C 8 30 phương trình hữu tỉ phân số. Phương trình phân số-hữu tỉ

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email của bạn, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và tin nhắn quan trọng.
Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

Trong trường hợp cần thiết - theo quy định của pháp luật, trình tự tư pháp, trong thủ tục pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan nhà nước trên lãnh thổ Liên bang Nga - hãy tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp vì lý do bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi thông báo các thực tiễn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

Chúng ta đã giới thiệu phương trình ở trên trong § 7. Đầu tiên, chúng ta nhớ lại biểu thức hữu tỉ là gì. Đây là một biểu thức đại số được tạo thành từ các số và biến x sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa với số mũ tự nhiên.

Nếu r (x) là một biểu thức hữu tỉ thì phương trình r (x) = 0 được gọi là một phương trình hữu tỉ.

Tuy nhiên, trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một cách hiểu rộng hơn của thuật ngữ "phương trình hữu tỉ": đây là một phương trình có dạng h (x) = q (x), trong đó h (x) và q (x) là Biểu thức hợp lý.

Cho đến nay, chúng ta không thể giải được bất kỳ phương trình hữu tỉ nào, nhưng chỉ một phương trình, do kết quả của nhiều phép biến đổi và suy luận, được rút gọn thành phương trình đường thẳng. Bây giờ khả năng của chúng tôi lớn hơn nhiều: chúng tôi sẽ có thể giải một phương trình hữu tỷ, không chỉ giảm xuống tuyến tính
mu, mà còn là phương trình bậc hai.

Nhớ lại cách chúng ta đã giải các phương trình hữu tỉ trước đó và cố gắng hình thành một thuật toán giải.

ví dụ 1 giải phương trình

Quyết định. Chúng tôi viết lại phương trình dưới dạng

Trong trường hợp này, như thường lệ, chúng tôi sử dụng thực tế là các đẳng thức A \ u003d B và A - B \ u003d 0 thể hiện cùng một mối quan hệ giữa A và B. Điều này cho phép chúng tôi chuyển số hạng sang vế trái của phương trình với ngược dấu.

Hãy thực hiện các phép biến đổi vế trái của phương trình. Chúng ta có

Nhắc lại các điều kiện bình đẳng phân số zero: nếu và chỉ khi, hai quan hệ được thỏa mãn đồng thời:

1) tử số của phân số bằng 0 (a = 0); 2) mẫu số của phân số khác 0).
Bằng không tử số của phân số ở bên trái của phương trình (1), chúng ta thu được

Nó vẫn để kiểm tra việc đáp ứng các điều kiện thứ hai được đề cập ở trên. Tỷ lệ có nghĩa là cho phương trình (1) rằng. Các giá trị x 1 = 2 và x 2 = 0,6 thỏa mãn các quan hệ được chỉ ra và do đó đóng vai trò là nghiệm nguyên của phương trình (1), đồng thời là nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

1) Hãy biến đổi phương trình về dạng

2) Hãy thực hiện các phép biến đổi vế trái của phương trình này:

(đồng thời thay đổi các dấu hiệu trong tử số và
phân số).
Do đó, phương trình đã cho có dạng

3) Giải phương trình x 2 - 6x + 8 = 0. Tìm

4) Đối với các giá trị tìm được, hãy kiểm tra điều kiện . Số 4 thỏa mãn điều kiện này, nhưng số 2 thì không. Vậy 4 là căn của phương trình đã cho, và 2 là căn không liên quan.
Trả lời: 4.

2. Giải phương trình hữu tỉ bằng cách đưa vào một biến mới

Phương pháp giới thiệu một biến mới quen thuộc với bạn, chúng tôi đã sử dụng nó nhiều lần. Hãy cho chúng tôi thấy bằng các ví dụ như thế nào nó được sử dụng trong việc giải các phương trình hữu tỉ.

Ví dụ 3 Giải phương trình x 4 + x 2 - 20 = 0.

Quyết định. Chúng tôi giới thiệu một biến mới y \ u003d x 2. Vì x 4 \ u003d (x 2) 2 \ u003d y 2, nên phương trình đã cho có thể được viết lại dưới dạng

y 2 + y - 20 = 0.

Đây là một phương trình bậc hai, căn của chúng ta sẽ tìm thấy bằng cách sử dụng công thức; ta được y 1 = 4, y 2 = - 5.
Nhưng y \ u003d x 2, có nghĩa là bài toán đã được rút gọn thành giải hai phương trình:
x2 = 4; x 2 \ u003d -5.

Từ phương trình thứ nhất ta tìm được phương trình thứ hai vô nghiệm.
Trả lời: .
Phương trình có dạng ax 4 + bx 2 + c \ u003d 0 được gọi là phương trình bậc hai (“bi” - hai, tức là phương trình “hai lần bình phương”). Phương trình vừa giải được chính xác là bậc hai. Bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng được giải theo cách tương tự như phương trình từ ví dụ 3: một biến mới y \ u003d x 2 được đưa vào, phương trình bậc hai thu được sẽ được giải theo biến y, rồi trả về biến x.

Ví dụ 4 giải phương trình

Quyết định. Lưu ý rằng cùng một biểu thức x 2 + 3x xảy ra hai lần ở đây. Do đó, sẽ hợp lý khi giới thiệu một biến mới y = x 2 + Zx. Điều này sẽ cho phép chúng tôi viết lại phương trình ở dạng đơn giản hơn và dễ chịu hơn (trên thực tế, mục đích của nó là giới thiệu một phương trình mới Biến đổi- và ghi dễ dàng hơn
và cấu trúc của phương trình trở nên rõ ràng hơn):

Và bây giờ chúng ta sẽ sử dụng thuật toán để giải một phương trình hữu tỉ.

1) Hãy chuyển tất cả các số hạng của phương trình thành một phần:

= 0
2) Hãy biến đổi vế trái của phương trình

Vì vậy, chúng ta đã biến đổi phương trình đã cho về dạng

3) Từ phương trình - 7y 2 + 29y -4 = 0 ta tìm được (chúng ta đã giải khá nhiều phương trình bậc hai nên việc đưa ra các phép tính chi tiết trong sách giáo khoa có lẽ không đáng có).

4) Hãy kiểm tra các nghiệm nguyên tìm được bằng điều kiện 5 (y - 3) (y + 1). Cả hai gốc đều thỏa mãn điều kiện này.
Vì vậy, phương trình bậc hai cho biến mới y được giải:
Vì y \ u003d x 2 + Zx và y, như chúng ta đã thiết lập, nhận hai giá trị: 4 và - nên chúng ta vẫn phải giải hai phương trình: x 2 + Zx \ u003d 4; x 2 + Zx \ u003d. Các nghiệm nguyên của phương trình thứ nhất là các số 1 và - 4, các nghiệm nguyên của phương trình thứ hai là các số

Trong các ví dụ được xem xét, phương pháp giới thiệu một biến mới, như các nhà toán học muốn nói, phù hợp với tình huống, tức là nó tương ứng tốt với nó. Tại sao? Đúng, bởi vì biểu thức tương tự đã xuất hiện nhiều lần trong bản ghi phương trình và việc chỉ định biểu thức này bằng một chữ cái mới là hợp lý. Nhưng điều này không phải luôn luôn như vậy, đôi khi một biến mới "xuất hiện" chỉ trong quá trình biến đổi. Đây chính xác là những gì sẽ xảy ra trong ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 5 giải phương trình
x (x-1) (x-2) (x-3) = 24.
Quyết định. Chúng ta có
x (x - 3) \ u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \ u003d x 2 -3x + 2.

Vì vậy, phương trình đã cho có thể được viết lại dưới dạng

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Bây giờ một biến mới đã "xuất hiện": y = x 2 - Zx.

Với sự trợ giúp của nó, phương trình có thể được viết lại dưới dạng y (y + 2) \ u003d 24 và sau đó là y 2 + 2y - 24 \ u003d 0. Căn của phương trình này là các số 4 và -6.

Quay trở lại biến ban đầu x, chúng ta thu được hai phương trình x 2 - Zx \ u003d 4 và x 2 - Zx \ u003d - 6. Từ phương trình đầu tiên, chúng ta tìm được x 1 \ u003d 4, x 2 \ u003d - 1; phương trình thứ hai không có nghiệm nguyên.

Trả lời: 4, - 1.

Nội dung bài học Tom tăt bai học hỗ trợ khung trình bày bài học phương pháp tăng tốc công nghệ tương tác Luyện tập nhiệm vụ và bài tập tự kiểm tra hội thảo, đào tạo, trường hợp, nhiệm vụ bài tập về nhà thảo luận câu hỏi câu hỏi tu từ học sinh Hình minh họa âm thanh, video clip và đa phương tiệnảnh, đồ họa hình ảnh, bảng, âm mưu hài hước, giai thoại, truyện cười, truyện tranh, ngụ ngôn, câu nói, câu đố ô chữ, trích dẫn Tiện ích bổ sung tóm tắt các chip bài báo dành cho các sách giáo khoa cơ bản và bổ sung bảng thuật ngữ cơ bản và bổ sung các thuật ngữ khác Cải tiến sách giáo khoa và bài họcsửa lỗi trong sách giáo khoa cập nhật một đoạn trong sách giáo khoa các yếu tố đổi mới trong bài học thay thế kiến thức cũ bằng kiến thức mới Chỉ dành cho giáo viên những bài học hoàn hảo kế hoạch lịch cho năm khuyến nghị phương pháp luận của chương trình thảo luận Bài học tích hợp

Nói một cách đơn giản, đây là những phương trình trong đó có ít nhất một phương trình có một biến ở mẫu số.

Ví dụ:

\ (\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \) \ (= 0 \)
\ (\ frac (1) (2x) + \ frac (x) (x + 1) = \ frac (1) (2) \)
\ (\ frac (6) (x + 1) = \ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \)

Ví dụ không phải phương trình hữu tỉ phân số:

\ (\ frac (9x ^ 2-1) (3) \) \ (= 0 \)
\ (\ frac (x) (2) \) \ (+ 8x ^ 2 = 6 \)

Phương trình hữu tỉ phân số được giải như thế nào?

Điều chính cần nhớ về phương trình hữu tỉ phân số là bạn cần viết chúng. Và sau khi tìm ra gốc rễ, hãy nhớ kiểm tra xem chúng có được chấp nhận hay không. Nếu không, các rễ ngoại lai có thể xuất hiện và toàn bộ giải pháp sẽ được coi là không chính xác.

Thuật toán để giải một phương trình hữu tỉ phân số:

Viết ra và "giải quyết" ODZ.

Nhân mỗi số hạng trong phương trình với một mẫu số chung và rút gọn các phân số. Các mẫu số sẽ biến mất.

Viết phương trình không mở ngoặc.

Giải phương trình kết quả.

Kiểm tra các gốc được tìm thấy với ODZ.

Viết lại các rễ đã vượt qua bài kiểm tra ở bước 7 để phản hồi.

Không ghi nhớ thuật toán, 3-5 phương trình đã giải - và nó sẽ tự ghi nhớ.

Ví dụ . Giải phương trình hữu tỉ phân số \ (\ frac (x) (x-2) - \ frac (7) (x + 2) = \ frac (8) (x ^ 2-4) \)

Quyết định:

Trả lời: \(3\).

Ví dụ . Tìm nghiệm nguyên của phương trình hữu tỉ phân số \ (= 0 \)

Quyết định:

\ (\ frac (x) (x + 2) + \ frac (x + 1) (x + 5) - \ frac (7-x) (x ^ 2 + 7x + 10) \)\(=0\) ODZ: \ (x + 2 ≠ 0⇔x ≠ -2 \) \ (x + 5 ≠ 0 ⇔x ≠ -5 \) \ (x ^ 2 + 7x + 10 ≠ 0 \) \ (D = 49-4 \ cdot 10 = 9 \) \ (x_1 ≠ \ frac (-7 + 3) (2) = - 2 \) \ (x_2 ≠ \ frac (-7-3) (2) = - 5 \)		Chúng tôi viết ra và "giải quyết" ODZ. Khai triển \ (x ^ 2 + 7x + 10 \) thành công thức: \ (ax ^ 2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2) \). May mắn thay, chúng tôi đã tìm thấy \ (x_1 \) và \ (x_2 \).
\ (\ frac (x) (x + 2) + \ frac (x + 1) (x + 5) - \ frac (7-x) ((x + 2) (x + 5)) \)\(=0\)		Rõ ràng, mẫu số chung của các phân số: \ ((x + 2) (x + 5) \). Chúng tôi nhân toàn bộ phương trình với nó.
\ (\ frac (x (x + 2) (x + 5)) (x + 2) + \ frac ((x + 1) (x + 2) (x + 5)) (x + 5) - \) \ (- \ frac ((7-x) (x + 2) (x + 5)) ((x + 2) (x + 5)) \)\(=0\)		Chúng tôi giảm phân số
\ (x (x + 5) + (x + 1) (x + 2) -7 + x = 0 \)		Mở ngoặc
\ (x ^ 2 + 5x + x ^ 2 + 3x + 2-7 + x = 0 \)		Chúng tôi đưa ra các điều khoản như
\ (2x ^ 2 + 9x-5 = 0 \)		Tìm nghiệm nguyên của phương trình
\ (x_1 = -5; \) \ (x_2 = \ frac (1) (2). \)		Một trong các gốc không phù hợp với ODZ, vì vậy để đáp ứng, chúng tôi chỉ viết ra gốc thứ hai.

Trả lời: \ (\ frac (1) (2) \).

Chúng ta tiếp tục nói về giải phương trình. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tập trung vào phương trình hữu tỉ và nguyên tắc giải phương trình hữu tỉ một biến. Trước tiên, chúng ta hãy tìm hiểu loại phương trình nào được gọi là hữu tỉ, đưa ra định nghĩa của phương trình hữu tỉ nguyên và phương trình hữu tỉ phân số, và cho ví dụ. Hơn nữa, chúng ta sẽ nhận được các thuật toán để giải các phương trình hữu tỉ, và tất nhiên, xem xét các lời giải của các ví dụ điển hình với tất cả các giải thích cần thiết.

Điều hướng trang.

Dựa trên các định nghĩa đúng đắn, chúng tôi đưa ra một số ví dụ về phương trình hữu tỉ. Ví dụ, x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, đều là phương trình hữu tỉ.

Từ các ví dụ được hiển thị, có thể thấy rằng phương trình hữu tỉ, cũng như các phương trình thuộc loại khác, có thể với một biến hoặc với hai, ba, v.v. biến. Trong các đoạn sau, chúng ta sẽ nói về việc giải phương trình hữu tỉ trong một biến. Giải phương trình có hai biến và số lượng lớn của họ đáng được quan tâm đặc biệt.

Ngoài việc chia các phương trình hữu tỉ cho một số biến chưa biết, chúng còn được chia thành các số nguyên và phân số. Hãy để chúng tôi đưa ra các định nghĩa tương ứng.

Sự định nghĩa.

Phương trình hữu tỉ được gọi là trọn, nếu cả hai phần bên trái và bên phải của nó là biểu thức hữu tỉ số nguyên.

Sự định nghĩa.

Nếu ít nhất một trong các phần của phương trình hữu tỉ là biểu thức phân số, thì phương trình đó được gọi là phân đoạn hợp lý(hoặc phân số hữu tỉ).

Rõ ràng là các phương trình nguyên không chứa phép chia cho một biến; ngược lại, các phương trình hữu tỉ phân số nhất thiết phải chứa phép chia cho một biến (hoặc một biến ở mẫu số). Vậy 3 x + 2 = 0 và (x + y) (3 x 2 −1) + x = −y + 0,5 là toàn bộ phương trình hữu tỉ, cả hai phần của chúng đều là biểu thức nguyên. A và x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1): 5 là ví dụ của phương trình hữu tỉ phân số.

Kết thúc đoạn này, chúng ta hãy chú ý đến thực tế là các phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai được biết đến vào thời điểm này là toàn bộ các phương trình hữu tỉ.

Giải toàn bộ phương trình

Một trong những cách tiếp cận chính để giải toàn bộ phương trình là rút gọn chúng thành tương đương phương trình đại số. Điều này luôn có thể được thực hiện bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương đương sau của phương trình:

đầu tiên, biểu thức từ vế phải của phương trình nguyên ban đầu được chuyển sang vế trái với dấu ngược lại để nhận về số 0 ở vế phải;
sau đó, ở bên trái của phương trình, kết quả là dạng chuẩn.

Kết quả là một phương trình đại số tương đương với phương trình nguyên ban đầu. Vì vậy, trong trường hợp đơn giản nhất, nghiệm của toàn bộ phương trình được rút gọn thành nghiệm của phương trình tuyến tính hoặc bậc hai, và trong trường hợp tổng quát - là nghiệm của phương trình đại số bậc n. Để rõ ràng, chúng ta hãy phân tích giải pháp của ví dụ.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của toàn phương trình 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) −3.

Quyết định.

Chúng ta hãy rút nghiệm của toàn bộ phương trình này thành nghiệm của một phương trình đại số tương đương. Để làm điều này, trước tiên, chúng tôi chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái, kết quả là chúng tôi đi đến phương trình 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = 0. Và, thứ hai, chúng tôi biến đổi biểu thức được tạo thành ở bên trái thành một đa thức có dạng chuẩn bằng cách làm những việc cần thiết: 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) −2 x 2 + x + 3 = 3 x 2 −9 x + 3 x − 9−2 x 2 + x + 3 = x 2 −5 x − 6. Do đó, nghiệm của phương trình nguyên ban đầu được rút gọn thành nghiệm của phương trình bậc hai x 2 −5 · x − 6 = 0.

Tính toán phân biệt của nó D = (- 5) 2 −4 1 (−6) = 25 + 24 = 49, nó là số dương, có nghĩa là phương trình có hai nghiệm nguyên, ta tìm được bằng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Để hoàn toàn chắc chắn, chúng ta hãy làm kiểm tra nghiệm gốc của phương trình. Đầu tiên, chúng tôi kiểm tra căn 6, thay nó thay vì biến x trong phương trình số nguyên ban đầu: 3 (6 + 1) (6−3) = 6 (2 6−1) −3, bằng nhau, 63 = 63. Đây là một phương trình số hợp lệ, vì vậy x = 6 thực sự là căn của phương trình. Bây giờ chúng ta kiểm tra gốc −1, chúng ta có 3 (−1 + 1) (−1−3) = (- 1) (2 (−1) −1) −3, từ đó, 0 = 0. Với x = −1, phương trình ban đầu cũng biến thành một đẳng thức số thực, do đó, x = −1 cũng là nghiệm của phương trình.

Trả lời:

6 , −1 .

Ở đây cũng cần lưu ý rằng thuật ngữ “lũy thừa của toàn bộ phương trình” được liên kết với việc biểu diễn toàn bộ phương trình dưới dạng một phương trình đại số. Chúng tôi đưa ra định nghĩa tương ứng:

Sự định nghĩa.

Mức độ của toàn bộ phương trình gọi bậc của một phương trình đại số tương đương với nó.

Theo định nghĩa này, toàn bộ phương trình từ ví dụ trước có bậc hai.

Ở phần này, người ta có thể kết thúc với lời giải của toàn bộ phương trình hữu tỉ, nếu không phải là một mà là ... Như đã biết, việc giải các phương trình đại số bậc cao hơn bậc hai đi kèm với những khó khăn đáng kể, và đối với phương trình bậc cao hơn bậc bốn, không có công thức tổng quát nào cho căn bậc hai. Do đó, để giải toàn bộ các phương trình bậc 3, bậc 4 trở lên, người ta thường phải dùng đến các phương pháp giải khác.

Trong những trường hợp như vậy, đôi khi cách tiếp cận để giải toàn bộ phương trình hữu tỉ dựa trên phương pháp phân tích nhân tử. Đồng thời, thuật toán sau được tuân theo:

đầu tiên họ tìm cách có số 0 ở vế phải của phương trình, vì điều này, họ chuyển biểu thức từ vế phải của toàn bộ phương trình sang bên trái;
sau đó, biểu thức kết quả ở phía bên trái được trình bày dưới dạng tích của một số thừa số, cho phép bạn đi đến một tập hợp một số phương trình đơn giản hơn.

Thuật toán trên để giải toàn bộ phương trình thông qua thừa số hóa yêu cầu giải thích chi tiết bằng cách sử dụng một ví dụ.

Ví dụ.

Giải toàn bộ phương trình (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) = 2 x (x 2 −10 x + 13).

Quyết định.

Đầu tiên, như thường lệ, ta chuyển biểu thức từ vế phải sang vế trái của phương trình, không quên đổi dấu, ta được (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) - 2 x (x 2 −10 x + 13) = 0. Rõ ràng ở đây là không nên biến vế trái của phương trình kết quả thành một đa thức có dạng chuẩn, vì điều này sẽ cho một phương trình đại số bậc 4 có dạng x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x − 13 = 0, giải pháp khó của ai.

Mặt khác, rõ ràng là x 2 −10 · x + 13 có thể được tìm thấy ở bên trái của phương trình kết quả, do đó biểu diễn nó dưới dạng tích. Chúng ta có (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x − 1) = 0. Phương trình kết quả tương đương với phương trình nguyên ban đầu, và nó có thể được thay thế bằng một bộ hai phương trình bậc hai x 2 −10 · x + 13 = 0 và x 2 −2 · x − 1 = 0. Tìm gốc của chúng bằng cách sử dụng các công thức gốc đã biết thông qua dấu hiệu phân biệt không khó, các gốc bằng nhau. Chúng là các gốc mong muốn của phương trình ban đầu.

Trả lời:

Nó cũng hữu ích để giải toàn bộ phương trình hữu tỉ. phương pháp giới thiệu một biến mới. Trong một số trường hợp, nó cho phép người ta chuyển tới phương trình có bậc thấp hơn bậc của phương trình nguyên ban đầu.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của một phương trình hữu tỉ (x 2 +3 x + 1) 2 + 10 = −2 (x 2 +3 x − 4).

Quyết định.

Rút gọn toàn bộ phương trình hữu tỉ này thành một phương trình đại số, nói một cách nhẹ nhàng, không phải là một ý kiến hay, vì trong trường hợp này, chúng ta sẽ đi đến nhu cầu giải một phương trình bậc 4 không có nghiệm nguyên. Do đó, bạn sẽ phải tìm kiếm một giải pháp khác.

Dễ dàng nhận thấy ở đây là bạn có thể đưa vào biến y một biến mới và thay thế biểu thức x 2 +3 x bằng nó. Sự thay thế như vậy dẫn chúng ta đến toàn bộ phương trình (y + 1) 2 + 10 = −2 (y − 4), sau khi chuyển biểu thức −2 (y − 4) sang vế trái và phép biến đổi tiếp theo của biểu thức được hình thành tại đó, rút gọn thành phương trình y 2 +4 y + 3 = 0. Các nghiệm nguyên của phương trình y = −1 và y = −3 này rất dễ tìm, chẳng hạn, chúng có thể được tìm thấy dựa trên định lý nghịch đảo của định lý Vieta.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần thứ hai của phương pháp giới thiệu một biến mới, nghĩa là tạo một phép thay thế ngược lại. Sau khi thực hiện phép thay thế ngược lại, ta thu được hai phương trình x 2 +3 x = −1 và x 2 +3 x = −3, có thể viết lại thành x 2 +3 x + 1 = 0 và x 2 +3 x + 3 = 0. Theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm được nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất. Và phương trình bậc hai thứ hai không có nghiệm nguyên, vì nghiệm của nó là âm (D = 3 2 −4 3 = 9−12 = −3).

Trả lời:

Nói chung, khi chúng ta giải quyết các phương trình nguyên bậc cao, chúng ta phải luôn sẵn sàng tìm kiếm một phương pháp phi tiêu chuẩn hoặc một kỹ thuật nhân tạo để giải chúng.

Giải pháp của phương trình hữu tỉ phân số

Đầu tiên, sẽ rất hữu ích khi hiểu cách giải phương trình hữu tỉ phân số có dạng, trong đó p (x) và q (x) là các biểu thức số nguyên hữu tỉ. Và sau đây chúng tôi sẽ trình bày cách rút gọn nghiệm của phương trình hữu tỉ phân số còn lại thành nghiệm của phương trình có dạng đã cho.

Một trong những cách tiếp cận để giải phương trình dựa trên phát biểu sau: phân số u / v, trong đó v là một số khác 0 (nếu không chúng ta sẽ gặp, không được xác định), bằng 0 nếu và chỉ khi tử số của nó là 0, thì là, nếu và chỉ khi u = 0. Nhờ phát biểu này, nghiệm của phương trình được rút gọn thành thỏa mãn hai điều kiện p (x) = 0 và q (x) ≠ 0.

Kết luận này phù hợp với những điều sau thuật toán giải một phương trình hữu tỉ phân số. Để giải một phương trình hữu tỉ phân số có dạng

giải toàn phương trình hữu tỉ p (x) = 0;
và kiểm tra xem điều kiện q (x) ≠ 0 có được thỏa mãn đối với mỗi gốc tìm được hay không, trong khi

nếu đúng, thì căn này là căn của phương trình ban đầu;
nếu không, thì căn này là ngoại lai, nghĩa là, nó không phải là căn của phương trình ban đầu.

Hãy phân tích một ví dụ về việc sử dụng thuật toán vô ngôn khi giải một phương trình hữu tỉ phân số.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Quyết định.

Đây là một phương trình hữu tỉ phân số có dạng, trong đó p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 −2 = 0.

Theo thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số loại này, trước tiên chúng ta cần giải phương trình 3 · x − 2 = 0. Đây là một phương trình tuyến tính có gốc là x = 2/3.

Việc kiểm tra gốc này vẫn còn, nghĩa là kiểm tra xem nó có thỏa mãn điều kiện 5 · x 2 −2 ≠ 0 hay không. Ta thay số 2/3 thay x vào biểu thức 5 x 2 −2, ta được. Thỏa mãn điều kiện nên x = 2/3 là nghiệm của phương trình ban đầu.

Trả lời:

2/3 .

Giải pháp của một phương trình hữu tỉ phân số có thể được tiếp cận từ một vị trí hơi khác. Phương trình này tương đương với toàn bộ phương trình p (x) = 0 trên biến x của phương trình ban đầu. Đó là, bạn có thể làm theo thuật toán giải một phương trình hữu tỉ phân số :

giải phương trình p (x) = 0;
tìm ODZ biến x;
lấy các gốc thuộc vùng giá trị có thể chấp nhận - chúng là các gốc mong muốn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu.

Ví dụ, hãy giải một phương trình hữu tỉ phân số bằng cách sử dụng thuật toán này.

Ví dụ.

Giải phương trình.

Quyết định.

Đầu tiên, chúng ta giải phương trình bậc hai x 2 −2 · x − 11 = 0. Rễ của nó có thể được tính bằng cách sử dụng công thức gốc cho một hệ số chẵn thứ hai, chúng ta có D 1 = (- 1) 2 −1 (−11) = 12, và .

Thứ hai, chúng ta tìm ODZ của biến x đối với phương trình ban đầu. Nó bao gồm tất cả các số mà x 2 +3 x ≠ 0, cùng x (x + 3) ≠ 0, x ≠ 0, x ≠ −3.

Vẫn phải kiểm tra xem các gốc được tìm thấy ở bước đầu tiên có được đưa vào ODZ hay không. Chắc chắn đúng. Do đó, phương trình hữu tỉ phân số ban đầu có hai nghiệm.

Trả lời:

Lưu ý rằng cách tiếp cận này có lợi hơn cách tiếp cận đầu tiên nếu ODZ dễ dàng được tìm thấy, và nó đặc biệt có lợi nếu các nghiệm nguyên của phương trình p (x) = 0 là vô tỷ, ví dụ, hoặc hợp lý, nhưng với một tử số và / hoặc mẫu số, ví dụ, 127/1101 và -31/59. Điều này là do thực tế là trong những trường hợp như vậy, việc kiểm tra điều kiện q (x) ≠ 0 sẽ đòi hỏi những nỗ lực tính toán đáng kể và việc loại trừ các gốc không liên quan khỏi ODZ sẽ dễ dàng hơn.

Trong các trường hợp khác, khi giải phương trình, đặc biệt là khi nghiệm nguyên của phương trình p (x) = 0 là số nguyên, thì việc sử dụng thuật toán đầu tiên sẽ có lợi hơn. Nghĩa là, nên tìm ngay nghiệm nguyên của phương trình p (x) = 0, sau đó kiểm tra xem điều kiện q (x) ≠ 0 có thỏa mãn chúng hay không, và không tìm ODZ, rồi giải phương trình. p (x) = 0 trên ODZ này. Điều này là do thực tế là trong những trường hợp như vậy, việc kiểm tra thường dễ dàng hơn là tìm ODZ.

Hãy xem xét giải pháp của hai ví dụ để minh họa các sắc thái quy định.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Quyết định.

Đầu tiên chúng ta tìm gốc của toàn bộ phương trình (2 x − 1) (x − 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) = 0, được biên dịch bằng cách sử dụng tử số của phân số. Vế trái của phương trình này là tích và vế phải bằng 0, do đó, theo phương pháp giải phương trình thông qua thừa số hóa, phương trình này tương đương với bộ bốn phương trình 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 −5 x + 14 = 0, x + 1 = 0. Ba trong số các phương trình này là tuyến tính và một là phương trình bậc hai, chúng ta có thể giải quyết chúng. Từ phương trình thứ nhất ta tìm được x = 1/2, từ phương trình thứ hai - x = 6, phương trình thứ ba - x = 7, x = −2, từ phương trình thứ tư - x = −1.

Với các nghiệm nguyên tìm được, khá dễ dàng để kiểm tra chúng để xem mẫu số của phân số ở vế trái của phương trình ban đầu có bị biến mất hay không, và việc xác định ODZ không dễ dàng như vậy, vì điều này sẽ phải giải một phương trình đại số bậc năm. Do đó, chúng tôi sẽ từ chối tìm ODZ để có lợi cho việc kiểm tra gốc rễ. Để thực hiện việc này, chúng ta thay chúng lần lượt thay cho biến x trong biểu thức x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x + 112, thu được sau khi thay thế và so sánh chúng với 0: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2) + 112 = 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6 + 112 = 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7 + 112 = 0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2) + 112 = −720 ≠ 0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26 · (−1) + 112 = 0.

Do đó, 1/2, 6 và −2 là các nghiệm nguyên mong muốn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu, và 7 và −1 là các nghiệm nguyên bên ngoài.

Trả lời:

1/2 , 6 , −2 .

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của một phương trình hữu tỉ phân số.

Quyết định.

Đầu tiên chúng ta tìm nghiệm nguyên của phương trình (5x2 −7x − 1) (x − 2) = 0. Phương trình này tương đương với một bộ hai phương trình: bình phương 5 · x 2 −7 · x − 1 = 0 và tuyến tính x − 2 = 0. Theo công thức nghiệm nguyên của phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm nguyên và từ phương trình thứ hai ta có x = 2.

Việc kiểm tra xem mẫu số có không biến mất ở các giá trị tìm thấy của x hay không là điều khá khó chịu. Và để xác định khoảng giá trị chấp nhận được của biến x trong phương trình ban đầu là khá đơn giản. Do đó, chúng tôi sẽ hành động thông qua ODZ.

Trong trường hợp của chúng ta, ODZ của biến x của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu được tạo thành từ tất cả các số, ngoại trừ những số thỏa mãn điều kiện x 2 + 5 · x − 14 = 0. Nghiệm của phương trình bậc hai này là x = −7 và x = 2, từ đó ta kết luận về ODZ: nó được tạo thành từ mọi x sao cho.

Việc kiểm tra xem các gốc tìm được và x = 2 có thuộc vùng giá trị chấp nhận được hay không. Các gốc - thuộc, do đó, chúng là các nghiệm của phương trình ban đầu, và x = 2 không thuộc, do đó, nó là một căn không liên quan.

Trả lời:

Nó cũng sẽ hữu ích nếu tập trung vào các trường hợp một số ở tử số trong một phương trình hữu tỉ phân số có dạng, tức là khi p (x) được biểu diễn bằng một số nào đó. Trong đó

nếu số này khác 0, thì phương trình không có nghiệm nguyên, vì phân số bằng 0 nếu và chỉ khi tử số của nó bằng 0;
nếu số này bằng 0, thì nghiệm nguyên của phương trình là một số bất kỳ từ ODZ.

Ví dụ.

Quyết định.

Vì có một số khác không trong tử số của phân số ở bên trái của phương trình, nên không có x thì giá trị của phân số này có thể bằng không. Do đó, phương trình này không có nghiệm nguyên.

Trả lời:

không có rễ.

Ví dụ.

Giải phương trình.

Quyết định.

Tử số của phân số ở bên trái của phương trình hữu tỉ phân số này bằng 0, vì vậy giá trị của phân số này bằng 0 đối với bất kỳ x nào mà nó có nghĩa. Nói cách khác, nghiệm của phương trình này là bất kỳ giá trị nào của x từ DPV của biến này.

Nó vẫn là để xác định phạm vi giá trị chấp nhận được này. Nó bao gồm tất cả các giá trị x mà x 4 +5 x 3 ≠ 0. Các nghiệm của phương trình x 4 +5 x 3 \ u003d 0 là 0 và −5, vì phương trình này tương đương với phương trình x 3 (x + 5) \ u003d 0 và nó tương đương với tổ hợp của hai phương trình x 3 \ u003d 0 và x + 5 = 0, từ đó các gốc này có thể nhìn thấy được. Do đó, phạm vi mong muốn của các giá trị chấp nhận được là bất kỳ x nào, ngoại trừ x = 0 và x = −5.

Do đó, một phương trình hữu tỉ phân số có vô số nghiệm, là các số bất kỳ trừ 0 và trừ năm.

Trả lời:

Cuối cùng, đã đến lúc nói về việc giải các phương trình hữu tỉ phân số tùy ý. Chúng có thể được viết dưới dạng r (x) = s (x), trong đó r (x) và s (x) là các biểu thức hữu tỉ và ít nhất một trong số chúng là phân số. Nhìn về phía trước, chúng ta nói rằng giải pháp của họ được rút gọn để giải các phương trình ở dạng đã quen thuộc với chúng ta.

Biết rằng việc chuyển một số hạng từ phần này sang phần khác có dấu trái dấu sẽ dẫn đến một phương trình tương đương, do đó phương trình r (x) = s (x) tương đương với phương trình r (x) −s (x) = 0.

Chúng tôi cũng biết rằng bất kỳ có thể giống hệt nhau với biểu thức này. Do đó, chúng ta luôn có thể biến đổi biểu thức hữu tỉ bên trái của phương trình r (x) −s (x) = 0 thành một phân số hữu tỉ đồng dạng có dạng.

Vì vậy, chúng ta đi từ phương trình hữu tỉ phân số ban đầu r (x) = s (x) đến phương trình, và nghiệm của nó, như chúng ta đã tìm hiểu ở trên, rút gọn thành giải phương trình p (x) = 0.

Nhưng ở đây cần tính đến thực tế là khi thay r (x) −s (x) = 0 bằng và sau đó với p (x) = 0, phạm vi giá trị cho phép của biến x có thể mở rộng .

Do đó, phương trình ban đầu r (x) = s (x) và phương trình p (x) = 0, mà chúng ta đã suy ra, có thể không tương đương, và bằng cách giải phương trình p (x) = 0, chúng ta có thể nhận được nghiệm nguyên. đó sẽ là nghiệm nguyên của phương trình ban đầu r (x) = s (x). Có thể xác định và không bao gồm các gốc không liên quan trong câu trả lời, bằng cách thực hiện kiểm tra hoặc bằng cách kiểm tra xem chúng có thuộc ODZ của phương trình ban đầu hay không.

Chúng tôi tóm tắt thông tin này trong thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số r (x) = s (x). Để giải phương trình hữu tỉ phân số r (x) = s (x), người ta phải

Nhận số 0 ở bên phải bằng cách di chuyển biểu thức từ bên phải với dấu ngược lại.
Thực hiện các phép toán với phân số và đa thức ở vế trái của phương trình, từ đó chuyển nó thành một phân số hữu tỉ có dạng.
Giải phương trình p (x) = 0.
Xác định và loại trừ các gốc không liên quan, được thực hiện bằng cách thay thế chúng vào phương trình ban đầu hoặc bằng cách kiểm tra sự thuộc về ODZ của phương trình ban đầu.

Để rõ ràng hơn, chúng tôi sẽ trình bày toàn bộ chuỗi giải phương trình hữu tỉ phân số:
.

Chúng ta hãy xem qua lời giải của một số ví dụ với lời giải chi tiết của lời giải để làm rõ khối thông tin đã cho.

Ví dụ.

Giải một phương trình hữu tỉ phân số.

Quyết định.

Chúng tôi sẽ hành động phù hợp với thuật toán giải pháp vừa thu được. Và đầu tiên, chúng ta chuyển các số hạng từ vế phải của phương trình sang vế trái, kết quả là chúng ta chuyển sang phương trình.

Trong bước thứ hai, chúng ta cần chuyển biểu thức hữu tỉ phân số ở vế trái của phương trình kết quả về dạng phân số. Để làm được điều này, chúng ta thực hiện quy đổi các phân số hữu tỉ về một mẫu số chung và đơn giản hóa biểu thức thu được:. Vì vậy, chúng ta đi đến phương trình.

Trong bước tiếp theo, chúng ta cần giải phương trình −2 · x − 1 = 0. Tìm x = −1 / 2.

Việc kiểm tra xem số -1/2 tìm được có phải là một nghiệm nguyên của phương trình ban đầu hay không. Để làm điều này, bạn có thể kiểm tra hoặc tìm biến ODZ x của phương trình ban đầu. Hãy chứng minh cả hai cách tiếp cận.

Hãy bắt đầu với một tấm séc. Ta thay số −1 / 2 thay cho biến x vào phương trình ban đầu, ta được, giá trị tương tự, −1 = −1. Phép thay thế cho ra đẳng thức số đúng, do đó, x = −1 / 2 là nghiệm nguyên của phương trình ban đầu.

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra bước cuối cùng của thuật toán được thực hiện như thế nào thông qua ODZ. Phạm vi các giá trị có thể chấp nhận của phương trình ban đầu là tập hợp tất cả các số, ngoại trừ −1 và 0 (đối với x = −1 và x = 0, mẫu số của các phân số biến mất). Căn x = −1 / 2 tìm được ở bước trước thuộc ODZ, do đó, x = −1 / 2 là căn của phương trình ban đầu.

Trả lời:

−1/2 .

Hãy xem xét một ví dụ khác.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Quyết định.

Chúng ta cần giải một phương trình hữu tỉ phân số, hãy đi qua tất cả các bước của thuật toán.

Đầu tiên, chúng ta chuyển thuật ngữ từ phía bên phải sang bên trái, chúng ta nhận được.

Thứ hai, chúng tôi biến đổi biểu thức được hình thành ở phía bên trái:. Kết quả là, chúng tôi đi đến phương trình x = 0.

Gốc của nó là hiển nhiên - nó là số không.

Ở bước thứ tư, nó vẫn là tìm xem căn thức tìm được có phải là căn không nằm ngoài đối với phương trình hữu tỉ phân số ban đầu hay không. Khi thay nó vào phương trình ban đầu, biểu thức thu được. Rõ ràng, nó không có ý nghĩa, vì nó chứa phép chia cho số không. Khi nào chúng ta kết luận rằng 0 là một gốc không liên quan. Do đó, phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên.

7, dẫn đến phương trình. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức ở mẫu số của vế trái phải bằng từ vế phải, nghĩa là. Bây giờ chúng ta trừ cả hai phần của bộ ba:. Tương tự, từ đâu, và xa hơn nữa.

Việc kiểm tra cho thấy rằng cả hai nghiệm tìm được đều là nghiệm nguyên của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu.

Trả lời:

Thư mục.

Đại số học: sách giáo khoa cho 8 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G.Đại số học. lớp 8. Lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho sinh viên của các cơ sở giáo dục / A. G. Mordkovich. - ấn bản thứ 11, bị xóa. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 tr: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.
Đại số học: Lớp 9: sách giáo khoa. cho giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Biểu thức số nguyên là một biểu thức toán học được tạo thành từ các số và các biến chữ bằng cách sử dụng các phép toán cộng, trừ và nhân. Số nguyên cũng bao gồm các biểu thức bao gồm phép chia cho một số khác không.

Khái niệm về một biểu thức hữu tỉ phân số

Biểu thức phân số là một biểu thức toán học, ngoài các phép toán cộng, trừ và nhân được thực hiện với các số và biến chữ, cũng như phép chia cho một số không bằng 0, còn chứa phép chia thành các biểu thức với các biến chữ.

Biểu thức hữu tỉ là tất cả các biểu thức nguyên và phân số. Phương trình hữu tỉ là phương trình có vế trái và vế phải là biểu thức hữu tỉ. Nếu trong một phương trình hữu tỉ phần bên trái và bên phải là các biểu thức nguyên thì phương trình hữu tỉ đó được gọi là một số nguyên.

Nếu trong một phương trình hữu tỉ, phần bên trái hoặc bên phải là biểu thức phân số, thì phương trình hữu tỉ đó được gọi là phân số.

Ví dụ về biểu thức hữu tỉ phân số

1.x-3 / x = -6 * x + 19

2. (x-4) / (2 * x + 5) = (x + 7) / (x-2)

3. (x-3) / (x-5) + 1 / x = (x + 5) / (x * (x-5))

Sơ đồ giải một phương trình hữu tỉ phân số

1. Tìm mẫu số chung của tất cả các phân số có trong phân thức.

2. Nhân cả hai vế của phân thức với một mẫu số chung.

3. Giải toàn bộ phương trình kết quả.

4. Kiểm tra các gốc và loại trừ những gốc biến mẫu số chung thành không.

Vì chúng ta đang giải các phương trình hữu tỉ phân số, nên sẽ có các biến ở mẫu số của các phân số. Vì vậy, chúng sẽ ở trong một mẫu số chung. Và trong đoạn thứ hai của thuật toán, chúng ta nhân với một mẫu số chung, khi đó các căn không liên quan có thể xuất hiện. Khi đó mẫu số chung sẽ bằng 0, nghĩa là phép nhân với nó sẽ vô nghĩa. Do đó, khi kết thúc, hãy nhớ kiểm tra phần rễ thu được.

Hãy xem xét một ví dụ:

Giải phương trình hữu tỉ phân số: (x-3) / (x-5) + 1 / x = (x + 5) / (x * (x-5)).

Chúng ta sẽ tuân theo sơ đồ chung: trước tiên chúng ta tìm mẫu số chung của tất cả các phân số. Ta được x * (x-5).

Nhân mỗi phân số với một mẫu số chung và viết phương trình thu được.

(x-3) / (x-5) * (x * (x-5)) = x * (x + 3);
1 / x * (x * (x-5)) = (x-5);
(x + 5) / (x * (x-5)) * (x * (x-5)) = (x + 5);
x * (x + 3) + (x-5) = (x + 5);

Hãy đơn giản hóa phương trình kết quả. Chúng tôi nhận được:

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 = 0;
x ^ 2 + 3 * x-10 = 0;

Chúng tôi có một phương trình bậc hai rút gọn đơn giản. Chúng ta giải nó bằng bất kỳ phương pháp nào đã biết, chúng ta nhận được các nghiệm thức x = -2 và x = 5.

Bây giờ chúng tôi kiểm tra các giải pháp thu được:

Ta thay các số -2 và 5 vào mẫu số chung. Tại x = -2, mẫu số chung x * (x-5) không biến mất, -2 * (- 2-5) = 14. Vì vậy, số -2 sẽ là căn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu.

Tại x = 5, mẫu số chung x * (x-5) trở thành không. Do đó, số này không phải là căn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu, vì sẽ có phép chia cho không.