơn hàng thứ n tùy ý có dạng sau:
.

thông báo rằng nếu a là số tự nhiên,, thì đạo hàm thứ n là hằng số:
.
Khi đó, tất cả các phái sinh tiếp theo đều bằng 0:
,
tại .

Ví dụ phái sinh

Ví dụ

Tìm đạo hàm của hàm số:
.

Quyết định

Hãy chuyển đổi gốc thành lũy thừa:
;
.
Khi đó, hàm gốc có dạng:
.

Chúng tôi tìm thấy các dẫn xuất của độ:
;
.
Đạo hàm của một hằng số bằng 0:
.