Tìm một nút và một nút của ba. Nod và nok của số - ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của một số số

Hãy bắt đầu nghiên cứu bội số chung nhỏ nhất của hai hoặc nhiều số. Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa về thuật ngữ, xem xét một định lý thiết lập mối quan hệ giữa bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất, và đưa ra các ví dụ để giải các bài toán.

Bội số chung - định nghĩa, ví dụ

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến bội chung của các số nguyên khác 0.

Định nghĩa 1

Bội số chung của các số nguyên là một số nguyên là bội số của tất cả các số đã cho. Trên thực tế, nó là bất kỳ số nguyên nào có thể chia cho bất kỳ số nào trong số các số đã cho.

Định nghĩa về bội số chung đề cập đến hai, ba hoặc nhiều số nguyên.

ví dụ 1

Theo định nghĩa đã cho ở trên đối với số 12, bội chung là 3 và 2. Ngoài ra, số 12 sẽ là bội số chung của các số 2, 3 và 4. Các số 12 và -12 là bội chung của các số ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12.

Đồng thời, bội chung cho các số 2 và 3 sẽ là các số 12, 6, - 24, 72, 468, - 100 010 004 và toàn bộ dòng bất kì thứ khác.

Nếu ta lấy các số chia hết cho số thứ nhất của một cặp và không chia hết cho số thứ hai thì các số đó sẽ không phải là bội chung. Vì vậy, đối với các số 2 và 3, các số 16, - 27, 5009, 27001 sẽ không phải là bội chung.

0 là bội số chung của bất kỳ tập hợp các số nguyên khác 0.

Nếu chúng ta nhớ lại tính chất chia hết liên quan đến những con số đối lập, thì một số nguyên k sẽ là bội chung của những số này theo cùng một cách với số - k. Điều này có nghĩa là các ước số chung có thể là số dương hoặc số âm.

Có thể tìm LCM cho tất cả các số không?

Bội số chung có thể được tìm thấy cho bất kỳ số nguyên nào.

Ví dụ 2

Giả sử chúng ta được cho k số nguyên a 1, a 2,…, a k. Số mà chúng ta nhận được trong quá trình nhân các số a 1 a 2… a k theo thuộc tính chia hết, nó sẽ được chia cho từng yếu tố trong sản phẩm ban đầu. Điều này có nghĩa là tích của những con số a 1, a 2,…, a k là bội số chung nhỏ nhất trong số những số này.

Các số nguyên này có thể có bao nhiêu bội chung?

Một nhóm các số nguyên có thể có một số lượng lớn bội số chung. Trên thực tế, số lượng của chúng là vô hạn.

Ví dụ 3

Giả sử chúng ta có một số k. Khi đó, tích của các số k · z, với z là một số nguyên, sẽ là bội chung của các số k và z. Cho rằng số bội số là vô hạn, thì bội số chung là vô hạn.

Đa ít chung nhất (LCM) - Định nghĩa, Ký hiệu và Ví dụ

Hãy ghi nhớ khái niệm số nhỏ nhất từ bộ đã cho số mà chúng ta đã thảo luận trong phần So sánh các số nguyên. Với khái niệm này, chúng tôi xây dựng định nghĩa bội số chung nhỏ nhất, có ý nghĩa thực tế lớn nhất trong số tất cả các bội số chung.

Định nghĩa 2

Bội số chung ít nhất của các số nguyên đã cho là bội chung ít dương nhất của những số này.

Bội số chung nhỏ nhất tồn tại cho bất kỳ số lượng số đã cho nào. Chữ viết tắt NOK được sử dụng phổ biến nhất để chỉ một khái niệm trong tài liệu tham khảo. Mục nhập ngắn gọn bội số chung nhỏ nhất cho các số a 1, a 2,…, a k sẽ giống như LCM (a 1, a 2,…, a k).

Ví dụ 4

Bội số chung nhỏ nhất của 6 và 7 là 42. Những thứ kia. LCM (6, 7) = 42. Bội số chung nhỏ nhất của bốn số - 2, 12, 15 và 3 sẽ bằng 60. Viết tắt sẽ là LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Không phải đối với tất cả các nhóm số đã cho, bội số chung nhỏ nhất là hiển nhiên. Thường thì nó phải được tính toán.

Mối quan hệ giữa NOC và NOD

Ít phổ biến nhất và nhiều nhất ước số chung liên kết với nhau. Mối quan hệ giữa các khái niệm được thiết lập bởi định lý.

Định lý 1

Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương a và b bằng tích của hai số a và b chia cho ước chung lớn nhất của các số a và b, tức là LCM (a, b) = a b: GCD (a , b).

Bằng chứng 1

Giả sử chúng ta có một số M là bội số của a và b. Nếu số M chia hết cho a thì cũng có một số nguyên z , theo đó bình đẳng M = a k. Theo định nghĩa của phép chia hết, nếu M cũng chia hết cho b, vậy thì một k chia b.

Nếu chúng tôi giới thiệu một ký hiệu mới cho gcd (a, b) là d, sau đó chúng ta có thể sử dụng các giá trị bằng a = a 1 d và b = b 1 · d. Trong trường hợp này, cả hai giá trị bằng nhau sẽ là số nguyên tố.

Chúng tôi đã thiết lập trên đó một k chia b. Bây giờ điều kiện này có thể được viết như sau:
a 1 d k chia b 1 ngày, tương đương với điều kiện một 1 k chia b 1 theo tính chất của phép chia hết.

Theo tài sản lẫn nhau số nguyên tố, nếu một 1 và b 1 là các số nguyên tố lẫn nhau, một 1 không chia hết cho b 1 mặc dù thực tế là một 1 k chia b 1, sau đó b 1 nên chia sẻ k.

Trong trường hợp này, sẽ là thích hợp để giả định rằng có một số t, mà k = b 1 t, và kể từ khi b1 = b: d, sau đó k = b: d t.

Bây giờ thay vì kđưa vào bình đẳng M = a k biểu hiện của hình thức b: d t. Điều này cho phép chúng ta đi đến bình đẳng M = a b: d t. Tại t = 1 chúng ta có thể nhận được bội số chung dương nhỏ nhất của a và b , bình đẳng a b: d, với điều kiện là các số a và b tích cực.

Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh rằng LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).

Thiết lập kết nối giữa LCM và GCD cho phép bạn tìm bội số chung nhỏ nhất thông qua ước số chung lớn nhất của hai hoặc nhiều số đã cho.

Định nghĩa 3

Định lý có hai hệ quả quan trọng:

bội của bội chung nhỏ nhất của hai số bằng bội chung của hai số đó;
bội số chung nhỏ nhất của các số dương a và b bằng nhau bằng tích của chúng.

Không khó để chứng minh hai sự thật này. Mọi bội chung của M số a và b được xác định bằng đẳng thức M = LCM (a, b) t với một giá trị nguyên t nào đó. Vì a và b là nguyên tố nên gcd (a, b) = 1, do đó, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Bội số chung ít nhất của ba số trở lên

Để tìm bội chung nhỏ nhất của một số số, bạn phải tìm liên tiếp LCM của hai số.

Định lý 2

Hãy giả vờ như vậy a 1, a 2,…, a k là một số số nguyên số dương. Để tính toán LCM m k những con số này, chúng ta cần tính toán tuần tự m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2, a 3),…, m k = NOC(m k - 1, a k).

Bằng chứng 2

Hệ quả đầu tiên của định lý thứ nhất được thảo luận trong chủ đề này sẽ giúp chúng ta chứng minh tính đúng đắn của định lý thứ hai. Suy luận được xây dựng theo thuật toán sau:

bội số chung một 1 và một 2 trùng với bội số LCM của chúng, trên thực tế, chúng trùng với bội số m2;
bội số chung một 1, một 2 và một 3 m2 và một 3 m 3;
bội số chung a 1, a 2,…, a k trùng với bội số chung của số m k - 1 và một k, do đó, trùng với bội số của số m k;
do thực tế là bội số dương nhỏ nhất của số m k là con số của chính nó m k, sau đó là bội số chung nhỏ nhất của các số a 1, a 2,…, a k là một m k.

Như vậy chúng ta đã chứng minh được định lý.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Tìm bội chung nhỏ nhất (LCM) và ước chung lớn nhất (GCD) của các số tự nhiên.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Chúng tôi viết ra thừa số có trong khai triển của số đầu tiên trong số này và thêm vào chúng thừa số còn thiếu 5 từ khai triển của số thứ hai. Ta được: 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300. Đã tìm thấy NOC, tức là tổng này = 300. Đừng quên thứ nguyên và viết câu trả lời:
Trả lời: Mẹ cho mỗi đứa 300 rúp.

Định nghĩa GCD: Số chia chung lớn nhất (GCD) số tự nhiên một và trong gọi tên số tự nhiên lớn nhất c, đến và một, và b chia không dư. Những thứ kia. c là số tự nhiên nhỏ nhất mà và một và b là bội số.

Lời nhắc nhở: Có hai cách tiếp cận để định nghĩa số tự nhiên

số dùng trong: liệt kê (đánh số) các mục (thứ nhất, thứ hai, thứ ba, ...); - trong trường học, thường là.
cho biết số lượng vật phẩm (không có pokemon - số không, một pokemon, hai pokemon, ...).

Các số âm và không nguyên (hữu tỉ, thực, ...) không phải là số tự nhiên. Một số tác giả đưa số 0 vào tập hợp các số tự nhiên, những tác giả khác thì không. Tập hợp tất cả các số tự nhiên thường được kí hiệu bằng kí hiệu N

Lời nhắc nhở:Ước của một số tự nhiên một gọi số b, mà một chia không dư. Bội số tự nhiên bđược gọi là một số tự nhiên một, được chia cho b Không một dâu vêt. Nếu số b- ước số một, sau đó một bội số b. Ví dụ: 2 là ước của 4 và 4 là bội của 2. 3 là ước của 12 và 12 là bội của 3.
Lời nhắc nhở: Các số tự nhiên được gọi là số nguyên tố nếu chúng chỉ chia hết mà không có dư cho chính chúng và bằng 1. Đồng phân là số chỉ có một ước chung bằng 1.

Xác định cách tìm GCD trong trường hợp chung: Để tìm GCD (Số chia chung lớn nhất) Một số số tự nhiên là cần thiết:
1) Chia nhỏ chúng thành thừa số nguyên tố. (Biểu đồ số nguyên tố có thể rất hữu ích cho việc này.)
2) Viết các thừa số có trong khai triển của một trong số chúng.
3) Xóa những cái không có trong khai triển của các số còn lại.
4) Nhân các thừa số có được trong đoạn 3).

Nhiệm vụ 2 trên (NOK):Đến năm mới, Kolya Puzatov đã mua 48 con chuột lang và 36 bình cà phê trong thành phố. Fekla Dormidontova, một cô gái trung thực nhất trong lớp, được giao nhiệm vụ chia tài sản này thành số bộ quà tặng lớn nhất có thể cho giáo viên. Số bộ là bao nhiêu? Thành phần của các bộ là gì?

Ví dụ 2.1. giải bài toán tìm GCD. Tìm GCD theo lựa chọn.
Quyết định: Mỗi số 48 và 36 phải chia hết cho số quà.
1) Viết ra các ước số 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Viết các ước số 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Chọn ước số chung lớn nhất. Op-la-la! Đã tìm thấy, đây là số lượng bộ gồm 12 mảnh.
3) Chia 48 cho 12 ta được 4, chia 36 cho 12 ta được 3. Đừng quên thứ nguyên và viết câu trả lời:
Trả lời: Bạn sẽ nhận được 12 bộ gồm 4 chuột đồng và 3 bình cà phê trong mỗi bộ.

Tài liệu được trình bày dưới đây là sự tiếp nối hợp lý của lý thuyết từ bài báo dưới tiêu đề LCM - bội số ít phổ biến nhất, định nghĩa, ví dụ, mối quan hệ giữa LCM và GCD. Ở đây chúng ta sẽ nói về tìm bội số phổ biến nhất (LCM), và Đặc biệt chú ý Chúng ta hãy xem xét các ví dụ. Đầu tiên chúng ta hãy trình bày cách tính LCM của hai số theo GCD của những số này. Tiếp theo, hãy xem xét việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách gộp các số thành thừa số nguyên tố. Sau đó, chúng tôi sẽ tập trung vào việc tìm LCM của ba và hơn số, và cũng chú ý đến việc tính toán LCM của các số âm.

Điều hướng trang.

Tính toán bội số phổ biến nhất (LCM) thông qua gcd

Một cách để tìm bội số phổ biến nhất là dựa trên mối quan hệ giữa LCM và GCD. Mối quan hệ hiện có giữa LCM và GCD cho phép bạn tính bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương thông qua ước số chung lớn nhất đã biết. Công thức tương ứng có dạng LCM (a, b) = a b: GCM (a, b) . Hãy xem xét các ví dụ về việc tìm LCM theo công thức trên.

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của hai số 126 và 70.

Quyết định.

Trong ví dụ này a = 126, b = 70. Chúng ta hãy sử dụng mối quan hệ giữa LCM và GCD được biểu thị bằng công thức LCM (a, b) = a b: GCM (a, b). Đó là, trước tiên chúng ta phải tìm ước chung lớn nhất của các số 70 và 126, sau đó chúng ta có thể tính LCM của các số này theo công thức đã viết.

Tìm gcd (126, 70) bằng thuật toán Euclid: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, do đó gcd (126, 70) = 14.

Bây giờ chúng tôi tìm thấy bội số chung nhỏ nhất được yêu cầu: LCM (126, 70) = 126 70: GCM (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Trả lời:

LCM (126, 70) = 630.

Ví dụ.

LCM (68, 34) là gì?

Quyết định.

Như 68 chia hết cho 34 thì gcd (68, 34) = 34. Bây giờ chúng ta tính bội số chung nhỏ nhất: LCM (68, 34) = 68 34: LCM (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Trả lời:

LCM (68, 34) = 68.

Lưu ý rằng ví dụ trước phù hợp với quy tắc sau để tìm LCM cho các số nguyên dương a và b: nếu số a chia hết cho b thì bội chung nhỏ nhất của các số này là a.

Tìm LCM bằng cách tính các số thành thừa số nguyên tố

Một cách khác để tìm bội số chung nhỏ nhất là dựa trên việc gộp các số thành thừa số nguyên tố. Nếu chúng ta tạo một tích của tất cả các thừa số nguyên tố của các số này, sau đó chúng ta loại trừ khỏi tích này tất cả các thừa số nguyên tố chung có mặt trong các khai triển của các số này, thì tích kết quả sẽ bằng bội số chung nhỏ nhất của các số này.

Quy tắc đã công bố để tìm LCM tuân theo bình đẳng LCM (a, b) = a b: GCM (a, b). Thật vậy, tích của các số a và b bằng tích của tất cả các thừa số liên quan đến khai triển của các số a và b. Lần lượt, gcd (a, b) bằng với sản phẩm tất cả các thừa số nguyên tố đồng thời có mặt trong các khai triển của số a và b (được mô tả trong phần tìm GCD bằng cách sử dụng phân rã các số thành thừa số nguyên tố).

Hãy lấy một ví dụ. Cho chúng ta biết rằng 75 = 3 5 5 và 210 = 2 3 5 7. Hãy tạo ra một sản phẩm từ tất cả các yếu tố của các mở rộng này: 2 3 3 5 5 5 7. Bây giờ chúng ta loại trừ khỏi sản phẩm này tất cả các thừa số có cả trong khai triển của số 75 và trong khai triển của số 210 (các thừa số đó là 3 và 5), thì tích sẽ có dạng 2 3 5 5 7. Giá trị của tích này bằng bội số chung nhