Nghiệm của phương trình tuyến tính đơn giản. Các ví dụ phức tạp hơn về phương trình

Một phương trình là một biểu thức toán học là một phương trình có chứa một ẩn số. Nếu đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị nào có thể chấp nhận được của các ẩn số có trong nó, thì nó được gọi là đồng nhất; ví dụ: một quan hệ như (x - 1) 2 = (x - 1) (x - 1) giữ cho mọi giá trị của x.

Nếu một phương trình chứa một x chưa biết chỉ chứa các giá trị nhất định của x và không áp dụng cho tất cả các giá trị của x, như trong trường hợp đồng nhất, thì có thể hữu ích khi xác định các giá trị đó của x. phương trình là hợp lệ. Các giá trị như vậy của x được gọi là nghiệm của phương trình. Ví dụ, số 5 là căn của phương trình 2x + 7 = 17.

Trong nhánh toán học được gọi là lý thuyết về phương trình, chủ đề chính của nghiên cứu là các phương pháp giải phương trình. TẠI khóa học ở trường phương trình đại số được chú ý rất nhiều.

Lịch sử của việc nghiên cứu các phương trình đã có từ nhiều thế kỷ trước. Các nhà toán học nổi tiếng nhất đã đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết phương trình là:

Archimedes (khoảng năm 287-212 trước Công nguyên) - Nhà khoa học, toán học và thợ cơ khí Hy Lạp cổ đại. Trong nghiên cứu về một vấn đề, vấn đề này giảm xuống phương trình bậc ba, Archimedes đã tìm ra vai trò của đặc tính, mà sau này được gọi là đặc tính phân biệt.

François Việt sống ở thế kỷ 16. Anh ấy đã đóng góp rất nhiều cho nghiên cứu các vấn đề khác nhau toán học. Đặc biệt, ông đã giới thiệu ký hiệu chữ cho các hệ số của phương trình và thiết lập mối liên hệ giữa các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - nhà toán học, cơ học, vật lý học và thiên văn học. Tác giả của St. 800 bài báo về phân tích toán học, phương trình vi phân, hình học, lý thuyết số, tính toán gần đúng, cơ học thiên thể, toán học, quang học, đạn đạo học, đóng tàu, lý thuyết âm nhạc, vv Ông đã có tác động đáng kể đến sự phát triển của khoa học. Anh ấy suy ra công thức (công thức Euler) biểu thị hàm lượng giác biến x thông qua một hàm số mũ.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), Nhà toán học Pháp và thợ máy. Ông có những nghiên cứu nổi bật, trong đó có nghiên cứu về đại số (hàm đối xứng của nghiệm nguyên của phương trình, về phương trình vi phân (lý thuyết về nghiệm kỳ dị, phương pháp biến thiên của hằng số).

J. Lagrange và A. Vandermonde - các nhà toán học Pháp. Năm 1771, lần đầu tiên phương pháp giải hệ phương trình (phương pháp thay thế) được sử dụng.

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - Nhà toán học người Đức. Đã viết một cuốn sách trình bày lý thuyết về phương trình phân chia vòng tròn (tức là phương trình xn - 1 = 0), về nhiều mặt là nguyên mẫu của lý thuyết Galois. Ngoại trừ phương pháp phổ biến giải các phương trình này, thiết lập mối liên hệ giữa chúng và việc xây dựng các đa giác đều. Lần đầu tiên sau các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại, ông đã đạt được một bước tiến quan trọng trong vấn đề này, đó là: ông đã tìm thấy tất cả các giá trị của n mà n-gon thường xuyên có thể được xây dựng bằng la bàn và thước kẻ. Đã học cách thêm. Ông kết luận rằng các hệ phương trình có thể được cộng, chia và nhân với nhau.

O. I. Somov - đã làm phong phú các phần khác nhau của toán học với rất nhiều công trình quan trọng, trong số đó có lý thuyết về một số phương trình đại số độ cao hơn.

Galois Evariste (1811-1832), nhà toán học người Pháp. Công lao chính của ông là việc hình thành một tập hợp các ý tưởng, mà ông có liên quan đến việc tiếp tục nghiên cứu về khả năng giải của các phương trình đại số, bắt đầu bởi J. Lagrange, N. Abel và những người khác, đã tạo ra lý thuyết về phương trình đại số cao hơn. độ với một chưa biết.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - Trong tác phẩm của mình, phương pháp hình học gắn liền với Phương pháp phân tích lý thuyết về phương trình vi phân với đạo hàm riêng. Các công trình của ông cũng có tác động đáng kể đến lý thuyết về phương trình vi phân phi tuyến tính.

P. Ruffini - nhà toán học người Ý. Ông đã cống hiến một số công trình để chứng minh tính bất khả giải của phương trình bậc 5, sử dụng một cách có hệ thống tính đóng của tập các phép thay thế.

Mặc dù thực tế là các nhà khoa học đã nghiên cứu các phương trình trong một thời gian dài, nhưng khoa học không biết làm thế nào và khi nào mọi người có nhu cầu sử dụng phương trình. Người ta chỉ biết rằng những bài toán đưa đến nghiệm của những phương trình đơn giản nhất đã được người ta giải từ khi còn là người. 3 - 4 nghìn năm nữa trước Công nguyên. e. người Ai Cập và người Babylon đã biết cách giải các phương trình. Quy tắc giải các phương trình này trùng với quy tắc hiện đại, nhưng không biết bằng cách nào mà chúng có được đến thời điểm này.

TẠI Ai Cập cổ đại và Babylon, phương pháp vị trí giả đã được sử dụng. Phương trình bậc nhất có một ẩn số luôn có thể thu gọn về dạng ax + b = c, trong đó a, b, c là các số nguyên. Theo các quy tắc các phép tính toán học ax \ u003d c - b,

Nếu b> c thì c b là số âm. Số âm chưa được biết đến đối với người Ai Cập và nhiều dân tộc khác sau này (ngang hàng với số dương chúng bắt đầu được sử dụng trong toán học chỉ vào thế kỷ thứ mười bảy). Để giải quyết các vấn đề mà bây giờ chúng ta giải quyết bằng các phương trình bậc nhất, phương pháp vị trí sai đã được phát minh. Trong tờ giấy cói của Ahmes, 15 vấn đề được giải quyết bằng phương pháp này. Người Ai Cập có một dấu hiệu đặc biệt để biểu thị ngày không xác định, cho đến gần đây, được đọc là “how” và được dịch bởi từ “heap” (“đống” hoặc “số đơn vị không xác định”). Bây giờ họ đọc ít chính xác hơn một chút: "aha." Phương pháp giải được sử dụng bởi Ahmes được gọi là phương pháp một vị trí sai. Sử dụng phương pháp này, các phương trình dạng ax = b được giải. Phương pháp này bao gồm việc chia mỗi vế của phương trình cho a. Nó đã được sử dụng bởi cả người Ai Cập và người Babylon. Tại các dân tộc khác nhau phương pháp của hai vị trí sai đã được sử dụng. Người Ả Rập đã cơ giới hóa phương pháp này và đưa nó vào sách giáo khoa của các dân tộc châu Âu, bao gồm cả Số học của Magnitsky. Magnitsky gọi phương pháp giải là "quy tắc sai" và viết trong phần của cuốn sách của mình để giải thích phương pháp này:

Zelo bo cunning là phần này, giống như bạn có thể đặt mọi thứ với nó. Không chỉ những gì thuộc về quyền công dân, Mà còn các khoa học cao hơn trong không gian, Ngay cả được liệt kê trong lãnh vực của trời, Giống như người khôn ngoan có nhu cầu.

Nội dung các bài thơ của Magnitsky có thể tóm tắt như sau: phần số học này rất lắt léo. Với sự trợ giúp của nó, bạn không chỉ có thể tính toán những gì cần thiết trong thực tế hàng ngày, mà còn giải quyết các câu hỏi “cao hơn” mà “người khôn ngoan” phải đối mặt. Magnitsky sử dụng một "quy tắc sai" theo hình thức mà người Ả Rập đặt cho nó, gọi nó là "số học của hai lỗi" hoặc "phương pháp trọng số." Các nhà toán học Ấn Độ thường đưa ra các bài toán trong câu. Thử thách hoa sen:

Phía trên mặt hồ yên tĩnh, cách mặt nước nửa thước, màu Hoa sen hiện ra. Anh ấy lớn lên một mình, và gió trong sóng đã bẻ cong anh ấy sang một bên, và không còn

Hoa trên mặt nước. Tìm thấy mắt người đánh cá của mình Hai thước đo từ nơi anh ta lớn lên. Nước ở đây sâu bao nhiêu hồ? Tôi sẽ cung cấp cho bạn một câu hỏi.

Các loại phương trình

Các phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính là phương trình có dạng: ax + b = 0, trong đó a và b là một số hằng số. Nếu a không bằng 0 thì phương trình có một căn duy nhất: x \ u003d - b: a (ax + b; ax \ u003d - b; x \ u003d - b: a.).

Ví dụ: giải một phương trình tuyến tính: 4x + 12 = 0.

Lời giải: T. thành a \ u003d 4 và b \ u003d 12, sau đó x \ u003d - 12: 4; x = - 3.

Kiểm tra: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Vì k 0 = 0 nên -3 là nghiệm của phương trình ban đầu.

Trả lời. x = -3

Nếu a bằng 0 và b bằng 0 thì nghiệm nguyên của phương trình ax + b = 0 là một số bất kỳ.

Ví dụ:

0 = 0. Vì 0 là 0 nên nghiệm nguyên 0x + 0 = 0 là một số bất kỳ.

Nếu a bằng 0 và b không bằng 0 thì phương trình ax + b = 0 không có nghiệm nguyên.

Ví dụ:

0 \ u003d 6. Vì 0 không bằng 6 nên 0x - 6 \ u003d 0 không có nghiệm nguyên.

Hệ phương trình tuyến tính.

Một hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống trong đó tất cả các phương trình là tuyến tính.

Để giải quyết một hệ thống có nghĩa là tìm tất cả các giải pháp của nó.

Trước khi giải một hệ phương trình tuyến tính, bạn có thể xác định số nghiệm của nó.

Cho hệ phương trình đã cho: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

Nếu a1 chia cho a2 không bằng b1 chia cho b2 thì hệ có một nghiệm duy nhất.

Nếu a1 chia cho a2 được bằng b1 chia cho b2 mà bằng c1 chia cho c2 thì hệ không có nghiệm.

Nếu a1 chia cho a2 bằng b1 chia cho b2 và bằng c1 chia cho c2 thì hệ có vô số nghiệm.

Hệ phương trình có ít nhất một nghiệm được gọi là nhất quán.

Một hệ thống liên kết được gọi là xác định nếu nó có số giới hạn giải pháp và không xác định nếu tập hợp các giải pháp của nó là vô hạn.

Một hệ thống không có một giải pháp duy nhất được gọi là không nhất quán hoặc không nhất quán.

Các cách giải phương trình tuyến tính

Có một số cách để giải phương trình tuyến tính:

1) Phương pháp tuyển chọn. Cái này là nhất cách đơn giản nhất. Nó bao gồm thực tế là họ chọn tất cả giá trị cho phép không xác định bằng cách liệt kê.

Ví dụ:

Giải phương trình.

Cho x = 1. Khi đó

4 = 6. Vì 4 không bằng 6 nên giả thiết x = 1 của chúng ta là không chính xác.

Cho x = 2.

6 = 6. Vì 6 bằng 6 nên giả thiết x = 2 của chúng ta là đúng.

Đáp số: x = 2.

2) Cách đơn giản hóa

Phương pháp này nằm ở chỗ tất cả các phần tử chứa cái chưa biết được chuyển sang bên trái và được biết ở bên phải với dấu hiệu ngược lại, đưa ra những cái tương tự, và chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của ẩn số.

Ví dụ:

Giải phương trình.

5x - 4 \ u003d 11 + 2x;

5x - 2x \ u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Trả lời. x = 5.

3) Cách đồ thị.

Nó bao gồm thực tế là một đồ thị của các hàm được xây dựng phương trình đã cho. Bởi vì trong phương trình tuyến tính y \ u003d 0, khi đó đồ thị sẽ song song với trục y. Giao điểm của đồ thị với trục x sẽ là nghiệm của phương trình này.

Ví dụ:

Giải phương trình.

Cho y = 7. Khi đó y = 2x + 3.

Hãy xây dựng đồ thị của hàm số của cả hai phương trình:

Các cách giải hệ phương trình tuyến tính

Ở lớp bảy, ba cách giải hệ phương trình được học:

1) Phương pháp thay thế.

Phương pháp này bao gồm thực tế là trong một trong các phương trình, một ẩn số được biểu diễn dưới dạng một ẩn số khác. Biểu thức kết quả được thay thế vào một phương trình khác, sau đó biến thành một phương trình với một ẩn số, sau đó nó được giải. Giá trị kết quả của ẩn số này được thay vào bất kỳ phương trình nào của hệ ban đầu và giá trị của ẩn số thứ hai được tìm thấy.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y \ u003d 4 - 3x.

Thay biểu thức kết quả thành một phương trình khác:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \ u003d 1;

5x - 8 + 6x \ u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Thay giá trị kết quả vào phương trình 3x + y \ u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \ u003d 4 - 3; y = 1.

Kiểm tra.

/ 3 1 + 1 = 4,

\ 5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Đáp số: x = 1; y = 1.

2) Phương pháp cộng.

Phương pháp này là nếu hệ thống này bao gồm các phương trình mà khi thêm số hạng theo số hạng, tạo thành một phương trình với một ẩn số, sau đó bằng cách giải phương trình này, chúng ta nhận được giá trị của một trong các ẩn số. Giá trị kết quả của ẩn số này được thay vào bất kỳ phương trình nào của hệ ban đầu và giá trị của ẩn số thứ hai được tìm thấy.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình.

/ 3 năm - 2x \ u003d 5,

\ 5x - 3 năm \ u003d 4.

Hãy giải phương trình kết quả.

3x = 9; : (3) x = 3.

Hãy thay giá trị thu được vào phương trình 3y - 2x = 5.

3y - 2 3 = 5;

3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Vậy x = 3; y = 3 2/3.

Kiểm tra.

11/3 - 2 3 = 5,

\ 5 3 - 3 11/3 = 4;

Trả lời. x = 3; y = 3 2/3

3) Cách đồ thị.

Phương pháp này dựa trên thực tế là các đồ thị của phương trình được vẽ trong một hệ tọa độ. Nếu các đồ thị của phương trình cắt nhau thì tọa độ của giao điểm là nghiệm của hệ này. Nếu đồ thị của phương trình là các đường thẳng song song thì hệ đã cho không có nghiệm. Nếu đồ thị của phương trình hợp thành một đường thẳng thì hệ có vô số nghiệm.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y \ u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y \ u003d 5 - 2x; 3y \ u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Ta dựng đồ thị của các hàm số y \ u003d 2x - 5 và y \ u003d 3 - 6x trên cùng một hệ trục tọa độ.

Đồ thị của các hàm số y \ u003d 2x - 5 và y \ u003d 3 - 6x cắt nhau tại điểm A (1; -3).

Do đó, nghiệm của hệ phương trình này sẽ là x = 1 và y = -3.

Kiểm tra.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Trả lời. x = 1; y = -3.

Sự kết luận

Dựa trên tất cả những điều trên, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình là cần thiết trong thế giới hiện đại không chỉ để giải quyết các vấn đề thực tiễn, mà còn là một công cụ khoa học. Vì vậy, đã có rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu về vấn đề này và tiếp tục nghiên cứu.

Phương trình biểu diễn tam thức vuông, thường được gọi là phương trình bậc hai. Theo quan điểm của đại số, nó được mô tả bằng công thức a * x ^ 2 + b * x + c = 0. Trong công thức này, x là ẩn số cần tìm (nó được gọi là biến tự do); a, b và c là các hệ số bằng số. Liên quan đến các thành phần của điều này, có một số hạn chế: ví dụ, hệ số a không được bằng 0.

Giải phương trình: khái niệm phân biệt

Giá trị của x chưa biết, tại đó phương trình bậc hai biến thành một đẳng thức thực sự, được gọi là căn của một phương trình như vậy. Để giải một phương trình bậc hai, trước tiên bạn phải tìm giá trị của một hệ số đặc biệt - hệ số phân biệt, hệ số này sẽ hiển thị số nghiệm của đẳng thức được coi là. Số phân biệt được tính theo công thức D = b ^ 2-4ac. Trong trường hợp này, kết quả của phép tính có thể dương, âm hoặc bằng không.

Trong trường hợp này, cần lưu ý rằng khái niệm yêu cầu chỉ có hệ số a hoàn toàn khác 0. Do đó, hệ số b có thể bằng 0 và bản thân phương trình trong trường hợp này là a * x ^ 2 + c = 0. Trong tình huống như vậy, giá trị hệ số bằng 0 nên được sử dụng trong công thức tính phân biệt và nghiệm thức. Vì vậy, số phân biệt trong trường hợp này sẽ được tính là D = -4ac.

Nghiệm của phương trình có phân biệt dương

Nếu phân biệt của phương trình bậc hai là dương, từ đó chúng ta có thể kết luận rằng đẳng thức này có hai nghiệm. Các gốc này có thể được tính theo công thức sau: x = (- b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a = (- b ± √D) / 2a. Do đó, để tính giá trị của nghiệm nguyên của phương trình bậc hai cho giá trị dương phân biệt đối xử được sử dụng giá trị đã biết hệ số có sẵn trong. Nhờ việc sử dụng tổng và hiệu trong công thức tính căn, kết quả của các phép tính sẽ là hai giá trị biến đẳng thức trong câu hỏi thành đúng.

Nghiệm của phương trình với số không và phân biệt âm

Nếu số phân biệt của phương trình bậc hai bằng 0, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình đã nói có một gốc. Nói một cách chính xác, trong tình huống này, phương trình vẫn có hai nghiệm nguyên, nhưng do không có phân biệt nên chúng sẽ bằng nhau. Trong trường hợp này x = -b / 2a. Nếu trong quá trình tính toán, giá trị của số phân biệt là âm thì nên kết luận rằng phương trình bậc hai đã xét không có nghiệm nguyên, nghĩa là các giá trị của x tại đó biến thành một đẳng thức thực sự.

Và như vậy, thật hợp lý khi làm quen với các phương trình dạng khác. Tiếp theo trong hàng là Các phương trình tuyến tính, nghiên cứu có mục đích bắt đầu từ các bài học đại số ở lớp 7.

Rõ ràng là trước tiên bạn cần giải thích phương trình tuyến tính là gì, đưa ra định nghĩa về phương trình tuyến tính, các hệ số của nó, chỉ ra hình thức chung. Sau đó, bạn có thể tìm ra bao nhiêu nghiệm của một phương trình tuyến tính tùy thuộc vào giá trị của các hệ số và cách tìm nghiệm của nghiệm. Điều này sẽ cho phép bạn chuyển sang giải các ví dụ, và do đó củng cố lý thuyết đã học. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ làm điều này: chúng tôi sẽ đi sâu vào chi tiết tất cả các điểm lý thuyết và thực tế liên quan đến phương trình tuyến tính và nghiệm của chúng.

Hãy nói ngay rằng ở đây chúng ta sẽ chỉ xét phương trình tuyến tính với một biến, và trong một bài viết riêng, chúng ta sẽ nghiên cứu các nguyên tắc giải phương trình tuyến tính trong hai biến.

Điều hướng trang.

Một phương trình tuyến tính là gì?

Định nghĩa của một phương trình tuyến tính được đưa ra dưới dạng ký hiệu của nó. Hơn nữa, trong các sách giáo khoa toán và đại số khác nhau, việc xây dựng các định nghĩa của hệ phương trình tuyến tính có một số khác biệt nhưng không ảnh hưởng đến bản chất của vấn đề.

Ví dụ, trong sách giáo khoa đại số lớp 7 của Yu N. Makarycheva và những người khác, một phương trình tuyến tính được định nghĩa như sau:

Sự định nghĩa.

Loại phương trình ax = b, trong đó x là một biến, a và b là một số số, được gọi là phương trình tuyến tính với một biến.

Hãy để chúng tôi đưa ra các ví dụ về phương trình tuyến tính tương ứng với định nghĩa vô thanh. Ví dụ, 5 x = 10 là một phương trình tuyến tính với một biến x, ở đây hệ số a là 5 và số b là 10. Một ví dụ khác: −2.3 y = 0 cũng là một phương trình tuyến tính, nhưng với biến y, trong đó a = −2.3 và b = 0. Và trong các phương trình tuyến tính x = −2 và −x = 3,33 a không có mặt rõ ràng và tương ứng bằng 1 và −1, trong khi ở phương trình thứ nhất b = −2 và ở phương trình thứ hai - b = 3,33.

Và một năm trước đó, trong sách giáo khoa toán học của N. Ya. Vilenkin, phương trình tuyến tính với một ẩn số, ngoài phương trình có dạng a x = b, cũng được coi là phương trình có thể rút gọn về dạng này bằng cách chuyển các số hạng từ một một phần của phương trình thành một phần khác có dấu ngược lại, cũng như bằng cách giảm các số hạng tương tự. Theo định nghĩa này, phương trình có dạng 5 x = 2 x + 6, v.v. cũng là tuyến tính.

Lần lượt, định nghĩa sau đây được đưa ra trong sách giáo khoa đại số 7 lớp của A. G. Mordkovich:

Sự định nghĩa.

Phương trình tuyến tính với một biến x là một phương trình có dạng a x + b = 0, trong đó a và b là một số số, được gọi là các hệ số của phương trình tuyến tính.

Ví dụ, phương trình tuyến tính loại này là 2 x − 12 = 0, ở đây hệ số a bằng 2, và b bằng −12, và 0,2 y + 4,6 = 0 với các hệ số a = 0,2 và b = 4,6. Nhưng đồng thời, có những ví dụ về phương trình tuyến tính có dạng không phải là a x + b = 0, mà là a x = b, ví dụ, 3 x = 12.

Hãy để chúng ta không có bất kỳ sự khác biệt nào trong tương lai, dưới một phương trình tuyến tính với một biến x và các hệ số a và b, chúng ta sẽ hiểu một phương trình có dạng a x + b = 0. Loại phương trình tuyến tính này dường như là hợp lý nhất, vì phương trình tuyến tính là phương trình đại số mức độ đầu tiên. Và tất cả các phương trình khác ở trên, cũng như các phương trình sử dụng phép biến đổi tương đươngđược rút gọn về dạng a x + b = 0, chúng ta sẽ gọi phương trình giảm thành phương trình tuyến tính. Với cách tiếp cận này, phương trình 2 x + 6 = 0 là một phương trình tuyến tính và 2 x = −6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12, v.v. là các phương trình tuyến tính.

Làm thế nào để giải quyết các phương trình tuyến tính?

Bây giờ đã đến lúc tìm ra cách giải phương trình tuyến tính a x + b = 0. Nói cách khác, đã đến lúc tìm xem phương trình tuyến tính có nghiệm nguyên hay không, và nếu có thì có bao nhiêu nghiệm và cách tìm chúng.

Sự hiện diện của nghiệm nguyên của một phương trình tuyến tính phụ thuộc vào giá trị của các hệ số a và b. Trong trường hợp này, phương trình tuyến tính a x + b = 0 có

• căn duy nhất tại a ≠ 0,
• không có căn nào cho a = 0 và b ≠ 0,
• có vô số nghiệm nguyên đối với a = 0 và b = 0, trong trường hợp này bất kỳ số nào cũng là nghiệm nguyên của một phương trình tuyến tính.

Hãy để chúng tôi giải thích cách thu được những kết quả này.

Chúng ta biết rằng để giải phương trình, có thể chuyển từ phương trình ban đầu sang phương trình tương đương, nghĩa là phương trình có cùng nghiệm nguyên hoặc giống phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:

• chuyển một số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình với dấu ngược lại,
• và cũng nhân hoặc chia cả hai vế của phương trình với cùng một số khác không.

Vì vậy, trong một phương trình tuyến tính với một loại biến a x + b = 0 chúng ta có thể chuyển số hạng b từ vế trái sang bên phải với dấu hiệu ngược lại. Trong trường hợp này, phương trình sẽ có dạng a x = −b.

Và sau đó phép chia cả hai phần của phương trình cho số a tự nó gợi ý. Nhưng có một điều: số a có thể bằng không, trong trường hợp đó, một phép chia như vậy là không thể. Để giải quyết vấn đề này, trước tiên chúng ta sẽ giả định rằng số a khác 0, và xem xét trường hợp số 0 một cách riêng biệt sau đó một chút.

Vì vậy, khi a không bằng 0, thì chúng ta có thể chia cả hai phần của phương trình a x = −b cho a, sau đó nó được chuyển thành dạng x = (- b): a, kết quả này có thể được viết bằng cách sử dụng a đường liền nét như.

Do đó, với a ≠ 0, phương trình tuyến tính a · x + b = 0 tương đương với phương trình mà từ đó có thể nhìn thấy nghiệm gốc của nó.

Dễ dàng chứng tỏ rằng căn này là duy nhất, tức là phương trình tuyến tính không có căn nào khác. Điều này cho phép bạn làm theo phương pháp ngược lại.

Hãy biểu thị gốc là x 1. Giả sử rằng có một nghiệm nguyên khác của phương trình tuyến tính, mà chúng ta ký hiệu là x 2 và x 2 ≠ x 1, do định nghĩa số lượng bằng nhau thông qua sự khác biệt tương đương với điều kiện x 1 - x 2 ≠ 0. Vì x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình tuyến tính a x + b = 0 nên các số a x 1 + b = 0 và a x 2 + b = 0 xảy ra. Chúng ta có thể trừ các phần tương ứng của các giá trị bằng nhau này, điều mà các tính chất của các bình đẳng số cho phép chúng ta thực hiện, chúng ta có a x 1 + b− (a x 2 + b) = 0−0, khi đó a (x 1 −x 2) + ( b − b) = 0 và khi đó a (x 1 - x 2) = 0. Và đẳng thức này là không thể, vì cả a ≠ 0 và x 1 - x 2 ≠ 0. Vì vậy, chúng ta đã đi đến một mâu thuẫn, chứng minh tính duy nhất của nghiệm nguyên của phương trình tuyến tính a · x + b = 0 với a ≠ 0.

Như vậy ta đã giải được phương trình tuyến tính a x + b = 0 với a ≠ 0. Kết quả đầu tiên được đưa ra ở phần đầu của tiểu mục này là chính đáng. Có hai nữa thỏa mãn điều kiện a = 0.

Với a = 0, phương trình tuyến tính a · x + b = 0 trở thành 0 · x + b = 0. Từ phương trình này và tính chất của phép nhân các số với không, ta thấy rằng bất kể chúng ta lấy x là số nào, khi chúng ta thay nó vào phương trình 0 x + b = 0, chúng ta nhận được đẳng thức số b = 0. Đẳng thức này đúng khi b = 0, và trong các trường hợp khác khi b ≠ 0 đẳng thức này sai.

Do đó, với a = 0 và b = 0, một số bất kỳ là căn của phương trình tuyến tính a x + b = 0, vì trong các điều kiện này, thay một số bất kỳ thay cho x sẽ cho đúng đẳng thức số 0 = 0. Và đối với a = 0 và b ≠ 0, phương trình tuyến tính a x + b = 0 không có nghiệm nguyên, vì trong các điều kiện này, việc thay một số bất kỳ thay cho x sẽ dẫn đến một đẳng thức số không chính xác b = 0.

Các lý giải trên giúp ta có thể hình thành một chuỗi các hành động cho phép giải bất kỳ phương trình tuyến tính nào. Cho nên, thuật toán giải một phương trình tuyến tính Là:

• Đầu tiên, bằng cách viết một phương trình tuyến tính, chúng ta tìm giá trị của các hệ số a và b.
• Nếu a = 0 và b = 0, thì phương trình này có vô số nghiệm, cụ thể là một số bất kỳ là một nghiệm của phương trình tuyến tính này.
• Nếu a khác 0, thì
• hệ số b được chuyển sang vế phải trái dấu, trong khi phương trình tuyến tính được biến đổi về dạng a x = −b,
• sau đó cả hai phần của phương trình kết quả được chia cho một số khác không a, số này cho nghiệm nguyên mong muốn của phương trình tuyến tính ban đầu.

Thuật toán được viết là một câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi làm thế nào để giải các phương trình tuyến tính.

Trong phần kết luận của đoạn này, điều đáng nói là một thuật toán tương tự được sử dụng để giải các phương trình dạng a x = b. Sự khác biệt của nó nằm ở chỗ khi a ≠ 0, cả hai phần của phương trình ngay lập tức được chia cho số này, ở đây b đã nằm trong phần mong muốn của phương trình và nó không cần phải chuyển.

Để giải phương trình dạng a x = b, thuật toán sau được sử dụng:

• Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm là hợp số bất kỳ.
• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình ban đầu vô nghiệm.
• Nếu a khác 0, thì cả hai vế của phương trình được chia cho một số khác không a, từ đó tìm được căn duy nhất của phương trình bằng b / a.

Ví dụ về giải phương trình tuyến tính

Hãy chuyển sang thực hành. Hãy cùng chúng tôi phân tích cách áp dụng thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính. Hãy để chúng tôi trình bày các giải pháp của các ví dụ điển hình tương ứng với những nghĩa khác nhau hệ số của phương trình tuyến tính.

Ví dụ.

Giải phương trình tuyến tính 0 x − 0 = 0.

Quyết định.

Trong phương trình tuyến tính này, a = 0 và b = −0, giống với b = 0. Do đó, phương trình này có vô số nghiệm, một số bất kỳ là nghiệm của phương trình này.

Trả lời:

x là số bất kỳ.

Ví dụ.

Phương trình tuyến tính 0 x + 2.7 = 0 có nghiệm không?

Quyết định.

TẠI trường hợp này hệ số a bằng 0 và hệ số b của phương trình tuyến tính này bằng 2,7, nghĩa là nó khác 0. Do đó, phương trình tuyến tính không có nghiệm nguyên.

Các phương trình tuyến tính. Giải pháp, ví dụ.

Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người mạnh mẽ "không ..."
Và cho những người "rất nhiều ...")

Các phương trình tuyến tính.

Phương trình tuyến tính không phải là phương trình tốt nhất chủ đề khó toán học trường học. Nhưng có một số thủ thuật có thể đánh đố ngay cả một học sinh được đào tạo. Chúng ta sẽ tìm ra nó chứ?)

Một phương trình tuyến tính thường được định nghĩa là một phương trình có dạng:

cây rìu + b = 0 ở đâu A và B- bất kỳ số nào.

2x + 7 = 0. Tại đây a = 2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tại đây a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tại đây a = 12, b = 1/2

Không có gì phức tạp, phải không? Đặc biệt nếu bạn không nhận thấy các từ: "trong đó a và b là bất kỳ số nào"... Và nếu bạn nhận thấy, nhưng không cẩn thận nghĩ về nó?) Rốt cuộc, nếu a = 0, b = 0(bất kỳ số nào có thể?), sau đó chúng tôi nhận được một biểu thức hài hước:

Nhưng đó không phải là tất cả! Nếu, nói, a = 0, một b = 5, nó bật ra một cái gì đó khá vô lý:

Điều gì làm căng và làm suy giảm sự tự tin trong toán học, vâng ...) Đặc biệt là trong các kỳ thi. Nhưng trong số những biểu hiện lạ này, bạn cũng cần tìm X! Mà hoàn toàn không tồn tại. Và, đáng ngạc nhiên là chữ X này rất dễ tìm. Chúng tôi sẽ học cách làm điều đó. Trong bài học này.

Làm thế nào để nhận ra một phương trình tuyến tính xuất hiện? Nó phụ thuộc vào những gì xuất hiện.) Bí quyết là phương trình tuyến tính không chỉ được gọi là phương trình có dạng cây rìu + b = 0 , mà còn bất kỳ phương trình nào được rút gọn về dạng này bằng các phép biến đổi và đơn giản hóa. Và ai biết nó có giảm hay không?)

Một phương trình tuyến tính có thể được nhận ra rõ ràng trong một số trường hợp. Giả sử, nếu chúng ta có một phương trình trong đó chỉ có ẩn số ở bậc một, thì có số. Và phương trình không phân số chia cho không xác định , nó quan trọng! Và chia cho con số, hoặc một phân số - thế là xong! Ví dụ:

Đây là một phương trình tuyến tính. Ở đây có phân số, nhưng không có bình phương, lập phương, v.v. của x, và không có x trong mẫu số, tức là Không chia cho x. Và đây là phương trình

không thể gọi là tuyến tính. Đây là tất cả ở mức độ đầu tiên, nhưng có chia cho biểu thức với x. Sau khi đơn giản hóa và biến đổi, bạn có thể nhận được một phương trình tuyến tính và một phương trình bậc hai, và bất cứ thứ gì bạn thích.

Hóa ra là không thể tìm ra một phương trình tuyến tính trong một số ví dụ phức tạp cho đến khi bạn gần như giải được nó. Thật khó chịu. Nhưng trong các bài tập, như một quy luật, họ không hỏi về dạng của phương trình, phải không? Trong các nhiệm vụ, các phương trình được sắp xếp theo thứ tự quyết định.Điều này làm cho tôi hạnh phúc.)

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Các ví dụ.

Toàn bộ nghiệm của phương trình tuyến tính bao gồm các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình. Nhân tiện, những biến đổi này (nhiều nhất là hai!) Làm nền tảng cho các giải pháp tất cả các phương trình toán học. Nói cách khác, quyết định không tí nào Phương trình bắt đầu với những phép biến đổi tương tự này. Trong trường hợp phương trình tuyến tính, nó (lời giải) trên các phép biến đổi này kết thúc bằng một câu trả lời chính thức. Nó có ý nghĩa khi đi theo liên kết, phải không?) Hơn nữa, còn có các ví dụ về giải phương trình tuyến tính.

Hãy bắt đầu với ví dụ đơn giản nhất. Không có bất kỳ cạm bẫy nào. Giả sử chúng ta cần giải phương trình sau.

x - 3 = 2 - 4x

Đây là một phương trình tuyến tính. X là lũy thừa đầu tiên, không có phép chia nào cho X. Nhưng, thực ra, chúng tôi không quan tâm đến phương trình là gì. Chúng ta cần giải quyết nó. Đề án ở đây là đơn giản. Thu thập mọi thứ với x ở bên trái của phương trình, mọi thứ không có x (số) ở bên phải.

Để làm điều này, bạn cần chuyển - 4x về phía bên trái, tất nhiên có thay đổi dấu hiệu, nhưng - 3 - rẽ phải. Nhân tiện, đây là phép biến đổi đồng dạng đầu tiên của các phương trình. Ngạc nhiên? Vì vậy, họ đã không theo liên kết, nhưng vô ích ...) Chúng tôi nhận được:

x + 4x = 2 + 3

Chúng tôi đưa ra tương tự, chúng tôi xem xét:

Chúng ta thiếu để làm gì hạnh phúc trọn vẹn? Có, để có một dấu X sạch ở bên trái! Năm cản đường. Loại bỏ năm với phép biến đổi đồng dạng thứ hai của phương trình. Cụ thể, chúng tôi chia cả hai phần của phương trình cho 5. Chúng tôi nhận được một câu trả lời được tạo sẵn:

Tất nhiên là một ví dụ cơ bản. Điều này là để khởi động.) Không rõ ràng lắm tại sao tôi nhớ lại các phép biến đổi giống hệt nhau ở đây? ĐƯỢC RỒI. Chúng ta lấy sừng của con bò đực.) Hãy quyết định một cái gì đó ấn tượng hơn.

Ví dụ, đây là phương trình:

Chúng ta bắt đầu từ đâu? Với X - ở bên trái, không có X - ở bên phải? Có thể như vậy. Trong các bước nhỏ đoạn đường dài. Và bạn có thể ngay lập tức, một cách toàn diện và mạnh mẽ. Tất nhiên, trừ khi trong kho vũ khí của bạn có các phép biến đổi phương trình giống hệt nhau.

tôi hỏi bạn Câu hỏi then chốt: Bạn không thích điều gì nhất về phương trình này?

95 người trong số 100 người sẽ trả lời: phân số ! Câu trả lời là chính xác. Vì vậy, chúng ta hãy loại bỏ chúng. Vì vậy, chúng tôi bắt đầu ngay với lần biến đổi giống hệt thứ hai. Muốn nhân phân số ở bên trái với mẫu số ta cần làm gì? Đúng vậy, 3. Và ở bên phải? Bằng 4. Nhưng toán học cho phép chúng ta nhân cả hai vế với Cùng một số. Làm thế nào để chúng ta thoát ra? Hãy nhân cả hai bên với 12! Những thứ kia. trên mẫu số chung. Sau đó, ba sẽ được giảm, và bốn. Đừng quên rằng bạn cần phải nhân từng phần toàn bộ. Đây là bước đầu tiên trông như thế nào:

Mở rộng dấu ngoặc:

Ghi chú! Tử số (x + 2) Tôi lấy trong ngoặc! Điều này là do khi nhân phân số, tử số được nhân với toàn bộ, hoàn toàn! Và bây giờ bạn có thể giảm phân số và giảm:

Mở các dấu ngoặc đơn còn lại:

Không phải là một ví dụ, mà là niềm vui thuần túy!) Bây giờ chúng ta nhớ lại câu thần chú từ lớp dưới: với x - ở bên trái, không có x - ở bên phải! Và áp dụng chuyển đổi này:

Dưới đây là một số như:

Và chúng tôi chia cả hai phần cho 25, tức là áp dụng lại phép biến đổi thứ hai:

Đó là tất cả. Trả lời: X=0,16

Hãy lưu ý: để đưa phương trình khó hiểu ban đầu về một dạng dễ chịu, chúng tôi đã sử dụng hai (chỉ hai!) biến đổi giống hệt nhau- dịch trái-phải với một sự thay đổi dấu và nhân-chia của phương trình với cùng một số. Đây là cách phổ quát! Chúng tôi sẽ làm việc theo cách này không tí nào phương trình! Hoàn toàn bất kỳ. Đó là lý do tại sao tôi tiếp tục lặp lại những phép biến đổi giống hệt nhau này.)

Như bạn thấy, nguyên tắc giải phương trình tuyến tính rất đơn giản. Chúng tôi lấy phương trình và đơn giản hóa nó với biến đổi giống hệt nhau trước khi nhận được phản hồi. Các vấn đề chính ở đây là trong các tính toán, và không nằm trong nguyên tắc của giải pháp.

Nhưng ... Có những điều bất ngờ trong quá trình giải các phương trình tuyến tính cơ bản nhất mà chúng có thể dẫn đến một sự sững sờ mạnh mẽ ...) May mắn thay, chỉ có thể có hai điều bất ngờ như vậy. Hãy gọi chúng là những trường hợp đặc biệt.

Các trường hợp đặc biệt trong giải hệ phương trình tuyến tính.

Bất ngờ trước.

Giả sử bạn có phương trình cơ bản, cái gì đó như:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

Hơi chán, chúng tôi chuyển với X sang trái, không có X - sang phải ... Với một sự thay đổi dấu hiệu, mọi thứ đều là chin-chinar ... Chúng tôi nhận được:

2x-5x + 3x = 5-2-3

Chúng tôi tin, và ... ôi chao! Chúng tôi nhận được:

Tự nó, sự bình đẳng này không bị phản đối. Số không thực sự là số không. Nhưng X đã biến mất! Và chúng ta phải viết câu trả lời, những gì x bằng. Nếu không, giải pháp không được tính, vâng ...) Một ngõ cụt?

Điềm tĩnh! Trong những trường hợp đáng ngờ như vậy, các quy tắc chung nhất sẽ tiết kiệm. Làm thế nào để giải các phương trình? Nó có nghĩa là gì để giải một phương trình? Nó có nghĩa là, Tìm tất cả các giá trị của x mà khi thay vào phương trình ban đầu sẽ cho ta hằng đẳng thức đúng.

Nhưng chúng ta có sự bình đẳng chính xác đã sẵn sàngđã xảy ra! 0 = 0, thực sự ở đâu ?! Nó vẫn còn để tìm ra những gì x của điều này được thu được. Những giá trị nào của x có thể được thay thế thành ban đầu phương trình nếu những x vẫn thu nhỏ bằng không? Nào?)

Đúng!!! X có thể được thay thế không tí nào! Bạn muốn gì. Ít nhất 5, ít nhất 0,05, ít nhất -220. Chúng vẫn sẽ co lại. Nếu bạn không tin tôi, bạn có thể kiểm tra nó.) Thay thế bất kỳ giá trị x nào trong ban đầu phương trình và tính toán. Tất cả thời gian, sự thật thuần túy sẽ thu được: 0 = 0, 2 = 2, -7.1 = -7.1, v.v.

Đây là câu trả lời của bạn: x là số bất kỳ.

Câu trả lời có thể được viết bằng các ký hiệu toán học khác nhau, bản chất không thay đổi. Đây là một câu trả lời hoàn toàn chính xác và đầy đủ.

Bất ngờ thứ hai.

Hãy lấy cùng một phương trình tuyến tính cơ bản và chỉ thay đổi một số trong đó. Đây là những gì chúng tôi sẽ quyết định:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

Sau những lần biến đổi giống hệt nhau, chúng ta nhận được một thứ hấp dẫn:

Như thế này. Giải một phương trình tuyến tính, có một đẳng thức kỳ lạ. đang nói ngôn ngữ toán học, chúng tôi có đẳng thức sai. Và nói ngôn ngữ đơn giản, Đây không phải là sự thật. Rave. Nhưng tuy nhiên, điều vô nghĩa này là một lý do chính đáng để quyết định đúng phương trình.)

Một lần nữa, chúng tôi nghĩ từ quy tắc chung. X, khi được thay thế vào phương trình ban đầu, sẽ cho chúng ta sửa bình đẳng? Có, không! Không có xes như vậy. Bất cứ điều gì bạn thay thế, mọi thứ sẽ được giảm bớt, vô nghĩa sẽ vẫn còn.)

Đây là câu trả lời của bạn: không có giải pháp.

Đây cũng là một câu trả lời hoàn toàn hợp lệ. Trong toán học, những câu trả lời như vậy thường xảy ra.

Như thế này. Bây giờ, tôi hy vọng, việc mất Xs trong quá trình giải bất kỳ phương trình (không chỉ tuyến tính) nào sẽ không làm phiền bạn. Vấn đề là quen thuộc.)

Bây giờ chúng ta đã giải quyết tất cả các cạm bẫy trong phương trình tuyến tính, nên việc giải quyết chúng là rất hợp lý.

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

Trong video này, chúng tôi sẽ phân tích toàn bộ tập hợp các phương trình tuyến tính được giải bằng cùng một thuật toán - đó là lý do tại sao chúng được gọi là đơn giản nhất.

Để bắt đầu, hãy định nghĩa: phương trình tuyến tính là gì và phương trình nào trong số chúng nên được gọi là đơn giản nhất?

Phương trình tuyến tính là phương trình trong đó chỉ có một biến số và chỉ ở bậc đầu tiên.

Phương trình đơn giản nhất có nghĩa là cấu trúc:

Tất cả các phương trình tuyến tính khác được rút gọn thành những phương trình đơn giản nhất bằng cách sử dụng thuật toán:

1. Mở ngoặc, nếu có;
2. Di chuyển các số hạng có chứa một biến sang một phía của dấu bằng và các số hạng không có biến sang một bên;
3. Chì thích điều khoản bên trái và bên phải của dấu bằng;
4. Chia phương trình kết quả cho hệ số của biến $ x $.

Tất nhiên, thuật toán này không phải lúc nào cũng hữu ích. Thực tế là đôi khi, sau tất cả các lần xử lý này, hệ số của biến $ x $ hóa ra bằng không. Trong trường hợp này, có thể có hai lựa chọn:

1. Phương trình không có nghiệm nào cả. Ví dụ: khi bạn nhận được một cái gì đó như $ 0 \ cdot x = 8 $, tức là bên trái là số 0 và bên phải là số khác 0. Trong video dưới đây, chúng ta sẽ xem xét một số lý do tại sao có thể xảy ra tình trạng này.
2. Giải pháp là tất cả các con số. Trường hợp duy nhất khi điều này là có thể xảy ra là khi phương trình đã được rút gọn thành cấu trúc $ 0 \ cdot x = 0 $. Điều khá hợp lý là cho dù chúng ta thay thế $ x $ nào đi chăng nữa, thì nó vẫn sẽ cho kết quả là "số không bằng không", tức là bình đẳng số đúng.

Và bây giờ chúng ta hãy xem tất cả hoạt động như thế nào trên ví dụ về các vấn đề thực tế.

Ví dụ về giải phương trình

Hôm nay chúng ta giải quyết các phương trình tuyến tính và chỉ những phương trình đơn giản nhất. Nói chung, một phương trình tuyến tính có nghĩa là bất kỳ đẳng thức nào chứa chính xác một biến và nó chỉ ở cấp độ đầu tiên.

Các công trình như vậy được giải quyết theo cùng một cách:

1. Trước hết, bạn cần mở dấu ngoặc, nếu có (như trong ví dụ cuối cùng);
2. Sau đó mang tương tự
3. Cuối cùng, tách riêng biến, tức là mọi thứ được kết nối với biến - các điều khoản chứa nó - được chuyển sang một bên và mọi thứ còn lại không có biến sẽ được chuyển sang bên kia.

Sau đó, như một quy tắc, bạn cần phải đưa ra tương tự ở mỗi bên của đẳng thức kết quả, và sau đó nó vẫn chỉ chia cho hệ số tại "x", và chúng ta sẽ nhận được câu trả lời cuối cùng.

Về lý thuyết, điều này trông đẹp và đơn giản, nhưng trong thực tế, ngay cả học sinh trung học có kinh nghiệm cũng có thể mắc lỗi khó hiểu trong các phương trình tuyến tính khá đơn giản. Thông thường, những sai lầm mắc phải khi mở ngoặc hoặc khi đếm "điểm cộng" và "điểm trừ".

Ngoài ra, sẽ xảy ra trường hợp một phương trình tuyến tính không có nghiệm nào cả, hoặc nghiệm là toàn bộ một trục số, tức là bất kỳ số nào. Chúng ta sẽ phân tích những nét tinh tế này trong bài học hôm nay. Nhưng chúng tôi sẽ bắt đầu, như bạn đã hiểu, với hầu hết nhiệm vụ đơn giản.

Sơ đồ giải phương trình tuyến tính đơn giản

Để bắt đầu, hãy để tôi viết lại toàn bộ sơ đồ giải các phương trình tuyến tính đơn giản nhất:

1. Mở rộng dấu ngoặc đơn, nếu có.
2. Loại trừ các biến, tức là mọi thứ có chứa "x" được chuyển sang một bên và không có "x" - sang bên kia.
3. Chúng tôi trình bày các điều khoản tương tự.
4. Chúng tôi chia mọi thứ cho hệ số tại "x".

Tất nhiên, kế hoạch này không phải lúc nào cũng hoạt động, nó có một số tinh vi và thủ thuật nhất định, và bây giờ chúng ta sẽ làm quen với chúng.

Giải các ví dụ thực tế về phương trình tuyến tính đơn giản

Nhiệm vụ 1

Trong bước đầu tiên, chúng ta bắt buộc phải mở dấu ngoặc. Nhưng chúng không có trong ví dụ này, vì vậy chúng tôi bỏ qua sân khấu này. Trong bước thứ hai, chúng ta cần phải cô lập các biến. Ghi chú: chúng tôi đang nói chuyện chỉ về các thành phần riêng lẻ. Cùng viết nào:

Chúng tôi đưa ra các điều khoản tương tự ở bên trái và bên phải, nhưng điều này đã được thực hiện ở đây. Do đó, chúng tôi tiến hành bước thứ tư: chia cho một thừa số:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Đây là câu trả lời.

Nhiệm vụ 2

Trong tác vụ này, chúng ta có thể quan sát các dấu ngoặc, vì vậy hãy mở rộng chúng:

Cả ở bên trái và bên phải, chúng ta thấy cấu trúc gần giống nhau, nhưng chúng ta hãy hành động theo thuật toán, tức là biến trình tự:

Dưới đây là một số như:

Điều này hoạt động ở những gốc rễ nào? Trả lời: cho bất kỳ. Do đó, chúng ta có thể viết $ x $ là một số bất kỳ.

Nhiệm vụ số 3

Phương trình tuyến tính thứ ba đã thú vị hơn:

\ [\ left (6-x \ right) + \ left (12 + x \ right) - \ left (3-2x \ right) = 15 \]

Ở đây có vài dấu ngoặc nhưng không nhân với gì cả, chỉ đứng trước thôi. các dấu hiệu khác nhau. Hãy chia nhỏ chúng:

Chúng tôi thực hiện bước thứ hai mà chúng tôi đã biết:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Hãy tính toán:

Chúng tôi thực hiện bước cuối cùng - chúng tôi chia mọi thứ cho hệ số tại "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Những điều cần nhớ khi giải phương trình tuyến tính

Nếu chúng ta bỏ qua các nhiệm vụ quá đơn giản, thì tôi muốn nói như sau:

• Như tôi đã nói ở trên, không phải mọi phương trình tuyến tính đều có nghiệm - đôi khi đơn giản là không có nghiệm nguyên;
• Ngay cả khi có gốc rễ, thì số không cũng có thể xâm nhập vào chúng - không có gì sai với điều đó.

Số 0 là cùng số với các số còn lại, bạn không nên phân biệt nó bằng cách nào đó hoặc cho rằng nếu bạn nhận được số 0 thì bạn đã làm sai điều gì đó.

Một tính năng khác có liên quan đến việc mở rộng dấu ngoặc đơn. Xin lưu ý: khi có dấu "trừ" ở phía trước, chúng tôi loại bỏ nó, nhưng trong ngoặc, chúng tôi thay đổi các dấu hiệu thành đối nghịch. Và sau đó chúng ta có thể mở nó theo các thuật toán tiêu chuẩn: chúng ta sẽ nhận được những gì chúng ta đã thấy trong các phép tính ở trên.

Hiểu điều này thực tế đơn giản sẽ giúp bạn không mắc phải những sai lầm ngu ngốc và tổn thương ở trường trung học khi việc làm như vậy được coi là đương nhiên.

Giải phương trình tuyến tính phức tạp

Hãy chuyển sang nhiều hơn nữa phương trình phức tạp. Bây giờ các cấu trúc sẽ trở nên phức tạp hơn và một hàm bậc hai sẽ xuất hiện khi thực hiện các phép biến đổi khác nhau. Tuy nhiên, bạn không nên sợ điều này, vì nếu theo chủ ý của tác giả, chúng ta giải một phương trình tuyến tính, thì trong quá trình biến đổi tất cả các đơn thức chứa một hàm bậc hai sẽ nhất thiết bị thu gọn.

Ví dụ 1

Rõ ràng, bước đầu tiên là mở dấu ngoặc. Hãy làm điều này thật cẩn thận:

Bây giờ chúng ta hãy bảo mật:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Dưới đây là một số như:

Rõ ràng, phương trình này không có nghiệm, vì vậy trong đáp án chúng ta viết như sau:

\[\đa dạng \]

hoặc không có rễ.

Ví dụ số 2

Chúng ta thực hiện các bước tương tự. Bước đầu tiên:

Hãy di chuyển mọi thứ với một biến sang trái và không có biến đó - sang phải:

Dưới đây là một số như:

Rõ ràng, phương trình tuyến tính này không có nghiệm, vì vậy chúng ta viết nó như sau:

\ [\ varnothing \],

hoặc không có rễ.

Các sắc thái của giải pháp

Cả hai phương trình đều được giải hoàn toàn. Với ví dụ về hai biểu thức này, chúng tôi một lần nữa đảm bảo rằng ngay cả trong các phương trình tuyến tính đơn giản nhất, mọi thứ không thể đơn giản như vậy: có thể có một hoặc không, hoặc vô hạn. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi đã xem xét hai phương trình, cả hai đều đơn giản là không có nghiệm nguyên.

Nhưng tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn đến một thực tế khác: cách làm việc với dấu ngoặc và cách mở chúng nếu có dấu trừ phía trước. Hãy xem xét biểu thức này:

Trước khi mở, bạn cần nhân mọi thứ với "x". Xin lưu ý: nhân từng thuật ngữ riêng lẻ. Bên trong có hai số hạng - tương ứng, hai số hạng và được nhân.

Và chỉ sau khi hoàn thành xong những phép biến đổi tưởng như sơ đẳng, nhưng rất quan trọng và nguy hiểm này, người ta mới có thể mở ngoặc với quan điểm có dấu trừ sau nó. Vâng, có: chỉ bây giờ, khi các phép biến đổi được thực hiện, chúng ta nhớ rằng có một dấu trừ ở phía trước của dấu ngoặc, có nghĩa là mọi thứ xuống chỉ thay đổi dấu hiệu. Đồng thời, các dấu ngoặc tự biến mất và quan trọng nhất là “dấu trừ” phía trước cũng biến mất.

Chúng tôi làm tương tự với phương trình thứ hai:

Không phải ngẫu nhiên mà tôi lại chú ý đến những sự thật nhỏ nhặt, tưởng chừng như không đáng kể này. Vì giải phương trình luôn là một dãy biến đổi cơ bản nơi không có khả năng thực hiện một cách rõ ràng và thành thạo các bước đơn giản dẫn đến việc các em học sinh cấp 3 tìm đến tôi và học cách giải lại những phương trình đơn giản như vậy.

Tất nhiên, sẽ đến ngày bạn trau dồi những kỹ năng này để trở thành chủ nghĩa tự động. Bạn không còn phải thực hiện quá nhiều phép biến đổi mỗi lần, bạn sẽ viết mọi thứ trong một dòng. Nhưng trong khi bạn chỉ đang học, bạn cần phải viết từng hành động riêng biệt.

Giải các phương trình tuyến tính phức tạp hơn

Những gì chúng ta sẽ giải quyết bây giờ khó có thể được gọi là nhiệm vụ đơn giản nhất, nhưng ý nghĩa vẫn không thay đổi.

Nhiệm vụ 1

\ [\ left (7x + 1 \ right) \ left (3x-1 \ right) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Hãy nhân tất cả các phần tử trong phần đầu tiên:

Hãy thực hiện một khóa tu:

Dưới đây là một số như:

Hãy thực hiện bước cuối cùng:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Đây là câu trả lời cuối cùng của chúng tôi. Và, mặc dù thực tế là trong quá trình giải chúng tôi đã có các hệ số của một hàm bậc hai, tuy nhiên, chúng triệt tiêu lẫn nhau, điều này làm cho phương trình chính xác là tuyến tính, không phải là hình vuông.

Nhiệm vụ 2

\ [\ left (1-4x \ right) \ left (1-3x \ right) = 6x \ left (2x-1 \ right) \]

Hãy thực hiện bước đầu tiên một cách cẩn thận: nhân mọi phần tử trong ngoặc thứ nhất với mọi phần tử trong dấu ngoặc thứ hai. Tổng cộng, bốn số hạng mới sẽ nhận được sau khi biến đổi:

Và bây giờ hãy cẩn thận thực hiện phép nhân trong mỗi số hạng:

Hãy di chuyển các thuật ngữ có "x" sang trái và không có - sang phải:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Dưới đây là các điều khoản tương tự:

Chúng tôi đã nhận được một câu trả lời dứt khoát.

Các sắc thái của giải pháp

Nhận xét quan trọng nhất về hai phương trình này là: ngay khi chúng ta bắt đầu nhân các dấu ngoặc trong đó có nhiều hơn một số hạng, thì điều này được thực hiện theo quy tắc sau: chúng ta lấy số hạng đầu tiên từ số hạng đầu tiên và nhân với mỗi phần tử. từ thứ hai; sau đó chúng ta lấy phần tử thứ hai từ phần tử đầu tiên và nhân tương tự với mỗi phần tử từ phần tử thứ hai. Kết quả là, chúng tôi nhận được bốn điều khoản.

Về tổng đại số

Trong ví dụ cuối cùng, tôi muốn nhắc nhở học sinh điều gì là tổng đại số. Trong toán học cổ điển, với $ 1-7 $ chúng ta có nghĩa là một cấu trúc đơn giản: chúng ta trừ bảy cho một. Trong đại số, chúng tôi có ý nghĩa như sau: với số "một", chúng tôi thêm một số khác, cụ thể là "trừ đi bảy." Tổng đại số này khác với tổng số học thông thường.

Ngay sau khi thực hiện tất cả các phép biến đổi, mỗi phép cộng và phép nhân, bạn bắt đầu thấy các cấu trúc tương tự như mô tả ở trên, bạn sẽ không gặp bất kỳ vấn đề nào trong đại số khi làm việc với đa thức và phương trình.

Tóm lại, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ khác thậm chí còn phức tạp hơn những ví dụ mà chúng ta vừa xem xét và để giải quyết chúng, chúng ta sẽ phải mở rộng một chút thuật toán tiêu chuẩn của mình.

Giải phương trình với một phân số

Để giải quyết các nhiệm vụ như vậy, một bước nữa sẽ phải được thêm vào thuật toán của chúng tôi. Nhưng trước tiên, tôi sẽ nhắc thuật toán của chúng tôi:

1. Mở ngoặc.
2. Các biến riêng biệt.
3. Mang tương tự.
4. Chia cho một thừa số.

Than ôi, thuật toán tuyệt vời này, đối với tất cả hiệu quả của nó, không hoàn toàn thích hợp khi chúng ta có các phân số trước mặt. Và trong những gì chúng ta sẽ thấy bên dưới, chúng ta có một phân số ở bên trái và bên phải trong cả hai phương trình.

Làm thế nào để làm việc trong trường hợp này? Vâng, nó rất đơn giản! Để làm điều này, bạn cần thêm một bước nữa vào thuật toán, có thể được thực hiện cả trước hành động đầu tiên và sau hành động đó, cụ thể là loại bỏ các phân số. Do đó, thuật toán sẽ như sau:

1. Loại bỏ phân số.
2. Mở ngoặc.
3. Các biến riêng biệt.
4. Mang tương tự.
5. Chia cho một thừa số.

"Bỏ bớt phân số" nghĩa là gì? Và tại sao có thể làm điều này cả sau và trước bước tiêu chuẩn đầu tiên? Trên thực tế, trong trường hợp của chúng ta, tất cả các phân số đều là số theo mẫu số, tức là ở mọi nơi mẫu số chỉ là một con số. Do đó, nếu chúng ta nhân cả hai phần của phương trình với số này, thì chúng ta sẽ loại bỏ được phân số.

Ví dụ 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Hãy loại bỏ các phân số trong phương trình này:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4\]

Xin lưu ý: mọi thứ được nhân với "bốn" một lần, tức là chỉ vì bạn có hai dấu ngoặc không có nghĩa là bạn phải nhân mỗi dấu ngoặc vuông với "bốn". Cùng viết nào:

\ [\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

Bây giờ hãy mở nó ra:

Chúng tôi thực hiện tách biệt một biến:

Chúng tôi thực hiện việc cắt giảm các điều khoản tương tự:

\ [- 4x = -1 \ trái | : \ left (-4 \ right) \ right. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Chúng tôi có quyết định cuối cùng, chúng tôi chuyển sang phương trình thứ hai.

Ví dụ số 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Ở đây chúng tôi thực hiện tất cả các hành động tương tự:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Vấn đề đã được giải quyết.

Trên thực tế, đó là tất cả những gì tôi muốn kể hôm nay.

Những điểm chính

Các phát hiện chính như sau:

• Biết thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính.
• Khả năng mở ngoặc.
• Đừng lo lắng nếu một nơi nào đó bạn có hàm bậc hai, rất có thể, trong quá trình biến đổi tiếp theo, chúng sẽ bị giảm đi.
• Các căn trong phương trình tuyến tính, ngay cả những căn đơn giản nhất, có ba loại: một căn duy nhất, toàn bộ trục số là một căn, không có căn nào cả.

Tôi hy vọng bài học này sẽ giúp bạn nắm vững một chủ đề đơn giản, nhưng rất quan trọng để hiểu sâu hơn về tất cả toán học. Nếu điều gì đó không rõ ràng, hãy truy cập trang web, giải quyết các ví dụ được trình bày ở đó. Hãy theo dõi nhé, còn rất nhiều điều thú vị nữa đang chờ bạn!