Thiết bị đẳng cấp: ghi chú bài giảng.

Tiêu chí đánh giá

Trình tự công việc

Bài tập 1.

Đọc bài giảng 9

Nhiệm vụ 2.

Bài giảng 9

không xác định, không thể thiếu từ chức năng này:

10 .

( dx) "= d ( dx) = f (x) dx

20. Tích phân không xác định của vi phân của một hàm bằng hàm này cộng với một hằng số tùy ý:

30. Một thừa số không đổi có thể lấy ra ngoài dấu của tích phân bất định.

40. Tích phân không xác định của tổng đại số của hàm số bằng tổng đại số của tích phân bất định của các số hạng của hàm số:

50. Nếu a là hằng số, thì công thức có giá trị

Xem nội dung tài liệu
"Kỹ thuật tích hợp Tích hợp trực tiếp"

Công việc thực tế№ 7

Chủ đề: Kỹ thuật tích hợp. Tích hợp trực tiếp

Bàn thắng:

nghiên cứu công thức và quy tắc tính tích phân bất định

học cách giải các ví dụ để tích hợp trực tiếp

Thiết bị đẳng cấp: ghi chú bài giảng.

Tiêu chí đánh giá

lớp "5" được đặt để thực hiện đúng tất cả các nhiệm vụ của công việc

đánh dấu "4" được đưa ra để hoàn thành nhiệm vụ 1 và giải pháp đúng trong số mười ví dụ từ nhiệm vụ 2.

đánh dấu "3" được đưa ra để hoàn thành nhiệm vụ 1 và giải pháp đúng trong bảy ví dụ bất kỳ từ nhiệm vụ 2.

Trình tự công việc

Bài tập 1.

Đọc bài giảng 9

Sử dụng các bài giảng, trả lời các câu hỏi và ghi câu trả lời vào sổ tay của bạn:

1. Em biết những tính chất nào của tích phân bất định?

2. Viết ra các công thức tích phân chính

3. Những trường hợp nào có thể với tích hợp trực tiếp?

Nhiệm vụ 2.

Giải các ví dụ để tự giải

Bài giảng 9

Chủ đề “Tích phân bất định. Tích hợp Trực tiếp »

Hàm F (x) được gọi là hàm ngược đối với hàm f (x) nếu F "(x) = f (x).

Mọi hàm số liên tục f (x) đều có tập hợp vô hạn các đạo hàm phân biệt với nhau một số hạng không đổi.

Biểu thức tổng quát F (x) + C của tổng tất cả các đạo hàm đối với hàm f (x) được gọi là không xác định, không thể thiếu từ chức năng này:

dx \ u003d F (x) + C, nếu d (F (x) + C) \ u003d dx

Các tính chất cơ bản của tích phân bất định

1 0 .Đạo hàm của tích phân không xác định bằng tích phân và vi phân của nó bằng tích phân:

( dx) "= d ( dx) = f (x) dx

2 0 . Tích phân không xác định của vi phân của một hàm bằng hàm đó cộng với một hằng số tùy ý:

3 0 . Thừa số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu của tích phân bất định.

4 0 Tích phân không xác định của tổng đại số của hàm số bằng tổng đại số của tích phân không xác định của các số hạng của hàm:

+ dx

5 0 . Nếu a là một hằng số, thì công thức là hợp lệ

Các công thức tích phân cơ bản (tích phân dạng bảng)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arcsin + C

Khi áp dụng các công thức (3), (10). (11) Dấu của giá trị tuyệt đối chỉ được viết trong trường hợp biểu thức dưới dấu của lôgarit có thể có giá trị âm.

Mỗi công thức đều dễ dàng kiểm tra. Kết quả của sự khác biệt của phía bên phải, một tích phân thu được.

Tích hợp trực tiếp.

Tích phân trực tiếp dựa trên việc sử dụng trực tiếp bảng tích phân. Dưới đây là các trường hợp sau:

1) tích phân này được tìm thấy trực tiếp bằng tích phân dạng bảng tương ứng;

2) sau khi áp dụng các tính chất 3 0 và 4 0, tích phân này được rút gọn thành một hoặc nhiều tích phân bảng;

3) sau các phép biến đổi cơ bản giống hệt nhau về tích phân và áp dụng các tính chất 3 0 và 4 0, tích phân này được rút gọn thành một hoặc nhiều tích phân bảng.

Các ví dụ.

Dựa trên tính chất 3 0, thừa số không đổi 5 được lấy ra khỏi dấu tích phân và sử dụng công thức 1, chúng ta thu được

Quyết định. Sử dụng thuộc tính 3 0 và công thức 2, chúng ta thu được

6

Quyết định. Sử dụng thuộc tính 3 0 và 4 0 và công thức 1 và 2, chúng ta có

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

Hằng số tích phân C bằng tổng đại số của ba hằng số tích phân, vì mỗi tích phân có hằng số tùy ý riêng (C 1 - C 2 + C 3 \ u003d C)

Quyết định. Bình phương và tích hợp từng thuật ngữ, chúng ta có

Sử dụng công thức lượng giác 1 + ctg 2 x =

= = - ctgx - x + C

Quyết định. Trừ và cộng số 9 ở tử số của tích phân, ta được

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Ví dụ để tự giải quyết

Tính tích phân bằng tích phân trực tiếp:

Kiểm soát kiến ​​thức của học sinh:

kiểm tra thực tế công việc;

Yêu cầu đối với thiết kế công việc thực tế:

Nhiệm vụ phải được hoàn thành trong một cuốn sổ để làm việc thực tế.

Nộp bài tập sau giờ học

Phương pháp tích phân trực tiếp dựa trên việc biến đổi tích phân, áp dụng các tính chất của tích phân bất định và rút gọn tích phân thành dạng bảng.

Ví dụ:

Kiểm tra

Kiểm tra

2. Phương pháp thay thế (thay thế biến)

Phương pháp này dựa trên việc giới thiệu một biến mới. Hãy thực hiện một phép thay thế trong tích phân:

;

Do đó, chúng tôi nhận được:

Ví dụ:

1)

Kiểm tra:

2)

Kiểm tra(dựa trên tính chất số 2 của tích phân không xác định):

Tích hợp theo các bộ phận

Để cho được u và v là các chức năng có thể phân biệt. Hãy để chúng tôi tiết lộ sự khác biệt của sản phẩm của các chức năng này:

,

ở đâu

Chúng tôi tích hợp biểu thức kết quả:

Ví dụ:

Kiểm tra(dựa trên thuộc tính số 1 của tích phân không xác định):

2)

Chúng tôi quyết định

Kiểm tra(dựa trên thuộc tính số 1 của tích phân không xác định):

PHẦN THỰC HÀNH

Nhiệm vụ cho giải pháp gia đình

Tìm tích phân:

một) ; e) ;

trong) ; h)

G) ; và)

e); đến)

một) ; e) ;

trong) ; h) ;

e); đến) .

một) ; trong) ; e)

b); G); e)

Các nhiệm vụ cần giải quyết trong các lớp học thực hành:

I. Phương pháp tích hợp trực tiếp

một) ; g);

b) ; h);

trong) ; và)

G) ; đến)

e) ; m)

II. Phương pháp thay thế (thay thế biến)

G); đến) ;

e) ; l);

III. Phương pháp tích hợp theo bộ phận

CHỦ ĐỀ # 4

DEFINITE INTEGRAL

Trong các phép tính toán học, người ta thường yêu cầu tìm số gia của hàm phản đạo hàm khi đối số của nó thay đổi trong các giới hạn nhất định. Một vấn đề như vậy phải được giải quyết khi tính diện tích và thể tích của các hình khác nhau, khi xác định giá trị trung bình của một hàm, khi tính công của một lực biến thiên. Những vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách tính các tích phân xác định tương ứng.

Mục đích của bài học:

1. Học cách tính một tích phân xác định bằng công thức Newton-Leibniz.

2. Có thể vận dụng khái niệm tích phân xác định để giải các bài toán ứng dụng.

PHẦN LÝ THUYẾT

KHÁI NIỆM VỀ Ý NGHĨA TỔNG HỢP ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NÓ

Xét bài toán tìm diện tích hình thang cong.

Hãy để một số chức năng được đưa ra y = f (x), có đồ thị được thể hiện trong hình.

Hình 1. Ý nghĩa hình học của một tích phân xác định.

trên trục 0x chọn điểm “một" và "trong" và khôi phục các đường vuông góc từ chúng đến giao điểm với đường cong. Hình được giới hạn bởi đường cong, vuông góc và trục 0x gọi là hình thang cong. Hãy chia khoảng thời gian thành một số đoạn nhỏ. Hãy chọn một phân đoạn tùy ý. Ta hoàn thành hình thang cong tương ứng với đoạn này thành hình chữ nhật. Diện tích của một hình chữ nhật như vậy được xác định là:

Khi đó diện tích của tất cả các hình chữ nhật đã hoàn thành trong khoảng thời gian này sẽ bằng:

;

Nếu mỗi đoạn đủ nhỏ và có xu hướng bằng không, thì tổng diện tích của các hình chữ nhật sẽ có xu hướng bằng diện tích của hình thang cong:

;

Vậy bài toán tính diện tích hình thang cong rút gọn là xác định giới hạn của tổng.

Tổng tích phân là tổng các tích của số gia của đối số bằng giá trị của hàm f (x) được thực hiện tại một số thời điểm trong khoảng thời gian mà đối số thay đổi. Về mặt toán học, bài toán tìm giới hạn của tổng tích phân, nếu số gia của biến độc lập có xu hướng bằng không, dẫn đến khái niệm tích phân xác định.

Hàm số f (x ) một số khoảng từ x = a trước x = v là tích phân nếu tồn tại một số mà tổng tích phân có xu hướng là Dх®0 . Trong trường hợp này, số J triệu tập tích phân xác định chức năng f (x) trong khoảng thời gian:

;

ở đâu ] a, trong[ là lĩnh vực tích hợp,

một là giới hạn dưới của tích hợp,

trong là giới hạn trên của tích hợp.

Do đó, theo quan điểm của hình học, tích phân xác định là diện tích của \ u200b \ u200b hình giới hạn bởi đồ thị của hàm trong một khoảng nhất định] a, trong [và trục x.

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ nói chi tiết về các tính chất của tích phân bất định và về việc tự tìm tích phân bằng cách sử dụng các tính chất đã đề cập. Chúng ta cũng sẽ làm việc với bảng của tích phân bất định. Tài liệu được giới thiệu đến đây là phần tiếp theo của chủ đề "Tích phân bất định. Sơ cấp". Thành thật mà nói, tích phân hiếm khi được tìm thấy trong các bài kiểm tra có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các bảng điển hình và (hoặc) các thuộc tính đơn giản. Những tính chất này có thể được so sánh với bảng chữ cái, những kiến ​​thức và hiểu biết về nó là cần thiết để hiểu cơ chế giải tích phân trong các chủ đề khác. Thông thường, tích phân sử dụng các bảng của tích phân và các tính chất của tích phân bất định được gọi là tích hợp trực tiếp.

Điều tôi đang dẫn đến: các hàm thay đổi, nhưng công thức tìm đạo hàm vẫn không thay đổi, không giống như tích phân, mà hai phương pháp đã được liệt kê.

Hãy đi xa hơn nữa. Để tìm đạo hàm $ y = x ^ (- \ frac (1) (2)) \ cdot (1 + x ^ (\ frac (1) (4))) ^ \ frac (1) (3) $ tất cả cũng áp dụng công thức $ (u \ cdot v) "= u" \ cdot v + u \ cdot v "$, vào đó bạn phải thay $ u = x ^ (- \ frac (1) (2)) $, $ v = (1 + x ^ (\ frac (1) (4))) ^ \ frac (1) (3) $. Nhưng để tìm tích phân $ \ int x ^ (- \ frac (1) (2) ) \ cdot (1 + x ^ (\ frac (1) (4))) ^ \ frac (1) (3) dx $ yêu cầu một phương thức mới - phương pháp thay thế Chebyshev.

Và cuối cùng: để tìm đạo hàm của hàm $ y = \ sin x \ cdot \ frac (1) (x) $, công thức $ (u \ cdot v) "= u" \ cdot v + u \ cdot v " $ lại được áp dụng, trong đó chúng tôi thay thế $ \ sin x $ và $ \ frac (1) (x) $ thay vì $ u $ và $ v $ tương ứng, trong khi $ \ int \ sin x \ cdot \ frac (1 ) (x) dx $ không được sử dụng. Chính xác hơn, nó không được biểu thị dưới dạng một số hữu hạn các hàm cơ bản.

Tóm lại: khi cần một công thức để tìm đạo hàm, bốn công thức được yêu cầu cho tích phân (và đây không phải là giới hạn), và trong trường hợp thứ hai, tích phân từ chối được tìm thấy. Chúng tôi đã thay đổi chức năng - một phương pháp tích hợp mới là cần thiết. Từ đây chúng ta có các bảng nhiều trang trong sách tham khảo. Việc không có một phương pháp chung (thích hợp để giải "thủ công") dẫn đến vô số phương pháp cụ thể chỉ có thể áp dụng để tích phân lớp hàm riêng, cực kỳ hạn chế của chúng (trong các chủ đề tiếp theo, chúng ta sẽ đề cập chi tiết đến các phương pháp này). Mặc dù tôi không thể không ghi nhận sự hiện diện của thuật toán Risch (tôi khuyên bạn nên đọc mô tả trên Wikipedia), nhưng nó chỉ thích hợp để xử lý theo chương trình đối với các tích phân không xác định.

Câu hỏi số 3

Nhưng nếu có nhiều tính chất như vậy, làm sao tôi có thể học lấy tích phân? Với các công cụ phái sinh, điều đó đã trở nên dễ dàng hơn!

Cho đến nay, chỉ có một cách duy nhất cho một người: giải càng nhiều ví dụ càng tốt bằng nhiều phương pháp tích phân khác nhau, để khi một tích phân bất định mới xuất hiện, bạn có thể chọn một phương pháp giải cho nó, dựa trên kinh nghiệm của bạn. Tôi hiểu rằng câu trả lời đó không đáng khích lệ lắm, nhưng không còn cách nào khác.

Tính chất của tích phân bất định

Thuộc tính số 1

Đạo hàm của tích phân không xác định bằng tích phân, tức là $ \ left (\ int f (x) dx \ right) "= f (x) $.

Tính chất này khá tự nhiên, vì tích phân và đạo hàm là các phép toán nghịch đảo lẫn nhau. Ví dụ: $ \ left (\ int \ sin 3x dx \ right) "= \ sin 3x $, $ \ left (\ int \ left (3x ^ 2 + \ frac (4) (\ arccos x) \ right) dx \ right) "= 3x ^ 2 + \ frac (4) (\ arccos x) $, v.v.

Thuộc tính số 2

Tích phân không xác định của vi phân của một số hàm bằng với hàm này, tức là $ \ int \ mathrm d F (x) = F (x) + C $.

Thông thường, tính chất này được nhìn nhận hơi khó khăn, vì có vẻ như không có "gì" trong tích phân. Để tránh điều này, bạn có thể viết thuộc tính được chỉ định như sau: $ \ int 1 \ mathrm d F (x) = F (x) + C $. Ví dụ về việc sử dụng thuộc tính này: $ \ int \ mathrm d (3x ^ 2 + e ^ x + 4) = 3x ^ 2 + e ^ x + 4 + C $ hoặc, nếu bạn thích, ở dạng sau: $ \ int 1 \; \ mathrm d (3x ^ 2 + e ^ x + 4) = 3x ^ 2 + e ^ x + 4 + C $.

Thuộc tính số 3

Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu tích phân, tức là $ \ int a \ cdot f (x) dx = a \ cdot \ int f (x) dx $ (chúng tôi giả sử rằng $ a \ neq 0 $).

Tài sản này khá đơn giản và, có lẽ, không yêu cầu bình luận. Ví dụ: $ \ int 3x ^ 5 dx = 3 \ cdot \ int x ^ 5 dx $, $ \ int (2x + 4e ^ (7x)) dx = 2 \ cdot \ int (x + 2e ^ (7x)) dx $, $ \ int kx ^ 2dx = k \ cdot \ int x ^ 2dx $ ($ k \ neq 0 $).

Thuộc tính số 4

Tích phân của tổng (hiệu) của hai hàm bằng tổng (hiệu) của các tích phân của các hàm này:

$$ \ int (f_1 (x) \ pm f_2 (x)) dx = \ int f_1 (x) dx \ pm \ int f_2 (x) dx $$

Ví dụ: $ \ int (\ cos x + x ^ 2) dx = \ int \ cos xdx + \ int x ^ 2 dx $, $ \ int (e ^ x - \ sin x) dx = \ int e ^ xdx - \ int \ sin x dx $.

Trong các bài kiểm tra tiêu chuẩn, thuộc tính số 3 và số 4 thường được sử dụng, vì vậy chúng tôi sẽ xem xét chi tiết hơn về chúng.

Ví dụ # 3

Tìm $ \ int 3 e ^ x dx $.

Chúng tôi sử dụng thuộc tính số 3 và lấy ra hằng số, tức là số $ 3 $, cho dấu tích phân: $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx $. Bây giờ chúng ta hãy mở bảng tích phân và thay $ u = x $ vào công thức số 4 ta được: $ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $. Điều này ngụ ý rằng $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx = 3e ^ x + C $. Tôi cho rằng người đọc sẽ ngay lập tức có câu hỏi, vì vậy tôi sẽ hình thành câu hỏi này riêng:

Câu hỏi số 4

Nếu $ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $ thì $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx = 3 \ cdot \ left (e ^ x + C \ right) = 3e ^ x + 3C $! Tại sao nó được viết chỉ $ 3e ^ x + C $ thay vì $ 3e ^ x + 3C $?

Câu hỏi là hoàn toàn hợp lý. Vấn đề là một hằng số tích phân (tức là cùng một số $ C $) có thể được biểu diễn dưới dạng bất kỳ biểu thức nào: điều chính yếu là biểu thức này "chạy qua" toàn bộ tập hợp các số thực, tức là đã thay đổi từ $ - \ infty $ thành $ + \ infty $. Ví dụ: nếu $ - \ infty≤ C ≤ + \ infty $, thì $ - \ infty≤ \ frac (C) (3) ≤ + \ infty $, vì vậy hằng số $ C $ có thể được biểu diễn dưới dạng $ \ frac ( C) (3) $. Chúng ta có thể viết rằng $ \ int e ^ x dx = e ^ x + \ frac (C) (3) $ và sau đó $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx = 3 \ cdot \ left (e ^ x + \ frac (C) (3) \ right) = 3e ^ x + C $. Như bạn thấy, không có gì mâu thuẫn ở đây, nhưng cần phải cẩn thận khi thay đổi dạng của hằng số tích phân. Ví dụ: nếu bạn biểu diễn hằng số $ C $ là $ C ^ 2 $, thì đó sẽ là một lỗi. Vấn đề là $ C ^ 2 ≥ 0 $, tức là $ C ^ 2 $ không thay đổi từ $ - \ infty $ thành $ + \ infty $, không "chạy qua" tất cả các số thực. Tương tự, sẽ là một lỗi nếu biểu diễn một hằng số là $ \ sin C $, vì $ -1≤ \ sin C ≤ 1 $, tức là $ \ sin C $ không "chạy qua" tất cả các giá trị của trục thực. Trong tương lai, chúng ta sẽ không thảo luận cụ thể về vấn đề này, mà chúng ta sẽ chỉ đơn giản là viết hằng số $ C $ cho mỗi tích phân không xác định.

Ví dụ # 4

Tìm $ \ int \ left (4 \ sin x- \ frac (17) (x ^ 2 + 9) -8x ^ 3 \ right) dx $.

Chúng tôi sử dụng thuộc tính số 4:

$$ \ int \ left (4 \ sin x- \ frac (17) (x ^ 2 + 9) -8x ^ 3 \ right) dx = \ int 4 \ sin x dx- \ int \ frac (17) (x ^ 2 + 9) dx- \ int8x ^ 3dx $$

Bây giờ chúng ta lấy các hằng số (số) ra khỏi các dấu hiệu của tích phân:

$$ \ int 4 \ sin x dx- \ int \ frac (17) (x ^ 2 + 9) dx- \ int8x ^ 3dx = 4 \ int \ sin x dx-17 \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) -8 \ int x ^ 3dx $$

Tiếp theo, chúng ta làm việc với từng tích phân thu được một cách riêng biệt. Tích phân đầu tiên, tức là $ \ int \ sin x dx $, rất dễ tìm thấy trong bảng tích phân dưới số 5. Thay $ u = x $ vào công thức số 5, ta được: $ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $.

Để tìm tích phân thứ hai $ \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) $, bạn cần áp dụng công thức số 11 từ bảng tích phân. Thay $ u = x $ và $ a = 3 $ vào nó, ta được: $ \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) = \ frac (1) (3) \ cdot \ arctg \ frac (x ) (3) + C $.

Và cuối cùng, để tìm $ \ int x ^ 3dx $, chúng tôi sử dụng công thức số 1 từ bảng, thay $ u = x $ và $ \ alpha = 3 $ vào nó: $ \ int x ^ 3dx = \ frac ( x ^ (3 +1)) (3 + 1) + C = \ frac (x ^ 4) (4) + C $.

Tất cả các tích phân có trong biểu thức $ 4 \ int \ sin x dx-17 \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) -8 \ int x ^ 3dx $ đều được tìm thấy. Nó vẫn chỉ để thay thế chúng:

$$ 4 \ int \ sin x dx-17 \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) -8 \ int x ^ 3dx = 4 \ cdot (- \ cos x) -17 \ cdot \ frac (1) (3) \ cdot \ arctg \ frac (x) (3) -8 \ cdot \ frac (x ^ 4) (4) + C = \\ = -4 \ cdot \ cos x- \ frac (17) (3 ) \ cdot \ arctg \ frac (x) (3) -2 \ cdot x ^ 4 + C. $$

Vấn đề đã được giải quyết, câu trả lời là: $ \ int \ left (4 \ sin x- \ frac (17) (x ^ 2 + 9) -8x ^ 3 \ right) dx = -4 \ cdot \ cos x- \ frac (17 ) (3) \ cdot \ arctg \ frac (x) (3) -2 \ cdot x ^ 4 + C $. Hãy để tôi thêm một lưu ý nhỏ cho vấn đề này:

Chỉ là một lưu ý nhỏ

Có lẽ không ai cần chèn này, nhưng tôi vẫn sẽ đề cập rằng $ \ frac (1) (x ^ 2 + 9) \ cdot dx = \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) $. Những thứ kia. $ \ int \ frac (17) (x ^ 2 + 9) dx = 17 \ cdot \ int \ frac (1) (x ^ 2 + 9) dx = 17 \ cdot \ int \ frac (dx) (x ^ 2 +9) $.

Hãy xem một ví dụ trong đó chúng ta sử dụng công thức số 1 từ bảng tích phân để tính các bất hợp lý đan xen (căn, nói cách khác).

Ví dụ số 5

Tìm $ \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) - \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) \ right) dx $.

Để bắt đầu, chúng ta sẽ thực hiện các thao tác tương tự như trong ví dụ số 3, cụ thể là: chúng ta chia tích phân thành hai và lấy hằng số ra khỏi các dấu của tích phân:

$$ \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) - \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) \ right) dx = \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) \ right) dx- \ int \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) dx = \\ = 5 \ cdot \ int \ sqrt (x ^ 4) dx-14 \ cdot \ int \ frac ( dx) (\ sqrt (x ^ 6)) $$

Vì $ \ sqrt (x ^ 4) = x ^ (\ frac (4) (7)) $ nên $ \ int \ sqrt (x ^ 4) dx = \ int x ^ (\ frac (4) (7) ) dx $. Để tìm tích phân này, chúng ta áp dụng công thức số 1, thay $ u = x $ và $ \ alpha = \ frac (4) (7) $ vào nó: $ \ int x ^ (\ frac (4) (7)) dx = \ frac (x ^ (\ frac (4) (7) +1)) (\ frac (4) (7) +1) + C = \ frac (x ^ (\ frac (11) (7)) ) (\ frac (11) (7)) + C = \ frac (7 \ cdot \ sqrt (x ^ (11))) (11) + C $. Bạn có thể tùy ý biểu diễn $ \ sqrt (x ^ (11)) $ dưới dạng $ x \ cdot \ sqrt (x ^ (4)) $, nhưng điều này không bắt buộc.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang tích phân thứ hai, tức là $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 6)) $. Vì $ \ frac (1) (\ sqrt (x ^ 6)) = \ frac (1) (x ^ (\ frac (6) (11))) = x ^ (- \ frac (6) (11)) $, thì tích phân đã xét có thể được biểu diễn dưới dạng sau: $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 6)) = \ int x ^ (- \ frac (6) (11)) dx $. Để tìm tích phân kết quả, chúng ta áp dụng công thức số 1 từ bảng tích phân, thay $ u = x $ và $ \ alpha = - \ frac (6) (11) $ vào đó: $ \ int x ^ (- \ frac (6) (11)) dx = \ frac (x ^ (- \ frac (6) (11) +1)) (- \ frac (6) (11) +1) + C = \ frac (x ^ (\ frac (5) (11))) (\ frac (5) (11)) + C = \ frac (11 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C $.

Thay thế các kết quả thu được, chúng ta nhận được câu trả lời:

$$ 5 \ cdot \ int \ sqrt (x ^ 4) dx-14 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 6)) = 5 \ cdot \ frac (7 \ cdot \ sqrt (x ^ ( 11))) (11) -14 \ cdot \ frac (11 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C = \ frac (35 \ cdot \ sqrt (x ^ (11))) ( 11) - \ frac (154 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C. $$

Trả lời: $ \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) - \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) \ right) dx = \ frac (35 \ cdot \ sqrt (x ^ (11) ))) (11) - \ frac (154 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C $.

Và cuối cùng, chúng ta hãy lấy tích phân thuộc công thức số 9 của bảng tích phân. Ví dụ 6, mà bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang, có thể được giải quyết theo cách khác, nhưng điều này sẽ được thảo luận trong các chủ đề tiếp theo. Hiện tại, chúng ta sẽ vẫn trong khuôn khổ ứng dụng của bảng.

Ví dụ # 6

Tìm $ \ int \ frac (12) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx $.

Để bắt đầu, hãy thực hiện thao tác tương tự như trước: lấy hằng số (số $ 12 $) ra khỏi dấu tích phân:

$$ \ int \ frac (12) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx = 12 \ cdot \ int \ frac (1) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx = 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) $$

Tích phân kết quả $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) $ đã gần với tích phân dạng bảng $ \ int \ frac (du) (\ sqrt (a ^ 2-u ^ 2) ) $ (công thức số 9 của bảng tích phân). Sự khác biệt của tích phân của chúng tôi là trước $ x ^ 2 $ dưới gốc có một hệ số $ 7 $, mà tích phân bảng không cho phép. Do đó, bạn cần phải loại bỏ bảy điều này bằng cách di chuyển nó ra ngoài dấu hiệu gốc:

$$ 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) = 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (7 \ cdot \ left (\ frac (15) ( 7) -x ^ 2 \ right))) = 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (7) \ cdot \ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) $$

Nếu chúng ta so sánh tích phân bảng $ \ int \ frac (du) (\ sqrt (a ^ 2-u ^ 2)) $ và $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) - x ^ 2)) $ rõ ràng là chúng có cấu trúc giống nhau. Chỉ trong tích phân $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) $ thay vì $ u $ là $ x $ và thay vì $ a ^ 2 $ là $ \ frac (15) (7) $. Chà, nếu $ a ^ 2 = \ frac (15) (7) $ thì $ a = \ sqrt (\ frac (15) (7)) $. Thay $ u = x $ và $ a = \ sqrt (\ frac (15) (7)) $ vào công thức $ \ int \ frac (du) (\ sqrt (a ^ 2-u ^ 2)) = \ arcsin \ frac (u) (a) + C $, ta nhận được kết quả sau:

$$ \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (x) (\ sqrt (\ frac (15) (7))) + C $$

Nếu chúng ta tính đến $ \ sqrt (\ frac (15) (7)) = \ frac (\ sqrt (15)) (\ sqrt (7)) $, thì kết quả có thể được viết lại mà không có "ba tầng" phân số:

$$ \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (x) (\ sqrt (\ frac (15) (7))) + C = \ frac (12) (\ sqrt (7 )) \ cdot \ arcsin \ frac (x) (\ frac (\ sqrt (15)) (\ sqrt (7))) + C = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (\ sqrt (7) \; x) (\ sqrt (15)) + C $$

Vấn đề đã được giải quyết, câu trả lời đã nhận được.

Trả lời: $ \ int \ frac (12) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (\ sqrt (7) \; x) (\ sqrt (15)) + C $.

Ví dụ # 7

Tìm $ \ int \ tg ^ 2xdx $.

Có các phương pháp tính tích phân các hàm số lượng giác. Tuy nhiên, trong trường hợp này, bạn có thể nắm được kiến ​​thức về các công thức lượng giác đơn giản. Vì $ \ tg x = \ frac (\ sin x) (\ cos x) $ nên $ \ left (\ tg x \ right) ^ 2 = \ left (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ phải) ^ 2 = \ frac (\ sin ^ 2x) (\ cos ^ 2x) $. Cho $ \ sin ^ 2x = 1- \ cos ^ 2x $, chúng ta nhận được:

$$ \ frac (\ sin ^ 2x) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1- \ cos ^ 2x) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (\ cos ^ 2x) - \ frac (\ cos ^ 2x) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (\ cos ^ 2x) -1 $$

Do đó $ \ int \ tg ^ 2xdx = \ int \ left (\ frac (1) (\ cos ^ 2x) -1 \ right) dx $. Khai triển tích phân thu được thành tổng của tích phân và áp dụng các công thức dạng bảng, chúng ta sẽ có:

$$ \ int \ left (\ frac (1) (\ cos ^ 2x) -1 \ right) dx = \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2x) - \ int 1dx = \ tg x-x + C . $$

Trả lời: $ \ int \ tg ^ 2xdx = \ tg x-x + C $.

Vì bây giờ chúng ta sẽ chỉ nói về tích phân không xác định, chúng ta sẽ bỏ qua thuật ngữ “vô định” cho ngắn gọn.

Để học cách tính tích phân (hoặc, như người ta nói, tích phân các hàm), trước tiên bạn phải học bảng tích phân:

Bảng 1. Bảng tích phân

2. ( ),u>0. 2a. (α=0); 2b. (α = 1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Ngoài ra, bạn sẽ cần khả năng tính đạo hàm của một hàm số đã cho, nghĩa là bạn cần nhớ các quy tắc phân biệt và bảng đạo hàm của các hàm cơ bản chính:

Bảng 2. Bảng dẫn xuất và quy luật phân biệt:

6.a .

(tội và)  = cos và  và (cos u)  = - sin và và

Và chúng ta cũng cần khả năng tìm vi phân của một hàm. Nhớ lại rằng vi phân của hàm
tìm theo công thức
, I E. vi phân của một hàm bằng tích của đạo hàm của hàm này và vi phân đối số của nó. Điều hữu ích là hãy ghi nhớ các mối quan hệ đã biết sau:

Bảng 3. Bảng vi sai

1. (b= hăng sô) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= hăng sô) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Hơn nữa, bạn có thể sử dụng các công thức này, cả đọc chúng từ trái sang phải và từ phải sang trái.

Chúng ta hãy xem xét liên tiếp ba phương pháp cơ bản để tính tích phân. Cái đầu tiên được gọi là phương pháp tích hợp trực tiếp. Nó dựa trên việc sử dụng các tính chất của tích phân bất định và bao gồm hai kỹ thuật chính: khai triển một tích phân thành một tổng đại sốđơn giản hơn và mang theo dấu hiệu của sự khác biệt, và các phương pháp này có thể được sử dụng độc lập và kết hợp.

NHƯNG) Coi như phân tích tổng đại số- kỹ thuật này liên quan đến việc sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau của tích phân và các thuộc tính tuyến tính của tích phân không xác định:
và.

ví dụ 1 Tìm tích phân:

một)
; b)
;

trong)
G)

e)
.

Quyết định.

một)Chúng tôi biến đổi tích phân bằng cách chia số hạng cho tử số cho mẫu số:

Ở đây, thuộc tính của độ được sử dụng:
.

b) Đầu tiên, ta biến đổi tử số của phân số, sau đó ta chia tử số cho mẫu số theo số hạng:

Thuộc tính của độ cũng được sử dụng ở đây:
.

Đây là thuộc tính được sử dụng:
,
.

.

Công thức 2 và 5 của Bảng 1 được sử dụng ở đây.

Ví dụ 2 Tìm tích phân:

một)
; b)
;

trong)
G)

e)
.

Quyết định.

một)Chúng tôi biến đổi tích phân bằng cách sử dụng nhận dạng lượng giác:

.

Ở đây, phép chia theo từng số hạng của tử số cho mẫu số và các công thức 8 và 9 của Bảng 1 một lần nữa được sử dụng.

b) Chúng tôi biến đổi tương tự bằng cách sử dụng danh tính
:

.

c) Đầu tiên, ta chia tử số cho mẫu số theo số hạng và lấy hằng số ra khỏi dấu tích phân, sau đó ta sử dụng phép đồng dạng lượng giác
:

d) Áp dụng công thức hạ thấp độ:

,

e) Sử dụng đồng dạng lượng giác, chúng ta biến đổi:

B) Hãy xem xét kỹ thuật tích hợp, được gọi là p trừ dưới dấu hiệu của vi phân. Kỹ thuật này dựa trên thuộc tính bất biến của tích phân không xác định:

nếu
, sau đó đối với bất kỳ chức năng có thể phân biệt nào và=và(X) diễn ra:
.

Thuộc tính này cho phép bạn mở rộng đáng kể bảng tích phân đơn giản nhất, vì nhờ thuộc tính này, các công thức trong Bảng 1 không chỉ hợp lệ cho biến độc lập và, nhưng cũng trong trường hợp khi và là một hàm phân biệt của một số biến khác.

Ví dụ,
, nhưng cũng
, và
, và
.

Hoặc
và
, và
.

Bản chất của phương pháp này là trích xuất vi phân của một hàm nào đó trong một tích phân nhất định để vi phân phân biệt này cùng với phần còn lại của biểu thức tạo thành một công thức dạng bảng cho hàm này. Nếu cần, các hằng số có thể được thêm vào một cách thích hợp cho một phép biến đổi như vậy. Ví dụ:

(trong ví dụ cuối cùng nó được viết ln (3 + x 2) thay vì ln | 3 + x 2 | , vì biểu thức 3 + x 2 luôn luôn dương).

Ví dụ 3 Tìm tích phân:

một)
; b)
; trong)
;

G)
; e)
; e)
;

g)
; h)
.

Quyết định.

một).

Ở đây, các công thức 2a, 5a và 7a của Bảng 1 được sử dụng, hai công thức cuối cùng thu được chỉ bằng cách thay thế dưới dấu vi phân:

Tích hợp các chức năng xem
xảy ra rất thường xuyên trong việc tính tích phân của các hàm phức tạp hơn. Để không lặp lại các bước được mô tả ở trên mỗi lần, chúng tôi khuyên bạn nên nhớ các công thức tương ứng được đưa ra trong Bảng 1.

.

Công thức 3 của Bảng 1 được sử dụng ở đây.

c) Tương tự, tính đến điều đó, chúng ta biến đổi:

.

Công thức 2 trong Bảng 1 được sử dụng ở đây.

G)

.

e);

e)

.

g);

h)

.

Ví dụ 4 Tìm tích phân:

một)
b)

trong)
.

Quyết định.

a) Hãy biến đổi:

Công thức 3 của Bảng 1 cũng được sử dụng ở đây.

b) Sử dụng công thức rút gọn
:

Công thức 2a và 7a của Bảng 1 được sử dụng ở đây.

Ở đây, cùng với các công thức 2 và 8 của Bảng 1, các công thức của Bảng 3 cũng được sử dụng:
,
.

Ví dụ 5 Tìm tích phân:

một)
; b)

trong)
; G)
.

Quyết định.

a) Công việc
có thể được bổ sung (xem công thức 4 và 5 của Bảng 3) vào vi phân của hàm
, ở đâu một và b- bất kỳ hằng số nào,
. Thật vậy, ở đâu
.

Sau đó chúng tôi có:

.

b) Sử dụng công thức 6 của bảng 3, ta có
, cũng như
, có nghĩa là sự hiện diện trong tích hợp của sản phẩm
có nghĩa là một gợi ý: dưới dấu vi phân, bạn cần thêm một biểu thức
. Do đó, chúng tôi nhận được

c) Như trong đoạn b), sản phẩm
có thể được bổ sung vào vi phân của hàm
. Sau đó, chúng tôi nhận được:

.

d) Đầu tiên, chúng ta sử dụng các tính chất tuyến tính của tích phân:

Ví dụ 6 Tìm tích phân:

một)
; b)
;

trong)
; G)
.

Quyết định.

một)Cho rằng
(công thức 9 của bảng 3), ta biến đổi:

b) Sử dụng công thức 12 của bảng 3, ta được

c) Theo công thức 11 của Bảng 3, chúng ta biến đổi

d) Sử dụng công thức 16 của bảng 3, ta được:

.

Ví dụ 7 Tìm tích phân:

một)
; b)
;

trong)
; G)
.

Quyết định.

một)Tất cả các tích phân được trình bày trong ví dụ này đều có một đặc điểm chung: tích phân chứa một tam thức vuông. Do đó, phương pháp tính các tích phân này sẽ dựa trên phép biến đổi tương tự - phép chọn bình phương đầy đủ trong tam thức bình phương này.

.

b)

.

trong)

G)

Phương pháp tính tổng dưới dấu của vi phân là một cách thực hiện truyền miệng một phương pháp tính tích phân tổng quát hơn, được gọi là phương pháp thay thế hay phương pháp đổi biến. Thật vậy, mỗi lần, chọn công thức thích hợp trong Bảng 1 cho hàm thu được do đưa nó về dưới dấu vi phân, chúng tôi nhẩm thay thế bằng ký tự và hàm dưới dấu vi phân. Do đó, nếu tích hợp bằng cách cộng con dưới dấu hiệu của vi phân không hoạt động tốt, bạn có thể trực tiếp thực hiện một thay đổi của biến. Thông tin thêm về điều này trong đoạn tiếp theo.