Lưu trữ tệp. StudFiles

Cuối cùng, tôi đã bắt tay vào một chủ đề mở rộng và được chờ đợi từ lâu hình học phân tích. Đầu tiên, một chút về phần này của toán học cao hơn…. Chắc chắn bây giờ bạn đã nhớ đến khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Phải giấu giếm, một môn học không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một tỷ lệ đáng kể sinh viên. Hình học giải tích, kỳ lạ thay, có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ "phân tích" có nghĩa là gì? Hai biến toán học được đóng dấu ngay lập tức xuất hiện trong tâm trí anh: "phương pháp đồ họa của giải pháp" và "phương pháp phân tích của giải pháp". Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng các đồ thị, hình vẽ. Phân tích tương tự phương pháp liên quan đến giải quyết vấn đề chủ yếu thông qua các phép toán đại số. Về mặt này, thuật toán để giải hầu hết các vấn đề của hình học giải tích là đơn giản và minh bạch, thường là đủ để áp dụng chính xác các công thức cần thiết - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, nó sẽ không làm gì nếu không có bản vẽ, ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng mang chúng đến những thứ cần thiết.

Quá trình mở của các bài học về hình học không đòi hỏi tính hoàn chỉnh về mặt lý thuyết, mà nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì, theo quan điểm của tôi, là quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần một tài liệu tham khảo đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi giới thiệu tài liệu khá dễ tiếp cận sau đây:

1) Một điều mà, không phải chuyện đùa, đã quen thuộc với nhiều thế hệ: Sách giáo khoa về hình học, các tác giả - L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo trong phòng thay đồ của trường học này đã chịu được 20 (!) Được phát hành lại, tất nhiên, đây không phải là giới hạn.

2) Hình học 2 tập. Các tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho giáo dục đại học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Các nhiệm vụ hiếm khi xảy ra có thể nằm ngoài tầm nhìn của tôi, và hướng dẫn sẽ giúp ích vô giá.

Cả hai cuốn sách đều được tải trực tuyến miễn phí. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải xuống các ví dụ toán học cao hơn.

Trong số các công cụ, tôi một lần nữa cung cấp sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm về hình học phân tích, điều này sẽ giúp đơn giản hóa cuộc sống và tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Giả thiết rằng người đọc đã quen thuộc với các khái niệm và hình học cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình lập phương, v.v. Nên nhớ một số định lý, ít nhất là định lý Pitago, xin chào các bạn lặp lại)

Và bây giờ chúng ta sẽ tuần tự xem xét: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Hơn nữa, tôi khuyên bạn nên đọc bài báo quan trọng nhất Tích chấm của vectơ, cũng như Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Nhiệm vụ cục bộ sẽ không thừa - Phân chia phân khúc về vấn đề này. Dựa trên những thông tin trên, bạn có thể phương trình của một đường thẳng trong một mặt phẳng Với các ví dụ đơn giản nhất về các giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải quyết vấn đề trong hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình của một mặt phẳng trong không gian, Phương trình của một đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.

Khái niệm vectơ. vector miễn phí

Đầu tiên, chúng ta hãy lặp lại định nghĩa trường của một vectơ. Véc tơ gọi là Chỉ đạo một phân đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được biểu thị:

Trong trường hợp này, đầu đoạn là điểm, cuối đoạn là điểm. Vectơ chính nó được ký hiệu là. Hướng đi là điều cần thiết, nếu bạn sắp xếp lại mũi tên đến đầu kia của đoạn, bạn sẽ nhận được một vectơ và đây là vector hoàn toàn khác. Thật thuận tiện khi đồng nhất khái niệm vectơ với chuyển động của một cơ thể vật chất: bạn phải thừa nhận rằng việc bước vào cửa một viện hay ra khỏi cửa một viện là những điều hoàn toàn khác nhau.

Thật tiện lợi khi coi các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng, không gian như cái gọi là vectơ không. Một vectơ như vậy có cùng điểm cuối và điểm đầu.

!!! Ghi chú: Ở đây và bên dưới, bạn có thể giả định rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.

Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức chú ý đến một cây gậy không có mũi tên trong tên chỉ định và nói rằng họ cũng đặt một mũi tên ở trên cùng! Đúng vậy, bạn có thể viết bằng một mũi tên:, nhưng có thể chấp nhận được và ghi lại mà tôi sẽ sử dụng sau này. Tại sao? Rõ ràng, thói quen như vậy đã phát triển từ những cân nhắc thực tế, những cảnh quay của tôi ở trường học và trường đại học hóa ra quá đa dạng và xù xì. Trong tài liệu giáo dục, đôi khi họ không bận tâm đến chữ hình nêm mà chỉ tô đậm các chữ cái:, do đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.

Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:

1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh viết hoa:
và như thế. Trong khi chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.

2) Các vectơ cũng được viết bằng các chữ cái Latinh nhỏ:
Đặc biệt, vectơ của chúng tôi có thể được thiết kế lại cho ngắn gọn bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Chiều dài hoặc mô-đun vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn thẳng. Độ dài của vectơ null bằng không. Một cách hợp lý.

Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu môđun:,

Cách tìm độ dài của một vectơ, chúng ta sẽ học (hoặc nhắc lại, cho ai bằng cách nào) một chút sau.

Đó là thông tin cơ bản về véc tơ, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vector miễn phí.

Nếu nó khá đơn giản - vector có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:

Chúng ta thường gọi các vectơ như vậy là bằng nhau (định nghĩa của các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra bên dưới), nhưng từ quan điểm toán học thuần túy, đây là VECTOR CÙNG hoặc vector miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải quyết vấn đề, bạn có thể "gắn" một hoặc một vectơ khác vào BẤT KỲ điểm nào của mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tài sản rất mát mẻ! Hãy tưởng tượng một vectơ có chiều dài và hướng tùy ý - nó có thể được "nhân bản" vô số lần và tại bất kỳ điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một câu tục ngữ của sinh viên như vậy: Mỗi giảng viên trong f ** u trong vector. Rốt cuộc, không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ đều chính xác về mặt toán học - một vectơ cũng có thể được đính kèm ở đó. Nhưng đừng vội mừng, bản thân sinh viên còn khổ hơn nữa =)

Vì thế, vector miễn phí- đây là nhiều các phân đoạn có hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường của một vectơ, được đưa ra ở đầu đoạn văn: "Một đoạn có hướng được gọi là vectơ ...", ngụ ý riêng một đoạn có hướng lấy từ một tập hợp đã cho, được gắn với một điểm nhất định trong mặt phẳng hoặc không gian.

Cần lưu ý rằng theo quan điểm của vật lý, khái niệm vectơ tự do nói chung là không chính xác, và quan điểm ứng dụng của vectơ là vấn đề. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc vào trán cũng đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi kéo theo những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không miễn phí vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).

Các thao tác với vectơ. Tính cộng đồng của vectơ

Trong khóa học hình học ở trường, một số hành động và quy tắc với vectơ được coi là: phép cộng theo quy tắc tam giác, cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc hiệu của vectơ, nhân một vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v. Như một hạt giống, chúng tôi nhắc lại hai quy tắc đặc biệt thích hợp để giải các bài toán về hình học giải tích.

Quy tắc cộng vectơ theo quy tắc tam giác

Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và:

Yêu cầu tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do, chúng tôi hoãn vectơ từ chấm dứt vectơ:

Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy tắc, bạn nên đặt một ý nghĩa vật lý vào nó: để một số cơ thể tạo một đường đi dọc theo vectơ, và sau đó dọc theo vectơ. Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường dẫn kết quả bắt đầu từ điểm khởi hành và kết thúc tại điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như họ nói, cơ thể có thể đi theo đường ngoằn ngoèo mạnh mẽ, hoặc có thể lái tự động - dọc theo vectơ tổng kết quả.

