Cách chuyển một logarit sang cơ số chung. Các tính chất của logarit và ví dụ về các giải pháp của chúng

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định một người cụ thể hoặc liên hệ với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

Do chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và tin nhắn quan trọng.
Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

Nếu cần - theo quy định của pháp luật, lệnh tư pháp, trong quá trình tố tụng pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ của Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp vì lý do bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

\ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Hãy giải thích nó dễ dàng hơn. Ví dụ: \ (\ log_ (2) (8) \) bằng mức độ, mà \ (2 \) phải được nâng lên để lấy \ (8 \). Từ đó, rõ ràng là \ (\ log_ (2) (8) = 3 \).

Ví dụ:	\ (\ log_ (5) (25) = 2 \)	tại vì \ (5 ^ (2) = 25 \)
	\ (\ log_ (3) (81) = 4 \)	tại vì \ (3 ^ (4) = 81 \)
	\ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (32) \) \ (= - 5 \)	tại vì \ (2 ^ (- 5) = \) \ (\ frac (1) (32) \)

Đối số và cơ số của lôgarit

Bất kỳ lôgarit nào đều có "giải phẫu" sau:

Đối số của lôgarit thường được viết ở mức của nó, và cơ số được viết dưới dạng dấu phụ gần với dấu của lôgarit hơn. Và mục nhập này được đọc như thế này: "logarit của hai mươi lăm đến cơ số năm."

Làm thế nào để tính toán lôgarit?

Để tính logarit, bạn cần trả lời câu hỏi: phải nâng cơ số lên ở mức độ nào để có đối số?

Ví dụ, tính logarit: a) \ (\ log_ (4) (16) \) b) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) c) \ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) \) d) \ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) \) e) \ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) \)

a) Phải nâng \ (4 \) lên để có \ (16 \) bằng lũy thừa nào? Rõ ràng là thứ hai. Cho nên:

\ (\ log_ (4) (16) = 2 \)

\ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= - 1 \)

c) Quyền lực \ (\ sqrt (5) \) phải được nâng lên đến mức nào để có \ (1 \)? Và mức độ nào làm cho bất kỳ số nào trở thành đơn vị? Tất nhiên là 0!

\ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) = 0 \)

d) Quyền lực \ (\ sqrt (7) \) phải được nâng lên đến mức nào để có \ (\ sqrt (7) \)? Ở bậc đầu tiên - bất kỳ số nào trong bậc đầu tiên đều bằng chính nó.

\ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) = 1 \)

e) Phải nâng \ (3 \) đến quyền lực nào để có \ (\ sqrt (3) \)? Từ chúng tôi biết những gì là mức độ phân số, và do đó căn bậc hai là lũy thừa của \ (\ frac (1) (2) \).

\ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \) \ (\ frac (1) (2) \)

Ví dụ : Tính logarit \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) \)

Quyết định :

\ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = x \)		Chúng ta cần tìm giá trị của lôgarit, hãy ký hiệu nó là x. Bây giờ chúng ta hãy sử dụng định nghĩa của lôgarit: \ (\ log_ (a) (c) = b \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (a ^ (b) = c \)
\ ((4 \ sqrt (2)) ^ (x) = 8 \)		Những liên kết \ (4 \ sqrt (2) \) và \ (8 \)? Hai, bởi vì cả hai số đều có thể được biểu thị bằng hai số: \ (4 = 2 ^ (2) \) \ (\ sqrt (2) = 2 ^ (\ frac (1) (2)) \) \ (8 = 2 ^ (3) \)
\ (((2 ^ (2) \ cdot2 ^ (\ frac (1) (2)))) ^ (x) = 2 ^ (3) \)		Ở bên trái, chúng tôi sử dụng thuộc tính độ: \ (a ^ (m) \ cdot a ^ (n) = a ^ (m + n) \) và \ ((a ^ (m)) ^ (n) = a ^ (m \ cdot n) \)
\ (2 ^ (\ frac (5) (2) x) = 2 ^ (3) \)		Các cơ sở là bằng nhau, chúng tôi tiến tới sự bình đẳng của các chỉ số
\ (\ frac (5x) (2) \) \ (= 3 \)		Nhân cả hai vế của phương trình với \ (\ frac (2) (5) \)
		Gốc kết quả là giá trị của lôgarit

Trả lời : \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = 1,2 \)

Tại sao lôgarit được phát minh?

Để hiểu điều này, hãy giải phương trình: \ (3 ^ (x) = 9 \). Chỉ cần so khớp \ (x \) để làm cho bình đẳng hoạt động. Tất nhiên, \ (x = 2 \).

Bây giờ giải phương trình: \ (3 ^ (x) = 8 \). bằng x? Đó là điểm.

Người khéo léo nhất sẽ nói: "X nhỏ hơn hai một chút." Làm thế nào chính xác là con số này được viết? Để trả lời câu hỏi này, họ đã tìm ra lôgarit. Nhờ anh ấy, câu trả lời ở đây có thể được viết là \ (x = \ log_ (3) (8) \).

Tôi muốn nhấn mạnh rằng \ (\ log_ (3) (8) \), cũng như bất kỳ lôgarit nào cũng chỉ là một số. Vâng, nó trông không bình thường, nhưng nó ngắn. Bởi vì nếu chúng tôi muốn viết nó dưới dạng phần thập phân, thì nó sẽ giống như thế này: \ (1.892789260714 ..... \)

Ví dụ : Giải phương trình \ (4 ^ (5x-4) = 10 \)

Quyết định :

\ (4 ^ (5x-4) = 10 \)		\ (4 ^ (5x-4) \) và \ (10 \) không thể giảm về cùng một cơ số. Vì vậy, ở đây bạn không thể làm gì nếu không có logarit. Hãy sử dụng định nghĩa của lôgarit: \ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)
\ (\ log_ (4) (10) = 5x-4 \)		Lật phương trình để x ở bên trái
\ (5x-4 = \ log_ (4) (10) \)		Trước chúng tôi. Di chuyển \ (4 \) sang phải. Và đừng sợ logarit, hãy coi nó như một số thông thường.
\ (5x = \ log_ (4) (10) +4 \)		Chia phương trình cho 5
\ (x = \) \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)		Đây là gốc của chúng tôi. Vâng, nó trông không bình thường, nhưng câu trả lời không được chọn.

Trả lời : \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)

Logarit thập phân và tự nhiên

Như đã nêu trong định nghĩa của lôgarit, cơ số của nó có thể là bất kỳ số dương, ngoại trừ đơn vị \ ((a> 0, a \ neq1) \). Và trong số tất cả các cơ số có thể có, có hai cơ số xảy ra thường xuyên đến mức một ký hiệu ngắn đặc biệt đã được phát minh cho logarit với chúng:

Lôgarit tự nhiên: một lôgarit có cơ số là số Euler \ (e \) (bằng khoảng \ (2,7182818… \)) và lôgarit được viết là \ (\ ln (a) \).

I E, \ (\ ln (a) \) giống với \ (\ log_ (e) (a) \)

Lôgarit thập phân: Một lôgarit có cơ số là 10 được viết \ (\ lg (a) \).

I E, \ (\ lg (a) \) giống với \ (\ log_ (10) (a) \), trong đó \ (a \) là một số.

Nhận dạng lôgarit cơ bản

Logarit có nhiều tính chất. Một trong số chúng được gọi là "Chính nhận dạng logarit'và trông như thế này:

\ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \)

Thuộc tính này theo sau trực tiếp từ định nghĩa. Hãy xem công thức này xuất hiện chính xác như thế nào.

Xin hãy nhớ ghi chú ngắnđịnh nghĩa logarit:

nếu \ (a ^ (b) = c \), thì \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Nghĩa là, \ (b \) giống với \ (\ log_ (a) (c) \). Sau đó, chúng ta có thể viết \ (\ log_ (a) (c) \) thay vì \ (b \) trong công thức \ (a ^ (b) = c \). Hóa ra \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) - nhận dạng lôgarit chính.

Bạn có thể tìm thấy phần còn lại của các thuộc tính của logarit. Với sự giúp đỡ của họ, bạn có thể đơn giản hóa và tính toán các giá trị của biểu thức bằng logarit, rất khó tính trực tiếp.

Ví dụ : Tìm giá trị của biểu thức \ (36 ^ (\ log_ (6) (5)) \)

Quyết định :

Trả lời : \(25\)

Làm thế nào để viết một số dưới dạng logarit?

Như đã đề cập ở trên, bất kỳ lôgarit nào cũng chỉ là một số. Điều ngược lại cũng đúng: bất kỳ số nào cũng có thể được viết dưới dạng logarit. Ví dụ, chúng ta biết rằng \ (\ log_ (2) (4) \) bằng hai. Sau đó, bạn có thể viết \ (\ log_ (2) (4) \) thay vì hai.

Nhưng \ (\ log_ (3) (9) \) cũng bằng \ (2 \), vì vậy bạn cũng có thể viết \ (2 = \ log_ (3) (9) \). Tương tự với \ (\ log_ (5) (25) \) và với \ (\ log_ (9) (81) \), v.v. Đó là, nó hóa ra

\ (2 = \ log_ (2) (4) = \ log_ (3) (9) = \ log_ (4) (16) = \ log_ (5) (25) = \ log_ (6) (36) = \ log_ (7) (49) ... \)

Vì vậy, nếu cần, chúng ta có thể viết hai hàm dưới dạng logarit với bất kỳ cơ số nào ở bất kỳ đâu (ngay cả trong một phương trình, thậm chí trong một biểu thức, thậm chí trong một bất đẳng thức) - chúng ta chỉ cần viết cơ số bình phương như một đối số.

Nó tương tự với bộ ba - nó có thể được viết là \ (\ log_ (2) (8) \), hoặc \ (\ log_ (3) (27) \), hoặc \ (\ log_ (4) ( 64) \) ... Ở đây chúng tôi viết cơ sở trong khối lập phương như một đối số:

\ (3 = \ log_ (2) (8) = \ log_ (3) (27) = \ log_ (4) (64) = \ log_ (5) (125) = \ log_ (6) (216) = \ log_ (7) (343) ... \)

Và với bốn:

\ (4 = \ log_ (2) (16) = \ log_ (3) (81) = \ log_ (4) (256) = \ log_ (5) (625) = \ log_ (6) (1296) = \ log_ (7) (2401) ... \)

Và trừ một:

\ (- 1 = \) \ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (2) \) \ (= \) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) ( 3) \) \ (= \) \ (\ log_ (4) \) \ (\ frac (1) (4) \) \ (= \) \ (\ log_ (5) \) \ (\ frac (1) ) (5) \) \ (= \) \ (\ log_ (6) \) \ (\ frac (1) (6) \) \ (= \) \ (\ log_ (7) \) \ (\ frac (1) (7) \) \ (... \)

Và với một phần ba:

\ (\ frac (1) (3) \) \ (= \ log_ (2) (\ sqrt (2)) = \ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \ log_ (4) (\ sqrt ( 4)) = \ log_ (5) (\ sqrt (5)) = \ log_ (6) (\ sqrt (6)) = \ log_ (7) (\ sqrt (7)) ... \)

Bất kỳ số nào \ (a \) đều có thể được biểu diễn dưới dạng logarit với cơ số \ (b \): \ (a = \ log_ (b) (b ^ (a)) \)

Ví dụ : Tìm giá trị của một biểu thức \ (\ frac (\ log_ (2) (14)) (1+ \ log_ (2) (7)) \)

Quyết định :

Trả lời : \(1\)

(từ tiếng Hy Lạp λόγος - "từ", "quan hệ" và ἀριθμός - "số") b bởi lý do một(log α b) được gọi là một số như vậy c, và b= AC, nghĩa là, log α b=c và b = ac là tương đương. Lôgarit có nghĩa nếu a> 0, a ≠ 1, b> 0.

Nói cách khác lôgarit con số b bởi lý do một công thức dưới dạng một số mũ mà một số phải được nâng lên mộtđể lấy số b(lôgarit chỉ tồn tại cho các số dương).

Từ công thức này, phép tính x = log α b, tương đương với việc giải phương trình a x = b.

Ví dụ:

log 2 8 = 3 vì 8 = 2 3.

Chúng tôi lưu ý rằng công thức được chỉ ra của lôgarit giúp xác định ngay lập tức giá trị logarit khi số dưới dấu của lôgarit là một lũy thừa nào đó của cơ số. Thật vậy, công thức của lôgarit có thể giải thích rằng nếu b = a c, sau đó là logarit của số b bởi lý do một bằng với. Rõ ràng chủ đề về lôgarit có liên quan mật thiết đến chủ đề mức độ của số.

Phép tính lôgarit được đề cập đến lôgarit. Lôgarit là phép toán lấy lôgarit. Khi lấy lôgarit, tích của các thừa số được chuyển thành tổng các số hạng.

Tiềm lực là phép toán nghịch đảo với logarit. Khi phân áp, cơ số đã cho được nâng lên thành lũy thừa của biểu thức mà phân áp được thực hiện. Trong trường hợp này, tổng các điều khoản được chuyển thành tích của các thừa số.

Khá thường xuyên, logarit thực với cơ số 2 (nhị phân) được sử dụng, e Số Euler e ≈ 2,718 ( lôgarit tự nhiên) và 10 (thập phân).

Trên sân khấu này thích hợp để xem xét mẫu logarit log 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Và các mục nhập lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 không có ý nghĩa, vì trong phần đầu tiên một số âm được đặt dưới dấu của logarit, ở phần thứ hai - một số âm trong cơ số, và trong số thứ ba - và một số âm dưới dấu của lôgarit và một đơn vị trong cơ số.

Điều kiện xác định lôgarit.

Cần xét riêng các điều kiện a> 0, a ≠ 1, b> 0. định nghĩa của một lôgarit. Hãy xem xét lý do tại sao những hạn chế này được thực hiện. Điều này sẽ giúp chúng ta với một đẳng thức có dạng x = log α b, được gọi là nhận dạng lôgarit cơ bản, trực tiếp tiếp theo từ định nghĩa lôgarit đã cho ở trên.

Hãy điều kiện a ≠ 1. Vì một bằng một với bất kỳ lũy thừa nào nên đẳng thức x = log α b chỉ có thể tồn tại khi b = 1, nhưng log 1 1 sẽ là bất kỳ số thực nào. Để loại bỏ sự mơ hồ này, chúng tôi sử dụng a ≠ 1.

Hãy để chúng tôi chứng minh sự cần thiết của điều kiện a> 0. Tại a = 0 theo công thức của lôgarit, chỉ có thể tồn tại khi b = 0. Và sau đó theo đó log 0 0 có thể là bất kỳ số thực nào khác 0, vì từ 0 đến bất kỳ lũy thừa nào khác 0 đều bằng 0. Để loại bỏ sự mơ hồ này, điều kiện a ≠ 0. Và khi một<0 chúng ta sẽ phải bác bỏ việc phân tích các giá trị hữu tỉ và vô tỉ của lôgarit, vì số mũ với số mũ hữu tỉ và vô tỉ chỉ được định nghĩa cho các cơ số không âm. Chính vì lý do này mà điều kiện a> 0.

Và điều kiện cuối cùng b> 0 theo sau từ sự bất bình đẳng a> 0, bởi vì x = log α b và giá trị của mức độ có cơ số dương một Luôn luôn tích cực.

Đặc điểm của logarit.

Logaritđặc trưng bởi đặc biệt Tính năng, đặc điểm, dẫn đến việc chúng được sử dụng rộng rãi để tạo điều kiện thuận lợi hơn rất nhiều cho việc tính toán tỉ mỉ. Trong quá trình chuyển đổi "sang thế giới của lôgarit", phép nhân được chuyển thành một phép cộng dễ dàng hơn nhiều, phép chia thành phép trừ, và nâng lên lũy thừa và lấy căn lần lượt được chuyển thành phép nhân và phép chia cho một số mũ.

Công thức của logarit và bảng giá trị của chúng (đối với các hàm lượng giác) được xuất bản lần đầu tiên vào năm 1614 bởi nhà toán học người Scotland John Napier. Các bảng lôgarit, được các nhà khoa học khác phóng to và chi tiết, đã được sử dụng rộng rãi trong các tính toán khoa học và kỹ thuật, và vẫn còn phù hợp cho đến khi máy tính và máy tính điện tử bắt đầu được sử dụng.

Các tính chất cơ bản.

logax + logay = log (x y);
logax - logay = log (x: y).

cùng một cơ sở

log6 4 + log6 9.

Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút.

Các ví dụ về giải logarit

Điều gì sẽ xảy ra nếu có một bậc trong cơ số hoặc đối số của lôgarit? Khi đó, số mũ của bậc này có thể được lấy ra khỏi dấu của lôgarit theo các quy tắc sau:

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này có ý nghĩa nếu quan sát được lôgarit ODZ: a> 0, a ≠ 1, x>

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Chuyển sang nền tảng mới

Cho lôgarit lôgarit đã cho. Khi đó với mọi số c sao cho c> 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Xem thêm:

Các tính chất cơ bản của lôgarit

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Số mũ là 2,718281828…. Để nhớ số mũ, bạn có thể nghiên cứu quy tắc: số mũ là 2,7 và gấp đôi năm sinh của Leo Tolstoy.

Các tính chất cơ bản của logarit

Biết quy tắc này, bạn sẽ biết cả giá trị chính xác của số mũ và ngày sinh của Leo Tolstoy.

Ví dụ cho logarit

Lấy logarit của biểu thức

ví dụ 1
một). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

Theo thuộc tính 3,5, chúng tôi tính toán

4. ở đâu .

Ví dụ 2 Tìm x nếu

Ví dụ 3. Cho giá trị của logarit đã cho

Tính log (x) nếu

Các tính chất cơ bản của logarit

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và chuyển đổi theo mọi cách có thể. Nhưng vì logarit không phải là những con số hoàn toàn bình thường, nên có những quy tắc ở đây, được gọi là Các tính chất cơ bản.

Những quy tắc này phải được biết - không có chúng, không nghiêm trọng vấn đề logarit. Ngoài ra, có rất ít trong số chúng - mọi thứ đều có thể học được trong một ngày. Vậy hãy bắt đầu.

Phép cộng và phép trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: logax và logay. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

logax + logay = log (x y);
logax - logay = log (x: y).

Vì vậy, tổng của các logarit bằng logarit của tích và hiệu là logarit của thương. Xin lưu ý: điểm mấu chốt ở đây là - cùng một cơ sở. Nếu các cơ sở khác nhau, các quy tắc này không hoạt động!

Các công thức này sẽ giúp tính toán biểu thức logarit ngay cả khi không xét đến các phần riêng lẻ của nó (xem bài học "Logarit là gì"). Hãy xem các ví dụ và xem:

Vì cơ số của logarit giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức tính tổng:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log2 48 - log2 3.

Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức chênh lệch:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log3 135 - log3 5.

Một lần nữa, các cơ sở giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ các logarit "xấu", không được xem xét riêng biệt. Nhưng sau khi biến đổi những con số khá bình thường lần lượt ra đời. Dựa trên thực tế này, nhiều giấy kiểm tra. Có, kiểm soát - các biểu hiện tương tự về mọi mức độ nghiêm túc (đôi khi - hầu như không thay đổi) được đưa ra trong kỳ thi.

Loại bỏ số mũ khỏi lôgarit

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng quy tắc cuối cùng theo sau hai phần đầu tiên. Nhưng tốt hơn hết là bạn nên nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ giảm đáng kể số lượng tính toán.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này có ý nghĩa nếu quan sát được lôgarit ODZ: a> 0, a ≠ 1, x> 0. Và một điều nữa: học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại, tức là bạn có thể nhập các số trước dấu của lôgarit vào chính lôgarit. Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log7 496.

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số theo công thức đầu tiên:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số là một lôgarit có cơ số và đối số là lũy thừa chính xác: 16 = 24; 49 = 72. Ta có:

Tôi nghĩ đến ví dụ cuối cùng cần phải làm rõ. Logarit đã biến đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số.

Công thức của logarit. Logarit là ví dụ về các giải pháp.

Họ trình bày cơ số và đối số của lôgarit đứng ở đó dưới dạng độ và lấy ra các chỉ số - họ nhận được một phân số "ba tầng".

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phân số chính. Tử số và mẫu số có cùng một tử số: log2 7. Vì log2 7 ≠ 0 nên ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ giữ nguyên mẫu số. Theo quy tắc số học, bốn có thể được chuyển sang tử số, điều này đã được thực hiện. Kết quả là câu trả lời: 2.

Chuyển sang nền tảng mới

Nói về các quy tắc cộng và trừ logarit, tôi đặc biệt nhấn mạnh rằng chúng chỉ hoạt động với các cơ số giống nhau. Nếu các bazơ khác nhau thì sao? Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng không phải là lũy thừa chính xác của cùng một số?

Các công thức chuyển đổi đến một căn cứ mới đến để giải cứu. Chúng tôi hình thành chúng dưới dạng một định lý:

Cho lôgarit lôgarit đã cho. Khi đó với mọi số c sao cho c> 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Đặc biệt, nếu chúng ta đặt c = x, chúng ta nhận được:

Từ công thức thứ hai, có thể hoán đổi cơ số và đối số của lôgarit, nhưng trong trường hợp này, toàn bộ biểu thức được "đảo ngược", tức là logarit ở mẫu số.

Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong biểu thức số. Có thể đánh giá mức độ tiện lợi của chúng chỉ khi quyết định phương trình logarit và các bất bình đẳng.

Tuy nhiên, có những nhiệm vụ hoàn toàn không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển đến một nền tảng mới. Hãy xem xét một số điều sau:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log5 16 log2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả hai logarit đều là số mũ chính xác. Hãy lấy các chỉ số: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Bây giờ chúng ta hãy lật lôgarit thứ hai:

Vì tích không thay đổi so với hoán vị của các thừa số, chúng tôi bình tĩnh nhân bốn và hai, và sau đó tìm ra logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của lôgarit đầu tiên là lũy thừa chính xác. Hãy viết nó ra và loại bỏ các chỉ số:

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

Nhận dạng lôgarit cơ bản

Thường thì trong quá trình giải nó được yêu cầu biểu diễn một số dưới dạng logarit với một cơ số cho trước. Trong trường hợp này, các công thức sẽ giúp chúng ta:

Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n hoàn toàn có thể là bất kỳ thứ gì, bởi vì nó chỉ là giá trị của lôgarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Nó được gọi như thế này:

Thật vậy, điều gì sẽ xảy ra nếu số b được nâng lên đến mức mà số b ở mức này cho số a? Đúng rồi: đây chính là số a. Hãy đọc kỹ đoạn này một lần nữa - nhiều người “mắc kẹt” với nó.

Giống như các công thức chuyển đổi cơ số mới, định dạng lôgarit cơ bản đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng log25 64 = log5 8 - chỉ lấy ra bình phương từ cơ số và đối số của logarit. Đưa ra các quy tắc để nhân lũy thừa với cùng một cơ sở, chúng tôi nhận được:

Nếu ai đó không biết, đây là một nhiệm vụ thực sự từ Kỳ thi Trạng thái Thống nhất 🙂

Đơn vị lôgarit và số không lôgarit

Tóm lại, tôi sẽ đưa ra hai đặc điểm khó gọi là thuộc tính - đúng hơn, đây là những hệ quả từ định nghĩa của lôgarit. Chúng liên tục được tìm thấy trong các vấn đề và đáng ngạc nhiên là chúng tạo ra các vấn đề ngay cả đối với học sinh "tiên tiến".

logaa = 1 là. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit với bất kỳ cơ số a nào từ cơ số đó cũng bằng một.
loga 1 = 0 là. Cơ số a có thể là bất kỳ thứ gì, nhưng nếu đối số là một, thì logarit là 0! Vì a0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả các thuộc tính. Hãy chắc chắn để thực hành đưa chúng vào thực tế! Tải về cheat sheet ở đầu bài học, in ra và giải các bài tập.

Xem thêm:

Lôgarit của số b với cơ số a là biểu thức. Để tính lôgarit có nghĩa là tìm một lũy thừa x () mà tại đó đẳng thức là đúng

Các tính chất cơ bản của lôgarit

Các tính chất trên phải được biết, vì trên cơ sở của chúng, hầu hết tất cả các bài toán và ví dụ đều được giải dựa trên logarit. Các đặc tính kỳ lạ còn lại có thể được rút ra bằng các thao tác toán học với các công thức này

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Khi tính toán các công thức về tổng và hiệu của logarit (3.4) được gặp khá thường xuyên. Phần còn lại hơi phức tạp, nhưng trong một số nhiệm vụ, chúng không thể thiếu để đơn giản hóa các biểu thức phức tạp và tính giá trị của chúng.

Các trường hợp phổ biến của logarit

Một số lôgarit phổ biến là những lôgarit trong đó cơ số chẵn là mười, cấp số nhân hoặc giảm dần.
Lôgarit cơ số mười thường được gọi là lôgarit cơ số mười và được ký hiệu đơn giản là lg (x).

Từ hồ sơ có thể thấy rằng những điều cơ bản không được ghi trong hồ sơ. Ví dụ

Lôgarit tự nhiên là lôgarit có cơ sở là số mũ (ký hiệu là ln (x)).

Số mũ là 2,718281828…. Để nhớ số mũ, bạn có thể nghiên cứu quy tắc: số mũ là 2,7 và hai lần năm sinh của Leo Tolstoy. Biết quy tắc này, bạn sẽ biết cả giá trị chính xác của số mũ và ngày sinh của Leo Tolstoy.

Và một lôgarit cơ số hai quan trọng khác là

Đạo hàm logarit của hàm số bằng một phép chia cho biến

Lôgarit tích phân hoặc phản đạo hàm được xác định bởi sự phụ thuộc

Tài liệu trên đây đủ để bạn giải được hàng loạt bài toán liên quan đến lôgarit và lôgarit. Để hiểu rõ tài liệu, tôi sẽ chỉ đưa ra một số ví dụ phổ biến từ chương trình giáo dục và các trường đại học.

Ví dụ cho logarit

Lấy logarit của biểu thức

ví dụ 1
một). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

Theo thuộc tính 3,5, chúng tôi tính toán

2.
Theo tính chất khác biệt của logarit, chúng ta có

3.
Sử dụng thuộc tính 3.5, chúng tôi tìm thấy

4. ở đâu .

Bằng cái nhìn biểu thức phức tạp sử dụng một loạt các quy tắc được đơn giản hóa thành biểu mẫu

Tìm giá trị lôgarit

Ví dụ 2 Tìm x nếu

Quyết định. Để tính toán, chúng tôi áp dụng thuộc tính 5 và 13 cho đến số hạng cuối cùng

Thay thế trong hồ sơ và thương tiếc

Vì các cơ sở bằng nhau, chúng ta đánh đồng các biểu thức

Logarit. Cấp độ đầu tiên.

Cho giá trị của logarit đã cho

Tính log (x) nếu

Giải: Lấy logarit của biến để viết logarit qua tổng của các số hạng

Đây chỉ là bước khởi đầu của việc làm quen với logarit và các tính chất của chúng. Thực hành tính toán, làm giàu kỹ năng thực hành của bạn - bạn sẽ sớm cần kiến thức thu được để giải phương trình logarit. Sau khi nghiên cứu các phương pháp cơ bản để giải các phương trình như vậy, chúng tôi sẽ mở rộng kiến thức của bạn cho một số khác chủ đề quan trọng- bất đẳng thức logarit ...

Các tính chất cơ bản của logarit

Những quy tắc này phải được biết - không có vấn đề nghiêm trọng về lôgarit nào có thể được giải quyết mà không có chúng. Ngoài ra, có rất ít trong số chúng - mọi thứ đều có thể học được trong một ngày. Vậy hãy bắt đầu.

Phép cộng và phép trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: logax và logay. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

logax + logay = log (x y);
logax - logay = log (x: y).

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log6 4 + log6 9.

Vì cơ số của logarit giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức tính tổng:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log2 48 - log2 3.

Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức chênh lệch:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log3 135 - log3 5.

Một lần nữa, các cơ sở giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ các logarit "xấu", không được xem xét riêng biệt. Nhưng sau khi biến đổi những con số khá bình thường lần lượt ra đời. Nhiều thử nghiệm dựa trên thực tế này. Có, kiểm soát - các biểu hiện tương tự về mọi mức độ nghiêm túc (đôi khi - hầu như không thay đổi) được đưa ra trong kỳ thi.

Loại bỏ số mũ khỏi lôgarit

Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút. Điều gì sẽ xảy ra nếu có một bậc trong cơ số hoặc đối số của lôgarit? Khi đó, số mũ của bậc này có thể được lấy ra khỏi dấu của lôgarit theo các quy tắc sau:

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng quy tắc cuối cùng tuân theo hai quy tắc đầu tiên của chúng. Nhưng tốt hơn hết là bạn nên nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ giảm đáng kể số lượng tính toán.

Cách giải logarit

Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log7 496.

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số theo công thức đầu tiên:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số là một lôgarit có cơ số và đối số là lũy thừa chính xác: 16 = 24; 49 = 72. Ta có:

Tôi nghĩ ví dụ cuối cùng cần được làm rõ. Logarit đã biến đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Họ trình bày cơ số và đối số của lôgarit đứng ở đó dưới dạng độ và lấy ra các chỉ số - họ nhận được một phân số "ba tầng".

Chuyển sang nền tảng mới

Các công thức chuyển đổi đến một căn cứ mới đến để giải cứu. Chúng tôi hình thành chúng dưới dạng một định lý:

Cho lôgarit lôgarit đã cho. Khi đó với mọi số c sao cho c> 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Đặc biệt, nếu chúng ta đặt c = x, chúng ta nhận được:

Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong các biểu thức số thông thường. Chỉ có thể đánh giá mức độ thuận tiện của chúng khi giải các phương trình và bất phương trình logarit.

Tuy nhiên, có những nhiệm vụ hoàn toàn không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển đến một nền tảng mới. Hãy xem xét một số điều sau:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log5 16 log2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả hai logarit đều là số mũ chính xác. Hãy lấy các chỉ số: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Bây giờ chúng ta hãy lật lôgarit thứ hai:

Vì tích không thay đổi so với hoán vị của các thừa số, chúng tôi bình tĩnh nhân bốn và hai, và sau đó tìm ra logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của lôgarit đầu tiên là lũy thừa chính xác. Hãy viết nó ra và loại bỏ các chỉ số:

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

Nhận dạng lôgarit cơ bản

Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n hoàn toàn có thể là bất kỳ thứ gì, bởi vì nó chỉ là giá trị của lôgarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Nó được gọi như thế này:

Giống như các công thức chuyển đổi cơ số mới, định dạng lôgarit cơ bản đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng log25 64 = log5 8 - chỉ lấy ra bình phương từ cơ số và đối số của logarit. Đưa ra các quy tắc để nhân các lũy thừa với cùng cơ số, chúng ta nhận được:

Nếu ai đó không biết, đây là một nhiệm vụ thực sự từ Kỳ thi Trạng thái Thống nhất 🙂

Đơn vị lôgarit và số không lôgarit

logaa = 1 là. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit với bất kỳ cơ số a nào từ cơ số đó cũng bằng một.
loga 1 = 0 là. Cơ số a có thể là bất kỳ thứ gì, nhưng nếu đối số là một, thì logarit là 0! Vì a0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả các thuộc tính. Hãy chắc chắn để thực hành đưa chúng vào thực tế! Tải về cheat sheet ở đầu bài học, in ra và giải các bài tập.

Hướng dẫn

Viết biểu thức lôgarit đã cho. Nếu biểu thức sử dụng logarit 10, thì ký hiệu của nó sẽ được rút gọn và trông giống như sau: lg b là lôgarit thập phân. Nếu lôgarit có số e là cơ số thì biểu thức được viết: ln b là lôgarit tự nhiên. Điều này được hiểu rằng kết quả của bất kỳ là lũy thừa mà số cơ sở phải được nâng lên để nhận được số b.

Khi tìm tổng của hai hàm, bạn chỉ cần phân biệt từng hàm một rồi cộng các kết quả: (u + v) "= u" + v ";

Khi tìm đạo hàm của tích hai hàm số, cần nhân đạo hàm của hàm số thứ nhất với cấp số hai và cộng đạo hàm của hàm số thứ hai, nhân với hàm số thứ nhất: (u * v) "= u" * v + v "* u;

Để tìm đạo hàm của thương của hai hàm số, cần từ tích của đạo hàm của số bị chia nhân với hàm số bị chia, lấy tích số của đạo hàm của số bị chia nhân với hàm số bị chia và phép chia. tất cả điều này bởi hàm số chia bình phương. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Nếu cho chức năng phức tạp thì cần nhân đạo hàm của hàm trong và đạo hàm của hàm ngoài. Cho y = u (v (x)) thì y "(x) = y" (u) * v "(x).

Sử dụng những điều thu được ở trên, bạn có thể phân biệt hầu hết mọi chức năng. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ:

y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ x-x ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ x-x ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Ngoài ra còn có các nhiệm vụ để tính đạo hàm tại một điểm. Để hàm số y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) đã cho, bạn cần tìm giá trị của hàm số tại điểm x = 1.
1) Tìm đạo hàm của hàm số: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Tính giá trị của hàm trong điểm đã cho y "(1) = 8 * e ^ 0 = 8

Các video liên quan

Lời khuyên hữu ích

Tìm hiểu bảng đạo hàm sơ cấp. Điều này sẽ tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Nguồn:

đạo hàm không đổi

Vì vậy, những gì là khác nhau ir phương trình hữu tỉ từ lý trí? Nếu biến không xác định nằm dưới dấu căn bậc hai, khi đó phương trình được coi là vô tỉ.

Hướng dẫn

Phương pháp chính để giải các phương trình như vậy là phương pháp nâng cao cả hai vế phương trình thành hình vuông. Tuy nhiên. điều này là tự nhiên, bước đầu tiên là loại bỏ dấu hiệu. Về mặt kỹ thuật, phương pháp này không khó nhưng đôi khi có thể dẫn đến rắc rối. Ví dụ, phương trình v (2x-5) = v (4x-7). Bằng cách bình phương cả hai bên, bạn nhận được 2x-5 = 4x-7. Một phương trình như vậy không khó giải; x = 1. Nhưng số 1 sẽ không được đưa ra phương trình. Tại sao? Thay thế đơn vị trong phương trình thay vì giá trị x Và bên phải và bên trái sẽ chứa các biểu thức không có ý nghĩa, nghĩa là. Giá trị như vậy không hợp lệ cho căn bậc hai. Do đó 1 là một gốc không liên quan, và do đó phương trình đã cho không có rễ.

Vì vậy, phương trình vô tỷ được giải bằng cách sử dụng phương pháp bình phương cả hai phần của nó. Và đã giải xong phương trình thì nhất thiết phải cắt bỏ rễ ngoại lai. Để làm điều này, hãy thay các nghiệm nguyên tìm được vào phương trình ban đầu.

Hãy xem xét một cái khác.
2x + vx-3 = 0
Tất nhiên, phương trình này có thể được giải bằng cách sử dụng phương trình tương tự như phương trình trước đó. Chuyển hợp chất phương trình, không có căn bậc hai, bên phải và sau đó sử dụng phương pháp bình phương. giải phương trình hữu tỉ và nghiệm nguyên. Nhưng một cái khác, thanh lịch hơn. Nhập một biến mới; vx = y. Theo đó, bạn sẽ nhận được một phương trình như 2y2 + y-3 = 0. Đó là, thông thường phương trình bậc hai. Tìm nguồn gốc của nó; y1 = 1 và y2 = -3 / 2. Tiếp theo, giải quyết hai phương trình vx = 1; vx \ u003d -3/2. Phương trình thứ hai không có nghiệm nguyên, từ phương trình thứ nhất ta tìm được x = 1. Đừng quên về sự cần thiết phải kiểm tra rễ.

Giải quyết danh tính là khá dễ dàng. Điều này đòi hỏi phải làm biến đổi giống hệt nhau cho đến khi đạt được mục tiêu. Do đó, với sự trợ giúp của đơn giản các phép tính toán học nhiệm vụ sẽ được giải quyết.

Bạn sẽ cần

- giấy;
- cái bút.

Hướng dẫn

Các phép biến đổi đơn giản nhất như vậy là các phép nhân viết tắt đại số (chẳng hạn như bình phương của tổng (hiệu), hiệu bình phương, tổng (hiệu), lập phương của tổng (hiệu)). Ngoài ra, có rất nhiều công thức lượng giác, về cơ bản là những bản sắc giống nhau.

Thật vậy, bình phương của tổng hai số hạng bằng bình phương của cấp số cộng đầu tiên sản phẩm kép thứ nhất đến thứ hai và cộng với bình phương của thứ hai, tức là (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Đơn giản hóa cả hai

Nguyên tắc chung của giải pháp

Nhắc lại sách giáo khoa phân tích toán học hoặc toán học cao hơn, là một tích phân xác định. Như bạn đã biết, giải pháp tích phân xác định có một hàm mà đạo hàm của nó sẽ cho một tích phân. Chức năng nàyđược gọi là nguyên thủy. Theo nguyên tắc này, các tích phân cơ bản được xây dựng.
Xác định theo dạng tích phân mà tích phân trong bảng phù hợp với trường hợp này. Không phải lúc nào bạn cũng có thể xác định được điều này ngay lập tức. Thông thường, dạng bảng chỉ trở nên đáng chú ý sau một số lần biến đổi để đơn giản hóa việc tích hợp.

Phương pháp thay thế biến

Nếu tích hợp là hàm lượng giác, có đối số là một đa thức nào đó, thì hãy thử sử dụng phương pháp thay thế biến. Để thực hiện việc này, hãy thay thế đa thức trong đối số của tích phân bằng một số biến mới. Dựa vào tỷ lệ giữa biến mới và biến cũ, xác định các giới hạn mới của tích phân. Bằng cách phân biệt biểu thức này, hãy tìm một điểm khác biệt mới trong. Vì vậy, bạn sẽ nhận được loại mới tích phân trước đây, đóng hoặc thậm chí tương ứng với bất kỳ tích phân nào.

Lời giải của tích phân loại thứ hai

Nếu tích phân là tích phân loại thứ hai, dạng vectơ của tích phân, thì bạn sẽ cần sử dụng các quy tắc để chuyển từ tích phân này sang tích phân vô hướng. Một trong những quy tắc như vậy là tỷ lệ Ostrogradsky-Gauss. Luật này cho phép bạn đi từ dòng chảy của rôto đến một số hàm vectorđến tích phân ba trên sự phân kỳ của trường vectơ đã cho.

Thay thế các giới hạn tích hợp

Sau khi tìm ra chất chống nhiễm trùng, cần phải thay thế các giới hạn của tích hợp. Cắm giá trị trước giới hạn trên vào biểu thức cho antideriuctor. Bạn sẽ nhận được một số số. Tiếp theo, lấy một số khác trừ đi số kết quả, giới hạn thấp hơn của kết quả đối với đạo hàm. Nếu một trong các giới hạn tích hợp là vô cùng, thì thay thế nó thành chức năng chống nhiễm trùng nó là cần thiết để đi đến giới hạn và tìm những gì biểu hiện có xu hướng.
Nếu tích phân là hai chiều hoặc ba chiều, thì bạn sẽ phải biểu diễn các giới hạn hình học của tích phân để hiểu cách tính tích phân. Thật vậy, trong trường hợp của tích phân ba chiều, các giới hạn của tích phân có thể là toàn bộ mặt phẳng giới hạn thể tích được tích hợp.