Tổng và tích của các nghiệm của phương trình bằng nhau. Cách tìm tổng nghiệm của phương trình

có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng phép nhân. Ví dụ: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Họ nói về một biểu thức như vậy rằng tổng các số hạng bằng nhau đã được gấp lại thành một tích. Và ngược lại, nếu chúng ta đọc đẳng thức này từ phải sang trái, chúng tôi nhận được rằng chúng tôi đã mở rộng tổng các số hạng bằng nhau. Tương tự, bạn có thể gấp tích của một số thừa số bằng nhau 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Đó là, thay vì nhân sáu cùng một số nhân 5x5x5x5x5x5 viết 5 6 và nói "năm đến lũy thừa thứ sáu".

Biểu thức 5 6 là một lũy thừa của một số, trong đó:

5 - cơ sở của mức độ;

6 - số mũ.

Các phép toán mà tích của các thừa số bằng nhau được gấp lại thành một lũy thừa được gọi là lũy thừa.

TẠI nhìn chung bậc với cơ số "a" và số mũ "n" được viết là

Nâng số a lên lũy thừa của n nghĩa là tìm tích của n thừa số, mỗi thừa số đều bằng a

Nếu cơ sở của bậc "a" là 1, thì giá trị của bậc đối với n tự nhiên bất kỳ sẽ bằng 1. Ví dụ: 1 5 \ u003d 1, 1 256 \ u003d 1

Nếu bạn nâng số "a" lên mức độ đầu tiên, sau đó chúng tôi nhận được số a chính nó: a 1 = a

Nếu bạn nâng bất kỳ số nào lên không độ, sau đó theo kết quả của các phép tính, chúng tôi nhận được một. a 0 = 1

Các lũy thừa thứ hai và thứ ba của một số được coi là đặc biệt. Họ đã nghĩ ra những cái tên cho chúng: bằng cấp thứ hai được gọi là bình phương của một số, ngày thứ ba - khối lập phương con số này.

Bất kỳ số nào cũng có thể được nâng lên thành lũy thừa - dương, âm hoặc không. Tuy nhiên, các quy tắc sau không được sử dụng:

Khi tìm tung độ của một số dương thì thu được một số dương.

Khi tính toán số không trong mức độ tự nhiên chúng tôi nhận được số không.

x m х n = x m + n

ví dụ: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Đến phân chia quyền hạn với cùng một cơ sở chúng tôi không thay đổi cơ số, nhưng trừ các số mũ:

x m / x n \ u003d x m - n , ở đâu, m> n

ví dụ: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Khi tính toán lũy thừa Chúng tôi không thay đổi cơ số, nhưng chúng tôi nhân các số mũ với nhau.

(tại m )N = y m N

ví dụ: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

ví dụ: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

Khi thực hiện các phép tính cho lũy thừa của một phân số chúng ta nâng tử số và mẫu số của phân số lên lũy thừa đã cho

(x / y) n = x n / y n

ví dụ: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3.

Trình tự thực hiện các phép tính khi làm việc với biểu thức có chứa tung độ.

Khi thực hiện các phép tính biểu thức không có dấu ngoặc nhưng có chứa lũy thừa, trước hết, phép tính lũy thừa được thực hiện, sau đó là các phép toán nhân và chia, và chỉ sau đó là các phép toán cộng và trừ.

Nếu cần đánh giá một biểu thức có chứa dấu ngoặc, thì trước tiên, theo thứ tự đã nêu ở trên, chúng ta thực hiện các phép tính trong dấu ngoặc, sau đó thực hiện các thao tác còn lại theo thứ tự từ trái sang phải.

Rất rộng rãi trong tính toán thực tế, để đơn giản hóa tính toán, các bảng độ sẵn được sử dụng.

Tiếp tục cuộc trò chuyện về mức độ của một con số, việc tìm ra giá trị của mức độ là hợp lý. Quá trình này đã được đặt tên lũy thừa. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu cách tính lũy thừa được thực hiện, đồng thời đề cập đến tất cả các số mũ có thể có - tự nhiên, số nguyên, hữu tỉ và vô tỉ. Và theo truyền thống, chúng tôi sẽ xem xét chi tiết các giải pháp cho các ví dụ về việc nâng cao số lượng ở các mức độ khác nhau.

Điều hướng trang.

"Lũy thừa" có nghĩa là gì?

Hãy bắt đầu bằng cách giải thích những gì được gọi là lũy thừa. Đây là định nghĩa có liên quan.

Sự định nghĩa.

Luỹ thừa là tìm giá trị lũy thừa của một số.

Do đó, việc tìm giá trị của lũy thừa của a với số mũ r và nâng số a lên lũy thừa của r là điều tương tự. Ví dụ: nếu nhiệm vụ là “tính giá trị của lũy thừa (0,5) 5”, thì nó có thể được định dạng lại như sau: “Nâng số 0,5 lên lũy thừa của 5”.

Bây giờ bạn có thể đi thẳng đến các quy tắc mà phép tính lũy thừa được thực hiện.

Nâng một số thành lũy thừa tự nhiên

Trong thực tế, bình đẳng dựa trên thường được áp dụng dưới dạng. Nghĩa là, khi nâng số a lên lũy thừa m / n, thì căn bậc n từ số a đầu tiên được trích ra, sau đó kết quả được nâng lên lũy thừa m.

Hãy xem xét các giải pháp cho các ví dụ về nâng lên lũy thừa phân số.

Ví dụ.

Tính giá trị của li độ.

Quyết định.

Chúng tôi đưa ra hai giải pháp.

Cách đầu tiên. Theo định nghĩa của độ với một số mũ phân số. Chúng tôi tính toán giá trị của độ dưới dấu hiệu của gốc, sau đó chúng tôi trích xuất gốc khối lập phương: .

Cách thứ hai. Theo định nghĩa của một bậc với một số mũ phân số và trên cơ sở các tính chất của các căn, các bằng nhau là đúng . Bây giờ giải nén gốc Cuối cùng, chúng tôi nâng lên thành lũy thừa số nguyên .

Rõ ràng, các kết quả thu được của việc nâng lên thành lũy thừa là trùng hợp.

Trả lời:

Lưu ý rằng số mũ phân số có thể được viết dưới dạng phần thập phân hoặc hỗn số, trong những trường hợp này, nó nên được thay thế bằng phân số thông thường tương ứng, sau đó sẽ thực hiện phép lũy thừa.

Ví dụ.

Tính (44,89) 2,5.

Quyết định.

Chúng tôi viết số mũ dưới dạng phần chung(nếu cần, hãy xem bài viết): . Bây giờ chúng tôi thực hiện nâng lên thành lũy thừa phân số:

Trả lời:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Cũng cần phải nói rằng việc nâng các số lên lũy thừa hữu tỉ là một quá trình khá tốn công sức (đặc biệt là khi tử số và mẫu số chỉ số phân số bằng cấp là đủ những con số lớn), thường được thực hiện bằng công nghệ máy tính.

Trong phần kết của đoạn này, chúng ta sẽ tập trung vào việc xây dựng số 0 thành lũy thừa phân số. mức độ phân số 0 của biểu mẫu, chúng tôi đã đưa ra ý nghĩa sau: vì chúng tôi có , trong khi số 0 đối với lũy thừa m / n không được xác định. Vì vậy, số không trong phân số mức độ tích cực bằng 0, chẳng hạn, . Và số 0 trong lũy ​​thừa âm phân số không có ý nghĩa, ví dụ, các biểu thức và 0 -4,3 không có ý nghĩa.

Nâng tầm quyền lực phi lý trí

Đôi khi cần phải tìm ra giá trị bậc của một số có số mũ vô tỉ. Đồng thời, trong mục đich thực tiên nó thường là đủ để nhận giá trị của mức độ lên đến một số dấu hiệu. Chúng tôi lưu ý ngay rằng giá trị này được tính toán trên thực tế bằng công nghệ máy tính điện tử, kể từ khi tăng lên ir mức độ hợp lý yêu cầu thủ công một số lượng lớn tính toán rườm rà. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ mô tả trong các điều khoản chung thực chất của hành động.

Để nhận giá trị gần đúng của số mũ của a với số mũ vô tỉ, người ta lấy một số gần đúng thập phân của số mũ và giá trị của số mũ được tính. Giá trị này là giá trị gần đúng bậc của số a với số mũ vô tỉ. Ban đầu lấy số gần đúng thập phân càng chính xác thì cuối cùng giá trị độ càng chính xác.

Để làm ví dụ, hãy tính giá trị gần đúng của lũy thừa 2 1.174367 .... Lấy xấp xỉ thập phân sau đây chỉ báo phi lý:. Bây giờ chúng ta nâng 2 lên lũy thừa hợp lý là 1,17 (chúng ta đã mô tả bản chất của quá trình này trong đoạn trước), chúng ta nhận được 2 1,17 ≈ 2,250116. Vì vậy, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ví dụ: nếu chúng ta lấy một giá trị gần đúng thập phân chính xác hơn của một số mũ vô tỉ, thì chúng ta sẽ nhận được giá trị chính xác hơn của mức độ ban đầu: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Thư mục.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Sách giáo khoa Toán Zh 5 ô. các cơ sở giáo dục.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: sách giáo khoa cho 7 ô. các cơ sở giáo dục.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: sách giáo khoa cho 8 ô. các cơ sở giáo dục.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: sách giáo khoa cho 9 ô. các cơ sở giáo dục.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các chương trình khác. Đại số và Sơ cấp về Phân tích: Sách Giáo khoa dành cho Lớp 10-11 của các Cơ sở Giáo dục Phổ thông.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán học (cẩm nang dành cho những người nộp đơn vào các trường kỹ thuật).

Bài và thuyết trình về chủ đề: "Độ bằng chỉ âm. Định nghĩa và các ví dụ về giải bài"

Tài liệu bổ sung
Người dùng thân mến, đừng quên để lại ý kiến, phản hồi, đề xuất của bạn. Tất cả các tài liệu được kiểm tra bởi một chương trình chống vi-rút.

Máy trợ giảng và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến "Tích phân" dành cho lớp 8
Sách hướng dẫn sử dụng giáo trình Muravina G.K. Hướng dẫn sử dụng giáo trình Alimova Sh.A.

Xác định mức độ với số mũ âm

Các bạn, chúng tôi rất giỏi trong việc nâng cao con số lên thành một sức mạnh.
Ví dụ: $ 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16 $ $ ((- 3)) ^ 3 = (- 3) * (- 3) * (- 3) = 27 $.

Chúng ta biết rõ rằng bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một. $ a ^ 0 = 1 $, $ a ≠ 0 $.
Câu hỏi đặt ra, điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nâng một số lên thành lũy thừa? Ví dụ, số $ 2 ^ (- 2) $ sẽ bằng bao nhiêu?
Các nhà toán học đầu tiên đặt câu hỏi này đã quyết định rằng không đáng để phát minh lại bánh xe, và thật tốt là tất cả các thuộc tính của độ vẫn được giữ nguyên. Đó là, khi nhân các lũy thừa với cùng một cơ sở, các số mũ cộng lại.
Hãy xem xét trường hợp này: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) = 2 ^ (3-3) = 2 ^ 0 = 1 $.
Chúng tôi nhận thấy rằng sản phẩm của những con số như vậy sẽ tạo ra sự thống nhất. Đơn vị trong tích nhận được bằng cách nhân với nghịch đảo, nghĩa là, $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

Lập luận như vậy đã dẫn đến định nghĩa sau đây.
Sự định nghĩa. Nếu $ n $ số tự nhiên và $ а ≠ 0 $, thì đẳng thức sau giữ nguyên: $ a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) $.

Một danh tính quan trọng thường được sử dụng: $ (\ frac (a) (b)) ^ (- n) = (\ frac (b) (a)) ^ n $.
Đặc biệt, $ (\ frac (1) (a)) ^ (- n) = a ^ n $.

Ví dụ giải pháp

ví dụ 1
Tính: $ 2 ^ (- 3) + (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) -8 ^ (- 1) $.

Quyết định.
Chúng ta hãy xem xét từng thuật ngữ riêng biệt.
1. $ 2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (2 * 2 * 2) = \ frac (1) (8) $.
2. $ (\ frac (2) (5)) ^ (- 2) = (\ frac (5) (2)) ^ 2 = \ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) = \ frac (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) = \ frac (1) (8) $.
Nó vẫn để thực hiện các phép tính cộng và trừ: $ \ frac (1) (8) + \ frac (25) (4) - \ frac (1) (8) = \ frac (25) (4) = 6 \ frac ( 1) (4) $.
Trả lời: $ 6 \ frac (1) (4) $.

Ví dụ 2
Biểu thị một số nhất định dưới dạng lũy ​​thừa số nguyên tố$ \ frac (1) (729) $.

Quyết định.
Rõ ràng là $ \ frac (1) (729) = 729 ^ (- 1) $.
Nhưng 729 không phải là một số nguyên tố kết thúc bằng 9. Chúng ta có thể cho rằng số này là một lũy thừa của ba. Hãy tuần tự chia 729 cho 3.
1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
2) $ \ frac (243) (3) = 81 $;
3) $ \ frac (81) (3) = 27 $;
4) $ \ frac (27) (3) = 9 $;
5) $ \ frac (9) (3) = 3 $;
6) $ \ frac (3) (3) = 1 $.
Sáu hoạt động đã được hoàn thành, có nghĩa là: $ 729 = 3 ^ 6 $.
Đối với nhiệm vụ của chúng tôi:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Đáp số: $ 3 ^ (- 6) $.

Ví dụ 3. Biểu thị biểu thức dưới dạng lũy ​​thừa: $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Quyết định. Phép toán đầu tiên luôn được thực hiện bên trong dấu ngoặc, sau đó là phép nhân $ \ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) = \ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) = \ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) ) = a ^ (-4 - (- 5)) = a ^ (- 4 + 5) = a $.
Trả lời: $ a $.

Ví dụ 4. Chứng minh danh tính:
$ (\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) ) +1) = \ frac (x-y) (x + y) $.

Quyết định.
Ở phía bên trái, hãy xem xét từng yếu tố trong ngoặc đơn riêng biệt.
1. $ \ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \ frac (y) (x)) ^ 2) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \ frac (y) (x) + \ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \ frac (y ^ 2) (x)) = \ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x)) = \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) = \ frac (y ^ 2 (\ frac (1) (x ^ 2) + \ frac (1) (y ^ 2))) (x (\ frac (x) (y) + \ frac (y) (x))) = \ frac (\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\ frac (x ^ 2) (y) + y) = \ frac (\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) = \ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) = \ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \ frac (y) (x ^ 2) = \ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) = \ frac (y (x-y) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Hãy chuyển sang phân số mà chúng ta chia.
$ \ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) = \ frac (1- \ frac (y) (x)) (\ frac (x) (y) +1 ) = \ frac (\ frac (x-y) (x)) (\ frac (x + y) (y)) = \ frac (x-y) (x) * \ frac (y) (x + y) = \ frac ( y (x-y)) (x (x + y)) $.
5. Hãy thực hiện phép chia.
$ \ frac (y (x-y) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \ frac (y (x-y)) (x (x + y)) = \ frac (y (x-y) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \ frac (x (x + y)) (y (x-y)) = \ frac (x-y) (x + y) $.
Chúng tôi đã có được danh tính chính xác, được yêu cầu chứng minh.

Cuối bài, chúng ta sẽ viết lại quy tắc cho các hành động với độ, ở đây số mũ là một số nguyên.
$ a ^ s * a ^ t = a ^ (s + t) $.
$ \ frac (a ^ s) (a ^ t) = a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t = a ^ (st) $.
$ (ab) ^ s = a ^ s * b ^ s $.
$ (\ frac (a) (b)) ^ s = \ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập

1. Tính: $ 3 ^ (- 2) + (\ frac (3) (4)) ^ (- 3) +9 ^ (- 1) $.
2. Biểu diễn số đã cho dưới dạng lũy ​​thừa của số nguyên tố $ \ frac (1) (16384) $.
3. Hãy biểu thị biểu thức dưới dạng mức độ:
$ \ frac (b ^ (- 8) * (b ^ 3) ^ (- 4)) ((b ^ 2 * b ^ (- 7)) ^ 3) $.
4. Chứng minh danh tính:
$ (\ frac (b ^ (- m) -c ^ (- m)) (b ^ (- m) + c ^ (- m)) + \ frac (b ^ (- m) + c ^ (- m )) (c ^ (- m) -b ^ (- m))) = \ frac (4) (b ^ m c ^ (- m) -b ^ (- m) c ^ m) $.