Rn,
(BÀI TOÁN TRONG KINH TẾ)

Phân hủy vector

Phân hủy vector một thành các thành phần - hoạt động thay thế vectơ một một số vectơ khác a, a2, a3, v.v., khi được thêm vào với nhau, tạo thành vectơ ban đầu một; trong trường hợp này các vectơ db a2, a3, v.v. được gọi là các thành phần của vectơ một. Nói cách khác, sự phân hủy của bất kỳ ...
(VẬT LÝ)

Cơ sở và hạng của một hệ vectơ

Xét hệ thức vectơ (1.18) Hệ thống con độc lập lớn nhất của hệ thống các vectơ(1.I8) là một tập vectơ riêng của hệ này thỏa mãn hai điều kiện: 1) các vectơ của tập này độc lập tuyến tính; 2) bất kỳ vectơ nào của hệ (1.18) được biểu thị tuyến tính theo các vectơ của tập này ...
(BÀI TOÁN TRONG KINH TẾ)

Biểu diễn vectơ trong các hệ thống khác nhau tọa độ.

Xét hai hệ tọa độ trực giao trực giao với các tập hợp các ort (i, j, k) và (i j ", k") và biểu diễn vectơ a trong chúng. Chúng ta hãy giả sử một cách có điều kiện rằng các vectơ mồi tương ứng với hệ thống mới e tọa độ, và không có nét - cái cũ. Hãy biểu diễn vectơ dưới dạng sự mở rộng dọc theo trục của cả hệ thống cũ và hệ thống mới ...

Sự phân rã của một vectơ trong cơ sở trực giao

Xem xét cơ sở không gian Rn, trong đó mỗi vectơ là trực giao với phần còn lại của các vectơ cơ sở: Các cơ sở trực giao đã biết và được biểu diễn tốt trên mặt phẳng và trong không gian (Hình 1.6). Các cơ sở thuộc loại này trước hết là thuận tiện vì tọa độ của phép khai triển của một vectơ tùy ý được xác định bởi ...
(BÀI TOÁN TRONG KINH TẾ)

Vectơ và biểu diễn của chúng trong hệ tọa độ

Khái niệm vectơ được liên kết với một số đại lượng vật lý, được đặc trưng bởi cường độ (độ lớn) và hướng của chúng trong không gian. Những đại lượng như vậy, ví dụ, lực tác dụng lên một vật chất, tốc độ điểm nhất định của vật thể này, gia tốc của một hạt vật chất ...
(CƠ HỌC TRUYỀN THÔNG LIÊN TỤC: LÝ THUYẾT STRESS VÀ CÁC MÔ HÌNH CƠ BẢN)

Động vật nguyên sinh đại diện phân tích hàm elliptic tùy ý

Biểu diễn một hàm elliptic dưới dạng tổng các phần tử cơ bản.Để cho được / (z) là một hàm elliptic bậc s với các cực đơn giản jjt, $ s, nằm trong hình bình hành của các kỳ. Biểu thị thông qua bk phần dư của hàm đối với cực, ta có 2? l = 0 (§ 1 »trang 3, định lý ...
(GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT VỀ CÁC CHỨC NĂNG CỦA BIẾN SỐ LINH KIỆN)

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính vectơ.
Cơ sở của vectơ. Hệ tọa độ Affine

Có một chiếc xe đẩy với sôcôla dành cho khán giả, và hôm nay mỗi du khách sẽ nhận được một cặp đôi ngọt ngào - hình học phân tích với đại số tuyến tính. Bài viết này sẽ bao gồm hai phần cùng một lúc. toán học cao hơn và chúng ta sẽ xem cách chúng hòa hợp với nhau trong một trình bao bọc. Nghỉ ngơi đi, ăn Twix! ... chết tiệt, tốt, tranh luận vô nghĩa. Dù không sao nhưng cuối cùng thì mình sẽ không ghi điểm đâu, cuối cùng thì cũng nên có thái độ học tập tích cực.

Sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ, độc lập tuyến tính của vectơ, cơ sở vectơ và các thuật ngữ khác không chỉ có một cách diễn giải hình học, mà trên hết, một ý nghĩa đại số. Khái niệm "vectơ" theo quan điểm của đại số tuyến tính không phải lúc nào cũng là vectơ "thông thường" mà chúng ta có thể mô tả trên một mặt phẳng hoặc trong không gian. Bạn không cần phải tìm kiếm bằng chứng xa, hãy thử vẽ một vector không gian năm chiều . Hoặc véc tơ thời tiết mà tôi vừa đến Gismeteo cho: - nhiệt độ và Áp suất khí quyển tương ứng. Tất nhiên, ví dụ này không chính xác theo quan điểm của các thuộc tính của không gian vectơ, nhưng, tuy nhiên, không ai cấm hình thức hóa các tham số này dưới dạng một vectơ. Hơi thở của mùa thu ...

Không, tôi sẽ không làm bạn buồn về lý thuyết, không gian vectơ tuyến tính, nhiệm vụ là hiểu khôngđịnh nghĩa và định lý. Các thuật ngữ mới (phụ thuộc tuyến tính, độc lập, kết hợp tuyến tính, cơ sở, v.v.) có thể áp dụng cho tất cả các vectơ theo quan điểm đại số, nhưng các ví dụ sẽ được đưa ra về mặt hình học. Do đó, mọi thứ đều đơn giản, dễ tiếp cận và trực quan. Ngoài các bài toán về hình học giải tích, chúng ta cũng sẽ xem xét một số nhiệm vụ điển hìnhđại số học. Để nắm vững tài liệu, nên làm quen với các bài học Vectơ cho hình nộm và Làm thế nào để tính định thức?

Sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập của vectơ mặt phẳng.
Cơ sở mặt phẳng và hệ tọa độ affine

Xem xét mặt phẳng của bàn máy tính của bạn (chỉ là bàn, bàn cạnh giường, sàn nhà, trần nhà, bất cứ thứ gì bạn thích). Nhiệm vụ sẽ bao gồm các hành động sau:

1) Chọn cơ sở máy bay. Nói một cách đại khái, mặt bàn có chiều dài và chiều rộng, do đó trực quan rõ ràng rằng cần phải có hai vectơ để xây dựng cơ sở. Một vectơ rõ ràng là không đủ, ba vectơ là quá nhiều.

2) Dựa trên cơ sở đã chọn thiết lập hệ tọa độ(lưới tọa độ) để gán tọa độ cho tất cả các mục trên bảng.

Đừng ngạc nhiên, lúc đầu những lời giải thích sẽ được trên đầu ngón tay. Hơn nữa, trên của bạn. Vui lòng đặt ngón trỏ của bàn tay trái trên mép của mặt bàn để anh ta nhìn vào màn hình. Đây sẽ là một vectơ. Bây giờ đặt chỗ ngón tay út tay phải trên cạnh của bảng theo cách tương tự - sao cho nó hướng vào màn hình điều khiển. Đây sẽ là một vectơ. Cười lên, trông bạn thật tuyệt! Có thể nói gì về vectơ? Vectơ dữ liệu thẳng hàng, nghĩa là tuyến tính thể hiện qua nhau:
, tốt, hoặc ngược lại:, ở đâu là một số khác 0.

Bạn có thể xem hình ảnh của hành động này trong bài. Vectơ cho hình nộm, nơi tôi đã giải thích quy tắc nhân một vectơ với một số.

Các ngón tay của bạn có đặt cơ sở trên mặt phẳng của bàn máy tính không? Rõ ràng là không. Các vectơ thẳng hàng di chuyển qua lại trong một mình hướng, trong khi một mặt phẳng có chiều dài và chiều rộng.

Các vectơ như vậy được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Thẩm quyền giải quyết: Các từ "tuyến tính", "tuyến tính" đề cập đến thực tế là trong phương trình toán học, biểu thức không có hình vuông, hình lập phương, lũy thừa khác, logarit, sin, v.v. Chỉ có các biểu thức tuyến tính (bậc 1) và các phụ thuộc.

Hai vectơ mặt phẳng phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ khi chúng thẳng hàng.

Chéo các ngón tay của bạn trên bàn sao cho có bất kỳ góc nào giữa chúng ngoại trừ 0 hoặc 180 độ. Hai vectơ mặt phẳngtuyến tính không phải phụ thuộc nếu và chỉ khi chúng không thẳng hàng. Vì vậy, cơ sở được nhận. Không cần phải xấu hổ rằng cơ sở hóa ra là "xiên" với các vectơ không vuông góc với các độ dài khác nhau. Rất nhanh, chúng ta sẽ thấy rằng không chỉ một góc 90 độ là phù hợp với cấu trúc của nó, và không chỉ các vectơ đơn vị có độ dài bằng nhau

Không tí nào vector máy bay cách duy nhất mở rộng về cơ sở:
, đâu là số thực. Các con số được gọi là tọa độ vector trong cơ sở này.

Họ cũng nói rằng vectơtrình bày dưới dạng kết hợp tuyến tính vectơ cơ sở. Đó là, biểu thức được gọi là phân hủy vectornền tảng hoặc kết hợp tuyến tính vectơ cơ sở.

Ví dụ, bạn có thể nói rằng một vectơ được mở rộng theo cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng hoặc bạn có thể nói rằng nó được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ.

Hãy xây dựng định nghĩa cơ sở chính thức: cơ sở máy bay là một cặp vectơ độc lập tuyến tính (không tuyến tính), , trong đó không tí nào véc tơ mặt phẳng là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ cơ sở.

Điểm cốt yếu của định nghĩa là thực tế rằng các vectơ được lấy theo một thứ tự nhất định. căn cứ - nó hoàn toàn là hai cơ sở khác nhau! Như người ta nói, ngón út của bàn tay trái không thể di chuyển đến vị trí của ngón út của bàn tay phải.

Chúng tôi đã tìm ra cơ sở, nhưng không đủ để thiết lập lưới tọa độ và gán tọa độ cho từng mục trên bàn máy tính của bạn. Tại sao không đủ? Các vectơ là tự do và đi lang thang trên toàn bộ mặt phẳng. Vậy làm thế nào để bạn gán tọa độ cho những dấu chấm nhỏ trên bảng bẩn thỉu còn sót lại từ một ngày cuối tuần hoang dã? Một điểm khởi đầu là cần thiết. Và một điểm quy chiếu như vậy là một điểm quen thuộc với mọi người - gốc tọa độ. Tìm hiểu hệ tọa độ:

Tôi sẽ bắt đầu với hệ thống "trường học". Đã có trong bài học giới thiệu Vectơ cho hình nộm Tôi đã nêu bật một số điểm khác biệt giữa hệ tọa độ hình chữ nhật và cơ sở trực chuẩn. Đây là hình ảnh tiêu chuẩn:

Khi nói về Hệ toạ độ hình chữ nhật, thì thông thường chúng có nghĩa là gốc tọa độ, trục tọa độ và chia tỷ lệ dọc theo các trục. Hãy thử gõ “hệ tọa độ hình chữ nhật” trong công cụ tìm kiếm, và bạn sẽ thấy rằng nhiều nguồn sẽ cho bạn biết về các trục tọa độ quen thuộc từ lớp 5 đến lớp 6 và cách vẽ các điểm trên mặt phẳng.

Mặt khác, có vẻ như hệ thống hình chữ nhật tọa độ có thể được xác định theo cơ sở trực chuẩn. Và nó gần như là như vậy. Từ ngữ diễn ra như thế này:

nguồn gốc, và chính thống bộ cơ sở Hệ tọa độ Descartes của mặt phẳng . Đó là, một hệ tọa độ hình chữ nhật chắc chắnđược xác định bởi một điểm duy nhất và hai vectơ trực giao đơn vị. Đó là lý do tại sao, bạn thấy hình vẽ mà tôi đã đưa ra ở trên - trong vấn đề hình học thường (nhưng không phải luôn luôn) vẽ cả vectơ và trục tọa độ.

Tôi nghĩ rằng mọi người đều hiểu điều đó với sự trợ giúp của một điểm (điểm gốc) và một cơ sở chính tắc ĐIỂM BẤT KỲ của mặt phẳng và BẤT KỲ VECTƠ nào của mặt phẳng tọa độ có thể được chỉ định. Nói một cách hình tượng, "mọi thứ trên máy bay đều có thể được đánh số."

Các vectơ tọa độ có phải là đơn vị không? Không, chúng có thể có độ dài khác 0 tùy ý. Xét một điểm và hai vectơ trực giao có độ dài khác 0 tùy ý:

Cơ sở như vậy được gọi là trực giao. Gốc tọa độ với vectơ xác định lưới tọa độ, và bất kỳ điểm nào của mặt phẳng, bất kỳ vectơ nào cũng có tọa độ riêng theo cơ sở đã cho. Ví dụ, hoặc. Điều bất tiện rõ ràng là các vectơ tọa độ trong trường hợp chung có độ dài khác nhau ngoài sự thống nhất. Nếu độ dài bằng một, thì cơ sở chính tắc thông thường sẽ nhận được.

! Ghi chú : trên cơ sở trực giao và cũng bên dưới trong cơ sở affine các đơn vị mặt phẳng và không gian dọc theo các trục được coi là ĐIỀU KIỆN. Ví dụ: một đơn vị dọc theo hoành độ chứa 4 cm, một đơn vị dọc theo hoành độ chứa 2 cm. Thông tin này đủ để chuyển đổi tọa độ “không chuẩn” thành “cm thông thường của chúng tôi” nếu cần.

Và câu hỏi thứ hai, thực sự đã được trả lời - góc giữa các vectơ cơ sở có nhất thiết phải bằng 90 độ không? Không! Như định nghĩa đã nói, vectơ cơ sở phải là chỉ không thẳng hàng. Theo đó, góc có thể là bất kỳ thứ gì ngoại trừ 0 và 180 độ.

Một điểm trên máy bay được gọi là nguồn gốc, và không thẳng hàng vectơ, , đặt hệ tọa độ affine của mặt phẳng :

Đôi khi hệ tọa độ này được gọi là xiên hệ thống. Các điểm và vectơ được thể hiện như các ví dụ trong hình vẽ:

Như bạn đã hiểu, hệ tọa độ affine thậm chí còn ít tiện lợi hơn, các công thức về độ dài của vectơ và đoạn thẳng, mà chúng ta đã xem xét trong phần thứ hai của bài học, không hoạt động trong đó. Vectơ cho hình nộm, nhiều công thức ngon liên quan đến tích vô hướng của vectơ. Nhưng các quy tắc cộng vectơ và nhân một vectơ với một số là hợp lệ, các công thức để chia một đoạn về mặt này, cũng như một số dạng bài toán khác mà chúng ta sẽ sớm xem xét.

Và kết luận là trường hợp cụ thể thuận tiện nhất của hệ tọa độ affine là hệ hình chữ nhật Descartes. Vì vậy, cô ấy, của chính cô ấy, thường xuyên phải được nhìn thấy nhất. ... Tuy nhiên, mọi thứ trong cuộc sống này đều là tương đối - có rất nhiều trường hợp để có một đường xiên (hoặc một số trường hợp khác, chẳng hạn, cực) hệ tọa độ. Vâng, và những hệ thống hình người như vậy có thể sẽ xảy ra =)

Hãy chuyển sang phần thực hành. Tất cả các nhiệm vụ bài học nàyđều hợp lệ cho cả hệ tọa độ hình chữ nhật và trường hợp affine tổng quát. Không có gì phức tạp ở đây, tất cả các tài liệu đều có sẵn ngay cả với một cậu học sinh.

Làm thế nào để xác định thẳng hàng của vectơ mặt phẳng?

Điều điển hình. Để hai vectơ mặt phẳng thẳng hàng, cần và đủ là các tọa độ tương ứng của chúng phải tỷ lệ với nhau Về cơ bản, đây là sự tinh chỉnh theo từng tọa độ của mối quan hệ hiển nhiên.

ví dụ 1

a) Kiểm tra xem các vectơ có thẳng hàng không .
b) Các vectơ có lập thành cơ sở không? ?

Quyết định:
a) Tìm xem có tồn tại vectơ hệ số tương xứng, sao cho các cân bằng được thỏa mãn:

Tôi chắc chắn sẽ cho bạn biết về phiên bản “foppish” của việc áp dụng quy tắc này, hoạt động khá tốt trong thực tế. Ý tưởng là ngay lập tức vẽ một tỷ lệ và xem nó có chính xác không:

Hãy tính một tỷ lệ từ các tỷ lệ của các tọa độ tương ứng của các vectơ:

Chúng tôi rút gọn:
, do đó, các tọa độ tương ứng là tỷ lệ, do đó,

Mối quan hệ có thể được thực hiện và ngược lại, đây là một tùy chọn tương đương:

Để tự kiểm tra, người ta có thể sử dụng thực tế rằng vectơ thẳng hàngđược thể hiện tuyến tính qua nhau. TẠI trường hợp này có sự bình đẳng . Tính hợp lệ của chúng có thể dễ dàng được kiểm tra thông qua các phép toán cơ bản với các vectơ:

b) Hai vectơ mặt phẳng tạo thành một cơ sở nếu chúng không thẳng hàng (độc lập tuyến tính). Chúng tôi kiểm tra các vectơ để biết tính thẳng hàng . Hãy tạo một hệ thống:

Từ phương trình đầu tiên, nó theo sau đó, từ phương trình thứ hai, nó theo sau, có nghĩa là, hệ thống không nhất quán(không có giải pháp). Như vậy, tọa độ tương ứng của các vectơ không tỉ lệ thuận.

Sự kết luận: các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Một phiên bản đơn giản của giải pháp trông giống như sau:

Soạn tỷ lệ từ các tọa độ tương ứng của các vectơ :
Do đó, các vectơ này độc lập tuyến tính và tạo thành cơ sở.

Thông thường những người đánh giá không từ chối tùy chọn này, nhưng một vấn đề nảy sinh trong trường hợp một số tọa độ bằng không. Như thế này: . Hoặc như thế này: . Hoặc như thế này: . Làm thế nào để làm việc thông qua tỷ lệ ở đây? (Thực sự, bạn không thể chia cho số không). Chính vì lý do này mà tôi đã gọi giải pháp đơn giản hóa là "foppish".

Trả lời: a), b) hình thức.

Nhỏ ví dụ sáng tạo vì quyết định độc lập:

Ví dụ 2

Với giá trị nào của các vectơ tham số sẽ thẳng hàng?

Trong dung dịch mẫu, tham số được tìm thấy thông qua tỷ lệ.

Có một cách đại số hay để kiểm tra tính thẳng hàng của các vectơ. Hãy hệ thống hóa kiến ​​thức của chúng ta và chỉ thêm nó làm điểm thứ năm:

Đối với hai vectơ mặt phẳng, các phát biểu sau đây là tương đương:

2) vectơ tạo thành một cơ sở;
3) các vectơ không thẳng hàng;

+ 5) định thức, bao gồm các tọa độ của các vectơ này, là khác không.

Tương ứng, các câu đối lập sau đây là tương đương:
1) vectơ phụ thuộc tuyến tính;
2) vectơ không cùng phương;
3) các vectơ thẳng hàng;
4) các vectơ có thể được biểu diễn tuyến tính qua nhau;
+ 5) định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này, bằng không.

Tôi rất, rất hy vọng rằng tại thời điểm này bạn đã hiểu tất cả các điều khoản và tuyên bố đã sử dụng.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn điểm mới, thứ năm: hai vectơ mặt phẳng thẳng hàng nếu và chỉ khi định thức bao gồm tọa độ của các vectơ đã cho bằng 0:. Để sử dụng tính năng này, tất nhiên, bạn cần có khả năng tìm các yếu tố quyết định.

Chúng tôi sẽ quyết định Ví dụ 1 theo cách thứ hai:

a) Tính định thức, gồm tọa độ của các vectơ :
, vì vậy các vectơ này thẳng hàng.

b) Hai vectơ mặt phẳng tạo thành một cơ sở nếu chúng không thẳng hàng (độc lập tuyến tính). Hãy để chúng tôi tính định thức bao gồm tọa độ của các vectơ :
, do đó các vectơ là độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Trả lời: a), b) hình thức.

Nó trông nhỏ gọn và đẹp hơn nhiều so với giải pháp có tỷ lệ.

Với sự trợ giúp của tài liệu được xem xét, có thể thiết lập không chỉ tính thẳng hàng của các vectơ mà còn chứng minh được tính song song của các đoạn thẳng, đoạn thẳng. Hãy xem xét một số vấn đề với các hình dạng hình học cụ thể.

Ví dụ 3

Các đỉnh của một tứ giác đã cho. Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành.

Bằng chứng: Không cần thiết phải xây dựng hình vẽ trong bài toán, vì lời giải sẽ mang tính chất phân tích thuần túy. Hãy nhớ định nghĩa của một hình bình hành:
Hình bình hành Một tứ giác được gọi là hình tứ giác, trong đó các cạnh đối diện song song với nhau.

Do đó, cần phải chứng minh:
1) tính song song của các cạnh đối diện và;
2) tính song song của các cạnh đối diện và.

Chúng tôi chứng minh:

1) Tìm các vectơ:

2) Tìm các vectơ:

Kết quả là cùng một vectơ (“theo trường học” - vectơ bằng nhau). Tính thông đồng là khá rõ ràng, nhưng tốt hơn hết bạn nên đưa ra quyết định đúng đắn, có sự sắp xếp. Tính định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ:
, vì vậy các vectơ này thẳng hàng, và.

Sự kết luận: cạnh đối diện các tứ giác là các cặp song song nên nó là một hình bình hành theo định nghĩa. Q.E.D.

Nhiều số liệu tốt và khác nhau:

Ví dụ 4

Các đỉnh của một tứ giác đã cho. Chứng minh rằng tứ giác là hình thang.

Đối với một công thức chứng minh chặt chẽ hơn, tất nhiên là tốt hơn để có được định nghĩa của hình thang, nhưng chỉ cần nhớ nó trông như thế nào là đủ.

Đây là một nhiệm vụ cho quyết định độc lập. Giải pháp hoàn chỉnhở cuối bài.

Và bây giờ là lúc bạn từ từ di chuyển từ máy bay vào không gian:

Làm thế nào để xác định tính thẳng hàng của vectơ không gian?

Quy tắc là rất giống nhau. Để hai vectơ không gian thẳng hàng, cần và đủ rằng các tọa độ tương ứng của chúng tỷ lệ với.

Ví dụ 5

Tìm hiểu xem các vectơ không gian sau có thẳng hàng không:

một) ;
b)
trong)

Quyết định:
a) Kiểm tra xem có hệ số tỉ lệ đối với các tọa độ tương ứng của vectơ hay không:

Hệ thống không có lời giải, có nghĩa là các vectơ không thẳng hàng.

"Đơn giản hóa" được thực hiện bằng cách kiểm tra tỷ lệ. Trong trường hợp này:
- các tọa độ tương ứng không tỷ lệ, có nghĩa là các vectơ không thẳng hàng.

Trả lời: các vectơ không thẳng hàng.

b-c) Đây là những điểm cho quyết định độc lập. Hãy thử nó theo hai cách.

Có một phương pháp để kiểm tra các vectơ không gian về tính thẳng hàng và thông qua định thức bậc ba, phương pháp nàyđược đề cập trong bài báo Tích chéo của vectơ.

Tương tự như trường hợp mặt phẳng, các công cụ được xem xét có thể được sử dụng để nghiên cứu tính song song của các đoạn và đường không gian.

Chào mừng đến với phần thứ hai:

Sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập của vectơ không gian ba chiều.
Cơ sở không gian và hệ tọa độ affine

Nhiều quy tắc mà chúng tôi đã xem xét trên máy bay cũng sẽ có hiệu lực đối với không gian. Tôi đã cố gắng giảm thiểu phần tóm tắt của lý thuyết, vì phần chia sẻ thông tin của sư tử đã được nhai lại. Tuy nhiên, tôi khuyên bạn nên đọc kỹ phần giới thiệu vì các thuật ngữ và khái niệm mới sẽ xuất hiện.

Bây giờ, thay vì mặt phẳng của bàn máy tính, chúng ta hãy kiểm tra không gian ba chiều. Đầu tiên, hãy tạo cơ sở của nó. Có người hiện đang ở trong nhà, có người ở ngoài trời, nhưng trong mọi trường hợp, chúng ta không thể rời xa ba chiều: chiều rộng, chiều dài và chiều cao. Do đó, ba vectơ không gian được yêu cầu để xây dựng cơ sở. Một hoặc hai vectơ là không đủ, vectơ thứ tư là thừa.

Và một lần nữa chúng tôi ấm lên trên các ngón tay. Hãy giơ tay lên và dang rộng các mặt khác nhau ngón cái, ngón trỏ và ngón giữa. Đây sẽ là các vectơ, chúng nhìn theo các hướng khác nhau, có độ dài khác nhau và có các góc khác nhau giữa chúng. Xin chúc mừng, cơ sở của không gian ba chiều đã sẵn sàng! Nhân tiện, bạn không cần phải chứng minh điều này với giáo viên, dù bạn có vặn ngón tay như thế nào, nhưng bạn không thể thoát khỏi định nghĩa =)

Tiếp theo, hãy hỏi vấn đề quan trọng, liệu ba vectơ bất kỳ có tạo thành cơ sở hay không không gian ba chiều ? Vui lòng ấn mạnh ba ngón tay lên mặt bàn máy tính. Chuyện gì đã xảy ra thế? Ba vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng, và nói một cách đại khái, chúng ta đã mất một trong các phép đo - chiều cao. Các vectơ như vậy là đồng phẳng và, khá rõ ràng, rằng cơ sở của không gian ba chiều không được tạo ra.

Cần lưu ý rằng các vectơ đồng phẳng không nhất thiết phải nằm trong cùng một mặt phẳng, chúng có thể nằm trong mặt phẳng song song(đừng làm bằng ngón tay, chỉ có Salvador Dali mới ra tay như vậy =)).

Sự định nghĩa: vectơ được gọi là đồng phẳng nếu tồn tại một mặt phẳng mà chúng song song với nhau. Ở đây, điều hợp lý là thêm rằng nếu một mặt phẳng như vậy không tồn tại, thì các vectơ sẽ không phải là đồng phẳng.

Ba vectơ đồng phẳng luôn phụ thuộc tuyến tính nghĩa là chúng được thể hiện tuyến tính qua nhau. Để đơn giản, một lần nữa hãy tưởng tượng rằng chúng nằm trong cùng một mặt phẳng. Thứ nhất, vectơ không chỉ đồng phẳng, mà còn có thể thẳng hàng, sau đó bất kỳ vectơ nào cũng có thể được biểu diễn thông qua bất kỳ vectơ nào. Trong trường hợp thứ hai, nếu, ví dụ, nếu các vectơ không thẳng hàng, thì vectơ thứ ba được biểu diễn thông qua chúng theo một cách duy nhất: (và tại sao thì dễ đoán từ các tư liệu của phần trước).

Các ngược lại cũng đúng: ba vectơ không đồng phẳng luôn độc lập tuyến tính, nghĩa là, chúng không có cách nào được thể hiện qua nhau. Và, rõ ràng, chỉ những vectơ như vậy mới có thể tạo thành cơ sở của một không gian ba chiều.

Sự định nghĩa: Cơ sở của không gian ba chiềuđược gọi là bộ ba của các vectơ độc lập tuyến tính (không đồng phẳng), được thực hiện theo một thứ tự nhất định, trong khi bất kỳ vectơ nào của không gian cách duy nhất mở rộng trong cơ sở đã cho, tọa độ của vectơ trong cơ sở đã cho ở đâu

Xin nhắc lại, bạn cũng có thể nói rằng một vectơ được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính vectơ cơ sở.

Khái niệm hệ tọa độ được đưa ra theo cách giống hệt như đối với trường hợp phẳng, một điểm và ba tuyến tính bất kỳ vectơ độc lập:

nguồn gốc, và không đồng phẳng vectơ, được thực hiện theo một thứ tự nhất định, đặt hệ tọa độ affine của không gian ba chiều :

Tất nhiên, lưới tọa độ là "xiên" và không thuận tiện, nhưng, tuy nhiên, hệ tọa độ được xây dựng cho phép chúng ta chắc chắn xác định tọa độ của một vectơ bất kỳ và tọa độ của một điểm bất kỳ trong không gian. Tương tự như mặt phẳng, trong hệ tọa độ affine của không gian, một số công thức mà tôi đã đề cập sẽ không hoạt động.

Trường hợp đặc biệt quen thuộc và thuận tiện nhất của hệ tọa độ affine, như mọi người có thể đoán, là hệ tọa độ không gian hình chữ nhật:

điểm trong không gian được gọi là nguồn gốc, và chính thống bộ cơ sở Hệ tọa độ Descartes của không gian . hình ảnh quen thuộc:

Trước khi tiến hành các công việc thực tế, chúng tôi hệ thống hóa lại thông tin:

Vì ba vectơ dấu cách tương đương với các câu lệnh sau:
1) các vectơ là độc lập tuyến tính;
2) vectơ tạo thành một cơ sở;
3) các vectơ không đồng phẳng;
4) các vectơ không thể biểu diễn tuyến tính qua nhau;
5) định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này, khác 0.

Tôi nghĩ rằng những tuyên bố trái ngược nhau là điều dễ hiểu.

Theo truyền thống, sự phụ thuộc / độc lập tuyến tính của vectơ không gian được kiểm tra bằng cách sử dụng định thức (mục 5). Còn lại nhiệm vụ thực tế sẽ có một ký tự đại số được phát âm. Đã đến lúc treo một cây gậy hình học lên đinh và sử dụng một cây gậy bóng chày đại số tuyến tính:

Ba vectơ không gian là đồng phẳng nếu và chỉ khi định thức bao gồm tọa độ của các vectơ đã cho bằng 0: .

Tôi thu hút sự chú ý của bạn đến một sắc thái kỹ thuật nhỏ: tọa độ của vectơ không chỉ có thể được viết trong các cột mà còn trong các hàng (giá trị của định thức sẽ không thay đổi so với điều này - hãy xem các thuộc tính của định thức). Nhưng nó tốt hơn nhiều trong các cột, vì nó có lợi hơn cho việc giải quyết một số vấn đề thực tế.

Đối với những độc giả đã quên các phương pháp tính toán các định thức một chút, hoặc có thể họ định hướng kém, tôi đề xuất một trong những bài học lâu đời nhất của tôi: Làm thế nào để tính định thức?

Ví dụ 6

Kiểm tra xem các vectơ sau có tạo thành cơ sở của không gian ba chiều hay không:

Quyết định: Trong thực tế, toàn bộ giải pháp đi xuống để tính toán định thức.

a) Tính định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ (định thức được khai triển trên dòng đầu tiên):

, có nghĩa là các vectơ là độc lập tuyến tính (không đồng phẳng) và tạo thành cơ sở của một không gian ba chiều.

Trả lời: các vectơ này tạo thành cơ sở

b) Đây là một điểm cho quyết định độc lập. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.

gặp gỡ và nhiệm vụ sáng tạo:

Ví dụ 7

Tại giá trị nào của tham số các vectơ sẽ đồng phẳng?

Quyết định: Vectơ là đồng phẳng nếu và chỉ khi định thức bao gồm tọa độ của các vectơ đã cho bằng 0:

Về cơ bản, nó được yêu cầu để giải một phương trình với một định thức. Chúng tôi bay vào các số không như diều vào các trò chơi giật gân - sẽ có lợi nhất khi mở định thức ở dòng thứ hai và ngay lập tức loại bỏ các điểm tối thiểu:

Chúng tôi thực hiện đơn giản hóa hơn nữa và giảm vấn đề xuống mức đơn giản nhất phương trình đường thẳng:

Trả lời: tại

Có thể dễ dàng kiểm tra ở đây, đối với điều này, bạn cần thay thế giá trị kết quả thành định thức ban đầu và đảm bảo rằng bằng cách mở lại nó.

Cuối cùng, hãy xem xét thêm một nhiệm vụ điển hình, mang tính chất đại số hơn và theo truyền thống được đưa vào khóa học đại số tuyến tính. Nó phổ biến đến mức nó xứng đáng có một chủ đề riêng:

Chứng minh rằng 3 vectơ tạo thành một cơ sở của một không gian ba chiều
và tìm tọa độ của vectơ thứ 4 trong cơ sở đã cho

Ví dụ 8

Các vectơ đã cho. Chứng tỏ rằng các vectơ tạo thành một cơ sở của không gian ba chiều và tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở này.

Quyết định: Hãy đối phó với điều kiện trước. Theo điều kiện, bốn vectơ được đưa ra, và như bạn có thể thấy, chúng đã có tọa độ trên cơ sở nào đó. Cơ sở là gì - chúng tôi không quan tâm. Và điều đáng quan tâm sau đây: ba vectơ cũng có thể tạo thành một cơ sở mới. Và bước đầu tiên hoàn toàn giống với cách giải của Ví dụ 6, cần kiểm tra xem các vectơ có thực sự độc lập tuyến tính hay không:

Tính định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ:

, do đó các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành cơ sở của một không gian ba chiều.

! Quan trọng : tọa độ vectơ nhất thiết viết ra thành các cộtđịnh thức, không phải chuỗi. Nếu không, sẽ có sự nhầm lẫn trong thuật toán giải pháp tiếp theo.

Nền tảng(βασις trong tiếng Hy Lạp cổ đại, cơ sở) - tập hợp các vectơ như vậy trong không gian vector rằng bất kỳ vectơ nào của không gian này có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ từ tập hợp này - vectơ cơ sở

Cơ sở trong không gian R n là bất kỳ hệ nào từ N-vectơ độc lập tuyến tính. Mỗi vectơ từ R n không có trong cơ sở có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở, tức là mở rộng trên cơ sở.
Cho là một cơ sở của không gian R n và. Khi đó, có các số λ 1, λ 2,…, λ n sao cho .
Các hệ số khai triển λ 1, λ 2, ..., λ n, được gọi là tọa độ của vectơ trong cơ sở B. Nếu cho trước cơ sở thì hệ số của vectơ được xác định duy nhất.

Nhận xét. Trong mỗi N-không gian vectơ chiều, người ta có thể chọn vô số các căn cứ khác nhau. Trong các cơ sở khác nhau, cùng một vectơ có các tọa độ khác nhau, nhưng duy nhất ở cơ sở đã chọn. Ví dụ. Mở rộng vectơ về mặt.
Quyết định. . Thay thế các tọa độ của tất cả các vectơ và thực hiện các hành động trên chúng:

Lập phương trình tọa độ, ta thu được hệ phương trình:

Hãy giải quyết nó: .
Do đó, chúng tôi nhận được sự mở rộng: .
Trong cơ sở, vectơ có tọa độ.

Kết thúc công việc -

Chủ đề này thuộc về:

Khái niệm vectơ. Các phép toán tuyến tính trên vectơ

Vectơ là một đoạn có hướng có độ dài nhất định i e đoạn chiều dài nhất định mà có một trong các điểm giới hạn của nó .. độ dài của một vectơ được gọi là môđun của nó và được biểu thị bằng môđun ký hiệu của vectơ .. vectơ được gọi là số không được ký hiệu nếu điểm đầu và điểm cuối của nó trùng nhau. vectơ 0 không có xác định ..

Nếu bạn cần tài liệu bổ sung về chủ đề này, hoặc bạn không tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng tìm kiếm trong cơ sở dữ liệu về các tác phẩm của chúng tôi:

Chúng tôi sẽ làm gì với tài liệu nhận được:

Nếu tài liệu này hữu ích cho bạn, bạn có thể lưu nó vào trang của mình trên mạng xã hội:

Trong phép tính vectơ và các ứng dụng của nó tầm quan trọng lớn có một bài toán phân rã, bao gồm việc biểu diễn một vectơ đã cho dưới dạng tổng của một số vectơ, được gọi là các thành phần của một

vectơ. Bài toán này, trong trường hợp tổng quát có vô số nghiệm, trở nên khá xác định nếu một số phần tử của vectơ hợp thành được chỉ rõ.

2. Các ví dụ về sự phân hủy.

Chúng ta hãy xem xét một số trường hợp phân hủy rất phổ biến.

1. Chia vectơ c đã cho thành hai vectơ thành phần trong đó một vectơ, chẳng hạn a, được cho về độ lớn và hướng.

Vấn đề được rút gọn để xác định sự khác biệt giữa hai vectơ. Thật vậy, nếu các vectơ là thành phần của vectơ c thì đẳng thức

Từ đây, véc tơ thành phần thứ hai được xác định

2. Chia vectơ c đã cho thành hai thành phần, một trong số đó phải nằm trong máy bay đã cho và thứ hai phải nằm trên dòng cho trước a.

Để xác định các vectơ thành phần, chúng ta di chuyển vectơ c sao cho đầu của nó trùng với giao điểm của đường thẳng đã cho với mặt phẳng (điểm O - xem Hình 18). Vẽ một đường thẳng từ điểm cuối của vectơ c (điểm C) đến

giao với mặt phẳng (B là giao điểm) thì từ C ta kẻ một đường thẳng song song

Các vectơ và sẽ được tìm kiếm, tức là, một cách tự nhiên, có thể phân rã được chỉ ra nếu đường thẳng a và mặt phẳng không song song.

3. Ba vectơ đồng phẳng a, b và c đã cho và các vectơ không thẳng hàng. Yêu cầu phân rã vectơ c thành vectơ

Hãy lấy cả ba vectơ đã chođến một điểm O. Sau đó, do sự đồng phẳng của chúng, chúng sẽ nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên vector cho trước Với như trên đường chéo, chúng ta xây dựng một hình bình hành, các cạnh của chúng song song với các đường hoạt động của các vectơ (Hình 19). Cấu trúc này luôn có thể thực hiện được (trừ khi các vectơ thẳng hàng) và duy nhất. Từ hình. 19 cho thấy rằng

L. 2-1 Các khái niệm cơ bản của đại số vectơ. Các phép toán tuyến tính trên vectơ.

Sự phân rã của một vectơ về cơ sở.

Các khái niệm cơ bản của đại số vectơ

Vectơ là tập hợp tất cả các phân đoạn có hướng có cùng chiều dài và hướng
.

Tính chất:

Các phép toán tuyến tính trên vectơ

1.

Quy tắc hình bình hành:

Với ummah hai vectơ và gọi là vectơ , ra khỏi điểm gốc chung của chúng và là đường chéo của một hình bình hành được xây dựng trên vectơ và như ở hai bên.

Quy tắc đa giác:

Để xây dựng tổng của một số vectơ bất kỳ, bạn cần đặt đầu số 2 vào cuối số hạng 1 của vectơ, đầu số 3 vào cuối số thứ 2, v.v. Vectơ đóng kết quả đường đứt đoạn, là tổng. Khởi đầu của nó trùng với đầu của cái đầu tiên, và phần cuối với phần cuối của cái cuối cùng.

Tính chất:

2.

Sản phẩm vector mỗi số , được gọi là vectơ thỏa mãn các điều kiện:
.

Tính chất:

3.

Sự khác biệt vectơ và gọi vector bằng tổng của vectơ và một vectơ đối nghịch với vectơ , I E.
.

- luật đối của nguyên tố (vectơ).

Sự phân rã của một vectơ theo cơ sở

Tổng các vectơ được xác định theo một cách duy nhất
(chỉ còn ). Thao tác ngược lại, việc phân tách một vectơ thành một số thành phần, là không rõ ràng: Để làm cho nó rõ ràng, cần phải chỉ ra các hướng mà sự mở rộng của vectơ được xem xét xảy ra, hoặc, như họ nói, cần phải chỉ ra nền tảng.

Khi xác định cơ sở, yêu cầu về tính không đồng dạng và không thẳng hàng của các vectơ là điều cần thiết. Để hiểu ý nghĩa của yêu cầu này, cần xem xét khái niệm phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của vectơ.

Biểu thức tùy ý của biểu mẫu:, được gọi là kết hợp tuyến tính vectơ
.

Một tổ hợp tuyến tính của một số vectơ được gọi là không đáng kể nếu tất cả các hệ số của nó bằng không.

Vectơ
triệu tập phụ thuộc tuyến tính, nếu có sự kết hợp tuyến tính không tầm thường của các vectơ này bằng 0:
(1), cung cấp
. Nếu đẳng thức (1) chỉ áp dụng cho tất cả
đồng thời bằng 0, sau đó vectơ khác không
sẽ độc lập tuyến tính.

Thật dễ dàng để chứng minh: hai vectơ thẳng hàng bất kỳ phụ thuộc tuyến tính và hai vectơ không thẳng hàng độc lập tuyến tính.

Chúng tôi bắt đầu chứng minh với khẳng định đầu tiên.

Để các vectơ và thẳng hàng. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng chúng phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, nếu chúng thẳng hàng, thì chúng chỉ khác nhau bởi một yếu tố số, tức là
, vì thế
. Vì kết hợp tuyến tính thu được rõ ràng là không tầm thường và bằng "0", nên vectơ và phụ thuộc tuyến tính.

Bây giờ hãy xem xét hai vectơ không thẳng hàng và . Hãy để chúng tôi chứng minh rằng chúng độc lập tuyến tính. Chúng tôi xây dựng bằng chứng bằng sự mâu thuẫn.

Chúng tôi giả định rằng chúng phụ thuộc tuyến tính. Sau đó, phải tồn tại một tổ hợp tuyến tính không tầm thường
. Hãy giả vờ như vậy
, sau đó
. Kết quả bằng nhau có nghĩa là các vectơ và thẳng hàng, trái với giả định ban đầu của chúng tôi.

Tương tự, người ta có thể chứng minh: bất kỳ ba vectơ đồng phẳng nào là phụ thuộc tuyến tính và hai vectơ không đồng phẳng là độc lập tuyến tính.

Quay trở lại khái niệm cơ sở và bài toán khai triển một vectơ trong một cơ sở nhất định, chúng ta có thể nói rằng cơ sở trên mặt phẳng và trong không gian được hình thành từ tập các vectơ độc lập tuyến tính. Khái niệm cơ sở như vậy là chung chung, vì nó có thể áp dụng cho một không gian có nhiều kích thước bất kỳ.

Biểu hiện như:
, được gọi là sự phân rã của vectơ bằng vectơ ,…,.

Nếu chúng ta xem xét một cơ sở trong không gian ba chiều, thì sự phân rã của vectơ nền tảng
sẽ
, ở đâu
-tọa độ vector.

Trong bài toán khai triển một vectơ tùy ý theo cơ sở nào đó, phát biểu sau đây rất quan trọng: bất kỳ vectơ nàocó thể được phân hủy theo một cách duy nhất trong cơ sở nhất định
. Nói cách khác, tọa độ
cho bất kỳ vectơ nào liên quan đến cơ sở
được định nghĩa rõ ràng.

Việc giới thiệu một cơ sở trong không gian và trên một mặt phẳng làm cho nó có thể gán cho mỗi vectơ có thứ tự gấp ba (cặp) số - tọa độ của nó. Kết quả rất quan trọng này, giúp thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng hình học và các con số, giúp nó có thể mô tả và nghiên cứu một cách phân tích vị trí và chuyển động của các đối tượng vật lý.

Sự kết hợp của một điểm và một cơ sở được gọi là hệ tọa độ.

Nếu các vectơ tạo thành cơ sở là đơn vị và vuông góc với nhau, thì hệ trục tọa độ được gọi là hình hộp chữ nhật, và cơ sở chính thống.

L. 2-2 Tích của vectơ

Sự phân rã của một vectơ theo cơ sở

Xem xét vectơ
, được cho bởi tọa độ của nó:
.

- thành phần vectơ theo hướng của vectơ cơ sở
.

Biểu thức của biểu mẫu
được gọi là sự phân rã của vectơ nền tảng
.

Theo cách tương tự, người ta có thể phân hủy nền tảng
vectơ
:

.

Cosin của các góc tạo bởi vectơ đã xét với các vectơ cơ sở
triệu tập cosine hướng

;
;
.

Tích vô hướng của vectơ.

Tích vô hướng của hai vectơ và được gọi là số bằng tích môđun của các vectơ này theo cosin của góc giữa chúng

Tích vô hướng của hai vectơ có thể được coi là tích của môđun của một trong các vectơ này và phép chiếu trực giao của vectơ kia lên phương của vectơ thứ nhất
.

Tính chất:

Nếu tọa độ của các vectơ đã biết
và
, sau đó, đã mở rộng các vectơ về cơ sở
:
và
, tìm thấy

, tại vì
,
, sau đó

.

.

Điều kiện vuông góc của vectơ:
.

Điều kiện cộng đồng cho trình diễn:
.

Tích chéo của vectơ

hoặc

nghệ thuật vector mỗi vectơ một vectơ như vậy được gọi là
, thỏa mãn các điều kiện:

Tính chất:

Các thuộc tính đại số được coi là có thể tìm thấy một biểu thức phân tích cho tích chéo dưới dạng tọa độ của các vectơ thành phần trong cơ sở trực chuẩn.

Được cho:
và
.

tại vì ,
,
,
,
,
,
, sau đó

. Công thức này có thể được viết ngắn hơn, dưới dạng định thức bậc ba:

.

Tích hỗn hợp của các vectơ

Tích hỗn hợp của ba vectơ ,và được gọi là một số bằng tích vectơ
, được nhân tỉ lệ với vectơ .

Đẳng thức sau là đúng:
, vì vậy sản phẩm hỗn hợp được viết
.

Như sau từ định nghĩa, kết quả của một hỗn hợp sản phẩm của ba vectơ là một số. Con số này có ý nghĩa hình học rõ ràng:

Mô-đun sản phẩm hỗn hợp
bằng với thể tích của hình bình hành được xây dựng trên phần giảm xuống khởi đầu chung vectơ ,và .

Thuộc tính sản phẩm hỗn hợp:

Nếu các vectơ ,,được đưa ra trong cơ sở chính thống
tọa độ của chúng, việc tính tích hỗn hợp được thực hiện theo công thức

.

Thật vậy, nếu
, sau đó

;
;
, sau đó
.

Nếu các vectơ ,,là đồng phẳng, sau đó là tích vectơ
vuông góc với vectơ . Và ngược lại, nếu
, khi đó thể tích của hình bình hành bằng 0, và điều này chỉ có thể xảy ra nếu các vectơ là đồng phẳng (phụ thuộc tuyến tính).

Do đó, ba vectơ là đồng phẳng nếu và chỉ khi tích hỗn hợp của chúng bằng không.