Cái gì được gọi là nghiệm của một phương trình tuyến tính. Làm thế nào để giải một phương trình bậc ba? Nguyên tắc giải phương trình tuyến tính

Khi giải phương trình tuyến tính, chúng ta cố gắng tìm một căn, nghĩa là, một giá trị của một biến sẽ biến phương trình thành một đẳng thức đúng.

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình, bạn cần các phép biến đổi tương đương đưa phương trình đã cho về dạng

\ (x = [số] \)

Số này sẽ là gốc.

Đó là, chúng tôi biến đổi phương trình, làm cho nó dễ dàng hơn với mỗi bước, cho đến khi chúng tôi rút gọn nó thành một phương trình hoàn toàn nguyên thủy “x = number”, trong đó căn là hiển nhiên. Các phép biến đổi thường được sử dụng nhất để giải phương trình tuyến tính là:

Ví dụ: thêm \ (5 \) vào cả hai vế của phương trình \ (6x-5 = 1 \)

\ (6x-5 = 1 \) \ (| +5 \)
\ (6x-5 + 5 = 1 + 5 \)
\ (6x = 6 \)

Xin lưu ý rằng chúng ta có thể nhận được cùng một kết quả nhanh hơn - chỉ bằng cách viết năm vào phía bên kia của phương trình và thay đổi dấu của nó trong quá trình này. Thực ra đây chính là cách mà trường “chuyển qua bằng đổi dấu sang ngược lại”.

2. Nhân hoặc chia cả hai vế của một phương trình với cùng một số hoặc biểu thức.

Ví dụ: Chia phương trình \ (- 2x = 8 \) cho trừ hai

\ (- 2x = 8 \) \ (|: (- 2) \)
\ (x = -4 \)

Thường thì bước này được thực hiện ở cuối, khi phương trình đã được rút gọn thành \ (ax = b \), và chúng ta chia cho \ (a \) để loại bỏ nó ở bên trái.

3. Sử dụng các tính chất và định luật của toán học: mở ngoặc, rút ​​gọn số hạng, rút ​​gọn phân số, v.v.

Thêm \ (2x \) trái và phải

Trừ \ (24 \) cho cả hai vế của phương trình

Một lần nữa, chúng tôi trình bày như các điều khoản

Bây giờ chúng ta chia phương trình cho \ (-3 \), do đó loại bỏ trước x ở bên trái.

Câu trả lời : \(7\)

Đã tìm thấy câu trả lời. Tuy nhiên, chúng ta hãy kiểm tra nó ra. Nếu bảy thực sự là một căn, thì khi thay nó thay vì x trong phương trình ban đầu, ta sẽ nhận được đẳng thức đúng - các số giống nhau ở bên trái và bên phải. Chúng tôi cố gắng.

Kiểm tra:
\ (6 (4-7) + 7 = 3-2 \ cdot7 \)
\ (6 \ cdot (-3) + 7 = 3-14 \)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Đã đồng ý. Điều này có nghĩa là số bảy thực sự là gốc của phương trình tuyến tính ban đầu.

Đừng lười kiểm tra các câu trả lời bạn tìm thấy bằng cách thay thế, đặc biệt nếu bạn đang giải một phương trình trong một bài kiểm tra hoặc kỳ thi.

Câu hỏi vẫn còn - làm thế nào để xác định những gì cần làm với phương trình ở bước tiếp theo? Làm thế nào chính xác để chuyển đổi nó? Chia sẻ vài thứ? Hay trừ đi? Và những gì chính xác để trừ? Những gì để chia sẻ?

Đáp án đơn giản:

Mục tiêu của bạn là đưa phương trình về dạng \ (x = [number] \), nghĩa là ở bên trái x không có hệ số và số và ở bên phải - chỉ là một số không có biến. Vì vậy, hãy xem điều gì đang ngăn cản bạn và làm ngược lại với những gì mà thành phần gây nhiễu làm.

Để hiểu rõ hơn điều này, chúng ta hãy thực hiện từng bước giải phương trình tuyến tính \ (x + 3 = 13-4x \).

Hãy nghĩ xem: phương trình này khác với \ (x = [number] \) như thế nào? Điều gì đang ngăn cản chúng ta? Chuyện gì vậy?

Đầu tiên, bộ ba cản trở, vì chỉ có một chữ X duy nhất ở bên trái, không có số. Và bộ ba làm gì? Thêm thành xx. Vì vậy, để loại bỏ nó - trừ đi cùng một bộ ba. Nhưng nếu chúng ta trừ một bộ ba cho bên trái, thì chúng ta phải trừ nó cho bên phải để đẳng thức không bị vi phạm.

\ (x + 3 = 13-4x \) \ (| -3 \)
\ (x + 3-3 = 13-4x-3 \)
\ (x = 10-4x \)

Tốt. Bây giờ điều gì đang ngăn cản bạn? \ (4x \) ở bên phải, vì nó chỉ nên chứa số. \ (4x \) trừ đi- gỡ bỏ thêm vào.

\ (x = 10-4x \) \ (| + 4x \)
\ (x + 4x = 10-4x + 4x \)

Bây giờ chúng tôi đưa ra các điều khoản giống như bên trái và bên phải.

Gần như đã sẵn sàng. Nó vẫn còn để loại bỏ năm bên trái. Cô ấy đang làm gì"? nhân lên trên x. Vì vậy, chúng tôi loại bỏ nó phân công.

\ (5x = 10 \) \ (|: 5 \)
\ (\ frac (5x) (5) \) \ (= \) \ (\ frac (10) (5) \)
\ (x = 2 \)

Giải pháp hoàn tất, nghiệm nguyên của phương trình là hai. Bạn có thể kiểm tra bằng cách thay thế.

thông báo rằng thường chỉ có một căn trong phương trình tuyến tính. Tuy nhiên, hai trường hợp đặc biệt có thể xảy ra.

Trường hợp đặc biệt 1 - không có nghiệm nguyên trong một phương trình tuyến tính.

Thí dụ . Giải phương trình \ (3x-1 = 2 (x + 3) + x \)

Dung dịch :

Câu trả lời : không có rễ.

Trên thực tế, thực tế là chúng ta sẽ đi đến kết quả như vậy đã được thấy trước đó, ngay cả khi chúng ta có \ (3x-1 = 3x + 6 \). Hãy nghĩ về nó: làm thế nào \ (3x \) bằng nhau, từ đó \ (1 \) bị trừ đi và \ (3x \) được thêm vào \ (6 \)? Rõ ràng là không thể, bởi vì họ đã làm những hành động khác nhau với cùng một thứ! Rõ ràng là kết quả sẽ khác nhau.

Trường hợp đặc biệt 2 - một phương trình tuyến tính có vô số nghiệm nguyên.

Thí dụ . Giải phương trình tuyến tính \ (8 (x + 2) -4 = 12x-4 (x-3) \)

Dung dịch :

Câu trả lời : bất kỳ số nào.

Nhân tiện, điều này thậm chí còn đáng chú ý trước đó, ở giai đoạn: \ (8x + 12 = 8x + 12 \). Thật vậy, trái và phải là những biểu thức giống nhau. Bất kể x bạn thay thế, sẽ có cùng một số cả ở đó và ở đó.

Các phương trình tuyến tính phức tạp hơn.

Phương trình ban đầu không phải lúc nào cũng giống một phương trình tuyến tính, đôi khi nó được “ngụy trang” thành các phương trình khác phức tạp hơn. Tuy nhiên, trong quá trình biến đổi, sự che lấp mất dần đi.

Thí dụ . Tìm nghiệm nguyên của phương trình \ (2x ^ (2) - (x-4) ^ (2) = (3 + x) ^ (2) -15 \)

Dung dịch :

\ (2x ^ (2) - (x-4) ^ (2) = (3 + x) ^ (2) -15 \)		Dường như có một x bình phương ở đây - đây không phải là một phương trình tuyến tính! Nhưng đừng vội vàng. Hãy đăng ký
\ (2x ^ (2) - (x ^ (2) -8x + 16) = 9 + 6x + x ^ (2) -15 \)		Tại sao kết quả của khai triển \ ((x-4) ^ (2) \) lại nằm trong dấu ngoặc đơn, nhưng kết quả của \ ((3 + x) ^ (2) \) thì không? Bởi vì có một dấu trừ trước hình vuông đầu tiên, điều này sẽ thay đổi tất cả các dấu hiệu. Và để không quên điều đó, chúng tôi lấy kết quả trong dấu ngoặc, mà bây giờ chúng tôi mở.
\ (2x ^ (2) -x ^ (2) + 8x-16 = 9 + 6x + x ^ (2) -15 \)		Chúng tôi đưa ra các điều khoản như
\ (x ^ (2) + 8x-16 = x ^ (2) + 6x-6 \)
\ (x ^ (2) -x ^ (2) + 8x-6x = -6 + 16 \)		Một lần nữa, đây là những cái tương tự.
		Như thế này. Nó chỉ ra rằng phương trình ban đầu là khá tuyến tính, và x bình phương không hơn gì một màn hình để làm chúng ta bối rối. :) Chúng tôi hoàn thành giải pháp bằng cách chia phương trình cho \ (2 \) và chúng tôi nhận được câu trả lời.

Câu trả lời : \ (x = 5 \)

Thí dụ . Giải phương trình tuyến tính \ (\ frac (x + 2) (2) \) \ (- \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= \) \ (\ frac (9 + 7x) ( 6) \)

Dung dịch :

\ (\ frac (x + 2) (2) \) \ (- \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= \) \ (\ frac (9 + 7x) (6) \)		Phương trình không giống như một phương trình tuyến tính, một số phân số ... Tuy nhiên, chúng ta hãy loại bỏ các mẫu số bằng cách nhân cả hai phần của phương trình với mẫu số chung của tất cả - sáu
\ (6 \ cdot \) \ ((\ frac (x + 2) (2) \) \ (- \) \ (\ frac (1) (3)) \) \ (= \) \ (\ frac ( 9 + 7x) (6) \) \ (\ cdot 6 \)		Mở ngoặc ở bên trái
\ (6 \ cdot \) \ (\ frac (x + 2) (2) \) \ (- \) \ (6 \ cdot \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= \) \ (\ frac (9 + 7x) (6) \) \ (\ cdot 6 \)		Bây giờ chúng ta giảm các mẫu số
\ (3 (x + 2) -2 = 9 + 7x \)		Bây giờ nó trông giống như một tuyến tính thông thường! Hãy giải quyết nó.
		Bằng cách chuyển qua các dấu bằng, chúng tôi thu thập các số x ở bên phải và các số ở bên trái
		Chà, chia cho \ (-4 \) phần bên phải và bên trái, chúng ta sẽ có câu trả lời

Câu trả lời : \ (x = -1,25 \)

Phương trình tuyến tính là một phương trình đại số có bậc đầy đủ của các đa thức bằng một. Giải phương trình tuyến tính là một phần của chương trình học ở trường, và không phải là khó nhất. Tuy nhiên, một số vẫn gặp khó khăn trong việc phân tích chủ đề này. Chúng tôi hy vọng rằng sau khi đọc tài liệu này, tất cả những khó khăn đối với bạn sẽ chỉ còn là quá khứ. Vì vậy, chúng ta hãy tìm ra nó. cách giải hệ phương trình tuyến tính.

Hình thức chung

Phương trình tuyến tính được biểu diễn dưới dạng:

• ax + b = 0, trong đó a và b là các số bất kỳ.

Mặc dù a và b có thể là bất kỳ số nào, giá trị của chúng ảnh hưởng đến số nghiệm của phương trình. Có một số trường hợp giải pháp đặc biệt:

• Nếu a = b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm;
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm;
• Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình có nghiệm: x = 0.

Trong trường hợp cả hai số đều có giá trị khác 0, phương trình phải được giải để tính được biểu thức cuối cùng cho biến số.

Làm thế nào để quyết định?

Giải một phương trình tuyến tính có nghĩa là tìm một biến bằng giá trị của nó. Làm thế nào để làm nó? Vâng, nó rất đơn giản - sử dụng các phép toán đại số đơn giản và tuân theo các quy tắc chuyển. Nếu phương trình xuất hiện trước bạn ở dạng tổng quát, bạn đang gặp may mắn, tất cả những gì bạn cần làm là:

1. Chuyển b sang vế phải của phương trình, không quên đổi dấu (quy tắc chuyển vế!), Như vậy, từ biểu thức có dạng ax + b = 0, ta được biểu thức có dạng ax = -b.
2. Áp dụng quy tắc: để tìm một trong các thừa số (x - trong trường hợp của chúng ta), bạn cần chia tích (-b trong trường hợp của chúng ta) cho một thừa số khác (a - trong trường hợp của chúng ta). Do đó, một biểu thức có dạng sẽ thu được: x \ u003d -b / a.

Đó là tất cả - giải pháp được tìm thấy!

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một ví dụ cụ thể:

1. 2x + 4 = 0 - di chuyển b, trong trường hợp này là 4, sang phải
2. 2x = -4 - chia b cho a (đừng quên dấu trừ)
3. x = -4 / 2 = -2

Đó là tất cả! Lời giải của ta: x = -2.

Như bạn thấy, việc tìm nghiệm của một phương trình tuyến tính với một biến là khá đơn giản, nhưng mọi thứ lại trở nên đơn giản nếu chúng ta may mắn gặp được phương trình ở dạng tổng quát. Trong hầu hết các trường hợp, trước khi giải phương trình theo hai bước nêu trên, cũng cần đưa biểu thức đã có về dạng tổng quát. Tuy nhiên, đây cũng không phải là một nhiệm vụ khó khăn. Hãy xem xét một số trường hợp đặc biệt với các ví dụ.

Giải quyết các trường hợp đặc biệt

Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét các trường hợp mà chúng tôi đã mô tả ở đầu bài viết và giải thích ý nghĩa của việc có vô số nghiệm và không có nghiệm.

• Nếu a = b = 0, phương trình sẽ có dạng: 0x + 0 = 0. Thực hiện bước đầu tiên, chúng ta nhận được: 0x = 0. Điều vô nghĩa này có nghĩa là gì, bạn cảm thán! Rốt cuộc, bất kể bạn nhân với số nào, bạn sẽ luôn nhận được số 0! Đúng! Do đó, họ nói rằng phương trình có vô số nghiệm - bất kỳ số nào bạn lấy, đẳng thức sẽ đúng, 0x \ u003d 0 hoặc 0 \ u003d 0.
• Nếu a = 0, b ≠ 0, phương trình sẽ có dạng: 0x + 3 = 0. Ta thực hiện bước đầu ta được 0x = -3. Lại vô lý! Rõ ràng là sự bình đẳng này sẽ không bao giờ thành sự thật! Đó là lý do tại sao họ nói rằng phương trình không có nghiệm.
• Nếu a ≠ 0, b = 0, phương trình sẽ có dạng: 3x + 0 = 0. Bước đầu tiên, ta được: 3x = 0. Nghiệm là gì? Thật dễ dàng, x = 0.

Khó khăn trong dịch thuật

Các trường hợp cụ thể được mô tả không phải là tất cả những gì mà phương trình tuyến tính có thể làm chúng ta ngạc nhiên. Đôi khi, phương trình nhìn chung rất khó xác định ngay từ cái nhìn đầu tiên. Hãy lấy một ví dụ:

• 12x - 14 = 2x + 6

Đây có phải là một phương trình tuyến tính? Nhưng còn số 0 ở phía bên phải thì sao? Chúng tôi sẽ không vội vàng kết luận, chúng tôi sẽ hành động - chúng tôi sẽ chuyển tất cả các thành phần của phương trình sang vế trái. Chúng tôi nhận được:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Bây giờ trừ lượt like khỏi lượt like, chúng ta nhận được:

• 10x - 20 = 0

Đã học? Phương trình tuyến tính nhất từ ​​trước đến nay! Bài giải của ai: x = 20/10 = 2.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có ví dụ này:

• 12 ((x + 2) / 3) + x) = 12 (1 - 3x / 4)

Vâng, đây cũng là một phương trình tuyến tính, chỉ cần thực hiện thêm các phép biến đổi. Trước tiên, hãy mở rộng dấu ngoặc:

1. (12 (x + 2) / 3) + 12x = 12 - 36x / 4
2. 4 (x + 2) + 12x = 12 - 36x / 4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - bây giờ thực hiện chuyển:
4. 25x - 4 = 0 - vẫn phải tìm một giải pháp theo sơ đồ đã biết:
5. 25x = 4
6. x = 4/25 = 0,16

Như bạn thấy, mọi thứ đều được giải quyết, điều chính yếu không phải là lo lắng, mà là hành động. Hãy nhớ rằng, nếu phương trình của bạn chỉ chứa các biến bậc nhất và các số, thì đây là một phương trình tuyến tính, bất kể nó trông như thế nào ban đầu, có thể được rút gọn về dạng tổng quát và được giải. Chúng tôi hy vọng mọi thứ đều thuận lợi cho bạn! Chúc may mắn!

• Đẳng thức với một biến số được gọi là một đẳng thức.
• Giải một phương trình có nghĩa là tìm tập nghiệm của nó. Một phương trình có thể có một, hai, một số, nhiều nghiệm nguyên hoặc không có nghiệm gì cả.
• Mỗi giá trị của biến mà tại đó phương trình đã cho biến thành một đẳng thức thực được gọi là nghiệm nguyên của phương trình.
• Các phương trình có cùng căn được gọi là phương trình tương đương.
• Bất kỳ số hạng nào của phương trình đều có thể được chuyển từ phần này sang phần khác của đẳng thức, đồng thời thay đổi dấu của số hạng thành phần ngược lại.
• Nếu cả hai vế của phương trình được nhân hoặc chia với cùng một số khác 0, thì một phương trình sẽ tương đương với phương trình này.

Các ví dụ. Giải phương trình.

1. 1,5x + 4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Chúng tôi đã thu thập các cụm từ chứa biến ở phía bên trái của đẳng thức và các thành viên tự do ở phía bên phải của đẳng thức. Thuộc tính sau đã được sử dụng:

1,2x = -6. Chúng tôi đã đưa ra các điều khoản như theo quy tắc:

x = -6 : 1.2. Cả hai phần của đẳng thức đều được chia cho hệ số của biến, vì

x = -5. Chia theo quy tắc chia một phân số thập phân cho một phân số thập phân:

để chia một số cho một số thập phân, bạn cần di chuyển dấu phẩy trong số bị chia và số bị chia sang bên phải bao nhiêu chữ số sau dấu thập phân trong số bị chia, sau đó chia cho một số tự nhiên:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Câu trả lời: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Chúng tôi đã mở dấu ngoặc bằng cách sử dụng luật phân phối của phép nhân đối với phép trừ: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6x-4x = -16 + 27. Chúng tôi đã thu thập các cụm từ chứa biến ở phía bên trái của đẳng thức và các thành viên tự do ở phía bên phải của đẳng thức. Thuộc tính sau đã được sử dụng: bất kỳ số hạng nào của phương trình có thể được chuyển từ phần này sang phần khác của đẳng thức, đồng thời thay đổi dấu của số hạng thành phần ngược lại.

2x \ u003d 11. Họ đưa ra các điều khoản giống như theo quy tắc: để mang lại các thuật ngữ tương tự, bạn cần thêm hệ số của chúng và nhân kết quả với phần chữ cái chung của chúng (tức là thêm phần chữ cái chung của chúng vào kết quả).

x = 11 : 2. Cả hai phần của đẳng thức đã được chia cho hệ số của biến, vì nếu cả hai phần của phương trình được nhân hoặc chia với cùng một số khác 0, thì một phương trình sẽ tương đương với phương trình này.

Câu trả lời: 5,5.

3. 7x- (3 + 2x) = x-9.

7x-3-2x = x-9. Chúng tôi đã mở dấu ngoặc theo quy tắc mở dấu ngoặc, đứng trước dấu "-": nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì ta bỏ dấu ngoặc, dấu “-” và viết các thuật ngữ trong ngoặc có dấu ngược lại.

7x-2x-x \ u003d -9 + 3. Chúng tôi đã thu thập các cụm từ chứa biến ở phía bên trái của đẳng thức và các thành viên tự do ở phía bên phải của đẳng thức. Thuộc tính sau đã được sử dụng: bất kỳ số hạng nào của phương trình có thể được chuyển từ phần này sang phần khác của đẳng thức, đồng thời thay đổi dấu của số hạng thành phần ngược lại.

4x = -6. Chúng tôi đã đưa ra các điều khoản như theo quy tắc: để mang lại các thuật ngữ tương tự, bạn cần thêm hệ số của chúng và nhân kết quả với phần chữ cái chung của chúng (tức là thêm phần chữ cái chung của chúng vào kết quả).

x = -6 : 4. Cả hai phần của đẳng thức đã được chia cho hệ số của biến, vì nếu cả hai phần của phương trình được nhân hoặc chia với cùng một số khác 0, thì một phương trình sẽ tương đương với phương trình này.

Câu trả lời: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Nhân cả hai vế của phương trình với 12 - mẫu số chung nhỏ nhất cho các mẫu số của các phân số này.

3x-15 = 84-8x + 44. Chúng tôi đã mở dấu ngoặc bằng cách sử dụng luật phân phối của phép nhân đối với phép trừ: Để nhân hiệu của hai số với số thứ ba, bạn có thể nhân số bị trừ riêng và số trừ riêng với số thứ ba, rồi lấy kết quả đầu tiên trừ kết quả thứ hai, tức là.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3x + 8x = 84 + 44 + 15. Chúng tôi đã thu thập các cụm từ chứa biến ở phía bên trái của đẳng thức và các thành viên tự do ở phía bên phải của đẳng thức. Thuộc tính sau đã được sử dụng: bất kỳ số hạng nào của phương trình có thể được chuyển từ phần này sang phần khác của đẳng thức, đồng thời thay đổi dấu của số hạng thành phần ngược lại.

Trong bài này, chúng tôi coi nguyên tắc giải các phương trình như phương trình tuyến tính. Chúng ta hãy viết ra định nghĩa của các phương trình này và đặt ở dạng tổng quát. Chúng tôi sẽ phân tích tất cả các điều kiện để tìm ra giải pháp cho phương trình tuyến tính, sử dụng, trong số những thứ khác, các ví dụ thực tế.

Xin lưu ý rằng tài liệu dưới đây chứa thông tin về phương trình tuyến tính với một biến. Phương trình tuyến tính với hai biến được xem xét trong một bài báo riêng biệt.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Phương trình tuyến tính là gì

Định nghĩa 1

Phương trình đường thẳng là một phương trình được viết như thế này:
a x = b, ở đâu x- Biến đổi, một và b- một số con số.

Công thức này được sử dụng trong sách giáo khoa đại số (lớp 7) của Yu.N. Makarychev.

ví dụ 1

Ví dụ về phương trình tuyến tính sẽ là:

3x = 11(một phương trình biến x tại a = 5 và b = 10);

- 3, 1 y = 0 ( phương trình tuyến tính với biến y, ở đâu a \ u003d - 3, 1 và b = 0);

x = -4 và - x = 5, 37(phương trình tuyến tính, trong đó số mộtđược viết rõ ràng và bằng 1 và - 1, tương ứng. Đối với phương trình đầu tiên b = - 4; Cho lần thứ hai - b = 5, 37) vân vân.

Các tài liệu giảng dạy khác nhau có thể chứa các định nghĩa khác nhau. Ví dụ, Vilenkin N.Ya. tuyến tính cũng bao gồm những phương trình có thể được chuyển đổi thành dạng a x = b bằng cách chuyển các điều khoản từ phần này sang phần khác bằng sự thay đổi dấu hiệu và đưa các điều khoản tương tự. Nếu chúng ta theo cách giải thích này, phương trình 5 x = 2 x + 6 - cũng tuyến tính.

Và đây là giáo trình đại số (Lớp 7) Mordkovich A.G. chỉ định mô tả sau:

Định nghĩa 2

Phương trình tuyến tính với một biến x là phương trình có dạng a x + b = 0, ở đâu một và b là một số con số, được gọi là hệ số của phương trình tuyến tính.

Ví dụ 2

Một ví dụ về phương trình tuyến tính loại này có thể là:

3 x - 7 = 0 (a = 3, b = - 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Nhưng cũng có những ví dụ về phương trình tuyến tính mà chúng tôi đã sử dụng ở trên: a x = b, Ví dụ, 6 x = 35.

Chúng ta sẽ đồng ý ngay rằng trong bài viết này, dưới một phương trình tuyến tính với một biến, chúng ta sẽ hiểu phương trình viết a x + b = 0, ở đâu x- Biến đổi; a, b là các hệ số. Chúng ta thấy dạng phương trình tuyến tính này là hợp lý nhất, vì phương trình tuyến tính là phương trình đại số bậc nhất. Và các phương trình khác đã chỉ ra ở trên, và các phương trình đã cho bằng các phép biến đổi tương đương về dạng a x + b = 0, chúng tôi định nghĩa là phương trình rút gọn thành phương trình tuyến tính.

Với cách tiếp cận này, phương trình 5 x + 8 = 0 là tuyến tính, và 5 x = −8- một phương trình rút gọn thành một phương trình tuyến tính.

Nguyên tắc giải phương trình tuyến tính

Xem xét cách xác định xem một phương trình tuyến tính đã cho sẽ có nghiệm nguyên hay không và nếu có thì có bao nhiêu nghiệm và cách xác định chúng.

Định nghĩa 3

Sự hiện diện của các nghiệm nguyên của một phương trình tuyến tính được xác định bởi các giá trị của các hệ số một và b. Hãy viết các điều kiện sau:

• tại a ≠ 0 phương trình tuyến tính có một căn x = - b a;
• tại a = 0 và b ≠ 0 một phương trình tuyến tính không có nghiệm nguyên;
• tại a = 0 và b = 0 một phương trình tuyến tính có vô số nghiệm. Thực tế, trong trường hợp này, bất kỳ số nào cũng có thể trở thành căn của một phương trình tuyến tính.

Hãy đưa ra một lời giải thích. Ta biết rằng trong quá trình giải một phương trình, có thể biến một phương trình đã cho thành một phương trình tương đương, nghĩa là nó có cùng nghiệm với phương trình ban đầu, hoặc cũng không có nghiệm. Chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi tương đương sau:

• chuyển số hạng từ bộ phận này sang bộ phận khác, đổi dấu thành vế ngược lại;
• nhân hoặc chia cả hai vế của một phương trình với cùng một số khác không.

Do đó, chúng ta biến đổi phương trình tuyến tính a x + b = 0, di chuyển thuật ngữ b từ phía bên trái sang phía bên phải với một sự thay đổi dấu hiệu. Chúng tôi nhận được: a · x = - b.

Vì vậy, chúng tôi chia cả hai phần của phương trình cho một số khác 0 một, dẫn đến một đẳng thức có dạng x = - b a. Đó là khi a ≠ 0 phương trình ban đầu a x + b = 0 tương đương với đẳng thức x = - b a, trong đó căn - b a là hiển nhiên.

Bằng cách đối chiếu, có thể chứng minh rằng gốc tìm được là duy nhất. Chúng tôi đặt chỉ định của gốc được tìm thấy - b a là x 1. Giả sử rằng có thêm một nghiệm nguyên của phương trình tuyến tính với ký hiệu x 2. Và dĩ nhiên: x 2 ≠ x 1, và điều này, đến lượt nó, dựa trên định nghĩa của các số bằng nhau thông qua hiệu số, tương đương với điều kiện x 1 - x 2 ≠ 0. Theo quan điểm trên, chúng ta có thể tạo thành các bằng sau bằng cách thay thế các gốc:
a x 1 + b = 0 và a · x 2 + b = 0.
Tính chất của các số bằng nhau giúp ta có thể thực hiện phép trừ từng số hạng của các phần bằng nhau:

a x 1 + b - (a x 2 + b) = 0 - 0, từ đây: a (x 1 - x 2) + (b - b) = 0 và hơn thế nữa a (x 1 - x 2) = 0. Bình đẳng a (x 1 - x 2) = 0 là sai, vì điều kiện đã được đưa ra trước đó rằng a ≠ 0 và x 1 - x 2 ≠ 0. Sự mâu thuẫn thu được đóng vai trò là bằng chứng cho thấy tại a ≠ 0 phương trình đường thẳng a x + b = 0 chỉ có một gốc.

Hãy để chúng tôi chứng minh thêm hai mệnh đề về các điều kiện chứa a = 0.

Khi nào a = 0 phương trình đường thẳng a x + b = 0 sẽ được viết là 0 x + b = 0. Tính chất của phép nhân một số với 0 cho chúng ta quyền khẳng định rằng bất kể số nào được coi là x, thay thế nó vào bình đẳng 0 x + b = 0, ta được b = 0. Đẳng thức có giá trị là b = 0; trong các trường hợp khác khi b ≠ 0 sự bình đẳng trở nên vô hiệu.

Vì vậy, khi a = 0 và b = 0 , bất kỳ số nào có thể là căn của một phương trình tuyến tính a x + b = 0, vì trong những điều kiện này, thay thế thay vì x bất kỳ số nào, chúng tôi nhận được bằng số chính xác 0 = 0 . Khi nào a = 0 và b ≠ 0 phương trình đường thẳng a x + b = 0 sẽ không có rễ ở tất cả, vì trong các điều kiện quy định, thay thế thay vì x bất kỳ số nào, chúng tôi nhận được một số bình đẳng không chính xác b = 0.

Tất cả các suy luận trên cho chúng ta cơ hội để viết một thuật toán có thể tìm thấy nghiệm cho bất kỳ phương trình tuyến tính nào:

• theo loại bản ghi, chúng tôi xác định giá trị của các hệ số một và b và phân tích chúng;
• tại a = 0 và b = 0 phương trình sẽ có vô số nghiệm nguyên, tức là bất kỳ số nào sẽ trở thành căn của phương trình đã cho;
• tại a = 0 và b ≠ 0
• tại một, khác 0, chúng tôi bắt đầu tìm kiếm căn duy nhất của phương trình tuyến tính ban đầu:

1. hệ số chuyển giao b về phía bên phải với sự thay đổi dấu sang phía ngược lại, đưa phương trình tuyến tính về dạng a x = −b;
2. chia cả hai phần của bình đẳng kết quả cho số một, sẽ cho chúng ta nghiệm nguyên mong muốn của phương trình đã cho: x = - b a.

Trên thực tế, chuỗi hành động được mô tả là câu trả lời cho câu hỏi làm thế nào để tìm ra nghiệm cho một phương trình tuyến tính.

Cuối cùng, chúng tôi làm rõ rằng các phương trình có dạng a x = bđược giải bằng một thuật toán tương tự với sự khác biệt duy nhất là số b trong một ký hiệu như vậy đã được chuyển sang phần mong muốn của phương trình và khi a ≠ 0 bạn có thể chia ngay các phần của phương trình cho một số một.

Do đó, để tìm một nghiệm cho phương trình a x = b, chúng tôi sử dụng thuật toán sau:

• tại a = 0 và b = 0 phương trình sẽ có vô số nghiệm nguyên, tức là bất kỳ số nào cũng có thể trở thành gốc của nó;
• tại a = 0 và b ≠ 0 phương trình đã cho sẽ không có nghiệm nguyên;
• tại một, không bằng 0, cả hai vế của phương trình đều chia hết cho số một, điều này giúp bạn có thể tìm thấy một gốc duy nhất bằng ba.

Ví dụ về giải phương trình tuyến tính

Ví dụ 3

Nó là cần thiết để giải quyết một phương trình tuyến tính 0 x - 0 = 0.

Dung dịch

Bằng cách viết phương trình đã cho, chúng ta thấy rằng a = 0 và b = -0(hoặc b = 0 giống nhau). Do đó, một phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm nguyên hoặc một số bất kỳ.

Câu trả lời: x- bất kỳ số nào.

Ví dụ 4

Cần xác định xem phương trình có nghiệm nguyên hay không 0 x + 2, 7 = 0.

Dung dịch

Từ bản ghi, chúng tôi xác định rằng a \ u003d 0, b \ u003d 2, 7. Như vậy, phương trình đã cho sẽ không có nghiệm nguyên.

Câu trả lời: phương trình tuyến tính ban đầu không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 5

Cho một phương trình tuyến tính 0, 3 x - 0, 027 = 0. Nó cần phải được giải quyết.

Dung dịch

Bằng cách viết phương trình, chúng tôi xác định rằng a \ u003d 0, 3; b = - 0, 027, cho phép chúng ta khẳng định rằng phương trình đã cho có một căn duy nhất.

Theo thuật toán, ta chuyển b sang vế phải của phương trình, đổi dấu, ta được: 0,3 x = 0,027. Tiếp theo, chúng tôi chia cả hai phần của đẳng thức kết quả cho \ u003d 0, 3, sau đó: x \ u003d 0, 027 0, 3.

Hãy chia số thập phân:

0,027 0,3 = 27300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Kết quả thu được là nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

Viết ngắn gọn giải pháp như sau:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09.

Câu trả lời: x = 0, 09.

Để rõ ràng, chúng tôi trình bày giải pháp của phương trình ghi a x = b.

Ví dụ N

Phương trình đã cho: 1) 0 x = 0; 2) 0 x = - 9; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Nó là cần thiết để giải quyết chúng.

Dung dịch

Tất cả các phương trình đã cho tương ứng với bản ghi a x = b. Chúng ta hãy lần lượt xem xét nó.

Trong phương trình 0 x = 0, a = 0 và b = 0, có nghĩa là: bất kỳ số nào cũng có thể là căn của phương trình này.

Trong phương trình thứ hai 0 x = - 9: a = 0 và b = - 9, do đó, phương trình này sẽ không có nghiệm.

Ở dạng phương trình cuối - 3 8 x = - 3 3 4, chúng ta viết các hệ số: a = - 3 8, b = - 3 3 4, tức là. phương trình có một căn duy nhất. Hãy tìm anh ta. Hãy chia cả hai vế của phương trình cho a, ta được kết quả: x = - 3 3 4 - 3 8. Hãy đơn giản hóa phân số bằng cách áp dụng quy tắc chia số âm, sau đó chuyển hỗn số thành phân số thông thường và chia phân số thông thường:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Viết ngắn gọn giải pháp như sau:

3 8 x = - 3 3 4, x = - 3 3 4 - 3 8, x = 10.

Câu trả lời: 1) x- bất kỳ số nào, 2) phương trình vô nghiệm, 3) x = 10.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter