Phương trình bậc hai - ví dụ với các giải pháp, tính năng và công thức. Quan điểm chung về phương trình bậc hai

Những lưu ý quan trọng!
1. Nếu thay vì công thức bạn thấy abracadabra, hãy xóa bộ nhớ cache. Cách thực hiện trong trình duyệt của bạn được viết ở đây:
2. Trước khi bạn bắt đầu đọc bài viết, hãy chú ý đến trình điều hướng của chúng tôi để có tài nguyên hữu ích nhất cho

Trong thuật ngữ "phương trình bậc hai" từ khóa là "bậc hai". Điều này có nghĩa là phương trình nhất thiết phải chứa một biến (cùng một X) trong ô vuông, đồng thời không được có X ở bậc ba (hoặc lớn hơn).

Nghiệm của nhiều phương trình được rút gọn thành nghiệm của phương trình bậc hai.

Hãy tìm hiểu để xác định rằng chúng ta có một phương trình bậc hai, chứ không phải một số khác.

ví dụ 1

Loại bỏ mẫu số và nhân mỗi số hạng của phương trình với

Hãy chuyển mọi thứ sang phía bên trái và sắp xếp các số hạng theo thứ tự lũy thừa giảm dần của x

Bây giờ chúng ta có thể tự tin nói rằng phương trình này là bậc hai!

Ví dụ 2

Nhân các cạnh bên trái và bên phải với:

Phương trình này, mặc dù ban đầu nó nằm trong nó, không phải là một hình vuông!

Ví dụ 3

Hãy nhân mọi thứ với:

Đáng sợ? Các bậc thứ tư và bậc hai ... Tuy nhiên, nếu chúng ta thay thế, chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta có một phương trình bậc hai đơn giản:

Ví dụ 4

Có vẻ như vậy, nhưng chúng ta hãy xem xét kỹ hơn. Hãy di chuyển mọi thứ sang phía bên trái:

Bạn thấy đấy, nó đã bị thu hẹp - và bây giờ nó là một phương trình tuyến tính đơn giản!

Bây giờ, hãy thử tự xác định xem phương trình nào sau đây là bậc hai và phương trình nào không:

Ví dụ:

Câu trả lời:

1. vuông;
2. vuông;
3. không vuông vắn;
4. không vuông vắn;
5. không vuông vắn;
6. vuông;
7. không vuông vắn;
8. vuông.

Các nhà toán học có điều kiện chia tất cả các phương trình bậc hai thành các loại sau:

• Hoàn thành phương trình bậc hai- các phương trình trong đó các hệ số và cũng như số hạng tự do c không bằng 0 (như trong ví dụ). Ngoài ra, trong số các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, có được cho là các phương trình trong đó hệ số (phương trình từ ví dụ một không chỉ hoàn chỉnh mà còn được rút gọn!)

• Phương trình bậc hai không đầy đủ- phương trình trong đó hệ số và số hạng tự do c bằng 0:

  Chúng không đầy đủ vì thiếu một số yếu tố trong chúng. Nhưng phương trình phải luôn chứa x bình phương !!! Nếu không, nó sẽ không còn là một phương trình bậc hai nữa mà là một phương trình khác.

Tại sao họ lại đưa ra cách phân chia như vậy? Có vẻ như có một X bình phương, và không sao. Sự phân chia như vậy là do các phương pháp giải. Chúng ta hãy xem xét từng chi tiết hơn.

Giải phương trình bậc hai không hoàn chỉnh

Đầu tiên, chúng ta hãy tập trung vào việc giải các phương trình bậc hai không hoàn chỉnh - chúng đơn giản hơn nhiều!

Phương trình bậc hai không đầy đủ thuộc loại:

1. , trong phương trình này hệ số bằng nhau.
2. , trong phương trình này, số hạng tự do bằng.
3. , trong phương trình này hệ số và số hạng tự do bằng nhau.

1. i. Vì chúng ta biết cách lấy căn bậc hai, hãy biểu diễn từ phương trình này

Biểu thức có thể là âm hoặc dương. Một số bình phương không thể là số âm, vì khi nhân hai số âm hoặc hai số dương, kết quả sẽ luôn là một số dương, do đó: nếu, thì phương trình không có nghiệm.

Và nếu, thì chúng ta nhận được hai gốc. Những công thức này không cần phải ghi nhớ. Điều chính là bạn phải luôn biết và nhớ rằng nó không thể ít hơn.

Hãy thử giải một số ví dụ.

Ví dụ 5:

Giải phương trình

Bây giờ nó vẫn còn để giải nén gốc từ các phần bên trái và bên phải. Rốt cuộc, bạn có nhớ cách nhổ rễ không?

Trả lời:

Đừng bao giờ quên về rễ với một dấu hiệu tiêu cực !!!

Ví dụ 6:

Giải phương trình

Trả lời:

Ví dụ 7:

Giải phương trình

Ầm ầm! Bình phương của một số không thể âm, có nghĩa là phương trình

không có rễ!

Đối với những phương trình không có nghiệm nguyên như vậy, các nhà toán học đã nghĩ ra một biểu tượng đặc biệt - (tập trống). Và câu trả lời có thể được viết như thế này:

Trả lời:

Như vậy, phương trình bậc hai này có hai nghiệm. Không có hạn chế nào ở đây, vì chúng tôi đã không giải nén gốc.
Ví dụ 8:

Giải phương trình

Hãy lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:

Vì vậy,

Phương trình này có hai nghiệm.

Trả lời:

Loại đơn giản nhất của phương trình bậc hai không đầy đủ (mặc dù chúng đều đơn giản, phải không?). Rõ ràng, phương trình này luôn chỉ có một nghiệm nguyên:

Ở đây chúng tôi sẽ làm mà không có ví dụ.

Giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh

Chúng tôi nhắc bạn rằng phương trình bậc hai hoàn chỉnh là một phương trình có dạng phương trình trong đó

Giải phương trình bậc hai đầy đủ phức tạp hơn một chút (chỉ một chút) so với những phương trình đã cho.

Nhớ lại, bất kỳ phương trình bậc hai nào có thể được giải bằng cách sử dụng phân biệt! Thậm chí không đầy đủ.

Phần còn lại của các phương pháp sẽ giúp bạn làm điều đó nhanh hơn, nhưng nếu bạn gặp vấn đề với phương trình bậc hai, trước tiên hãy nắm vững cách giải bằng cách sử dụng phân biệt.

1. Giải phương trình bậc hai bằng phép phân biệt.

Giải phương trình bậc hai theo cách này rất đơn giản, điều chính là bạn phải nhớ chuỗi các hành động và một vài công thức.

Nếu, thì phương trình có một căn, cần đặc biệt chú ý đến bước này. Phép phân biệt () cho chúng ta biết số nghiệm của phương trình.

• Nếu, thì công thức ở bước sẽ được giảm xuống. Do đó, phương trình sẽ chỉ có một nghiệm nguyên.
• Nếu, thì chúng tôi sẽ không thể trích xuất gốc của phân biệt ở bước. Điều này chỉ ra rằng phương trình không có nghiệm nguyên.

Hãy quay lại phương trình của chúng ta và xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ 9:

Giải phương trình

Bước 1 nhảy.

Bước 2

Tìm điểm phân biệt:

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Bước 3

Trả lời:

Ví dụ 10:

Giải phương trình

Phương trình ở dạng chuẩn, vì vậy Bước 1 nhảy.

Bước 2

Tìm điểm phân biệt:

Vậy phương trình có một căn.

Trả lời:

Ví dụ 11:

Giải phương trình

Phương trình ở dạng chuẩn, vì vậy Bước 1 nhảy.

Bước 2

Tìm điểm phân biệt:

Điều này có nghĩa là chúng tôi sẽ không thể trích xuất gốc từ phân biệt. Không có nghiệm nguyên của phương trình.

Bây giờ chúng ta biết làm thế nào để viết ra những câu trả lời như vậy một cách chính xác.

Trả lời: không có rễ

2. Giải phương trình bậc hai bằng định lý Vieta.

Nếu bạn nhớ, thì có một loại phương trình được gọi là rút gọn (khi hệ số a bằng):

Các phương trình như vậy rất dễ giải bằng cách sử dụng định lý Vieta:

Tổng của rễ được cho phương trình bậc hai là bằng nhau, và tích của các căn bằng nhau.

Ví dụ 12:

Giải phương trình

Phương trình này thích hợp để giải bằng cách sử dụng định lý Vieta, bởi vì .

Tổng các nghiệm của phương trình là, tức là chúng tôi nhận được phương trình đầu tiên:

Và sản phẩm là:

Hãy tạo và giải quyết hệ thống:

• và. Tổng là;
• và. Tổng là;
• và. Số lượng bằng nhau.

và là giải pháp của hệ thống:

Trả lời: ; .

Ví dụ 13:

Giải phương trình

Trả lời:

Ví dụ 14:

Giải phương trình

Phương trình được rút gọn, có nghĩa là:

Trả lời:

THIẾT BỊ QUADRATIC. CẤP ĐỘ TRUNG GIAN

Một phương trình bậc hai là gì?

Nói cách khác, phương trình bậc hai là một phương trình có dạng, trong đó - chưa biết, - một số số, hơn nữa.

Con số được gọi là cao nhất hoặc hệ số đầu tiên phương trình bậc hai, - hệ số thứ hai, một - thành viên miễn phí.

Tại sao? Bởi vì nếu, phương trình sẽ ngay lập tức trở thành tuyến tính, bởi vì sẽ biến mất.

Trong trường hợp này, và có thể bằng không. Trong phương trình phân này được gọi là không đầy đủ. Nếu tất cả các số hạng đều ở đúng vị trí, nghĩa là phương trình đã hoàn thành.

Các giải pháp cho các loại phương trình bậc hai

Các phương pháp giải phương trình bậc hai không hoàn toàn:

Để bắt đầu, chúng ta sẽ phân tích các phương pháp giải phương trình bậc hai không hoàn toàn - chúng đơn giản hơn.

Có thể phân biệt các loại phương trình sau:

I., trong phương trình này, hệ số và số hạng tự do bằng nhau.

II. , trong phương trình này hệ số bằng nhau.

III. , trong phương trình này, số hạng tự do bằng.

Bây giờ hãy xem xét giải pháp của mỗi kiểu phụ này.

Rõ ràng, phương trình này luôn chỉ có một nghiệm nguyên:

Một số bình phương không thể là số âm, bởi vì khi nhân hai số âm hoặc hai số dương, kết quả sẽ luôn là một số dương. Cho nên:

nếu thì phương trình vô nghiệm;

nếu chúng ta có hai gốc rễ

Những công thức này không cần phải ghi nhớ. Điều chính cần nhớ là nó không thể ít hơn.

Ví dụ:

Các giải pháp:

Trả lời:

Đừng bao giờ quên rễ với một dấu hiệu tiêu cực!

Bình phương của một số không thể âm, có nghĩa là phương trình

không có rễ.

Để viết ngắn gọn rằng vấn đề không có giải pháp, chúng tôi sử dụng biểu tượng tập hợp trống.

Trả lời:

Vì vậy, phương trình này có hai nghiệm: và.

Trả lời:

Hãy lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:

Tích bằng 0 nếu ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Điều này có nghĩa là phương trình có nghiệm khi:

Vì vậy, phương trình bậc hai này có hai nghiệm: và.

Ví dụ:

Giải phương trình.

Quyết định:

Chúng ta phân tích vế trái của phương trình và tìm nghiệm nguyên:

Trả lời:

Các phương pháp giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh:

1. Phân biệt đối xử

Giải phương trình bậc hai theo cách này rất dễ dàng, điều chính là bạn phải nhớ chuỗi các hành động và một vài công thức. Hãy nhớ rằng, bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng có thể được giải bằng cách sử dụng phân biệt! Thậm chí không đầy đủ.

Bạn có nhận thấy gốc của số phân biệt trong công thức gốc không? Nhưng yếu tố phân biệt có thể là tiêu cực. Để làm gì? Chúng ta cần đặc biệt chú ý đến bước 2. Phân thức cho chúng ta biết số nghiệm của phương trình.

• Nếu, thì phương trình có một căn:
• Nếu, thì phương trình có cùng một căn, nhưng trên thực tế, một căn:

  Những rễ như vậy được gọi là rễ kép.

• Nếu, thì gốc của phân biệt không được trích xuất. Điều này chỉ ra rằng phương trình không có nghiệm nguyên.

Tại sao có số lượng rễ khác nhau? Chúng ta hãy chuyển sang ý nghĩa hình học của phương trình bậc hai. Đồ thị của hàm số là một parabol:

Trong một trường hợp cụ thể, đó là một phương trình bậc hai,. Và điều này có nghĩa là nghiệm nguyên của phương trình bậc hai là giao điểm với trục (trục) x. Parabol có thể hoàn toàn không cắt qua trục, hoặc nó có thể cắt nó tại một (khi đỉnh của parabol nằm trên trục) hoặc hai điểm.

Ngoài ra, hệ số chịu trách nhiệm về hướng của các nhánh của parabol. Nếu, thì các nhánh của parabol hướng lên trên, và nếu - thì hướng xuống dưới.

Ví dụ:

Các giải pháp:

Trả lời:

Trả lời: .

Trả lời:

Điều này có nghĩa là không có giải pháp.

Trả lời: .

2. Định lý Vieta

Sử dụng định lý Vieta rất dễ dàng: bạn chỉ cần chọn một cặp số có tích bằng số hạng tự do của phương trình, và tổng bằng hệ số thứ hai, lấy với dấu đối diện.

Điều quan trọng cần nhớ là định lý Vieta chỉ có thể áp dụng cho phương trình bậc hai () đã cho.

Hãy xem một vài ví dụ:

Ví dụ 1:

Giải phương trình.

Quyết định:

Phương trình này thích hợp để giải bằng cách sử dụng định lý Vieta, bởi vì . Các hệ số khác :; .

Tổng các nghiệm của phương trình là:

Và sản phẩm là:

Hãy chọn các cặp số như vậy, tích của chúng bằng nhau và kiểm tra xem tổng của chúng có bằng nhau không:

• và. Tổng là;
• và. Tổng là;
• và. Số lượng bằng nhau.

và là giải pháp của hệ thống:

Do đó, và là gốc của phương trình của chúng tôi.

Trả lời: ; .

Ví dụ số 2:

Quyết định:

Chúng tôi chọn các cặp số như vậy cho trong tích, sau đó kiểm tra xem tổng của chúng có bằng nhau hay không:

và: tổng cộng.

và: tổng cộng. Để có được nó, bạn chỉ cần thay đổi các dấu hiệu của nguồn gốc bị cáo buộc: và sau cùng là sản phẩm.

Trả lời:

Ví dụ # 3:

Quyết định:

Số hạng tự do của phương trình là số âm, và do đó tích của nghiệm là một số âm. Điều này chỉ có thể thực hiện được nếu một trong các gốc là âm và gốc kia là dương. Vậy tổng của các gốc là sự khác biệt của các mô-đun của chúng.

Chúng tôi chọn các cặp số như vậy để đưa ra sản phẩm và sự khác biệt của chúng bằng:

và: sự khác biệt của chúng là - không phù hợp;

và: - không phù hợp;

và: - không phù hợp;

và: - phù hợp. Nó vẫn chỉ để nhớ rằng một trong những gốc là âm. Vì tổng của chúng phải bằng nhau nên căn nhỏ hơn có giá trị tuyệt đối phải là số âm:. Chung ta kiểm tra:

Trả lời:

Ví dụ # 4:

Giải phương trình.

Quyết định:

Phương trình được rút gọn, có nghĩa là:

Số hạng tự do là âm, và do đó tích của rễ là âm. Và điều này chỉ có thể xảy ra khi một nghiệm nguyên của phương trình là âm và nghiệm kia là dương.

Chúng tôi chọn những cặp số như vậy mà tích của chúng bằng nhau, sau đó xác định gốc nào sẽ có dấu âm:

Rõ ràng, chỉ có rễ và phù hợp với điều kiện đầu tiên:

Trả lời:

Ví dụ số 5:

Giải phương trình.

Quyết định:

Phương trình được rút gọn, có nghĩa là:

Tổng của các gốc là âm, có nghĩa là ít nhất một trong các gốc là âm. Nhưng vì sản phẩm của họ là tích cực, nó có nghĩa là cả hai gốc đều bị trừ.

Chúng tôi chọn các cặp số như vậy, tích của chúng bằng:

Rõ ràng, gốc rễ là những con số và.

Trả lời:

Đồng ý, nó rất thuận tiện - để phát minh ra rễ bằng miệng, thay vì đếm thứ phân biệt đối xử khó chịu này. Cố gắng sử dụng định lý Vieta thường xuyên nhất có thể.

Nhưng định lý Vieta là cần thiết để tạo điều kiện và tăng tốc độ tìm nghiệm. Để tạo ra lợi nhuận cho bạn khi sử dụng nó, bạn phải đưa các hành động trở thành chủ nghĩa tự động. Và đối với điều này, hãy giải quyết năm ví dụ khác. Nhưng đừng gian lận: bạn không thể sử dụng từ phân biệt! Chỉ định lý Vieta:

Giải pháp cho các nhiệm vụ cho công việc độc lập:

Nhiệm vụ 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Theo định lý Vieta:

Như thường lệ, chúng tôi bắt đầu lựa chọn với sản phẩm:

Không phù hợp vì số lượng;

: số lượng là những gì bạn cần.

Trả lời: ; .

Nhiệm vụ 2.

Và một lần nữa, định lý Vieta yêu thích của chúng tôi: tổng tính ra, nhưng tích bằng nhau.

Nhưng vì nó không nên, nhưng, chúng tôi thay đổi các dấu hiệu của các gốc: và (tổng thể).

Trả lời: ; .

Nhiệm vụ 3.

Hmm ... Nó ở đâu?

Cần chuyển tất cả các điều khoản thành một phần:

Tổng của các gốc bằng tích.

Vâng, dừng lại! Phương trình không cho trước. Nhưng định lý Vieta chỉ áp dụng được trong các phương trình đã cho. Vì vậy, trước tiên bạn cần đưa phương trình. Nếu bạn không thể nói ra, hãy bỏ ý tưởng này và giải quyết nó theo cách khác (ví dụ: thông qua người phân biệt đối xử). Hãy để tôi nhắc bạn rằng để đưa về một phương trình bậc hai có nghĩa là làm cho hệ số hàng đầu bằng:

Tốt. Khi đó tổng của các gốc bằng nhau, và tích.

Ở đây dễ lấy hơn: xét cho cùng - một số nguyên tố (xin lỗi vì tính nguyên tố).

Trả lời: ; .

Nhiệm vụ 4.

Thời hạn miễn phí là số âm. Nó có gì đặc biệt? Và thực tế là rễ sẽ có các dấu hiệu khác nhau. Và bây giờ, trong quá trình lựa chọn, chúng tôi không kiểm tra tổng của các gốc, mà là sự khác biệt giữa các mô-đun của chúng: sự khác biệt này là bằng nhau, nhưng là sản phẩm.

Vì vậy, các gốc bằng nhau và, nhưng một trong số chúng bằng một số trừ. Định lý Vieta cho chúng ta biết rằng tổng của các căn bằng hệ số thứ hai với dấu ngược lại, nghĩa là. Điều này có nghĩa là gốc nhỏ hơn sẽ có dấu trừ: và, kể từ.

Trả lời: ; .

Nhiệm vụ 5.

Điều gì cần phải được thực hiện đầu tiên? Đúng vậy, đưa ra phương trình:

Một lần nữa: chúng tôi chọn các yếu tố của số và sự khác biệt của chúng phải bằng:

Các rễ bằng nhau và, nhưng một trong số chúng là trừ. Cái mà? Tổng của chúng phải bằng nhau, có nghĩa là với một số trừ sẽ có một căn lớn hơn.

Trả lời: ; .

Hãy để tôi tóm tắt:

1. Định lý Vieta chỉ được sử dụng trong các phương trình bậc hai đã cho.
2. Sử dụng định lý Vieta, bạn có thể tìm các nghiệm nguyên bằng cách chọn, bằng miệng.
3. Nếu phương trình không được cho trước hoặc không tìm thấy cặp thừa số thích hợp của số hạng tự do, thì không có nghiệm nguyên và bạn cần giải nó theo cách khác (ví dụ: thông qua phép phân biệt).

3. Phương pháp chọn hình vuông đầy đủ

Nếu tất cả các số hạng chứa ẩn số được biểu diễn dưới dạng các số hạng từ công thức của phép nhân viết tắt - bình phương của tổng hoặc hiệu - thì sau khi thay đổi các biến, phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình bậc hai không đầy đủ của loại.

Ví dụ:

Ví dụ 1:

Giải phương trình:.

Quyết định:

Trả lời:

Ví dụ 2:

Giải phương trình:.

Quyết định:

Trả lời:

Nói chung, sự chuyển đổi sẽ trông như thế này:

Điều này nghĩa là: .

Nó không nhắc bạn về điều gì sao? Đó là sự phân biệt đối xử! Đó chính xác là cách thu được công thức phân biệt.

THIẾT BỊ QUADRATIC. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

Phương trình bậc hai là một phương trình có dạng, trong đó là ẩn số, là các hệ số của phương trình bậc hai, là số hạng tự do.

Hoàn thành phương trình bậc hai- một phương trình trong đó các hệ số không bằng không.

Phương trình bậc hai rút gọn- một phương trình trong đó hệ số, nghĩa là:.

Phương trình bậc hai không đầy đủ- một phương trình trong đó hệ số và số hạng tự do c bằng 0:

• nếu hệ số, phương trình có dạng:,
• nếu một số hạng tự do, phương trình có dạng:,
• nếu và, phương trình có dạng:.

1. Thuật toán giải phương trình bậc hai không hoàn toàn.

1.1. Một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng, trong đó:

1) Thể hiện điều chưa biết:,

2) Kiểm tra dấu của biểu thức:

• nếu, thì phương trình không có nghiệm,
• nếu, thì phương trình có hai nghiệm.

1.2. Một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng, trong đó:

1) Hãy lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:,

2) Tích bằng không nếu ít nhất một trong các thừa số bằng không. Do đó, phương trình có hai nghiệm:

1.3. Một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng, trong đó:

Phương trình này luôn chỉ có một nghiệm nguyên:.

2. Thuật toán giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh có dạng

2.1. Giải pháp sử dụng phân biệt

1) Hãy đưa phương trình về dạng chuẩn:,

2) Tính số phân biệt bằng công thức:, cho biết số nghiệm của phương trình:

3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

• nếu, thì phương trình có một căn, được tìm bằng công thức:
• nếu, thì phương trình có một căn, được tìm bằng công thức:
• nếu, thì phương trình không có nghiệm.

2.2. Lời giải sử dụng định lý Vieta

Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn (một phương trình có dạng, trong đó) bằng nhau và tích của các nghiệm bằng nhau, tức là , một.

2.3. Giải pháp đầy đủ hình vuông

Nếu một phương trình bậc hai ở dạng có nghiệm nguyên thì nó có thể được viết dưới dạng:.

Chà, chủ đề đã kết thúc. Nếu bạn đang đọc những dòng này, thì bạn đang rất tuyệt.

Bởi vì chỉ có 5% số người có thể tự mình làm chủ một việc gì đó. Và nếu bạn đã đọc đến cuối, thì bạn đang ở trong 5%!

Bây giờ điều quan trọng nhất.

Bạn đã tìm ra lý thuyết về chủ đề này. Và, tôi nhắc lại, nó ... nó chỉ là siêu! Bạn đã giỏi hơn đại đa số các đồng nghiệp của mình rồi.

Vấn đề là điều này có thể không đủ ...

Để làm gì?

Để vượt qua kỳ thi thành công, để được nhận vào học viện bằng ngân sách và QUAN TRỌNG NHẤT, cho cuộc sống.

Tôi sẽ không thuyết phục bạn về bất cứ điều gì, tôi sẽ chỉ nói một điều ...

Những người nhận được một nền giáo dục tốt kiếm được nhiều hơn những người không nhận được nó. Đây là số liệu thống kê.

Nhưng đây không phải là điều chính.

Cái chính là họ HẠNH PHÚC HƠN (có những nghiên cứu như vậy). Có lẽ vì nhiều cơ hội mở ra trước mắt và cuộc sống trở nên tươi sáng hơn chăng? Không biết ...

Nhưng hãy nghĩ cho bản thân ...

Cần gì để chắc chắn mình giỏi hơn những người khác trong kỳ thi và cuối cùng ... hạnh phúc hơn?

HÃY ĐIỀN TAY, GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ VỀ CHỦ ĐỀ NÀY.

Trong kỳ thi, bạn sẽ không được hỏi lý thuyết.

Bạn sẽ cần giải quyết vấn đề đúng hạn.

Và, nếu bạn chưa giải quyết được chúng (RẤT NHIỀU!), Bạn chắc chắn sẽ mắc một sai lầm ngớ ngẩn ở đâu đó hoặc đơn giản là bạn sẽ không mắc phải kịp thời.

Nó giống như trong thể thao - bạn cần lặp lại nhiều lần để giành chiến thắng chắc chắn.

Tìm bộ sưu tập ở bất cứ đâu bạn muốn nhất thiết phải có giải pháp, phân tích chi tiết và quyết định, quyết định, quyết định!

Bạn có thể sử dụng các nhiệm vụ của chúng tôi (không nhất thiết) và chúng tôi chắc chắn khuyên bạn nên sử dụng chúng.

Để được giúp đỡ trong các nhiệm vụ của chúng tôi, bạn cần giúp kéo dài tuổi thọ của sách giáo khoa YouClever mà bạn hiện đang đọc.

Thế nào? Có hai lựa chọn:

1. Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn trong bài viết này -
2. Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ ẩn trong tất cả 99 bài viết của hướng dẫn - Mua sách giáo khoa - 499 rúp

Có, chúng tôi có 99 bài báo như vậy trong sách giáo khoa và quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ và tất cả các văn bản ẩn trong đó có thể được mở ngay lập tức.

Quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn được cung cấp trong toàn bộ thời gian tồn tại của trang web.

Tóm lại là...

Nếu bạn không thích nhiệm vụ của chúng tôi, hãy tìm người khác. Chỉ cần không dừng lại với lý thuyết.

“Đã hiểu” và “Tôi biết cách giải quyết” là những kỹ năng hoàn toàn khác nhau. Bạn cần cả hai.

Tìm vấn đề và giải quyết!

Phương trình bậc hai được học ở lớp 8 nên không có gì phức tạp ở đây. Khả năng giải quyết chúng là điều cần thiết.

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c là các số tùy ý và a ≠ 0.

Trước khi nghiên cứu các phương pháp giải cụ thể, chúng ta lưu ý rằng tất cả các phương trình bậc hai có thể được chia thành ba loại:

1. Không có rễ;
2. Chúng có chính xác một gốc;
3. Chúng có hai gốc khác nhau.

Đây là sự khác biệt quan trọng giữa phương trình bậc hai và phương trình tuyến tính, trong đó căn luôn tồn tại và là duy nhất. Làm thế nào để xác định một phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên? Có một điều tuyệt vời cho điều này - phân biệt đối xử.

Phân biệt đối xử

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0. Khi đó phân thức đơn giản là dãy số D = b 2 - 4ac.

Công thức này phải thuộc lòng. Nó đến từ đâu bây giờ không còn quan trọng nữa. Một điều quan trọng nữa là: bằng dấu của phân thức, bạn có thể xác định một phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm nguyên. Cụ thể:

1. Nếu D< 0, корней нет;
2. Nếu D = 0 thì có đúng một căn;
3. Nếu D> 0, sẽ có hai gốc.

Xin lưu ý: dấu hiệu phân biệt cho biết số lượng rễ chứ không phải tất cả các dấu hiệu của chúng, như nhiều người vẫn nghĩ. Hãy xem các ví dụ và bạn sẽ tự hiểu mọi thứ:

Nhiệm vụ. Phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm nguyên:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Chúng tôi viết các hệ số cho phương trình đầu tiên và tìm phân biệt:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Vì vậy, phân biệt là số dương nên phương trình có hai nghiệm khác nhau. Chúng tôi phân tích phương trình thứ hai theo cách tương tự:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \ u003d 3 2 - 4 5 7 \ u003d 9 - 140 \ u003d -131.

Phân biệt là tiêu cực, không có gốc rễ. Phương trình cuối cùng vẫn là:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Số phân biệt bằng 0 - gốc sẽ là một.

Lưu ý rằng các hệ số đã được viết ra cho mỗi phương trình. Vâng, nó dài, vâng, nó tẻ nhạt - nhưng bạn sẽ không trộn lẫn các tỷ lệ cược và không mắc những sai lầm ngớ ngẩn. Chọn cho mình: tốc độ hoặc chất lượng.

Nhân tiện, nếu bạn “điền đầy tay”, sau một thời gian, bạn sẽ không cần phải viết ra tất cả các hệ số nữa. Bạn sẽ thực hiện các thao tác như vậy trong đầu. Hầu hết mọi người bắt đầu làm điều này ở đâu đó sau khi giải được 50-70 phương trình - nói chung, không quá nhiều.

Căn của một phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải pháp. Nếu số phân biệt D> 0, các gốc có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:

Công thức cơ bản cho nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Khi D = 0, bạn có thể sử dụng bất kỳ công thức nào trong số này - bạn sẽ nhận được cùng một số, đó sẽ là câu trả lời. Cuối cùng, nếu D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Phương trình đầu tiên:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm. Hãy tìm chúng:

Phương trình thứ hai:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ phương trình lại có hai nghiệm. Hãy tìm chúng

\ [\ begin (align) & (x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (căn chỉnh) \]

Cuối cùng, phương trình thứ ba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ phương trình có một nghiệm nguyên. Bất kỳ công thức nào cũng có thể được sử dụng. Ví dụ: cái đầu tiên:

Như bạn có thể thấy từ các ví dụ, mọi thứ rất đơn giản. Nếu bạn biết các công thức và có thể đếm, sẽ không có vấn đề gì. Thông thường, lỗi xảy ra khi các hệ số âm được thay thế vào công thức. Ở đây, một lần nữa, kỹ thuật được mô tả ở trên sẽ giúp ích: nhìn vào công thức theo nghĩa đen, vẽ từng bước - và loại bỏ những sai lầm rất sớm.

Phương trình bậc hai không đầy đủ

Điều xảy ra là phương trình bậc hai hơi khác với những gì được đưa ra trong định nghĩa. Ví dụ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

Dễ dàng nhận thấy rằng một trong các số hạng bị thiếu trong các phương trình này. Những phương trình bậc hai như vậy thậm chí còn dễ giải hơn những phương trình tiêu chuẩn: chúng thậm chí không cần tính số phân biệt. Vì vậy, hãy giới thiệu một khái niệm mới:

Phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là phương trình bậc hai không hoàn toàn nếu b = 0 hoặc c = 0, tức là hệ số của biến x hoặc phần tử tự do bằng không.

Tất nhiên, một trường hợp rất khó có thể xảy ra khi cả hai hệ số này đều bằng 0: b \ u003d c \ u003d 0. Trong trường hợp này, phương trình có dạng ax 2 \ u003d 0. Rõ ràng, một phương trình như vậy có một gốc: x \ u003d 0.

Chúng ta hãy xem xét các trường hợp khác. Đặt b \ u003d 0, sau đó chúng ta nhận được một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 + c \ u003d 0. Hãy biến đổi một chút:

Vì căn bậc hai số học chỉ tồn tại từ một số không âm nên hằng đẳng thức cuối cùng chỉ có nghĩa khi (−c / a) ≥ 0. Kết luận:

1. Nếu một phương trình bậc hai không hoàn toàn dạng ax 2 + c = 0 thỏa mãn bất phương trình (−c / a) ≥ 0 thì sẽ có hai nghiệm nguyên. Công thức được đưa ra ở trên;
2. Nếu (−c / a)< 0, корней нет.

Như bạn có thể thấy, số phân biệt là không cần thiết - không có phép tính phức tạp nào trong phương trình bậc hai không hoàn chỉnh. Trong thực tế, thậm chí không cần nhớ bất đẳng thức (−c / a) ≥ 0. Chỉ cần biểu diễn giá trị của x 2 và xem điều gì nằm ở phía bên kia của dấu bằng. Nếu có một số dương thì sẽ có hai gốc. Nếu tiêu cực, sẽ không có rễ gì cả.

Bây giờ chúng ta hãy xử lý các phương trình có dạng ax 2 + bx = 0, trong đó phần tử tự do bằng không. Mọi thứ đều đơn giản ở đây: sẽ luôn có hai gốc. Nó là đủ để phân tích thành nhân tử của đa thức:

Lấy thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc

Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng không. Đây là nơi bắt nguồn của gốc rễ. Cuối cùng, chúng tôi sẽ phân tích một số phương trình sau:

Nhiệm vụ. Giải phương trình bậc hai:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Không có rễ, bởi vì bình phương không thể bằng một số âm.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \ u003d -1,5.

Hướng dẫn

Có hai cách để tìm nghiệm nguyên của phương trình: thông qua phân thức (ký hiệu là chữ D) hoặc sử dụng định lý Vieta. Việc giải thông qua phân thức cần phải có kiến ​​thức về các công thức sau: thực sự tìm phân biệt D = b2-4ac; tính nghiệm của phương trình x = (- b ± √D) / 2a.

Số lượng rễ phụ thuộc vào kết quả phân biệt. Nếu D> 0 thì phương trình có hai nghiệm nguyên khác nhau. Với D = 0, đáp án sẽ là căn duy nhất x = (- b) / 2a. Nếu D0 thì sẽ có hai nghiệm: x = (- 3 + √49) / (2 * 2) = 1; x = (- 3-√49) / (2 * 2) = - 2,5. Kết quả là -2,5 và 1.

Giải pháp thông qua định lý Vieta bao gồm việc chọn các nghiệm nguyên mà không cần tính toán dài dòng. Một đặc điểm của phương pháp này là hệ số a phải bằng một. Gọi x1 là căn bậc nhất và x2 là căn bậc hai. Nếu ta lấy công thức tổng quát của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, thì theo định lý này, các biểu thức x1 + x2 = -b và x1 * x2 = c sẽ đúng. Để hiểu bản chất của giải pháp, hãy xem xét một ví dụ.

Chúng ta có điều kiện x2-2x-8 = 0, trong đó a = 1, b = -2 và c = -8. Lấy hai số như vậy nhân với nhau ta được 8. Đây có thể là các cặp 2; 4 và 1; 8. Tại vì số c là âm, một trong các yếu tố cũng phải âm.

Chú ý đến hệ số b, hệ số này phải có được bằng tổng các số. Về mặt logic, cặp số 1; 8 không thể đúng. Do đó, chỉ còn lại cặp số 2; 4. Hãy nhớ rằng một trong các số là số âm.

Rất có thể, số 4 sẽ có dấu trừ, vì chỉ với tổng của các số -4 và 2, bạn mới có thể nhận được số b = -2. Vì vậy, các gốc mong muốn là: -4 và 2. Để xác minh câu trả lời này, hãy thay các giá trị này vào các biểu thức x1 + x2 = -b và x1 * x2 = c. -4 + 2 = -2; -2 = -2. -4 * 2 = -8; -8 = -8. Sau đó là phương trình được giải một cách chính xác. Nhưng hãy nhớ rằng không phải mọi phương trình bậc hai đều có thể được giải bằng cách sử dụng định lý này. Nếu bạn không thể tìm thấy số, hãy sử dụng công thức phân biệt để giải quyết.

Có phương trình dạng ax2 + bx = 0 hoặc ax2 + c = 0. Đây là những cái gọi là không đầy đủ. Sự khác biệt của chúng so với biểu thức chuẩn là sự vắng mặt của một trong các thuật ngữ. Nghiệm của các phương trình đó. Đặt điều kiện 2x2-4 = 0 cho trước, trong đó a = 2 và c = -4. Để tìm nghiệm nguyên của một phương trình như vậy, ta có x \ u003d ± √ (-c / a) sau đây. Bằng cách thay các giá trị của các hệ số vào công thức, bạn sẽ nhận được hai nghiệm nguyên: -2 và 2. Điều quan trọng cần nhớ là nếu nhận được một số âm dưới căn thì phương trình không có nghiệm nguyên. Cho điều kiện 4x2 + 8b = 0, trong đó a = 4 và b = 8. Trong trường hợp này, căn thứ nhất x1 luôn bằng 0 và căn thứ hai được tính bằng công thức x2 = - b / a. Trong trường hợp này x2 = -2.

Dù bạn giải bất phương trình bậc hai nào, hãy luôn sử dụng cách thuận tiện nhất để bạn tìm ra gốc của nó. Vì vậy, bạn sẽ chắc chắn rằng nhiệm vụ được hoàn thành một cách chính xác.

”, Tức là, phương trình bậc nhất. Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu phương trình bậc hai là gì và làm thế nào để giải quyết nó.

Phương trình bậc hai là gì

Quan trọng!

Bậc của một phương trình được xác định bởi bậc cao nhất mà ẩn số đó là giá trị của nó.

Nếu tung độ lớn nhất mà giá trị chưa biết là "2", thì bạn có một phương trình bậc hai.

Ví dụ về phương trình bậc hai

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Quan trọng! Dạng tổng quát của phương trình bậc hai có dạng như sau:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" và "c" - các số đã cho.

• "a" - hệ số đầu tiên hoặc cao cấp;
• "b" - hệ số thứ hai;
• "c" là thành viên miễn phí.

Để tìm "a", "b" và "c" Bạn cần so sánh phương trình của mình với dạng tổng quát của phương trình bậc hai "ax 2 + bx + c \ u003d 0".

Chúng ta hãy thực hành xác định các hệ số "a", "b" và "c" trong phương trình bậc hai.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Phương trình	Tỷ lệ cược
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Cách giải phương trình bậc hai

Không giống như phương trình tuyến tính, một phương trình đặc biệt được sử dụng để giải phương trình bậc hai. công thức tìm gốc.

Nhớ lại!

Để giải một phương trình bậc hai, bạn cần:

• đưa phương trình bậc hai về dạng tổng quát "ax 2 + bx + c \ u003d 0". Có nghĩa là, chỉ "0" nên được duy trì ở phía bên phải;
• sử dụng công thức cho rễ:

Hãy sử dụng một ví dụ để tìm ra cách áp dụng công thức để tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai. Hãy giải phương trình bậc hai.

X 2 - 3x - 4 = 0

Phương trình "x 2 - 3x - 4 = 0" đã được rút gọn về dạng tổng quát "ax 2 + bx + c = 0" và không cần đơn giản hóa thêm. Để giải quyết nó, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai.

Hãy xác định các hệ số "a", "b" và "c" cho phương trình này.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Với sự trợ giúp của nó, bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng được giải quyết.

Trong công thức "x 1; 2 \ u003d", biểu thức gốc thường được thay thế
"b 2 - 4ac" thành chữ "D" và được gọi là phân biệt. Khái niệm phân biệt đối xử sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong bài "Thế nào là phân biệt đối xử".

Hãy xem xét một ví dụ khác về phương trình bậc hai.

x 2 + 9 + x = 7x

Ở dạng này, khá khó để xác định các hệ số "a", "b" và "c". Đầu tiên chúng ta hãy đưa phương trình về dạng tổng quát "ax 2 + bx + c \ u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Bây giờ bạn có thể sử dụng công thức cho rễ.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Đáp số: x = 3

Có những khi không có nghiệm nguyên trong phương trình bậc hai. Tình huống này xảy ra khi một số âm xuất hiện trong công thức dưới gốc.

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0.
Chúng ta áp dụng cho tam thức vuông ax 2 + bx + c các phép biến đổi tương tự mà chúng ta đã thực hiện trong § 13 khi chứng minh định lý rằng đồ thị của hàm số y \ u003d ax 2 + bx + c là một parabol.
Chúng ta có

Thông thường, biểu thức b 2 - 4ac được ký hiệu bằng chữ D và được gọi là phân thức của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c \ u003d 0 (hoặc phân thức của tam thức ax + bx + c).

Như vậy

Do đó, phương trình bậc hai ax 2 + their + c \ u003d O có thể được viết lại thành

Bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng có thể được chuyển thành dạng (1), điều này rất thuận tiện, như chúng ta sẽ thấy bây giờ, để xác định số nghiệm của một phương trình bậc hai và tìm các nghiệm nguyên này.

Bằng chứng. Nếu D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

ví dụ 1 Giải phương trình 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Quyết định. Ở đây a = 2, b = 4, c = 7,
D \ u003d b 2 -4ac \ u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Kể từ khi D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Bằng chứng. Nếu D = 0 thì phương trình (1) có dạng

là căn duy nhất của phương trình.

Nhận xét 1. Bạn có nhớ rằng x \ u003d - là hoành độ của đỉnh của parabol, đóng vai trò là đồ thị của hàm số y \ u003d ax 2 + ux + c? Tại sao cái này
giá trị biến thành căn duy nhất của phương trình bậc hai ax 2 + x + c - 0? "Quan tài" mở ra một cách đơn giản: nếu D là 0, thì, như chúng ta đã thiết lập trước đó,

Đồ thị của cùng một hàm số là một parabol có đỉnh tại một điểm (ví dụ, xem Hình 98). Do đó, hoành độ của đỉnh của parabol và căn duy nhất của phương trình bậc hai cho D = 0 là cùng một số.

Ví dụ 2 Giải phương trình 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Quyết định. Đây a \ u003d 4, b \ u003d -20, c \ u003d 25, D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Vì D = 0 nên theo Định lý 2, phương trình bậc hai này có một nghiệm nguyên. Gốc này được tìm thấy bởi công thức

Trả lời: 2.5.

Nhận xét 2. Lưu ý rằng 4x2 - 20x +25 là một hình vuông hoàn hảo: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Nếu chúng ta nhận thấy điều này ngay lập tức, chúng ta sẽ giải phương trình như sau: (2x - 5) 2 \ u003d 0, nghĩa là 2x - 5 \ u003d 0, từ đó chúng ta nhận được x \ u003d 2,5. Nói chung, nếu D = 0, thì

ax 2 + bx + c = - chúng ta đã lưu ý điều này trước đó trong Nhận xét 1.
Nếu D> 0 thì phương trình bậc hai ax 2 + bx + c \ u003d 0 có hai nghiệm, được tìm bằng công thức

Bằng chứng. Ta viết lại phương trình bậc hai ax 2 + b x + c = 0 dưới dạng (1)

Chúng ta hãy đặt
Theo giả thiết, D> 0, nghĩa là vế phải của phương trình là một số dương. Sau đó, từ phương trình (2), chúng tôi nhận được rằng

Vậy, phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm là:

Nhận xét 3. Trong toán học, hiếm khi xảy ra rằng thuật ngữ được giới thiệu không có, nói một cách hình tượng, nền tảng hàng ngày. Hãy lấy một cái mới
khái niệm là phân biệt đối xử. Hãy nhớ từ "phân biệt đối xử". Nó có nghĩa là gì? Nó có nghĩa là sự sỉ nhục của một số người và sự tôn vinh những người khác, tức là thái độ khác nhau
nie với các pudya khác nhau. Cả hai từ (cả phân biệt đối xử và phân biệt đối xử) đều xuất phát từ tiếng Latinh kỳ thị - "phân biệt". Phép phân biệt phân biệt phương trình bậc hai theo số nghiệm.

Ví dụ 3 Giải phương trình 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Quyết định. Ở đây a = 3, b = 8, c = - 11,
D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Vì D> 0 nên theo Định lý 3 phương trình bậc hai này có hai nghiệm nguyên. Những gốc này được tìm thấy theo công thức (3)

Trên thực tế, chúng tôi đã phát triển quy tắc sau:

Quy tắc giải phương trình
ax 2 + bx + c = 0

Quy tắc này là phổ quát, nó áp dụng cho cả phương trình bậc hai hoàn chỉnh và không đầy đủ. Tuy nhiên, các phương trình bậc hai không hoàn chỉnh thường không được giải theo quy tắc này; việc giải chúng như chúng ta đã làm trong phần trước sẽ thuận tiện hơn.

Ví dụ 4 Giải phương trình:

a) x 2 + Zx - 5 \ u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Lời giải. A) Ở đây a = 1, b = 3, c = -5,
D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d Z 2 - 4. một . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Vì D> 0 nên phương trình bậc hai này có hai nghiệm. Những gốc này được tìm thấy theo công thức (3)

B) Theo kinh nghiệm cho thấy, sẽ thuận tiện hơn khi xử lý các phương trình bậc hai trong đó hệ số đứng đầu là số dương. Do đó, đầu tiên chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với -1, chúng ta nhận được

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Đây là a \ u003d 9, b \ u003d -6, c \ u003d 1, D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d 36 - 36 \ u003d 0.
Vì D = 0 nên phương trình bậc hai này có một nghiệm nguyên. Gốc này được tìm thấy bởi công thức x \ u003d -. Có nghĩa,

Phương trình này có thể được giải theo một cách khác: vì
9x 2 - 6x + 1 \ u003d (Zx - IJ, khi đó chúng ta nhận được phương trình (3x - I) 2 \ u003d 0, từ đó chúng ta tìm được Zx - 1 \ u003d 0, tức là x \ u003d.

c) Đây a \ u003d 2, b \ u003d - 1, c \ u003d 3.5, D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d 1 - 4. 2. 3.5 = 1 - 28 = - 27. Vì D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Các nhà toán học là những người thực tế, tiết kiệm. Tại sao, họ nói, sử dụng một quy tắc dài như vậy để giải một phương trình bậc hai, tốt hơn là viết ngay một công thức tổng quát:

Nếu biến phân biệt D \ u003d b 2 - 4ac là một số âm, thì công thức đã viết không có nghĩa (một số âm dưới dấu căn bậc hai), nghĩa là không có căn nào. Nếu nó chỉ ra rằng số phân biệt bằng 0, thì chúng ta nhận được

Đó là, một căn (họ cũng nói rằng phương trình bậc hai trong trường hợp này có hai căn giống nhau:

Cuối cùng, nếu b 2 - 4ac> 0 thì thu được hai nghiệm x 1 và x 2, được tính theo cùng công thức (3) như đã nêu ở trên.

Bản thân số trong trường hợp này là số dương (giống như bất kỳ căn bậc hai nào của một số dương) và dấu kép phía trước nó có nghĩa là trong một trường hợp (khi tìm x 1) số dương này được thêm vào số - b, và trong trường hợp khác (khi tìm x 2) là một số dương bạn-
đọc từ số - b.

Bạn có quyền tự do lựa chọn. Nếu bạn muốn, hãy giải phương trình bậc hai một cách chi tiết bằng cách sử dụng quy tắc được xây dựng ở trên; nếu bạn muốn, hãy viết ngay công thức (4) và sử dụng nó để rút ra những kết luận cần thiết.

Ví dụ 5. Giải phương trình:

Giải pháp, a) Tất nhiên, công thức (4) hoặc (3) có thể được sử dụng, xét rằng trong trường hợp này Nhưng tại sao lại thực hiện các phép toán với phân số khi xử lý số nguyên dễ dàng hơn và quan trọng nhất là dễ chịu hơn? Hãy loại bỏ các mẫu số. Để làm điều này, bạn cần nhân cả hai phần của phương trình với 12, nghĩa là, với mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số đóng vai trò là hệ số của phương trình. Mắc phải

thời điểm 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Và bây giờ chúng ta sử dụng công thức (4)

B) Ta lại có một phương trình với các hệ số phân số: a \ u003d 3, b \ u003d - 0,2, c \ u003d 2,77. Nhân cả hai vế của phương trình với 100, sau đó ta được phương trình với hệ số nguyên:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Tiếp theo, chúng tôi sử dụng công thức (4):

Một phỏng đoán đơn giản cho thấy rằng biểu thức phân biệt (biểu thức cấp tiến) là một số âm. Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 6 giải phương trình
Quyết định. Ở đây, trái ngược với ví dụ trước, hành động theo quy tắc được ưu tiên hơn, chứ không phải theo công thức rút gọn (4).

Chúng ta có a \ u003d 5, b \ u003d -, c \ u003d 1, D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Vì D> 0 nên phương trình bậc hai có hai nghiệm, ta sẽ tìm theo công thức (3)

Ví dụ 7 giải phương trình
x 2 - (2p + 1) x + (p 2 + p-2) = 0

Quyết định. Phương trình bậc hai này khác với tất cả các phương trình bậc hai được xem xét cho đến nay ở chỗ các hệ số không phải là các số cụ thể, mà là các biểu thức chữ. Các phương trình như vậy được gọi là phương trình với hệ số chữ cái hoặc phương trình với tham số. Trong trường hợp này, tham số (chữ cái) p được bao gồm trong hệ số thứ hai và số hạng tự do của phương trình.
Hãy tìm điểm phân biệt:

Ví dụ 8. Giải phương trình px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Quyết định. Đây cũng là một phương trình với tham số p, nhưng, không giống như ví dụ trước, nó không thể được giải ngay lập tức bằng cách sử dụng công thức (4) hoặc (3). Thực tế là những công thức này có thể áp dụng cho phương trình bậc hai, nhưng chúng ta chưa thể nói điều này về một phương trình đã cho. Thật vậy, nếu p = 0 thì sao? sau đó
phương trình sẽ có dạng 0. x 2 + (1-0) x- 1 \ u003d 0, tức là x - 1 \ u003d 0, từ đó chúng ta nhận được x \ u003d 1. Bây giờ, nếu bạn biết chắc chắn điều đó, thì bạn có thể áp dụng các công thức của gốc của phương trình bậc hai: