Công thức giá trị trung bình cho một tích phân xác định. Tích phân xác định và các phương pháp tính toán của nó

\ int \ limit_ (a) ^ (b) f (x) \, dx = - \ int \ limit_ (b) ^ (a) f (x) \, dx \,.

Định nghĩa này là tự nhiên, vì khi hướng của khoảng tích phân thay đổi, tất cả sự khác biệt \ Delta x_k = x_ (k + 1) -x_k thay đổi dấu hiệu của họ, và sau đó họ thay đổi các dấu hiệu và tổng Darboux và do đó, số phân tách chúng, tức là tích phân.

Vì đối với a = b, tất cả \ Delta x_k đều biến mất, chúng tôi đặt

\ int \ limit_ (b) ^ (a) f (x) \, dx = 0.

Chúng ta đã thu được hai định nghĩa về khái niệm tích phân xác định: là hiệu số giữa các giá trị của đạo hàm và là một số phân tách cho các tổng Darboux. Những định nghĩa này dẫn đến cùng một kết quả trong những trường hợp quan trọng nhất:

Định lý 2. Nếu hàm số y = f (x) bị giới hạn trên một đoạn và có một đạo hàm y = F (x) và có một số duy nhất ngăn cách tổng Darboux dưới và trên, thì số này bằng F (b ) -F (a).

Bằng chứng. Ở trên chúng ta đã chứng minh rằng số F (a) -F (b) phân tách các tập \ (s_P \) và \ (S_P \). Vì số phân tách được xác định duy nhất bởi điều kiện nên nó trùng với F (b) -F (a).

Từ bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu \ textstyle (\ int \ limit_ (a) ^ (b) f (x) \, dx) chỉ cho một số duy nhất tách các bộ \ (s_P \) và \ (S_P \). Từ định lý đã được chứng minh, trong trường hợp này không có gì mâu thuẫn với cách hiểu về ký hiệu mà chúng ta đã sử dụng ở trên.

Thuộc tính của tổng Darboux dưới và trên

Để định nghĩa của tích phân được đưa ra trước đó có ý nghĩa, chúng ta phải chứng minh rằng tập các tổng Darboux trên thực sự nằm ở bên phải tập các tổng Darboux dưới.

Bổ đề 1. Đối với mọi phân vùng P, tổng Darboux thấp hơn tương ứng nhiều nhất là tổng Darboux trên, s_P \ leqslant S_P.

Bằng chứng. Hãy xem xét một số phân vùng P của phân đoạn:

a = x_0 "

Rõ ràng, với bất kỳ k và bất kỳ phân vùng P nào đã chọn, bất đẳng thức s_P \ leqslant S_P sẽ giữ nguyên. Vì thế, m_k \ cdot \ Delta x_k \ leqslant M_k \ cdot \ Delta x_k, và đó là lý do tại sao

s_P = \ sum_ (k = 0) ^ (n-1) (m_k \ cdot \ Delta x_k) \ leqslant \ sum_ (k = 0) ^ (n-1) (M_k \ cdot \ Delta x_k) = S_P.

Bất đẳng thức (4) chỉ hợp lệ cho một phân vùng cố định P. Do đó, vẫn chưa thể khẳng định rằng tổng Darboux thấp hơn của một phân vùng không thể vượt quá tổng Darboux trên của một phân vùng khác. Để chứng minh khẳng định này, chúng ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 2. Bằng cách thêm một điểm chia mới, tổng Darboux thấp hơn không thể giảm và tổng trên không thể tăng lên.

Bằng chứng. Hãy chọn một số phân vùng P của đoạn và thêm một điểm phân chia mới vào nó (x ^ (\ ast)). Kí hiệu phân vùng mới P ^ (\ ast). Phân vùng P ^ (\ ast) là một bản tinh chỉnh của phân vùng P, tức là mỗi điểm phân tách của P đồng thời là một điểm phân tách của P ^ (\ ast).

Để điểm (x ^ (\ ast)) nằm trên đoạn \ dấu hai chấm \, x_k . Hãy xem xét hai phân đoạn đã hình thành và và biểu thị các giới hạn dưới chính xác tương ứng của các giá trị hàm bằng m_ (k) ^ (\ ast) và m_ (k) ^ (\ ast \ ast), và các giới hạn trên chính xác bằng M_ (k) ^ (\ ast ) và M_ (k) ^ (\ ast \ ast).

kỳ hạn m_k (x_ (k + 1) -m_ (k)) Tổng Darboux thấp hơn ban đầu trong tổng Darboux thấp hơn mới tương ứng với hai số hạng:

m_ (k) ^ (\ ast) (x ^ (\ ast) -x_k) + m_ (k) ^ (\ ast \ ast) (x_ (k + 1) -x ^ (\ ast)).

Trong đó m_k \ leqslant m_ (k) ^ (\ ast) và m_k \ leqslant m_ (k) ^ (\ ast \ ast), vì m_k là giới hạn dưới chính xác của các giá trị của hàm f (x) trên toàn bộ khoảng và m_ (k) ^ (\ ast) và m_ (k) ^ (\ ast \ ast) chỉ trên các bộ phận và tương ứng.

Hãy để chúng tôi ước tính tổng các điều khoản thu được từ bên dưới:

\ begin (căn) m_ (k) ^ (\ ast) \ bigl (x ^ (\ ast) -x_ (k) \ bigr) + m_ (k) ^ (\ ast \ ast) \ bigl (x_ (k + 1) ) -x ^ (\ ast) \ bigr) \ geqslant & \, \, m_k \ bigl (x ^ (\ ast) -x_k) + m_k (x_ (k + 1) -x ^ (\ ast) \ bigr) = \\ & = m_k \ bigl (x ^ (\ ast) -x_k + x_ (k + 1) -x ^ (\ ast) \ bigr) = \\ & = m_k \ bigl (x_ (k + 1) - x_k \ bigr). \ end (căn chỉnh)

Vì phần còn lại của các số hạng trong cả tổng Darboux cũ và mới thấp hơn đều không thay đổi, nên tổng Darboux thấp hơn không giảm sau khi thêm điểm phân chia mới, s_P \ leqslant S_P.

Khẳng định đã được chứng minh vẫn có giá trị ngay cả khi thêm bất kỳ số điểm hữu hạn nào vào phân hoạch P.

Khẳng định về tổng Darboux trên được chứng minh tương tự: S_ (P ^ (\ ast)) \ leqslant S_ (P).

Hãy để chúng tôi tiến hành so sánh tổng Darboux cho hai phân vùng bất kỳ.

Bổ đề 3. Không có tổng Darboux thấp hơn nào vượt quá bất kỳ tổng Darboux nào trên (ít nhất là tương ứng với một phân vùng khác của phân đoạn).

Bằng chứng. Xem xét hai phân vùng P_1 và P_2 tùy ý của đoạn và tạo thành phân vùng thứ ba P_3, bao gồm tất cả các điểm của phân vùng P_1 và P_2. Do đó, phân vùng P_3 là sự tinh chỉnh của cả phân vùng P_1 và phân vùng P_2 (Hình 7).

Hãy để chúng tôi biểu thị tổng Darboux thấp hơn và trên cho các phân vùng này, tương ứng s_1, ~ S_1. ~ s_2, ~ S_2 và chứng minh rằng s_1 \ leqslant S_2.

Vì P_3 là bản cải tiến của phân vùng P_1, nên s_1 \ leqslant s_3. Tiếp theo, s_3 \ leqslant S_3, vì tổng của s_3 và S_3 tương ứng với cùng một phân vùng. Cuối cùng, S_3 \ leqslant S_2, vì P_3 là bản cải tiến của phân vùng P_2.

Vì vậy, s_1 \ leqslant s_3 \ leqslant S_3 \ leqslant S_2, I E. s_1 \ leqslant S_2, điều này đã được chứng minh.

Bổ đề 3 ngụ ý rằng tập hợp số X = \ (s_P \) của tổng Darboux thấp hơn nằm ở bên trái của tập số Y = \ (S_P \) của tổng Darboux trên.

Theo định lý về sự tồn tại của một số phân tách đối với hai tập hợp số1, có ít nhất một số / phân tách các tập hợp X và Y, tức là sao cho đối với bất kỳ phân vùng nào của phân đoạn, bất bình đẳng kép giữ nguyên:

s_P = \ sum_ (k = 0) ^ (n-1) \ bigl (m_k \ cdot \ Delta x_k \ bigr) \ leqslant I \ leqslant \ sum_ (k = 0) ^ (n-1) \ bigl (M_k \ cdot \ Delta x_k \ bigr) = S_P.

Nếu số này là duy nhất, thì \ textstyle (I = \ int \ limit_ (a) ^ (b) f (x) \, dx).

Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ cho thấy rằng một con số mà tôi, nói chung, không được xác định duy nhất. Nhớ lại rằng hàm Dirichlet là hàm y = D (x) trên khoảng được xác định bởi các khoảng bằng:

D (x) = \ begin (case) 0, & \ text (if) ~~ x ~~ \ text (là số vô tỉ); \\ 1, & \ text (if) ~~ x ~~ \ text (is số hữu tỉ). \ end (trường hợp)

Bất kỳ phân đoạn nào chúng ta thực hiện, đều có cả điểm hợp lý và không hợp lý trên đó, tức là và các điểm tại đó D (x) = 0 và các điểm tại đó D (x) = 1. Do đó, đối với bất kỳ phân vùng nào của phân đoạn, tất cả các giá trị của m_k đều bằng 0 và tất cả các giá trị của M_k đều bằng một. Nhưng sau đó tất cả các tổng Darboux thấp hơn \ textstyle (\ sum \ limit_ (k = 0) ^ (n-1) \ bigl (m_k \ cdot \ Delta x_k \ bigr))đều bằng 0 và tất cả các tổng Darboux trên \ textstyle (\ sum \ limit_ (k = 0) ^ (n-1) \ bigl (M_k \ cdot \ Delta x_k \ bigr)) bằng một,

Định lý. Nếu chức năng f (x) tích phân trên khoảng [ a, b], ở đâu một< b , và cho tất cả x ∈ sự bất bình đẳng

Sử dụng các bất đẳng thức từ định lý, người ta có thể ước lượng tích phân xác định, tức là chỉ ra ranh giới mà ý nghĩa của nó được bao bọc. Các bất đẳng thức này biểu thị một ước lượng cho một tích phân xác định.

Định lý [Định lý giá trị trung bình]. Nếu chức năng f (x) tích phân trên khoảng [ a, b] và cho tất cả x ∈ sự bất bình đẳng m ≤ f (x) ≤ M, sau đó

ở đâu m ≤ μ ≤ M.

Nhận xét. Trong trường hợp hàm f (x) liên tục trên đoạn [ a, b], đẳng thức từ định lý có dạng

ở đâu c ∈. Con số μ = f (c)được xác định bởi công thức này được gọi là trung bình chức năng f (x) trên đoạn [ a, b]. Sự bình đẳng này có những điều sau đây cảm giác hình học: diện tích của hình thang cong được giới hạn bởi một đường liên tục y = f (x) (f (x) ≤ 0) bằng diện tích của một hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao bằng hoành độ của một điểm nào đó trên đoạn thẳng này.

Sự tồn tại của một chất chống vi khuẩn cho một chức năng liên tục

Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu khái niệm tích phân với giới hạn trên thay đổi.

Hãy để chức năng f (x) tích phân trên khoảng [ a, b]. Sau đó, bất kể con số x từ [ a, b], hàm số f (x) tích phân trên khoảng [ a, b]. Do đó, trên đoạn [ a, b] chức năng được xác định

được gọi là một tích phân có giới hạn trên thay đổi.

Định lý. Nếu tích phân liên tục trên khoảng [ a, b], thì đạo hàm của một tích phân xác định với giới hạn trên có thể thay đổi được và bằng giá trị của tích phân cho giới hạn này, tức là

Hậu quả. Tích phân xác định với giới hạn trên thay đổi là một trong những đạo hàm đối với tích phân liên tục. Nói cách khác, đối với bất kỳ hàm nào liên tục trong một khoảng thời gian, thì tồn tại một đạo hàm.

Nhận xét 1. Lưu ý rằng nếu hàm f (x) tích phân trên khoảng [ a, b], thì tích phân có giới hạn trên thay đổi là một hàm liên tục của giới hạn trên trên khoảng này. Thật vậy, từ St. 2 và định lý giá trị trung bình, chúng ta có

Ghi chú 2. Tích phân với giới hạn tích phân trên có thể thay đổi được sử dụng trong định nghĩa của nhiều hàm mới, ví dụ, . Các chức năng này không phải là cơ bản; như đã được lưu ý, các dẫn xuất của các tích phân được chỉ định không thể được biểu thị dưới dạng các chức năng cơ bản.

Các quy tắc tích hợp cơ bản

Công thức Newton-Leibniz

Vì bất kỳ hai chức năng chống dẫn xuất nào f (x) khác nhau bởi một hằng số, sau đó, theo định lý trước, có thể lập luận rằng bất kỳ đạo hàm nào Φ (x) liên tục trên đoạn [ a, b] chức năng f (x) có hình thức

ở đâu C là một số hằng số.

Đưa vào công thức này x = a và x = b, sử dụng tích phân xác định St.1, chúng tôi thấy

Từ những sự bình đẳng này dẫn đến mối quan hệ

được gọi là Công thức Newton-Leibniz.

Do đó, chúng tôi đã chứng minh định lý sau:

Định lý. Tích phân xác định của một hàm liên tục bằng hiệu giữa các giá trị của bất kỳ đạo hàm nào của nó đối với giới hạn tích phân trên và dưới.

Công thức Newton-Leibniz có thể được viết lại thành

Sự thay đổi của biến trong một tích phân xác định

Định lý. Nếu một

• hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a, b];
• đoạn thẳng [ a, b] là tập hợp các giá trị của hàm φ (t)được xác định trên khoảng thời gian α ≤ t ≤ β và có một đạo hàm liên tục trên đó;
• φ (α) = a, φ (β) = b

thì công thức hợp lệ

Tích hợp theo công thức bộ phận

Định lý. Nếu chức năng u = u (x), v = v (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng [ a, b], sau đó là công thức

Giá trị áp dụng định lý giá trị trung bình nằm trong khả năng có được một ước lượng định tính về giá trị của một tích phân nhất định mà không cần tính toán nó. Chúng tôi xây dựng : nếu hàm số liên tục trên khoảng thì bên trong khoảng này có điểm sao cho .

Công thức này khá phù hợp để ước lượng sơ bộ tích phân của một hàm phức tạp hoặc phức tạp. Khoảnh khắc duy nhất tạo nên công thức gần đúng , là một điều cần thiết tự chọn điểm. Nếu chúng ta đi theo con đường đơn giản nhất - giữa khoảng tích phân (như gợi ý trong một số sách giáo khoa), thì sai số có thể khá đáng kể. Để có kết quả chính xác hơn gợi ý thực hiện phép tính theo trình tự sau:

Dựng đồ thị hàm số trên khoảng;

Vẽ đường viền trên của hình chữ nhật sao cho các phần bị cắt của đồ thị hàm số xấp xỉ bằng nhau về diện tích (đây chính xác là cách nó được thể hiện trong hình trên - hai tam giác cong gần như giống nhau);

Xác định từ hình vẽ;

Sử dụng định lý giá trị trung bình.

Ví dụ, hãy tính một tích phân đơn giản:

Giá trị chính xác ;

Đối với giữa khoảng thời gian chúng tôi cũng sẽ nhận được một giá trị gần đúng, tức là kết quả rõ ràng không chính xác;

Sau khi xây dựng một biểu đồ bằng cách vẽ cạnh trên của hình chữ nhật theo các đề xuất, chúng tôi nhận được, từ đó và giá trị gần đúng của. Kết quả khá khả quan, sai số là 0,75%.

Công thức hình thang

Độ chính xác của các phép tính sử dụng định lý giá trị trung bình về cơ bản phụ thuộc vào mục đích thị giác biểu đồ điểm. Thật vậy, bằng cách chọn, trong cùng một ví dụ, các điểm hoặc, bạn có thể nhận được các giá trị khác của tích phân, và sai số có thể tăng lên. Yếu tố chủ quan, tỷ lệ của đồ thị và chất lượng của hình vẽ ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả. Đây là không thể chấp nhận được trong các phép tính quan trọng, vì vậy định lý giá trị trung bình chỉ áp dụng cho nhanh phẩm chất ước lượng tích phân.

Trong phần này, chúng tôi sẽ xem xét một trong những phương pháp tích phân gần đúng phổ biến nhất - công thức hình thang . Ý tưởng cơ bản của việc xây dựng công thức này xuất phát từ thực tế là đường cong có thể được thay thế gần đúng bằng một đường đứt đoạn, như thể hiện trong hình.

Chúng ta hãy giả sử, để xác định (và phù hợp với hình vẽ), khoảng tích phân được chia thành bình đẳng (đây là phần tùy chọn, nhưng rất tiện lợi). Chiều dài của mỗi phần này được tính theo công thức và được gọi là bước chân . Các áp suất của các điểm phân tách, nếu được chỉ định, được xác định theo công thức, ở đâu. Thật dễ dàng để tính toán thứ tự từ các abscissas đã biết. Vì vậy,

Đây là công thức hình thang cho trường hợp. Lưu ý rằng số hạng đầu tiên trong dấu ngoặc là tổng của một nửa số hạng đầu và hạng cuối cùng, mà tất cả các hạng trung gian đều được thêm vào. Đối với số lượng phân vùng tùy ý của khoảng thời gian tích hợp công thức chung của hình thang giống như: công thức vuông góc: hình chữ nhật, simpson, gauss, v.v. Chúng đều dựa trên ý tưởng biểu diễn hình thang cong theo các diện tích cơ bản của các hình khác nhau, do đó, sau khi nắm vững công thức hình thang, bạn sẽ không gặp khó khăn khi hiểu các công thức tương tự. Nhiều công thức không đơn giản như công thức hình thang, nhưng cho phép bạn nhận được kết quả chính xác cao với một số lượng nhỏ các phân vùng.

Với sự trợ giúp của công thức hình thang (hoặc các công thức tương tự), có thể tính toán với độ chính xác cần thiết trong thực tế, cả tích phân "không lấy" và tích phân của các hàm phức tạp hoặc cồng kềnh.

Phương pháp hình thang

Bài chi tiết:Phương pháp hình thang

Nếu hàm số trên mỗi đoạn một phần được xấp xỉ bởi một đường thẳng đi qua các giá trị cuối cùng thì ta thu được phương pháp hình thang.

Diện tích của hình thang trên mỗi đoạn:

Sai số ước lượng trên mỗi phân đoạn:

ở đâu

Công thức đầy đủ cho hình thang trong trường hợp chia toàn bộ khoảng tích phân thành các đoạn có cùng độ dài:

ở đâu

Lỗi công thức hình thang:

ở đâu

Phương pháp Simpson.

Tích hợp f (x)được thay thế bằng một đa thức nội suy bậc hai P (x)- Ví dụ, một parabol đi qua ba nút, như trong hình ((1) là một hàm, (2) là một đa thức).

Hãy xem xét hai bước tích hợp ( h= const = x i + 1 - x i), tức là ba nút x0, x1, x2, qua đó chúng ta vẽ một parabol, sử dụng phương trình Newton:

Để cho được z = x - x0,
sau đó

Bây giờ, sử dụng quan hệ thu được, chúng tôi tính tích phân trong khoảng này:

.
Vì lưới đồng nhất và số bước chẵn n Công thức Simpson trở thành:

Đây , một theo giả thiết rằng đạo hàm bậc 4 của tích phân là liên tục.

[biên tập] Tăng độ chính xác

Tính gần đúng của một hàm theo một đa thức trong toàn bộ khoảng tích phân, như một quy luật, dẫn đến sai số lớn trong việc ước tính giá trị của tích phân.

Để giảm sai số, phân đoạn tích phân được chia thành các phần và một phương pháp số được sử dụng để đánh giá tích phân trên mỗi phần đó.

Khi số lượng phân hoạch có xu hướng đến vô cùng, ước lượng của tích phân có xu hướng trở thành giá trị thực của nó đối với các hàm giải tích đối với bất kỳ phương pháp số nào.

Các phương pháp trên cho phép thực hiện một quy trình đơn giản để giảm một nửa bước, trong khi ở mỗi bước, chỉ cần tính các giá trị hàm tại các nút mới được thêm vào. Quy tắc Runge được sử dụng để ước tính sai số tính toán.

Áp dụng quy tắc Runge

sửa] Ước tính độ chính xác của tính toán một tích phân xác định

Tích phân được tính bằng công thức đã chọn (hình chữ nhật, hình thang, parabolas Simpson) với số bước bằng n và sau đó với số bước bằng 2n. Sai số khi tính giá trị của tích phân có số bước bằng 2n được xác định theo công thức Runge:
, đối với công thức của hình chữ nhật và hình thang, và đối với công thức Simpson.
Do đó, tích phân được tính cho các giá trị liên tiếp của số bước, trong đó n 0 là số bước ban đầu. Quá trình tính toán kết thúc khi giá trị tiếp theo N sẽ thỏa mãn điều kiện, trong đó ε là độ chính xác được chỉ định.

Đặc điểm của hành vi của lỗi.

Có vẻ như tại sao phải phân tích các phương pháp tích hợp khác nhau nếu chúng ta có thể đạt được độ chính xác cao chỉ bằng cách giảm giá trị của bước tích hợp. Tuy nhiên, hãy xem xét biểu đồ của hành vi của một lỗi posteriori R kết quả của phép tính số phụ thuộc vào và từ số N phân vùng khoảng (nghĩa là ở bước. Trong phần (1), lỗi giảm do giảm ở bước h. Nhưng trong phần (2), lỗi tính toán bắt đầu chiếm ưu thế, tích lũy do kết quả của nhiều phép tính số học. Do đó , đối với mỗi phương pháp có Rmin, điều này phụ thuộc vào nhiều yếu tố, nhưng chủ yếu vào giá trị tiên nghiệm của sai số của phương pháp R.

Công thức cải tiến của Romberg.

Phương pháp Romberg bao gồm việc tinh chỉnh liên tiếp giá trị của tích phân với sự gia tăng nhiều lần số lượng phân vùng. Có thể lấy công thức của hình thang có bậc đều là cơ sở h.
Biểu thị tích phân với số lượng phân vùng N= 1 như .
Giảm một nửa số bước, chúng tôi nhận được .
Nếu chúng ta liên tiếp giảm bước đi 2 n lần, chúng ta sẽ nhận được một quan hệ đệ quy để tính toán.

Định lý trung bình. Nếu f (x) liên tục trên đoạn thì tồn tại điểm sao cho . Tiến sĩ. Hàm số liên tục trên đoạn nhận giá trị m nhỏ nhất và giá trị M lớn nhất trên đoạn này. sau đó . Con số nằm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn. Một trong những tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng là hàm số này nhận giá trị nào giữa m và M. Do đó, tồn tại một điểm sao cho . Tính chất này có một cách giải thích hình học đơn giản: nếu liên tục trên đoạn thẳng thì có một điểm sao cho diện tích hình thang cong ABCD bằng diện tích hình chữ nhật có đáy và chiều cao f (c) ( được đánh dấu trong hình vẽ).

7. Tích phân với giới hạn trên có thể thay đổi. Tính liên tục và tính khác biệt của nó.

Xét một hàm f (x) tích phân Riemann trên khoảng. Vì nó là tích phân trên, nên nó cũng có thể tích phân trên ∀x ∈. Khi đó với mỗi x ∈ thì biểu thức có nghĩa và với mỗi x thì nó bằng một số nào đó.

Do đó, mỗi x ∈ được liên kết với một số nào đó,

những thứ kia. hàm được đưa ra:

(3.1)

Sự định nghĩa:

Hàm F (x) cho trong (3.1), cũng như chính biểu thức, được gọi là

tích phân với một giới hạn trên thay đổi. Nó được xác định trên toàn bộ phân đoạn

tính tích phân của hàm f (x).

Điều kiện: f (t) liên tục trên và hàm F (x) được cho bởi công thức (3.1).

Phát biểu: Hàm F (x) khả vi trên và F (x) = f (x).

(Ở a, nó có thể phân biệt phải, và ở b, nó có thể phân biệt trái.)

Bằng chứng:

Vì đối với hàm một biến F (x) khả năng phân biệt tương đương với sự tồn tại của đạo hàm tại mọi điểm (tại điểm a ở bên phải và tại điểm b ở bên trái), nên ta sẽ tìm được đạo hàm F (x) . Cân nhắc sự khác biệt

Vì vậy,

hơn nữa, điểm ξ nằm trên đoạn (hoặc nếu ∆x< 0).

Bây giờ hãy nhớ lại rằng đạo hàm của hàm F (x) tại một điểm x ∈ cho trước bằng giới hạn của quan hệ sai phân:. Từ đẳng thức ta có:

,

Đặt ∆x → 0 bây giờ, ở bên trái của đẳng thức này, chúng ta thu được F ’(x), và ở bên phải

Nhắc lại định nghĩa liên tục của hàm f (t) tại điểm x:

Gọi x1 bằng ξ trong định nghĩa này. Vì ξ ∈ (ξ ∈) và

∆x → 0 thì | x - ξ | → 0, và theo định nghĩa của tính liên tục, f (ξ) → f (x). Do đó chúng tôi có:

F '(x) = f (x).

Hậu quả:

Điều kiện: f (x) liên tục trên.

Phát biểu: Bất kỳ đạo hàm nào của hàm f (x) đều có dạng

trong đó C ∈ R là một số hằng số.

Bằng chứng. Theo Định lý 3.1, hàm là một nguyên mẫu cho f (x). Giả sử rằng G (x) là một đạo hàm khác f (x). Khi đó G '(x) = f (x) và đối với hàm F (x) - G (x) ta có: (F (x) + G (x)) '= F' (x) −G '(x) = f (x) −f (x) ≡ 0. Do đó, đạo hàm của hàm F (x) −G (x)

bằng 0, do đó, hàm này là một hằng số: F (x) - G (x) = const.

8. Công thức Newton-Leibniz cho một tích phân xác định.

Định lý:

Điều kiện: f (t) liên tục trên và F (x) là đạo hàm bất kỳ của nó.

Tuyên bố:

Bằng chứng: Xét một đạo hàm F (x) nào đó của hàm số f (x). Theo Hệ quả của Định lý “Về tính phân biệt của một tích phân với giới hạn trên của một biến” (xem câu hỏi trước), nó có dạng. Từ đây

=> c= F(một) , và

Hãy di chuyển F (a) trong đẳng thức cuối cùng sang phía bên trái, thiết kế lại biến tích phân một lần nữa thành x và nhận công thức Newton-Leibniz: