Tìm hàm phản nguyên tố. Tính tích phân không giới hạn và không giới hạn - Đại siêu thị tri thức

Có ba quy tắc cơ bản để tìm các hàm phản đạo hàm. Chúng rất giống với các quy luật phân biệt tương ứng.

Quy tắc 1

Nếu F là phản đạo hàm đối với một số hàm f và G là phản đạo hàm đối với một số hàm g, thì F + G sẽ là phản đạo hàm đối với f + g.

Theo định nghĩa của phản đạo hàm F '= f. G '= g. Và vì các điều kiện này được thỏa mãn, nên theo quy tắc tính đạo hàm cho tổng của hàm, chúng ta sẽ có:

(F + G) '= F' + G '= f + g.

Quy tắc 2

Nếu F là một đạo hàm đối với một số hàm f và k là một hằng số nào đó. Khi đó k * F là đạo hàm của hàm k * f. Quy tắc này tuân theo quy tắc tính đạo hàm của một hàm phức.

Ta có: (k * F) ’= k * F’ = k * f.

Quy tắc 3

Nếu F (x) là một số phản đạo hàm của f (x), và k và b là một số hằng số và k khác 0, thì (1 / k) * F * (k * x + b) sẽ là một đạo hàm của f (k * x + b).

Quy tắc này tuân theo quy tắc tính đạo hàm của một hàm phức:

((1 / k) * F * (k * x + b)) ’= (1 / k) * F’ (k * x + b) * k = f (k * x + b).

Hãy xem một vài ví dụ về cách áp dụng các quy tắc này:

ví dụ 1. Tìm dạng đạo hàm tổng quát của hàm số f (x) = x ^ 3 + 1 / x ^ 2. Đối với hàm x ^ 3 một trong các đạo hàm sẽ là hàm (x ^ 4) / 4, và đối với hàm 1 / x ^ 2 một trong các đạo hàm sẽ là hàm -1 / x. Sử dụng quy tắc đầu tiên, chúng tôi có:

F (x) = x ^ 4/4 - 1 / x + C.

Ví dụ 2. Hãy tìm dạng đạo hàm tổng quát của hàm số f (x) = 5 * cos (x). Đối với hàm cos (x), một trong các đạo hàm sẽ là hàm sin (x). Nếu bây giờ chúng ta sử dụng quy tắc thứ hai, chúng ta sẽ có:

F (x) = 5 * sin (x).

Ví dụ 3 Tìm một trong các đạo hàm của hàm số y = sin (3 * x-2). Đối với hàm sin (x), một trong các đạo hàm sẽ là hàm -cos (x). Nếu bây giờ chúng ta sử dụng quy tắc thứ ba, chúng ta nhận được một biểu thức cho antideriuctor:

F (x) = (-1/3) * cos (3 * x-2)

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của hàm f (x) = 1 / (7-3 * x) ^ 5

Đạo hàm của hàm 1 / x ^ 5 sẽ là hàm (-1 / (4 * x ^ 4)). Bây giờ, sử dụng quy tắc thứ ba, chúng tôi nhận được.

Giải tích phân là một nhiệm vụ dễ dàng, nhưng chỉ dành cho giới thượng lưu. Bài viết này dành cho những ai muốn học để hiểu về tích phân, nhưng biết ít hoặc không biết gì về chúng. Tích phân ... Tại sao nó lại cần? Làm thế nào để tính toán nó? Tích phân xác định và không xác định là gì? Nếu công dụng duy nhất của tích phân mà bạn biết là để lấy thứ gì đó hữu ích từ những nơi khó tiếp cận với một cái móc có hình dạng của một biểu tượng tích phân, thì xin chào mừng! Tìm hiểu cách giải tích phân và tại sao bạn không thể làm được nếu không có nó.

Chúng tôi nghiên cứu khái niệm "tích phân"

Hội nhập đã được biết đến ở Ai Cập cổ đại. Tất nhiên, không phải trong một hình thức hiện đại, nhưng vẫn. Kể từ đó, các nhà toán học đã viết rất nhiều cuốn sách về chủ đề này. Đặc biệt phân biệt Newton và Leibniz nhưng bản chất của sự vật không thay đổi. Làm thế nào để hiểu tích phân từ đầu? Không đời nào! Để hiểu chủ đề này, bạn vẫn sẽ cần một kiến ​​thức cơ bản về những điều cơ bản của phân tích toán học. Thông tin về, cũng cần thiết để hiểu tích phân, đã có trong blog của chúng tôi.

Không xác định, không thể thiếu

Hãy có một số chức năng f (x) .

Tích phân không xác định của hàm f (x) một chức năng như vậy được gọi là F (x) , có đạo hàm bằng hàm f (x) .

Nói cách khác, một tích phân là một đạo hàm ngược hoặc đạo hàm ngược. Nhân tiện, về cách đọc trong bài viết của chúng tôi.

Một chất chống nhiễm độc tồn tại cho tất cả các chức năng liên tục. Ngoài ra, một dấu hằng số thường được thêm vào đạo hàm, vì đạo hàm của các hàm khác nhau bởi một hằng số trùng khớp. Quá trình tìm tích phân được gọi là tích phân.

Ví dụ đơn giản:

Để không phải tính toán liên tục các đạo hàm của các hàm cơ bản, thuận tiện khi đưa chúng vào một bảng và sử dụng các giá trị được tạo sẵn.

Toàn bộ bảng tích phân cho học sinh

Tích phân xác định

Khi đề cập đến khái niệm tích phân, chúng ta đang đề cập đến các đại lượng thập phân. Tích phân sẽ giúp tính toán diện tích của hình, khối lượng của một vật thể không đồng nhất, đường đi trong quá trình chuyển động không đều và nhiều hơn nữa. Cần nhớ rằng tích phân là tổng của một số lớn vô hạn các số hạng nhỏ vô hạn.

Ví dụ, hãy tưởng tượng một đồ thị của một số hàm số. Làm thế nào để tìm diện tích của một hình giới hạn bởi đồ thị của một hàm số?

Với sự giúp đỡ của một tích phân! Hãy chia hình thang cong, giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số, thành các đoạn nhỏ. Như vậy, hình vẽ sẽ được chia thành các cột mỏng. Tổng diện tích của các cột sẽ là diện tích của hình thang. Nhưng hãy nhớ rằng cách tính như vậy sẽ cho kết quả gần đúng. Tuy nhiên, các phân đoạn càng nhỏ và hẹp thì việc tính toán sẽ càng chính xác. Nếu chúng ta giảm chúng đến mức độ dài có xu hướng bằng không, thì tổng diện tích của các đoạn sẽ có xu hướng bằng diện tích của hình. Đây là tích phân xác định, được viết như sau:

Các điểm a và b được gọi là giới hạn của tích phân.

Bari Alibasov và nhóm "Integral"

Nhân tiện! Đối với độc giả của chúng tôi, hiện đã giảm giá 10% cho

Quy tắc tính tích phân cho hình nộm

Tính chất của tích phân bất định

Làm thế nào để giải quyết tích phân bất định? Ở đây chúng ta sẽ xem xét các tính chất của tích phân bất định, điều này sẽ hữu ích trong việc giải các ví dụ.

• Đạo hàm của tích phân bằng tích phân:

• Hằng số có thể được lấy ra từ dưới dấu tích phân:

• Tích phân của tổng bằng tổng của các tích phân. Cũng đúng cho sự khác biệt:

Các thuộc tính của Tích phân xác định

• Tuyến tính:

• Dấu hiệu của tích phân thay đổi nếu các giới hạn của tích phân bị đảo ngược:

• Tại không tí nàođiểm một, b và Với:

Chúng ta đã phát hiện ra rằng tích phân xác định là giới hạn của tổng. Nhưng làm thế nào để nhận được một giá trị cụ thể khi giải quyết một ví dụ? Đối với điều này, có công thức Newton-Leibniz:

Ví dụ về giải tích phân

Dưới đây chúng ta xem xét một số ví dụ về việc tìm tích phân không xác định. Chúng tôi đề nghị bạn hiểu một cách độc lập về sự phức tạp của giải pháp và nếu có điều gì không rõ ràng, hãy đặt câu hỏi trong phần nhận xét.

Để củng cố tài liệu, hãy xem video về cách giải tích phân trong thực tế. Đừng thất vọng nếu tích phân không được đưa ra ngay lập tức. Chuyển sang dịch vụ sinh viên chuyên nghiệp, và bất kỳ tích phân ba hoặc đường cong nào trên một bề mặt đóng sẽ nằm trong khả năng của bạn.

Bài học này là bài đầu tiên trong loạt video về tích hợp. Trong đó, chúng ta sẽ phân tích đạo hàm của một hàm số là gì, đồng thời cũng nghiên cứu các phương pháp cơ bản để tính các đạo hàm rất chính xác này.

Trên thực tế, không có gì phức tạp ở đây: về bản chất, mọi thứ đều đi xuống khái niệm đạo hàm, mà bạn đã nên quen thuộc. :)

Tôi lưu ý ngay rằng vì đây là bài học đầu tiên trong chủ đề mới của chúng ta nên hôm nay sẽ không có các phép tính và công thức phức tạp, nhưng những gì chúng ta sẽ học hôm nay sẽ tạo cơ sở cho các phép tính và cấu trúc phức tạp hơn nhiều khi tính các tích phân và diện tích phức tạp. .

Ngoài ra, khi bắt đầu nghiên cứu về tích phân và tích phân nói riêng, chúng ta mặc nhiên cho rằng học sinh ít nhất đã nắm rõ các khái niệm về đạo hàm và có ít nhất các kỹ năng cơ bản trong việc tính toán chúng. Nếu không hiểu rõ về điều này thì hoàn toàn không có gì để làm trong hội nhập.

Tuy nhiên, đây là một trong những vấn đề thường xuyên và ngấm ngầm nhất. Thực tế là, khi bắt đầu tính đạo hàm đầu tiên, nhiều học sinh nhầm lẫn chúng với đạo hàm. Kết quả là, những sai lầm ngu ngốc và xúc phạm được thực hiện trong các kỳ thi và công việc độc lập.

Vì vậy, bây giờ tôi sẽ không đưa ra một định nghĩa rõ ràng về chất chống chất diệt khuẩn. Và đổi lại, tôi đề nghị bạn xem xét cách nó được xem xét trên một ví dụ cụ thể đơn giản.

Nguyên thủy là gì và nó được coi như thế nào

Chúng tôi biết công thức này:

\ [((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

Đạo hàm này được coi là cơ bản:

\ [(f) "\ left (x \ right) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 ((x) ^ (2)) \ ]

Hãy xem xét kỹ biểu thức kết quả và biểu thị $ ((x) ^ (2)) $:

\ [((x) ^ (2)) = \ frac (((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime))) (3) \]

Nhưng chúng ta cũng có thể viết nó theo cách này, theo định nghĩa của đạo hàm:

\ [((x) ^ (2)) = ((\ left (\ frac (((x) ^ (3))) (3) \ right)) ^ (\ prime)) \]

Và bây giờ hãy chú ý: những gì chúng tôi vừa viết ra là định nghĩa của chất chống vi khuẩn. Nhưng để viết nó một cách chính xác, bạn cần phải viết như sau:

Hãy viết biểu thức sau theo cách tương tự:

Nếu chúng ta tổng quát hóa quy tắc này, chúng ta có thể suy ra công thức sau:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

Bây giờ chúng ta có thể hình thành một định nghĩa rõ ràng.

Đạo hàm của một hàm số là một hàm số có đạo hàm bằng nguyên hàm.

Câu hỏi về chức năng chống chất diệt khuẩn

Có vẻ như đó là một định nghĩa khá đơn giản và dễ hiểu. Tuy nhiên, khi nghe nó, học sinh chăm chú sẽ ngay lập tức có một số câu hỏi:

1. Hãy nói rằng, công thức này đúng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, khi $ n = 1 $, chúng ta gặp vấn đề: “không” xuất hiện ở mẫu số và không thể chia cho “không”.
2. Công thức chỉ giới hạn cho quyền hạn. Cách tính đạo hàm, ví dụ, sin, cosine và bất kỳ lượng giác nào khác, cũng như các hằng số.
3. Một câu hỏi tồn tại: có phải lúc nào cũng có thể tìm thấy chất chống chất diệt khuẩn không? Nếu vậy, điều gì về tổng, sự khác biệt, sản phẩm, v.v. chống đạo hàm?

Tôi sẽ trả lời câu hỏi cuối cùng ngay sau đây. Thật không may, không giống như dẫn xuất, không phải lúc nào cũng được xem xét. Không có công thức chung nào như vậy, theo đó, từ bất kỳ cấu trúc ban đầu nào, chúng ta sẽ thu được một hàm sẽ bằng với cấu trúc tương tự này. Đối với lũy thừa và hằng số, chúng ta sẽ nói về điều đó ngay bây giờ.

Giải quyết vấn đề với các chức năng nguồn

\ [((x) ^ (- 1)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1 + 1))) (- 1 + 1) = \ frac (1) (0) \]

Như bạn thấy, công thức này cho $ ((x) ^ (- 1)) $ không hoạt động. Câu hỏi đặt ra: những gì sau đó hoạt động? Chúng ta không thể đếm $ ((x) ^ (- 1)) $? Tất nhiên là chúng ta có thể. Hãy bắt đầu với điều này:

\ [((x) ^ (- 1)) = \ frac (1) (x) \]

Bây giờ chúng ta hãy nghĩ: đạo hàm của hàm nào bằng $ \ frac (1) (x) $. Rõ ràng, bất kỳ học sinh nào đã tham gia ít nhất một chút vào chủ đề này sẽ nhớ rằng biểu thức này bằng đạo hàm của lôgarit tự nhiên:

\ [((\ left (\ ln x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (x) \]

Do đó, chúng tôi có thể tự tin viết như sau:

\ [\ frac (1) (x) = ((x) ^ (- 1)) \ to \ ln x \]

Công thức này cần được biết, giống như đạo hàm của một hàm lũy thừa.

Vì vậy, những gì chúng ta biết cho đến nay:

• Đối với hàm lũy thừa - $ ((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) $
• Đối với một hằng số - $ = const \ to \ cdot x $
• Một trường hợp đặc biệt của hàm lũy thừa - $ \ frac (1) (x) \ to \ ln x $

Và nếu chúng ta bắt đầu nhân và chia các hàm đơn giản nhất, thì làm thế nào để tính đạo hàm của một tích hoặc một thương số. Thật không may, các phép loại suy với dẫn xuất của một sản phẩm hoặc một thương số không hoạt động ở đây. Không có công thức tiêu chuẩn. Đối với một số trường hợp, có những công thức đặc biệt phức tạp - chúng ta sẽ tìm hiểu chúng trong các video hướng dẫn trong tương lai.

Tuy nhiên, hãy nhớ rằng: không có công thức tổng quát nào giống với công thức tính đạo hàm của thương và tích.

Giải quyết các vấn đề thực tế

Nhiệm vụ 1

Hãy tính toán từng hàm lũy thừa một cách riêng biệt:

\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]

Quay trở lại biểu thức của chúng tôi, chúng tôi viết cấu trúc chung:

Nhiệm vụ 2

Như tôi đã nói, các tác phẩm nguyên thủy và "trống qua" tư nhân không được xem xét. Tuy nhiên, ở đây bạn có thể làm như sau:

Chúng ta đã chia phân số thành tổng của hai phân số.

Hãy tính toán:

Tin tốt là một khi bạn biết các công thức tính toán các chất chống dẫn xuất, bạn đã có thể tính toán các cấu trúc phức tạp hơn. Tuy nhiên, chúng ta hãy tiếp tục và mở rộng kiến ​​thức của mình nhiều hơn một chút. Thực tế là nhiều cấu trúc và biểu thức thoạt nhìn không liên quan gì đến $ ((x) ^ (n)) $, có thể được biểu diễn dưới dạng một bậc với số mũ hữu tỉ, cụ thể là:

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \]

\ [\ sqrt [n] (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (n))) \]

\ [\ frac (1) (((x) ^ (n))) = ((x) ^ (- n)) \]

Tất cả các kỹ thuật này có thể và nên được kết hợp với nhau. Biểu thức quyền lực có thể

• nhân (các lũy thừa được thêm vào);
• chia (độ được trừ);
• nhân với một hằng số;
• vân vân.

Giải các biểu thức có bậc với số mũ hữu tỉ

Ví dụ 1

Hãy đếm riêng từng gốc:

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (2) +1))) (\ frac (1) (2) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (\ frac (3) (2)) = \ frac (2 \ cdot (( x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (4)))) (\ frac ( 1) (4) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (\ frac (5) (4)) = \ frac (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]

Tổng cộng, toàn bộ công trình xây dựng của chúng tôi có thể được viết như sau:

Ví dụ số 2

\ [\ frac (1) (\ sqrt (x)) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (- 1)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac ( 1) (2))) \ phải)) ^ (- 1)) = ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) \]

Do đó, chúng ta sẽ nhận được:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (3))) = ((x) ^ (- 3)) \ to \ frac (((x) ^ (- 3 + 1))) (- 3 +1) = \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) = - \ frac (1) (2 ((x) ^ (2))) \]

Tổng cộng, thu thập mọi thứ trong một biểu thức, chúng ta có thể viết:

Ví dụ # 3

Trước tiên, hãy lưu ý rằng chúng tôi đã tính toán $ \ sqrt (x) $:

\ [\ sqrt (x) \ to \ frac (4 ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]

\ [((x) ^ (\ frac (3) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2) +1))) (\ frac (3) (2 ) +1) = \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (2)))) (5) \]

Hãy viết lại:

Tôi hy vọng tôi sẽ không làm bất kỳ ai ngạc nhiên nếu tôi nói rằng những gì chúng ta vừa nghiên cứu chỉ là những phép tính đơn giản nhất về các đạo hàm, những cấu tạo sơ đẳng nhất. Bây giờ chúng ta hãy xem xét các ví dụ phức tạp hơn một chút, trong đó, ngoài các hàm phản dạng bảng, bạn vẫn cần nhớ chương trình học ở trường, cụ thể là các công thức nhân viết tắt.

Giải quyết các ví dụ phức tạp hơn

Nhiệm vụ 1

Nhắc lại công thức bình phương của hiệu số:

\ [((\ left (a-b \ right)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ (2)) \]

Hãy viết lại hàm của chúng ta:

Bây giờ chúng ta phải tìm ra hàm antideriuctor của một hàm như vậy:

\ [((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (3)))) (5) \]

\ [((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (4) (3)))) (4) \]

Chúng tôi thu thập mọi thứ trong một thiết kế chung:

Nhiệm vụ 2

Trong trường hợp này, chúng ta cần mở khối lập phương khác biệt. Xin hãy nhớ:

\ [((\ left (a-b \ right)) ^ (3)) = ((a) ^ (3)) - 3 ((a) ^ (2)) \ cdot b + 3a \ cdot ((b) ^ (2)) - ((b) ^ (3)) \]

Với thực tế này, nó có thể được viết như sau:

Hãy sửa đổi chức năng của chúng tôi một chút:

Chúng tôi xem xét, như mọi khi, cho từng thuật ngữ riêng biệt:

\ [((x) ^ (- 3)) \ to \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) \]

\ [((x) ^ (- 2)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1))) (- 1) \]

\ [((x) ^ (- 1)) \ to \ ln x \]

Hãy viết cấu trúc kết quả:

Nhiệm vụ số 3

Trên đầu chúng ta có bình phương của tổng, hãy mở nó:

\ [\ frac (((\ left (x + \ sqrt (x) \ right)) ^ (2))) (x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x \ cdot \ sqrt (x ) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (2))) (x) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2))) (x) + \ frac (2x \ sqrt (x)) (x) + \ frac (x) (x) = x + 2 ((x) ^ (\ frac (1) (2))) + 1 \]

\ [((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]

Hãy viết giải pháp cuối cùng:

Và bây giờ chú ý! Một điều rất quan trọng, gắn liền với sự chia sẻ lỗi và hiểu lầm của sĩ tử. Thực tế là cho đến nay, khi đếm các đạo hàm với sự trợ giúp của các đạo hàm, đưa ra các phép biến đổi, chúng tôi không nghĩ đến đạo hàm của một hằng số bằng bao nhiêu. Nhưng đạo hàm của một hằng số bằng "không". Và điều này có nghĩa là bạn có thể viết các tùy chọn sau:

1. $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) $
2. $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) + 1 $
3. $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) + C $

Điều này rất quan trọng cần hiểu: nếu đạo hàm của một hàm số luôn bằng nhau, thì hàm số tương tự có vô số đạo hàm. Chỉ là chúng ta có thể thêm bất kỳ số không đổi nào vào số nguyên thủy của mình và lấy số mới.

Không phải ngẫu nhiên mà trong phần giải thích các nhiệm vụ mà chúng ta vừa giải lại có ghi “Hãy viết các dạng tổng quát của các chất phản dẫn”. Những thứ kia. người ta đã giả định trước rằng không có một, mà là toàn bộ vô số chúng. Tuy nhiên, trên thực tế, chúng chỉ khác nhau ở điểm không đổi $ C $ ở cuối. Vì vậy, trong nhiệm vụ của mình, chúng tôi sẽ sửa chữa những gì chúng tôi chưa hoàn thành.

Một lần nữa, chúng tôi viết lại các công trình xây dựng của chúng tôi:

Trong những trường hợp như vậy, người ta nên thêm rằng $ C $ là một hằng số - $ C = const $.

Trong chức năng thứ hai của chúng tôi, chúng tôi nhận được cấu trúc sau:

Và điều cuối cùng:

Và bây giờ chúng tôi thực sự có được những gì được yêu cầu đối với chúng tôi trong điều kiện ban đầu của vấn đề.

Giải các bài toán về việc tìm các chất chống dẫn xuất với một điểm cho trước

Bây giờ chúng ta đã biết về hằng số và về đặc thù của việc viết các đạo hàm, loại vấn đề sau đây khá logic nảy sinh, khi từ tập hợp tất cả các đạo hàm, cần phải tìm một và chỉ một dẫn xuất đi qua một điểm nhất định. Nhiệm vụ này là gì?

Thực tế là tất cả các đạo hàm của một hàm đã cho chỉ khác nhau ở chỗ chúng được dịch chuyển theo phương thẳng đứng của một số nào đó. Và điều này có nghĩa là bất kể chúng ta lấy điểm nào trên mặt phẳng tọa độ, chắc chắn một đạo hàm sẽ đi qua, và hơn nữa, chỉ một.

Vì vậy, các công việc mà chúng ta sẽ giải quyết bây giờ được xây dựng như sau: không dễ dàng để tìm ra đạo hàm, biết công thức của nguyên hàm, nhưng để chọn chính xác một trong số chúng đi qua một điểm cho trước, tọa độ của nó sẽ được đưa ra trong điều kiện của vấn đề.

Ví dụ 1

Đầu tiên, chúng ta hãy tính toán từng số hạng:

\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((x) ^ (3)) \ to \ frac (((x) ^ (4))) (4) \]

Bây giờ chúng tôi thay thế các biểu thức này vào cấu trúc của chúng tôi:

Hàm này phải đi qua điểm $ M \ left (-1; 4 \ right) $. Nó có nghĩa là gì khi nó đi qua một điểm? Điều này có nghĩa là nếu thay vì $ x $, chúng ta đặt $ -1 $ ở mọi nơi và thay vì $ F \ left (x \ right) $ - $ -4 $, thì chúng ta sẽ nhận được bằng số chính xác. Làm thôi nào:

Chúng tôi thấy rằng chúng tôi có một phương trình cho $ C $, vì vậy hãy thử giải nó:

Hãy viết ra giải pháp mà chúng tôi đang tìm kiếm:

Ví dụ số 2

Trước hết, cần phải tiết lộ bình phương của sự khác biệt bằng cách sử dụng công thức nhân viết tắt:

\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]

Cấu trúc ban đầu sẽ được viết như sau:

Bây giờ, hãy tìm $ C $: thay thế tọa độ của điểm $ M $:

\ [- 1 = \ frac (8) (3) -12 + 18 + C \]

Chúng tôi thể hiện $ C $:

Nó vẫn để hiển thị biểu thức cuối cùng:

Giải các bài toán lượng giác

Như một hợp âm cuối cùng cho những gì chúng ta vừa phân tích, tôi đề xuất xem xét hai vấn đề phức tạp hơn có chứa lượng giác. Trong chúng, theo cách tương tự, sẽ cần tìm các đạo hàm cho tất cả các hàm, sau đó chọn từ tập hợp này hàm duy nhất đi qua điểm $ M $ trên mặt phẳng tọa độ.

Trong tương lai, tôi muốn lưu ý rằng kỹ thuật mà bây giờ chúng ta sẽ sử dụng để tìm các đạo hàm của hàm lượng giác, trên thực tế, là một kỹ thuật phổ quát để tự kiểm tra.

Nhiệm vụ 1

Hãy nhớ công thức sau:

\ [((\ left (\ text (tg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \]

Dựa trên điều này, chúng tôi có thể viết:

Hãy thay tọa độ của điểm $ M $ vào biểu thức của chúng ta:

\ [- 1 = \ text (tg) \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) (\ text (4)) + C \]

Hãy viết lại biểu thức với thực tế này trong tâm trí:

Nhiệm vụ 2

Ở đây nó sẽ khó khăn hơn một chút. Bây giờ bạn sẽ thấy tại sao.

Hãy nhớ công thức này:

\ [((\ left (\ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = - \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]

Để loại bỏ "dấu trừ", bạn phải làm như sau:

\ [((\ left (- \ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]

Đây là thiết kế của chúng tôi

Thay thế tọa độ của điểm $ M $:

Hãy viết ra bản dựng cuối cùng:

Đó là tất cả những gì tôi muốn nói với bạn ngày hôm nay. Chúng tôi đã nghiên cứu thuật ngữ đạo hàm, cách đếm chúng từ các hàm cơ bản và cũng như cách tìm một đạo hàm đi qua một điểm cụ thể trên mặt phẳng tọa độ.

Tôi hy vọng bài học này sẽ giúp bạn ít nhất một chút để hiểu chủ đề phức tạp này. Trong mọi trường hợp, trên các đạo hàm người ta xây dựng các tích phân bất định và bất định, vì vậy nhất thiết phải xét chúng. Đối với tôi đó là tất cả. Hẹn sớm gặp lại!

Sự định nghĩa. Hàm F (x) được gọi là phản đạo hàm đối với hàm f (x) trên một khoảng đã cho, nếu với bất kỳ x nào trong khoảng đã cho F "(x) \ u003d f (x).

Thuộc tính chính của nguyên thủy.

Nếu F (x) là đạo hàm của hàm f (x), thì hàm F (x) + C, trong đó C là hằng số tùy ý, cũng là đạo hàm của hàm f (x) (tức là, tất cả các đạo hàm của f (x) được viết dưới dạng F (x) + C).

Giải thích hình học.

Đồ thị của tất cả các đạo hàm của một hàm số f (x) đã cho nhận được từ đồ thị của bất kỳ một đạo hàm nào bằng các phép dời hình song song dọc theo trục Oy.

Bảng nguyên hàm.

Các quy tắc tìm kiếm chất diệt khuẩn .

Gọi F (x) và G (x) lần lượt là các đạo hàm của hàm số f (x) và g (x). Sau đó:

1.F ( x) ± G ( x) là chất chống nhiễm trùng cho f(x) ± g(x);

2. một F ( x) là chất chống nhiễm trùng cho mộtf(x);

3. - chất chống diệt khuẩn cho mộtf(kx +b).

Các nhiệm vụ và bài kiểm tra về chủ đề "Ngược dòng"

• chất chống nhiễm độc

  Bài học: 1 Bài tập: 11 Kiểm tra: 1

• Chất dẫn xuất và chất chống dẫn xuất - Chuẩn bị cho kỳ thi môn toán

  Việc làm: 3

• Tích phân - Đạo hàm và tích phân lớp 11

  Bài: 4 Bài tập: 13 Kiểm tra: 1

• Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân - Đạo hàm và tích phân lớp 11

  Bài học: 1 Bài tập: 10 Câu đố: 1

Sau khi nghiên cứu chủ đề này, bạn nên biết những gì được gọi là một chất chống dẫn xuất, tính chất chính của nó, giải thích hình học, các quy tắc để tìm kiếm các chất chống dẫn xuất; có thể tìm thấy tất cả các đạo hàm của các hàm bằng cách sử dụng bảng và các quy tắc để tìm các đạo hàm, cũng như một phản đạo hàm đi qua một điểm nhất định. Xem xét giải quyết các vấn đề về chủ đề này bằng cách sử dụng các ví dụ. Chú ý đến thiết kế của các quyết định.

Các ví dụ.

1. Tìm xem hàm F ( x) = X 3 – 3X+ 1 chất khử trùng cho hàm f(x) = 3(X 2 – 1).

Dung dịch: F "( x) = (X 3 – 3X+ 1) ′ = 3 X 2 – 3 = 3(X 2 – 1) = f(x), I E. F "( x) = f(x), do đó, F (x) là một đạo hàm của hàm f (x).

2. Tìm tất cả các nguyên hàm f (x):

một) f(x) = X 4 + 3X 2 + 5

Dung dịch: Sử dụng bảng và các quy tắc để tìm dẫn xuất, chúng ta nhận được:

Câu trả lời:

b) f(x) = sin (3 x – 2)

Dung dịch:

Chúng ta đã thấy rằng đạo hàm có rất nhiều ứng dụng: đạo hàm là tốc độ của chuyển động (hay nói chung là tốc độ của bất kỳ quá trình nào); đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số; bằng cách sử dụng đạo hàm, bạn có thể khảo sát hàm cho tính đơn điệu và cực trị; Đạo hàm giúp giải các bài toán tối ưu hóa.

Nhưng trong cuộc sống thực, người ta cũng phải giải các bài toán nghịch đảo: chẳng hạn, cùng với bài toán tìm tốc độ từ một định luật chuyển động đã biết, còn có bài toán khôi phục định luật chuyển động từ một tốc độ đã biết. Chúng ta hãy xem xét một trong những vấn đề này.

ví dụ 1 Một chất điểm chuyển động dọc theo một đường thẳng, tốc độ chuyển động của nó tại thời điểm t được cho bởi công thức u = tg. Tìm quy luật chuyển động.

Dung dịch. Gọi s = s (t) là luật chuyển động mong muốn. Biết rằng s "(t) = u" (t). Vì vậy, để giải quyết vấn đề, chúng ta cần chọn hàm số s = s (t), có đạo hàm bằng tg. Thật dễ dàng để đoán rằng

Chúng tôi lưu ý ngay rằng ví dụ được giải một cách chính xác, nhưng không đầy đủ. Chúng tôi đã đạt được điều đó Trên thực tế, bài toán có vô số lời giải: bất kỳ hàm nào có dạng hằng số tùy ý, có thể dùng như một định luật chuyển động, bởi vì

Để làm cho nhiệm vụ cụ thể hơn, chúng tôi phải giải quyết tình huống ban đầu: chỉ ra tọa độ của điểm chuyển động tại một thời điểm nào đó, ví dụ, tại t = 0. Giả sử, nếu s (0) \ u003d s 0, thì từ đẳng thức, chúng ta thu được s (0) \ u003d 0 + C, tức là S 0 \ u003d C. Bây giờ luật chuyển động được định nghĩa duy nhất:
Trong toán học, các phép toán nghịch đảo lẫn nhau được đặt các tên khác nhau, các ký hiệu đặc biệt được phát minh: ví dụ: bình phương (x 2) và trích xuất sin căn bậc hai (sinx) và arcsine(arcsin x), v.v. Quá trình tìm đạo hàm đối với một hàm đã cho được gọi là phân biệt, và phép toán nghịch đảo, tức là quá trình tìm kiếm một hàm theo đạo hàm cho trước - bằng tích phân.
Bản thân thuật ngữ "đạo hàm" có thể được biện minh "theo cách thế gian": hàm y - f (x) "tạo ra" một hàm mới y "= f" (x) Hàm y \ u003d f (x) hoạt động như thể là "cha mẹ", nhưng các nhà toán học, tất nhiên, không gọi nó là "cha mẹ" hoặc "nhà sản xuất", họ nói rằng nó là, liên quan đến hàm y "= f" (x), hình ảnh chính, hoặc , nói ngắn gọn là chất chống nhiễm độc.

Định nghĩa 1. Hàm y \ u003d F (x) được gọi là hàm ngược đối với hàm y \ u003d f (x) trên một khoảng X cho trước, nếu với mọi x từ X thì đẳng thức F "(x) \ u003d f (x) là đúng .

Trong thực tế, khoảng X thường không được xác định, nhưng được ngụ ý (như miền tự nhiên của hàm).

Dưới đây là một số ví dụ:

1) Hàm y \ u003d x 2 là một hàm ngược đối với hàm y \ u003d 2x, vì với mọi x thì đẳng thức (x 2) "\ u003d 2x là đúng.
2) hàm số y - x 3 là đạo hàm của hàm số y-3x 2, vì với mọi x thì đẳng thức (x 3) "\ u003d 3x 2 là đúng.
3) Hàm y-sinx là một đạo hàm đối với hàm y = cosx, vì với mọi x thì đẳng thức (sinx) "= cosx là đúng.
4) Hàm là phản đạo hàm đối với hàm trên khoảng vì với mọi x> 0 thì đẳng thức là đúng
Nhìn chung, biết các công thức tìm đạo hàm thì việc lập bảng công thức tìm đạo hàm không khó.

Chúng tôi hy vọng bạn hiểu bảng này được biên soạn như thế nào: đạo hàm của hàm được viết ở cột thứ hai bằng của hàm được viết ở dòng tương ứng của cột đầu tiên (hãy kiểm tra nó, đừng lười biếng, nó rất hữu dụng). Ví dụ: đối với hàm y \ u003d x 5, hàm phản, như bạn thiết lập, là hàm (xem hàng thứ tư của bảng).

Ghi chú: 1. Dưới đây ta chứng minh định lý rằng nếu y = F (x) là một đạo hàm của hàm số y = f (x) thì hàm số y = f (x) có vô số đạo hàm và chúng đều có dạng y = F (x) + C. Do đó, sẽ đúng hơn nếu thêm số hạng C ở mọi nơi trong cột thứ hai của bảng, trong đó C là một số thực tùy ý.
2. Để ngắn gọn, đôi khi thay vì cụm từ "hàm số y = F (x) là đạo hàm của hàm số y = f (x)", họ lại nói F (x) là đạo hàm của f (x) ".

2. Quy tắc tìm chất khử

Khi tìm kiếm các dẫn xuất, cũng như khi tìm kiếm các dẫn xuất, không chỉ sử dụng các công thức (chúng được liệt kê trong bảng trên trang 196), mà còn sử dụng một số quy tắc. Chúng liên quan trực tiếp đến các quy tắc tương ứng cho các dẫn xuất tính toán.

Chúng ta biết rằng đạo hàm của một tổng bằng tổng của các đạo hàm. Quy tắc này tạo ra một quy tắc tương ứng để tìm các chất chống dẫn xuất.

Quy tắc 1Đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm.

Chúng tôi thu hút sự chú ý của bạn đến một số "độ nhẹ" của từ ngữ này. Trên thực tế, cần phải xây dựng một định lý: nếu các hàm y = f (x) và y = g (x) có các đạo hàm trên khoảng X tương ứng, y-F (x) và y-G (x), thì tổng của hàm số y = f (x) + g (x) có một đạo hàm trên khoảng X và đạo hàm này là hàm y = F (x) + G (x). Nhưng thông thường, khi xây dựng quy tắc (chứ không phải định lý), chỉ còn lại các từ khóa - điều này thuận tiện hơn cho việc áp dụng quy tắc trong thực tế.

Ví dụ 2 Tìm đạo hàm của hàm số y = 2x + cos x.

Dung dịch.Đạo hàm cho 2x là x "; hàm phản cho cosx là sin x. Do đó, hàm antideriuctor cho hàm y \ u003d 2x + cos x sẽ là hàm y \ u003d x 2 + sin x (và nói chung là bất kỳ hàm nào của dạng Y \ u003d x 1 + sinx + C).
Chúng ta biết rằng thừa số hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Quy tắc này tạo ra một quy tắc tương ứng để tìm các chất chống dẫn xuất.

Quy tắc 2 Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu hiệu kháng nguyên.

Ví dụ 3

Dung dịch. a) Đạo hàm của sin x là -cos x; do đó, đối với hàm y \ u003d 5 sin x, đạo hàm sẽ là hàm y \ u003d -5 cos x.

b) Đạo hàm của cos x là sin x; do đó, đối với hàm khử đạo hàm sẽ có một hàm
c) Hàm số đối của x 3 là hàm số đối của x là hàm số đối của hàm số y \ u003d 1 là hàm số y \ u003d x. Sử dụng các quy tắc thứ nhất và thứ hai để tìm đạo hàm, chúng ta nhận được rằng hàm đối của hàm y \ u003d 12x 3 + 8x-1 là hàm
Bình luận. Như bạn đã biết, đạo hàm của một tích không bằng tích của các dẫn xuất (quy tắc phân biệt một sản phẩm phức tạp hơn) và đạo hàm của một thương không bằng thương của đạo hàm. Do đó, không có quy tắc nào để tìm đạo hàm của sản phẩm hoặc đạo hàm của thương số của hai hàm. Hãy cẩn thận!
Chúng tôi có thêm một quy tắc để tìm các chất chống chất diệt khuẩn. Chúng ta biết rằng đạo hàm của hàm y \ u003d f (kx + m) được tính bằng công thức

Quy tắc này tạo ra một quy tắc tương ứng để tìm các chất chống dẫn xuất.
Quy tắc 3 Nếu y \ u003d F (x) là đạo hàm cho hàm y \ u003d f (x), thì hàm ngược cho hàm y \ u003d f (kx + m) là hàm

Thật,

Điều này có nghĩa rằng nó là một vi phân cho hàm y \ u003d f (kx + m).
Ý nghĩa của quy tắc thứ ba như sau. Nếu bạn biết rằng đạo hàm của hàm y \ u003d f (x) là hàm y \ u003d F (x) và bạn cần tìm đạo hàm của hàm y \ u003d f (kx + m), thì hãy tiếp tục như sau: lấy hàm F tương tự, nhưng thay đối số x, thay vào biểu thức xx + m; Ngoài ra, đừng quên viết "hệ số hiệu chỉnh" trước dấu hiệu của hàm
Ví dụ 4 Tìm các dẫn xuất cho các chức năng đã cho:

Dung dịch, a) Đạo hàm của sin x là -cos x; điều này có nghĩa là đối với hàm y \ u003d sin2x, đạo hàm sẽ là hàm
b) Đạo hàm của cos x là sin x; do đó, đối với hàm chống đạo hàm sẽ có một hàm

c) Đạo hàm đối với x 7 do đó, đối với hàm y \ u003d (4-5x) 7, đạo hàm sẽ là hàm

3. Tích phân bất định

Ở trên chúng ta đã lưu ý rằng bài toán tìm đạo hàm của một hàm số y = f (x) đã cho có nhiều hơn một nghiệm. Chúng ta hãy thảo luận vấn đề này chi tiết hơn.

Bằng chứng. 1. Gọi y \ u003d F (x) là đạo hàm của hàm số y \ u003d f (x) trên khoảng X. Điều này có nghĩa là với mọi x từ X thì đẳng thức x "(x) \ u003d f (x) là true. Tìm đạo hàm của bất kỳ hàm nào có dạng y \ u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \ u003d F "(x) + C \ u003d f (x) + 0 \ u003d f (x).

Vì vậy, (F (x) + C) = f (x). Điều này có nghĩa là y \ u003d F (x) + C là một đạo hàm đối với hàm y \ u003d f (x).
Do đó, chúng tôi đã chứng minh rằng nếu hàm y \ u003d f (x) có một đạo hàm y \ u003d F (x), thì hàm (f \ u003d f (x) có vô số đạo hàm, ví dụ, bất kỳ hàm nào của dạng y \ u003d F (x) + C là phản đạo hàm.
2. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng toàn bộ tập hợp các dẫn xuất đã cạn kiệt theo loại chức năng được chỉ định.

Gọi y = F 1 (x) và y = F (x) là hai đạo hàm đối với hàm số Y = f (x) trên khoảng X. Điều này có nghĩa là với mọi x thuộc khoảng X thì các quan hệ sau giữ nguyên: F ^ ( x) = f (X); F "(x) \ u003d f (x).

Xét hàm y \ u003d F 1 (x) -.F (x) và tìm đạo hàm của nó: (F, (x) -F (x)) "\ u003d F [(x) - F (x) \ u003d f (x) - f (x) = 0.
Biết rằng nếu đạo hàm của hàm số trên khoảng X đồng biến bằng 0 thì hàm số đó đồng biến trên khoảng X (xem Định lý 3 ở § 35). Do đó, F 1 (x) -F (x) \ u003d C, tức là Fx) \ u003d F (x) + C.

Định lý đã được chứng minh.

Ví dụ 5Định luật biến thiên của tốc độ theo thời gian v = -5sin2t. Tìm quy luật của chuyển động s = s (t) nếu biết rằng tại thời điểm t = 0, tọa độ của chất điểm bằng số 1,5 (tức là s (t) = 1,5).

Dung dịch. Vì tốc độ là đạo hàm của tọa độ như một hàm của thời gian, trước tiên chúng ta cần tìm đạo hàm của tốc độ, tức là. đạo hàm đối với hàm v = -5sin2t. Một trong những chất chống chất diệt khuẩn như vậy là chức năng, và tập hợp của tất cả chất chống chất diệt khuẩn có dạng:

Để tìm một giá trị cụ thể của hằng số C, chúng ta sử dụng các điều kiện ban đầu, theo đó, s (0) = 1,5. Thay vào công thức (1) các giá trị t = 0, S = 1,5, ta được:

Thay giá trị tìm được C vào công thức (1), chúng ta thu được quy luật chuyển động mà chúng ta quan tâm:

Định nghĩa 2. Nếu một hàm số y = f (x) có một đạo hàm y = F (x) trên khoảng X, thì tập hợp tất cả các đạo hàm, tức là Tập hợp các hàm có dạng y \ u003d F (x) + C, được gọi là tích phân bất định của hàm y \ u003d f (x) và được ký hiệu:

(họ đọc: "ef tích phân không xác định của x de x").
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu ý nghĩa ẩn của ký hiệu này là gì.
Dựa vào bảng tích phân có sẵn trong đoạn này, chúng ta sẽ lập bảng tích phân bất định cơ bản:

Dựa vào 3 quy tắc tìm đạo hàm trên, ta có thể lập quy tắc tích phân tương ứng.

Quy tắc 1 Tích phân của tổng các hàm bằng tổng các tích phân của các hàm này:

Quy tắc 2 Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu tích phân:

Quy tắc 3 Nếu một

Ví dụ 6 Tìm tích phân không xác định:

Dung dịch, a) Sử dụng các quy tắc tích hợp thứ nhất và thứ hai, chúng tôi thu được:

Bây giờ chúng ta sử dụng công thức tích hợp thứ 3 và thứ 4:

Kết quả là, chúng tôi nhận được:

b) Sử dụng quy tắc tích phân thứ ba và công thức 8, ta được:

c) Để xác định trực tiếp tích phân đã cho, ta không có công thức tương ứng và quy tắc tương ứng. Trong những trường hợp như vậy, các phép biến đổi ban đầu giống hệt nhau của biểu thức chứa dưới dấu tích phân đôi khi có ích.

Hãy sử dụng công thức lượng giác để giảm mức độ:

Sau đó, chúng tôi liên tiếp tìm thấy:

A.G. Mordkovich Đại số lớp 10

Lập kế hoạch theo chủ đề lịch trong toán học, video trong toán học trực tuyến, Toán học ở trường