Các số nhân giống nhau không hủy bỏ. Trích xuất phần nguyên của một phân số

Bài viết này tiếp tục chủ đề về phép biến đổi phân số đại số: coi một hành động như vậy là việc rút gọn phân số đại số. Hãy xác định chính thuật ngữ, xây dựng quy tắc viết tắt và phân tích các ví dụ thực tế.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ý nghĩa của từ viết tắt phân số đại số

Trong các tài liệu về phân số thông thường, chúng tôi đã xem xét sự giảm của nó. Chúng ta đã định nghĩa việc rút gọn một phân số chung là chia tử số và mẫu số của nó cho một nhân tử chung.

Giảm một phân số đại số là một hoạt động tương tự.

Định nghĩa 1

Rút gọn phân số đại số là phép chia tử số và mẫu số của nó cho một thừa số chung. Trong trường hợp này, không giống như việc rút gọn một phân số thông thường (chỉ một số có thể là mẫu số chung), một đa thức, cụ thể là một đơn thức hoặc một số, có thể dùng làm nhân tử chung cho tử số và mẫu số của một phân số đại số.

Ví dụ, phân số đại số 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 có thể rút gọn bởi số 3, ta được: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. Chúng ta có thể rút gọn phân số tương tự theo biến x, và điều này sẽ cho chúng ta biểu thức 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Cũng có thể rút gọn một phân số đã cho bằng một đơn thức 3 x hoặc bất kỳ đa thức nào x + 2 y, 3 x + 6 y, x 2 + 2 x y hoặc 3 x 2 + 6 x y.

Mục đích cuối cùng của việc rút gọn một phân số đại số là một phân số có dạng đơn giản hơn, tốt nhất là một phân số bất khả quy.

Có phải tất cả các phân số đại số đều bị giảm?

Một lần nữa, từ các tài liệu về phân số thông thường, chúng ta biết rằng có những phân số có thể rút gọn và quy đổi được. Không phân biệt được - đây là những phân số không có chung tử số và mẫu số, khác với 1.

Với phân số đại số, mọi thứ đều giống nhau: chúng có thể có hoặc không có thừa số chung của tử số và mẫu số. Sự hiện diện của các thừa số chung cho phép bạn đơn giản hóa phân số ban đầu thông qua việc rút gọn. Khi không có thừa số chung thì không thể tối ưu một phân số đã cho bằng phương pháp rút gọn.

Trong các trường hợp chung, đối với một dạng phân số cho trước, việc rút gọn nó là một điều khá khó hiểu. Tất nhiên, trong một số trường hợp, sự hiện diện của một thừa số chung của tử số và mẫu số là hiển nhiên. Ví dụ, trong phân số đại số 3 · x 2 3 · y, hoàn toàn rõ ràng rằng nhân tử chung là số 3.

Trong một phân số - x · y 5 · x · y · z 3 chúng ta cũng hiểu ngay rằng có thể rút gọn nó theo x, hoặc y, hoặc x · y. Chưa hết, các ví dụ về phân số đại số còn phổ biến hơn nhiều, khi nhân tử chung của tử số và mẫu số không dễ thấy, và thậm chí thường xuyên hơn - nó đơn giản là không có.

Ví dụ, chúng ta có thể rút gọn phân số x 3 - 1 x 2 - 1 bởi x - 1, trong khi nhân tử chung được chỉ định không có trong bản ghi. Nhưng phân số x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 không thể rút gọn được vì tử số và mẫu số không có nhân tử chung.

Vì vậy, câu hỏi tìm ra quy đồng của một phân số đại số không đơn giản như vậy, và việc làm với một phân số của một dạng đã cho thường dễ hơn là cố gắng tìm xem nó có đồng quy hay không. Trong trường hợp này, các phép biến đổi như vậy diễn ra trong các trường hợp cụ thể cho phép chúng ta xác định được nhân tử số và mẫu số chung hoặc kết luận rằng phân số là bất khả quy. Chúng tôi sẽ phân tích chi tiết vấn đề này trong đoạn tiếp theo của bài viết.

Quy tắc rút gọn phân số đại số

Quy tắc rút gọn phân số đại số bao gồm hai bước liên tiếp:

tìm thừa số chung của tử số và mẫu số;
trong trường hợp tìm thấy như vậy, việc thực hiện các hành động trực tiếp của việc giảm phân số.

Phương pháp thuận tiện nhất để tìm mẫu số chung là nhân tử hóa các đa thức có ở tử số và mẫu số của một phân số đại số cho trước. Điều này cho phép bạn nhìn thấy ngay lập tức sự hiện diện hoặc vắng mặt của các yếu tố chung.

Hành động rút gọn một phân số đại số dựa trên tính chất chính của một phân số đại số, được biểu thị bằng đẳng thức không xác định, trong đó a, b, c là một số đa thức, và b và c khác 0. Bước đầu tiên là rút gọn phân số về dạng a c b c, trong đó ta nhận thấy ngay nhân tử chung c. Bước thứ hai là thực hiện giảm, tức là chuyển về dạng phân số a b.

Ví dụ điển hình

Mặc dù có một số điều hiển nhiên, hãy cùng làm rõ về trường hợp đặc biệt khi tử số và mẫu số của một phân số đại số bằng nhau. Các phân số tương tự giống hệt nhau bằng 1 trên toàn bộ ODZ của các biến của phân số này:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

Vì phân số thông thường là một trường hợp đặc biệt của phân số đại số, chúng ta hãy nhớ lại cách chúng được rút gọn. Các số tự nhiên viết ở tử số và mẫu số được rút gọn thành thừa số nguyên tố, sau đó rút gọn nhân tử chung (nếu có).

Ví dụ: 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Tích của các thừa số đơn giản giống nhau có thể được viết dưới dạng độ, và trong quá trình rút gọn phân số, sử dụng tính chất chia độ với các cơ số giống nhau. Sau đó, giải pháp trên sẽ là:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(tử số và mẫu số chia cho một thừa số chung 2 2 3). Hoặc, để rõ ràng, dựa vào các tính chất của phép nhân và phép chia, chúng ta sẽ đưa ra lời giải ở dạng sau:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Bằng phép loại suy, ta tiến hành rút gọn các phân số đại số, trong đó tử số và mẫu số là đơn thức với hệ số nguyên.

ví dụ 1

Cho phân số đại số - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Nó cần phải được giảm bớt.

Dung dịch

Có thể viết tử số và mẫu số của một phân số đã cho dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố và các biến số, sau đó rút gọn:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = - 3 3 a a a 2 c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Tuy nhiên, một cách hợp lý hơn sẽ là viết lời giải dưới dạng biểu thức có lũy thừa:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6.

Câu trả lời:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Khi có các hệ số ở tử số và mẫu số của một phân số đại số, có hai cách có thể thực hiện thêm: hoặc chia riêng các hệ số phân số này, hoặc trước tiên loại bỏ hệ số phân số bằng cách nhân tử số và mẫu số với một số tự nhiên . Phép biến đổi cuối cùng được thực hiện do tính chất chính của phân số đại số (bạn có thể đọc về nó trong bài “Rút gọn phân số đại số thành mẫu số mới”).

Ví dụ 2

Cho phân số 2 5 x 0, 3 x 3. Nó cần phải được giảm bớt.

Dung dịch

Có thể giảm phân số theo cách này:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Hãy thử giải quyết vấn đề theo cách khác, trước đây đã loại bỏ hệ số phân số - chúng ta nhân tử số và mẫu số với bội chung nhỏ nhất của các mẫu số của các hệ số này, tức là mỗi LCM (5, 10) = 10. Sau đó, chúng tôi nhận được:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Đáp số: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Khi chúng ta rút gọn các phân số đại số tổng quát, trong đó tử số và mẫu số có thể là cả đơn thức và đa thức, một vấn đề có thể xảy ra khi nhân tử chung không phải lúc nào cũng nhìn thấy ngay được. Hoặc hơn thế nữa, nó chỉ đơn giản là không tồn tại. Sau đó, để xác định nhân tử chung hoặc khắc phục sự thiếu vắng của nó, tử số và mẫu số của phân số đại số được phân số.

Ví dụ 3

Cho phân số hữu tỉ 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Nó cần được rút ngắn.

Dung dịch

Hãy phân tích các đa thức ở tử số và mẫu số. Hãy thực hiện các dấu ngoặc đơn:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Chúng ta thấy rằng biểu thức trong ngoặc có thể được chuyển đổi bằng cách sử dụng các công thức nhân rút gọn:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Rõ ràng rằng có thể rút gọn phân số bằng một nhân tử chung b 2 (a + 7). Hãy giảm bớt:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Chúng tôi viết một giải pháp ngắn gọn mà không cần giải thích dưới dạng một chuỗi cân bằng:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Câu trả lời: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Nó xảy ra rằng các yếu tố chung được ẩn bởi các hệ số số. Sau đó, khi giảm phân số, tối ưu là lấy thừa số ở các lũy thừa của tử số và mẫu số.

Ví dụ 4

Cho phân số đại số 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2. Nó nên được giảm bớt nếu có thể.

Dung dịch

Thoạt nhìn, tử số và mẫu số không có mẫu số chung. Tuy nhiên, chúng ta hãy thử chuyển đổi phân số đã cho. Hãy lấy thừa số x ở tử số:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Bây giờ bạn có thể thấy một số điểm tương đồng giữa biểu thức trong ngoặc và biểu thức ở mẫu số do x 2 y . Hãy để chúng tôi lấy ra các hệ số ở lũy thừa cao hơn của các đa thức này:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Bây giờ số nhân chung trở nên rõ ràng, chúng tôi thực hiện giảm:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Câu trả lời: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x.

Chúng ta hãy nhấn mạnh rằng kỹ năng rút gọn phân số hữu tỉ phụ thuộc vào khả năng nhân tử của đa thức.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết cách giảm phân số. Đầu tiên, chúng ta hãy nói về những gì được gọi là giảm phân số. Sau đó, hãy nói về việc giảm một phân số có thể rút gọn thành một dạng bất khả quy. Tiếp theo, chúng ta nhận được quy tắc rút gọn phân số và cuối cùng, hãy xem xét các ví dụ về việc áp dụng quy tắc này.

Điều hướng trang.

Giảm một phân số có nghĩa là gì?

Chúng ta biết rằng các phân số thông thường được chia thành các phân số có thể rút gọn và bất khả quy. Từ tên gọi, bạn có thể đoán rằng các phân số có thể rút gọn được, nhưng các phân số bất khả quy thì không.

Giảm một phân số có nghĩa là gì? Giảm phân số- điều này có nghĩa là chia tử số và mẫu số của chúng cho số dương và khác của chúng. Rõ ràng là khi rút gọn phân số, sẽ thu được một phân số mới với tử số và mẫu số nhỏ hơn, và do tính chất chính của phân số nên phân số thu được bằng phân số ban đầu.

Ví dụ, chúng ta hãy rút gọn phân số chung 8/24 bằng cách chia tử số và mẫu số của nó cho 2. Nói cách khác, hãy giảm phân số 8/24 đi 2. Vì 8: 2 = 4 và 24: 2 = 12 nên kết quả của phép giảm này, phân số 4/12 thu được bằng phân số ban đầu 8/24 (coi các phân số bằng nhau và không bằng nhau). Kết quả là, chúng tôi có.

Rút gọn phân số thông thường về dạng bất quy đổi

Thông thường, mục tiêu cuối cùng của việc rút gọn phân số là thu được một phân số bất khả quy bằng phân số có thể rút gọn ban đầu. Mục tiêu này có thể đạt được bằng cách giảm phân số ban đầu được rút gọn xuống tử số và mẫu số của nó. Sự giảm này luôn dẫn đến một phân số bất khả quy. Thật vậy, phân số là không thể thay đổi được, vì người ta biết rằng và -. Ở đây chúng ta nói rằng ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số của một phân số là số lớn nhất mà phân số này có thể được rút gọn.

Vì thế, giảm một phân số thông thường thành một dạng bất khả quy bao gồm chia tử số và mẫu số của phân số ban đầu rút gọn cho GCD của chúng.

Hãy phân tích một ví dụ, trong đó chúng ta trở về phân số 8/24 và giảm nó đi ước số chung lớn nhất của các số 8 và 24, được 8. Vì 8: 8 = 1 và 24: 8 = 3 nên ta đi đến phân số bất khả quy 1/3. Vì thế, .

Lưu ý rằng cụm từ “giảm phân số” thường có nghĩa là giảm phân số ban đầu về dạng bất khả quy. Nói cách khác, rút gọn phân số thường được gọi là chia tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất của chúng (chứ không phải cho bất kỳ ước chung nào của chúng).

Làm thế nào để giảm một phân số? Quy tắc và ví dụ về rút gọn phân số

Nó vẫn chỉ để phân tích quy tắc rút gọn phân số, giải thích làm thế nào để giảm phân số này.

Quy tắc rút gọn phân số bao gồm hai bước:

trước hết, GCD của tử số và mẫu số của phân số được tìm thấy;
thứ hai, tử số và mẫu số của phân số được chia cho GCD của chúng, cho một phân số bất khả quy bằng phân số ban đầu.

Hãy phân tích ví dụ rút gọn phân số theo quy tắc đã cho.

Thí dụ.

Rút gọn phân số 182/195.

Dung dịch.

Hãy thực hiện cả hai bước được quy định bởi quy tắc rút gọn phân số.

Đầu tiên chúng ta tìm gcd (182, 195). Cách thuận tiện nhất là sử dụng thuật toán Euclid (xem): 195 = 182 1 + 13, 182 = 13 14, tức là gcd (182, 195) = 13.

Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số 182/195 cho 13, trong khi chúng ta nhận được phân số bất khả quy 14/15, bằng phân số ban đầu. Điều này hoàn thành việc giảm phân số.

Một cách ngắn gọn, giải pháp có thể được viết như sau:

Câu trả lời:

Về điều này, với việc giảm các phân số, bạn có thể hoàn thành. Nhưng để hoàn thiện bức tranh, hãy xem xét thêm hai cách giảm phân số, cách này thường được áp dụng trong các trường hợp nhẹ.

Đôi khi tử số và mẫu số của một phân số được rút gọn là dễ dàng. Giảm phân số trong trường hợp này rất đơn giản: bạn chỉ cần loại bỏ tất cả các thừa số chung khỏi tử số và mẫu số.

Cần lưu ý rằng phương pháp này trực tiếp tuân theo quy tắc rút gọn phân số, vì tích của tất cả các thừa số nguyên tố chung của tử số và mẫu số bằng ước số chung lớn nhất của chúng.

Hãy xem một giải pháp ví dụ.

Thí dụ.

Rút gọn phân số 360/2940.

Dung dịch.

Hãy phân tích tử số và mẫu số thành các thừa số nguyên tố: 360 = 2 2 2 3 3 5 và 2 940 = 2 2 3 5 7 7. Theo cách này, .

Bây giờ chúng ta loại bỏ các thừa số chung trong tử số và mẫu số, để thuận tiện, chúng ta chỉ cần gạch bỏ chúng: .

Cuối cùng, chúng ta nhân các thừa số còn lại :, và việc rút gọn phân số được hoàn thành.

Đây là bản tóm tắt của giải pháp: .

Câu trả lời:

Hãy xem xét một cách khác để giảm một phân số, bao gồm giảm tuần tự. Ở đây, ở mỗi bước, phân số được rút gọn bởi một số ước chung của tử số và mẫu số, điều này hiển nhiên hoặc dễ dàng xác định bằng cách sử dụng

Khi học sinh chuyển sang cấp 3, toán học được chia thành 2 môn: đại số và hình học. Ngày càng có nhiều khái niệm, nhiệm vụ ngày càng khó hơn. Một số người gặp khó khăn trong việc hiểu phân số. Đã bỏ lỡ bài học đầu tiên về chủ đề này, và thì đấy. phân số? Một câu hỏi sẽ day dứt trong suốt quãng đời học sinh.

Khái niệm về phân số đại số

Hãy bắt đầu với một định nghĩa. Dưới phân số đại số Biểu thức P / Q được hiểu, trong đó P là tử số và Q là mẫu số. Dưới mục nhập chữ cái, một số, một biểu thức số, một biểu thức số-chữ cái có thể bị ẩn.

Trước khi tự hỏi làm thế nào để giải các phân số đại số, trước tiên bạn cần phải hiểu rằng một biểu thức như vậy là một phần của tổng thể.

Theo quy luật, tổng là 1. Số ở mẫu số cho biết đơn vị đã được chia thành bao nhiêu phần. Tử số là cần thiết để biết có bao nhiêu phần tử được lấy. Thanh phân số tương ứng với dấu chia. Nó được phép ghi lại một biểu thức phân số dưới dạng một phép toán "Phép chia". Trong trường hợp này, tử số là số bị chia, mẫu số là số chia.

Quy tắc cơ bản cho phân số chung

Khi học sinh xem qua chủ đề này ở trường, các em sẽ được đưa ra các ví dụ để củng cố. Để giải quyết chúng một cách chính xác và tìm ra những cách khác nhau thoát khỏi những tình huống khó khăn, bạn cần áp dụng tính chất cơ bản của phân số.

Nghe có vẻ như thế này: Nếu bạn nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số hoặc biểu thức (khác 0), thì giá trị của một phân số thông thường sẽ không thay đổi. Một trường hợp đặc biệt của quy tắc này là phép chia cả hai phần của biểu thức thành cùng một số hoặc đa thức. Các phép biến hình như vậy được gọi là các phép đồng dạng.

Dưới đây chúng ta sẽ cùng nhau xem xét cách giải các phép tính cộng trừ phân số đại số, thực hiện các phép nhân, chia, rút gọn phân số.

Các phép toán với phân số

Xem xét cách giải tính chất chính tắc của phân số đại số, cách áp dụng vào thực tế. Nếu bạn cần nhân hai phân số, cộng, chia cho người kia hoặc trừ, bạn phải luôn tuân theo quy tắc.

Vì vậy, đối với phép toán cộng và trừ, cần tìm thêm một thừa số để đưa các biểu thức về một mẫu số chung. Nếu ban đầu các phân số được cho có cùng biểu thức Q, thì bạn cần phải bỏ qua mục này. Khi tìm được mẫu số chung thì giải phân số đại số như thế nào? Cộng hoặc trừ tử số. Nhưng mà! Cần phải nhớ rằng nếu có dấu “-” trước phân số thì tất cả các dấu trong tử số đều bị đảo ngược. Đôi khi bạn không nên thực hiện bất kỳ phép thay thế và phép toán nào. Chỉ cần đổi dấu ở phía trước phân số là đủ.

Thuật ngữ này thường được sử dụng như giảm phân số. Điều này có nghĩa như sau: nếu tử số và mẫu số được chia cho một biểu thức khác với đơn vị (giống nhau cho cả hai phần), thì sẽ thu được một phân số mới. Số bị chia và số bị chia nhỏ hơn trước, nhưng do quy tắc cơ bản của phân số, chúng vẫn bằng ví dụ ban đầu.

Mục đích của phép toán này là thu được một biểu thức bất khả quy mới. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách giảm tử số và mẫu số bởi ước số chung lớn nhất. Thuật toán hoạt động bao gồm hai điểm:

Tìm GCD cho cả hai phần của một phân số.
Chia tử số và mẫu số cho biểu thức tìm được và thu được một phân số bất khả quy bằng phân số trước đó.

Bảng dưới đây cho thấy các công thức. Để thuận tiện, bạn có thể in ra và mang theo trong sổ tay. Tuy nhiên, để sau này khi giải một bài kiểm tra, bài thi sẽ không gặp khó khăn trước câu hỏi cách giải phân số đại số thì các công thức này đều phải học thuộc lòng.

Một số ví dụ với các giải pháp

Từ quan điểm lý thuyết, câu hỏi làm thế nào để giải quyết các phân số đại số được xem xét. Các ví dụ được đưa ra trong bài viết sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về tài liệu.

1. Quy đổi các phân số và quy về mẫu số chung.

2. Quy đổi các phân số và quy về mẫu số chung.

Sau khi học phần lý thuyết và xem xét các vấn đề thực tế, không nên phát sinh thêm câu hỏi nào nữa.

Phân công và tử số và mẫu số của phân số trên ước số chung, khác với sự thống nhất, được gọi là giảm phân số.

Để rút gọn một phân số chung, bạn cần chia tử số và mẫu số của nó cho cùng một số tự nhiên.

Số này là ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số của phân số đã cho.

Những điều sau đây có thể các mẫu hồ sơ quyết định Ví dụ cho việc rút gọn các phân số thông thường.

Học sinh có quyền lựa chọn bất kỳ hình thức ghi chép nào.

Các ví dụ. Đơn giản hóa phân số.

Rút gọn phân số đi 3 (chia tử số cho 3;

chia mẫu số cho 3).

Chúng tôi giảm phân số đi 7.

Chúng tôi thực hiện các hành động được chỉ định ở tử số và mẫu số của phân số.

Phân số thu được giảm đi 5.

Hãy giảm phần này đi 4) trên 5 7³- ước chung lớn nhất (GCD) của tử số và mẫu số, bao gồm các thừa số chung của tử số và mẫu số được lấy thành lũy thừa với số mũ nhỏ nhất.

Chúng ta hãy phân tích tử số và mẫu số của phân số này thành các thừa số đơn giản.

Chúng tôi nhận được: 756 = 2² 3³ 7 và 1176 = 2³ 3 7².

Xác định GCD (ước chung lớn nhất) của tử số và mẫu số của phân số 5) .

Đây là tích của các thừa số chung được lấy với số mũ nhỏ nhất.

gcd (756; 1176) = 2² 3 7.

Chúng tôi chia tử số và mẫu số của phân số này cho GCD của chúng, tức là 2² 3 7 chúng tôi nhận được một phân số bất khả quy 9/14 .

Và có thể viết các khai triển của tử số và mẫu số dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố, mà không cần sử dụng khái niệm bậc, sau đó rút gọn phân số bằng cách gạch bỏ các thừa số giống nhau ở tử số và mẫu số. Khi không còn thừa số nào trùng nhau, ta nhân các thừa số còn lại riêng ở tử số và riêng ở mẫu số rồi viết ra phân số thu được. 9/14 .

Và cuối cùng, có thể giảm phần này 5) dần dần, áp dụng các dấu hiệu của phép chia các số cho cả tử số và mẫu số của phân số. Hãy nghĩ như thế này: những con số 756 và 1176 kết thúc bằng một số chẵn, vì vậy cả hai đều chia hết cho 2 . Chúng tôi giảm phân số đi 2 . Tử số và mẫu số của phân số mới là số 378 và 588 cũng được chia thành 2 . Chúng tôi giảm phân số đi 2 . Chúng tôi nhận thấy rằng số 294 - thậm chí, và 189 là số lẻ và không còn khả năng giảm đi 2 nữa. Hãy kiểm tra dấu hiệu chia hết của các số 189 và 294 trên 3 .

(1 + 8 + 9) = 18 chia hết cho 3 và (2 + 9 + 4) = 15 chia hết cho 3, do đó chính các số 189 và 294 được chia ra làm 3 . Chúng tôi giảm phân số đi 3 . Hơn nữa, 63 chia hết cho 3 và 98 - Không. Lặp lại các thừa số nguyên tố khác. Cả hai số đều chia hết cho 7 . Chúng tôi giảm phân số đi 7 và nhận được phân số bất khả quy 9/14 .

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các phép toán cơ bản với phân số đại số:

giảm phân số
phép nhân phân số
chia phân số

Hãy bắt đầu với viết tắt của phân số đại số.

Có vẻ như, thuật toán rõ ràng.

Đến giảm phân số đại số, cần

1. Nhân tử số và mẫu số của một phân số.

2. Giảm các cấp số nhân giống nhau.

Tuy nhiên, học sinh thường mắc sai lầm là không "giảm bớt" các yếu tố mà là các điều khoản. Ví dụ, có những người nghiệp dư đã "giảm" theo phân số và nhận được kết quả, tất nhiên, điều này không đúng.

Hãy xem xét các ví dụ:

1. Giảm phân số:

1. Ta phân tích tử số theo công thức bình phương tổng và mẫu số theo công thức hiệu bình phương.

2. Chia tử số và mẫu số cho

2. Giảm phân số:

1. Nhân tử số. Vì tử số chứa bốn số hạng nên chúng tôi áp dụng cách nhóm.

2. Quy đồng mẫu số. Điều tương tự cũng áp dụng cho việc phân nhóm.

3. Hãy viết ra phân số mà chúng ta nhận được và rút gọn các thừa số giống nhau:

Phép nhân các phân số đại số.

Khi nhân phân số đại số, ta nhân tử số với tử số, nhân mẫu số với mẫu số.

Quan trọng! Không cần vội vàng thực hiện phép nhân ở tử số và mẫu số của một phân số. Sau khi đã viết tích các tử số của phân số ở tử số và tích các mẫu số ở mẫu số, chúng ta cần nhân từng thừa số và rút gọn phân số.

Hãy xem xét các ví dụ:

3. Đơn giản hóa biểu thức:

1. Hãy viết tích của các phân số: ở tử số là tích của các tử số và ở mẫu số là tích của các mẫu số:

2. Chúng tôi phân tích nhân tử từng dấu ngoặc:

Bây giờ chúng ta cần giảm số nhân giống nhau. Lưu ý rằng các biểu thức và chỉ khác nhau ở dấu hiệu: và kết quả của việc chia biểu thức đầu tiên cho biểu thức thứ hai, chúng ta nhận được -1.

Vì thế,

Ta thực hiện phép chia các phân số đại số theo quy tắc sau:

Đó là Để chia cho một phân số, bạn cần nhân với một "đảo ngược".

Chúng ta thấy rằng phép chia các phân số được rút gọn thành phép nhân, và phép nhân cuối cùng dẫn đến việc rút gọn phân số.

Hãy xem xét một ví dụ:

4. Đơn giản hóa biểu thức: