Tìm diện tích của một hình có giới hạn. Làm thế nào để tính diện tích của một hình phẳng bằng cách sử dụng tích phân kép? Việc hoàn thành giải pháp có thể trông như thế này

Hình giới hạn bởi đồ thị của một hàm số không âm $ f (x) $ liên tục trên khoảng $$ và các đường $ y = 0, \ x = a $ và $ x = b $ được gọi là hình thang cong.

Diện tích tương ứng hình thang congđược tính theo công thức:

$ S = \ int \ limit_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Các bài toán tìm diện tích hình thang cong có điều kiện chúng ta sẽ chia thành các loại $ 4 $. Hãy xem xét từng loại chi tiết hơn.

Loại I: hình thang cong được cho một cách rõ ràng. Sau đó áp dụng ngay công thức (*).

Ví dụ: tìm diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số $ y = 4- (x-2) ^ (2) $ và các đường $ y = 0, \ x = 1 $ và $ x = 3 $.

Hãy vẽ hình thang cong này.

Áp dụng công thức (*), ta tìm được diện tích của hình thang cong này.

$ S = \ int \ limit_ (1) ^ (3) (\ left (4 - (x-2) ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limit_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ limit_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ left. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ right | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ right) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ left ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Loại II: hình thang cong được chỉ định ngầm. Trong trường hợp này, các đường thẳng $ x = a, \ x = b $ thường không được chỉ định hoặc được chỉ định một phần. Trong trường hợp này, bạn cần tìm giao điểm của hai hàm $ y = f (x) $ và $ y = 0 $. Các điểm này sẽ là điểm $ a $ và $ b $.

Ví dụ, tìm diện tích của hình bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm $ y = 1-x ^ (2) $ và $ y = 0 $.

Hãy tìm các giao điểm. Để làm điều này, chúng tôi đánh đồng các phần bên phải của các chức năng.

Vậy $ a = -1 $ và $ b = 1 $. Hãy vẽ hình thang cong này.

Tìm thiết diện của hình thang cong này.

$ S = \ int \ giới hạn _ (- 1) ^ (1) (\ left (1-x ^ (2) \ right) dx) = \ int \ giới hạn _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ giới hạn _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (-1) ^ (1) = $

$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 2 - \ frac (1) (3) \ left (1 + 1 \ right) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Loại III: diện tích hình giới hạn bởi giao điểm của hai hàm số không âm liên tục. Hình này sẽ không phải là hình thang cong, có nghĩa là sử dụng công thức (*) bạn không thể tính được diện tích của nó. Làm sao để? Nó chỉ ra rằng diện tích của hình này có thể được tìm thấy là sự khác biệt giữa diện tích của hình thang cong giới hạn bởi hàm trên và $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $) và hàm dưới và $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $), trong đó vai trò của $ x = a, \ x = b $ được thực hiện bởi tọa độ $ x $ của các giao điểm của các hàm này, tức là

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

Điều quan trọng nhất khi tính toán các khu vực như vậy là không "bỏ sót" với sự lựa chọn của các chức năng trên và dưới.

Ví dụ, tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các hàm $ y = x ^ (2) $ và $ y = x + 6 $.

Hãy tìm giao điểm của các đồ thị này:

Theo định lý Vieta,

$ x_ (1) = - 2, \ x_ (2) = 3. $

Tức là, $ a = -2, \ b = 3 $. Hãy vẽ một hình dạng:

Vậy hàm số trên là $ y = x + 6 $ và hàm số dưới là $ y = x ^ (2) $. Tiếp theo, tìm $ S_ (uf) $ và $ S_ (lf) $ bằng công thức (*).

$ S_ (uf) = \ int \ giới hạn _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ giới hạn _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ giới hạn _ (- 2 ) ^ (3) (6dx) = \ left. \ Frac (x ^ (2)) (2) \ right | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3) = 32 , 5 $ (đơn vị $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limit _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ left. \ Frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (- 2) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Thay thế được tìm thấy trong (**) và nhận được:

$ S = 32,5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Loại IV: diện tích hình, chức năng hạn chế(-s) không thỏa mãn điều kiện không phủ định.Để tìm được diện tích của một hình như vậy, bạn cần phải đối xứng qua trục $ Ox $ ( nói cách khác,đặt “minuses” trước các chức năng) hiển thị khu vực và sử dụng các phương pháp được mô tả trong loại I - III, tìm diện tích của khu vực được hiển thị. Khu vực này sẽ là khu vực bắt buộc. Đầu tiên, bạn có thể phải tìm các giao điểm của các đồ thị hàm số.

Ví dụ, tìm diện tích của hình bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm $ y = x ^ (2) -1 $ và $ y = 0 $.

Hãy tìm giao điểm của các đồ thị hàm số:

những thứ kia. $ a = -1 $ và $ b = 1 $. Hãy vẽ khu vực.

Hãy hiển thị khu vực một cách đối xứng:

$ y = 0 \ \ Rightarrow \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ \ Rightarrow \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.

Bạn nhận được một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số $ y = 1-x ^ (2) $ và $ y = 0 $. Đây là bài toán tìm hình thang cong loại hai. Chúng tôi đã giải quyết nó. Câu trả lời là: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $). Vì vậy, diện tích của hình thang cong mong muốn bằng:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (đơn vị $ ^ (2) $).

Chúng ta bắt đầu xem xét quá trình thực tế của phép tính tích phân kép và làm quen với ý nghĩa hình học của nó.

Tích phân kép về số bằng diện tích hình phẳng(các lĩnh vực tích hợp). Đây là hình thức đơn giản nhất tích phân kép khi hàm hai biến bằng một:.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét vấn đề trong nhìn chung. Bây giờ bạn sẽ ngạc nhiên làm thế nào đơn giản nó thực sự là! Tính diện tích của một hình phẳng, giới hạn bởi các dòng. Đối với tính xác định, chúng tôi giả định rằng trên khoảng. Diện tích của hình này về mặt số bằng:

Hãy mô tả khu vực trong hình vẽ:

Hãy chọn cách đầu tiên để đi qua khu vực:

Như vậy:

Và ngay lập tức một thủ thuật kỹ thuật quan trọng: tích phân lặp lại có thể được xem xét một cách riêng biệt. Đầu tiên là tích phân bên trong, sau đó là tích phân bên ngoài. Phương pháp này Rất khuyến khích cho người mới bắt đầu trong chủ đề ấm trà.

1) Tính tích phân bên trong, trong khi tích phân được thực hiện trên biến "y":

Tích phân không xác định ở đây là đơn giản nhất, và sau đó công thức Newton-Leibniz tầm thường được sử dụng, với sự khác biệt duy nhất là giới hạn của tích hợp không phải là số, mà là các hàm. Được thay thế đầu tiên bằng "y" ( chức năng chống nhiễm trùng) giới hạn trên, sau đó là giới hạn dưới

2) Kết quả thu được trong đoạn đầu tiên phải được thay thế thành tích phân ngoài:

Một ký hiệu nhỏ gọn hơn cho toàn bộ giải pháp trông như thế này:

Công thức kết quả - đây chính xác là công thức tính diện tích của hình phẳng \ u200b \ u200ba bằng cách sử dụng tích phân xác định "thông thường"! Xem bài học Tính diện tích bằng cách sử dụng một tích phân xác định, cô ấy ở mọi ngã rẽ!

I E, bài toán tính diện tích bằng tích phân kép ít khác nhau từ bài toán tìm diện tích bằng cách sử dụng một tích phân xác định! Trên thực tế, chúng là một và giống nhau!

Theo đó, không có khó khăn nào nên phát sinh! Tôi sẽ không xem xét rất nhiều ví dụ, vì bạn, trên thực tế, đã nhiều lần gặp phải vấn đề này.

Ví dụ 9

Quyết định: Hãy mô tả khu vực trong hình vẽ:

Hãy chọn thứ tự truyền qua vùng sau:

Ở đây và dưới đây, tôi sẽ không đi sâu vào cách đi ngang qua một khu vực vì đoạn đầu tiên đã rất chi tiết.

Như vậy:

Như tôi đã lưu ý, tốt hơn cho người mới bắt đầu tính tích phân lặp lại một cách riêng biệt, tôi sẽ tuân thủ cùng một phương pháp:

1) Đầu tiên, sử dụng công thức Newton-Leibniz, chúng ta xử lý tích phân bên trong:

2) Kết quả thu được ở bước đầu tiên được thay thế thành tích phân ngoài:

Điểm 2 thực sự là tìm diện tích của một hình phẳng bằng cách sử dụng một tích phân xác định.

Trả lời:

Đây là một nhiệm vụ ngu ngốc và ngây thơ.

Một ví dụ thú vị cho giải pháp độc lập:

Ví dụ 10

Sử dụng tích phân kép, tính diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường,

Một ví dụ về một giải pháp cuối cùng ở cuối bài học.

Trong Ví dụ 9-10, sẽ có lợi hơn nhiều nếu sử dụng cách đầu tiên để bỏ qua khu vực, nhân tiện, những độc giả tò mò có thể thay đổi thứ tự của đường vòng và tính toán các khu vực theo cách thứ hai. Nếu bạn không mắc lỗi thì đương nhiên sẽ nhận được cùng các giá trị vùng \ u200b \ u200bare.

Nhưng trong một số trường hợp, cách thứ hai để vượt qua khu vực này hiệu quả hơn, và trong phần kết của khóa học dành cho dân mọt sách trẻ tuổi, chúng ta hãy xem xét thêm một vài ví dụ về chủ đề này:

Ví dụ 11

Sử dụng tích phân kép, tính diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường.

Quyết định: chúng tôi đang mong đợi hai parabol với một làn gió nằm nghiêng về phía chúng. Không cần mỉm cười, những điều tương tự trong tích phân bội thường gặp phải.

Cách dễ nhất để vẽ một bức tranh là gì?

Hãy biểu diễn parabol dưới dạng hai hàm:
- nhánh trên và - nhánh dưới.

Tương tự, hãy tưởng tượng một parabol như một phần trên và phần dưới cành cây.

Tiếp theo, các ổ đĩa biểu đồ từng điểm, dẫn đến một con số kỳ lạ như vậy:

Diện tích của hình được tính bằng cách sử dụng tích phân kép theo công thức:

Điều gì xảy ra nếu chúng ta chọn cách đầu tiên để đi qua khu vực? Đầu tiên, khu vực này sẽ phải được chia thành hai phần. Và thứ hai, chúng ta sẽ quan sát bức tranh đáng buồn này: . Tích phân, tất nhiên, không phải là một cấp độ siêu phức tạp, nhưng ... có một câu nói toán học cổ: ai thân thiện với cội rễ thì không cần phải đặt cọc.

Do đó, từ sự hiểu lầm được đưa ra trong điều kiện, chúng tôi biểu thị các hàm ngược:

Hàm nghịch đảo trong ví dụ này có lợi thế là chúng ngay lập tức thiết lập toàn bộ parabol mà không có bất kỳ lá, quả nào, cành và rễ.

Theo phương pháp thứ hai, đường đi ngang qua khu vực sẽ như sau:

Như vậy:

Như họ nói, hãy cảm nhận sự khác biệt.

1) Chúng tôi xử lý tích phân bên trong:

Chúng tôi thay thế kết quả thành tích phân bên ngoài:

Tích hợp trên biến "y" không nên xấu hổ, nếu có một chữ cái "zyu" - sẽ rất tuyệt nếu tích hợp trên đó. Dù ai đọc đoạn 2 của bài Làm thế nào để tính toán khối lượng của một cơ thể của cuộc cách mạng, anh ta không còn cảm thấy bối rối nhỏ nhất với việc tích hợp qua "y".

Cũng chú ý đến bước đầu tiên: tích phân là chẵn và phân đoạn tích phân là đối xứng về không. Do đó, phân đoạn có thể được giảm một nửa và kết quả có thể được nhân đôi. Kỹ thuật này được bình luận chi tiết trong bài. Phương pháp hiệu quả tính toán của một tích phân xác định.

Thêm gì…. Mọi điều!

Trả lời:

Để kiểm tra kỹ thuật tích hợp của mình, bạn có thể thử tính . Câu trả lời phải hoàn toàn giống nhau.

Ví dụ 12

Sử dụng tích phân kép, tính diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường

Đây là một ví dụ tự làm. Có một điều thú vị là nếu bạn cố gắng sử dụng cách đầu tiên để bỏ qua khu vực đó, thì hình sẽ không còn được chia thành hai nữa mà thành ba phần! Và theo đó, chúng ta nhận được ba cặp tích phân lặp lại. Đôi khi nó xảy ra.

Giai cấp thạc sĩ đã kết thúc và đã đến lúc chuyển sang cấp độ đại kiện tướng - Làm thế nào để tính tích phân kép? Ví dụ giải pháp. Tôi sẽ cố gắng không hưng phấn như vậy trong bài viết thứ hai =)

Chúc bạn may mắn!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2:Quyết định: Vẽ một khu vực trên bản vẽ:

Hãy chọn thứ tự truyền qua vùng sau:

Như vậy:
Hãy chuyển sang các hàm nghịch đảo:

Như vậy:
Trả lời:

Ví dụ 4:Quyết định: Hãy chuyển sang các chức năng trực tiếp:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Hãy thay đổi thứ tự di chuyển của khu vực:

Trả lời:

Trên thực tế, để tìm diện tích của hình \ u200b \ u200ba, bạn không cần quá nhiều kiến thức về tích phân bất định và xác định. Nhiệm vụ "tính diện tích sử dụng một tích phân xác định" luôn liên quan đến việc xây dựng một bản vẽ, vì vậy kiến thức và kỹ năng vẽ của bạn sẽ là một vấn đề phù hợp hơn nhiều. Về vấn đề này, sẽ rất hữu ích khi xem xét đồ họa của chính chức năng cơ bản, và, ít nhất, có thể xây dựng một đường thẳng và một hyperbol.

Hình thang cong là hình phẳng giới hạn bởi trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn không đổi dấu trên khoảng này. Hãy để hình này được định vị không ít hơn abscissa:

sau đó diện tích của hình thang cong về mặt số học bằng một tích phân nào đó. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt.

Về hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH.

I E, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) tương ứng về mặt hình học với diện tích của một số hình. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Tích phân xác định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (những người muốn có thể hoàn thành bản vẽ), và tích phân xác định chính nó bằng số bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Thời điểm quyết định đầu tiên và quan trọng nhất là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng ĐÚNG.

Khi xây dựng một bản thiết kế, tôi khuyên bạn nên theo thứ tự sau: lúc đầu tốt hơn là xây dựng tất cả các dòng (nếu có) và chỉ sau- parabol, hypebol, đồ thị của các hàm số khác. Đồ thị hàm số có lợi hơn khi xây dựng theo chiều kim đồng hồ.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ một hình vẽ (lưu ý rằng phương trình xác định trục):

Trên đoạn, đồ thị của hàm số có vị trí qua trục, Đó là lý do tại sao:

Trả lời:

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bản vẽ và tìm ra câu trả lời có phải là thật hay không luôn hữu ích. TẠI trường hợp này“Bằng mắt thường” chúng tôi đếm số ô trong hình vẽ - khoảng 9 ô sẽ được gõ, có vẻ là đúng. Rõ ràng là nếu chúng ta có, giả sử, câu trả lời: 20 đơn vị hình vuông Vậy thì, rõ ràng, một sai lầm đã được thực hiện ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không phù hợp với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định, thì nhiệm vụ đó cũng đã được giải quyết không chính xác.

Ví dụ 3

Tính diện tích của hình giới hạn bởi đường thẳng và trục tọa độ.

Quyết định: Hãy vẽ một bức tranh:

Nêu được hình thang cong dưới trục(hoặc ít nhất không cao hơn trục cho trước), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trong trường hợp này:

Chú ý! Đừng nhầm lẫn giữa hai loại nhiệm vụ:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải chỉ một tích phân xác định mà không có ý nghĩa hình học, thì nó có thể là tiêu cực.

2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng cách sử dụng một tích phân xác định, thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao dấu trừ xuất hiện trong công thức vừa xét.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 4

Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường,.

Quyết định: Đầu tiên bạn cần hoàn thiện bản vẽ. Nói chung, khi xây dựng một bản vẽ trong các bài toán về diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến các giao điểm của các đường. Hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Cách đầu tiên là phân tích. Chúng tôi giải phương trình:

Do đó, giới hạn dưới của tích hợp, giới hạn trên của tích hợp.

Tốt nhất là không nên sử dụng phương pháp này nếu có thể..

Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn nếu xây dựng các đường từng điểm, trong khi các giới hạn của việc tích hợp được tìm ra như thể “một mình”. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm các giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc cấu trúc phân luồng không tiết lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc không hợp lý). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.

Chúng ta quay trở lại nhiệm vụ của mình: sẽ hợp lý hơn trước hết là dựng một đường thẳng và sau đó chỉ là một parabol. Hãy vẽ một bức tranh:

Và bây giờ là công thức làm việc: Nếu có một số hàm liên tục trên khoảng lớn hơn hoặc bằng một vài chức năng liên tục, thì diện tích của \ u200b \ u200b của hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm và đường thẳng này, có thể được tìm thấy bằng công thức:

Ở đây không còn cần thiết phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hoặc bên dưới trục, và nói một cách đại khái, vấn đề quan trọng là biểu đồ nào TRÊN(so với một biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI ĐÂY.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng, parabol nằm trên đường thẳng, và do đó cần phải trừ đi

Việc hoàn thành giải pháp có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol từ bên trên và một đường thẳng từ bên dưới.
Trên phân đoạn, theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Ví dụ 4

Tính diện tích của hình bị giới hạn bởi các đường,,,.

Quyết định: Hãy vẽ trước:

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam.(xem kỹ tình trạng - con số có hạn!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý, "trục trặc" thường xảy ra, bạn cần phải tìm vùng của \ u200b \ u200b của hình được tô bóng màu xanh lá cây!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ, diện tích \ u200b \ u200b của con số này được tính bằng hai tích phân xác định.

Thật sự:

1) Trên đoạn thẳng trên trục có đồ thị là đường thẳng;

2) Trên đoạn nằm trên trục là đồ thị hyperbol.

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Ví dụ 1 . Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 và x = 2

Hãy dựng một hình (xem Hình.) Chúng ta dựng một đường thẳng x + 2y - 4 \ u003d 0 dọc theo hai điểm A (4; 0) và B (0; 2). Biểu diễn y theo x, chúng ta nhận được y \ u003d -0,5x + 2. Theo công thức (1), trong đó f (x) \ u003d -0,5x + 2, a \ u003d -3, b \ u003d 2, chúng ta tìm thấy

S \ u003d \ u003d [-0,25 \ u003d 11,25 sq. các đơn vị

Ví dụ 2 Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường: x - 2y + 4 \ u003d 0, x + y - 5 \ u003d 0 và y \ u003d 0.

Quyết định. Hãy xây dựng một con số.

Hãy dựng đường thẳng x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B (0; 2).

Hãy dựng đường thẳng x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С (5; 0), x = 0, y = 5, D (0; 5).

Tìm giao điểm của các đường thẳng bằng cách giải hệ phương trình:

x = 2, y = 3; M (2; 3).

Để tính diện tích cần thiết, ta chia tam giác AMC thành hai tam giác AMN và NMC, vì khi x thay đổi từ A đến N thì diện tích được giới hạn bởi một đường thẳng và khi x thay đổi từ N đến C thì nó là một đường thẳng.

Cho tam giác AMN ta có :; y \ u003d 0,5x + 2, tức là f (x) \ u003d 0,5x + 2, a \ u003d - 4, b \ u003d 2.

Đối với tam giác NMC ta có: y = - x + 5, tức là f (x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Tính diện tích của mỗi tam giác và cộng kết quả, ta thấy:

sq. các đơn vị

9 + 4, 5 = 13,5 sq. các đơn vị Kiểm tra: = 0,5AC = 0,5 sq. các đơn vị

Ví dụ 3 Tính diện tích của một hình giới hạn bởi các đường: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Trong trường hợp này, yêu cầu tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi một parabol y = x 2 , các đường thẳng x \ u003d 2 và x \ u003d 3 và trục Ox (xem Hình.) Theo công thức (1), chúng ta tìm thấy diện tích của \ u200b \ u200ba hình thang cong

= = 6kv. các đơn vị

Ví dụ 4 Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường: y \ u003d - x 2 + 4 và y = 0

Hãy xây dựng một con số. Vùng mong muốn được bao giữa parabol y \ u003d - x 2 + 4 và trục Oh.

Tìm giao điểm của parabol với trục x. Giả sử y \ u003d 0, chúng tôi tìm thấy x \ u003d Vì hình này đối xứng qua trục Oy, chúng tôi tính diện tích của \ u200b \ u200 hình nằm bên phải trục Oy và nhân đôi kết quả: \ u003d + 4x] sq. các đơn vị 2 = 2 sq. các đơn vị

Ví dụ 5 Tính diện tích của một hình giới hạn bởi các đường: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Ở đây, yêu cầu tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi nhánh trên của parabol y 2 \ u003d x, trục Ox và các đường thẳng x \ u003d 1x \ u003d 4 (xem Hình.)

Theo công thức (1), trong đó f (x) = a = 1 và b = 4, chúng ta có = (= sq. Đơn vị

Ví dụ 6 . Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường: y = sinx, y = 0, x = 0, x =.

Vùng mong muốn được giới hạn bởi hình sin nửa sóng và trục Ox (xem Hình.).

Chúng ta có - cosx \ u003d - cos \ u003d 1 + 1 \ u003d 2 mét vuông. các đơn vị

Ví dụ 7 Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường: y \ u003d - 6x, y \ u003d 0 và x \ u003d 4.

Hình nằm dưới trục Ox (xem Hình.).

Do đó, diện tích của nó được tìm thấy bởi công thức (3)

= =

Ví dụ 8 Tính diện tích của \ u200b \ u200 hình được giới hạn bởi các đường: y \ u003d và x \ u003d 2. Chúng ta sẽ dựng đường cong y \ u003d theo các điểm (xem hình vẽ). Do đó, diện tích của \ u200b \ u200b hình được tìm thấy bằng công thức (4)

Ví dụ 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Ở đây bạn cần tính diện tích bị giới hạn bởi hình tròn x 2 + y 2 = r 2 , tức là diện tích của một hình tròn bán kính r có tâm tại điểm gốc. Chúng ta hãy tìm phần thứ tư của lĩnh vực này, lấy các giới hạn của tích hợp từ 0

dor; chúng ta có: 1 = = [

Vì thế, 1 =

Ví dụ 10 Tính diện tích của \ u200b \ u200 hình được giới hạn bởi các dòng: y \ u003d x 2 và y = 2x

Hình này được giới hạn bởi parabol y \ u003d x 2 và đường thẳng y \ u003d 2x (xem Hình.) để xác định các giao điểm dòng đã cho giải hệ phương trình: x 2 - 2x = 0 x = 0 và x = 2

Sử dụng công thức (5) để tìm diện tích, chúng ta thu được

= đồ thị hàm số y = x 2 + 2 nằm qua trụcCON BÒ, Đó là lý do tại sao:

Trả lời: .

Ai gặp khó khăn trong việc tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz

tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bản vẽ và tìm ra câu trả lời có phải là thật hay không luôn hữu ích. Trong trường hợp này, “bằng mắt thường” chúng ta đếm số ô trong hình vẽ - khoảng 9 ô sẽ được gõ, có vẻ như đúng. Rõ ràng là nếu chúng ta có, giả sử, câu trả lời: 20 đơn vị hình vuông, thì rõ ràng, một sai lầm đã được thực hiện ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không phù hợp với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định, thì nhiệm vụ đó cũng đã được giải quyết không chính xác.

Ví dụ 2

Tính diện tích của một hình giới hạn bởi các đường xy = 4, x = 2, x= 4 và trục CON BÒ.

Đây là một ví dụ tự làm. Giải pháp hoàn chỉnh và đáp án ở cuối bài.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trụcCON BÒ?

Ví dụ 3

Tính diện tích của một hình giới hạn bởi các đường y = Ví dụ, x= 1 và các trục tọa độ.

Giải pháp: Hãy vẽ một bản vẽ:

Nếu một hình thang cong hoàn toàn dưới trục CON BÒ , thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trong trường hợp này:

Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải chỉ một tích phân xác định mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

Ví dụ 4

Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 , y = -x.

Giải pháp: Đầu tiên bạn cần vẽ một bản vẽ. Khi xây dựng một bản vẽ trong các bài toán về diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường. Tìm các giao điểm của parabol y = 2x – x 2 và thẳng y = -x. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Cách đầu tiên là phân tích. Chúng tôi giải phương trình:

Vì vậy, giới hạn dưới của tích hợp một= 0, giới hạn trên của tích hợp b= 3. Thường có lợi hơn và nhanh hơn khi xây dựng các đường từng điểm, trong khi các giới hạn của tích hợp được tìm ra như thể “tự nó”. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm các giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc cấu trúc phân luồng không tiết lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc không hợp lý). Chúng ta quay trở lại nhiệm vụ của mình: sẽ hợp lý hơn trước hết là dựng một đường thẳng và sau đó chỉ là một parabol. Hãy vẽ một bức tranh:

Chúng tôi nhắc lại rằng trong cấu trúc từng điểm, các giới hạn của tích hợp thường được tìm ra một cách “tự động”.

Và bây giờ là công thức làm việc:

Nếu trên khoảng [ một; b] một số chức năng liên tục f(x) lớn hơn hoặc bằng một số chức năng liên tục g(x), thì diện tích của hình tương ứng có thể được tìm thấy bằng công thức:

Ở đây, không còn cần phải nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hoặc bên dưới trục, nhưng vấn đề quan trọng là biểu đồ nào TRÊN(so với một biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI ĐÂY.

Trong ví dụ đang xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng, parabol nằm trên đường thẳng, và do đó từ 2 x – x 2 phải được trừ đi - x.

Việc hoàn thành giải pháp có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol y = 2x – x 2 đầu và thẳng y = -x từ phía dưới.

Trên phân đoạn 2 x – x 2 ≥ -x. Theo công thức tương ứng:

Trả lời: .

Thực tế, công thức tính diện tích của hình thang cong trong nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ số 3) là trương hợp đặc biệt công thức

Kể từ trục CON BÒđược đưa ra bởi phương trình y= 0 và đồ thị của hàm g(x) nằm bên dưới trục CON BÒ, sau đó

Và bây giờ là một vài ví dụ cho một quyết định độc lập

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường

Trong quá trình giải các bài toán tính diện tích bằng một tích phân nào đó, đôi khi vẫn xảy ra một sự cố buồn cười. Bản vẽ được thực hiện chính xác, các tính toán chính xác, nhưng do không chú ý, ... tìm thấy diện tích của hình sai.

Ví dụ 7

Hãy vẽ trước:

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam.(xem kỹ tình trạng - con số có hạn!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý, họ thường quyết định rằng họ cần phải tìm diện tích của \ u200b \ u200b của hình được tô màu xanh lá cây!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ, diện tích \ u200b \ u200b của hình được tính bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Thật sự:

1) Trên đoạn [-1; 1] trục trên CON BÒđồ thị thẳng y = x+1;

2) Trên đoạn phía trên trục CON BÒđồ thị của hyperbol nằm ở vị trí nào y = (2/x).

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Trả lời:

Ví dụ 8

Tính diện tích của một hình giới hạn bởi các đường

Hãy trình bày các phương trình ở dạng "trường"

và vẽ đoạn thẳng:

Có thể thấy từ hình vẽ rằng giới hạn trên của chúng ta là "tốt": b = 1.

Nhưng giới hạn dưới là gì? Rõ ràng đây không phải là một số nguyên, nhưng là gì?

Có lẽ, một= (- 1/3)? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được tạo ra với độ chính xác hoàn hảo, nó có thể thành ra một= (- 1/4). Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng tôi không hiểu được biểu đồ đúng?

Trong những trường hợp như vậy, người ta phải dành thêm thời gian và tinh chỉnh các giới hạn của tích hợp một cách phân tích.

Tìm giao điểm của các đồ thị

Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình:

Vì thế, một=(-1/3).

Các giải pháp xa hơn là tầm thường. Điều chính là không để bị nhầm lẫn trong thay thế và các dấu hiệu. Các tính toán ở đây không phải là dễ dàng nhất. Trên phân khúc

, ,

theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Trong phần kết của bài học, chúng ta sẽ xem xét hai nhiệm vụ khó hơn.

Ví dụ 9

Tính diện tích của một hình giới hạn bởi các đường

Giải pháp: Vẽ hình này trong hình vẽ.

Để vẽ từng điểm, bạn cần biết xuất hiện hình sin. Nói chung, sẽ rất hữu ích nếu biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản, cũng như một số giá trị của sin. Chúng có thể được tìm thấy trong bảng giá trị hàm lượng giác . Trong một số trường hợp (ví dụ trong trường hợp này), cho phép xây dựng một bản vẽ giản đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân phải được hiển thị một cách chính xác về nguyên tắc.

Không có vấn đề gì với các giới hạn tích hợp ở đây, chúng tuân theo trực tiếp từ điều kiện:

- "x" chuyển từ 0 thành "pi". Chúng tôi đưa ra một quyết định khác:

Trên đoạn, đồ thị của hàm số y= sin 3 x nằm trên trục CON BÒ, Đó là lý do tại sao:

(1) Bạn có thể xem cách sin và cosine được tích hợp thành lũy thừa lẻ trong bài học Tích phân của các hàm lượng giác. Chúng tôi véo ra một ô sin.

(2) Chúng tôi sử dụng đồng dạng lượng giác cơ bản trong biểu mẫu

(3) Hãy để chúng tôi thay đổi biến t= cos x, thì: nằm trên trục, do đó:

Ghi chú: lưu ý cách lấy tích phân của tiếp tuyến trong khối lập phương, đây là hệ quả của nhận dạng lượng giác