Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga

Ngân sách Nhà nước Liên bang Cơ quan Giáo dục Giáo dục Chuyên nghiệp Cao cấp

"Đại học Công nghệ Bang Kuban"

Cơ học lý thuyết

Phần 2 động lực học

Được sự chấp thuận của Tòa soạn và Xuất bản

hội đồng đại học với tư cách là

hướng dẫn học tập

Krasnodar

UDC 531,1 / 3 (075)

Cơ học lý thuyết. Phần 2. Động lực học: SGK / L.I.Draiko; Kuban. trạng thái technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 tr.

ISBN 5-230-06865-5

Tài liệu lý thuyết được trình bày dưới dạng ngắn gọn, đưa ra các ví dụ về giải quyết vấn đề, hầu hết phản ánh các vấn đề kỹ thuật thực tế, chú ý đến việc lựa chọn phương pháp giải hợp lý.

Nó dành cho các cử nhân văn thư và các hình thức giáo dục từ xa trong các lĩnh vực xây dựng, giao thông và kỹ thuật.

Chuyển hướng. 1 Hình. 68 Thư mục. 20 đầu sách

Chủ biên khoa học Ứng viên KHKT, PGS.TS. V.F. Melnikov

Các phản biện: Trưởng Bộ môn Cơ lý thuyết và Lý thuyết Cơ học và Máy của Đại học Nông nghiệp Kuban prof. F.M. Kanarev; Phó Giáo sư Khoa Cơ học Lý thuyết của Đại học Công nghệ Bang Kuban M.E. Multykh

Được xuất bản theo quyết định của Hội đồng Biên tập và Xuất bản của Đại học Công nghệ Bang Kuban.

Phát hành lại

ISBN 5-230-06865-5 KubGTU 1998

Lời tựa

Hướng dẫn nghiên cứu này dành cho sinh viên hình thức thư từ s giảng dạy các chuyên ngành xây dựng, giao thông và kỹ thuật, nhưng có thể được sử dụng khi học phần "Động lực học" của khóa học cơ học lý thuyết của sinh viên bán thời gian của các chuyên ngành khác, cũng như sinh viên. hình thức hàng ngày vừa học vừa làm việc độc lập.

Sách hướng dẫn được biên soạn phù hợp với chương trình hiện hành của môn học Cơ khí lý thuyết, bao hàm tất cả các vấn đề thuộc phần chính của môn học. Mỗi phần chứa một tài liệu lý thuyết ngắn gọn, có kèm theo hình ảnh minh họa và hướng dẫn sử dụng tài liệu đó để giải quyết vấn đề. Sổ tay hướng dẫn phân tích giải pháp của 30 nhiệm vụ phản ánh các vấn đề thực tế của công nghệ và các nhiệm vụ kiểm soát tương ứng đối với quyết định độc lập. Đối với mỗi nhiệm vụ, một sơ đồ tính toán được trình bày minh họa rõ ràng giải pháp. Thiết kế của giải pháp tuân thủ các yêu cầu đối với việc thiết kế các kỳ thi của sinh viên bán thời gian.

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô Bộ môn Cơ lý thuyết và Bộ môn Cơ học và Máy của trường Đại học Nông nghiệp Kuban đã công việc tuyệt vờiđã xem xét sách giáo khoa, cũng như các thầy cô của Khoa Cơ lý thuyết của Đại học Công nghệ Bang Kuban để có những ý kiến ​​đóng góp và lời khuyên quý báu về việc chuẩn bị xuất bản cuốn sách này.

Mọi ý kiến ​​phản biện và mong muốn sẽ được tác giả đón nhận với lòng biết ơn trong thời gian tới.

Giới thiệu

Động lực học là nhánh quan trọng nhất của cơ học lý thuyết. Hầu hết các nhiệm vụ cụ thể xảy ra trong thực hành kỹ thuật liên quan đến động lực học. Sử dụng các kết luận của tĩnh học và động học, động lực học thiết lập các quy luật chung về chuyển động của các cơ thể vật chất dưới tác dụng của các lực tác dụng.

Đối tượng vật chất đơn giản nhất là một điểm vật chất. Đối với một điểm vật chất, người ta có thể coi một vật thể có hình dạng bất kỳ, các kích thước của nó trong bài toán đang xét có thể được bỏ qua. Một vật có kích thước hữu hạn có thể được coi như một điểm vật chất nếu sự khác biệt trong chuyển động của các điểm của nó là không đáng kể đối với một bài toán đã cho. Điều này xảy ra khi kích thước của cơ thể nhỏ so với khoảng cách mà các điểm của cơ thể đi qua. Mọi hạt cơ thể cường tráng nó có thể được coi là điểm vật chất.

Các lực tác dụng lên một điểm hoặc một vật chất được đánh giá trong động học bằng tác động động của chúng, tức là bằng cách chúng thay đổi các đặc tính của chuyển động của các đối tượng vật chất.

Chuyển động của các đối tượng vật chất theo thời gian diễn ra trong không gian tương đối với một hệ quy chiếu nhất định. Trong cơ học cổ điển, dựa trên tiên đề Newton, không gian được coi là không gian ba chiều, các tính chất của nó không phụ thuộc vào các đối tượng vật chất chuyển động trong nó. Vị trí của một điểm trong không gian như vậy được xác định bởi ba tọa độ. Thời gian không kết nối với không gian và chuyển động của các đối tượng vật chất. Nó được coi là giống nhau đối với tất cả các hệ quy chiếu.

Các định luật động lực học mô tả chuyển động của các đối tượng vật chất liên quan đến các trục tọa độ tuyệt đối, được quy ước là bất động. Gốc của hệ tọa độ tuyệt đối được lấy tại tâm của Mặt trời, và các trục hướng đến các ngôi sao ở xa, đứng yên có điều kiện. Khi giải quyết nhiều vấn đề kỹ thuật, văn phòng phẩm có điều kiện có thể được coi là trục tọa độ liên kết với trái đất.

Tùy chọn chuyển động cơ học các đối tượng vật chất trong động lực học được thiết lập bằng các suy luận toán học từ các định luật cơ bản của cơ học cổ điển.

Định luật thứ nhất (định luật quán tính):

Điểm vật liệu duy trì trạng thái nghỉ ngơi hoặc đồng nhất và chuyển động thẳng cho đến khi hành động của bất kỳ thế lực nào sẽ đưa cô ấy ra khỏi trạng thái này.

Chuyển động thẳng đều và thẳng góc của một điểm được gọi là chuyển động theo quán tính. Nghỉ là một trường hợp đặc biệt của chuyển động theo quán tính, khi tốc độ của chất điểm bằng không.

Bất kỳ điểm vật chất nào cũng có quán tính, tức là nó có xu hướng duy trì trạng thái nghỉ hoặc chuyển động thẳng đều. Hệ quy chiếu, liên quan đến định luật quán tính được thỏa mãn, được gọi là quán tính, và chuyển động quan sát được trong quan hệ với hệ quy chiếu này được gọi là tuyệt đối. Bất kỳ hệ quy chiếu nào thực hiện chuyển động tịnh tiến và chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu quán tính cũng sẽ là hệ quy chiếu quán tính.

Định luật thứ hai (định luật cơ bản của động lực học):

Gia tốc của chất điểm so với hệ quy chiếu quán tính tỉ lệ thuận với lực tác dụng lên chất điểm và trùng với lực theo phương:
.

Nó tuân theo quy luật cơ bản của động lực học mà với một lực
sự tăng tốc
. Khối lượng của một điểm đặc trưng cho mức độ cản trở của một điểm đối với sự thay đổi tốc độ của nó, nghĩa là nó là đơn vị đo quán tính của một chất điểm.

Luật thứ ba (luật hành động và phản ứng):

Lực mà hai vật tác dụng lên nhau có độ lớn bằng nhau và hướng dọc theo một đường thẳng ngược chiều nhau.

Lực lượng được gọi là hành động và phản ứng được áp dụng cho cơ thể khác nhau và do đó không tạo thành một hệ thống cân bằng.

Định luật thứ tư (quy luật về sự độc lập của tác dụng của các lực):

Với tác dụng đồng thời của một số lực, gia tốc của một chất điểm bằng tổng hình học của các gia tốc mà chất đó sẽ có khi chịu tác dụng của từng lực riêng biệt:

, ở đâu
,
,…,
.

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ THỰC PHẨM CỘNG HÒA BELARUS

Tổ chức giáo dục "BELARUSIAN STATE AGRARIAN

ĐẠI HỌC KỸ THUẬT"

Bộ môn Cơ lý thuyết và Lý thuyết Cơ khí và Máy

CƠ HỌC LÝ THUYẾT

phức hợp phương pháp luận cho sinh viên thuộc nhóm các chuyên ngành

74 06 Cơ khí nông nghiệp

Trong 2 phần Phần 1

UDC 531.3 (07) LBC 22.213ya7 T 33

Tổng hợp bởi:

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học, Phó Giáo sư Yu. S. Biza, ứng cử viên khoa học kỹ thuật, Phó giáo sư N. L. Rakova, Giảng viên chính I. A. Tarasevich

Người đánh giá:

Phòng Cơ lý thuyết của Cơ sở Giáo dục "Quốc gia Belarus Đại học kỹ thuật" (đầu

Khoa Cơ học lý thuyết BNTU Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, Giáo sư A. V. Chigarev);

Nhà nghiên cứu hàng đầu của Phòng thí nghiệm "Bảo vệ rung động của các hệ thống cơ khí" Viện Khoa học Nhà nước "Viện Cơ khí Liên hợp

Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Belarus ”, Ứng viên Khoa học Kỹ thuật, Phó Giáo sư A. M. Goman

Cơ học lý thuyết. Phần "Dynamics": giáo dục

Phương pháp T33. tổ hợp. Trong 2 phần. Phần 1 / biên soạn: Yu S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. - Minsk: BGATU, 2013. - 120 tr.

ISBN 978-985-519-616-8.

TẠI phức hợp giáo dục và phương pháp trình bày tài liệu nghiên cứu phần "Động lực học", phần 1, thuộc chuyên ngành "Cơ học lý thuyết". Bao gồm một quá trình bài giảng, tài liệu cơ bản để thực hiện bài tập thực hành, các nhiệm vụ và các mẫu nhiệm vụ cho công việc độc lập và kiểm soát hoạt động học tập sinh viên toàn thời gian và bán thời gian.

UDC 531.3 (07) LBC 22.213ya7

GIỚI THIỆU ................................................. ...
1. NỘI DUNG KHOA HỌC VÀ LÝ LUẬN CỦA GIÁO DỤC
TỔNG HỢP PHƯƠNG PHÁP HỌC ............................................. ..
1.1. Bảng chú giải................................................. ................................
1.2. Các chủ đề của bài giảng và nội dung của chúng .............................................. .. ..
Chương 1. Giới thiệu về động lực học. Các khái niệm cơ bản
cơ học cổ điển ... ..................
Chủ đề 1. Động lực học của một chất điểm .......................................... ....
1.1. Định luật động lực học chất điểm
(định luật Galileo - Newton) ........................................... ... ..........
1.2. Phương trình vi phân của chuyển động
1.3. Hai nhiệm vụ chính của động lực học ............................................. .............
Chủ đề 2. Động lực học của chuyển động tương đối
điểm nguyên vật liệu ... ................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Chủ đề 3. Động lực học hệ thống cơ khí.....................................
3.1. Hình học khối lượng. Khối tâm của một hệ cơ ......
3.2. Nội lực ................................................ .................. ...............
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Chủ đề 4. Mômen quán tính của vật cứng .......................................
4.1. Mômen quán tính của một vật cứng
so với trục và cực ............................................ ...................... .....
4.2. Định lý về mômen quán tính của vật cứng
về các trục song song
(Định lý Huygens-Steiner) .............................................. .. ...
4.3. Mômen quán tính ly tâm .............................................. .
Câu hỏi ôn tập ... .................. ............
chương 2 Định lý chungđộng lực điểm vật chất

Chủ đề 5. Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ ...............................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 6. Lượng chuyển động của một chất điểm
và hệ thống cơ khí ... ................
6.1. Số lượng chuyển động của một điểm vật chất 43
6.2. Lực xung kích ...... ... .......................
6.3. Định lý về sự thay đổi động lượng
điểm nguyên vật liệu ... ................
6.4. Định lý thay đổi vectơ chính
Động lượng của một hệ cơ học ..........................................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 7. Mômen động lượng của một chất điểm
và hệ thống cơ học so với tâm và trục ..................................
7.1. Mômen động lượng của một chất điểm
so với tâm và trục ... .................. ...........
7.2. Định lý về sự thay đổi momen động lượng
điểm của vật liệu so với tâm và trục ...
7.3. Định lý về sự thay đổi của mômen động học
hệ cơ so với tâm và trục ..................................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 8. Công và công của các lực .......................................... .........
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 9. Động năng của chất điểm
và hệ thống cơ khí ... ................
9.1. Động năng của một chất điểm
và hệ thống cơ khí. Định lý Koenig ...............................
9.2. Động năng của vật cứng
với các chuyển động khác nhau ... ................... .............
9.3. Thay đổi định lý động năng
điểm nguyên vật liệu ... ................

9.4. Định lý thay đổi động năng
hệ thống cơ khí ................................................ .................. ................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 10. Trường lực thế
và tiềm năng ................ .................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Chủ đề 11. Động lực học của vật cứng .......................................... .......... .......
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
2. VẬT LIỆU ĐỂ KIỂM SOÁT
THEO ĐIỀU HÒA .................................................................. ... ...
CÔNG VIỆC ĐỘC LẬP CỦA SINH VIÊN ..............................
4. YÊU CẦU THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN
CÔNG VIỆC DÀNH CHO SINH VIÊN TOÀN THỜI GIAN VÀ KHẮC PHỤC
HÌNH THỨC ĐÀO TẠO .................
5. DANH SÁCH CÂU HỎI CHUẨN BỊ
ĐẾN BÀI THI (NGHIÊN CỨU) CỦA HỌC SINH
GIÁO DỤC TOÀN THỨ VÀ KHẮC PHỤC ............................................ ......
6. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................. .. ............

GIỚI THIỆU

Cơ học lý thuyết là khoa học về các quy luật chung của chuyển động cơ học, cân bằng và tương tác của các cơ thể vật chất.

Đây là một trong những ngành khoa học vật lý và toán học đại cương cơ bản. Nó là cơ sở lý thuyết của công nghệ hiện đại.

Việc nghiên cứu cơ học lý thuyết, cùng với các ngành vật lý và toán học khác, góp phần mở rộng chân trời khoa học, hình thành khả năng cụ thể hóa và tư duy trừu tượng và góp phần cải thiện văn hóa kỹ thuật chung của các chuyên gia tương lai.

Cơ học lý thuyết, là cơ sở khoa học của tất cả ngành kỹ thuật, góp phần phát triển các kỹ năng quyết định hợp lý nhiệm vụ kỹ thuật gắn liền với việc vận hành, sửa chữa và thiết kế các máy móc thiết bị nông nghiệp và khai hoang.

Theo bản chất của các nguyên công đang xem xét, cơ học được chia thành tĩnh, động học và động lực học. Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các vật chất dưới tác dụng của các lực tác dụng.

TẠI giáo dục và phương pháp complex (UMK) trình bày các tài liệu về nghiên cứu phần "Động lực học", bao gồm một quá trình bài giảng, các tài liệu cơ bản để tiến hành công việc thực tế, nhiệm vụ và các mẫu thực thi cho làm việc độc lập và kiểm soát các hoạt động giáo dục của sinh viên bán thời gian toàn thời gian.

TẠI kết quả của việc học phần "Động lực học", học sinh phải học cơ sở lý thuyếtđộng lực học và nắm vững các phương pháp cơ bản để giải các bài toán về động lực học:

Biết phương pháp giải các bài toán về động lực học, các định lý chung về động lực học, các nguyên lý cơ học;

Để có thể xác định quy luật chuyển động của vật phụ thuộc vào các lực tác dụng lên nó; áp dụng các định luật và định lý cơ học để giải quyết vấn đề; xác định phản ứng tĩnh và động của các liên kết giới hạn chuyển động của các vật.

Chương trình học của môn học "Cơ học lý thuyết" cung cấp tổng số giờ học trên lớp - 136, trong đó có 36 giờ học phần "Động lực học".

1. NỘI DUNG KHOA HỌC VÀ LÝ LUẬN CỦA TỔNG HỢP GIÁO DỤC VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1.1. Bảng chú giải

Tin học là một phần của cơ học trình bày các học thuyết tổng quát về lực, sự giảm được nghiên cứu hệ thống phức tạp lực ở dạng đơn giản nhất và điều kiện cân bằng được thiết lập các hệ thống khác nhau các lực lượng.

Động học là một phần của cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu chuyển động của các đối tượng vật chất, bất kể nguyên nhân nào gây ra chuyển động này, tức là bất kể các lực tác dụng lên các vật này.

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các vật (chất điểm) dưới tác dụng của lực tác dụng.

Điểm nguyên liệu- một cơ thể vật chất, sự khác biệt trong chuyển động của các điểm là không đáng kể.

Khối lượng của một vật là một giá trị dương vô hướng phụ thuộc vào lượng vật chất chứa trong một vật nhất định và xác định số đo quán tính của nó trong quá trình chuyển động tịnh tiến.

Hệ quy chiếu - một hệ tọa độ liên kết với vật thể, liên quan đến chuyển động của vật thể khác đang được nghiên cứu.

hệ thống quán tính- một hệ thống trong đó các định luật động lực học thứ nhất và thứ hai được đáp ứng.

Động lượng của một lực là một đại lượng véc tơ đo tác dụng của một lực trong một thời gian nào đó.

Số lượng chuyển động của một điểm vật chất là số đo vectơ của chuyển động của nó, ngang bằng với sản phẩm khối lượng của một điểm bằng vectơ vận tốc của nó.

Động năng là một đại lượng vô hướng của chuyển động cơ học.

Công việc cơ bản của lực lượng là một số thập phân vô hướng tương đương với sản phẩm chấm vectơ của lực đối với vectơ của độ dời tỉ lệ của điểm tác dụng của lực.

Động năng là một đại lượng vô hướng của chuyển động cơ học.

Động năng của một chất điểm là một chất vô hướng

một giá trị dương bằng nửa tích khối lượng của một chất điểm và bình phương tốc độ của nó.

Động năng của hệ cơ học là một cấp số cộng

tổng động năng của động năng của tất cả các chất điểm của hệ này.

Lực là đại lượng đo tương tác cơ học của các vật thể, đặc trưng cho cường độ và hướng của nó.

1.2. Chủ đề bài giảng và nội dung của chúng

Mục 1. Giới thiệu về động lực học. Các khái niệm cơ bản

cơ học cổ điển

Chủ đề 1. Động lực học của một chất điểm

Các định luật động lực học của chất điểm (định luật Galileo - Newton). Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Hai nhiệm vụ chính của động lực học đối với một điểm vật chất. Lời giải của bài toán thứ hai về động lực học; các hằng số tích phân và việc xác định chúng từ các điều kiện ban đầu.

Tài liệu tham khảo:, trang 180-196, trang 12-26.

Chủ đề 2. Động lực học chuyển động tương đối của vật

Chuyển động tương đối của một chất điểm. Phương trình vi phân của chuyển động tương đối của một điểm; di động và lực quán tính Coriolis. Nguyên lý tương đối trong cơ học cổ điển. Một trường hợp nghỉ ngơi tương đối.

Tài liệu tham khảo:, trang 180-196, trang 127-155.

Chủ đề 3. Hình học các khối chóp. Khối lượng tâm của một hệ thống cơ học

Khối lượng của hệ thống. Khối tâm của hệ và tọa độ của nó.

Văn học :, trang 86-93, trang 264-265

Chủ đề 4. Mômen quán tính của vật cứng

Mômen quán tính của một vật cứng về trục và cực. Bán kính quán tính. Định lý về mômen quán tính về các trục song song. Mômen quán tính dọc trục của một số vật thể.

Mômen quán tính ly tâm như một đặc trưng của sự bất đối xứng của cơ thể.

Tài liệu tham khảo:, trang 265-271, trang 155-173.

Phần 2. Các định lý chung về động lực học của chất điểm

và hệ thống cơ khí

Chủ đề 5. Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ

Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ. Hệ quả từ định lý về chuyển động của khối tâm của hệ.

Tài liệu tham khảo:, trang 274-277, trang 175-192.

Chủ đề 6. Lượng chuyển động của một chất điểm

và hệ thống cơ khí

Lượng chuyển động của một chất điểm và một hệ cơ học. Xung cơ bản và xung lượng của lực đối với nhịp cuối thời gian. Định lý về sự thay đổi động lượng của một điểm và một hệ ở dạng vi phân và tích phân. Định luật bảo toàn động lượng.

Văn học:, trang 280-284,, trang 192-207.

Chủ đề 7. Mômen động lượng của một chất điểm

và hệ thống cơ học so với tâm và trục

Mômen động lượng của một điểm đối với tâm và trục. Định lý về sự thay đổi momen động lượng của một chất điểm. Động năng của một hệ cơ học về tâm và trục.

Mômen động lượng của một vật cứng quay quanh trục quay. Định lý về sự thay đổi mômen động năng của hệ. Định luật bảo toàn động lượng.

Tài liệu tham khảo:, trang 292-298, trang 207-258.

Chủ đề 8. Công và công của các lực

Công cơ bản của lực, biểu thức phân tích của nó. Công việc của lực lượng trên con đường cuối cùng. Công của trọng lực, lực đàn hồi. Bằng không của tổng số tác phẩm Nội lực hoạt động trong một chất rắn. Công của các lực tác dụng lên một vật cứng quay quanh một trục cố định. Quyền lực. Hiệu quả.

Tài liệu tham khảo:, trang 208-213, trang 280-290.

Chủ đề 9. Động năng của chất điểm

và hệ thống cơ khí

Động năng của một chất điểm và một hệ cơ. Tính động năng của vật cứng trong các trường hợp chuyển động của nó. Định lý Koenig. Định lý về sự thay đổi động năng của một điểm ở dạng vi phân và tích phân. Định lý về sự thay đổi động năng của hệ cơ ở dạng vi phân và tích phân.

Tài liệu tham khảo:, trang 301-310, trang 290-344.

Chủ đề 10. Thế năng và trường lực thế

Khái niệm về trường lực. Trường lực thế và cơ năng. Công của một lực đối với độ dời cuối cùng của một điểm trong trường lực thế năng. Năng lượng tiềm năng.

Tài liệu tham khảo:, trang 317-320,, trang 344-347.

Chủ đề 11. Động lực học thân cứng

Phương trình vi phân chuyển động về phía trước cơ thể cường tráng. Phương trình vi phân chuyển động quay thân cứng quanh một trục cố định. con lắc vật lý. Phương trình vi phân của chuyển động phẳng của vật cứng.

Tài liệu tham khảo:, trang 323-334,, trang 157-173.

Mục 1. Giới thiệu về động lực học. Các khái niệm cơ bản

cơ học cổ điển

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các vật (chất điểm) dưới tác dụng của lực tác dụng.

cơ thể vật chất- một vật có khối lượng.

Điểm nguyên liệu- một cơ thể vật chất, sự khác biệt trong chuyển động của các điểm là không đáng kể. Đây có thể là một vật thể, các kích thước có thể bị bỏ qua trong quá trình chuyển động của nó, hoặc một vật thể có các chiều hữu hạn, nếu nó di chuyển về phía trước.

Các hạt còn được gọi là điểm vật chất, trong đó một vật rắn được phân chia về mặt tinh thần khi xác định một số đặc điểm động của nó. Ví dụ về các điểm vật chất (Hình 1): a - chuyển động của Trái đất quanh Mặt trời. Trái đất là một chất điểm; b là chuyển động tịnh tiến của một vật thể cứng. Cơ thể rắn chắc là mẹ-

điểm al, vì V B \ u003d V A; a B = a A; c - chuyển động quay của vật quanh trục.

Một hạt cơ thể là một điểm vật chất.

Quán tính là đặc tính của các vật chất để thay đổi tốc độ chuyển động của chúng nhanh hơn hoặc chậm hơn dưới tác dụng của các lực tác dụng.

Khối lượng của một vật là một giá trị dương vô hướng phụ thuộc vào lượng vật chất chứa trong một vật nhất định và xác định số đo quán tính của nó trong quá trình chuyển động tịnh tiến. Trong cơ học cổ điển, khối lượng là một hằng số.

Lực lượng - thước đo định lượng tương tác cơ học giữa các vật thể hoặc giữa vật thể (điểm) và trường (điện, từ, v.v.).

Lực là đại lượng vectơ đặc trưng bởi độ lớn, điểm tác dụng và hướng (đường tác dụng) (Hình 2: A - điểm tác dụng; AB - đường tác dụng của lực).

Cơm. 2

Trong động lực học, cùng với các lực không đổi, còn có các lực thay đổi có thể phụ thuộc vào thời gian t, tốc độ ϑ, quãng đường r, hoặc vào sự kết hợp của các đại lượng này, tức là

F = const;

F = F (t);

F = F (ϑ);

F = F (r);

F = F (t, r, ϑ).

	Ví dụ về các lực như vậy được thể hiện trong Hình. 3: a										- trọng lượng cơ thể;
			(ϑ) - lực cản không khí; b -		T =						- lực kéo

đầu máy điện; c - F = F (r) là lực đẩy từ tâm O hoặc lực hút nó.

Hệ quy chiếu - một hệ tọa độ liên kết với vật thể, liên quan đến chuyển động của vật thể khác đang được nghiên cứu.

Hệ thống quán tính là một hệ thống trong đó các định luật thứ nhất và thứ hai của động lực học được thực hiện. Đây là một hệ tọa độ cố định hoặc một hệ thống chuyển động đều và tuyến tính.

Chuyển động trong cơ học là sự thay đổi vị trí của một vật trong không gian và thời gian so với các vật khác.

Không gian trong cơ học cổ điển là không gian ba chiều, tuân theo hình học Euclide.

Thời gian là một đại lượng vô hướng chảy theo cùng một cách trong bất kỳ hệ quy chiếu nào.

Một hệ thống đơn vị là một tập hợp các đơn vị đo lường đại lượng vật lý. Để đo tất cả các đại lượng cơ học, ba đơn vị cơ bản là đủ: đơn vị đo độ dài, thời gian, khối lượng hoặc lực.

Cơ khí	Kích thước		Ký hiệu	Kích thước	Ký hiệu
kích cỡ
				centimet
	kg-

Tất cả các đơn vị đo đại lượng cơ học khác đều là dẫn xuất của các đại lượng này. Hai loại hệ thống đơn vị được sử dụng: hệ thống quốc tếĐơn vị SI (hoặc nhỏ hơn - CGS) và hệ thống kỹ thuật của đơn vị - MKGSS.

Chủ đề1. Động lực điểm vật chất

1.1. Các định luật động lực học của một chất điểm (định luật Galileo - Newton)

Định luật đầu tiên (về quán tính).

bị cô lập từ ảnh hưởng bên ngoài một điểm vật chất duy trì trạng thái nghỉ hoặc chuyển động thẳng đều và tuyến tính cho đến khi các lực tác dụng buộc nó thay đổi trạng thái này.

Chuyển động của một điểm trong trường hợp không có lực hoặc chịu tác dụng của hệ lực cân bằng được gọi là chuyển động theo quán tính.

Ví dụ, chuyển động của một vật dọc theo một mặt phẳng (lực ma sát bằng không) đi-

bề mặt nằm ngang (Hình 4: G - trọng lượng cơ thể; N - phản ứng bình thường máy bay).

Vì G = - N nên G + N = 0.

Khi ϑ 0 ≠ 0 vật chuyển động với cùng tốc độ; tại ϑ 0 = 0 vật đứng yên (ϑ 0 là vận tốc ban đầu).

Định luật thứ hai (định luật cơ bản của động lực học).

Tích của khối lượng của một chất điểm và gia tốc mà nó nhận được dưới tác dụng của một lực cho trước thì lực này có giá trị tuyệt đối bằng giá trị tuyệt đối và hướng của nó trùng với hướng của gia tốc.

a b

Về mặt toán học, định luật này được biểu thị bằng đẳng thức vectơ

Đối với F = const,

a = const - chuyển động của chất điểm là đều. EU-

liệu a ≠ const, α

- chuyển động chậm (Hình 5, nhưng);

a ≠ const,

một -

- chuyển động có gia tốc (Hình 5, b); m - khối lượng chất điểm;

vectơ gia tốc;

- vectơ lực; ϑ 0 là vectơ vận tốc).

Tại F = 0, a 0 = 0 = ϑ 0 = const - chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều và tuần hoàn, hoặc tại ϑ 0 = 0 - chất điểm đứng yên (định luật quán tính). Thứ hai

luật cho phép bạn thiết lập mối quan hệ giữa khối lượng m của một vật thể nằm gần bề mặt trái đất và trọng lượng của nó G .G = mg, trong đó g là

Gia tốc trọng lực.

Định luật thứ ba (quy luật bình đẳng của hành động và phản ứng). Hai chất điểm tác dụng vào nhau những lực có độ lớn bằng nhau và hướng theo đường thẳng nối

những điểm này, theo hướng ngược nhau.

Vì lực F 1 = - F 2 tác dụng lên những điểm khác nhau, khi đó hệ lực (F 1, F 2) không cân bằng, tức là (F 1, F 2) ≈ 0 (Hình 6).

Đến lượt nó

m a = m a

- thái độ

khối lượng của các điểm tương tác tỷ lệ nghịch với gia tốc của chúng.

Định luật thứ tư (quy luật về sự độc lập trong tác dụng của các lực). Gia tốc nhận được của một điểm dưới tác dụng của một

nhưng một số lực lượng tổng hình học những gia tốc mà một điểm sẽ nhận được dưới tác dụng của từng lực riêng biệt lên nó.

Giải thích (Hình 7).

t a n

a 1 a kF n

Kết quả của lực R (F 1, ... F k, ... F n).

Vì ma = R, F 1 = ma 1, ..., F k = ma k, ..., F n = ma n nên

a = a 1 + ... + a k + ... + a n = ∑ a k, tức là luật thứ tư tương đương với

k = 1

quy tắc cộng lực.

1.2. Phương trình vi phân của chuyển động của một chất điểm

Cho một số lực tác dụng đồng thời lên một chất điểm, trong đó có cả hằng số và biến số.

Chúng tôi viết định luật thứ hai của động lực học dưới dạng

= ∑

(t,

k = 1

, ϑ=

r là vectơ bán kính của chuyển động

thì (1.2) chứa các đạo hàm của r và là một phương trình vi phân chuyển động của một điểm vật chất ở dạng vectơ hoặc phương trình cơ bản của động lực học của một điểm vật chất.

Phép chiếu của đẳng thức vectơ (1.2): - trên trục tọa độ Descartes (Hình 8, nhưng)

max = md
					= ∑Fkx;
					k = 1
may = md
					= ∑Fky;	(1.3)
					k = 1
maz = m					= ∑Fkz;
					k = 1

Trên trục tự nhiên (Hình 8, b)

chiếu				= ∑ Fk τ,
				k = 1
				= ∑ F k n;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

b trên o

Phương trình (1.3) và (1.4) là phương trình vi phân chuyển động của một điểm vật chất theo trục tọa độ Descartes và trục tự nhiên, tức là phương trình vi phân tự nhiên thường được sử dụng cho chuyển động cong của một điểm nếu quỹ đạo của điểm và bán kính cong của nó đã biết.

1.3. Hai vấn đề chính của động lực học đối với một điểm vật liệu và giải pháp của chúng

Nhiệm vụ đầu tiên (trực tiếp).

Biết quy luật chuyển động và khối lượng của chất điểm, xác định được lực tác dụng lên chất điểm.

Để giải quyết vấn đề này, bạn cần biết gia tốc của chất điểm. Trong các bài toán dạng này, nó có thể được xác định trực tiếp, hoặc quy luật chuyển động của một điểm được chỉ định, phù hợp với nó có thể được xác định.

1. Vì vậy, nếu chuyển động của một điểm được cho trong hệ tọa độ Descartes

x \ u003d f 1 (t), y \ u003d f 2 (t) và z \ u003d f 3 (t) thì các hình chiếu của gia tốc được xác định

trên trục tọa độ x =		d2x			d2y			d2z		Và sau đó - dự án-
Các lực F x, F y và F z trên các trục này:
				, k) = F F z. (1.6) 2. Nếu điểm cam kết chuyển động cong và định luật chuyển động đã biết s = f (t), quỹ đạo của điểm và bán kính cong ρ của nó, khi đó thuận tiện khi sử dụng các trục tự nhiên và hình chiếu gia tốc trên các trục này được xác định bằng các công thức nổi tiếng: Trục tiếp tuyến a τ = d ϑ = d 2 2 s - gia tốc tiếp tuyến; dt dt Trang chủ ds 2 a n = ϑ 2 = dt là gia tốc pháp tuyến. Hình chiếu của gia tốc lên đồ thị bằng không. Khi đó hình chiếu của lực lên các trục tự nhiên F = m F = m Môđun và phương của lực được xác định theo công thức: F \ u003d F τ 2 + F n 2; cos ( ; cos ( Nhiệm vụ thứ hai (nghịch đảo). Biết các lực tác dụng lên chất điểm, khối lượng của nó và điều kiện ban đầu chuyển động, xác định quy luật chuyển động của một chất điểm hoặc bất kỳ đặc điểm động học nào của nó. Điều kiện ban đầu cho chuyển động của một điểm trong trục Descartes là tọa độ của điểm x 0, y 0, z 0 và hình chiếu của vận tốc ban đầu ϑ 0 lên các trục ϑ 0 x \ u003d x 0, ϑ 0 y \ u003d y 0 và ϑ 0 z \ u003d z 0 tại thời điểm tương ứng với cho điểm bắt đầu của chuyển động và lấy bằng không. Việc giải quyết các vấn đề thuộc loại này được rút gọn thành việc biên dịch một vi phân phương trình vi phân (hoặc một phương trình) chuyển động của một chất điểm và nghiệm tiếp theo của chúng bằng tích hợp trực tiếp hoặc sử dụng lý thuyết phương trình vi phân. Xem lại câu hỏi 1. Động lực học nghiên cứu những gì? 2. Loại chuyển động nào được gọi là chuyển động theo quán tính? 3. Trong điều kiện nào thì một điểm vật chất sẽ ở trạng thái nghỉ hoặc chuyển động thẳng đều và tuyến tính? 4. Bản chất của vấn đề chính đầu tiên của động lực học của một điểm vật chất là gì? Nhiệm vụ thứ hai? 5. Viết phương trình vi phân tự nhiên của chuyển động của một chất điểm. Nhiệm vụ tự học 1. Một chất điểm khối lượng m = 4 kg chuyển động dọc theo đường thẳng nằm ngang với gia tốc a = 0,3 t. Xác định môđun của lực tác dụng lên chất điểm theo phương chuyển động của nó tại thời điểm t = 3 s. 2. Một phần khối lượng m = 0,5 kg trượt xuống khay. Ở góc độ nào để mặt phẳng nằm ngang phải đặt khay nào để phần chuyển động với gia tốc a = 2 m / s 2? Góc thể hiện tính bằng độ. 3. Một chất điểm có khối lượng m = 14 kg chuyển động dọc theo trục Ox với gia tốc a x = 2 t. Xác định môđun của lực tác dụng lên chất điểm theo phương chuyển động tại thời điểm t = 5 s.

(HỆ THỐNG CƠ KHÍ) - Tùy chọn IV

1. Phương trình cơ bản của động lực học của một chất điểm, như đã biết, được biểu thị bằng phương trình. Phương trình vi phân chuyển động của các chất điểm tùy ý của một hệ cơ không tự do, theo hai phương pháp chia lực, có thể viết dưới hai dạng:

(1) , trong đó k = 1, 2, 3,…, n là số điểm của hệ vật chất.

(2)

đâu là khối lượng của chất điểm thứ k; - véc tơ bán kính của điểm thứ k, - lực (chủ động) cho trước tác dụng lên điểm thứ k hoặc là kết quả của tất cả các lực tác dụng lên điểm thứ k. - kết quả của phản lực của các liên kết, tác dụng lên điểm thứ k; - kết quả của nội lực tác dụng lên điểm thứ k; - kết quả các lực lượng bên ngoài tác dụng lên điểm thứ k.

Phương trình (1) và (2) có thể được sử dụng để giải quyết cả vấn đề thứ nhất và thứ hai của động lực học. Tuy nhiên, lời giải của bài toán thứ hai về động lực học cho hệ thống trở nên rất phức tạp không chỉ với điểm toán học tầm nhìn, mà còn vì chúng ta phải đối mặt với những khó khăn cơ bản. Chúng nằm ở thực tế rằng cả đối với hệ (1) và hệ (2) số lượng phương trình là đáng kể ít hơn số không xác định.

Vì vậy, nếu chúng ta sử dụng (1), thì bài toán thứ hai (nghịch đảo) của động lực học sẽ là và, và ẩn số sẽ là và. Phương trình vectơ sẽ là " N", và không xác định -" 2n ".

Nếu ta tiến hành từ hệ phương trình (2) thì ngoại lực đã biết và một phần. Tại sao một phần? Thực tế là số lượng các lực lượng bên ngoài bao gồm phản ứng bên ngoài kết nối không xác định. Ngoài ra, cũng sẽ có những ẩn số.

Như vậy, cả hệ thống (1) và hệ thống (2) đều MỞ. Chúng ta cần thêm các phương trình, tính đến các phương trình của các quan hệ, và có lẽ chúng ta vẫn cần áp đặt một số hạn chế đối với bản thân các quan hệ. Để làm gì?

Nếu chúng ta tiếp tục từ (1), thì chúng ta có thể đi theo con đường biên dịch các phương trình Lagrange của loại đầu tiên. Nhưng cách này không hợp lý vì nhiệm vụ dễ dàng hơn(càng ít bậc tự do) thì càng khó giải nó theo quan điểm của toán học.

Sau đó, hãy chú ý đến hệ thống (2), nơi - luôn luôn là ẩn số. Bước đầu tiên trong việc giải hệ thống là loại bỏ những ẩn số này. Cần lưu ý rằng, theo quy luật, chúng ta không quan tâm đến nội lực trong quá trình chuyển động của hệ, tức là khi hệ chuyển động thì không cần biết từng điểm của hệ chuyển động như thế nào, nhưng nó là đủ để biết toàn bộ hệ thống vận động như thế nào.

Do đó, nếu những cách khác loại trừ khỏi hệ thống (2) lực lượng không xác định, sau đó chúng tôi thu được một số quan hệ, tức là một số Đặc điểm chungđối với hệ thống, kiến ​​thức về nó giúp ta có thể phán đoán cách thức vận động của hệ thống nói chung. Những đặc điểm này được giới thiệu bằng cách sử dụng cái gọi là các định lý chung về động lực học. Có bốn định lý như vậy:

1. Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ cơ học;

2. Định lý về thay đổi động lượng của một hệ thống cơ học;

3. Định lý về thay đổi mômen động lượng của một hệ cơ học;

4. Định lý về thay đổi động năng của một hệ cơ học.

Định lý về chuyển động của khối tâm. Phương trình vi phân chuyển động của một hệ cơ học. Định lý về chuyển động của khối tâm của một hệ cơ học. Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm.

Định lý về sự thay đổi động lượng. Lượng chuyển động của một điểm vật chất. Xung lực nguyên tố. Xung lực trong một khoảng thời gian hữu hạn và hình chiếu của nó lên các trục tọa độ. Định lý về sự thay đổi động lượng của một chất điểm ở dạng vi phân và dạng hữu hạn.

Lượng chuyển động của hệ cơ; biểu thức của nó về khối lượng của hệ và vận tốc của khối tâm của nó. Định lý về sự thay đổi động lượng của một hệ cơ ở dạng vi phân và hữu hạn. Định luật bảo toàn động lượng cơ học

(Khái niệm về vật thể và chất điểm có khối lượng thay đổi. Phương trình Meshchersky. Công thức của Tsiolkovsky.)

Định lý về sự thay đổi mômen động lượng. Mômen động lượng của một chất điểm so với tâm và so với trục. Định lý về sự thay đổi momen động lượng của một chất điểm. Lực lượng trung tâm. Bảo toàn momen động lượng của một chất điểm trong trường hợp có lực trung tâm. (Khái niệm về tốc độ khu vực. Quy luật của khu vực.)

Mômen động lượng chính hay mômen động năng của một hệ cơ học về tâm và về trục. Mômen động lượng của một vật cứng quay quanh trục quay. Định lý về sự thay đổi mômen động năng của hệ cơ học. Định luật bảo toàn mômen động năng của hệ cơ học. (Định lý về sự thay đổi mômen động năng của một hệ cơ học trong chuyển động tương đối đối với khối tâm.)

Định lý về sự thay đổi của động năng.Động năng của một chất điểm. Công việc cơ bản của lực lượng; biểu thức phân tích cho công việc tiểu học. Công của một lực đối với độ dịch chuyển cuối cùng của điểm ứng dụng của nó. Công của trọng lực, lực đàn hồi và công của trọng lực. Định lý về sự thay đổi động năng của một chất điểm ở dạng vi phân và dạng hữu hạn.

Động năng của một hệ cơ học. Các công thức tính động năng của vật cứng trong quá trình chuyển động tịnh tiến, trong quá trình quay quanh một trục cố định và trong trường hợp chung chuyển động (đặc biệt, với chuyển động song song mặt phẳng). Định lý về sự thay đổi động năng của hệ cơ ở dạng vi phân và dạng hữu hạn. Bằng tổng công của các nội lực trong vật rắn. Công và công của các lực tác dụng lên một vật cứng quay quanh một trục cố định.

Khái niệm về trường lực. Trường lực thế và cơ năng. Biểu thức của các hình chiếu lực theo cơ năng của lực. Các bề mặt có thế năng bằng nhau. Công của một lực đối với độ dời cuối cùng của một điểm trong trường lực thế năng. Năng lượng tiềm năng. Ví dụ về trường lực thế năng: trường hấp dẫn đều và trường hấp dẫn. Định luật bảo toàn cơ năng.

Động lực học cơ thể cứng nhắc. Phương trình vi phân của chuyển động tịnh tiến của vật cứng. Phương trình vi phân chuyển động quay của vật cứng quanh một trục cố định. con lắc vật lý. Phương trình vi phân của chuyển động phẳng của vật cứng.

Nguyên tắc d'Alembert. Nguyên tắc của d'Alembert cho một điểm vật chất; lực quán tính. Nguyên lý của d'Alembert cho một hệ thống cơ khí. Đưa lực quán tính của các điểm của một vật cứng về tâm; vectơ chính và điểm chính lực quán tính.

(Xác định phản ứng động của ổ trục trong quá trình quay của vật cứng quanh một trục cố định. Trường hợp trục quay là trục quán tính trung tâm chính của vật.)

Nguyên tắc chuyển động có thể và phương trình tổng quát của động lực học. Các mối quan hệ áp đặt lên một hệ thống máy móc. Các chuyển vị có thể có (hoặc ảo) của một điểm vật liệu và một hệ thống cơ học. Số bậc tự do của hệ thống. Các kết nối lý tưởng. Nguyên tắc của các chuyển động có thể. Phương trình tổng quátđộng lực học.

Phương trình chuyển động của hệ trong hệ tọa độ suy rộng (phương trình Lagrange). Hệ tọa độ tổng quát; tốc độ tổng quát. Biểu thức của công việc sơ cấp trong các tọa độ tổng quát. Lực lượng tổng quát và tính toán của chúng; trường hợp của các lực có thế năng. Điều kiện cân bằng của hệ trong hệ tọa độ suy rộng. Phương trình vi phân của chuyển động của hệ trong hệ tọa độ suy rộng hoặc phương trình Lagrange loại 2. Phương trình Lagrange trong trường hợp lực thế; Hàm Lagrange (thế năng).

Khái niệm về cân bằng ổn định. Nhỏ rung động tự do hệ cơ một bậc tự do gần vị trí cân bằng bền của hệ và tính chất của chúng.

Các yếu tố của lý thuyết tác động. Hiện tượng tác động. Lực va chạm và xung lực va chạm. Hoạt động lực tấn côngđến một điểm quan trọng. Định lý về sự thay đổi động lượng của hệ cơ khi va chạm. Tác động trung tâm trực tiếp của cơ thể trên một bề mặt cố định; các tác động đàn hồi và không đàn hồi. Hệ số phục hồi tác động và xác định thực nghiệm của nó. Đòn trung trực tiếp của hai cơ thể. Định lý Carnot.

THƯ MỤC

Nền tảng

Butenin N. V., Lunts Ya-L., Merkin D. R. Khóa học cơ học lý thuyết. Tập 1, 2. M., 1985 và các lần xuất bản trước.

Dobronravov V. V., Nikitin N. N. Khóa học cơ học lý thuyết. M., 1983.

Starzhinsky V. M. Cơ học lý thuyết. M., 1980.

Targ S. M. Một khóa học ngắn hạn về cơ học lý thuyết. M., 1986 và các lần xuất bản trước.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Khóa học cơ học lý thuyết. Phần 1. M., 1984 và các lần xuất bản trước.

Yablonsky A. A. Khóa học cơ học lý thuyết. Phần 2. M., 1984 và các lần xuất bản trước.

Meshchersky I.V. Tuyển tập các bài toán cơ học lý thuyết. M., 1986 và các lần xuất bản trước.

Tuyển tập các vấn đề trong cơ học lý thuyết / Ed. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Thêm vào

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Cơ học lý thuyết trong các ví dụ và bài toán. Chương 1, 2. M., 1984 và các lần xuất bản trước.

Tuyển tập các bài toán trong cơ lý thuyết / 5raznichen / co N. A., Kan V. L., Mintsberg B. L. và cộng sự M., 1987.

Novozhilov I. V., Zatsepin M. F. Tính toán tiêu chuẩn trong cơ học lý thuyết dựa trên máy tính. M., 1986,

Bộ sưu tập các nhiệm vụ cho giấy gia hạn về Cơ học lý thuyết / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 và các ấn bản trước đó (chứa các ví dụ về giải quyết vấn đề).

Coi chuyển động của một hệ khối lượng vật chất nào đó so với một hệ tọa độ cố định Khi hệ không tự do thì có thể coi là tự do, nếu ta loại bỏ các ràng buộc đặt lên hệ và thay thế tác dụng của chúng bằng các phản ứng tương ứng.

Chúng ta hãy chia tất cả các lực tác dụng lên hệ thống thành các lực bên ngoài và bên trong; cả hai đều có thể bao gồm các phản ứng bị loại bỏ

kết nối. Kí hiệu bằng vectơ chính và mômen chính của ngoại lực so với điểm A.

1. Định lý về sự thay đổi động lượng. Nếu là động lượng của hệ thống, thì (xem)

tức là, định lý có giá trị: đạo hàm theo thời gian của động lượng của hệ bằng vectơ chính của mọi ngoại lực.

Thay vectơ qua biểu thức của nó với khối lượng của hệ là vận tốc của khối tâm, phương trình (4.1) có thể được đưa ra ở dạng khác:

Đẳng thức này có nghĩa là khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ và tác dụng một lực có dạng hình học bằng vectơ chính của tất cả các ngoại lực của hệ. Phát biểu cuối cùng được gọi là định lý về chuyển động của khối tâm (tâm quán tính) của hệ.

Nếu từ (4.1) thì vectơ động lượng không đổi về độ lớn và hướng. Chiếu nó lên trục tọa độ, chúng ta thu được ba tích phân vô hướng bậc nhất của các phương trình vi phân của chuỗi kép của hệ thống:

Các tích phân này được gọi là tích phân động lượng. Khi tốc độ của khối tâm không đổi, tức là nó chuyển động thẳng biến đổi đều và tuần hoàn.

Nếu hình chiếu của vectơ chính của ngoại lực lên bất kỳ một trục nào đó, chẳng hạn trên trục, bằng 0, thì ta có một tích phân đầu tiên, hoặc nếu hai hình chiếu của vectơ chính bằng 0, thì có hai tích phân của động lượng.

2. Định lý về sự thay đổi của mômen động năng. Hãy để A là một số điểm tùy ý không gian (chuyển động hoặc đứng yên), không nhất thiết trùng với bất kỳ điểm vật chất cụ thể nào của hệ trong toàn bộ thời gian chuyển động. Chúng tôi biểu thị vận tốc của nó trong một hệ tọa độ cố định là

Nếu điểm A cố định, thì đẳng thức (4.3) có dạng đơn giản hơn:

Đẳng thức này thể hiện định lý về sự thay đổi momen động lượng của hệ đối với điểm cố định: đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của hệ, được tính đối với một điểm cố định nào đó, bằng mômen chính của tất cả các ngoại lực đối với điểm này.

Nếu theo (4.4) thì vectơ mômen động lượng không đổi về độ lớn và hướng. Chiếu nó lên trục tọa độ, ta thu được tích phân vô hướng bậc nhất của các phương trình vi phân của chuyển động của hệ:

Các tích phân này được gọi là tích phân của mômen động lượng hoặc tích phân của các diện tích.

Nếu điểm A trùng với khối tâm của hệ thì số hạng đầu tiên ở vế phải của đẳng thức (4.3) biến mất và định lý về sự thay đổi momen động lượng có dạng (4.4) giống như trong trường hợp cố định. điểm A. Lưu ý (xem 4 § 3) rằng trong trường hợp đang xét, mômen động lượng tuyệt đối của hệ nằm ở phía bên trái của đẳng thức (4.4) có thể được thay thế bằng mômen động lượng bằng nhau của hệ trong chuyển động của nó so với tâm của khối lượng.

Gọi là một trục không đổi hoặc một trục có hướng không đổi đi qua khối tâm của hệ, và gọi là mômen động lượng của hệ so với trục này. Từ (4.4) nó theo sau rằng

mômen của ngoại lực đối với trục là ở đâu. Nếu trong toàn bộ thời gian chuyển động thì ta có tích phân thứ nhất

Trong các công trình của S. A. Chaplygin, một số khái quát của định lý về sự thay đổi momen động lượng đã thu được, sau đó được áp dụng để giải một số bài toán về quả bóng lăn. Các khái quát sâu hơn của định lý về sự thay đổi của mômen kpnetological và ứng dụng của chúng trong các bài toán về động lực học của một vật thể cứng được trình bày trong các tác phẩm. Kết quả chính của các công trình này liên quan đến định lý về sự thay đổi momen động lượng so với chuyển động liên tục đi qua một điểm chuyển động A. Cho - đơn vị véc tơ hướng dọc theo trục này. Nhân tỉ lệ với cả hai vế của đẳng thức (4.3) và thêm số hạng vào cả hai phần của nó, chúng ta thu được

Khi điều kiện động học được đáp ứng

phương trình (4.5) theo sau từ (4.7). Và nếu điều kiện (4.8) được thỏa mãn trong toàn bộ thời gian chuyển động thì tích phân đầu tiên (4.6) tồn tại.

Nếu các mối liên kết của hệ là lý tưởng và cho phép quay của hệ như một vật cứng quanh trục và với số lượng dịch chuyển ảo, thì mômen chính của phản ứng đối với trục và bằng không, và khi đó giá trị trên vế phải của phương trình (4.5) là mômen chính của tất cả các lực tác dụng bên ngoài đối với trục và. Sự bằng 0 của thời điểm này và sự thỏa mãn của quan hệ (4.8) sẽ nằm trong trường hợp được xem xét điều kiện đủđối với sự tồn tại của tích phân (4.6).

Nếu hướng của trục và không thay đổi, thì điều kiện (4.8) có thể được viết là

Đẳng thức này có nghĩa là các hình chiếu của vận tốc của khối tâm và vận tốc của điểm A trên trục và trên mặt phẳng vuông góc với nó là song song với nhau. Trong công trình của S. A. Chaplygin, thay vì (4.9), nó được yêu cầu ít hơn điều kiện chung trong đó X là một hằng số tùy ý.

Lưu ý rằng điều kiện (4.8) không phụ thuộc vào việc lựa chọn điểm trên. Thật vậy, cho P là một điểm tùy ý trên trục. sau đó

và do đó

Tóm lại, chúng tôi lưu ý đến cách giải thích hình học của Resal đối với các phương trình (4.1) và (4.4): các vectơ tốc độ tuyệt đốiđầu của các vectơ và lần lượt bằng vectơ chính và mômen chính của tất cả các ngoại lực so với điểm A.