Phép biến đổi tích phân. Chương xxxiii

Các phương thức hoạt động.

Đối với nhiều bài toán về dẫn nhiệt, việc sử dụng các phương pháp cổ điển lại không hiệu quả, ví dụ như việc sử dụng phương pháp tách biến cho các bài toán về nguồn nhiệt bên trong.

Các quy tắc và định lý cơ bản của phép tính toán đã được M. Vishchenko-Zakharchenko và Hevisvide thu được. Chúng được sử dụng rộng rãi nhất trong kỹ thuật điện nhờ công trình của Heaviside.

Phương pháp hoạt động Heaviswide tương đương với phương pháp biến đổi tích phân Laplace.

Phương pháp biến đổi Laplace thực tế là nó không phải là bản thân hàm (nguyên bản) được nghiên cứu, mà là sự sửa đổi của nó (hình ảnh).

Phép biến đổi tích phân của một hàm
được xác định bởi công thức

(40)

Ở đây S có thể là một số phức; nhưng phần thứ lớn hơn 0.

- nguyên bản;
- hình ảnh chức năng. Để ảnh tồn tại, tích phân (51) phải hội tụ.

Nếu sự cố được giải quyết bằng hình ảnh, thì bản gốc được xác định từ hình ảnh (chuyển đổi ví dụ) bằng cách sử dụng công thức đảo ngược

(41)

Thay vì công thức (52), để xác định hàm gốc từ hình ảnh của nó, bạn có thể sử dụng công thức nghịch đảo sau

(41.a)

Công thức này làm cho nó có thể đạt được chức năng ban đầu chỉ với sự trợ giúp của hoạt động phân biệt và vượt qua giới hạn.

Nếu hình ảnh là một tính năng

(42)

đó là trường hợp một phần của toàn bộ hai hàm siêu việt, thì theo định lý phân rã, chúng ta có

(43)

ở đâu - rễ chức năng đơn giản
; mẫu số không chứa các điều khoản miễn phí và

2. Nếu hình ảnh
là tỷ số của hai mệnh giá (hàm phân số-hữu tỉ) và mức độ mệnh giá
ít hơn mức độ mệnh giá
, và mệnh giá
có gốc đa bội K tại các điểm , sau đó

nơi mà tổng được lấy trên tất cả các gốc
. Nếu tất cả các gốc đều đơn giản, tức là tất cả K đều bằng một, khi đó công thức (5) chuyển thành (43)

Phép biến đổi Laplace tích phân có nhược điểm của nó. Đặc biệt, những khó khăn nảy sinh khi giải các bài toán trong đó các điều kiện được đưa ra như một hàm của tọa độ không gian, hoặc khi giải các bài toán đa chiều.

Về vấn đề này, một số phương pháp biến đổi tích phân trong tọa độ không gian đã được đề xuất phù hợp với hình dạng hình học của vật thể.

Nếu phép biến đổi được thực hiện dọc theo tọa độ không gian x thì phép biến đổi tích phân của hàm
có thể được biểu diễn như thế này:

(44)

Nếu nhân biến đổi K (p, x) có dạng
hoặc
, thì phép biến đổi tích phân này được gọi là phép biến đổi Fourier sin hoặc cosine, tương ứng.

Nếu hàm Bessel được chọn làm hạt nhân biến đổi
, thì nó được gọi là biến đổi Hankel.

Phép biến đổi Fourier phức hợp thuận tiện khi sử dụng cho các phần thân có chiều dài không giới hạn, phép biến đổi Fourier hình sin nên được sử dụng khi một giá trị được cho trên bề mặt của phần thân bằng các công thức, tức là tại GU !, và cosin là biến đổi Fourier khi giải vi phân. phương trình vận chuyển BC2. Các phép biến đổi Hankel có thể áp dụng khi cơ thể đối xứng trục. Ứng dụng thực tế của các phép biến đổi tích phân này với sự có mặt của các bảng hình ảnh chi tiết không gây ra bất kỳ khó khăn cụ thể nào.

Quá trình chuyển đổi từ ảnh sang ảnh gốc có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các công thức chuyển đổi cho:

Biến đổi Fourier phức tạp

(45)

Biến đổi sin Fourier

(46)

Biến đổi Cosine Fourier

(47)

Hankel biến đổi

(48)

Các phép biến đổi tích phân được coi là có thể áp dụng cho các vật thể ở mức độ bán giới hạn.

Phép biến đổi tích phân hữu hạn

Mặt khác, những hạn chế của các phép biến đổi tích phân Fourier, Hankel và một phần của Laplace, mặt khác và nhu cầu cấp thiết để giải các bài toán với một dải biến hữu hạn, mặt khác đã dẫn đến việc tạo ra các phương pháp biến đổi tích phân hữu hạn. . Chúng được ưa chuộng hơn ngay cả đối với các vấn đề được giải quyết bằng các phương pháp cổ điển.

Ý tưởng về phương pháp biến đổi tích phân hữu hạn được đề xuất bởi N.S. Kommekov

(49)

Nghiên cứu sâu hơn về các vấn đề của phương pháp biến đổi tích phân hữu hạn đã được phản ánh trong các công trình của Griabarg G.A., Sleddon, Tranter, Degas (Deig) và những người khác.

Nếu ranh giới tích phân nằm giữa 0 và e, hạt nhân của các phép biến đổi sin - và cosine - Fourier hữu hạn, cũng như các phép biến đổi Hankel, tương ứng, có dạng:

(50)

(51)

Với GU1 và GU2
và tại GU3 là gốc của phương trình

(52)

Các phép biến đổi của tích phân không xác định Cũng như trong các quy tắc đại số được đưa ra cho phép người ta biến đổi các biểu thức đại số để đơn giản hóa chúng, vì vậy đối với một tích phân không xác định có các quy tắc cho phép người ta thực hiện các phép biến đổi của nó. I. Tích phân của tổng đại số của các hàm bằng tổng đại số của các tích phân của từng phần tử riêng biệt, tức là S dx = lf (x) dx + l (i) = "" ii. = "" Thừa số có thể được "lấy ra =" "cho \ u003d" "dấu \ u003d" "của tích phân, e. \ u003d" "(giá trị c-hằng số, công thức tính tích phân theo từng phần, cụ thể là: Chúng tôi chứng minh công thức (III). Chúng tôi lấy vi phân từ vế phải của đẳng thức (III) Áp dụng công thức 4 từ bảng § 2 chương IX, ta được x. Ta biến đổi số hạng theo công thức 5 của cùng bảng: và số hạng d J / "(d: ) f (l;) dx theo công thức (B) § 1 của chương này bằng d \ f (*) f \ u003d \ u003d / (x) f "(l :) dx + f (x) / "(x) dx - /" (x) f (*) dx \ u003d \ u003d f (x) y "(x) dx, tức là chúng ta đã thu được những gì thu được bằng cách phân biệt vế trái của đẳng thức (III). Công thức (I) và (II) được xác minh theo cách tương tự. Chúng ta nhận được J (x1 - sin x :) dx = ^ xr dx- ^ sin xdx = x * x9 = (-cosx) + C = y + cos x + C. VÍ DỤ 2. I ^ dx Áp dụng quy tắc II và công thức J COS X 6 từ bảng tích phân, chúng ta nhận được J cos2 * J COS2 * thành 1 Ví dụ 3. ^ Inx dx. Không có tích phân nào như vậy trong bảng tích phân cho ở § 1. Chúng tôi tính toán nó bằng cách tích phân theo từng phần; Để làm điều này, chúng ta viết lại tích phân này như sau: J In xdx = ^ In l: 1 dx. Putting / (x) = Trong l: và<р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

Phép biến đổi mà một hàm của các biến thực được gán cho một hàm

Các biến thực và biến 7, nói chung là phức tạp, được gọi là phép biến đổi tích phân đối với biến. Biến được gọi là biến biến đổi. Để rõ hơn, bên dưới phép biến hình sẽ được ký hiệu bằng ký hiệu Phép biến đổi tích phân (1) được xác định bởi các giới hạn của phép biến hình, nhân và hàm trọng lượng Các giới hạn có thể là vô hạn; thuộc tính hàm sẽ được thiết lập bên dưới. Hàm được gọi là phép biến đổi tích phân, và cũng là phép biến đổi tích phân, ảnh hoặc ảnh của hàm. Dưới đây, thuật ngữ đầu tiên trong số các thuật ngữ tương đương này sẽ được sử dụng chủ yếu. Một hàm thường được gọi là bản gốc hoặc nguyên mẫu của một hàm.

Có thể thực hiện các phép biến đổi tích phân đối với một số hoặc tất cả các biến cùng một lúc. Tổng quát cho trường hợp này được đưa ra ở trên

định nghĩa là hiển nhiên. Dưới đây, chúng ta sẽ xem xét các phép biến đổi chỉ đối với một biến. Tuy nhiên, việc áp dụng liên tiếp các phép biến đổi đó tương đương với một số phép biến đổi trong một số biến.

Các hàm đã biến đổi sẽ được ký hiệu bằng các ký hiệu giống như trước khi chuyển đổi, nhưng với một số ký hiệu phía trên ký hiệu: dấu gạch ngang, đường lượn sóng và Biến đổi được thực hiện bởi biến nào, sẽ rõ ràng từ đối số nào của hàm đã biến đổi phụ thuộc. Ví dụ, chúng tôi sẽ không viết rõ ràng phép biến đổi tích phân của một hàm đối với các đối số biến trong những trường hợp mà điều này không thể dẫn đến hiểu lầm.

Phép biến đổi mà hàm một lần nữa được chuyển thành một hàm được gọi là phép biến đổi tích phân nghịch đảo (1) hay đơn giản là phép biến đổi nghịch đảo. Trong trường hợp này, bản thân phép biến đổi (1) được gọi là trực tiếp.

Phép biến đổi tích phân được xác định khi tồn tại tích phân ở vế phải của (1). Tuy nhiên, đối với ứng dụng thực tế của các phép biến đổi tích phân, điều quan trọng là cũng tồn tại các phép biến đổi nghịch đảo, cùng với (1), sẽ thiết lập sự tương ứng một-một giữa hai lớp hàm: lớp nguyên thủy của hàm và lớp của các hàm là phép biến đổi tích phân của chúng. Trong điều kiện này, cũng có thể thiết lập sự tương ứng giữa các phép toán trên cả hai lớp hàm và lời giải của bài toán được đưa ra cho các hàm của một lớp này, dẫn đến một bài toán cho các hàm của lớp khác, điều này có thể đơn giản hơn. Sau khi giải quyết vấn đề cuối cùng này, với sự trợ giúp của một phép biến đổi nghịch đảo, một giải pháp cho vấn đề ban đầu được tìm thấy. Một ví dụ mà độc giả biết đến là phép tính hoạt động dựa trên việc sử dụng phép biến đổi tích phân Laplace. Ở đây, sự phân biệt các hàm của lớp hàm ban đầu tương ứng với phép nhân với một biến độc lập của hàm là các phép biến đổi Laplace. Do đó, các bài toán về phương trình vi phân thông thường với hệ số không đổi được rút gọn thành các bài toán đại số cho các hàm đã biến đổi.

Ý tưởng sử dụng phép biến đổi tích phân trong các bài toán cho phương trình đạo hàm riêng cũng tương tự: họ cố gắng chọn một phép biến đổi tích phân cho phép các phép toán vi phân liên quan đến một trong các biến được thay thế bằng các phép toán đại số. Khi điều này thành công, bài toán đã biến đổi thường đơn giản hơn bài toán ban đầu. Sau khi tìm ra lời giải của bài toán đã biến đổi, với sự trợ giúp của phép biến đổi nghịch đảo, lời giải của bài toán ban đầu cũng được tìm thấy. Sự khác biệt chính so với giải tích hoạt động là việc áp dụng các phép biến đổi tích phân cho các phương trình với

đạo hàm riêng là việc sử dụng một tập hợp rộng hơn các phép biến đổi tích phân, điều này rất quan trọng khi hệ số của phương trình là thay đổi.