Nhân tiện, nếu vectơ bị hoãn lại từ bắt đầu vectơ, sau đó chúng tôi nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng vectơ.

Đầu tiên, về tính thẳng hàng của vectơ. Hai vectơ được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng trong mối quan hệ với họ, tính từ "collinear" luôn được sử dụng.

Hãy tưởng tượng hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này hướng theo cùng một hướng, thì các vectơ đó được gọi là đồng hướng. Nếu các mũi tên nhìn theo các hướng khác nhau, thì các vectơ sẽ hướng dẫn ngược lại.

Chỉ định: tính thẳng hàng của vectơ được viết bằng biểu tượng song song thông thường:, trong khi chi tiết có thể: (vectơ được hướng cùng chiều) hoặc (các vectơ được hướng ngược nhau).

công việc của một vectơ khác không của một số là một vectơ có độ dài bằng và các vectơ cùng hướng tới và hướng ngược lại tới.

Quy tắc nhân một vectơ với một số dễ hiểu hơn bằng hình ảnh:

Chúng tôi hiểu chi tiết hơn:

1 hướng. Nếu số nhân là âm, thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.

2) Chiều dài. Nếu thừa số được chứa trong hoặc, thì độ dài của vectơ giảm. Vì vậy, độ dài của vectơ nhỏ hơn độ dài của vectơ hai lần. Nếu hệ số môđun lớn hơn một, thì độ dài của vectơ tăngđúng giờ.

3) Xin lưu ý rằng tất cả các vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu diễn thông qua một vectơ khác, chẳng hạn. Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn theo một vectơ khác, thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Theo cách này: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ nhận được thẳng hàng(liên quan đến bản gốc) vectơ.

4) Các vectơ đều có hướng. Các vectơ và cũng có hướng. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đối nghịch với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.

Những vectơ nào bằng nhau?

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Lưu ý rằng đồng hướng ngụ ý rằng các vectơ thẳng hàng. Định nghĩa sẽ không chính xác (thừa) nếu bạn nói: "Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, đồng hướng và có cùng độ dài."

Theo quan điểm của khái niệm vectơ tự do, các vectơ bằng nhau là cùng một vectơ, điều này đã được thảo luận trong phần trước.

Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian

Điểm đầu tiên là xét các vectơ trên một mặt phẳng. Vẽ một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes và đặt ngoài gốc tọa độ Độc thân vectơ và:

Vectơ và trực giao. Orthogonal = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên từ từ làm quen với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng tính thẳng hàng và tính trực giao.

Chỉ định: trực giao của vectơ được viết với dấu vuông góc thông thường, ví dụ:.

Các vectơ được xem xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này tạo thành nền tảng trên bề mặt. Cơ sở là gì, tôi nghĩ, trực quan rõ ràng cho nhiều, thông tin chi tiết hơn có thể được tìm thấy trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và gốc tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng mà trên đó có một cuộc sống hình học đầy đủ và phong phú.

Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là chính thống cơ sở của mặt phẳng: "ortho" - bởi vì các vectơ tọa độ là trực giao, tính từ "chuẩn hóa" có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.

Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, bên trong theo thứ tự nghiêm ngặt vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ:. Vectơ tọa độ nó bị cấmđổi chỗ cho nhau.

Không tí nào vector máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như:
, ở đâu - con số, được gọi là tọa độ vector trong cơ sở này. Nhưng biểu hiện của chính nó gọi là phân hủy vectornền tảng .

Bữa tối được phục vụ:

Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái:. Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân rã vectơ về cơ sở, những vectơ vừa xem xét được sử dụng:
1) quy tắc nhân một vectơ với một số: và;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác:.

Bây giờ, hãy đặt vectơ sang một bên từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự tham nhũng của anh ta sẽ "không ngừng theo anh ta." Đây rồi, tự do của vectơ - vectơ "mang theo mọi thứ bên bạn." Tất nhiên, thuộc tính này đúng với bất kỳ vectơ nào. Thật buồn cười khi bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải đặt ngoài gốc, một vectơ có thể được vẽ, ví dụ, ở phía dưới bên trái, và cái kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi từ điều này! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, bởi vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và vẽ cho bạn một “điểm vượt qua” ở một nơi không mong đợi.

Vectơ, minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ ngược hướng với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, nó có thể được viết tỉ mỉ như sau:

Và các vectơ cơ sở, bằng cách này, là như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).

Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ véc tơ là gì, và tại sao tôi không nói với bạn về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, tôi không nhớ ở đâu, tôi lưu ý rằng phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng. Vì vậy, mở rộng của vectơ "de" và "e" được viết dưới dạng tổng: . Sắp xếp lại các số hạng ở vị trí và theo hình vẽ rõ ràng cách cộng các vectơ cũ tốt theo quy tắc tam giác hoạt động như thế nào trong những tình huống này.

Được coi là sự phân rã của biểu mẫu đôi khi được gọi là sự phân rã véc tơ trong hệ thống ort(nghĩa là trong hệ thống các vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết một vectơ, tùy chọn sau đây là phổ biến:

Hoặc với dấu bằng:

Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và

Tức là, tọa độ của vectơ được chỉ định trong dấu ngoặc đơn. Trong các tác vụ thực tế, cả ba tùy chọn ghi đều được sử dụng.

Tôi nghi ngờ không biết có nên nói hay không, nhưng tôi vẫn sẽ nói: Không thể sắp xếp lại tọa độ vectơ. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên viết ra tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đứng ở vị trí thứ hai viết ra tọa độ tương ứng với véc tơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.

Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ hãy xem xét các vectơ trong không gian ba chiều, mọi thứ gần như giống nhau ở đây! Chỉ một tọa độ nữa sẽ được thêm vào. Rất khó để thực hiện các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn bản thân ở một vectơ, vì đơn giản, tôi sẽ hoãn lại từ gốc:

Không tí nào Vector không gian 3d cách duy nhất mở rộng theo cơ sở chính thống:
, tọa độ của vectơ (số) ở đâu trong cơ sở đã cho.

Ví dụ từ hình ảnh: . Hãy xem các quy tắc hành động vector hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân một vectơ với một số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh lục) và (mũi tên đỏ tươi). Thứ hai, đây là một ví dụ về việc thêm một số, trong trường hợp này là ba, vectơ:. Vectơ tổng bắt đầu tại điểm bắt đầu đi (đầu của vectơ) và kết thúc ở điểm đến cuối cùng (điểm cuối của vectơ).

Tất nhiên, tất cả các vectơ của không gian ba chiều cũng đều tự do, hãy cố gắng trì hoãn vectơ từ bất kỳ điểm nào khác đi, và bạn sẽ hiểu rằng sự mở rộng của nó "vẫn tồn tại với nó."

Tương tự với trường hợp máy bay, ngoài việc viết các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: một trong hai.

Nếu thiếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ trong phần mở rộng, thì các số không sẽ được đặt thay thế. Ví dụ:
vector (tỉ mỉ ) - viết ra;
vector (tỉ mỉ ) - viết ra;
vector (tỉ mỉ ) - viết ra.

Các vectơ cơ sở được viết như sau:

Ở đây, có lẽ, là tất cả những kiến thức lý thuyết tối thiểu cần thiết để giải các bài toán về hình học giải tích. Có lẽ có quá nhiều thuật ngữ và định nghĩa, vì vậy tôi khuyên người dùng nên đọc lại và hiểu thông tin này một lần nữa. Và sẽ hữu ích cho bạn đọc nào có thể thỉnh thoảng tham khảo bài học cơ bản để đồng hóa tài liệu tốt hơn. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực chuẩn, sự phân rã véc tơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong những gì sau đây. Tôi lưu ý rằng các tài liệu của trang web không đủ để vượt qua một bài kiểm tra lý thuyết, một bài kiểm tra thông thường về hình học, vì tôi đã cẩn thận mã hóa tất cả các định lý (ngoài ra không có chứng minh) - có hại cho phong cách trình bày khoa học, nhưng một điểm cộng cho sự hiểu biết của bạn của môn học. Để biết thông tin lý thuyết chi tiết, tôi yêu cầu bạn cúi đầu trước Giáo sư Atanasyan.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần thực hành:

Các bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Tác vụ với vectơ trong tọa độ

Các nhiệm vụ sẽ được xem xét, rất mong muốn học cách giải chúng hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, thậm chí không cố ý nhớ, các em sẽ tự nhớ =) Cái này rất quan trọng, vì các bài toán khác của hình học giải tích đều dựa trên các ví dụ sơ cấp đơn giản nhất, và sẽ rất khó chịu nếu tốn thêm thời gian để ăn những con tốt. Bạn không cần phải cài chặt những chiếc cúc trên cùng của áo sơ mi, nhiều thứ quen thuộc với bạn từ thời đi học.

Việc trình bày tài liệu sẽ theo một quy trình song song - cả đối với mặt phẳng và không gian. Vì lý do gì mà tất cả các công thức ... bạn sẽ tự xem.

Làm thế nào để tìm một vectơ cho trước hai điểm?

Nếu hai điểm thuộc mặt phẳng và đã cho thì vectơ có tọa độ sau:

Nếu hai điểm trong không gian và cho trước thì vectơ có tọa độ sau:

Đó là, từ tọa độ của điểm cuối của vectơ bạn cần trừ các tọa độ tương ứng vector bắt đầu.

Tập thể dục:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Các công thức ở cuối bài.

ví dụ 1

Cho hai điểm trong mặt phẳng và. Tìm tọa độ vectơ

Dung dịch: theo công thức tương ứng:

Ngoài ra, có thể sử dụng ký hiệu sau:

Aesthetes sẽ quyết định như thế này:

Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản thu âm.

Câu trả lời:

Theo điều kiện, không bắt buộc phải xây dựng hình vẽ (đặc trưng cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để giải thích một số điểm cho hình nộm, tôi sẽ không quá lười biếng:

Phải được hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:

Tọa độ điểm là các tọa độ thông thường trong một hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ rằng mọi người đều biết cách vẽ đồ thị điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên máy bay, và chúng không thể di chuyển đi đâu được.

Tọa độ của cùng một vectơ là sự mở rộng của nó đối với cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào cũng tự do, do đó, nếu cần, chúng ta có thể dễ dàng hoãn nó từ một điểm nào đó khác trong mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn hoàn toàn không thể xây dựng các trục, một hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này, một cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.

Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ vectơ dường như tương tự nhau: và cảm giác về tọa độ chắc chắn rồi khác nhau, và bạn nên biết rõ về sự khác biệt này. Sự khác biệt này, tất nhiên, cũng đúng với không gian.

Thưa quý vị, chúng tôi lấp đầy bàn tay của chúng tôi:

Ví dụ 2

a) Cho điểm và. Tìm vectơ và.
b) Điểm được cho và . Tìm vectơ và.
c) Cho điểm và. Tìm vectơ và.
d) Cho điểm. Tìm vectơ .

Có lẽ là đủ. Đây là những ví dụ cho một quyết định độc lập, cố gắng đừng bỏ qua chúng, nó sẽ được đền đáp ;-). Bản vẽ không bắt buộc. Lời giải và đáp án cuối bài.

Điều gì là quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề của hình học giải tích?Điều quan trọng là phải CẨN THẬN CỰC KỲ để tránh lỗi “hai cộng hai bằng không”. Tôi xin lỗi trước nếu tôi làm sai =)

Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?

Chiều dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu hiệu mô đun.

Nếu hai điểm của mặt phẳng và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Nếu hai điểm trong không gian và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu các tọa độ tương ứng được hoán đổi: và, nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn

Ví dụ 3

Dung dịch: theo công thức tương ứng:

Câu trả lời:

Để rõ ràng, tôi sẽ làm một bản vẽ

Đoạn thẳng - nó không phải là một vectơ và bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu, tất nhiên. Ngoài ra, nếu bạn hoàn thành bản vẽ để chia tỷ lệ: 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (hai ô tetrad), thì bạn có thể kiểm tra câu trả lời bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn thẳng.

Vâng, giải pháp này ngắn gọn, nhưng có một vài điểm quan trọng trong đó mà tôi muốn làm rõ:

Đầu tiên, trong câu trả lời, chúng tôi đặt thứ nguyên: "đơn vị". Điều kiện không cho biết nó là GÌ, milimét, cm, mét hay km. Do đó, công thức tổng quát sẽ là một giải pháp có thẩm quyền về mặt toán học: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.

Thứ hai, hãy nhắc lại tài liệu của trường, tài liệu này không chỉ hữu ích cho vấn đề được xem xét:

chú ý đến thủ thuật kỹ thuật quan trọng – lấy hệ số nhân từ dưới gốc. Theo kết quả của các phép tính, chúng tôi nhận được kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc lấy thừa số từ dưới gốc (nếu có thể). Quá trình này sẽ chi tiết hơn: . Tất nhiên, để câu trả lời ở dạng sẽ không phải là một sai lầm - nhưng nó chắc chắn là một thiếu sót và là một lập luận có trọng lượng cho việc phản bác từ phía giáo viên.

Dưới đây là các trường hợp phổ biến khác:

Ví dụ, một số lượng đủ lớn thu được dưới gốc. Làm thế nào để được trong những trường hợp như vậy? Trên que tính, ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 không:. Có, tách hoàn toàn, do đó: . Hoặc có thể là số có thể được chia cho 4 một lần nữa? . Theo cách này: . Chữ số cuối cùng của con số là số lẻ, vì vậy chia cho 4 lần thứ ba rõ ràng là không thể. Đang cố gắng chia cho chín :. Kết quả là:
Sẳn sàng.

Sự kết luận: nếu dưới gốc chúng ta nhận được một số hoàn toàn không chiết xuất được, thì chúng ta cố gắng lấy ra thừa số từ dưới gốc - trên máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, vân vân.

Trong quá trình giải các bài toán thường tìm ra gốc rễ, hãy luôn cố gắng bóc tách các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm thấp hơn và những rắc rối không đáng có khi hoàn thành lời giải theo nhận xét của giáo viên.

Hãy cùng lúc lặp lại bình phương của các gốc và các lũy thừa khác:

Các quy tắc cho các hành động với mức độ ở dạng tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa về đại số ở trường học, nhưng tôi nghĩ rằng mọi thứ hoặc hầu hết mọi thứ đều đã rõ ràng từ các ví dụ được đưa ra.

Nhiệm vụ cho một giải pháp độc lập với một phân đoạn trong không gian:

Ví dụ 4

Cho điểm và. Tìm độ dài của đoạn thẳng.

Lời giải và đáp án cuối bài.

Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?

Nếu cho trước một vectơ mặt phẳng, thì độ dài của nó được tính bằng công thức.

Nếu cho trước một vectơ không gian, thì độ dài của nó được tính bằng công thức .

Tất cả các cuốn sách có thể được tải xuống miễn phí và không cần đăng ký.

MỚI. MÁY TÍNH. Rashevsky. Hình học Riemannian và phân tích tensor. Ấn bản thứ 3. Năm 1967 664 trang djvu. 5,7 MB.
Trong chuyên khảo này, với sự trình bày chi tiết và bao quát toàn diện về chủ đề, tác giả trình bày tài liệu bao gồm những điều cơ bản và quan trọng nhất trong lĩnh vực phân tích tensor và hình học Riemann.
Một tính năng đặc biệt của cuốn sách là những bước đi từ lĩnh vực phân tích tensor thuần túy và hình học Riemannian sang cơ học và vật lý (đặc biệt chú ý về vấn đề này là lý thuyết tương đối). Các không gian giả Euclide và giả Riemannian, các không gian của kết nối affine được xem xét. Một số ví dụ đưa ra những ý tưởng cơ bản của lý thuyết về các đối tượng hình học, bao gồm lý thuyết về các tia sáng trong không gian bốn chiều. Giải trình cũng được bổ sung bởi một số câu hỏi cụ thể có tầm quan trọng cơ bản (lý thuyết về đường cong và siêu mặt trong không gian Riemann, v.v.).
Cuốn sách dành cho các chuyên gia trong lĩnh vực phân tích tensor và hình học Riemann, các kỹ sư và cũng có thể dùng như một cuốn sách giáo khoa cho sinh viên đại học.
Về bản chất, cuốn sách này gần với một cuốn sách giáo khoa hơn là một cuốn sách chuyên khảo dành cho các chuyên gia. Tài liệu khá dễ tiếp cận đối với sinh viên năm 3 của trường đại học.

Tải xuống

MỚI. TRONG VA. Filippenko. CÁC YẾU TỐ CỦA LÝ THUYẾT LĨNH VỰC. năm 2009. 27 trang PDF. 333 Kb.
Hướng dẫn này thảo luận về các khái niệm cơ bản của lý thuyết trường: gradient, phân kỳ, cuộn tròn, hoàn lưu. Các ứng dụng của các định lý Gauss – Ostrogradsky và Stokes được đưa ra. Các điều kiện về tiềm năng và tính điện từ của trường vectơ được chỉ ra. Giải pháp chi tiết của các ví dụ điển hình để tính toán các đặc trưng số của trường vectơ được đưa ra. Học sinh đã chọn đủ số lượng ví dụ để giải độc lập.
Sách hướng dẫn này dành cho sinh viên bán thời gian YURGUES.
Tôi khuyên bạn nên đọc trong nghiên cứu về điện và từ trong vật lý phổ thông.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tải xuống

Akivis M. A., Goldberg V. V. Giải tích Tensor: Proc. phụ cấp. Lần xuất bản thứ 3, đã sửa đổi. 2003 304 trang djvu. 2.0 Mb.
Cơ sở của phép tính tensor và một số ứng dụng của nó đối với hình học, cơ học và vật lý đã được phác thảo. Khi ứng dụng, một lý thuyết chung về bề mặt bậc hai được xây dựng, các lực quán tính, ứng suất và biến dạng được nghiên cứu và một số câu hỏi của vật lý tinh thể được xem xét. Chương cuối cùng giới thiệu các yếu tố của phân tích tensor.
Đối với sinh viên của các cơ sở giáo dục kỹ thuật cao hơn.

Tải xuống

Yu.A. Aminov. Hình học trường vectơ. 1990 215 trang djvu. 5,1 MB.
Các kết quả về hình học của trường vectơ trong không gian Euclide ba chiều được trình bày, bắt đầu với công trình của Foss, Sintsov, Lilienthal và những người khác. Các trường vectơ trong không gian r chiều, hệ phương trình Pfaff và các dạng bên ngoài được xem xét. Một số khái niệm tôpô được phác thảo ngắn gọn và định lý de Rham được hình thành. Sự bất biến Godbillon-Wey của tán lá được giới thiệu, và công thức của Whitehead đã được chứng minh. .
Dành cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu viên thuộc chuyên ngành "hình học và tôpô". một).

. . . . Tải xuống

Anchikov AM Các nguyên tắc cơ bản về phân tích vectơ và tensor. 1988 140 trang djv. 1,5 MB.
Dành cho sinh viên các chuyên ngành vật lý, kỹ thuật phóng xạ của các trường đại học, cao đẳng kỹ thuật có nhu cầu tự học.