Ứng dụng của đồ thị trong việc giải phương trình. Nghiên cứu các hàm cơ bản cơ bản trong khóa học toán học ở trường

Bạn biết rằng đối với mỗi cặp số được sắp xếp có một điểm nhất định trên mặt phẳng tọa độ. Vì mỗi nghiệm của phương trình có hai biến x và y là một cặp số có thứ tự nên tất cả các nghiệm của nó có thể được biểu diễn bằng các điểm trên mặt phẳng tọa độ. Tại những điểm này, abscissa là giá trị của biến x, và tọa độ là giá trị tương ứng của biến y. Do đó, chúng ta nhận được một đồ thị của một phương trình có hai biến.

Nhớ lại!

Đồ thị của một phương trình có hai biến là ảnh trên mặt phẳng tọa độ của tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình đã cho.

Nhìn vào hình 64 và 65. Bạn sẽ thấy đồ thị của phương trình 0,5 x - y \ u003d 2, trong đó x là số chẵn có một chữ số (Hình 64) và đồ thị của phương trình x 2 + y 2 \ u003d 4 (Hình 65). Biểu đồ đầu tiên chỉ chứa bốn điểm, vì x và y chỉ có thể nhận bốn giá trị. Đồ thị thứ hai là một đoạn thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Nó chứa nhiều điểm, vì biến x có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ -2 đến 2, và có nhiều số như vậy. Ngoài ra còn có nhiều giá trị tương ứng. Chúng thay đổi từ 2 thành 2.

Hình 66 cho thấy đồ thị của phương trình x + y \ u003d 4. Không giống như đồ thị của phương trình x 2 + y 2 \ u003d 4 (xem Hình 65), mỗi abscissa của các điểm của đồ thị này tương ứng với một hoành độ duy nhất. Và điều này có nghĩa là Hình 66 cho thấy đồ thị của hàm. Hãy tự mình kiểm chứng rằng đồ thị phương trình trong Hình 64 cũng là một đồ thị hàm số.

Ghi chú

không phải mọi phương trình đều có đồ thị của một hàm số, nhưng mọi đồ thị của một hàm số đều là đồ thị của một phương trình nào đó.

Phương trình x + y = 4 là một phương trình tuyến tính có hai biến. Giải y cho y, ta được: y \ u003d -x + 4. Đẳng thức thu được có thể hiểu là công thức xác định một hàm tuyến tính y \ u003d -x + 4. Đồ thị của một hàm là một đường thẳng. Vì vậy, lịch trình phương trình đường thẳng x + y \ u003d 4, được hiển thị trong Hình 66, là một đường thẳng.

Có thể lập luận rằng đồ thị của bất phương trình tuyến tính hai biến là một đường thẳng được không? Không. Ví dụ, phương trình tuyến tính 0 ∙ x + 0 ∙ y \ u003d 0 thỏa mãn bất kỳ cặp số nào và do đó đồ thị của phương trình này chứa tất cả các điểm của mặt phẳng tọa độ.

Hãy cùng tìm hiểu thế nào là đồ thị của một phương trình tuyến tính có hai biến ax + by + c = 0 phụ thuộc vào giá trị của các hệ số a, b và c. Những trường hợp như vậy là có thể.

Cho a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Khi đó phương trình ax + by + c = 0 có thể được biểu diễn dưới dạng:

Chúng ta đã thu được một đẳng thức xác định một hàm tuyến tính y (x). Đồ thị của nó, và do đó là đồ thị của phương trình này, là một đường thẳng không đi qua gốc tọa độ (Hình 67).

2. Cho a ≠ 0, b ≠ 0, c \ u003d 0. Khi đó phương trình ax + by + c \ u003d 0 có dạng ax + by + 0 \ u003d 0 hoặc y \ u003d x.

Chúng tôi nhận được đẳng thức, đặt tỷ lệ thuận với y (x). Đồ thị của nó, và do đó là đồ thị của phương trình này, là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ (Hình 68).

3. Cho a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Khi đó phương trình ax + by + c = 0 có dạng ax + 0 ∙ y + c = 0, hoặc x = -.

Có đẳng thức không đặt hàm y (). Đẳng thức này được thỏa mãn bởi các cặp số như vậy (x; y), trong đó x \ u003d và y là bất kỳ số nào. Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm này nằm trên đường thẳng song song với trục OY. Vì vậy, đồ thị của phương trình này là một đường thẳng song song với trục y (Hình 69).

4. Cho a ≠ 0, b = 0, c = 0. Khi đó phương trình ax + by + c = 0 có dạng ax + 0 ∙ y + 0 = 0, hoặc x = 0.

Đẳng thức này được thỏa mãn bởi các cặp số như vậy (x; y), trong đó x \ u003d 0 và y là bất kỳ số nào. Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm này nằm trên trục OY. Vì vậy, đồ thị của phương trình này với một đường thẳng trùng với trục y.

5. Cho a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Khi đó phương trình ax + by + c = 0 có dạng 0 ∙ x + by + c = 0, hoặc y = -. Đẳng thức này xác định hàm y (x), hàm nhận các giá trị giống nhau với bất kỳ giá trị nào của x, nghĩa là nó là hằng số. Đồ thị của nó, và do đó là đồ thị của phương trình này, là một đường thẳng song song với trục x (Hình 70).

6. Cho a \ u003d 0, b ≠ 0, c \ u003d 0. Khi đó, phương trình ax + by + c \ u003d 0 trở thành 0 ∙ x + by + 0 \ u003d 0 hoặc b \ u003d 0. Chúng tôi nhận được chức năng vĩnh viễn y (x), trong đó mỗi điểm của đồ thị nằm trên trục x. Vì vậy, đồ thị của phương trình này là một đường thẳng trùng với trục x.

7. Cho a = 0, b = 0, c ≠ 0. Khi đó phương trình ax + by + c = 0 có dạng 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, hoặc 0 ∙ x + 0 ∙ c = c . Và một phương trình tuyến tính như vậy không có nghiệm, vì vậy đồ thị của nó không chứa một điểm duy nhất của mặt phẳng tọa độ.

8. Cho a = 0, b = 0, c = 0. Khi đó phương trình ax + by + c = 0 có dạng 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0, hoặc 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Một phương trình tuyến tính có nhiều nghiệm nên đồ thị của nó là toàn bộ mặt phẳng tọa độ.

Chúng tôi có thể tóm tắt kết quả thu được.

