Thế nào ?
Ví dụ giải pháp

Nếu một cái gì đó bị thiếu ở một nơi nào đó, thì có một cái gì đó ở đâu đó

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phần "Chức năng và Đồ họa", và trạm tiếp theo trong hành trình của chúng ta là. Một cuộc thảo luận tích cực về khái niệm này đã bắt đầu trong bài viết về bộ và tiếp tục trong bài học đầu tiên về đồ thị hàm số, nơi tôi đã xem xét các hàm cơ bản và đặc biệt là phạm vi của chúng. Vì vậy, tôi khuyên bạn nên bắt đầu với những điều cơ bản của chủ đề, vì tôi sẽ không đi sâu vào một số điểm cơ bản nữa.

Giả thiết rằng người đọc biết miền của các hàm sau: tuyến tính, bậc hai, hàm bậc ba, đa thức, số mũ, sin, côsin. Chúng được định nghĩa trên (tập hợp tất cả các số thực). Đối với tiếp tuyến, cung tròn, nên được, tôi tha thứ cho bạn =) - đồ thị hiếm hơn là không nhớ ngay lập tức.

Miền định nghĩa có vẻ là một điều đơn giản, và một câu hỏi tự nhiên được đặt ra, bài viết sẽ nói về điều gì? Trong bài học này, tôi sẽ xem xét các nhiệm vụ phổ biến để tìm miền của một hàm. Ngoài ra, chúng tôi sẽ lặp lại bất bình đẳng với một biến, các kỹ năng giải sẽ được yêu cầu trong các bài toán khác của toán học cao hơn. Nhân tiện, tài liệu này đều là của trường, vì vậy nó sẽ hữu ích không chỉ cho học sinh mà còn cho cả học sinh. Tất nhiên, thông tin không mang tính bách khoa, mà ngược lại, ở đây không có những ví dụ “chết chóc” xa vời, mà là những hạt dẻ nướng, được lấy từ những công trình thực tế thực tế.

Hãy bắt đầu với một đoạn cắt nhanh về chủ đề. Tóm lại vấn đề chính: chúng ta đang nói về một hàm của một biến. Miền định nghĩa của nó là tập hợp các giá trị "x", mà hiện hữuý nghĩa của "trò chơi". Hãy xem xét một ví dụ giả định:

Miền của hàm này là sự kết hợp của các khoảng:
(cho những ai quên: - biểu tượng công đoàn). Nói cách khác, nếu chúng ta lấy bất kỳ giá trị nào của "x" từ khoảng, hoặc từ, hoặc từ, thì với mỗi "x" như vậy sẽ có một giá trị là "y".

Nói một cách đơn giản, miền xác định nằm ở đâu, thì có một đồ thị của hàm số. Nhưng nửa khoảng và điểm “ce” không được đưa vào vùng xác định và không có đồ thị ở đó.

Làm thế nào để tìm phạm vi của một hàm? Nhiều người nhớ vần của trẻ em: "đá, kéo, giấy", và trong trường hợp này, nó có thể được diễn giải một cách an toàn: "căn, phân số và logarit." Vì vậy, nếu bạn bắt gặp một phân số, căn bậc hoặc logarit trên đường đời của mình, thì bạn nên ngay lập tức hết sức cảnh giác! Tiếp tuyến, cotangent, arcsine, arccosine ít phổ biến hơn nhiều, và chúng ta cũng sẽ nói về chúng. Nhưng trước hết, các bản phác thảo từ cuộc sống của loài kiến:

Phạm vi của một hàm chứa một phân số

Giả sử đã cho một hàm chứa một số phân số. Như bạn biết, bạn không thể chia cho 0:, vì vậy những Các giá trị x biến mẫu số thành 0 không được bao gồm trong phạm vi của hàm này.

Tôi sẽ không tập trung vào các chức năng đơn giản nhất như và như vậy, bởi vì mọi người đều có thể thấy các điểm không được bao gồm trong miền định nghĩa của họ. Hãy xem xét các phân số có ý nghĩa hơn:

ví dụ 1

Tìm phạm vi của một hàm

Quyết định: không có gì đặc biệt ở tử số, nhưng mẫu số phải khác 0. Hãy đánh đồng nó với 0 và cố gắng tìm ra những điểm "xấu":

Phương trình kết quả có hai nghiệm: . Dữ liệu giá trị không bao gồm trong phạm vi của chức năng. Thật vậy, hãy thay thế hoặc vào hàm và bạn sẽ thấy rằng mẫu số bằng không.

Trả lời: miền:

Mục nhập có nội dung như sau: "miền định nghĩa là tất cả các số thực ngoại trừ tập hợp bao gồm các giá trị ". Tôi nhắc bạn rằng biểu tượng dấu gạch chéo ngược trong toán học biểu thị phép trừ logic và dấu ngoặc nhọn biểu thị một tập hợp. Câu trả lời có thể được viết một cách tương đương dưới dạng sự kết hợp của ba khoảng:

Ai thích thì thôi.

Tại các điểm chức năng lâu dài nghỉ giải lao bất tận, và các đường thẳng được cho bởi các phương trình là Các asymptotes dọc cho đồ thị của hàm này. Tuy nhiên, đây là một chủ đề hơi khác, và tôi sẽ không đặc biệt tập trung vào vấn đề này.

Ví dụ 2

Tìm phạm vi của một hàm

Nhiệm vụ chủ yếu là bằng miệng và nhiều bạn sẽ tìm thấy vùng định nghĩa gần như ngay lập tức. Trả lời cuối bài.

Một phân số sẽ luôn luôn là "xấu"? Không. Ví dụ, một hàm được xác định trên toàn bộ trục số. Dù chúng ta lấy giá trị nào của "x", mẫu số sẽ không chuyển về 0, hơn nữa, nó sẽ luôn dương:. Như vậy, phạm vi của chức năng này là:.

Tất cả các chức năng như xác định và tiếp diễn trên.

Phức tạp hơn một chút là tình huống khi mẫu số chiếm tam thức bình phương:

Ví dụ 3

Tìm phạm vi của một hàm

Quyết định: Chúng ta hãy cố gắng tìm những điểm mà mẫu số bằng không. Đối với điều này, chúng tôi sẽ quyết định phương trình bậc hai:

Số phân biệt hóa ra là số âm, có nghĩa là không có gốc thực và hàm của chúng ta được xác định trên toàn bộ trục số.

Trả lời: miền:

Ví dụ 4

Tìm phạm vi của một hàm

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Lời giải và đáp án cuối bài. Tôi khuyên bạn không nên lười biếng với những vấn đề đơn giản, bởi vì những hiểu lầm sẽ tích lũy cho những ví dụ xa hơn.

Phạm vi chức năng với gốc

Hàm căn bậc hai chỉ được xác định cho những giá trị của "x" khi biểu thức cấp tiến là không âm:. Nếu gốc nằm ở mẫu số, thì điều kiện rõ ràng là được thắt chặt:. Các phép tính tương tự có giá trị đối với bất kỳ gốc nào có mức độ chẵn dương: , tuy nhiên, gốc đã là mức độ thứ 4 trong nghiên cứu chức năng Tôi không nhớ.

Ví dụ 5

Tìm phạm vi của một hàm

Quyết định: biểu thức cấp tiến phải không âm:

Trước khi tiếp tục giải pháp, hãy để tôi nhắc bạn các quy tắc cơ bản để làm việc với các bất đẳng thức, đã được biết đến từ thời đi học.

Tôi đặc biệt chú ý! Bây giờ chúng tôi đang xem xét các bất bình đẳng với một biến- nghĩa là, đối với chúng tôi, chỉ có một chiều dọc theo trục. Xin đừng nhầm lẫn với bất đẳng thức của hai biến, trong đó toàn bộ mặt phẳng tọa độ có liên quan về mặt hình học. Tuy nhiên, cũng có những sự trùng hợp thú vị! Vì vậy, đối với bất đẳng thức, các phép biến đổi sau là tương đương:

1) Các điều khoản có thể được chuyển từ phần này sang phần khác bằng cách thay đổi (điều khoản) của chúng dấu hiệu.

2) Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân với một số dương.

3) Nếu cả hai phần của bất đẳng thức được nhân với từ chối số, bạn cần thay đổi dấu hiệu của chính sự bất bình đẳng. Ví dụ, nếu có "nhiều hơn", thì nó sẽ trở thành "ít hơn"; nếu nó là "nhỏ hơn hoặc bằng", thì nó sẽ trở thành "lớn hơn hoặc bằng".

Trong bất đẳng thức, chúng tôi di chuyển "ba" sang phía bên phải với một sự thay đổi dấu hiệu (quy tắc số 1):

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với –1 (quy tắc số 3):

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với (quy tắc số 2):

Trả lời: miền:

Câu trả lời cũng có thể được viết bằng cụm từ tương đương: "hàm được xác định tại".
Về mặt hình học, miền định nghĩa được mô tả bằng cách tô bóng các khoảng tương ứng trên trục x. Trong trường hợp này:

Một lần nữa, tôi nhớ lại ý nghĩa hình học của miền định nghĩa - đồ thị của hàm số chỉ tồn tại trong vùng bóng mờ và vắng mặt tại.

Trong hầu hết các trường hợp, một kết quả phân tích thuần túy về miền định nghĩa là phù hợp, nhưng khi hàm rất khó hiểu, bạn nên vẽ một trục và ghi chú.

Ví dụ 6

Tìm phạm vi của một hàm

Đây là một ví dụ do-it-yourself.

Khi có một nhị thức bình phương hoặc tam thức dưới căn bậc hai, tình huống trở nên phức tạp hơn một chút, và bây giờ chúng ta sẽ phân tích kỹ thuật giải chi tiết:

Ví dụ 7

Tìm phạm vi của một hàm

Quyết định: biểu thức căn phải dương nghiêm ngặt, tức là ta cần giải bất phương trình. Ở bước đầu tiên, chúng tôi cố gắng phân tích nhân tử của tam thức bình phương:

Yếu tố phân biệt là tích cực, chúng tôi đang tìm kiếm gốc rễ:

Vì vậy, parabol cắt trục x tại hai điểm, có nghĩa là một phần của parabol nằm bên dưới trục (bất đẳng thức) và một phần của parabol nằm trên trục (bất đẳng thức mà chúng ta cần).

Kể từ hệ số, khi đó các nhánh của parabol nhìn lên. Từ phần trên, bất đẳng thức được thỏa mãn trên các khoảng (các nhánh của parabol đi lên đến vô cùng), và đỉnh của parabol nằm trên khoảng bên dưới trục abscissa, tương ứng với bất đẳng thức:

! Ghi chú: nếu bạn không hiểu đầy đủ các giải thích, vui lòng vẽ trục thứ hai và toàn bộ parabol! Nên quay lại bài viết và sách hướng dẫn Công thức Toán học Phổ thông Hot.

Xin lưu ý rằng bản thân các điểm bị thủng (không có trong lời giải), vì bất đẳng thức của chúng ta là nghiêm ngặt.

Trả lời: miền:

Nói chung, nhiều bất đẳng thức (bao gồm cả bất đẳng thức được coi là) được giải bằng phổ phương pháp khoảng thời gian, được biết lại từ chương trình giảng dạy của trường. Nhưng trong trường hợp vuông hai và ba số hạng, theo tôi, việc phân tích vị trí của parabol so với trục sẽ thuận tiện và nhanh hơn nhiều. Còn phương pháp chính - phương pháp khoảng thì chúng tôi sẽ phân tích cụ thể trong bài viết. Hàm nulls. Khoảng liên tục.

Ví dụ 8

Tìm phạm vi của một hàm

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Bài mẫu nhận xét chi tiết về logic suy luận + phương pháp giải lần 2 và một phép biến đổi quan trọng khác của bất đẳng thức, mà không biết học sinh này sẽ khập khiễng một chân ..., ... hức ... phí cả chân. , có lẽ anh ấy đã phấn khích, đúng hơn - trên một ngón tay. Ngón tay cái.

Một hàm có căn bậc hai có thể được xác định trên toàn bộ trục số không? Chắc chắn. Tất cả các gương mặt thân quen:. Hoặc một tổng tương tự với số mũ:. Thật vậy, đối với bất kỳ giá trị nào \ u200b \ u200bof "x" và "ka":, do đó, thậm chí còn hơn thế nữa.

Đây là một ví dụ ít rõ ràng hơn: . Ở đây giá trị phân biệt là âm (parabol không cắt qua trục x), trong khi các nhánh của parabol hướng lên trên, do đó miền xác định:.

Câu hỏi ngược lại: phạm vi của một chức năng có thể là làm rỗng cái gì? Có, và một ví dụ nguyên thủy ngay lập tức gợi ý , trong đó biểu thức căn là âm với bất kỳ giá trị nào của "x" và miền định nghĩa là: (biểu tượng tập hợp trống). Một chức năng như vậy không được xác định ở tất cả (tất nhiên, đồ thị cũng là ảo tưởng).

có rễ kỳ lạ vân vân. mọi thứ tốt hơn nhiều - ở đây biểu thức gốc cũng có thể là âm. Ví dụ, một hàm được xác định trên toàn bộ dòng số. Tuy nhiên, hàm có một điểm duy nhất vẫn chưa được bao gồm trong miền định nghĩa, vì mẫu số chuyển thành không. Vì lý do tương tự cho chức năng điểm bị loại trừ.

Miền hàm với lôgarit

Hàm phổ biến thứ ba là logarit. Ví dụ, tôi sẽ vẽ một lôgarit tự nhiên, xuất hiện trong khoảng 99 ví dụ trong số 100. Nếu một hàm nào đó chứa lôgarit, thì miền xác định của nó chỉ nên bao gồm các giá trị x đó \ u200b \ u200 đáp ứng bất đẳng thức . Nếu lôgarit ở mẫu số: thì Ngoài rađiều kiện được áp đặt (bởi vì).

Ví dụ 9

Tìm phạm vi của một hàm

Quyết định: theo như trên, chúng tôi soạn và giải hệ thống:

Giải pháp đồ họa cho hình nộm:

Trả lời: miền:

Tôi sẽ tập trung vào một điểm kỹ thuật nữa - sau cùng, tôi không có thang đo và không có sự phân chia dọc theo trục. Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để thực hiện các bản vẽ như vậy trong một cuốn sổ trên giấy kẻ ô vuông? Có thể đo khoảng cách giữa các điểm trong ô đúng theo tỷ lệ không? Tất nhiên, quy mô của nó là chuẩn và chặt chẽ hơn, nhưng một bản vẽ giản đồ phản ánh cơ bản tình hình cũng khá dễ chấp nhận.

Ví dụ 10

Tìm phạm vi của một hàm

Để giải quyết vấn đề, bạn có thể sử dụng phương pháp của đoạn trước - để phân tích vị trí của parabol so với trục x. Trả lời cuối bài.

Như bạn có thể thấy, trong lĩnh vực logarit, mọi thứ đều rất giống với tình huống với căn bậc hai: hàm (tam thức vuông từ Ví dụ số 7) được xác định trên các khoảng và hàm (nhị thức bình phương từ Ví dụ số 6) trên khoảng. Thật xấu hổ khi nói rằng các hàm kiểu được định nghĩa trên toàn bộ dãy số.

Thông tin hữu ích : hàm loại là thú vị, nó được xác định trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm. Theo tính chất của lôgarit, "hai" có thể được lấy ra bởi một thừa số bên ngoài lôgarit, nhưng để hàm không thay đổi, "x" phải được đặt dưới dấu môđun: . Đến đây bạn có thêm một "ứng dụng thực tế" của module =). Đây là điều bạn cần làm trong hầu hết các trường hợp khi phá dỡ thậm chí bằng cấp, ví dụ: . Ví dụ: nếu cơ sở của mức độ là số dương, thì không cần dấu hiệu mô-đun và chỉ cần sử dụng dấu ngoặc đơn là đủ:.

Để không lặp lại chính mình, hãy làm phức tạp nhiệm vụ:

Ví dụ 11

Tìm phạm vi của một hàm

Quyết định: trong hàm này chúng ta có cả căn và logarit.

Biểu thức căn phải không âm:, và biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương:. Vì vậy, cần phải giải quyết hệ thống:

Nhiều bạn biết rất rõ hoặc trực quan đoán rằng nghiệm của hệ phải thỏa mãn cho mỗiđiều kiện.

Kiểm tra vị trí của parabol so với trục, chúng tôi đi đến kết luận rằng khoảng thỏa mãn bất đẳng thức (tô màu xanh lam):

Rõ ràng là bất đẳng thức tương ứng với nửa khoảng "màu đỏ".

Vì cả hai điều kiện phải được đáp ứng đồng thời, thì nghiệm của hệ là giao của các khoảng này. "Lợi ích chung" được quan sát trên nửa khoảng thời gian.

Trả lời: miền:

Bất bình đẳng điển hình, như được chứng minh trong Ví dụ số 8, không khó để giải quyết bằng phân tích.

Miền định nghĩa được tìm thấy sẽ không thay đổi đối với "các chức năng tương tự", ví dụ: đối với hoặc . Bạn cũng có thể thêm một số hàm liên tục, ví dụ: hoặc như thế này: , hoặc thậm chí như thế này:. Như người ta nói, căn và logarit là những thứ cứng đầu. Điều duy nhất là nếu một trong các hàm được "đặt lại" về mẫu số, thì miền định nghĩa sẽ thay đổi (mặc dù trong trường hợp chung điều này không phải lúc nào cũng đúng). Vâng, trong lý thuyết của matan về lời nói này ... ồ ... có các định lý.

Ví dụ 12

Tìm phạm vi của một hàm

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Sử dụng một bản thiết kế là khá thích hợp, vì chức năng này không phải là dễ nhất.

Một vài ví dụ khác để củng cố tài liệu:

Ví dụ 13

Tìm phạm vi của một hàm

Quyết định: soạn và giải hệ thống:

Tất cả các hành động đã được sắp xếp trong quá trình của bài viết. Vẽ trên một dòng số khoảng tương ứng với bất đẳng thức và theo điều kiện thứ hai, loại trừ hai điểm:

Giá trị hóa ra hoàn toàn không liên quan.

Trả lời: miền

Một cách chơi chữ toán học nhỏ trên một biến thể của ví dụ thứ 13:

Ví dụ 14

Tìm phạm vi của một hàm

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Ai bị trượt, anh ta đang bay ;-)

Phần cuối cùng của bài học được dành cho các hàm hiếm hơn, nhưng cũng "làm việc":

Phạm vi chức năng
với tiếp tuyến, đường cotang, cung tròn, arccosines

Nếu một số hàm bao gồm, thì từ miền định nghĩa của nó loại trừđiểm , ở đâu Z là tập hợp các số nguyên. Đặc biệt, theo ghi nhận trong bài báo Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản, hàm có các giá trị sau:

Đó là miền xác định của tiếp tuyến: .

Chúng tôi sẽ không giết nhiều:

Ví dụ 15

Tìm phạm vi của một hàm

Quyết định: trong trường hợp này, các điểm sau sẽ không được đưa vào miền định nghĩa:

Hãy bỏ "hai" của vế trái vào mẫu số của vế phải:

Kết quả là :

Trả lời: miền: .

Về nguyên tắc, câu trả lời cũng có thể được viết dưới dạng liên hợp của vô số khoảng thời gian, nhưng việc xây dựng sẽ trở nên rất cồng kềnh:

Giải pháp phân tích hoàn toàn phù hợp với đồ họa chuyển đổi hình học: nếu đối số của hàm được nhân với 2, thì đồ thị của nó sẽ co về trục hai lần. Lưu ý rằng khoảng thời gian của hàm đã giảm đi một nửa như thế nào, và điểm ngắt tăng lên hai lần. Nhịp tim nhanh.

Câu chuyện tương tự với cotangent. Nếu một số chức năng bao gồm, thì các điểm sẽ bị loại trừ khỏi miền định nghĩa của nó. Đặc biệt, đối với hàm, chúng tôi chụp các giá trị sau bằng một cụm tự động:

Nói cách khác:

Hãy bắt đầu bằng cách tìm miền định nghĩa của tổng các hàm. Rõ ràng là một hàm như vậy có ý nghĩa đối với tất cả các giá trị như vậy của biến mà tất cả các hàm tạo thành tổng đều có ý nghĩa. Do đó, không có nghi ngờ gì về tính hợp lệ của tuyên bố sau:

Nếu hàm f là tổng của n hàm f 1, f 2,…, f n, tức là hàm f được cho bởi công thức y = f 1 (x) + f 2 (x) +… + f n (x ), thì miền của hàm f là giao của miền của các hàm f 1, f 2,…, f n. Hãy viết nó dưới dạng.

Chúng ta hãy đồng ý tiếp tục sử dụng các bản ghi như bản ghi cuối cùng, theo đó chúng ta có nghĩa là được viết bên trong một dấu ngoặc nhọn hoặc việc thực hiện đồng thời bất kỳ điều kiện nào. Điều này là thuận tiện và khá tự nhiên cộng hưởng với ý nghĩa của các hệ thống.

Ví dụ.

Cho một hàm số y = x 7 + x + 5 + tgx, và chúng ta cần tìm miền của nó.

Quyết định.

Hàm f được biểu diễn bằng tổng của bốn hàm: f 1 là hàm lũy thừa với số mũ là 7, f 2 là hàm lũy thừa với số mũ là 1, f 3 là hàm hằng và f 4 là hàm tiếp tuyến.

Nhìn vào bảng miền định nghĩa của các hàm cơ bản cơ bản, ta thấy rằng D (f 1) = (- ∞, + ∞), D (f 2) = (- ∞, + ∞), D (f 3) = (- ∞, + ∞), và miền của tiếp tuyến là tập hợp tất cả các số thực, ngoại trừ các số .

Miền của hàm f là giao của các miền của các hàm f 1, f 2, f 3 và f 4. Rõ ràng đây là tập hợp tất cả các số thực, ngoại trừ các số .

Trả lời:

tập hợp tất cả các số thực ngoại trừ .

Hãy chuyển sang tìm kiếm lĩnh vực của sản phẩm của các chức năng. Đối với trường hợp này, một quy tắc tương tự được áp dụng:

Nếu hàm f là tích của n hàm f 1, f 2,…, f n, tức là hàm f được cho bởi công thức y = f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x), thì miền của hàm f là giao của các miền của các hàm f 1, f 2,…, f n. Cho nên, .

Có thể hiểu, trong khu vực được chỉ ra, tất cả các chức năng của sản phẩm được xác định, và do đó chính hàm f.

Ví dụ.

Y = 3 arctgx lnx.

Quyết định.

Cấu trúc vế phải của công thức xác định hàm có thể được coi là f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), trong đó f 1 là hàm hằng, f 2 là hàm tiếp tuyến, và f 3 là hàm số logarit với cơ số e.

Chúng ta biết rằng D (f 1) = (- ∞, + ∞), D (f 2) = (- ∞, + ∞) và D (f 3) = (0, + ∞). sau đó .

Trả lời:

Miền của hàm y = 3 arctgx lnx là tập hợp tất cả các số thực dương.

Chúng ta hãy đi sâu vào việc tìm miền xác định của hàm được cho bởi công thức y = C · f (x), trong đó C là một số thực nào đó. Dễ dàng chứng minh rằng miền của hàm này và miền của hàm f trùng nhau. Thật vậy, hàm y = C f (x) là tích của một hàm hằng và một hàm f. Miền của một hàm hằng là tập hợp tất cả các số thực và miền của hàm f là D (f). Khi đó miền của hàm số y = C f (x) là , đã được hiển thị.

Vì vậy, miền của các hàm y = f (x) và y = C · f (x), trong đó С là một số thực nào đó, trùng nhau. Ví dụ, nếu miền căn là, rõ ràng D (f) là tập hợp tất cả x từ miền của hàm f 2 mà f 2 (x) được bao gồm trong miền của hàm f 1 .

Vì vậy, miền của một hàm phức tạp y = f 1 (f 2 (x)) là giao của hai tập hợp: tập hợp của mọi x sao cho x D (f 2) và tập của mọi x sao cho f 2 (x) ∈D (f 1 ). Đó là, trong ký hiệu của chúng tôi (đây thực chất là một hệ bất đẳng thức).

Hãy xem một vài ví dụ. Trong quá trình này, chúng tôi sẽ không mô tả chi tiết, vì điều này nằm ngoài phạm vi của bài viết này.

Ví dụ.

Tìm miền của hàm số y = lnx 2.

Quyết định.

Hàm ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng y = f 1 (f 2 (x)), trong đó f 1 là một logarit với cơ số e, và f 2 là một hàm lũy thừa với số mũ 2.

Chuyển sang các miền định nghĩa của các hàm cơ bản cơ bản đã biết, ta có D (f 1) = (0, + ∞) và D (f 2) = (- ∞, + ∞).

sau đó

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy miền định nghĩa của hàm mà chúng tôi cần, nó là tập hợp của tất cả các số thực ngoại trừ số 0.

Trả lời:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Ví dụ.

Phạm vi của chức năng là gì ?

Quyết định.

Hàm này phức tạp, nó có thể được coi là y \ u003d f 1 (f 2 (x)), trong đó f 1 là hàm lũy thừa với số mũ và f 2 là hàm arcsine và chúng ta cần tìm miền của nó.

Hãy xem những gì chúng ta biết: D (f 1) = (0, + ∞) và D (f 2) = [- 1, 1]. Vẫn là tìm giao điểm của các bộ giá trị x sao cho x∈D (f 2) và f 2 (x) ∈D (f 1):

Đối với arcsinx> 0, hãy nhớ lại các thuộc tính của hàm arcsine. Arcsine tăng trên toàn bộ miền định nghĩa [−1, 1] và biến mất tại x = 0, do đó, arcsinx> 0 với bất kỳ x nào trong khoảng (0, 1].

Hãy quay lại hệ thống:

Do đó, miền định nghĩa mong muốn của hàm là một nửa khoảng (0, 1].

Trả lời:

(0, 1] .

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các hàm tổng quát phức tạp y = f 1 (f 2 (… f n (x)))). Miền của hàm f trong trường hợp này được tìm thấy là .

Ví dụ.

Tìm phạm vi của một hàm .

Quyết định.

Hàm phức đã cho có thể được viết dưới dạng y \ u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), trong đó f 1 - sin, f 2 - hàm của căn bậc 4, f 3 - lg.

Chúng ta biết rằng D (f 1) = (- ∞, + ∞), D (f 2) = bao gồm các giá trị -2 và 2, nhưng không bao gồm giá trị 10.

Vẽ đồ thị của hàm số bậc hai.Đồ thị của một hàm như vậy là một parabol, các nhánh của chúng được hướng lên hoặc hướng xuống. Vì parabol tăng hoặc giảm dọc theo toàn bộ trục X nên miền của hàm bậc hai là tất cả các số thực. Nói cách khác, miền của một hàm như vậy là tập R (R là viết tắt của mọi số thực).

• Để hiểu rõ hơn về khái niệm hàm, hãy chọn bất kỳ giá trị nào của "x", thay nó vào hàm và tìm giá trị của "y". Cặp giá trị "x" và "y" biểu thị một điểm có tọa độ (x, y), nằm trên đồ thị của hàm số.
• Vẽ đồ thị điểm này trên mặt phẳng tọa độ và thực hiện quá trình được mô tả với một giá trị x khác.
• Bằng cách vẽ một số điểm trên mặt phẳng tọa độ, bạn sẽ có được ý tưởng chung về hình dạng của đồ thị hàm số.

Nếu hàm chứa một phân số, hãy đặt mẫu số của nó bằng không. Hãy nhớ rằng bạn không thể chia cho số không. Do đó, bằng cách quy đồng mẫu số với 0, bạn sẽ tìm thấy các giá trị x không nằm trong phạm vi của hàm.

• Ví dụ, tìm miền của hàm f (x) = (x + 1) / (x - 1).
• Ở đây mẫu số là: (x - 1).
• Quy đồng mẫu số bằng 0 và tìm "x": x - 1 = 0; x = 1.
• Viết ra phạm vi của chức năng. Miền xác định không bao gồm 1, tức là nó bao gồm tất cả các số thực trừ 1. Như vậy, miền của hàm là: (-∞, 1) Ư (1, ∞).
• Kí hiệu (-∞, 1) U (1, ∞) đọc như sau: tập hợp tất cả các số thực trừ 1. Ký hiệu vô cực ∞ có nghĩa là tất cả các số thực. Trong ví dụ của chúng tôi, tất cả các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1 đều được đưa vào phạm vi.

Nếu hàm chứa căn bậc hai thì biểu thức căn phải lớn hơn hoặc bằng không. Hãy nhớ rằng căn bậc hai của số âm không được lấy. Do đó, bất kỳ giá trị nào của "x" mà tại đó biểu thức gốc trở thành âm phải được loại trừ khỏi phạm vi của hàm.

• Ví dụ, tìm miền của hàm f (x) = √ (x + 3).
• Biểu thức cấp tiến: (x + 3).
• Biểu thức căn phải lớn hơn hoặc bằng không: (x + 3) ≥ 0.
• Tìm "x": x ≥ -3.
• Miền của hàm này bao gồm tập hợp tất cả các số thực lớn hơn hoặc bằng -3. Như vậy, miền xác định là: [-3, ∞).

Phần 2

Tìm phạm vi của một hàm số bậc hai

1. Hãy chắc chắn rằng bạn được cung cấp một hàm bậc hai. Hàm số bậc hai có dạng: ax 2 + bx + c: f (x) = 2x 2 + 3x + 4. Đồ thị của hàm số đó là một parabol, các nhánh của chúng hướng lên hoặc hướng xuống. Có nhiều phương pháp khác nhau để tìm phạm vi của một hàm bậc hai.

   • Cách dễ nhất để tìm phạm vi của một hàm chứa một căn hoặc một phân số là vẽ một hàm như vậy bằng cách sử dụng máy tính vẽ đồ thị.

2. Tìm tọa độ x của đỉnh của đồ thị của hàm số. Trong trường hợp của một hàm số bậc hai, hãy tìm tọa độ x của đỉnh của parabol. Nhớ rằng hàm số bậc hai là: ax 2 + bx + c. Để tính tọa độ "x", sử dụng phương trình sau: x = -b / 2a. Phương trình này là một đạo hàm của hàm bậc hai cơ bản và mô tả một tiếp tuyến có hệ số góc bằng 0 (tiếp tuyến với đỉnh của parabol song song với trục X).

   • Ví dụ, tìm khoảng của hàm 3x 2 + 6x -2.
   • Tính tọa độ "x" của đỉnh của parabol: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1

3. Tìm tọa độ y của đỉnh đồ thị của hàm số.Để thực hiện việc này, hãy thay thế tọa độ x tìm được vào hàm. Tọa độ mong muốn "y" là giá trị giới hạn của phạm vi của hàm.

   • Tính tọa độ y: y = 3x 2 + 6x - 2 = 3 (-1) 2 + 6 (-1) -2 = -5
   • Tọa độ đỉnh parabol của hàm này: (-1, -5).

4. Xác định hướng của parabol bằng cách thêm ít nhất một giá trị x vào hàm. Chọn bất kỳ giá trị x nào khác và cắm nó vào hàm để tính giá trị y tương ứng. Nếu giá trị tìm được "y" lớn hơn tọa độ "y" của đỉnh của parabol thì parabol đó hướng lên trên. Nếu giá trị tìm được "y" nhỏ hơn tọa độ "y" của đỉnh của parabol, thì parabol sẽ hướng xuống dưới.

   • Thay x = -2 vào hàm số: y = 3x 2 + 6x - 2 = y = 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
   • Tọa độ của một điểm nằm trên parabol: (-2, -2).
   • Các tọa độ tìm được chỉ ra rằng các nhánh của parabol hướng lên trên. Do đó, phạm vi của hàm bao gồm tất cả các giá trị của "y" lớn hơn hoặc bằng -5.
   • Phạm vi của hàm này: [-5, ∞)

5. Phạm vi của một chức năng được viết tương tự như phạm vi của một chức năng. Dấu ngoặc vuông được sử dụng khi giá trị nằm trong phạm vi của hàm; nếu giá trị nằm ngoài phạm vi, dấu ngoặc đơn được sử dụng. Nếu hàm có một số phạm vi không liền nhau, một ký tự "U" được đặt giữa chúng.

   • Ví dụ: phạm vi [-2,10) U (10,2] bao gồm các giá trị -2 và 2, nhưng không bao gồm giá trị 10.
   • Dấu ngoặc đơn luôn được sử dụng với ký hiệu vô cực ∞.

Trong toán học, có một số lượng khá nhỏ các hàm cơ bản mà miền định nghĩa bị giới hạn. Tất cả các chức năng "phức tạp" khác chỉ là tổ hợp và kết hợp của chúng.

1. Hàm phân số - quy đồng mẫu số.

2. Căn bậc chẵn là hạn chế của biểu thức căn bậc.

3. Lôgarit - hạn chế về cơ số của lôgarit và biểu thức lôgarit.

3. Lượng giác tg (x) và ctg (x) - hạn chế đối số.

Đối với tiếp tuyến:

4. Hàm số lượng giác nghịch đảo.

Arcsine	Vòng cung cosine	Arc tiếp tuyến, Arc tiếp tuyến

Hơn nữa, các ví dụ sau đây về chủ đề "Phạm vi của chức năng" được giải quyết.

ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Ví dụ 4

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Ví dụ 7

Ví dụ 8

Ví dụ 9

Ví dụ 10

Ví dụ 11

Ví dụ 12

Ví dụ 13

Ví dụ 14

Ví dụ 15

Ví dụ 16

Một ví dụ về việc tìm kiếm phạm vi của một hàm số 1

Tìm miền của bất kỳ hàm tuyến tính nào, tức là chức năng mức độ đầu tiên:

y = 2x + 3 - phương trình xác định một đường thẳng trên mặt phẳng.

Hãy quan sát kỹ hàm số và suy nghĩ xem chúng ta có thể thay các giá trị số nào vào phương trình thay cho biến x?

Hãy thử thay thế giá trị x = 0

Vì y \ u003d 2 0 + 3 \ u003d 3 - có một giá trị số, do đó hàm tồn tại khi giá trị của biến được lấy x = 0.

Hãy thử thay thế giá trị x = 10

vì y \ u003d 2 10 + 3 \ u003d 23 - hàm tồn tại khi giá trị của biến x \ u003d 10 được lấy.

Hãy thử thay thế giá trị x = -10

vì y \ u003d 2 (-10) + 3 \ u003d -17 - hàm tồn tại khi giá trị của biến x \ u003d -10 được lấy.

Phương trình xác định một đường thẳng trên một mặt phẳng và một đường thẳng không có điểm đầu hoặc điểm cuối nên nó tồn tại với bất kỳ giá trị x nào.

Lưu ý rằng bất kể chúng ta thay các giá trị số nào vào hàm đã cho thay vì x, chúng ta sẽ luôn nhận được giá trị số của biến y.

Do đó, hàm tồn tại với mọi giá trị x ∈ R, hoặc ta viết nó như sau: D (f) = R

Dạng đáp án: D (f) = R hoặc D (f) = (- ∞: + ∞) hoặc x∈R hoặc x∈ (-∞: + ∞)

Hãy kết luận:

Với bất kỳ hàm số nào có dạng y = ax + b, miền xác định là tập các số thực.

Một ví dụ về việc tìm phạm vi của một hàm số 2

Một hàm của biểu mẫu được đưa ra:

y = 10 / (x + 5) - phương trình hyperbola

Khi xử lý một hàm phân số, hãy nhớ rằng bạn không thể chia cho số không. Do đó, hàm sẽ tồn tại với mọi giá trị của x không

đặt mẫu số bằng 0. Hãy thử thay thế một số giá trị x tùy ý.

Với x = 0 ta có y = 10 / (0 + 5) = 2 - hàm số tồn tại.

Với x = 10, chúng ta có y = 10 / (10 + 5) = 10/15 = 2/3- chức năng tồn tại.

Với x = -5 ta có y = 10 / (- 5 + 5) = 10/0 - lúc này hàm số không tồn tại.

Những thứ kia. nếu hàm số đã cho là phân số thì cần quy đồng mẫu số bằng 0 và tìm một điểm mà hàm số không tồn tại.

Trong trường hợp của chúng ta:

x + 5 = 0 → x = -5 - lúc này hàm số đã cho không tồn tại.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Hãy vẽ biểu đồ cho rõ ràng:

Trên đồ thị, chúng ta cũng thấy rằng hyperbol tiếp cận đường thẳng x = -5 càng gần càng tốt, nhưng không tự nó đạt đến giá trị -5.

Ta thấy rằng hàm số đã cho tồn tại tại mọi điểm thuộc trục thực, trừ điểm x = -5

Trả lời các hình thức ghi âm: D (f) = R \ (- 5) hoặc D (f) = (- ∞; -5) ∪ (-5;+∞) hoặc x ∈ R \ (- 5) hoặc x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Nếu hàm số đã cho là phân số, thì sự hiện diện của mẫu số đặt ra điều kiện là mẫu số không bằng không.

Một ví dụ về việc tìm phạm vi của một hàm số 3

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm miền của một hàm có căn bậc chẵn:

Vì chúng ta chỉ có thể trích xuất căn bậc hai từ một số không âm, do đó, hàm dưới căn là không âm.

2x - 8 ≥ 0

Hãy giải một bất đẳng thức đơn giản:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Hàm đã cho chỉ tồn tại đối với các giá trị tìm được x ≥ 4 hoặc D (f) =)