Với video này, tôi bắt đầu một loạt bài học dài về các dẫn xuất. Bài học này có một số phần.

Trước hết, tôi sẽ nói cho các bạn biết đạo hàm nói chung là gì và cách tính chúng, nhưng không phải theo ngôn ngữ hàn lâm cầu kỳ, mà theo cách tôi tự hiểu và cách tôi giải thích cho học sinh của mình. Thứ hai, chúng ta sẽ xem xét quy tắc đơn giản nhất để giải các bài toán, trong đó chúng ta sẽ tìm các đạo hàm của tổng, đạo hàm của một hiệu và các đạo hàm của một hàm lũy thừa.

Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ kết hợp phức tạp hơn, đặc biệt, từ đó bạn sẽ học được rằng các bài toán tương tự liên quan đến căn và thậm chí là phân số có thể được giải bằng cách sử dụng công thức cho đạo hàm của một hàm lũy thừa. Ngoài ra, tất nhiên, sẽ có nhiều nhiệm vụ và ví dụ về các giải pháp với nhiều mức độ phức tạp khác nhau.

Nói chung, ban đầu tôi định quay một đoạn video ngắn 5 phút, nhưng bạn có thể tự mình xem điều gì đã xảy ra. Như vậy là đủ của lời bài hát - hãy bắt tay vào việc kinh doanh.

Đạo hàm là gì?

Vì vậy, hãy bắt đầu từ xa. Nhiều năm trước, khi cây cối xanh tươi hơn và cuộc sống vui vẻ hơn, các nhà toán học đã nghĩ về điều này: hãy xem xét một hàm đơn giản được cho bởi đồ thị của nó, hãy gọi nó là $ y = f \ left (x \ right) $. Tất nhiên, biểu đồ không tồn tại tự nó, vì vậy bạn cần vẽ trục $ x $, cũng như trục $ y $. Và bây giờ chúng ta hãy chọn bất kỳ điểm nào trên đồ thị này, hoàn toàn là bất kỳ. Hãy gọi abscissa $ ((x) _ (1)) $, thứ hạng, như bạn có thể đoán, sẽ là $ f \ left (((x) _ (1)) \ right) $.

Xem xét một điểm khác trên cùng một đồ thị. Không quan trọng cái nào, cái chính là nó khác với bản gốc. Nó, một lần nữa, có một abscissa, hãy gọi nó là $ ((x) _ (2)) $, cũng như một đơn vị - $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $.

Vì vậy, chúng tôi có hai điểm: chúng có các abscissas khác nhau và do đó, các giá trị hàm khác nhau, mặc dù giá trị sau là tùy chọn. Nhưng điều thực sự quan trọng là chúng ta biết từ khóa học về phép đo phẳng rằng một đường thẳng có thể được vẽ qua hai điểm và hơn nữa, chỉ một điểm. Đây, hãy chạy nó.

Và bây giờ chúng ta hãy vẽ một đường thẳng qua đầu tiên của chúng, song song với trục x. Chúng tôi nhận được một tam giác vuông. Gọi nó là $ ABC $, góc vuông $ C $. Tam giác này có một tính chất rất thú vị: thực tế là góc $ \ alpha $ bằng với góc mà đường thẳng $ AB $ giao với phần tiếp theo của trục abscissa. Phán xét cho chính mình:

1. đường thẳng $ AC $ song song với trục $ Ox $ bằng cách dựng,
2. dòng $ AB $ giao với $ AC $ dưới $ \ alpha $,
3. do đó $ AB $ giao với $ Ox $ dưới cùng một $ \ alpha $.

Chúng ta có thể nói gì về $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $? Không có gì cụ thể, ngoại trừ việc trong tam giác $ ABC $ tỉ số của chân $ BC $ với chân $ AC $ bằng với tiếp tuyến của chính góc này. Vì vậy, chúng ta hãy viết:

Tất nhiên, $ AC $ trong trường hợp này dễ dàng xem xét:

Tương tự cho $ BC $:

Nói cách khác, chúng ta có thể viết như sau:

\ [\ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () = \ frac (f \ left (((x) _ (2)) \ right) -f \ left ( ((x) _ (1)) \ right)) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \]

Bây giờ chúng ta đã hoàn thành tất cả những điều đó, hãy quay lại biểu đồ của chúng ta và nhìn vào điểm $ B $ mới. Xóa các giá trị cũ và lấy và lấy $ B $ ở một nơi nào đó gần $ ((x) _ (1)) $ hơn. Một lần nữa, hãy biểu thị abscissa của nó là $ ((x) _ (2)) $ và thứ tự của nó là $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $.

Hãy xem xét lại tam giác nhỏ $ ABC $ và $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $ bên trong nó. Rõ ràng rằng đây sẽ là một góc hoàn toàn khác, tiếp tuyến cũng sẽ khác vì độ dài của các đoạn $ AC $ và $ BC $ đã thay đổi đáng kể, và công thức tiếp tuyến của góc không thay đổi gì cả - đây vẫn là tỷ lệ giữa việc thay đổi hàm và thay đổi đối số.

Cuối cùng, chúng ta tiếp tục di chuyển $ B $ ngày càng gần với điểm ban đầu $ A $, kết quả là hình tam giác sẽ giảm hơn nữa và đường chứa đoạn $ AB $ sẽ ngày càng giống một tiếp tuyến của đồ thị của hàm số.

Kết quả là, nếu chúng ta tiếp tục tiếp cận các điểm, tức là giảm khoảng cách về 0, thì đường thẳng $ AB $ sẽ thực sự biến thành một tiếp tuyến của đồ thị tại điểm này và $ \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () $ sẽ thay đổi từ một phần tử tam giác đều thành một góc giữa tiếp tuyến của đồ thị và chiều dương của trục $ Ox $.

Và ở đây chúng ta chuyển sang định nghĩa của $ f $ một cách dễ dàng, cụ thể là, đạo hàm của hàm tại điểm $ ((x) _ (1)) $ là tiếp tuyến của góc $ \ alpha $ giữa tiếp tuyến với vẽ đồ thị tại điểm $ ((x) _ (1)) $ và chiều dương của trục $ Ox $:

\ [(f) "\ left (((x) _ (1)) \ right) = \ tên toán tử (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () \]

Quay trở lại biểu đồ của chúng ta, cần lưu ý rằng với $ ((x) _ (1)) $, bạn có thể chọn bất kỳ điểm nào trên biểu đồ. Ví dụ, với cùng một thành công, chúng ta có thể loại bỏ nét vẽ tại điểm được hiển thị trong hình.

Gọi góc giữa tiếp tuyến và chiều dương của trục là $ \ beta $. Theo đó, $ f $ trong $ ((x) _ (2)) $ sẽ bằng tiếp tuyến của góc này $ \ beta $.

\ [(f) "\ left (((x) _ (2)) \ right) = tg \ text () \! \! \ beta \! \! \ text () \]

Mỗi điểm của đồ thị sẽ có tiếp tuyến riêng của nó, và do đó, giá trị của hàm số đó. Trong mỗi trường hợp này, ngoài điểm mà chúng ta đang tìm đạo hàm của một hiệu hoặc một tổng, hoặc đạo hàm của một hàm lũy thừa, thì cần phải lấy một điểm khác nằm cách nó một khoảng nào đó, và sau đó hướng điểm này đến điểm ban đầu và tất nhiên, tìm hiểu xem trong quá trình chuyển động như thế nào sẽ làm thay đổi tiếp tuyến của góc nghiêng.

Đạo hàm hàm lũy thừa

Thật không may, định nghĩa này không phù hợp với chúng tôi chút nào. Tất cả những công thức, hình ảnh, góc độ này không cung cấp cho chúng ta một chút ý tưởng nào về cách tính đạo hàm thực trong các bài toán thực tế. Do đó, hãy lạc đề một chút từ định nghĩa chính thức và xem xét các công thức và kỹ thuật hiệu quả hơn mà bạn đã có thể giải quyết các vấn đề thực tế.

Hãy bắt đầu với các cấu trúc đơn giản nhất, cụ thể là các hàm có dạng $ y = ((x) ^ (n)) $, tức là các chức năng quyền lực. Trong trường hợp này, chúng ta có thể viết như sau: $ (y) "= n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $. Nói cách khác, độ của số mũ được hiển thị trong cấp số nhân ở phía trước và bản thân số mũ được giảm đi theo đơn vị, ví dụ:

\ [\ begin (align) & y = ((x) ^ (2)) \\ & (y) "= 2 \ cdot ((x) ^ (2-1)) = 2x \\\ end (align) \]

Và đây là một tùy chọn khác:

\ [\ begin (align) & y = ((x) ^ (1)) \\ & (y) "= ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \ cdot ((x ) ^ (0)) = 1 \ cdot 1 = 1 \\ & ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \\\ end (align) \]

Sử dụng các quy tắc đơn giản này, chúng ta hãy thử loại bỏ các ví dụ sau:

Vì vậy, chúng tôi nhận được:

\ [((\ left (((x) ^ (6)) \ right)) ^ (\ prime)) = 6 \ cdot ((x) ^ (5)) = 6 ((x) ^ (5)) \]

Bây giờ hãy giải biểu thức thứ hai:

\ [\ begin (align) & f \ left (x \ right) = ((x) ^ (100)) \\ & ((\ left (((x) ^ (100)) \ right)) ^ (\ số nguyên tố)) = 100 \ cdot ((x) ^ (99)) = 100 ((x) ^ (99)) \\\ end (align) \]

Tất nhiên, đây là những nhiệm vụ rất đơn giản. Tuy nhiên, các bài toán thực tế phức tạp hơn và chúng không giới hạn ở quyền hạn của một hàm.

Vì vậy, quy tắc số 1 - nếu hàm được biểu diễn dưới dạng hai hàm kia, thì đạo hàm của tổng này bằng tổng của các đạo hàm:

\ [((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "+ (g)" \]

Tương tự, đạo hàm của hiệu của hai hàm số bằng hiệu của đạo hàm:

\ [((\ left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" \]

\ [((\ left (((x) ^ (2)) + x \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ số nguyên tố)) + ((\ left (x \ right)) ^ (\ số nguyên tố)) = 2x + 1 \]

Ngoài ra, có một quy tắc quan trọng khác: nếu một số $ f $ đứng trước một hằng số $ c $ mà hàm này được nhân lên, thì $ f $ của toàn bộ cấu trúc này được coi như sau:

\ [((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) "\]

\ [((\ left (3 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ số nguyên tố)) = 3 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 9 ((x) ^ (2)) \]

Cuối cùng, một quy tắc rất quan trọng nữa: các bài toán thường chứa một thuật ngữ riêng biệt hoàn toàn không chứa $ x $. Ví dụ, chúng ta có thể quan sát điều này trong các biểu thức ngày nay của chúng ta. Đạo hàm của một hằng số, tức là một số không phụ thuộc vào bất kỳ cách nào vào $ x $, luôn bằng 0 và điều đó không quan trọng chút nào khi hằng số $ c $ bằng:

\ [((\ left (c \ right)) ^ (\ prime)) = 0 \]

Ví dụ giải pháp:

\ [((\ left (1001 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (1) (1000) \ right)) ^ (\ prime)) = 0 \]

Một lần nữa các điểm chính:

1. Đạo hàm của tổng hai hàm luôn bằng tổng của các đạo hàm: $ ((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "+ (g)" $;
2. Vì những lý do tương tự, đạo hàm của hiệu của hai hàm bằng hiệu của hai đạo hàm: $ ((\ left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" $;
3. Nếu hàm có một hằng số thừa số, thì hằng số này có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm: $ ((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) " $;
4. Nếu toàn bộ hàm là một hằng số, thì đạo hàm của nó luôn bằng 0: $ ((\ left (c \ right)) ^ (\ prime)) = 0 $.

Hãy xem tất cả hoạt động như thế nào với các ví dụ thực tế. Cho nên:

Chúng tôi viết ra:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (5)) \ right)) ^ (\ số nguyên tố)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ số nguyên tố)) + (7) "= \\ & = 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + 0 = 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\ end (căn chỉnh) \]

Trong ví dụ này, chúng ta thấy cả đạo hàm của tổng và đạo hàm của hiệu. Vậy đạo hàm là $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $.

Hãy chuyển sang chức năng thứ hai:

Viết ra giải pháp:

\ [\ begin (align) & ((\ left (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (3 ((x) ^ ( 2)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (2x \ right)) ^ (\ prime)) + (2) "= \\ & = 3 ((\ left (((x)) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) - 2 (x) "+ 0 = 3 \ cdot 2x-2 \ cdot 1 = 6x-2 \\\ end (align) \]

Ở đây chúng tôi đã tìm thấy câu trả lời.

Hãy chuyển sang chức năng thứ ba - nó đã nghiêm trọng hơn:

\ [\ begin (align) & ((\ left (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + \ frac (1) (2) x-5 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right )) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ frac (1) (2) x \ right)) ^ (\ prime)) - (5) "= \\ & = 2 ((\ left (( (x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + \ frac (1) (2) \ cdot (x) "= 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \ cdot 2x + \ frac (1) (2) \ cdot 1 = 6 ((x) ^ (2)) -6x + \ frac (1) (2) \\\ end (align) \]

Chúng tôi đã tìm ra câu trả lời.

Hãy chuyển sang biểu thức cuối cùng - biểu thức phức tạp nhất và dài nhất:

Vì vậy, chúng tôi xem xét:

\ [\ begin (align) & ((\ left (6 ((x) ^ (7)) - 14 ((x) ^ (3)) + 4x + 5 \ right)) ^ (\ prime)) = ( (\ left (6 ((x) ^ (7)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (14 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (4x \ right)) ^ (\ prime)) + (5) "= \\ & = 6 \ cdot 7 \ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \ cdot 3 ((x ) ^ (2)) + 4 \ cdot 1 + 0 = 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\ end (align) \]

Nhưng giải pháp không kết thúc ở đó, bởi vì chúng ta không chỉ được yêu cầu loại bỏ nét vẽ mà còn tính giá trị của nó tại một điểm cụ thể, vì vậy chúng ta thay thế −1 thay vì $ x $ vào biểu thức:

\ [(y) "\ left (-1 \ right) = 42 \ cdot 1-42 \ cdot 1 + 4 = 4 \]

Chúng tôi đi xa hơn và chuyển sang các ví dụ phức tạp hơn và thú vị hơn. Vấn đề là công thức giải đạo hàm lũy thừa $ ((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1) ) $ có một phạm vi thậm chí còn rộng hơn những gì thường được tin tưởng. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể giải các ví dụ với phân số, căn, v.v. Đây là những gì chúng ta sẽ làm bây giờ.

Để bắt đầu, hãy viết lại công thức một lần nữa, công thức này sẽ giúp chúng ta tìm đạo hàm của hàm lũy thừa:

Và bây giờ chú ý: cho đến nay chúng ta chỉ coi các số tự nhiên là $ n $, nhưng không có gì ngăn cản chúng ta xem xét các phân số và số chẵn âm. Ví dụ, chúng ta có thể viết như sau:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ số nguyên tố)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ right)) ^ (\ số nguyên tố)) = \ frac (1) (2) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (x)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\\ end (căn chỉnh) \]

Không có gì phức tạp, vì vậy hãy xem công thức này sẽ giúp chúng ta như thế nào trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp hơn. Vì vậy, một ví dụ:

Viết ra giải pháp:

\ [\ begin (align) & \ left (\ sqrt (x) + \ sqrt (x) + \ sqrt (x) \ right) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime )) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ ( \ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot ((x ) ^ (- \ frac (2) (3))) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\ & (( \ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) (4) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x)) ^ (3)))) \\\ end (align) \]

Hãy quay lại ví dụ của chúng ta và viết:

\ [(y) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \]

Đây là một quyết định khó khăn.

Hãy chuyển sang ví dụ thứ hai - chỉ có hai thuật ngữ, nhưng mỗi thuật ngữ đều chứa cả bậc cổ điển và gốc.

Bây giờ chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của hàm lũy thừa, ngoài ra, hàm này còn chứa một gốc:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) \ sqrt (((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = (( \ left (((x) ^ (3+ \ frac (2) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (11) (3 ))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (\ frac (8) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2 \ frac (2) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2 ))) \\ & ((\ left (((x) ^ (7)) \ cdot \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7) )) \ cdot ((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7 \ frac (1) (3) ))) \ right)) ^ (\ prime)) = 7 \ frac (1) (3) \ cdot ((x) ^ (6 \ frac (1) (3))) = \ frac (22) (3 ) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \\\ end (align) \]

Cả hai điều khoản đều được tính toán, nó vẫn còn để viết ra câu trả lời cuối cùng:

\ [(y) "= \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) + \ frac (22) (3) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \]

Chúng tôi đã tìm ra câu trả lời.

Đạo hàm của một phân số dưới dạng hàm lũy thừa

Nhưng các khả năng của công thức giải đạo hàm của một hàm lũy thừa không kết thúc ở đó. Thực tế là với sự trợ giúp của nó, bạn có thể đếm không chỉ các ví dụ với căn mà còn với phân số. Đây chỉ là cơ hội hiếm có giúp đơn giản hóa rất nhiều lời giải của các ví dụ như vậy, nhưng thường bị bỏ qua không chỉ bởi học sinh, mà cả giáo viên.

Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ cố gắng kết hợp hai công thức cùng một lúc. Một mặt, đạo hàm cổ điển của hàm lũy thừa

\ [((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

Mặt khác, chúng ta biết rằng biểu thức có dạng $ \ frac (1) (((x) ^ (n))) $ có thể được biểu diễn dưới dạng $ ((x) ^ (- n)) $. Vì thế,

\ [\ left (\ frac (1) (((x) ^ (n))) \ right) "= ((\ left (((x) ^ (- n)) \ right)) ^ (\ prime) ) = - n \ cdot ((x) ^ (- n-1)) = - \ frac (n) (((x) ^ (n + 1))) \]

\ [((\ left (\ frac (1) (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ left (((x) ^ (- 1)) \ right) = - 1 \ cdot ((x ) ^ (- 2)) = - \ frac (1) (((x) ^ (2))) \]

Do đó, các đạo hàm của phân số đơn giản, trong đó tử số là hằng số và mẫu số là bậc, cũng được tính bằng công thức cổ điển. Hãy xem nó hoạt động như thế nào trong thực tế.

Vì vậy, chức năng đầu tiên:

\ [((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (- 2)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot ((x) ^ (- 3)) = - \ frac (2) (((x) ^ (3))) \]

Ví dụ đầu tiên đã được giải quyết, hãy chuyển sang ví dụ thứ hai:

\ [\ begin (align) & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) + \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ \ & = ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (\ frac (2) (3 (( x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left ( 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) \\ & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7) (4) ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7 ) (4) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7) (4) \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ left (\ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) \ phải)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ right) ) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) ( 3) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 4)) = \ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ left ( \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (5) (2) \ cdot 2x = 5x \\ & ((\ left (2) ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 6 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ left (3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 \ cdot 4 ((x) ^ (3)) = 12 ((x) ^ (3)) \\\ end (align) \] ...

Bây giờ chúng tôi thu thập tất cả các thuật ngữ này trong một công thức duy nhất:

\ [(y) "= - \ frac (7) (((x) ^ (5))) + \ frac (2) (((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \]

Chúng tôi đã nhận được phản hồi.

Tuy nhiên, trước khi tiếp tục, tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn về hình thức viết chính các biểu thức ban đầu: trong biểu thức đầu tiên, chúng tôi viết $ f \ left (x \ right) = ... $, trong biểu thức thứ hai: $ y = ... $ Nhiều học sinh đã bị lạc khi nhìn thấy các dạng ký hiệu khác nhau. Sự khác biệt giữa $ f \ left (x \ right) $ và $ y $ là gì? Thực sự không có gì. Chúng chỉ là những mục khác nhau với cùng một ý nghĩa. Chỉ là khi chúng ta nói $ f \ left (x \ right) $, thì trước hết chúng ta đang nói về một hàm, và khi chúng ta nói về $ y $, chúng ta thường nói đến đồ thị của hàm. Ngược lại, nó giống nhau, tức là đạo hàm được coi là giống nhau trong cả hai trường hợp.

Các vấn đề phức tạp với các dẫn xuất

Tóm lại, tôi muốn xem xét một số bài toán kết hợp phức tạp sử dụng tất cả mọi thứ mà chúng ta đã xem xét ngày hôm nay cùng một lúc. Trong chúng, chúng ta đang chờ đợi các gốc, phân số và tổng. Tuy nhiên, những ví dụ này sẽ phức tạp chỉ trong khuôn khổ của video hướng dẫn hôm nay, bởi vì các hàm đạo hàm thực sự phức tạp sẽ chờ bạn ở phía trước.

Vì vậy, phần cuối cùng của video hướng dẫn hôm nay, bao gồm hai tác vụ kết hợp. Hãy bắt đầu với cái đầu tiên:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) - \ frac (1) (((x) ^ (3))) + \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3)) )) \ right)) ^ (\ prime)) + \ left (\ sqrt (x) \ right) \\ & ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime) ) = 3 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (- 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 3 \ cdot ((x) ^ (- 4)) = - \ frac (3) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (\ frac (2) (3)))) = \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\ end (align) \]

Đạo hàm của hàm số là:

\ [(y) "= 3 ((x) ^ (2)) - \ frac (3) (((x) ^ (4))) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \]

Ví dụ đầu tiên được giải quyết. Hãy xem xét vấn đề thứ hai:

Trong ví dụ thứ hai, chúng tôi hành động tương tự:

\ [((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) + \ sqrt (x) + \ frac (4) (x \ sqrt (((x) ^ (3)) )) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ right)) ^ (\nguyên tố))\]

Hãy tính toán từng số hạng riêng biệt:

\ [\ begin (align) & ((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot ((\ left ( ((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (8 ) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac ( 1) (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1 ) (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ & ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (((x) ^ (1 \ frac (3) ) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = 4 \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 1 \ frac (3) (4))) \ right)) ^ ( \ prime)) = \\ & = 4 \ cdot \ left (-1 \ frac (3) (4) \ right) \ cdot ((x) ^ (- 2 \ frac (3) (4))) = 4 \ cdot \ left (- \ frac (7) (4) \ right) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (2 \ frac (3) (4)))) = \ frac (-7) (((x) ^ (2)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = - \ frac (7) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\ end (align) \]

Tất cả các điều khoản đều được tính. Bây giờ chúng ta quay trở lại công thức ban đầu và cộng cả ba số hạng lại với nhau. Chúng tôi hiểu rằng câu trả lời cuối cùng sẽ là:

\ [(y) "= \ frac (8) (((x) ^ (5))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) - \ frac (7 ) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \]

Và đó là tất cả. Đây là bài học đầu tiên của chúng tôi. Trong các bài học tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét các cấu trúc phức tạp hơn, đồng thời cũng tìm hiểu lý do tại sao lại cần các đạo hàm.

Cấp độ đầu tiên

Đạo hàm hàm số. Hướng dẫn Toàn diện (2019)

Hãy tưởng tượng một con đường thẳng đi qua một khu vực đồi núi. Đó là, nó đi lên và xuống, nhưng không rẽ phải hoặc trái. Nếu trục được hướng theo phương ngang dọc theo đường và theo phương thẳng đứng, thì đường sẽ rất giống với đồ thị của một số hàm số liên tục:

Trục là một mức độ cao nào đó bằng không, trong cuộc sống chúng ta sử dụng mực nước biển như nó.

Tiến về phía trước dọc theo một con đường như vậy, chúng ta cũng đang đi lên hoặc đi xuống. Chúng ta cũng có thể nói: khi đối số thay đổi (di chuyển dọc theo trục abscissa), giá trị của hàm thay đổi (di chuyển dọc theo trục tọa độ). Bây giờ chúng ta hãy suy nghĩ về cách xác định "độ dốc" của con đường của chúng ta? Giá trị này có thể là gì? Rất đơn giản: độ cao sẽ thay đổi bao nhiêu khi di chuyển về phía trước một quãng đường nhất định. Thật vậy, trên các đoạn đường khác nhau, di chuyển về phía trước (dọc theo đường trục) một km, chúng ta sẽ tăng hoặc giảm một số mét khác so với mực nước biển (dọc theo đường tọa độ).

Chúng tôi biểu thị tiến trình về phía trước (đọc là "delta x").

Chữ cái Hy Lạp (delta) thường được sử dụng trong toán học như một tiền tố có nghĩa là "thay đổi". Đó là - đây là một sự thay đổi về độ lớn, - một sự thay đổi; thế nó là gì? Đúng vậy, một sự thay đổi về kích thước.

Quan trọng: biểu thức là một thực thể duy nhất, một biến. Bạn không bao giờ được cắt bỏ "delta" khỏi "x" hoặc bất kỳ chữ cái nào khác! Đó là, chẳng hạn,.

Vì vậy, chúng tôi đã tiến về phía trước, theo chiều ngang, trên. Nếu chúng ta so sánh đường của con đường với đồ thị của một hàm số, thì làm thế nào để biểu thị sự gia tăng? Chắc chắn, . Đó là, khi tiến về phía trước, chúng ta sẽ vươn cao hơn.

Thật dễ dàng để tính toán giá trị: nếu lúc đầu chúng ta ở độ cao và sau khi di chuyển chúng ta ở độ cao thì. Nếu điểm kết thúc thấp hơn điểm bắt đầu, nó sẽ là số âm - điều này có nghĩa là chúng ta không tăng dần mà là giảm dần.

Quay lại "độ dốc": đây là giá trị cho biết chiều cao tăng lên bao nhiêu (độ dốc) khi di chuyển về phía trước trên một đơn vị quãng đường:

Giả sử trên một đoạn đường nào đó, khi tiến thêm km thì đường tăng thêm km. Khi đó độ dốc ở nơi này bằng nhau. Và nếu con đường, khi tiến lên bằng m, chìm đi bao nhiêu km? Khi đó hệ số góc bằng nhau.

Bây giờ hãy xem xét đỉnh của một ngọn đồi. Nếu bạn bắt đầu đoạn đường dài nửa km đến đỉnh và điểm cuối - nửa km sau nó, bạn có thể thấy rằng độ cao gần như bằng nhau.

Đó là, theo logic của chúng tôi, nó chỉ ra rằng độ dốc ở đây gần như bằng 0, điều này rõ ràng là không đúng. Rất nhiều thứ có thể thay đổi chỉ cách đó vài dặm. Các khu vực nhỏ hơn cần được xem xét để ước tính độ dốc chính xác và đầy đủ hơn. Ví dụ, nếu bạn đo sự thay đổi của chiều cao khi di chuyển một mét, kết quả sẽ chính xác hơn nhiều. Nhưng ngay cả độ chính xác này cũng có thể không đủ đối với chúng tôi - sau cùng, nếu có một cái cột ở giữa đường, chúng tôi có thể đơn giản băng qua nó. Khi đó chúng ta nên chọn khoảng cách nào? Centimet? Milimét? Ít hơn là tốt hơn!

Trong cuộc sống thực, đo khoảng cách chính xác đến từng milimet là quá đủ. Nhưng các nhà toán học luôn phấn đấu cho sự hoàn hảo. Do đó, khái niệm là vô số, nghĩa là, giá trị modulo nhỏ hơn bất kỳ số nào mà chúng ta có thể đặt tên. Ví dụ, bạn nói: một phần nghìn tỷ! Ít hơn bao nhiêu? Và bạn chia số này cho - và nó sẽ còn ít hơn. Vân vân. Nếu chúng ta muốn viết rằng giá trị là nhỏ vô hạn, chúng ta viết như thế này: (chúng ta đọc "x có xu hướng bằng không"). Điều rất quan trọng là phải hiểu rằng số này không bằng 0! Nhưng rất gần với nó. Điều này có nghĩa là nó có thể được chia thành.

Khái niệm đối lập với vô hạn nhỏ là vô hạn lớn (). Bạn có thể đã gặp nó khi bạn làm việc về các bất đẳng thức: con số này theo mô đun lớn hơn bất kỳ con số nào bạn có thể nghĩ đến. Nếu bạn nghĩ ra con số lớn nhất có thể, chỉ cần nhân nó với hai và bạn sẽ nhận được nhiều hơn nữa. Và sự vô hạn thậm chí còn nhiều hơn những gì xảy ra. Trong thực tế, lớn vô hạn và nhỏ vô hạn nghịch đảo với nhau, nghĩa là tại, và ngược lại: tại.

Bây giờ trở lại con đường của chúng tôi. Độ dốc được tính toán lý tưởng là độ dốc được tính toán cho một đoạn nhỏ vô hạn của con đường, đó là:

Tôi lưu ý rằng với một dịch chuyển nhỏ vô hạn, sự thay đổi chiều cao cũng sẽ nhỏ vô hạn. Nhưng hãy để tôi nhắc bạn rằng nhỏ vô hạn không có nghĩa là bằng không. Nếu bạn chia các số thập phân cho nhau, bạn có thể nhận được một số hoàn toàn bình thường, chẳng hạn. Nghĩa là, một giá trị nhỏ có thể lớn gấp đôi giá trị khác.

Tại sao những thứ này? Con đường, độ dốc ... Chúng tôi không đi biểu tình, mà chúng tôi đang học toán. Và trong toán học mọi thứ hoàn toàn giống nhau, chỉ được gọi là khác nhau.

Khái niệm đạo hàm

Đạo hàm của một hàm là tỷ số giữa số gia của hàm với số gia của đối số với gia số thập phân của đối số.

Tăng trong toán học được gọi là sự thay đổi. Đối số () đã thay đổi bao nhiêu khi di chuyển dọc theo trục được gọi là gia tăng đối số và ký hiệu Hàm (chiều cao) đã thay đổi bao nhiêu khi chuyển động tịnh tiến dọc theo trục một khoảng được gọi là tăng hàm và được đánh dấu.

Vì vậy, đạo hàm của một hàm là quan hệ với khi. Chúng tôi biểu thị đạo hàm bằng cùng một chữ cái với hàm, chỉ bằng một nét từ trên cùng bên phải: hoặc đơn giản. Vì vậy, hãy viết công thức đạo hàm bằng cách sử dụng các ký hiệu sau:

Như trong phép tương tự với đường, ở đây, khi hàm tăng, đạo hàm là dương, và khi giảm, nó là âm.

Nhưng đạo hàm có bằng 0 không? Chắc chắn. Ví dụ, nếu chúng ta đang lái xe trên một con đường ngang bằng phẳng, thì độ dốc bằng không. Thật vậy, chiều cao không thay đổi chút nào. Vì vậy với đạo hàm: đạo hàm của một hàm hằng (hằng số) bằng 0:

vì gia số của một hàm như vậy là 0 đối với bất kỳ.

Hãy lấy ví dụ về đỉnh đồi. Hóa ra là có thể sắp xếp các đầu của đoạn thẳng trên các cạnh đối diện của đỉnh sao cho chiều cao ở các đầu bằng nhau, nghĩa là đoạn thẳng song song với trục:

Nhưng các phân đoạn lớn là một dấu hiệu của phép đo không chính xác. Chúng ta sẽ nâng phân đoạn của mình lên song song với chính nó, sau đó độ dài của nó sẽ giảm xuống.

Cuối cùng, khi chúng ta ở gần đỉnh một cách vô hạn, độ dài của đoạn sẽ trở nên nhỏ vô cùng. Nhưng đồng thời, nó vẫn song song với trục, tức là chênh lệch độ cao ở hai đầu của nó bằng 0 (không có xu hướng, nhưng bằng). Vì vậy, đạo hàm

Điều này có thể được hiểu như sau: khi chúng ta đang đứng ở trên cùng, một sự dịch chuyển nhỏ sang trái hoặc phải sẽ làm thay đổi chiều cao của chúng ta một cách không đáng kể.

Cũng có một cách giải thích thuần đại số: ở bên trái của đỉnh, hàm tăng, và ở bên phải, nó giảm. Như chúng ta đã tìm hiểu trước đó, khi hàm tăng, đạo hàm là dương và khi giảm, nó là âm. Nhưng nó thay đổi nhịp nhàng, không bị nhảy (vì đường không thay đổi độ dốc của nó ở bất kỳ đâu). Do đó, phải có giữa giá trị âm và giá trị dương. Nó sẽ là nơi mà hàm không tăng cũng không giảm - tại điểm đỉnh.

Điều này cũng đúng với thung lũng (khu vực mà hàm giảm ở bên trái và tăng ở bên phải):

Thêm một chút về số gia.

Vì vậy, chúng tôi thay đổi đối số thành một giá trị. Chúng ta thay đổi từ giá trị nào? Anh ta (lập luận) bây giờ đã trở thành cái gì? Chúng tôi có thể chọn bất kỳ điểm nào, và bây giờ chúng tôi sẽ nhảy từ điểm đó.

Xét một điểm có tọa độ. Giá trị của hàm trong nó bằng nhau. Sau đó, chúng tôi thực hiện cùng một gia số: tăng tọa độ lên. Đối số bây giờ là gì? Rất dễ: . Giá trị của hàm bây giờ là bao nhiêu? Đối số đi đến đâu, hàm sẽ đến đó:. Điều gì về tăng hàm? Không có gì mới: đây vẫn là số tiền mà hàm đã thay đổi:

Thực hành tìm gia số:

1. Tìm số gia của hàm tại một điểm có gia số của đối số bằng.
2. Tương tự đối với một hàm tại một điểm.

Các giải pháp:

Tại các điểm khác nhau, với cùng một số gia của đối số, thì số gia của hàm sẽ khác nhau. Điều này có nghĩa là đạo hàm tại mỗi điểm có điểm riêng (chúng ta đã thảo luận điều này ngay từ đầu - độ dốc của đường tại các điểm khác nhau là khác nhau). Do đó, khi viết đạo hàm, chúng ta phải chỉ ra điểm nào:

Chức năng nguồn.

Một hàm lũy thừa được gọi là một hàm trong đó đối số ở một mức độ nào đó (hợp lý, đúng không?).

Và - ở bất kỳ mức độ nào:.

Trường hợp đơn giản nhất là khi số mũ là:

Hãy tìm đạo hàm của nó tại một điểm. Hãy nhớ định nghĩa của một đạo hàm:

Vì vậy, đối số thay đổi từ thành. Hàm tăng là gì?

Tăng dần là. Nhưng hàm tại bất kỳ điểm nào cũng bằng đối số của nó. Cho nên:

Đạo hàm là:

Đạo hàm của là:

b) Bây giờ xét hàm bậc hai () :.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ điều đó. Điều này có nghĩa là giá trị của gia số có thể bị bỏ qua, vì nó nhỏ vô cùng, và do đó không đáng kể so với nền của một thuật ngữ khác:

Vì vậy, chúng tôi có một quy tắc khác:

c) Chúng ta tiếp tục chuỗi logic:.

Biểu thức này có thể được đơn giản hóa theo những cách khác nhau: mở dấu ngoặc đầu tiên bằng công thức nhân viết tắt của khối lập phương của tổng, hoặc phân tích toàn bộ biểu thức thành thừa số bằng công thức tính hiệu của khối. Cố gắng tự làm theo bất kỳ cách nào được gợi ý.

Vì vậy, tôi có những thứ sau:

Và chúng ta hãy nhớ điều đó một lần nữa. Điều này có nghĩa là chúng tôi có thể bỏ qua tất cả các điều khoản có chứa:

Chúng tôi nhận được: .

d) Các quy tắc tương tự có thể đạt được đối với các lũy thừa lớn:

e) Hóa ra quy tắc này có thể được tổng quát hóa cho một hàm lũy thừa với số mũ tùy ý, thậm chí không phải là số nguyên:

(2)

Bạn có thể xây dựng quy tắc với các từ: "mức độ được đưa về phía trước dưới dạng hệ số, và sau đó giảm dần".

Chúng tôi sẽ chứng minh quy tắc này sau (gần như ở phần cuối). Bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm số:

1. (theo hai cách: theo công thức và sử dụng định nghĩa của đạo hàm - bằng cách đếm số gia của hàm);

1. . Tin hay không thì tùy, đây là một hàm sức mạnh. Nếu bạn có những câu hỏi như “Nó thế nào? Và bằng cấp ở đâu? ”, Hãy nhớ lại chủ đề“ ”!
   Đúng, đúng, gốc cũng là một độ, chỉ là một phân số:.
   Vì vậy, căn bậc hai của chúng ta chỉ là một lũy thừa với số mũ:
   .
   Chúng tôi đang tìm đạo hàm bằng cách sử dụng công thức đã học gần đây:

   Nếu tại thời điểm này, nó trở nên không rõ ràng một lần nữa, hãy lặp lại chủ đề "" !!! (về một mức độ với một chỉ số tiêu cực)

2. . Bây giờ là số mũ:

   Và bây giờ thông qua định nghĩa (bạn đã quên chưa?):
   ;
   .
   Bây giờ, như thường lệ, chúng tôi bỏ qua thuật ngữ có chứa:
   .

3. . Sự kết hợp của các trường hợp trước:.

hàm lượng giác.

Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng một thực tế từ toán học cao hơn:

Khi biểu thức.

Bạn sẽ học cách chứng minh trong năm đầu tiên của học viện (và để đạt được điều đó, bạn cần phải vượt qua kỳ thi tốt). Bây giờ tôi sẽ chỉ hiển thị nó bằng đồ thị:

Ta thấy rằng khi không tồn tại hàm - điểm trên đồ thị bị chọc thủng. Nhưng càng gần giá trị, chức năng càng gần với nhau. Đây chính là “nỗ lực”.

Ngoài ra, bạn có thể kiểm tra quy tắc này bằng máy tính. Vâng, vâng, đừng ngại, hãy tính một máy tính, chúng tôi còn chưa đến kỳ thi.

Vì vậy hãy cố gắng: ;

Đừng quên chuyển máy tính sang chế độ Radians!

vân vân. Chúng ta thấy rằng càng nhỏ, giá trị của tỷ lệ càng gần.

a) Xét một hàm. Như thường lệ, chúng tôi thấy mức tăng của nó:

Hãy biến sự khác biệt của sines thành một sản phẩm. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng công thức (ghi nhớ chủ đề ""):.

Bây giờ là đạo hàm:

Hãy thay thế:. Sau đó, đối với nhỏ vô hạn, nó cũng nhỏ vô hạn:. Biểu thức for có dạng:

Và bây giờ chúng ta ghi nhớ điều đó với biểu thức. Ngoài ra, điều gì sẽ xảy ra nếu một giá trị nhỏ vô hạn có thể bị bỏ qua trong tổng (nghĩa là tại).

Vì vậy, chúng tôi nhận được quy tắc sau: đạo hàm của sin bằng côsin:

Đây là các dẫn xuất cơ bản (“bảng”). Đây là một danh sách:

Sau này, chúng tôi sẽ thêm một vài cái nữa cho chúng, nhưng đây là những cái quan trọng nhất, vì chúng được sử dụng thường xuyên nhất.

Luyện tập:

1. Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm;
2. Tìm đạo hàm của hàm số.

Các giải pháp:

1. Đầu tiên, chúng tôi tìm đạo hàm ở dạng tổng quát và sau đó chúng tôi thay thế giá trị của nó vào:
   ;
   .
2. Ở đây chúng ta có một cái gì đó tương tự như một hàm quyền lực. Hãy cố gắng đưa cô ấy đến
   tầm nhìn bình thường:
   .
   Được rồi, bây giờ bạn có thể sử dụng công thức:
   .
   .
3. . Eeeeeee… .. Gì vậy ????

Được rồi, bạn nói đúng, chúng tôi vẫn chưa biết cách tìm các dẫn xuất như vậy. Ở đây chúng tôi có sự kết hợp của một số loại chức năng. Để làm việc với họ, bạn cần tìm hiểu thêm một số quy tắc:

Số mũ và lôgarit tự nhiên.

Có một hàm như vậy trong toán học, đạo hàm của nó đối với bất kỳ bằng giá trị của chính hàm đó đối với cùng một. Nó được gọi là "số mũ", và là một hàm số mũ

Cơ sở của hàm này - một hằng số - là một phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, tức là một số vô tỉ (chẳng hạn). Nó được gọi là "số Euler", đó là lý do tại sao nó được ký hiệu bằng một chữ cái.

Vì vậy, quy tắc là:

Nó rất dễ nhớ.

Chà, chúng ta sẽ không đi đâu xa, chúng ta sẽ ngay lập tức xem xét hàm ngược. Nghịch đảo của hàm số mũ là gì? Lôgarit:

Trong trường hợp của chúng tôi, cơ sở là một số:

Một lôgarit như vậy (nghĩa là lôgarit với cơ số) được gọi là "tự nhiên" và chúng tôi sử dụng một ký hiệu đặc biệt cho nó: chúng tôi viết thay thế.

Bằng gì? Tất nhiên rồi, .

Đạo hàm của lôgarit tự nhiên cũng rất đơn giản:

Ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của hàm số.
2. Đạo hàm của hàm số là gì?

Câu trả lời: Số mũ và lôgarit tự nhiên là những hàm đơn giản duy nhất về mặt đạo hàm. Hàm số mũ và hàm số logarit với bất kỳ cơ số nào khác sẽ có đạo hàm khác, điều này chúng ta sẽ phân tích ở phần sau, sau khi chúng ta tìm hiểu quy tắc phân biệt.

Quy tắc phân biệt

Quy tắc nào? Một thuật ngữ mới nữa, một lần nữa?! ...

Sự khác biệt là quá trình tìm đạo hàm.

Chỉ và mọi thứ. Một từ khác cho quá trình này là gì? Không phải proizvodnovanie ... Vi phân trong toán học được gọi là gia số của hàm tại. Thuật ngữ này xuất phát từ tiếng Latinh khácia - sự khác biệt. Đây.

Khi suy ra tất cả các quy tắc này, chúng ta sẽ sử dụng hai hàm, ví dụ, và. Chúng tôi cũng sẽ cần các công thức cho gia số của chúng:

Tổng cộng có 5 quy tắc.

Hằng số được đưa ra ngoài dấu của đạo hàm.

Nếu - một số hằng số (hằng số), thì.

Rõ ràng, quy tắc này cũng hoạt động cho sự khác biệt:.

Hãy chứng minh điều đó. Để, hoặc dễ dàng hơn.

Các ví dụ.

Tìm đạo hàm của các hàm số:

1. tại điểm;
2. tại điểm;
3. tại điểm;
4. tại điểm.

Các giải pháp:

1. (đạo hàm giống nhau ở mọi điểm, vì nó là một hàm tuyến tính, nhớ không?);

Phái sinh của một sản phẩm

Mọi thứ đều tương tự ở đây: chúng tôi giới thiệu một hàm mới và tìm số gia của nó:

Phát sinh:

Ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của các hàm số và;
2. Tìm đạo hàm của một hàm số tại một điểm.

Các giải pháp:

Đạo hàm của hàm số mũ

Bây giờ kiến ​​thức của bạn đã đủ để học cách tìm đạo hàm của bất kỳ hàm số mũ nào, và không chỉ của số mũ (bạn đã quên nó là gì rồi phải không?).

Vì vậy, đâu là một số con số.

Chúng ta đã biết đạo hàm của hàm, vì vậy hãy cố gắng đưa hàm của chúng ta về một cơ sở mới:

Để làm điều này, chúng tôi sử dụng một quy tắc đơn giản:. Sau đó:

Chà, nó đã hoạt động. Bây giờ hãy thử tìm đạo hàm, và đừng quên rằng hàm này rất phức tạp.

Đã xảy ra?

Tại đây, hãy tự kiểm tra:

Công thức hóa ra rất giống với đạo hàm của số mũ: như nó vẫn tồn tại, chỉ có một thừa số xuất hiện, đó chỉ là một số, nhưng không phải là một biến.

Ví dụ:
Tìm đạo hàm của các hàm số:

Câu trả lời:

Đây chỉ là một con số không thể tính được nếu không có máy tính, tức là nó không thể được viết dưới dạng đơn giản hơn. Do đó, trong câu trả lời nó được để ở dạng này.

Đạo hàm của một hàm số logarit

Ở đây nó tương tự: bạn đã biết đạo hàm của logarit tự nhiên:

Do đó, để tìm một tùy ý từ lôgarit với một cơ số khác, ví dụ:

Chúng ta cần đưa logarit này về cơ số. Làm thế nào để bạn thay đổi cơ số của một logarit? Tôi hy vọng bạn nhớ công thức này:

Chỉ bây giờ thay vì chúng tôi sẽ viết:

Mẫu số hóa ra chỉ là một hằng số (một số không đổi, không có một biến số). Đạo hàm rất đơn giản:

Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit hầu như không bao giờ được tìm thấy trong đề thi, nhưng sẽ không thừa nếu biết chúng.

Đạo hàm của một hàm phức.

Một "chức năng phức tạp" là gì? Không, đây không phải là logarit, và không phải là tiếp tuyến của cung. Những hàm này có thể khó hiểu (mặc dù nếu lôgarit có vẻ khó đối với bạn, hãy đọc chủ đề "Lôgarit" và mọi thứ sẽ giải quyết được), nhưng về mặt toán học, từ "phức tạp" không có nghĩa là "khó".

Hãy tưởng tượng một băng chuyền nhỏ: hai người đang ngồi và thực hiện một số hành động với một số đồ vật. Ví dụ: đầu tiên bọc một thanh sô cô la trong giấy gói và thứ hai buộc nó bằng một dải ruy băng. Hóa ra một vật thể tổng hợp như vậy: một thanh sô cô la được bọc và buộc bằng ruy băng. Để ăn một thanh sô cô la, bạn cần thực hiện các bước ngược lại theo thứ tự ngược lại.

Hãy tạo một đường dẫn toán học tương tự: đầu tiên chúng ta sẽ tìm cosin của một số, và sau đó chúng ta sẽ bình phương số kết quả. Vì vậy, họ cung cấp cho chúng tôi một con số (sô cô la), tôi tìm cosin của nó (trình bao bọc), và sau đó bạn bình phương những gì tôi nhận được (buộc nó bằng một dải ruy băng). Chuyện gì đã xảy ra thế? Hàm số. Đây là một ví dụ về một hàm phức tạp: khi, để tìm giá trị của nó, chúng ta thực hiện hành động đầu tiên trực tiếp với biến, sau đó thực hiện hành động thứ hai khác với những gì đã xảy ra do kết quả của biến đầu tiên.

Chúng ta cũng có thể thực hiện các bước tương tự theo thứ tự ngược lại: đầu tiên bạn bình phương, sau đó tôi tìm cosin của số kết quả:. Có thể dễ dàng đoán rằng kết quả hầu như sẽ luôn khác nhau. Một tính năng quan trọng của các chức năng phức tạp: khi thứ tự của các hành động thay đổi, chức năng cũng thay đổi theo.

Nói cách khác, Một hàm phức hợp là một hàm có đối số là một hàm khác: .

Đối với ví dụ đầu tiên,.

Ví dụ thứ hai: (giống nhau). .

Hành động cuối cùng chúng tôi thực hiện sẽ được gọi là chức năng "bên ngoài" và hành động được thực hiện trước - tương ứng chức năng "nội bộ"(đây là những tên không chính thức, tôi chỉ sử dụng chúng để giải thích tài liệu bằng ngôn ngữ đơn giản).

Cố gắng tự xác định xem chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong:

Câu trả lời: Việc tách các hàm bên trong và hàm bên ngoài rất giống với việc thay đổi các biến số: ví dụ: trong hàm

1. Chúng ta sẽ thực hiện hành động nào trước? Đầu tiên, chúng tôi tính toán sin, và chỉ sau đó chúng tôi nâng nó lên thành một khối lập phương. Vì vậy, nó là một chức năng bên trong, không phải một chức năng bên ngoài.
   Và chức năng ban đầu là thành phần của chúng:.
2. Nội bộ: ; bên ngoài: .
   Kiểm tra: .
3. Nội bộ: ; bên ngoài: .
   Kiểm tra: .
4. Nội bộ: ; bên ngoài: .
   Kiểm tra: .
5. Nội bộ: ; bên ngoài: .
   Kiểm tra: .

chúng ta thay đổi các biến và nhận được một hàm.

Vâng, bây giờ chúng ta sẽ chiết xuất sô cô la của chúng ta - hãy tìm dẫn xuất. Quy trình luôn được đảo ngược: đầu tiên, chúng ta tìm đạo hàm của hàm bên ngoài, sau đó chúng ta nhân kết quả với đạo hàm của hàm bên trong. Đối với ví dụ ban đầu, nó trông giống như sau:

Một vi dụ khac:

Vì vậy, cuối cùng chúng ta hãy hình thành quy tắc chính thức:

Thuật toán tìm đạo hàm của một hàm phức:

Mọi thứ dường như trở nên đơn giản đúng không?

Hãy kiểm tra với các ví dụ:

Các giải pháp:

1) Nội bộ :;

Bên ngoài: ;

2) Nội bộ :;

(chỉ cần đừng cố gắng giảm bớt ngay bây giờ! Không có gì được lấy ra từ bên dưới cosine, nhớ không?)

3) Nội bộ :;

Bên ngoài: ;

Rõ ràng ngay lập tức rằng có một hàm phức ba cấp ở đây: xét cho cùng, bản thân nó đã là một hàm phức hợp, và chúng tôi vẫn trích xuất gốc từ nó, tức là chúng tôi thực hiện hành động thứ ba (đặt sô cô la vào một chiếc giấy bọc và với một dải ruy băng trong một chiếc cặp). Nhưng không có lý do gì để sợ: dù sao đi nữa, chúng ta sẽ “giải nén” hàm này theo thứ tự như thường lệ: từ cuối.

Đó là, trước tiên chúng ta phân biệt gốc, sau đó là côsin, và chỉ sau đó là biểu thức trong dấu ngoặc. Và sau đó chúng tôi nhân lên tất cả.

Trong những trường hợp như vậy, thật tiện lợi để đánh số các hành động. Đó là, chúng ta hãy tưởng tượng những gì chúng ta biết. Theo thứ tự nào chúng ta sẽ thực hiện các thao tác để tính giá trị của biểu thức này? Hãy xem một ví dụ:

Hành động được thực hiện càng muộn thì chức năng tương ứng sẽ càng có tính "bên ngoài". Chuỗi các hành động - như trước đây:

Ở đây lồng thường là 4 cấp. Hãy xác định quá trình hành động.

1. Biểu hiện cấp tiến. .

2. Gốc. .

3. Xoang. .

4. Hình vuông. .

5. Kết hợp tất cả lại với nhau:

PHÁT SINH. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

Đạo hàm hàm- tỷ lệ giữa gia số của hàm với gia số của đối số với gia số thập phân của đối số:

Các dẫn xuất cơ bản:

Quy tắc phân biệt:

Hằng số được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm:

Đạo hàm của tổng:

Sản phẩm phái sinh:

Đạo hàm của thương số:

Đạo hàm của một hàm phức:

Thuật toán tìm đạo hàm của một hàm phức:

1. Ta xác định hàm "nội tiếp", tìm đạo hàm của nó.
2. Ta xác định hàm “ngoại diên”, tìm đạo hàm của nó.
3. Chúng tôi nhân kết quả của điểm thứ nhất và thứ hai.

Trên đó chúng ta đã phân tích các đạo hàm đơn giản nhất, đồng thời làm quen với các quy tắc phân biệt và một số kỹ thuật tìm đạo hàm. Vì vậy, nếu bạn không rành về đạo hàm của hàm số hoặc một số điểm của bài viết này chưa hoàn toàn rõ ràng, thì trước tiên hãy đọc bài học trên. Vui lòng điều chỉnh tâm trạng nghiêm túc - tài liệu không dễ, nhưng tôi vẫn sẽ cố gắng trình bày đơn giản và rõ ràng.

Trong thực tế, bạn phải xử lý đạo hàm của một hàm phức tạp rất thường xuyên, tôi thậm chí sẽ nói hầu như luôn luôn, khi bạn được giao nhiệm vụ tìm đạo hàm.

Chúng ta xem bảng ở quy tắc (số 5) để phân biệt một hàm phức tạp:

Chúng ta hiểu. Trước hết, chúng ta hãy nhìn vào ký hiệu. Ở đây chúng ta có hai hàm - và, hàm, nói một cách hình tượng, được lồng trong hàm. Một hàm thuộc loại này (khi một hàm được lồng trong một hàm khác) được gọi là một hàm phức.

Tôi sẽ gọi hàm chức năng bên ngoài, và chức năng - hàm bên trong (hoặc lồng nhau).

! Những định nghĩa này không phải là lý thuyết và không nên xuất hiện trong thiết kế cuối cùng của các bài tập. Tôi chỉ sử dụng các biểu thức không chính thức "hàm bên ngoài", "hàm bên trong" để giúp bạn hiểu tài liệu dễ dàng hơn.

Để làm rõ tình hình, hãy xem xét:

ví dụ 1

Tìm đạo hàm của một hàm số

Dưới sin, chúng ta không chỉ có ký tự "x", mà là toàn bộ biểu thức, vì vậy việc tìm đạo hàm ngay lập tức từ bảng sẽ không hiệu quả. Chúng tôi cũng nhận thấy rằng không thể áp dụng bốn quy tắc đầu tiên ở đây, có vẻ như có sự khác biệt, nhưng thực tế là không thể "xé nhỏ" sin:

Trong ví dụ này, đã có từ những giải thích của tôi, trực quan rõ ràng rằng hàm là một hàm phức, và đa thức là một hàm bên trong (nhúng) và một hàm bên ngoài.

Bước đầu tiên, phải được thực hiện khi tìm đạo hàm của một hàm phức là hiểu chức năng nào là bên trong và chức năng nào là bên ngoài.

Trong trường hợp ví dụ đơn giản, rõ ràng là một đa thức được lồng dưới sin. Nhưng nếu nó không rõ ràng thì sao? Làm thế nào để xác định chính xác chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong? Để làm điều này, tôi đề xuất sử dụng kỹ thuật sau, có thể được thực hiện trong tâm trí hoặc trên bản nháp.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần tính giá trị của biểu thức bằng máy tính (thay vì một, có thể có bất kỳ số nào).

Chúng ta tính toán cái gì đầu tiên? Chủ yếu bạn sẽ cần thực hiện hành động sau:, vì vậy đa thức sẽ là một hàm bên trong:

Thứ hai bạn sẽ cần phải tìm, vì vậy sin - sẽ là một hàm bên ngoài:

Sau khi chúng ta HIỂU KHÔNG với hàm bên trong và hàm bên ngoài, đã đến lúc áp dụng quy tắc phân biệt hàm ghép .

Chúng tôi bắt đầu quyết định. Từ bài học Làm thế nào để tìm đạo hàm? chúng tôi nhớ rằng thiết kế của nghiệm của bất kỳ đạo hàm nào luôn bắt đầu như thế này - chúng tôi đặt biểu thức trong dấu ngoặc và đặt một nét ở trên cùng bên phải:

Lúc đầu ta tìm đạo hàm của hàm ngoài (sin), tra bảng đạo hàm của hàm sơ cấp và nhận thấy điều đó. Tất cả các công thức dạng bảng đều có thể áp dụng ngay cả khi "x" được thay thế bằng một biểu thức phức tạp, trong trường hợp này:

Lưu ý rằng chức năng bên trong không thay đổi, chúng tôi không chạm vào nó.

Chà, rõ ràng là

Kết quả của việc áp dụng công thức sạch sẽ trông như thế này:

Hệ số hằng thường được đặt ở đầu biểu thức:

Nếu có bất kỳ sự hiểu lầm nào, hãy viết quyết định ra giấy và đọc lại các giải thích.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của một hàm số

Như mọi khi, chúng tôi viết:

Chúng tôi tìm ra đâu là chức năng bên ngoài và đâu là chức năng bên trong. Để làm điều này, chúng tôi thử (tính nhẩm hoặc trên nháp) để tính giá trị của biểu thức cho. Điều gì cần phải được thực hiện đầu tiên? Trước hết, bạn cần tính cơ số bằng:, nghĩa là đa thức là hàm nội tại:

Và, chỉ khi đó phép lũy thừa mới được thực hiện, do đó, hàm lũy thừa là một hàm bên ngoài:

Theo công thức , trước tiên bạn cần tìm đạo hàm của hàm số bên ngoài, trong trường hợp này là độ. Chúng tôi đang tìm kiếm công thức mong muốn trong bảng:. Chúng tôi nhắc lại một lần nữa: bất kỳ công thức dạng bảng nào không chỉ hợp lệ cho "x" mà còn cho một biểu thức phức tạp. Như vậy, kết quả của việc áp dụng quy luật phân biệt của một hàm phức Kế tiếp:

Tôi nhấn mạnh lại rằng khi chúng ta lấy đạo hàm của hàm số bên ngoài, hàm số bên trong không thay đổi:

Bây giờ nó vẫn còn để tìm một đạo hàm rất đơn giản của hàm bên trong và "lược" kết quả một chút:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ để bạn tự giải (đáp án ở cuối bài).

Để củng cố sự hiểu biết về đạo hàm của một hàm phức, tôi sẽ đưa ra một ví dụ không có nhận xét, bạn thử tự tìm hiểu xem, lý do, đâu là ngoại diên và đâu là nội hàm, tại sao các nhiệm vụ lại được giải theo cách đó?

Ví dụ 5

a) Tìm đạo hàm của hàm số

b) Tìm đạo hàm của hàm số

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây chúng ta có một gốc, và để phân biệt gốc, nó phải được biểu diễn dưới dạng một mức độ. Do đó, trước tiên chúng ta đưa hàm về dạng thích hợp để phân biệt:

Phân tích hàm số, chúng ta đi đến kết luận rằng tổng của ba số hạng là một hàm số bên trong và lũy thừa là một hàm số bên ngoài. Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức :

Bậc một lần nữa được biểu diễn dưới dạng một căn (gốc), và đối với đạo hàm của hàm nội, chúng ta áp dụng một quy tắc đơn giản để phân biệt tổng:

Sẵn sàng. Bạn cũng có thể đưa biểu thức về một mẫu số chung trong ngoặc và viết mọi thứ dưới dạng một phân số. Tất nhiên là đẹp, nhưng khi lấy được các dẫn xuất dài dòng rườm rà, tốt hơn hết bạn không nên làm điều này (dễ nhầm lẫn, mắc lỗi không đáng có và sẽ bất tiện cho giáo viên khi kiểm tra).

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ để bạn tự giải (đáp án ở cuối bài).

Điều thú vị là đôi khi, thay vì quy tắc phân biệt một hàm phức tạp, người ta có thể sử dụng quy tắc để phân biệt một thương số , nhưng một giải pháp như vậy sẽ giống như một sự biến thái không bình thường. Đây là một ví dụ điển hình:

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây bạn có thể sử dụng quy tắc phân biệt của thương số , nhưng sẽ có lợi hơn nhiều nếu tìm đạo hàm thông qua quy tắc phân biệt của một hàm phức:

Chúng tôi chuẩn bị hàm để phân biệt - chúng tôi lấy đi dấu trừ của đạo hàm và nâng côsin lên tử số:

Cosine là một hàm bên trong, lũy thừa là một hàm bên ngoài.
Hãy sử dụng quy tắc của chúng tôi :

Chúng tôi tìm đạo hàm của hàm bên trong, đặt lại cosine trở lại:

Sẵn sàng. Trong ví dụ được xem xét, điều quan trọng là không bị nhầm lẫn trong các dấu hiệu. Nhân tiện, hãy thử giải quyết nó bằng quy tắc , các câu trả lời phải phù hợp.

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ để bạn tự giải (đáp án ở cuối bài).

Cho đến nay, chúng tôi đã xem xét các trường hợp mà chúng tôi chỉ có một tổ hợp trong một hàm phức tạp. Trong các tác vụ thực tế, bạn thường có thể tìm thấy các dẫn xuất, trong đó, giống như những con búp bê lồng vào nhau, cái này bên trong cái kia, 3 hoặc thậm chí 4-5 hàm được lồng cùng một lúc.

Ví dụ 10

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng tôi hiểu các tệp đính kèm của chức năng này. Chúng tôi cố gắng đánh giá biểu thức bằng cách sử dụng giá trị thực nghiệm. Làm thế nào chúng ta sẽ tính trên một máy tính?

Đầu tiên bạn cần tìm, có nghĩa là arcsine là tổ sâu nhất:

Cung hợp nhất này sau đó sẽ được bình phương:

Và cuối cùng, chúng tôi nâng bảy lên thành sức mạnh:

Nghĩa là, trong ví dụ này, chúng ta có ba hàm khác nhau và hai lồng nhau, trong khi hàm trong cùng là arcsine và hàm ngoài cùng là hàm mũ.

Chúng tôi bắt đầu quyết định

Theo quy luật trước tiên bạn cần lấy đạo hàm của hàm ngoài. Ta xem bảng đạo hàm và tìm đạo hàm của hàm số mũ: Chỉ khác là thay vì "x" ta có một biểu thức phức, điều này không phủ nhận tính hợp lệ của công thức này. Vì vậy, kết quả của việc áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức Kế tiếp.

Chứng minh và rút ra các công thức về đạo hàm của cấp số nhân (e thành lũy thừa của x) và hàm số mũ (a với lũy thừa của x). Ví dụ về tính đạo hàm của e ^ 2x, e ^ 3x và e ^ nx. Công thức cho các dẫn xuất của đơn đặt hàng cao hơn.

Đạo hàm của số mũ bằng chính số mũ (đạo hàm của e theo lũy thừa của x bằng e với lũy thừa của x):
(1) (e x) ′ = e x.

Đạo hàm của hàm số mũ có cơ số a bằng chính hàm số đó, nhân với logarit tự nhiên của a:
(2) .

Suy ra công thức tính đạo hàm của số mũ, e thành lũy thừa của x

Số mũ là một hàm số mũ có cơ số mũ bằng số e, giới hạn nào sau đây:
.
Ở đây nó có thể là một số tự nhiên hoặc một số thực. Tiếp theo, chúng ta suy ra công thức (1) cho đạo hàm của số mũ.

Suy ra công thức tính đạo hàm của số mũ

Xét số mũ, e thành lũy thừa của x:
y = e x.
Chức năng này được xác định cho tất cả. Hãy tìm đạo hàm của nó đối với x. Theo định nghĩa, đạo hàm là giới hạn sau:
(3) .

Hãy biến đổi biểu thức này để giảm nó thành các tính chất và quy tắc toán học đã biết. Đối với điều này, chúng tôi cần các dữ kiện sau:
NHƯNG) Thuộc tính lũy thừa:
(4) ;
B) Thuộc tính lôgarit:
(5) ;
TẠI) Tính liên tục của lôgarit và tính chất của giới hạn cho một hàm liên tục:
(6) .
Đây, là một số hàm có giới hạn và giới hạn này là dương.
G)Ý nghĩa của giới hạn tuyệt vời thứ hai:
(7) .

Chúng tôi áp dụng những dữ kiện này vào giới hạn của chúng tôi (3). Chúng tôi sử dụng thuộc tính (4):
;
.

Hãy thay người. Sau đó ; .
Do tính liên tục của số mũ,
.
Do đó, tại,. Kết quả là, chúng tôi nhận được:
.

Hãy thay người. Sau đó . Tại , . Và chúng ta có:
.

Chúng tôi áp dụng tính chất của lôgarit (5):
. sau đó
.

Hãy để chúng tôi áp dụng tài sản (6). Vì có giới hạn dương và lôgarit là liên tục nên:
.
Ở đây chúng tôi cũng đã sử dụng giới hạn đáng chú ý thứ hai (7). sau đó
.

Như vậy, chúng ta đã có được công thức (1) cho đạo hàm của số mũ.

Suy ra công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

Bây giờ ta suy ra công thức (2) cho đạo hàm của hàm số mũ với cơ số là a. Chúng tôi tin rằng và. Khi đó, hàm mũ
(8)
Được xác định cho tất cả mọi người.

Hãy biến đổi công thức (8). Đối với điều này, chúng tôi sử dụng thuộc tính của hàm số mũ và logarit.
;
.
Vì vậy, chúng tôi đã biến đổi công thức (8) thành dạng sau:
.

Đạo hàm bậc cao của e với lũy thừa của x

Bây giờ chúng ta hãy tìm các dẫn xuất của các lệnh cao hơn. Trước tiên hãy nhìn vào số mũ:
(14) .
(1) .

Ta thấy rằng đạo hàm của hàm số (14) bằng chính hàm số (14). Phân biệt (1), chúng ta thu được các đạo hàm bậc hai và bậc ba:
;
.

Điều này cho thấy rằng đạo hàm bậc n cũng bằng hàm ban đầu:
.

Đạo hàm bậc cao của hàm mũ

Bây giờ hãy xem xét một hàm số mũ với cơ số là a:
.
Chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm bậc nhất của nó:
(15) .

Phân biệt (15), chúng ta thu được các dẫn xuất bậc hai và bậc ba:
;
.

Chúng ta thấy rằng mỗi sự khác biệt dẫn đến nhân của nguyên hàm với. Do đó, đạo hàm cấp n có dạng sau:
.

Định nghĩa hàm số mũ. Tính đạo hàm của một công thức tính đạo hàm của nó. Các ví dụ về tính đạo hàm của hàm số mũ được phân tích chi tiết.

hàm số mũ là một hàm có dạng hàm lũy thừa
y = u v,
có cơ số u và số mũ v là một số hàm của biến x:
u = u (x); v = v (x).
Chức năng này còn được gọi là lũy thừa hoặc .

Lưu ý rằng hàm mũ có thể được biểu diễn dưới dạng hàm mũ:
.
Do đó, nó còn được gọi là hàm số mũ phức tạp.

Tính toán sử dụng đạo hàm lôgarit

Tìm đạo hàm của hàm số mũ
(2) ,
ở đâu và là các hàm của biến.
Để làm điều này, chúng ta lấy logarit của phương trình (2), sử dụng tính chất của logarit:
.
Phân biệt với x:
(3) .
Nộp đơn quy tắc phân biệt một hàm phức hợp và hoạt động:
;
.

Thay thế trong (3):
.
Từ đây
.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm của hàm số mũ:
(1) .
Nếu số mũ không đổi thì. Khi đó đạo hàm bằng đạo hàm của hàm lũy thừa:
.
Nếu cơ sở của li độ là không đổi thì. Khi đó đạo hàm bằng đạo hàm của hàm số mũ hợp chất:
.
Khi và là các hàm của x thì đạo hàm của hàm số mũ bằng tổng các đạo hàm của hàm hợp và hàm số mũ.

Tính đạo hàm bằng cách rút gọn thành một hàm số mũ phức

Bây giờ chúng ta tìm đạo hàm của hàm số mũ
(2) ,
biểu diễn nó dưới dạng một hàm số mũ phức tạp:
(4) .

Hãy phân biệt sản phẩm:
.
Chúng tôi áp dụng quy tắc để tìm đạo hàm của một hàm phức:

.
Và chúng ta lại có công thức (1).

ví dụ 1

Tìm đạo hàm của hàm số sau:
.

Quyết định

Chúng tôi tính toán bằng cách sử dụng đạo hàm lôgarit. Chúng tôi lấy logarit của hàm ban đầu:
(P1.1) .

Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
;
.
Theo công thức tính đạo hàm của một tích, chúng ta có:
.
Chúng tôi phân biệt (A1.1):
.
Trong chừng mực
,
sau đó
.

Trả lời

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số
.

Quyết định

Chúng tôi lấy logarit của hàm ban đầu:
(P2.1) .