Đồ thị của một phương trình tuyến tính với hai biến ax + bu + c = 0:

Nó là trực tiếp nếu a ≠ 0 hoặc b ≠ 0;

Là mặt phẳng toàn phần nếu a = 0, b = 0 và c = 0;

Không chứa điểm nào thuộc mặt phẳng tọa độ nếu a = 0, b = 0 và c ≠ 0.

Nhiệm vụ. Vẽ phương trình 2x - y - 3 = 0

Các giải pháp. Phương trình 2x - y - 3 = 0 là tuyến tính. Do đó, đồ thị của nó là đường thẳng y \ u003d 2x - 3. Để xây dựng nó, chỉ cần xác định hai điểm thuộc đường thẳng này là đủ. Hãy tạo một bảng các giá trị y cho hai giá trị tùy ý của x, ví dụ: cho x \ u003d 0 và x \ u003d 2 (Bảng 27).

Bảng 27

Trên mặt phẳng tọa độ, ta biểu thị các điểm có tọa độ (0; -3) và (2; 1) và vẽ một đường thẳng qua chúng (Hình 70). Đường thẳng này là đồ thị mong muốn của phương trình 2x - y - 3 = 0.

Có thể xác định được đồ thị của phương trình tuyến tính hai biến và đồ thị của phương trình bậc nhất hai biến không? Không, vì phương trình tuyến tính tồn tại, chúng không phải là phương trình bậc nhất. Ví dụ, đây là phương trình 0 ∙ x + 0 ∙ y + c \ u003d 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 \ u003d 0.

Ghi chú:

Đồ thị của một phương trình tuyến tính có hai biến có thể là một đường thẳng, toàn bộ mặt phẳng hoặc không chứa điểm nào trên mặt phẳng tọa độ;

Đồ thị của phương trình bậc nhất hai biến luôn là một đường thẳng.

Tìm hiểu thêm

1. Cho a ≠ 0. Khi đó quyết định chung các phương trình cũng có thể được biểu diễn ở dạng sau: X \ u003d - y -. Chúng tôi có một hàm tuyến tính x (y). Đồ thị của nó là một đường thẳng. Để xây dựng một đồ thị như vậy, cần phải xếp chồng các trục tọa độ theo một cách khác: trục tọa độ(biến độc lập) xem xét trục y và biến thứ hai (biến phụ thuộc)

Trục OH. Khi đó, trục y được đặt theo chiều ngang một cách thuận tiện và trục x

Theo chiều dọc (Hình 72). Đồ thị của phương trình trong trường hợp này cũng sẽ được đặt khác nhau trên mặt phẳng tọa độ, tùy thuộc vào dấu của các hệ số b và c. Hãy tự mình khám phá.

2. Nikolai Nikolaevich Bogolyubov (1909-1992) - nhà toán học và cơ học xuất sắc người Nga, nhà vật lý lý thuyết, người sáng lập trường khoa học trong Cơ học Phi tuyến tính và Vật lý Lý thuyết, Viện sĩ của Viện Hàn lâm Khoa học của SSR Ukraina (1948) và của Viện Hàn lâm Khoa học của Liên Xô (từ năm 1953). Sinh tại Nizhny Novgorod Đế quốc Nga. Năm 1921, gia đình chuyển đến Kyiv. Sau khi tốt nghiệp một trường học bảy năm, Bogolyubov độc lập nghiên cứu vật lý và toán học, và từ năm 14 tuổi, anh đã tham gia hội thảo của khoa vật lý toán họcĐại học Kyiv dưới sự lãnh đạo của Viện sĩ D. A. Grave. Năm 1924, ở tuổi 15, Bogolyubov viết công trình khoa học đầu tiên của mình, và trong năm sauđã được nhận vào trường cao học của Viện Hàn lâm Khoa học của Nga cho các viện sĩ. M. Krylov, từ đó tốt nghiệp năm 1929, nhận bằng Tiến sĩ Toán học ở tuổi 20.

Năm 1929 tr. MM. Bogolyubov trở thành nhà nghiên cứu tại Học viện Khoa học Ukraine, và năm 1934 bắt đầu giảng dạy tại Đại học Kiev (từ năm 1936 ông đã là giáo sư). Từ cuối những năm 40 của TK XX. đồng thời làm việc tại Nga. Ông là giám đốc của Viện nghiên cứu hạt nhân chung, và sau đó - giám đốc của Viện Toán học được đặt tên sau. A. Steklov ở Moscow, dạy tại Moscow đại học tiểu bangđược đặt theo tên của Mikhail Lomonosov. Năm 1966, ông trở thành viện trưởng đầu tiên của Viện Vật lý lý thuyết thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Ucraina SSR tại Kyiv do ông thành lập, đồng thời (1963-1988) ông là viện sĩ - thư ký Khoa Toán học. của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

MM. Bogolyubov - hai lần anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa(1969,1979), được trao tặng Giải thưởng Lê-nin(1958), Giải thưởng Nhà nước của Liên Xô (1947,1953,1984), Huy chương vàng. M. V. Lomonosov Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô (1985).

Ngày 21 tháng 9 năm 2009 trên mặt tiền của tòa nhà Đỏ của Kyiv đại học Quốc giađược đặt tên sau khi Taras Shevchenko được khai trương Tấm bảng tưởng niệm tới viện sĩ xuất sắc Nikolai Bogolyubov để tưởng nhớ một trăm năm ngày sinh của ông.

Năm 1992 Học viện quốc gia Khoa học Ukraine, Giải N. M. Bogolyubov của Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Ukraine được thành lập, được trao bởi Khoa Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Ukraine vì xuất sắc công việc khoa học trong toán học và vật lý lý thuyết. Để vinh danh nhà khoa học, tiểu hành tinh "22616 Bogolyubov" đã được đặt tên.

HÃY NHỚ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

1. Đồ thị của phương trình tuyến tính hai biến là gì?

2. Trong mọi trường hợp, đồ thị của phương trình có hai biến là một đường thẳng; chiếc máy bay?

3. Đồ thị của một phương trình tuyến tính có hai biến đi qua gốc tọa độ trong trường hợp nào?

GIẢI QUYẾT CÁC THÁCH THỨC

1078 . Hình 73-74 cho thấy đồ thị của một phương trình tuyến tính có hai biến nào? Giải thích câu trả lời.

1079 . Với giá trị nào của các hệ số a, b, c thì đường thẳng ax + bу + c = 0.

1) đi qua điểm gốc;

2) song song với trục x;

3) song song với trục y;

4) trùng với trục abscissa;

5) trùng với trục y?

1080 . Không thực hiện phép dựng, hãy xác định xem điểm đó có thuộc đồ thị của phương trình tuyến tính với hai biến 6x - 2y + 1 = 0 hay không:

1) A (-1; 2,5); 2) B (0; 3,5); 3) C (-2; 5,5); 4) D (1,5; 5).

1081 . Không thực hiện phép dựng, hãy xác định xem điểm đó có thuộc đồ thị của phương trình tuyến tính với hai biến 3x + 3y - 5 = 0 hay không:

1) A (-1;); 2) B (0; 1).

1082

1) 2x + y - 4 = 0 nếu x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0 nếu x = 2;

2) 4x - 2y + 5 = 0 nếu x = 0; 4) -5x - y + 6 \ u003d 0 nếu x \ u003d 2.

1083 . Cho một phương trình tuyến tính hai biến, tìm giá trị y tương ứng với phía sau giá trị cho trước X:

1) 3x - y + 2 = 0 nếu x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0 nếu x = 2.

1084

1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;

2) 6x - 2y + 12 = 0; 5) -x - 2y + 4 = 0; 8) -2y + 4 = 0;

3) 5x - 10y = 0; 6) x - y \ u003d 0; 9) x - y \ u003d 0.

1085 . Vẽ một phương trình tuyến tính có hai biến số:

1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;

2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;

3) -4x - 8y \ u003d 0; 6) y - 3 = 0.

1086 . Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của phương trình tuyến tính hai biến 2x - 3y - 18 = 0 với trục:

1) trục; 2) trục.

1087 . Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của phương trình tuyến tính hai biến 5x + 4y - 20 = 0 với trục:

1) trục; 2) trục.

1088 . Trên đường thẳng là đồ thị của phương trình 0,5 x + 2y - 4 = 0, kẻ một điểm. Tìm hoành độ của điểm này nếu hoành độ của nó là:

5) 4 (x - y) \ u003d 4 - 4y;

6) 7x - 2y \ u003d 2 (1 + 3,5 x).

1094 . Đồ thị của một phương trình tuyến tính hai biến đi qua điểm A (3; -2). Tìm hệ số chưa biết của phương trình:

1) ax + 3y - 3 = 0;

2) 2x - bằng + 8 = 0;

3) -x + 3y - c = 0.

1095 . Xác định loại tứ giác có các đỉnh là giao điểm của đồ thị phương trình:

x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0

1096 . Vẽ phương trình:

1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ a + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

ÁP DỤNG TRONG THỰC TẾ

1097 . Lập phương trình tuyến tính với hai biến theo dữ liệu sau: 1) 3 kg kẹo và 2 kg bánh quy có giá 120 UAH; 2) 2 cái bút đắt hơn 5 cái bút chì là 20 UAH. Vẽ phương trình kết quả.

1098 . Vẽ phương trình cho bài toán về: 1) số học sinh nam và nữ trong lớp của bạn; 2) mua sổ tay có lót và kẻ ô vuông.

NHIỆM VỤ CÀI ĐẶT

1099. Một khách du lịch đã đi bộ 12 km trong một giờ. Một khách du lịch phải mất bao nhiêu giờ để đi hết quãng đường dài 20 km với cùng vận tốc?

1100. Theo thời gian biểu mới vận tốc của tàu phải là bao nhiêu để nó đi được quãng đường giữa hai ga trong 2,5 giờ, nếu theo thời gian cũ chuyển động với vận tốc 100 km / h thì nó đi vào 3 giờ?

Trang 2

Xây dựng đồ thị của phương trình x + y \ u003d 3 và sử dụng đồ thị để tìm ra một số nghiệm của phương trình này.

Hơn nữa, học sinh chú ý đến thực tế là đồ thị của một phương trình tuyến tính hai biến với hai biến sẽ dễ xây dựng hơn nếu phương trình được chuyển về dạng y = kx + b, với thuật ngữ "hàm tuyến tính" Được sử dụng. Sau đó, họ được cho biết rằng có những hàm khác, chẳng hạn như y = x2 (chương 7 được dành cho nghiên cứu của nó).

Sách giáo khoa giới thiệu các định lý không cần chứng minh, ví dụ:

Định lý 2. Đồ thị hàm tuyến tính y = kx + b là một đường thẳng.

Định lý 4. Đường thẳng là đồ thị của hàm số y = kx + b song song với đường là đồ thị của tỉ lệ thuận y = kx.

Với một hàm số bậc hai, học sinh trong sách giáo khoa của Sh.A. Alimova chạm trán lần đầu vào năm lớp 8.

Trong §35, học sinh được làm quen với định nghĩa của một hàm số bậc hai. Các ví dụ được đưa ra từ cuộc sống nơi diễn ra một hàm bậc hai. Ví dụ, sự phụ thuộc của diện tích hình vuông vào cạnh của nó là một ví dụ của hàm y = x2.

Trong §36, người ta đề xuất xét hàm y = x2, tức là hàm bậc hai y = ax2 + bx + c at, a = 1, b = 0, c = 0.

Để xây dựng một hàm, một bảng được biên dịch, sau đó các điểm được đánh dấu trên mặt phẳng tọa độ và được kết nối với nhau. Đồ thị của hàm số y = x2 được gọi là một parabol.

Sau đó một số tính chất của hàm số y = x2 được tìm ra.

Trong §37, học sinh được yêu cầu vẽ đồ thị của hàm số y = ax2. So sánh đồ thị của hai hàm số y = ax2 và y = x2. Người ta nói rằng đồ thị của hàm số y = ax2 có được bằng cách kéo giãn đồ thị của hàm số y = x2 từ trục Ox dọc theo trục Oy một lần.

Các tính chất của hàm y = ax2, trong đó a¹0

1) nếu a> 0, thì hàm số y = ax2 nhận giá trị tích cực tại x¹0;

nếu một<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х¹0;

2) Parabol y = ax2 đối xứng qua trục y;

3) Nếu a> 0 thì hàm số y = ax2 tăng khi x³0 và giảm khi x £ 0;

Nếu một<0, то функция y=ax2 убывает при х³0 и возрастает при х£0.

Trong §38, tác giả đề xuất xây dựng một đồ thị của một hàm số bậc hai. Để làm điều này, người ta đề xuất sử dụng phương pháp bình phương đầy đủ (ta lấy y = (x + m) 2 + n), sau đó so sánh đồ thị kết quả với đồ thị của hàm số y = x2. Kết luận rằng chúng ta nhận được một parabol dịch chuyển theo m đơn vị dọc theo trục Ox và n đơn vị dọc theo trục Oy.

§39 cung cấp một thuật toán để vẽ bất kỳ hàm bậc hai nào y = ax2 + bx + c:

Dựng đỉnh của parabol (x0, y0) bằng cách tính x0, y0 bằng công thức.

Vẽ một đường thẳng qua đỉnh của parabol song song với trục y, - trục đối xứng của parabol.

Tìm các số không của hàm, nếu có và vẽ các điểm tương ứng của parabol trên trục x.

Dựng hai điểm của một parabol đối xứng nhau qua trục của nó. Để làm điều này, lấy hai điểm trên trục đối xứng với điểm x0 (x0 ¹ 0) và tính các giá trị tương ứng của hàm số (các giá trị này giống nhau). Ví dụ: bạn có thể xây dựng các điểm của một parabol với các hoành độ x = 0 và x = 2x0 (hoành độ của những điểm này là c)

Vẽ một parabol qua các điểm đã dựng.

Khi học chủ đề, khả năng xác định các khoảng của hàm số tăng dần, các khoảng đồng biến của dấu, các số 0 của hàm số được hình thành. Việc tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số và giải các bài toán bằng cách sử dụng chúng là không bắt buộc.

Tóm lại, học sinh có cơ hội lặp lại một lần nữa nghiệm của hệ hai phương trình, trong đó một phương trình thuộc bậc nhất và phương trình còn lại thuộc bậc hai.

Trong sách giáo khoa của Yu.N. Makarycheva và những người khác với hàm y = x2, học sinh gặp lần đầu tiên vào năm lớp 7. Tất cả thông tin được xem xét trong đoạn này tương tự như trong sách giáo khoa của Sh.A. Alimov cho lớp 8.

Phương trình tuyến tính hai biến là bất kỳ phương trình nào có dạng sau: a * x + b * y = c. Ở đây x và y là hai biến, a, b, c là một số.

Nghiệm của phương trình tuyến tính a * x + b * y = c, là một cặp số (x, y) bất kỳ thỏa mãn phương trình này, tức là nó biến phương trình với các biến x và y thành đẳng thức số đúng. Một phương trình tuyến tính có vô số nghiệm.

Nếu mỗi cặp số là một nghiệm của một phương trình tuyến tính có hai biến được mô tả trên mặt phẳng tọa độ dưới dạng các điểm, thì tất cả các điểm này tạo thành một đồ thị của một phương trình tuyến tính có hai biến. Giá trị x và y của chúng ta sẽ đóng vai trò là tọa độ của các điểm. Trong trường hợp này, giá trị x sẽ là abscissa và giá trị y sẽ là tọa độ.

Đồ thị của một phương trình tuyến tính có hai biến

Đồ thị của một phương trình tuyến tính có hai biến là tập hợp tất cả các điểm có thể có của mặt phẳng tọa độ, tọa độ của chúng sẽ là nghiệm của phương trình tuyến tính này. Có thể dễ dàng đoán rằng đồ thị sẽ là một đường thẳng. Do đó, các phương trình như vậy được gọi là tuyến tính.

Thuật toán xây dựng

Thuật toán vẽ một phương trình tuyến tính với hai biến.

1. Vẽ các trục tọa độ, ký hiệu và đánh dấu thang đơn vị.

2. Trong một phương trình tuyến tính, đặt x = 0 và giải phương trình kết quả cho y. Đánh dấu điểm kết quả trên biểu đồ.

3. Trong một phương trình tuyến tính, lấy số 0 là y và giải phương trình cho x. Đánh dấu điểm thu được trên biểu đồ

4. Nếu cần, lấy một giá trị tùy ý của x và giải phương trình thu được cho y. Đánh dấu điểm kết quả trên biểu đồ.

5. Nối các điểm nhận được, tiếp tục vẽ đồ thị cho chúng. Ký vào dòng kết quả.

Ví dụ: Vẽ phương trình 3 * x - 2 * y = 6;

Đặt х = 0 thì - 2 * y = 6; y = -3;

Đặt y = 0 thì 3 * x = 6; x = 2;

Chúng tôi đánh dấu các điểm thu được trên đồ thị, vẽ một đường thẳng qua chúng và ký tên. Nhìn vào hình bên dưới, đồ thị sẽ như thế này.

MỤC TIÊU: 1) Giới thiệu cho học sinh khái niệm "một phương trình có hai biến";

2) Tìm hiểu để xác định mức độ của một phương trình có hai biến;

3) Học cách xác định theo một hàm số đã cho hình nào là đồ thị

phương trình đã cho;

4) Xét các phép biến hình của đồ thị có hai biến;

một phương trình hai biến đã cho bằng cách sử dụng chương trình Agrapher;

6) Phát triển tư duy logic của học sinh.

I. Tài liệu mới - bài giảng thuyết minh có yếu tố hội thoại.

(bài giảng được thực hiện bằng cách sử dụng các slide của tác giả; vẽ sơ đồ được thực hiện trong chương trình Agrapher)

U: Khi nghiên cứu dòng, có hai vấn đề:

Dựa vào tính chất hình học của một đường thẳng đã cho, hãy tìm phương trình của nó;

Bài toán nghịch đảo: theo phương trình đã cho của đường thẳng, hãy khảo sát các tính chất hình học của nó.

Chúng tôi đã xem xét vấn đề đầu tiên trong quá trình hình học liên quan đến đường tròn và đường thẳng.

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét bài toán nghịch đảo.

Xét các phương trình có dạng:

một) x (x-y) = 4; b) 2y-x 2 =-2 ; trong) x (x + y 2 ) = x +1.

là các ví dụ về phương trình với hai biến.

Phương trình có hai biến X và tại có hình thức f (x, y) = (x, y), ở đâu f và - biểu thức có biến X và y.

Nếu trong phương trình x (x-y) = 4 thay thế cho một biến X giá trị của nó là -1 và thay vì tại- giá trị 3, thì đẳng thức đúng sẽ thành: 1 * (- 1-3) = 4,

Một cặp giá trị biến (-1; 3) X và tại là một giải pháp cho phương trình x (x-y) = 4.

I E nghiệm của phương trình với hai biến được gọi là tập hợp các cặp giá trị biến có thứ tự tạo nên phương trình này thành một đẳng thức thực sự.

Phương trình có hai biến thường có vô số nghiệm. Ngoại lệ tạo thành, ví dụ, các phương trình như X 2 + (y 2 - 4) 2 = 0 hoặc

2 x 2 + tại 2 = 0 .

Trong số thứ nhất có hai nghiệm (0; -2) và (0; 2), thứ hai có một nghiệm (0; 0).

Phương trình x 4 + y 4 + 3 = 0 vô nghiệm. Nó được quan tâm khi giá trị của các biến trong phương trình là số nguyên. Giải phương trình đó với hai biến, tìm các cặp số nguyên. Trong những trường hợp như vậy, các phương trình được cho là được giải bằng số nguyên.

Hai phương trình có cùng tập nghiệm được gọi là phương trình tương đương. Ví dụ: phương trình x (x + y 2) \ u003d x + 1 là phương trình bậc ba, vì nó có thể được chuyển đổi thành phương trình xy 2 + x 2 - x-1 \ u003d 0, vế phải của là một đa thức ở dạng chuẩn của bậc ba.

Bậc của phương trình có hai biến, được biểu diễn là F (x, y) = 0, trong đó F (x, y) là một đa thức ở dạng chuẩn, là bậc của đa thức F (x, y).

Nếu tất cả các nghiệm của phương trình có hai biến được biểu diễn bằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ, thì ta được đồ thị của phương trình có hai biến.

lịch trình Phương trình có hai biến là tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình này.

Vì vậy, đồ thị của phương trình ax + by + c = 0 là một đường thẳng nếu có ít nhất một trong các hệ số một hoặc b không bằng 0 (Hình 1). Nếu một a = b = c = 0, thì đồ thị của phương trình này là mặt phẳng tọa độ (Hình 2), nếu a = b = 0, một c0, thì biểu đồ là bộ trống (Hình 3).

Đồ thị phương trình y = a x 2 + bởi + c là một parabol (Hình 4), đồ thị của phương trình xy = k (k0) – cường điệu (Hình. 5). đồ thị phương trình X 2 + y 2 = r, trong đó x và y là các biến, r là một số dương, là vòng tròn có tâm tại gốc và bán kính bằng r(hình 6). Đồ thị của phương trình là hình elip, ở đâu một và b- các bán trục chính và phụ của hình elip (Hình 7).

Việc vẽ một số phương trình được tạo điều kiện thuận lợi bằng cách sử dụng các phép biến đổi của chúng. Coi như phép biến đổi đồ thị của phương trình có hai biến và xây dựng các quy tắc để thực hiện các phép biến đổi đơn giản nhất của đồ thị của phương trình

1) Đồ thị của phương trình F (-x, y) = 0 nhận được từ đồ thị của phương trình F (x, y) = 0 sử dụng phép đối xứng qua trục y.

2) Đồ thị của phương trình F (x, -y) = 0 nhận được từ đồ thị của phương trình F (x, y) = 0 sử dụng phép đối xứng qua trục X.

3) Đồ thị của phương trình F (-x, -y) = 0 nhận được từ đồ thị của phương trình F (x, y) = 0 sử dụng phép đối xứng tâm về gốc tọa độ.

4) Đồ thị của phương trình F (x-a, y) = 0 nhận được từ đồ thị của phương trình F (x, y) = 0 bằng cách di chuyển song song với trục x bởi | a | đơn vị (ở bên phải nếu một> 0 và ở bên trái nếu một < 0).

5) Đồ thị của phương trình F (x, y-b) = 0 nhận được từ đồ thị của phương trình F (x, y) = 0 bằng cách di chuyển | b | đơn vị song song với trục tại(lên nếu b> 0 và giảm xuống nếu b < 0).

6) Đồ thị của phương trình F (ax, y) = 0 nhận được từ đồ thị của phương trình F (x, y) = 0 bằng cách co lại theo trục y và một lần nếu một> 1 và bằng cách kéo dài từ trục y theo thời gian nếu 0< một < 1.

7) Đồ thị của phương trình F (x, by) = 0 nhận được từ đồ thị của phương trình F (x, y) = 0 bằng cách sử dụng nén đối với trục x trong b lần nếu b> 1 và bằng cách kéo dài từ trục x theo thời gian nếu 0 < b < 1.

Nếu quay đồ thị của một phương trình nào đó một góc gần gốc tọa độ thì đồ thị mới sẽ là đồ thị của một phương trình khác. Các trường hợp cụ thể của phép quay qua các góc 90 0 và 45 0 là rất quan trọng.

8) Đồ thị của phương trình F (x, y) \ u003d 0 do quay quanh gốc tọa độ một góc 90 0 theo chiều kim đồng hồ sẽ chuyển thành đồ thị của phương trình F (-y, x) \ u003d 0 và ngược chiều kim đồng hồ - vào đồ thị của phương trình F (y, -x) = 0.

9) Đồ thị của phương trình F (x, y) = 0 là kết quả của phép quay gần gốc tọa độ một góc 45 0 theo chiều kim đồng hồ chuyển thành đồ thị của phương trình F = 0 và ngược chiều kim đồng hồ - thành đồ thị của phương trình F = 0.

Từ các quy tắc đã xét về biến đổi đồ thị của phương trình có hai biến, ta dễ dàng thu được các quy tắc về biến đổi đồ thị của hàm số.

Ví dụ 1. Hãy chứng minh rằng đồ thị của phương trình X 2 + y 2 + 2x - 8y + 8 = 0 là một hình tròn (Hình 17).

Hãy biến đổi phương trình như sau:

1) nhóm các thuật ngữ có chứa biến X và chứa một biến tại và biểu diễn từng nhóm số hạng dưới dạng bình phương đầy đủ của một tam thức: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 \ u003d 0;

2) chúng ta viết các tam thức thu được dưới dạng bình phương của tổng (hiệu) của hai biểu thức: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 \ u003d 0;

3) Phân tích, theo quy tắc biến đổi đồ thị của phương trình có hai biến, phương trình (x + 1) 2 + (y - 4) 2 \ u003d 3 2: đồ thị của phương trình này là một đường tròn có tâm tại điểm (-1; 4) và bán kính 3 đơn vị.

Ví dụ 2. Vẽ phương trình X 2 + 4 năm 2 = 9 .

Hãy biểu diễn 4y 2 ở dạng (2y) 2, chúng ta nhận được phương trình x 2 + (2y) 2 \ u003d 9, đồ thị của nó có thể thu được từ đường tròn x 2 + y 2 \ u003d 9 bằng cách nén thành x -axis gấp 2 lần.

Hãy vẽ một đường tròn có tâm tại điểm gốc và bán kính là 3 đơn vị.

Hãy giảm khoảng cách của mỗi điểm đến trục X đi 2 lần, ta được đồ thị của phương trình

x 2 + (2y) 2 = 9.

Chúng ta có được hình bằng cách thu nhỏ hình tròn đến một trong các đường kính của nó (thành đường kính nằm trên trục x). Hình như vậy được gọi là hình elip (Hình 18).

Ví dụ 3. Tìm xem đồ thị của phương trình x 2 - y 2 \ u003d 8 biểu diễn điều gì.

Hãy sử dụng công thức F = 0.

Thay vào phương trình này thay cho X và thay cho Y, chúng ta nhận được:

Ư: Đồ thị của phương trình y = là gì?

D: Đồ thị của phương trình y = là một hyperbol.

Y: Chúng ta đã chuyển một phương trình có dạng x 2 - y 2 = 8 thành phương trình y =.

Đường thẳng nào sẽ là đồ thị của phương trình này?

D: Vì vậy, đồ thị của phương trình x 2 - y 2 \ u003d 8 là một hyperbol.

Y: Những đường nào là các đường không phải của hyperbol y =.

D: Các đường tiệm cận của hyperbol y = là các đường y = 0 và x = 0.

Y: Khi đến lượt, các dòng này sẽ chuyển thành dòng = 0 và = 0, tức là thành dòng y \ u003d x và y \ u003d - x. (hình 19).

Ví dụ 4: Hãy tìm xem phương trình y \ u003d x 2 của một parabol sẽ có dạng như thế nào khi quay quanh gốc tọa độ một góc 90 0 theo chiều kim đồng hồ.

Sử dụng công thức F (-y; x) \ u003d 0, chúng tôi thay biến x bằng - y trong phương trình y \ u003d x 2 và biến y bằng x. Chúng tôi nhận được phương trình x \ u003d (-y) 2, tức là x \ u003d y 2 (Hình 20).

Chúng tôi đã xem xét các ví dụ về đồ thị của phương trình bậc hai với hai biến số và phát hiện ra rằng đồ thị của các phương trình đó có thể là một parabol, hyperbol, elip (cụ thể là một đường tròn). Ngoài ra, đồ thị của phương trình bậc hai có thể là một cặp đường thẳng (cắt nhau hoặc song song), đây được gọi là trường hợp suy biến. Vì vậy, đồ thị của phương trình x 2 - y 2 \ u003d 0 là một cặp đường thẳng cắt nhau (Hình 21a) và đồ thị của phương trình x 2 - 5x + 6 + 0y \ u003d 0 là các đường thẳng song song.

IICủng cố.

(Học ​​sinh được phát "Phiếu hướng dẫn" để thực hiện việc xây dựng đồ thị của phương trình có hai biến trong chương trình Agrapher (Phụ lục 2) và thẻ "Nhiệm vụ thực hành" (Phụ lục 3) với công thức của nhiệm vụ 1-8. Giáo viên biểu diễn đồ thị của phương trình cho các nguyên công 4-5 trên các slide).

Bài tập 1. Cặp (5; 4), (1; 0), (-5; -4) và (-1; -) là nghiệm của phương trình:

a) x 2 - y 2 \ u003d 0, b) x 3 - 1 \ u003d x 2 y + 6y?

Quyết định:

Thay thế trong phương trình đã cho, lần lượt là tọa độ của các điểm này, chúng tôi đảm bảo rằng không có một cặp nào cho trước là nghiệm của phương trình x 2 - y 2 \ u003d 0 và nghiệm của phương trình x 3 - 1 \ u003d x 2 y + 6y là các cặp (5; 4), (1; 0) và (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1 = 0 + 0 (VÀ)

125 - 1 \ u003d -100 - 24 (L)

1 - 1 = - - (VÀ)

Trả lời: một); b) (5; 4), (1; 0), (-1; -).

Nhiệm vụ 2. Tìm nghiệm của phương trình xy 2 - x 2 y \ u003d 12, trong đó giá trị X bằng 3.

Giải: 1) Thay giá trị 3 vào X vào phương trình đã cho.

2) Chúng ta nhận được một phương trình bậc hai đối với biến Y, có dạng:

3y 2 - 9y = 12.

4) Hãy giải phương trình này:

3y 2 - 9y - 12 = 0

D \ u003d 81 + 144 \ u003d 225

Đáp số: cặp (3; 4) và (3; -1) là nghiệm của phương trình xy 2 - x 2 y \ u003d 12

Nhiệm vụ 3. Xác định hoành độ của phương trình:

a) 2y 2 - 3x 3 + 4x \ u003d 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 \ u003d 0; d) (2y - x 2) 2 \ u003d x (x 2 + 4xy + 1).

Đáp số: a) 3; b) 5; lúc 4; d) 4.

Nhiệm vụ 4. Hình nào là đồ thị của phương trình:

a) 2x \ u003d 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x \ u003d y - 1; c) 2 (x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1,5) (x - 4) = 0; e) xy - 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 \ u003d 9.

Nhiệm vụ 5. Viết phương trình có đồ thị đối xứng với đồ thị của phương trình x 2 - xy + 3 \ u003d 0 (Hình 24) đối với: a) trục X; b) trục tại; c) đường thẳng y \ u003d x; d) đường thẳng y \ u003d -x.

Nhiệm vụ 6. Lập phương trình, đồ thị thu được bằng cách kéo dài đồ thị của phương trình y \ u003d x 2 -3 (Hình 25):

a) từ trục x 2 lần; b) từ trục y 3 lần.

Sử dụng chương trình Agrapher để kiểm tra tính đúng đắn của nhiệm vụ.

Đáp số: a) y - x 2 + 3 = 0 (Hình 25a); b) y- (x) 2 + 3 = 0 (Hình 25b).

b) các đường thẳng song song, chuyển động song song với trục x lệch sang phải 1 đơn vị và song song với trục y giảm 3 đơn vị (Hình 26b);

c) các đường cắt nhau, hiển thị đối xứng qua trục x (Hình 26c);

d) các đường cắt nhau, hiển thị đối xứng qua trục y (Hình 26d);

e) các đường thẳng song song, hiển thị đối xứng so với điểm gốc (Hình 26e);

f) các đường thẳng cắt nhau, quay quanh gốc 90 độ theo chiều kim đồng hồ và hiển thị đối xứng qua trục x (Hình 26f).

III. Làm việc độc lập tính cách giáo dục.

(Học ​​sinh được phát phiếu “Làm việc độc lập” và “Bảng báo cáo kết quả làm việc độc lập”, trong đó học sinh ghi câu trả lời của mình và sau khi tự kiểm tra, đánh giá công việc theo đề án đã đề ra) Phụ lục 4..

I. tùy chọn.

a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 \ u003d 2 (x + y).

a) x 3 + y 3 -5x 2 \ u003d 0; b) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 3 + y 4 \ u003d 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x 2 -y 2 \ u003d 1;

c) x - y 2 \ u003d 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y \ u003d 20.

Xác định tọa độ của tâm hình tròn và bán kính của nó.

6. Nên di chuyển hyperbol y \ u003d như thế nào trên mặt phẳng tọa độ để phương trình của nó có dạng x 2 - y 2 \ u003d 16?

Kiểm tra câu trả lời của bạn bằng cách vẽ đồ thị bằng Agrapher.

7. Cách di chuyển parabol y \ u003d x 2 trên mặt phẳng tọa độ để phương trình của nó có dạng x \ u003d y 2 - 1

Phương án II.

1. Xác định hoành độ của phương trình:

a) 3xy \ u003d (y-x 3) (x 2 + y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 \ u003d 0.

2. Cặp số (-2; 3) có phải là nghiệm của phương trình không:

a) x 2 -y 2 -3x \ u003d 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 \ u003d -1.

3. Tìm tập nghiệm của phương trình:

x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 \ u003d 0.

4. Đường cong (hyperbol, đường tròn, đường parabol) là tập hợp các điểm nào nếu phương trình của đường cong này có dạng:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 \ u003d 9

b) y 2 - x 2 \ u003d 1

c) x \ u003d y 2 - 1.

(kiểm tra với sự trợ giúp của chương trình Agrapher về tính đúng đắn của nhiệm vụ)

5. Vẽ đồ thị của phương trình bằng cách sử dụng chương trình Agrapher:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Phải di chuyển hyperbol y \ u003d như thế nào trên mặt phẳng tọa độ để phương trình của nó có dạng x 2 - y 2 \ u003d 28?

7. Cách di chuyển parabol y \ u003d x 2 trên mặt phẳng tọa độ để phương trình của nó có dạng x \ u003d y 2 + 9.

Tôi ) Giải pháp đồ họa phương trình bậc hai:

Xét phương trình bậc hai đã cho: x2 + px + q = 0;

Hãy viết lại nó như thế này: x2 = -px-q. (1)

Hãy xây dựng đồ thị phụ thuộc: y = x2 và y = -px-q.

Đồ thị của sự phụ thuộc đầu tiên mà chúng ta đã biết, nó là một parabol; thứ hai sự phụ thuộc - tuyến tính; đồ thị của nó là một đường thẳng. Từ phương trình (1) có thể thấy rằng trong trường hợp x là nghiệm của nó thì bán kính của các điểm thuộc cả hai đồ thị đều bằng nhau. Điều này có nghĩa là giá trị đã cho của x tương ứng với cùng một điểm trên parabol và trên đường thẳng, nghĩa là, parabol và đường thẳng cắt nhau tại một điểm với hoành độ x.

Do đó tiếp theo cách đồ họa nghiệm của phương trình bậc hai: vẽ một parabol y \ u003d x2, vẽ (theo điểm) một đường thẳng y \ u003d -px-q.

Nếu đường thẳng và parabol cắt nhau thì hoành độ của các giao điểm là nghiệm của phương trình bậc hai. Phương pháp này thuận tiện nếu không yêu cầu độ chính xác cao.

1. Giải phương trình: 4x2-12x + 7 = 0

Hãy biểu diễn nó dưới dạng x2 = 3x-7/4.

Hãy dựng một parabol y = x2 và một đường thẳng y = 3x-7/4.

Bức tranh 1.

Để xây dựng một đường thẳng, bạn có thể lấy ví dụ: điểm (0; -7/4) và (2; 17/4). Parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm có hoành độ x1 = 0,8 và x2 = 2,2 (xem Hình 1).

2. Giải phương trình: x2-x + 1 = 0.

Hãy viết phương trình dưới dạng: x2 = x-1.

Sau khi dựng parabol y = x2 và đường thẳng y = x-1, chúng ta sẽ thấy rằng chúng không cắt nhau (Hình 2), nghĩa là phương trình không có nghiệm nguyên.

Hình 2.

Hãy cùng kiểm tra nào. Hãy tính số phân biệt:

D = (- 1) 2-4 = -3<0,

Và do đó, phương trình không có nghiệm.

3. Giải phương trình: x2-2x + 1 = 0

Hình 3

Nếu chúng ta cẩn thận vẽ một parabol y = x2 và một đường thẳng y = 2x-1, chúng ta sẽ thấy rằng chúng có một điểm chung (đường thẳng tiếp xúc với parabol, xem Hình 3), x = 1, y = 1; phương trình có một gốc x = 1 (hãy chắc chắn xác minh điều này bằng cách tính toán).

II ) Các hệ phương trình.

Đồ thị của phương trình có hai biến là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ biến phương trình thành một đẳng thức đúng. Đồ thị của phương trình hai biến khá đa dạng. Ví dụ, đồ thị của phương trình 2x + 3y = 15 là một đường thẳng, phương trình y = 0,5x2 –2 là một parabol, phương trình x2 + y2 = 4 là một đường tròn, v.v.

Bậc của một phương trình nguyên có hai biến được xác định giống như bậc của một phương trình có một biến. Nếu vế trái của phương trình có hai biến là đa thức ở dạng chuẩn và vế phải là 0, thì bậc của phương trình được coi là bậc của đa thức. Để tìm bậc của một bất phương trình có hai biến, người ta thay bằng một phương trình tương đương, vế trái của nó là một đa thức ở dạng chuẩn và vế phải bằng không. Hãy xem xét một giải pháp đồ họa.

Ví dụ 1: giải hệ ⌠ x2 + y2 = 25 (1)

⌠y = -x2 + 2x + 5 (2)

Hãy xây dựng đồ thị của phương trình trong một hệ tọa độ (Hình 4):

Hãy xây dựng đồ thị trong một hệ tọa độ)

x2 + y2 = 25 và y = -x2 + 2x + 5

Tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc đường tròn dựng là nghiệm của phương trình 1 và tọa độ của điểm bất kỳ của parabol là nghiệm của phương trình 2. Do đó, tọa độ của mỗi giao điểm của đường tròn và parabol thỏa mãn cả phương trình đầu tiên của hệ thống và phương trình thứ hai, tức là là giải pháp của hệ thống đang được xem xét. Sử dụng hình vẽ, ta tìm được giá trị gần đúng của tọa độ các giao điểm của các đồ thị: A (-2,2; -4,5), B (0; 5), C (2,2; 4,5), D (4; - 3) Do đó hệ phương trình có 4 nghiệm là:

x1≈-2,2, y1≈-4,5; x2≈0, y2≈5;

x3≈2,2, y3≈4,5; x4≈4, y4≈-3.

Bằng cách thay các giá trị tìm được vào các phương trình của hệ, chúng ta có thể đảm bảo rằng nghiệm thứ hai và thứ tư của các nghiệm này là chính xác, còn nghiệm thứ nhất và thứ ba là gần đúng.

III) Phương trình lượng giác:

Phương trình lượng giác được giải cả bằng giải tích và đồ thị. Hãy xem xét một cách đồ họa để giải quyết một ví dụ.

Hình 5.

Ví dụ1: sinx + cosx = 1. Hãy xây dựng đồ thị của hàm số y = sinx u y = 1-cosx. (Hình 5)

Từ đồ thị có thể thấy rằng phương trình có 2 nghiệm: x = 2πp, trong đó pЄZ và x = π / 2 + 2πk, trong đó kЄZ (Nhớ kiểm tra điều này bằng các phép tính). Hình 6

Ví dụ2: Giải phương trình: tg2x + tgx = 0. Chúng ta sẽ giải phương trình này theo nguyên tắc giải phần trước. Đầu tiên, chúng ta hãy xây dựng đồ thị (Xem hình 6) của các hàm số: y = tg2x u y = -tgx. Đồ thị cho thấy phương trình có 2 nghiệm: x = πp, pЄZ u x = 2πk / 3, trong đó kЄZ. (Kiểm tra điều này bằng các phép tính)

Việc sử dụng đồ thị trong việc giải các bất phương trình.

1) Bất bình đẳng với mô-đun.

Giải bất phương trình | x-1 | + | x + 1 |<4.

Trên tích phân (-1; -∞), theo định nghĩa của môđun, ta có | x-1 | = -x + 1, | x + 1 | = -x-1, và do đó, trên tích phân này, bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức tuyến tính –2x<4,которое справедливо при х>-2. Như vậy, tích phân (-2; -1) được đưa vào tập nghiệm Trên đoạn [-1,1], bất phương trình ban đầu tương đương với bất phương trình số đúng 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

Trên tích phân (1; + ∞), ta lại thu được bất đẳng thức tuyến tính 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Tuy nhiên, kết quả tương tự có thể thu được từ những cân nhắc hình học rõ ràng và đồng thời. Hình 7 vẽ các hàm: y = f (x) = | x-1 | + | x + 1 | và y = 4.

Hình 7

Trên tích phân (-2; 2), đồ thị của hàm số y = f (x) nằm dưới đồ thị của hàm số y = 4, tức là bất phương trình f (x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II) Bất đẳng thức có tham số.

Theo quy luật, việc giải các bất phương trình với một hoặc nhiều tham số là một nhiệm vụ khó hơn một bài toán không có tham số.

Ví dụ, bất phương trình √a + x + √a-x> 4, chứa tham số a, đương nhiên cần nhiều nỗ lực để giải hơn bất phương trình √1 + x + √1-x> 1.

Ý nghĩa của việc giải bất phương trình đầu tiên trong số những bất đẳng thức này là gì? Về bản chất, điều này có nghĩa là giải không phải một bất phương trình, mà là cả một lớp, toàn bộ tập bất phương trình thu được bằng cách gán các giá trị số cụ thể cho tham số a. Bất đẳng thức thứ hai trong số các bất đẳng thức đã viết là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức thứ nhất, vì nó nhận được từ nó với giá trị a = 1.

Vì vậy, để giải một bất phương trình có chứa tham số có nghĩa là phải xác định xem với giá trị nào của tham số thì bất phương trình có nghiệm và với tất cả các giá trị đó của tham số để tìm tất cả các nghiệm.

Giải bất phương trình | x-a | + | x + a | 0.

Để giải bất đẳng thức này với hai tham số aub, chúng ta sử dụng các phép tính hình học. Hình 8 và 9 cho thấy đồ thị của các hàm số.

Y = f (x) = | x-a | + | x + a | uy = b.

Rõ ràng, đối với b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2 | a | thì đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại hai điểm (-b / 2; b) u (b / 2; b) (Hình 6) và bất phương trình trong trường hợp này hợp lệ cho - b / 2

Trả lời: Nếu b<=2|a| , то решений нет,

Nếu b> 2 | a | thì x € (-b / 2; b / 2).

III ) Bất đẳng thức lượng giác:

Khi giải các bất phương trình với các hàm lượng giác, tính tuần hoàn của các hàm này và tính đơn điệu của chúng trên các khoảng tương ứng về cơ bản được sử dụng. Các bất đẳng thức lượng giác đơn giản nhất. Hàm số sinx có chu kì dương là 2π. Do đó, các bất phương trình có dạng: sinx> a, sinx> = a,

tội lỗi x

Nó đủ để giải quyết đầu tiên trên một số đoạn có độ dài 2π. Chúng ta thu được tập hợp tất cả các nghiệm bằng cách thêm vào mỗi nghiệm tìm được trên đoạn này các số có dạng 2πп, пЄZ.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sinx> -1/2. (Hình 10)

Đầu tiên, chúng ta giải bất phương trình này trên khoảng [-π / 2; 3π / 2]. Xét vế trái của nó - đoạn [-π / 2; 3π / 2]. Ở đây phương trình sinx \ u003d -1/2 có một nghiệm x \ u003d -π / 6; và hàm sinx đang tăng đơn điệu. Vì vậy, nếu –π / 2<=x<= -π/6, то sinx<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sinx>sin (-π / 6) = -1/2. Tất cả các giá trị này của x không phải là nghiệm của bất phương trình.

Trên đoạn [π / 2; 3π / 2] còn lại, hàm số sinx giảm đơn điệu và phương trình sinx = -1/2 có một nghiệm là x = 7π / 6. Do đó, nếu π / 2<=x<7π/, то sinx>sin (7π / 6) = - 1/2, tức là tất cả các giá trị này của x là nghiệm của bất phương trình. Với x Є ta có sinx<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

Do tính tuần hoàn của hàm sinx với chu kỳ 2π, các giá trị của x từ bất kỳ tích phân nào có dạng: (-π / 6 + 2πn; 7π / 6 + 2πn), nЄZ, cũng là nghiệm của bất phương trình . Không có giá trị nào khác của x là nghiệm của bất phương trình này.

Đáp số: -π / 6 + 2πn

Hình 10.