25 chứng minh của định lý Pitago. Định lý Pitago: cơ sở, bằng chứng, ví dụ về ứng dụng thực tế
Nhiều cách khác nhau để chứng minh định lý Pitago
học sinh lớp 9 "A"
MOU THCS №8
Người giám sát:
giáo viên toán học,
MOU THCS №8
Mỹ thuật. Giáng sinh mới
Lãnh thổ Krasnodar.
Mỹ thuật. Giáng sinh mới
THÔNG BÁO.
Định lý Pitago được coi là quan trọng nhất trong quá trình hình học và đáng được chú ý. Nó là cơ sở để giải nhiều bài toán hình học, là cơ sở để nghiên cứu lý thuyết và khóa học thực tế hình học trong tương lai. Định lý được bao quanh bởi tư liệu lịch sử gắn liền với sự xuất hiện của nó và các phương pháp chứng minh. Việc nghiên cứu lịch sử phát triển của hình học truyền cho chủ đề này, góp phần phát triển sở thích nhận thức, văn hóa nói chung và sự sáng tạo, cũng như phát triển các kỹ năng làm việc nghiên cứu.
Kết quả của hoạt động tìm kiếm, mục tiêu của công việc đã đạt được là bổ sung và khái quát kiến thức về chứng minh định lý Pitago. Được quản lý để tìm và xem xét nhiều cách khác nhau chứng minh và khắc sâu kiến thức về chủ đề này, vượt ra ngoài các trang sách giáo khoa ở trường.
Tài liệu thu thập được càng thuyết phục rằng định lý Pitago là định lý lớn của hình học và có tầm quan trọng lớn về mặt lý thuyết và thực tiễn.
Giới thiệu. Tài liệu tham khảo lịch sử 5 Phần thân chính 8
3. Kết luận 19
4. Văn học sử 20
1. GIỚI THIỆU. LỊCH SỬ THAM KHẢO.
Bản chất của sự thật là nó dành cho chúng ta mãi mãi,
Khi ít nhất một lần trong cái nhìn sâu sắc của cô ấy, chúng ta nhìn thấy ánh sáng,
Và định lý Pitago sau rất nhiều năm
Đối với chúng tôi, đối với anh ấy, điều đó là không thể bàn cãi, không chê vào đâu được.
Để ăn mừng, các vị thần đã được Pythagoras đưa ra lời thề:
Để chạm đến sự thông thái vô hạn,
Ông đã giết một trăm con bò đực, nhờ những con vĩnh cửu;
Anh ta đã cầu nguyện và ca ngợi nạn nhân sau đó.
Kể từ đó, những con bò đực, khi chúng ngửi, thúc,
Điều gì dẫn mọi người đến sự thật mới một lần nữa,
Họ la hét dữ dội, vì vậy không có nước tiểu để lắng nghe,
Những người Pythagoras như vậy đã gieo rắc nỗi kinh hoàng cho họ mãi mãi.
Những con bò đực, bất lực để chống lại sự thật mới,
Những gì còn sót lại? - Chỉ cần nhắm mắt lại, gầm lên, run rẩy.
Người ta không biết Pythagoras đã chứng minh định lý của mình như thế nào. Điều chắc chắn là ông đã phát hiện ra nó dưới ảnh hưởng mạnh mẽ của khoa học Ai Cập. trương hợp đặc biệtĐịnh lý Pitago - tính chất của tam giác có các cạnh 3, 4 và 5 - đã được những người xây dựng kim tự tháp biết đến từ rất lâu trước khi Pythagoras ra đời, trong khi bản thân ông đã học với các thầy tu Ai Cập hơn 20 năm. Có một truyền thuyết kể rằng, sau khi chứng minh định lý nổi tiếng của mình, Pythagoras đã hiến tế một con bò đực cho các vị thần, và theo các nguồn khác, thậm chí là 100 con bò đực. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với thông tin về quan điểm đạo đức và tôn giáo của Pythagoras. Trong các nguồn tài liệu văn học, người ta có thể đọc rằng ông "cấm thậm chí giết động vật, và thậm chí còn cấm cho chúng ăn, bởi vì động vật có linh hồn, giống như chúng ta." Pythagoras chỉ ăn mật ong, bánh mì, rau và thỉnh thoảng ăn cá. Liên quan đến tất cả những điều này, mục nhập sau đây có thể được coi là hợp lý hơn: "... và ngay cả khi ông phát hiện ra rằng trong một tam giác vuông cạnh huyền tương ứng với chân, ông đã hy sinh một con bò đực làm bằng bột mì."
Sự phổ biến của định lý Pitago lớn đến mức các bằng chứng của nó được tìm thấy ngay cả trong truyện hư cấu, ví dụ như trong câu chuyện của nhà văn nổi tiếng người Anh Huxley "Young Archimedes". Cùng một Chứng minh, nhưng đối với trường hợp cụ thể của tam giác vuông cân, được đưa ra trong cuộc đối thoại Meno của Plato.
Ngôi nhà cổ tích.
“Xa, rất xa, nơi mà ngay cả máy bay cũng không bay, là đất nước của Hình học. Ở đất nước kỳ lạ này, có một thành phố tuyệt vời - thành phố Teorem. Một ngày tôi đến thành phố này cô gái xinh đẹp có tên là Hypotenuse. Cô cố gắng xin một phòng, nhưng nộp hồ sơ ở đâu cũng bị từ chối. Cuối cùng, cô đến gần ngôi nhà ọp ẹp và gõ cửa. Cô đã được mở ra bởi một người đàn ông tự xưng là Góc bên phải, và anh ta đã mời Hypotenuse đến sống cùng. Cạnh huyền vẫn ở trong ngôi nhà mà Right Angle và hai con trai nhỏ của anh, tên là Katet, sống. Kể từ đó, cuộc sống trong Ngôi nhà Góc Bên Phải đã thay đổi theo một cách mới. Cạnh huyền trồng hoa ở cửa sổ, và trải hoa hồng đỏ ở khu vườn phía trước. Ngôi nhà có dạng một tam giác vuông. Cả hai chân đều rất thích Hypotenuse và yêu cầu cô ở lại mãi mãi trong ngôi nhà của họ. Vào buổi tối, gia đình thân thiện này quây quần bên bàn ăn gia đình. Đôi khi Right Angle chơi trò trốn tìm với lũ trẻ của mình. Hầu hết anh ta phải nhìn, và Hypotenuse ẩn rất khéo léo đến mức có thể rất khó tìm thấy nó. Trong một lần chơi game, Right Angle nhận thấy một tính chất thú vị: nếu anh ta tìm được chân thì việc tìm Hypotenuse không khó. Vì vậy, Right Angle sử dụng mẫu này, tôi phải nói, rất thành công. Về tài sản của cái này tam giác vuông và thành lập định lý Pitago. "
(Từ cuốn sách của A. Okunev “Cảm ơn vì bài học, các em”).
Một công thức vui nhộn của định lý:
Nếu chúng ta được cho một tam giác
Và, hơn nữa, với một góc vuông,
Đó là bình phương cạnh huyền
Chúng ta luôn có thể dễ dàng tìm thấy:
Chúng tôi xây dựng các chân trong một hình vuông,
Chúng tôi tìm thấy tổng của độ -
Và theo một cách đơn giản như vậy
Chúng ta sẽ đi đến kết quả.
Học đại số và đầu giải tích và hình học ở lớp 10, tôi tin rằng ngoài phương pháp chứng minh định lý Pitago đã xét ở lớp 8, còn có những cách chứng minh khác. Tôi trình bày chúng để bạn xem xét.
2. PHẦN CHÍNH.
Định lý. Hình vuông trong một tam giác vuông
cạnh huyền bằng tổng hình vuông của chân.
1 CHIỀU.
Sử dụng các tính chất của diện tích đa giác, chúng ta thiết lập một mối quan hệ đáng chú ý giữa cạnh huyền và chân của một tam giác vuông.
Bằng chứng.
a, trong và cạnh huyền với(Hình 1, a).
Hãy chứng minh rằng c² = a² + b².
Bằng chứng.
Chúng tôi hoàn thành hình tam giác thành hình vuông có cạnh a + b như được hiển thị trong hình. 1b. Diện tích S của hình vuông này là (a + b) ². Mặt khác, hình vuông này được tạo thành từ bốn tam giác vuông bằng nhau, diện tích của mỗi tam giác là ½ av và một hình vuông có một cạnh với, vậy S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².
Vì vậy,
(a + b) ² = 2 av + s²,
c² = a² + b².
Định lý đã được chứng minh.
2 CÁCH.
Sau khi nghiên cứu chủ đề “Tam giác đồng dạng”, tôi phát hiện ra rằng bạn có thể áp dụng sự đồng dạng của tam giác vào việc chứng minh định lý Pitago. Cụ thể, tôi đã sử dụng phát biểu rằng chân của một tam giác vuông là tỷ lệ trung bình của cạnh huyền và đoạn cạnh huyền nằm giữa chân và chiều cao được vẽ từ đỉnh của góc vuông.
Xét tam giác vuông cân C, CD là đường cao (Hình 2). Hãy chứng minh rằng AC² + SW² = AB²
.
Bằng chứng.
Dựa vào phát biểu về chân của tam giác vuông:
AC =, CB =.
Chúng tôi bình phương và thêm các giá trị bằng nhau kết quả:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), trong đó AD + DB = AB, thì
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Việc chứng minh đã hoàn tất.
3 CÁCH.
Định nghĩa côsin của một góc nhọn của tam giác vuông có thể được áp dụng để chứng minh định lý Pitago. Xem xét Hình. 3.
Bằng chứng:
Cho ABC là tam giác vuông có góc vuông C. Kẻ đường cao CD từ đỉnh của góc vuông C.
Theo định nghĩa về cosin của một góc:
cos A \ u003d AD / AC \ u003d AC / AB. Do đó AB * AD = AC²
Tương tự như vậy,
cos B \ u003d BD / BC \ u003d BC / AB.
Do đó AB * BD \ u003d BC².
Cộng các số hạng bằng nhau theo số hạng và nhận thấy rằng AD + DВ = AB, ta được:
AC² + mặt trời² \ u003d AB (AD + DB) \ u003d AB²
Việc chứng minh đã hoàn tất.
4 CÁCH.
Sau khi nghiên cứu chủ đề "Tỉ số giữa các cạnh và các góc của tam giác vuông", tôi nghĩ rằng định lý Pitago có thể được chứng minh theo một cách khác.
Xét một tam giác vuông có chân a, trong và cạnh huyền với. (Hình 4).
Hãy chứng minh rằng c² = a² + b².
Bằng chứng.
tội B = AC ; cos B = như , sau đó, bình phương các giá trị bằng nhau thu được, chúng ta nhận được:
sin² B = in² / s²; cos² TẠI\ u003d a² / s².
Thêm chúng vào, chúng tôi nhận được:
sin² TẠI+ cos² B = v² / s² + a² / s², trong đó sin² TẠI+ cos² B = 1,
1 \ u003d (v² + a²) / s², do đó,
c² = a² + b².
Việc chứng minh đã hoàn tất.
5 CÁCH.
Chứng minh này dựa trên việc cắt các hình vuông được xây dựng trên chân (Hình 5) và xếp chồng các phần tạo ra trên hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền.
6 CÁCH.
Để có bằng chứng trên ống thông Mặt trời Tòa nhà BCD ABC(Hình 6). Chúng ta biết rằng diện tích của các hình tương tự có liên quan với nhau như là các hình vuông có kích thước tuyến tính tương tự của chúng:
Trừ đẳng thức thứ hai cho đẳng thức đầu tiên, chúng ta nhận được
c2 = a2 + b2.
Việc chứng minh đã hoàn tất.
7 CÁCH.
Được cho(Hình 7):
ABS,= 90 ° , Mặt trời= a, AC =b, AB = c.
Chứng tỏ:c2 = a2 +b2.
Bằng chứng.
Để chân b một. Hãy tiếp tục phân đoạn SW mỗi điểm TẠI và xây dựng một hình tam giác bmdđể các điểm M và NHƯNG nằm trên một bên của một đường thẳng đĩa CD và ngoài ra, B.D. =b, BDM= 90 °, DM= a, sau đó bmd= ABC về hai phía và góc giữa chúng. Điểm A và M kết nối bằng các phân đoạn SÁNG. Chúng ta có MD đĩa CD và AC ĐĨA CD, có nghĩa là thẳng AC song song với một đường thẳng MD. Như MD< АС, sau đó thẳng đĩa CD và sáng không song song. Vì vậy, AMDC- hình thang chữ nhật.
Trong tam giác vuông ABC và bmd 1 + 2 = 90 ° và 3 + 4 = 90 °, nhưng vì = = nên 3 + 2 = 90 °; sau đó AVM= 180 ° - 90 ° = 90 °. Hóa ra là hình thang AMDCđược chia thành ba tam giác vuông không trùng nhau, sau đó theo tiên đề diện tích
(a + b) (a + b)
Chia tất cả các số hạng của bất đẳng thức cho, chúng ta thu được
mộtb + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Việc chứng minh đã hoàn tất.
8 CÁCH.
Phương pháp này dựa trên cạnh huyền và chân của một tam giác vuông ABC. Anh ta xây dựng các hình vuông tương ứng và chứng minh rằng hình vuông xây dựng trên cạnh huyền bằng tổng các hình vuông xây dựng trên chân (Hình 8).
Bằng chứng.
1) DBC= FBA= 90 °;
DBC + ABC= FBA + abc, có nghĩa, FBC = DBA.
Vì vậy, FBC=ABD(về hai phía và góc giữa chúng).
2) 
,
trong đó AL là DE, vì BD là mặt bằng chung, DL- chiều cao tổng thể.
3) 
, vì FB là một cơ sở, AB- tổng chiều cao.
4) 
5) Tương tự, người ta có thể chứng minh rằng 
6) Thêm từng thuật ngữ, chúng ta nhận được:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Việc chứng minh đã hoàn tất.
9 CÁCH.
Bằng chứng.
1) Để ABDE- một hình vuông (Hình 9), cạnh của nó bằng cạnh huyền của một tam giác vuông ABC (AB= c, BC = a, AC =b).
2) Để DK BC và DK = mặt trời, vì 1 + 2 = 90 ° (là góc nhọn của tam giác vuông), 3 + 2 = 90 ° (là góc của hình vuông), AB= BD(các cạnh của hình vuông).
Có nghĩa, ABC= BDK(bằng cạnh huyền và góc nhọn).
3) Để EL DC, AM EL. Có thể dễ dàng chứng minh rằng ABC = BDK = DEL = EAM (với chân một và b). sau đó KS= CM= ML= LK= một -b.
4) SKB = 4S + SKLMC= 2ab+ (a-b),với2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Việc chứng minh đã hoàn tất.
10 CÁCH.
Chứng minh có thể được thực hiện trên một hình, được gọi đùa là "quần Pythagore" (Hình 10). Ý tưởng của nó là biến các hình vuông có chân thành các hình tam giác bằng nhau, chúng cùng nhau tạo nên hình vuông của cạnh huyền.
ABC shift, như được hiển thị bởi mũi tên, và nó có vị trí KĐN. Phần còn lại của hình AKDCB bằng diện tích của một hình vuông AKDC- nó là một hình bình hành AKNB.
Tạo mô hình hình bình hành AKNB. Ta dịch chuyển hình bình hành như đã phác thảo trong nội dung tác phẩm. Để thể hiện phép biến hình bình hành thành tam giác đều, trước mắt các em học sinh chúng tôi cắt bỏ một tam giác trên mô hình và chuyển nó xuống dưới. Vậy diện tích hình vuông AKDC bằng diện tích của hình chữ nhật. Tương tự, chúng ta chuyển đổi diện tích hình vuông thành diện tích hình chữ nhật.
Hãy thực hiện một biến đổi cho một hình vuông được xây dựng trên một chân một(Hình 11, a):
a) Hình vuông được biến đổi thành một hình bình hành có kích thước bằng nhau (Hình 11.6):
b) hình bình hành quay được một phần tư vòng (Hình 12):
c) Hình bình hành được biến đổi thành một hình chữ nhật có kích thước bằng nhau (Hình 13): 11 CÁCH.
Bằng chứng:
PCL- thẳng (Hình 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Bằng chứng kết thúc .
12 CÁCH.
Cơm. 15 minh họa một cách chứng minh ban đầu khác của định lý Pitago.
Ở đây: tam giác ABC vuông với góc C; đoạn thẳng bf vuông góc SW và ngang bằng với nó, phân khúc LÀ vuông góc AB và ngang bằng với nó, phân khúc QUẢNG CÁO vuông góc AC và ngang hàng với anh ta; điểm F, C,D thuộc một đường thẳng; hình tứ giác ADFB và ACBE bình đẳng bởi vì ABF = ECB; Hình tam giác ADF và ÁT CHỦđều nhau; chúng tôi trừ từ cả hai tứ giác bằng nhau một tam giác chung cho chúng abc, chúng tôi nhận được
, c2 = a2 +
b2.
Việc chứng minh đã hoàn tất.
13 CÁCH.
Một mặt, diện tích của tam giác vuông này bằng ,
với một cái khác, ,
3. KẾT LUẬN
Kết quả của hoạt động tìm kiếm, mục tiêu của công việc đã đạt được là bổ sung và khái quát kiến thức về chứng minh định lý Pitago. Có thể tìm và cân nhắc nhiều cách chứng minh khác nhau và khắc sâu kiến thức về chủ đề này bằng cách vượt ra ngoài các trang sách giáo khoa ở trường.
Tài liệu tôi sưu tầm được càng có sức thuyết phục rằng định lý Pitago là định lý lớn của hình học và có tầm quan trọng về mặt lý luận cũng như thực tiễn. Để kết luận, tôi muốn nói: lý do cho sự phổ biến của định lý Pitago về ba ngôi là vẻ đẹp, sự đơn giản và ý nghĩa!
4. TÀI LIỆU SỬ DỤNG.
1. Đại số giải trí. . Mátxcơva "Nauka", 1978.
2. Bổ sung phương pháp và giáo dục hàng tuần trên báo "Đầu tháng 9", 24/2001.
3. Hình học 7-9. và vân vân.
4. Hình học 7-9. và vân vân.
Một bằng chứng hoạt hình của định lý Pitago là một trong những cơ bản các định lý của hình học Ơclit, thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác vuông. Người ta tin rằng nó đã được chứng minh bởi nhà toán học Hy Lạp Pythagoras, người mà sau đó nó được đặt tên (đặc biệt là có các phiên bản khác, một ý kiến khác cho rằng định lý này là nhìn chungđược xây dựng bởi nhà toán học Pitago Hippasus).
Định lý cho biết:
Trong một tam giác vuông, diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng diện tích các hình vuông dựng trên chân.
Biểu thị độ dài cạnh huyền của tam giác c, và chiều dài của chân như một và b, chúng tôi nhận được công thức sau:
Do đó, định lý Pitago thiết lập một quan hệ cho phép bạn xác định cạnh của một tam giác vuông, biết độ dài của hai tam giác còn lại. Định lý Pitago là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin, định lý này xác định mối quan hệ giữa các cạnh tam giác tùy ý.
Khẳng định ngược lại cũng được chứng minh (còn được gọi là định lý converse Pythagoras):
Đối với bất kỳ ba số dương a, b và c sao cho a? + b? = c ?, có một tam giác vuông với các chân a, b và cạnh huyền c.
Bằng chứng trực quan cho tam giác (3, 4, 5) từ Chu Pei 500-200 TCN. Lịch sử của định lý có thể được chia thành bốn phần: kiến thức về số Pitago, kiến thức về tỉ số các cạnh trong tam giác vuông, kiến thức về tỉ số các góc liền kề và chứng minh định lý.
Các công trình cự thạch khoảng 2500 năm trước Công nguyên ở Ai Cập và Bắc Âu, chứa các tam giác vuông với các cạnh là số nguyên. Barthel Leendert van der Waerden phỏng đoán rằng trong những ngày đó, các số Pitago được tìm thấy dưới dạng đại số.
Được viết từ năm 2000 đến 1876 trước Công nguyên giấy cói từ thời Trung Vương quốc Ai Cập Berlin 6619 chứa một bài toán có lời giải là các số Pitago.
Dưới thời trị vì của Hammurabi Đại đế, một tấm bia của người Vibylonian Plimpton 322,được viết giữa năm 1790 và 1750 trước Công nguyên chứa nhiều mục liên quan chặt chẽ đến các con số Pitago.
Trong kinh Budhayana, có niên đại từ các phiên bản khác nhau Thế kỷ thứ 8 hoặc thứ 2 trước Công nguyên ở Ấn Độ, chứa các số Pitago được suy ra bằng đại số, một công thức của định lý Pitago và một bằng chứng hình học cho một tam giác vuông cân.
Kinh Apastamba (khoảng năm 600 trước Công nguyên) có bằng chứng sốĐịnh lý Pitago sử dụng tính toán diện tích. Van der Waerden tin rằng nó dựa trên truyền thống của những người đi trước. Theo Albert Burko, đây là bằng chứng ban đầu của định lý và ông gợi ý rằng Pythagoras đã đến thăm Arakoni và sao chép nó.
Pythagoras, có số năm tuổi thọ thường được chỉ định là 569 - 475 trước Công nguyên. sử dụng phương pháp đại số tính toán các số Pitago, theo nhận xét của Proklov về Euclid. Proclus, tuy nhiên, sống từ năm 410 đến 485 sau Công nguyên. Theo Thomas Giese, không có dấu hiệu nào về quyền tác giả của định lý trong 5 thế kỷ sau Pythagoras. Tuy nhiên, khi các tác giả như Plutarch hoặc Cicero gán định lý cho Pythagoras, họ làm như vậy như thể quyền tác giả được biết đến rộng rãi và chắc chắn.
Khoảng 400 năm trước công nguyên Theo Proclus, Plato đã đưa ra phương pháp tính toán số Pitago, kết hợp giữa đại số và hình học. Khoảng năm 300 trước Công nguyên, ở Sự khởi đầu Euclid, chúng ta có bằng chứng tiên đề lâu đời nhất còn tồn tại cho đến ngày nay.
Được viết vào khoảng giữa năm 500 trước Công nguyên. và 200 trước Công nguyên, tiếng Trung Quốc sách toán"Chu Pei" (????), Đưa ra một bằng chứng trực quan về định lý Pitago, ở Trung Quốc được gọi là định lý gugu (????), cho một tam giác có các cạnh (3, 4, 5). Dưới thời trị vì của nhà Hán, từ năm 202 trước Công nguyên. trước năm 220 sau công nguyên Số Pitago xuất hiện trong cuốn sách "Chín phần của nghệ thuật toán học" cùng với đề cập đến tam giác vuông.
Việc sử dụng định lý này lần đầu tiên được ghi nhận ở Trung Quốc, nơi nó được gọi là định lý gugu (????) và ở Ấn Độ, nơi nó được gọi là định lý Baskar.
Nhiều người đang tranh luận về việc liệu định lý Pitago được phát hiện một lần hay nhiều lần. Boyer (1991) tin rằng kiến thức được tìm thấy trong Kinh Shulba có thể có nguồn gốc từ Lưỡng Hà.
Chứng minh đại số 
Hình vuông được hình thành từ bốn tam giác vuông. Hơn một trăm cách chứng minh định lý Pitago đã được biết đến. Đây là bằng chứng dựa trên định lý tồn tại cho diện tích của một hình:
Đặt bốn tam giác vuông giống nhau như trong hình bên.
Hình tứ giác có các cạnh c là một hình vuông vì tổng của hai góc nhọn, Và góc phát triển là.
Một mặt, diện tích của toàn hình bằng diện tích hình vuông có cạnh "a + b", mặt khác bằng tổng diện tích của bốn hình tam giác và hình vuông bên trong. .
Đó là những gì cần được chứng minh.
Bởi sự đồng dạng của các tam giác 
Sử dụng các tam giác đồng dạng. Để cho được ABC là một tam giác vuông trong đó góc C thẳng, như thể hiện trong hình. Hãy vẽ chiều cao từ một điểm c, và gọi Hđiểm giao nhau với một bên AB. Hình tam giác ACH giống như một hình tam giác abc, vì chúng đều là hình chữ nhật (theo định nghĩa của chiều cao) và chúng có chung một góc MỘT, rõ ràng góc thứ ba cũng sẽ giống nhau trong các tam giác này. Tương tự mirkuyuyuchy, tam giác CBH cũng tương tự như hình tam giác ABC. Từ sự đồng dạng của các tam giác: Nếu
Điều này có thể được viết là
Nếu chúng ta cộng hai giá trị bằng nhau này, chúng ta nhận được
HB + c lần AH = c lần (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
Nói cách khác, định lý Pitago:
Chứng minh của Euclid 
Chứng minh Euclid trong “Nguyên lý” Ơclit, định lý Pitago được chứng minh bằng phương pháp hình bình hành. Để cho được A, B, Cđỉnh của một tam giác vuông, với một góc vuông MỘT. Thả vuông góc từ một điểm Một về phía đối diện với cạnh huyền trong một hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền. Đường thẳng chia hình vuông thành hai hình chữ nhật, mỗi hình vuông có diện tích bằng các hình vuông được dựng trên chân. ý chính bằng chứng là các hình vuông phía trên được biến thành các hình bình hành có cùng diện tích, sau đó quay lại và biến thành các hình chữ nhật ở hình vuông phía dưới và lại có cùng diện tích.
Hãy vẽ các phân đoạn CF và QUẢNG CÁO, chúng tôi nhận được hình tam giác BCF và BDA.
các góc TAXI và TÚI- thẳng; điểm C, A và G thẳng hàng. Cùng một cách BA và H.
các góc CBD và FBA- cả hai đều thẳng, sau đó là góc ABD bằng góc fbc, vì cả hai đều là tổng của một góc vuông và một góc ABC.
Tam giác ABD và FBCđộ của hai mặt và góc giữa chúng.
Bởi vì các dấu chấm A, K và L- thẳng hàng, diện tích hình chữ nhật BĐLK bằng hai diện tích tam giác ABD (BDLK) = TÚI = AB2)
Tương tự, chúng tôi nhận được CKLE = ACIH = AC 2
Ở một bên khu vực CBDE bằng tổng diện tích của các hình chữ nhật BDLK và CKLE, mặt khác, diện tích của hình vuông BC2, hoặc AB 2 + AC 2 = BC 2.
Sử dụng sự khác biệt 
Việc sử dụng bộ vi sai. Định lý Pitago có thể được thành lập bằng cách nghiên cứu cách gia tăng của một cạnh ảnh hưởng đến độ dài của cạnh huyền như thể hiện trong hình bên phải và áp dụng một phép tính nhỏ.
Kết quả của sự phát triển bên một, từ các tam giác tương tự cho gia số thập phân nhỏ
Tích hợp chúng tôi nhận được
Nếu một một= 0 sau đó c = b, vì vậy "hằng số" là b 2. sau đó
Như có thể thấy, các bình phương là do tỷ lệ giữa các gia số và các bên, trong khi tổng là kết quả của sự đóng góp độc lập của các gia số của các bên, không rõ ràng từ bằng chứng hình học. Trong các phương trình này da và dc tương ứng là gia số thập phân của các cạnh một và c. Nhưng thay vì chúng, chúng tôi sử dụng? một và? c, thì giới hạn của tỷ lệ nếu chúng có xu hướng bằng không là da / dc,đạo hàm, và cũng bằng c / một, tỷ lệ độ dài các cạnh của hình tam giác, kết quả là chúng ta nhận được phương trình vi phân.
Trong trường hợp một hệ vectơ trực giao, một đẳng thức xảy ra, còn được gọi là định lý Pitago:
Nếu - Đây là các hình chiếu của vectơ lên trục tọa độ, thì công thức này trùng với khoảng cách Euclide và có nghĩa là độ dài của vectơ bằng căn tổng bình phương bình phương của các thành phần của nó.
Tương tự của sự bình đẳng này trong trường hợp hệ thống vô tận vectơ được gọi là đẳng thức Parseval.
Có thể chắc chắn một điều trăm phần trăm, rằng khi được hỏi bình phương cạnh huyền là gì, bất kỳ người lớn nào cũng sẽ mạnh dạn trả lời: "Tổng bình phương của các chân". Lý thuyết này đã được gieo vào tâm trí của tất cả mọi người một cách vững chắc. người có học, nhưng chỉ cần nhờ ai đó chứng minh là đủ, rồi khó khăn có thể nảy sinh. Do đó, chúng ta hãy ghi nhớ và xem xét các cách khác nhau để chứng minh định lý Pitago.
Tổng quan ngắn gọn về tiểu sử
Định lý Pitago quen thuộc với hầu hết mọi người, nhưng vì một số lý do mà tiểu sử của người đã sản sinh ra nó không được phổ biến như vậy. Chúng tôi sẽ sửa chữa nó. Vì vậy, trước khi nghiên cứu các cách khác nhau để chứng minh định lý Pitago, bạn cần phải làm quen một cách ngắn gọn với tính cách của anh ta.
Pythagoras - một nhà triết học, toán học, nhà tư tưởng từ ngày nay rất khó phân biệt tiểu sử của ông với những truyền thuyết đã hình thành để tưởng nhớ về con người vĩ đại này. Nhưng theo các bài viết của những người theo ông, Pythagoras of Samos được sinh ra trên đảo Samos. Cha anh là một thợ cắt đá bình thường, nhưng mẹ anh xuất thân từ một gia đình quý tộc.
Theo truyền thuyết, sự ra đời của Pythagoras được tiên đoán bởi một người phụ nữ tên là Pythia, người mà vinh dự được đặt tên cho cậu bé. Theo dự đoán của bà, một bé trai chào đời là sẽ mang lại nhiều lợi ích và điều tốt đẹp cho nhân loại. Đó là những gì anh ấy thực sự đã làm.
Sự ra đời của một định lý
Thời trẻ, Pythagoras chuyển đến Ai Cập để gặp gỡ các nhà hiền triết Ai Cập nổi tiếng ở đó. Sau khi gặp gỡ họ, ông được nhận vào học, tại đây ông đã học được tất cả những thành tựu vĩ đại của triết học, toán học và y học Ai Cập.
Có lẽ, chính ở Ai Cập, Pythagoras đã lấy cảm hứng từ sự uy nghiêm và vẻ đẹp của các kim tự tháp và tạo ra các kim tự tháp của riêng mình lý thuyết tuyệt vời. Điều này có thể gây sốc cho độc giả, nhưng các nhà sử học hiện đại tin rằng Pythagoras đã không chứng minh được lý thuyết của mình. Nhưng ông chỉ truyền lại kiến thức của mình cho những người theo ông, những người sau này đã hoàn thành tất cả các phép tính toán học cần thiết.
Có thể như vậy, ngày nay không phải một kỹ thuật nào để chứng minh định lý này được biết đến, mà là một số kỹ thuật cùng một lúc. Ngày nay chúng ta chỉ có thể đoán chính xác cách người Hy Lạp cổ đại thực hiện các phép tính của họ, vì vậy ở đây chúng ta sẽ xem xét các cách khác nhau để chứng minh định lý Pitago.
Định lý Pythagore
Trước khi bắt đầu bất kỳ phép tính nào, bạn cần tìm ra lý thuyết nào để chứng minh. Định lý Pitago có vẻ như thế này: "Trong một tam giác có một trong các góc là 90 o, tổng các bình phương của chân bằng bình phương của cạnh huyền."
Tổng cộng có 15 cách khác nhau để chứng minh Định lý Pitago. Đây là một con số khá lớn, vì vậy chúng ta hãy chú ý đến những điểm phổ biến nhất trong số đó.
Phương pháp một
Đầu tiên chúng ta hãy xác định những gì chúng ta có. Dữ liệu này cũng sẽ áp dụng cho các cách khác để chứng minh định lý Pitago, vì vậy bạn nên nhớ ngay lập tức tất cả các ký hiệu có sẵn.
Giả sử đã cho một tam giác vuông có chân a, b và cạnh huyền bằng c. Phương pháp chứng minh đầu tiên dựa trên thực tế là một hình vuông phải được vẽ từ một tam giác vuông.
Để làm điều này, bạn cần vẽ một đoạn đến chân với chiều dài bằng chân trong, và ngược lại. Vì vậy, nó phải là hai hai bên bằng nhau vuông. Nó vẫn chỉ để vẽ hai đường thẳng song song và hình vuông đã sẵn sàng.
Bên trong hình kết quả, bạn cần vẽ một hình vuông khác có cạnh bằng cạnh huyền hình tam giác ban đầu. Để làm điều này, từ các đỉnh ac và s, bạn cần vẽ hai đoạn song song Bằng. Do đó, chúng ta có được ba cạnh của hình vuông, một trong số đó là cạnh huyền của tam giác vuông ban đầu. Nó vẫn chỉ để vẽ phân đoạn thứ tư.
Dựa trên hình kết quả, chúng ta có thể kết luận rằng diện tích của \ u200b \ u200b hình vuông bên ngoài là (a + b) 2. Nếu bạn nhìn vào bên trong hình, bạn có thể thấy rằng ngoài hình vuông bên trong, nó có bốn hình tam giác vuông. Diện tích của mỗi cái là 0,5 av.
Do đó, diện tích là: 4 * 0,5av + s 2 \ u003d 2av + s 2
Do đó (a + c) 2 \ u003d 2av + c 2
Và do đó, với 2 \ u003d a 2 + trong 2
Định lý đã được chứng minh.
Phương pháp hai: tam giác đồng dạng
Công thức chứng minh định lý Pitago này được suy ra trên cơ sở phát biểu từ phần hình học về các tam giác đồng dạng. Nó nói rằng chân của một tam giác vuông là trung bình tỷ lệ với cạnh huyền của nó và đoạn cạnh huyền xuất phát từ đỉnh một góc 90 o.
Dữ liệu ban đầu vẫn giữ nguyên, vì vậy chúng ta hãy bắt đầu ngay với phần chứng minh. Ta vẽ đoạn thẳng CD vuông góc với cạnh AB. Dựa vào câu trên, các chân của tam giác bằng nhau:
AC = √AB * AD, SW = √AB * DV.
Để trả lời câu hỏi làm thế nào để chứng minh định lý Pitago, việc chứng minh phải được đặt bằng cách bình phương cả hai bất đẳng thức.
AC 2 \ u003d AB * HELL và SV 2 \ u003d AB * DV
Bây giờ chúng ta cần thêm các bất đẳng thức kết quả.
AC 2 + SV 2 \ u003d AB * (AD * DV), trong đó AD + DV \ u003d AB
Nó chỉ ra rằng:
AC 2 + CB 2 \ u003d AB * AB
Và do đó:
AC 2 + CB 2 \ u003d AB 2
Việc chứng minh định lý Pitago và các cách giải khác nhau đòi hỏi một cách tiếp cận linh hoạt cho vấn đề này. Tuy nhiên, tùy chọn này là một trong những tùy chọn đơn giản nhất.
Một phương pháp tính toán khác
Mô tả các cách khác nhau để chứng minh định lý Pitago có thể không nói lên điều gì, cho đến khi bạn bắt đầu tự thực hành. Nhiều phương pháp không chỉ liên quan đến các phép tính toán học mà còn cả việc xây dựng các hình mới từ tam giác ban đầu.
TẠI trường hợp này cần phải hoàn thành thêm một VSD tam giác vuông từ chân máy bay. Như vậy, bây giờ có hai tam giác có chung chân BC.
Biết rằng diện tích của các hình tương tự có tỷ lệ là bình phương của các kích thước tuyến tính tương tự của chúng, khi đó:
S avd * s 2 - S avd * in 2 \ u003d S avd * a 2 - S vd * a 2
S avs * (từ 2 đến 2) \ u003d a 2 * (S avd -S vvd)
từ 2 đến 2 \ u003d a 2
c 2 \ u003d a 2 + trong 2
Vì phương án này khó phù hợp với các phương pháp chứng minh định lý Pitago ở lớp 8, nên bạn có thể sử dụng phương pháp sau.
Cách dễ nhất để chứng minh định lý Pitago. Nhận xét
Các nhà sử học tin rằng phương pháp này lần đầu tiên được sử dụng để chứng minh định lý trong Hy Lạp cổ đại. Nó là đơn giản nhất, vì nó hoàn toàn không yêu cầu bất kỳ tính toán nào. Nếu bạn vẽ hình một cách chính xác, thì bằng chứng của tuyên bố rằng a 2 + b 2 \ u003d c 2 sẽ hiển thị rõ ràng.
Điều kiện cho phương pháp này sẽ hơi khác so với trước đó. Để chứng minh định lý, giả sử rằng tam giác vuông ABC cân.
Ta lấy cạnh huyền AC làm cạnh của hình vuông và vẽ ba cạnh của nó. Ngoài ra, cần phải vẽ hai đường chéo trong hình vuông kết quả. Vì vậy, bên trong nó bạn nhận được bốn hình tam giác cân.
Đối với chân AB và CB, bạn cũng cần vẽ một hình vuông và vẽ một đường chéo ở mỗi chân. Chúng tôi vẽ dòng đầu tiên từ đỉnh A, dòng thứ hai - từ C.
Bây giờ bạn cần phải xem xét cẩn thận hình ảnh kết quả. Vì có bốn hình tam giác trên cạnh huyền AC, bằng với hình ban đầu và hai hình ở cạnh, điều này cho thấy tính xác thực của định lý này.
Nhân tiện, nhờ phương pháp chứng minh định lý Pitago, cụm từ nổi tiếng: "Quần Pythagore bằng nhau về mọi hướng."
Bằng chứng của J. Garfield
James Garfield là Tổng thống thứ 20 của Hợp chủng quốc Hoa Kỳ. Ngoài việc để lại dấu ấn trong lịch sử với tư cách là người trị vì Hoa Kỳ, ông còn là một người có năng khiếu tự học.
Khi bắt đầu sự nghiệp của mình, ông là một giáo viên bình thường tại một trường học dân gian, nhưng nhanh chóng trở thành giám đốc của một trong những tổ chức giáo dục. Mong muốn phát triển bản thân và cho phép anh ấy cống hiến lý thuyết mới chứng minh định lý Pitago. Định lý và một ví dụ về lời giải của nó như sau.
Đầu tiên, bạn cần vẽ hai hình tam giác vuông trên một mảnh giấy sao cho phần chân của một trong số chúng là phần tiếp nối của phần thứ hai. Các đỉnh của các hình tam giác này cần được nối với nhau để tạo thành một hình thang.
Như bạn đã biết, diện tích của một hình thang bằng tích của một nửa tổng của nó và chiều cao.
S = a + b / 2 * (a + b)
Nếu chúng ta coi hình thang thu được là một hình gồm ba hình tam giác, thì diện tích của nó có thể được tìm thấy như sau:
S \ u003d av / 2 * 2 + s 2/2
Bây giờ chúng ta cần cân bằng hai biểu thức ban đầu
2av / 2 + s / 2 \ u003d (a + c) 2/3
c 2 \ u003d a 2 + trong 2
Có thể viết nhiều hơn một tập về định lý Pitago và cách chứng minh định lý đó hướng dẫn học tập. Nhưng liệu nó có ý nghĩa khi những kiến thức này không thể áp dụng vào thực tế?
Ứng dụng thực tế của định lý Pitago
Thật không may, các chương trình giảng dạy ở trường học hiện đại chỉ cung cấp cho việc sử dụng định lý này trong vấn đề hình học. Sinh viên tốt nghiệp sẽ sớm rời khỏi trường học mà không biết làm thế nào họ có thể áp dụng kiến thức và kỹ năng của họ vào thực tế.
Trên thực tế, sử dụng định lý Pitago trong Cuộc sống hàng ngày mọi người có thể. Và không chỉ trong Hoạt động chuyên môn mà còn trong những công việc gia đình bình thường. Chúng ta hãy xem xét một số trường hợp khi định lý Pitago và các phương pháp chứng minh nó có thể cực kỳ cần thiết.
Kết nối của định lý và thiên văn học
Có vẻ như cách các ngôi sao và hình tam giác có thể được kết nối trên giấy. Trên thực tế, thiên văn học là Lĩnh vực khoa học, sử dụng rộng rãi định lý Pitago.
Ví dụ, hãy xem xét chuyển động của một chùm sáng trong không gian. Chúng ta biết rằng ánh sáng truyền theo cả hai hướng với tốc độ như nhau. Ta gọi quỹ đạo AB mà tia sáng chuyển động là l. Và một nửa thời gian để ánh sáng đi từ điểm A đến điểm B, hãy gọi t. Và tốc độ của chùm tia - c. Nó chỉ ra rằng: c * t = l
Nếu bạn nhìn vào cùng một chùm tia này từ một mặt phẳng khác, chẳng hạn, từ một tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc v, thì khi quan sát các thiên thể như vậy, tốc độ của chúng sẽ thay đổi. Trong trường hợp này, các phần tử đứng yên sẽ chuyển động với vận tốc v theo hướng ngược lại.
Giả sử lớp lót truyện tranh đang di chuyển sang bên phải. Khi đó các điểm A và B, nơi có tia lao tới, sẽ di chuyển sang trái. Hơn nữa, khi chùm sáng di chuyển từ điểm A đến điểm B, điểm A có thời gian để di chuyển và theo đó, ánh sáng sẽ đến lúc điểm mới C. Để tìm một nửa quãng đường mà điểm A đã di chuyển, bạn cần nhân tốc độ của vật lót với một nửa thời gian di chuyển của chùm sáng (t ”).
Và để tìm xem một tia sáng có thể truyền đi bao xa trong thời gian này, bạn cần chỉ định một nửa đường đi của cây sồi mới và nhận được biểu thức sau:
Nếu chúng ta tưởng tượng rằng các điểm của ánh sáng C và B, cũng như lớp lót không gian, là các đỉnh Tam giác cân, thì đoạn từ điểm A đến đường lót sẽ chia nó thành hai tam giác vuông. Do đó, nhờ định lý Pitago, bạn có thể tìm được khoảng cách mà một tia sáng có thể truyền đi.
Tất nhiên, ví dụ này không phải là thành công nhất, vì chỉ một số ít có thể đủ may mắn để thử nó trong thực tế. Do đó, chúng tôi xem xét các ứng dụng trần tục hơn của định lý này.
Phạm vi truyền tín hiệu di động
Cuộc sống hiện đại không còn có thể tưởng tượng được nếu không có sự tồn tại của điện thoại thông minh. Nhưng chúng sẽ sử dụng được bao nhiêu nếu không thể kết nối các thuê bao qua mạng di động?!
Chất lượng của thông tin liên lạc di động trực tiếp phụ thuộc vào độ cao mà ăng-ten của nhà khai thác di động được đặt. Để tính toán khoảng cách từ một tháp di động mà điện thoại có thể nhận được tín hiệu, bạn có thể áp dụng định lý Pitago.
Giả sử bạn cần tìm chiều cao gần đúng của một tháp đứng yên để nó có thể truyền tín hiệu trong bán kính 200 km.
AB (chiều cao tháp) = x;
BC (bán kính truyền tín hiệu) = 200 km;
OS (bán kính toàn cầu) = 6380 km;
OB = OA + ABOB = r + x
Áp dụng định lý Pitago, chúng ta thấy rằng chiều cao tối thiểu của tháp phải là 2,3 km.
Định lý Pitago trong cuộc sống hàng ngày
Thật kỳ lạ, định lý Pitago có thể hữu ích ngay cả trong những vấn đề hàng ngày, chẳng hạn như xác định chiều cao của tủ quần áo. Thoạt nhìn, không cần thiết phải sử dụng các phép tính phức tạp như vậy, vì bạn có thể thực hiện các phép đo đơn giản bằng thước dây. Nhưng nhiều người ngạc nhiên tại sao một số vấn đề lại phát sinh trong quá trình lắp ráp nếu tất cả các phép đo được thực hiện quá chính xác.
Thực tế là tủ quần áo được lắp ráp theo phương nằm ngang và chỉ sau đó tăng lên và được lắp vào tường. Do đó, thành bên của tủ trong quá trình nâng kết cấu phải tự do đi qua cả chiều cao và đường chéo của phòng.
Giả sử có một tủ quần áo với chiều sâu 800 mm. Khoảng cách từ sàn đến trần - 2600 mm. Một nhà sản xuất đồ nội thất có kinh nghiệm sẽ nói rằng chiều cao của tủ nên nhỏ hơn chiều cao của căn phòng là 126 mm. Nhưng tại sao lại chính xác là 126 mm? Hãy xem một ví dụ.
Với kích thước lý tưởng của tủ, hãy kiểm tra hoạt động của định lý Pitago:
AC \ u003d √AB 2 + √BC 2
AC \ u003d √ 2474 2 +800 2 \ u003d 2600 mm - mọi thứ đều hội tụ.
Giả sử chiều cao của tủ không phải là 2474 mm mà là 2505 mm. Sau đó:
AC \ u003d √2505 2 + √800 2 \ u003d 2629 mm.
Vì vậy, chiếc tủ này không thích hợp để lắp đặt trong căn phòng này. Vì khi nâng nó lên một vị trí thẳng đứng, có thể gây ra tổn thương cho cơ thể của nó.
Có lẽ, sau khi xem xét các cách khác nhau để chứng minh định lý Pitago của các nhà khoa học khác nhau, chúng ta có thể kết luận rằng nó đúng hơn là đúng. Giờ đây, bạn có thể sử dụng thông tin nhận được trong cuộc sống hàng ngày của mình và hoàn toàn chắc chắn rằng tất cả các phép tính sẽ không chỉ hữu ích mà còn chính xác.
Đối với những người quan tâm đến lịch sử của định lý Pitago, được nghiên cứu trong chương trình giáo dục, một thực tế như việc xuất bản năm 1940 một cuốn sách với ba trăm bảy mươi cách chứng minh cho định lý có vẻ đơn giản này cũng sẽ rất thú vị. Nhưng nó đã hấp dẫn tâm trí của nhiều nhà toán học và triết học ở các thời đại khác nhau. Trong sách kỷ lục Guinness, nó được ghi nhận như một định lý với số lượng chứng minh nhiều nhất.
Lịch sử của định lý Pitago
Gắn liền với tên tuổi của Pythagoras, định lý này đã được biết đến từ rất lâu trước khi nhà triết học vĩ đại ra đời. Vì vậy, ở Ai Cập, trong quá trình xây dựng các công trình, tỷ lệ các cạnh của một tam giác vuông đã được tính đến cách đây 5 nghìn năm. Các văn bản của người Babylon đề cập đến cùng một tỷ lệ các cạnh của một tam giác vuông 1200 năm trước khi Pythagoras ra đời.
Câu hỏi đặt ra tại sao sau đó câu chuyện nói rằng - sự xuất hiện của định lý Pitago thuộc về anh ta? Chỉ có thể có một câu trả lời - anh ấy đã chứng minh được tỷ số các cạnh trong tam giác. Ông đã làm điều mà những người chỉ đơn giản sử dụng tỷ lệ khung hình và cạnh huyền, được thiết lập bằng kinh nghiệm, đã không làm được từ nhiều thế kỷ trước.
Từ cuộc đời của Pythagoras
Nhà khoa học, nhà toán học, nhà triết học vĩ đại trong tương lai sinh ra trên đảo Samos vào năm 570 trước Công nguyên. tài liệu lịch sử thông tin được lưu giữ về cha của Pythagoras, người là một thợ chạm khắc đá quý nhưng không có thông tin về người mẹ. Họ nói về cậu bé sinh ra rằng đây là một đứa trẻ xuất sắc đã thể hiện cùng thời thơ ấuđam mê âm nhạc và thơ ca. Các nhà sử học gán Hermodamant và Pherekides of Syros là những người thầy của Pythagoras trẻ tuổi. Người đầu tiên giới thiệu cậu bé vào thế giới của Muses, và người thứ hai, là một nhà triết học và là người sáng lập ra trường phái triết học Ý, hướng ánh nhìn của chàng trai trẻ vào các logo.
Năm 22 tuổi (548 TCN), Pythagoras đến Naucratis để học ngôn ngữ và tôn giáo của người Ai Cập. Xa hơn nữa, con đường của anh ấy nằm ở Memphis, nơi nhờ các thầy tu, đã vượt qua những bài kiểm tra tài tình của họ, anh ấy đã hiểu được hình học Ai Cập, điều này có lẽ đã thúc đẩy chàng trai trẻ ham học hỏi chứng minh định lý Pythagore. Lịch sử sau này sẽ gọi tên này cho định lý.
Bị vua Babylon bắt
Trên đường trở về nhà ở Hellas, Pythagoras bị bắt bởi vua Babylon. Nhưng việc bị giam cầm có lợi cho trí óc ham học hỏi của nhà toán học mới vào nghề, anh ta có rất nhiều điều để học hỏi. Thật vậy, trong những năm đó, toán học ở Babylon phát triển hơn ở Ai Cập. Ông đã dành mười hai năm để nghiên cứu toán học, hình học và phép thuật. Và, có lẽ, chính hình học Babylon đã tham gia vào việc chứng minh tỉ số các cạnh của tam giác và lịch sử phát hiện ra định lý. Pythagoras có đủ kiến thức và thời gian cho việc này. Nhưng điều này đã xảy ra ở Babylon, không có tài liệu xác nhận hoặc bác bỏ điều này.
Vào năm 530 trước Công nguyên Pythagoras chạy trốn khỏi nơi giam cầm để trở về quê hương của mình, nơi ông sống tại tòa án của bạo chúa Polycrates trong thân phận của một bán nô lệ. Một cuộc sống như vậy không phù hợp với Pythagoras, và ông ta rút lui trong các hang động của Samos, và sau đó đi đến phía nam của Ý, nơi mà vào thời điểm đó Thuộc địa Hy Lạp Croton.
Tu viện bí mật
Trên cơ sở thuộc địa này, Pythagoras đã tổ chức một bí mật trật tự tu viện, là một liên minh tôn giáo và xã hội khoa họcđồng thời. Xã hội này có hiến chương của nó, nói về việc tuân thủ một lối sống đặc biệt.
Pythagoras cho rằng để hiểu Chúa, một người phải biết các môn khoa học như đại số và hình học, biết thiên văn và hiểu âm nhạc. Tìm kiếmđã được giảm bớt kiến thức về khía cạnh huyền bí của các con số và triết học. Cần lưu ý rằng các nguyên tắc được Pythagoras rao giảng vào thời điểm đó có ý nghĩa trong việc bắt chước vào thời điểm hiện tại.
Nhiều khám phá được thực hiện bởi các môn đồ của Pythagoras là do ông. Tuy nhiên, nói tóm lại, lịch sử hình thành định lý Pitago của các nhà sử học và tiểu sử cổ đại thời đó gắn liền với tên tuổi của nhà triết học, nhà tư tưởng và nhà toán học này.
Những lời dạy của Pythagoras
Có lẽ các nhà sử học đã lấy cảm hứng từ tuyên bố của người Hy Lạp vĩ đại rằng tam giác tục ngữ với chân và cạnh huyền mã hóa tất cả các hiện tượng trong cuộc sống của chúng ta. Và tam giác này chính là “chìa khóa” để giải quyết mọi vấn đề nảy sinh. Nhà triết học vĩ đại nói rằng người ta nên nhìn thấy một hình tam giác, sau đó chúng ta có thể cho rằng vấn đề đã được giải quyết hai phần ba.
Pythagoras chỉ kể về việc giảng dạy của mình cho các học trò của mình bằng miệng, không ghi chú lại, giữ bí mật. Thật không may, dạy triết gia vĩ đại nhấtđã không tồn tại cho đến ngày nay. Một số trong số đó đã bị rò rỉ ra ngoài, nhưng không thể nói bao nhiêu là đúng và bao nhiêu là sai trong những gì đã được biết đến. Ngay cả với lịch sử của định lý Pitago, không phải mọi thứ đều chắc chắn. Các nhà sử học toán học nghi ngờ quyền tác giả của Pythagoras, theo ý kiến của họ, định lý này đã được sử dụng nhiều thế kỷ trước khi ông sinh ra.
Định lý Pythagore
Nó có vẻ lạ, nhưng sự kiện lịch sử không có bằng chứng nào về định lý của chính Pythagoras - không có trong các kho lưu trữ, hay bất kỳ nguồn nào khác. Trong phiên bản hiện đại, người ta tin rằng nó thuộc về không ai khác ngoài chính Euclid.
Có bằng chứng về một trong những nhà sử học vĩ đại nhất về toán học, Moritz Kantor, người đã phát hiện ra trên một tờ giấy cói lưu trữ trong Bảo tàng Berlin, được viết bởi người Ai Cập vào khoảng năm 2300 trước Công nguyên. e. bằng nhau, đọc là: 3² + 4² = 5².
Tóm tắt từ lịch sử của định lý Pitago
Công thức của định lý từ "Khởi đầu" của Euclide trong bản dịch nghe giống như trong cách hiểu hiện đại. Không có gì mới trong cách đọc của cô ấy: hình vuông cạnh đối diện góc phải, bằng tổng bình phương của các cạnh kề với góc vuông. Thực tế là các nền văn minh cổ đại của Ấn Độ và Trung Quốc đã sử dụng định lý này được xác nhận bởi chuyên luận Zhou Bi Suan Jin. Nó chứa thông tin về hình tam giác Ai Cập, mô tả tỷ lệ khung hình là 3: 4: 5.
Không kém phần thú vị là một cuốn sách toán học khác của Trung Quốc là Chu-Pei cũng đề cập đến Tam giác Pitago với lời giải thích và những hình vẽ trùng khớp với những hình vẽ về hình học Bashara của người Hindu. Về bản thân hình tam giác, cuốn sách nói rằng nếu một góc vuông có thể được chia nhỏ thành các phần thành phần của nó, thì đường nối các đầu của các cạnh sẽ bằng năm, nếu cơ sở là ba và chiều cao là bốn.
Bộ luận Ấn Độ "Kinh Sulva", ra đời vào khoảng thế kỷ thứ 7 đến thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. e., kể về việc dựng một góc vuông bằng cách sử dụng tam giác Ai Cập.
Chứng minh định lý
Vào thời Trung cổ, học sinh coi việc chứng minh một định lý là quá công việc khó khăn. Học sinh yếu kém học thuộc lòng các định lý, không hiểu ý nghĩa của cách chứng minh. Về vấn đề này, họ nhận được biệt danh "những con lừa", bởi vì định lý Pitago là một trở ngại không thể vượt qua đối với họ, giống như một chiếc cầu cho một con lừa. Vào thời Trung cổ, các sinh viên đã nghĩ ra một câu thơ vui nhộn về chủ đề của định lý này.
Để chứng minh định lý Pitago với nhiều nhất con đường dễ dàng, người ta chỉ nên đo các cạnh của nó mà không cần sử dụng khái niệm về các khu vực trong bằng chứng. Độ dài của cạnh đối diện với góc vuông là c và a và b kề với nó, kết quả là chúng ta có phương trình: a 2 + b 2 \ u003d c 2. Tuyên bố này, như đã đề cập ở trên, được xác minh bằng cách đo độ dài các cạnh của một tam giác vuông.
Nếu chúng ta bắt đầu chứng minh định lý bằng cách xem xét diện tích của các hình chữ nhật được xây dựng trên các cạnh của tam giác, chúng ta có thể xác định được diện tích của toàn bộ hình. Nó sẽ bằng diện tích của một hình vuông có cạnh (a + b), và mặt khác, tổng diện tích của bốn hình tam giác và hình vuông bên trong.
(a + b) 2 = 4 x ab / 2 + c 2;
a 2 + 2ab + b 2;
c 2 = a 2 + b 2, điều này đã được chứng minh.
Giá trị thực tiễnĐịnh lý Pitago là nó có thể được sử dụng để tìm độ dài của các đoạn mà không cần đo chúng. Trong quá trình xây dựng kết cấu, khoảng cách, vị trí đặt các cột chống và dầm được tính toán, trọng tâm được xác định. Định lý Pitago được áp dụng và trong tất cả công nghệ hiện đại. Họ không quên về định lý khi tạo phim ở kích thước 3D-6D, trong đó, ngoài 3 giá trị thông thường: chiều cao, chiều dài, chiều rộng, thời gian, mùi và vị được tính đến. Bạn hỏi như thế nào về vị và mùi liên quan đến định lý? Mọi thứ rất đơn giản - khi chiếu phim, bạn cần tính toán xem có mùi và vị gì để chỉ đạo trong khán phòng.
Nó chỉ là khởi đầu. Phạm vi vô hạn để khám phá và tạo ra các công nghệ mới đang chờ đợi những bộ óc ham học hỏi.
ĐO DIỆN TÍCH HÌNH HỌC.
§ 58. LÝ THUYẾT PYTHAGOREAN 1.
__________
1 Pythagoras là một nhà khoa học người Hy Lạp sống cách đây khoảng 2500 năm (564-473 TCN).
_________
Cho một tam giác vuông có các cạnh một, b và với(nhà phát triển 267).
Hãy xây dựng các hình vuông trên các mặt của nó. Diện tích của các ô vuông này lần lượt là một 2 , b 2 và với 2. Hãy chứng minh rằng với 2 = a 2 + b 2 .
Hãy dựng hai hình vuông MKOR và M "K" O "R" (Hình 268, 269), lấy cạnh của mỗi hình một đoạn bằng tổng các chân của một tam giác vuông ABC.
Sau khi hoàn thành các công trình được thể hiện trong hình vẽ 268 và 269 trong các hình vuông này, chúng ta sẽ thấy rằng hình vuông MKOR được chia thành hai hình vuông có diện tích một 2 và b 2 và bốn tam giác vuông bằng nhau, mỗi tam giác vuông bằng nhau ABC. Hình vuông M "K" O "R" được chia thành một tứ giác (tô màu trong hình vẽ 269) và bốn tam giác vuông, mỗi tam giác đều bằng tam giác ABC. Hình tứ giác được tô bóng là một hình vuông, vì các cạnh của nó bằng nhau (mỗi cạnh bằng cạnh huyền của tam giác ABC, tức là với) và các góc là bên phải / 1 + / 2 = 90 °, khi đó / 3 = 90 °).
Như vậy, tổng diện tích của các hình vuông được dựng trên chân (trong hình vẽ 268 các hình vuông này được tô bóng) bằng diện tích của hình vuông MKOR không có tổng bốn tam giác bằng nhau, và diện tích của hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền (trong hình vẽ 269 hình vuông này cũng được tô bóng) bằng diện tích của hình vuông M "K" O "R", bằng hình vuông của MKOR, mà không có tổng diện tích của bốn tam giác giống nhau. Do đó, diện tích hình vuông xây trên cạnh huyền của tam giác vuông bằng tổng diện tích các hình vuông dựng trên chân.
Chúng tôi nhận được công thức với 2 = a 2 + b 2, ở đâu với- cạnh huyền, một và b- chân của tam giác vuông.
Định lý Pitago có thể được tóm tắt như sau:
Bình phương cạnh huyền của tam giác vuông bằng tổng bình phương của chân.
Từ công thức với 2 = a 2 + b 2 bạn có thể nhận được các công thức sau:
một 2 = với 2 - b 2 ;
b 2 = với 2 - một 2 .
Những công thức này có thể được sử dụng để tìm bữa tiệc không xác định tam giác vuông cho trước hai cạnh của nó.
Ví dụ:
a) nếu chân được đưa ra một= 4 cm, b\ u003d 3 cm, thì bạn có thể tìm thấy cạnh huyền ( với):
với 2 = a 2 + b 2, tức là với 2
= 4 2 + 3 2; với 2 = 25, khi đó với= √25 = 5 (cm);
b) nếu cạnh huyền được cho với= 17 cm và chân một= 8 cm, sau đó bạn có thể tìm một chân khác ( b):
b 2 = với 2 - một 2, tức là b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, đồng thời b= √225 = 15 (cm).
Hậu quả:
Nếu trong hai tam giác vuông ABC và A 1 B 1 C 1 cạnh huyền với và với 1 bằng nhau, và chân b tam giác ABC lớn hơn chân b 1 tam giác A 1 B 1 C 1,
sau đó là chân một tam giác ABC nhỏ hơn chân một 1 tam giác A 1 B 1 C 1. (Vẽ hình minh họa hệ quả này.)
Thật vậy, dựa trên định lý Pitago, chúng ta nhận được:
một 2 = với 2 - b 2 ,
một 1 2 = với 1 2 - b 1 2
Trong các công thức đã viết, các giá trị nhỏ nhất bằng nhau và chuỗi con trong công thức đầu tiên lớn hơn chuỗi con trong công thức thứ hai, do đó, sự khác biệt đầu tiên nhỏ hơn giá trị thứ hai,
I E. một 2 < một 12. Ở đâu một< một 1 .
Bài tập.
1. Sử dụng hình vẽ 270, chứng minh định lý Pitago cho tam giác vuông cân.
2. Một chân của tam giác vuông là 12 cm, chân còn lại là 5 cm Tính độ dài cạnh huyền của tam giác này.
3. Cạnh huyền của một tam giác vuông là 10 cm, một trong hai chân là 8 cm. Tính độ dài một chân còn lại của tam giác này.
4. Cạnh huyền của một tam giác vuông là 37 cm, một chân của nó là 35 cm. Tính độ dài chân kia của tam giác này.
5. Dựng một hình vuông có diện tích gấp đôi diện tích đã cho.
6. Dựng một hình vuông có diện tích gấp đôi diện tích đã cho. Hướng dẫn. Giữ lấy hình vuông cho trướcđường chéo. Các hình vuông được xây dựng trên các nửa của các đường chéo này sẽ là những hình mong muốn.
7. Chân của một tam giác vuông lần lượt là 12 cm và 15 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác này với độ chính xác 0,1 cm.
8. Cạnh huyền của một tam giác vuông là 20 cm, một chân của nó là 15 cm Tính độ dài của chân kia chính xác đến 0,1 cm.
9. Thang phải dài bao nhiêu để có thể gắn vào cửa sổ ở độ cao 6 m, nếu đầu dưới của thang phải cách toà nhà 2,5 m? (Chết tiệt. 271.)
Tư liệu thông tin "góc bạn đọc trẻ"
Tiến sĩ xa để tiêu diệt
Mua axit sunfuric ở đâu?