Tính chất của căn bậc hai cho lớn hơn 0. Tính chất của căn bậc hai

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định một người cụ thể hoặc liên hệ với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email của bạn, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

• Trong trường hợp cần thiết - theo quy định của pháp luật, trình tự tư pháp, trong thủ tục pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan nhà nước trên lãnh thổ Liên bang Nga - hãy tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp vì lý do an ninh, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi thông báo các thực tiễn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

Bài học và cách trình bày về chủ đề:
"Tính chất của căn bậc hai. Công thức. Ví dụ về giải pháp, nhiệm vụ có câu trả lời"

Tài liệu bổ sung
Người dùng thân mến, đừng quên để lại ý kiến, phản hồi, đề xuất của bạn. Tất cả các tài liệu được kiểm tra bởi một chương trình chống vi-rút.

Máy trợ giảng và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến "Tích phân" dành cho lớp 8
Hướng dẫn học tương tác "Hình học trong 10 phút" lớp 8
Khu phức hợp giáo dục "1C: Trường học. Hình học, Lớp 8"

Thuộc tính căn bậc hai

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu về căn bậc hai. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các thuộc tính chính của rễ. Tất cả các thuộc tính chính đều trực quan và phù hợp với tất cả các thao tác mà chúng tôi đã thực hiện trước đây.

Tính chất 1. Căn bậc hai của tích của hai số không âm bằng tích của căn bậc hai của những số này: $ \ sqrt (a * b) = \ sqrt (a) * \ sqrt (b) $.

Theo thói quen để chứng minh bất kỳ tài sản nào, chúng ta hãy làm điều đó.
Cho $ \ sqrt (a * b) = x $, $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $. Sau đó, chúng ta phải chứng minh rằng $ x = y * z $.
Hãy bình phương mỗi biểu thức.
Nếu $ \ sqrt (a * b) = x $ thì $ a * b = x ^ 2 $.
Nếu $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $, thì bình phương cả hai biểu thức, ta được: $ a = y ^ 2 $, $ b = z ^ 2 $.
$ a * b = x ^ 2 = y ^ 2 * z ^ 2 $, tức là $ x ^ 2 = (y * z) ^ 2 $. Nếu bình phương của hai số không âm bằng nhau, thì bản thân các số đó cũng bằng nhau, điều này đã được chứng minh.

Từ thuộc tính của chúng tôi, ví dụ: $ \ sqrt (5) * \ sqrt (3) = \ sqrt (15) $.

Nhận xét 1. Thuộc tính cũng có giá trị đối với trường hợp khi có nhiều hơn hai yếu tố không tiêu cực dưới gốc.
Tài sản 2. Nếu $ a≥0 $ và $ b> 0 $, thì đẳng thức sau được giữ nguyên: $ \ sqrt (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) $

Tức là thương của gốc bằng thương của các gốc.
Bằng chứng.
Hãy sử dụng bảng và chứng minh ngắn gọn tài sản của chúng tôi.

Ví dụ về sử dụng thuộc tính căn bậc hai

ví dụ 1
Tính: $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $.

Dung dịch.
Tất nhiên, chúng ta có thể lấy một máy tính, nhân tất cả các số dưới căn và thực hiện thao tác rút ra căn bậc hai. Và nếu không có máy tính trong tay, thì sao?
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $.
Trả lời: 495.

Ví dụ 2. Tính: $ \ sqrt (11 \ frac (14) (25)) $.

Dung dịch.
Chúng tôi biểu diễn số căn dưới dạng một phân số không đúng: $ 11 \ frac (14) (25) = \ frac (11 * 25 + 14) (25) = \ frac (275 + 14) (25) = \ frac (289) ( 25) $.
Hãy sử dụng thuộc tính 2.
$ \ sqrt (\ frac (289) (25)) = \ frac (\ sqrt (289)) (\ sqrt (25)) = \ frac (17) (5) = 3 \ frac (2) (5) = 3,4 $.
Trả lời: 3.4.

Ví dụ 3
Tính: $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

Dung dịch.
Chúng ta có thể đánh giá biểu thức của mình một cách trực tiếp, nhưng nó hầu như luôn luôn có thể được đơn giản hóa. Hãy cố gắng làm điều này.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Vì vậy, $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) = \ sqrt (16 * 64) = \ sqrt (16) * \ sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $.
Trả lời: 32.

Các bạn lưu ý rằng không có công thức nào cho các phép tính cộng trừ các biểu thức căn và các biểu thức dưới đây không đúng.
$ \ sqrt (a + b) ≠ \ sqrt (a) + \ sqrt (b) $.
$ \ sqrt (a-b) ≠ \ sqrt (a) - \ sqrt (b) $.

Ví dụ 4
Hãy tính: a) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) $; b) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) $.
Dung dịch.
Các thuộc tính được trình bày ở trên hoạt động cả từ trái sang phải và theo thứ tự ngược lại, đó là:
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (b) = \ sqrt (a * b) $.
$ \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) = \ sqrt (\ frac (a) (b)) $.
Hãy sử dụng điều này để giải quyết ví dụ của chúng tôi.
a) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) = \ sqrt (32 * 8) = \ sqrt (256) = 16. $

B) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) = \ sqrt (\ frac (32) (8)) = \ sqrt (4) = 2 $.

Đáp số: a) 16; b) 2.

Thuộc tính 3. Nếu $ a≥0 $ và n là số tự nhiên thì đẳng thức sau đây: $ \ sqrt (a ^ (2n)) = a ^ n $.

Ví dụ. $ \ sqrt (a ^ (16)) = a ^ 8 $, $ \ sqrt (a ^ (24)) = a ^ (12) $, v.v.

Ví dụ 5
Tính: $ \ sqrt (129600) $.

Dung dịch.
Con số được trình bày cho chúng ta là khá lớn, hãy phân tích nó thành các thừa số nguyên tố.
Chúng tôi nhận được: $ 129600 = 5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4 $ hoặc $ \ sqrt (129600) = \ sqrt (5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4) = 5 * 2 ^ 3 * 3 ^ 2 = 5 * 8 * 9 = 360 $.
Trả lời: 360.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập

1. Tính: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $.
2. Tính: $ \ sqrt (8 \ frac (1) (36)) $.
3. Tính: $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $.
4. Tính:
a) $ \ sqrt (128 * \ sqrt (8)) $;
b) $ \ frac (\ sqrt (128)) (\ sqrt (8)) $.

Diện tích mảnh đất hình vuông là 81 dm². Tìm bên anh ấy. Giả sử độ dài cạnh của hình vuông là X decimet. Khi đó diện tích của mảnh đất là X² decimetres vuông. Vì, theo điều kiện, diện tích này là 81 dm², thì X² = 81. Độ dài cạnh của hình vuông là một số dương. Một số dương có bình phương 81 là số 9. Khi giải bài toán, yêu cầu tìm số x, bình phương của số đó là 81, tức là giải phương trình. X² = 81. Phương trình này có hai nghiệm: x 1 = 9 và x 2 \ u003d - 9, vì 9² \ u003d 81 và (- 9) ² \ u003d 81. Cả hai số 9 và - 9 đều được gọi là căn bậc hai của số 81.

Lưu ý rằng một trong các căn bậc hai X= 9 là một số dương. Nó được gọi là căn bậc hai số học của 81 và được ký hiệu là √81, do đó √81 = 9.

Căn bậc hai số học của một số một là một số không âm có bình phương bằng một.

Ví dụ, các số 6 và -6 là căn bậc hai của 36. Số 6 là căn bậc hai số học của 36, ​​vì 6 là số không âm và 6² = 36. Số -6 không phải là căn số học.

Căn bậc hai số học của một số một ký hiệu như sau: √ một.

Dấu hiệu được gọi là dấu căn bậc hai số học; mộtđược gọi là một biểu thức gốc. Biểu thức √ mộtđọc như thế này: căn bậc hai số học của một số một. Ví dụ: √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Trong trường hợp rõ ràng là chúng ta đang nói về một căn số học, họ nói ngắn gọn: "căn bậc hai của một«.

Hành động tìm căn bậc hai của một số được gọi là lấy căn bậc hai. Hành động này là ngược lại của bình phương.

Mọi số đều có thể bình phương, nhưng không phải mọi số đều có thể là căn bậc hai. Ví dụ, không thể trích xuất căn bậc hai của số - 4. Nếu căn như vậy tồn tại, thì biểu thị nó bằng chữ cái X, chúng tôi sẽ nhận được đẳng thức sai x² \ u003d - 4, vì có một số không âm ở bên trái và một số âm ở bên phải.

Biểu thức √ một chỉ có ý nghĩa khi a ≥ 0. Định nghĩa của căn bậc hai có thể được viết ngắn gọn là: √ a ≥ 0, (√một)² = một. Bình đẳng (√ một)² = một có hiệu lực cho a ≥ 0. Do đó, để đảm bảo rằng căn bậc hai của một số không âm một bằng b, tức là √ một =b, bạn cần kiểm tra xem hai điều kiện sau có được đáp ứng không: b ≥ 0, b² = một.

Căn bậc hai của một phân số

Hãy tính toán. Lưu ý rằng √25 = 5, √36 = 6 và kiểm tra xem đẳng thức có đúng không.

Tại vì và, sau đó bình đẳng là đúng. Vì thế, .

Định lý: Nếu một một≥ 0 và b> 0, nghĩa là, căn của phân số bằng căn của tử số chia cho căn của mẫu số. Cần phải chứng minh rằng: và .

Kể từ khi √ một≥0 và √ b> 0, sau đó.

Bằng tính chất nâng phân số thành lũy thừa và xác định căn bậc hai định lý được chứng minh. Hãy xem một vài ví dụ.

Tính theo định lý đã được chứng minh .

Ví dụ thứ hai: Chứng minh rằng , nếu một ≤ 0, b < 0. .

Một ví dụ khác: Tính toán.

.

Phép biến đổi căn bậc hai

Lấy số nhân ra từ dưới dấu hiệu của gốc. Cho một biểu thức đã cho. Nếu một một≥ 0 và b≥ 0, thì theo định lý về nghiệm nguyên của tích, ta có thể viết:

Một phép biến đổi như vậy được gọi là bao thừa dấu căn. Hãy xem xét một ví dụ;

Tính toán tại X= 2. Thay thế trực tiếp X= 2 trong biểu thức căn dẫn đến các phép tính phức tạp. Các phép tính này có thể được đơn giản hóa nếu trước tiên chúng ta loại bỏ các thừa số khỏi dấu gốc:. Bây giờ thay x = 2, ta được:.

Vì vậy, khi loại bỏ thừa số từ dưới dấu căn, biểu thức căn được biểu diễn dưới dạng tích trong đó một hoặc nhiều thừa số là bình phương của các số không âm. Định lý tích số sau đó được áp dụng và lấy gốc của mỗi thừa số. Xét một ví dụ: Đơn giản biểu thức A = √8 + √18 - 4√2 bằng cách lấy thừa số dưới dấu căn trong hai số hạng đầu, ta được:. Chúng tôi nhấn mạnh rằng sự bình đẳng chỉ có giá trị khi một≥ 0 và b≥ 0. nếu một < 0, то .

Các công thức gốc. tính chất của căn bậc hai.

Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người mạnh mẽ "không ..."
Và cho những người "rất nhiều ...")

Ở bài học trước, chúng ta đã tìm hiểu căn bậc hai là gì. Đã đến lúc tìm ra những gì là công thức cho rễ, là gì thuộc tính gốc và những gì có thể được thực hiện với tất cả.

Công thức gốc, thuộc tính gốc và quy tắc cho hành động với rễ- về cơ bản nó giống nhau. Có rất ít công thức cho căn bậc hai một cách đáng ngạc nhiên. Tất nhiên, làm hài lòng! Thay vào đó, bạn có thể viết rất nhiều loại công thức, nhưng chỉ ba công thức là đủ để làm việc thực tế và tự tin với gốc rễ. Mọi thứ khác đều chảy ra từ ba thứ này. Mặc dù nhiều người đi lạc trong ba công thức của rễ, có ...

Hãy bắt đầu với những gì đơn giản nhất. Cô ấy đây rồi:

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.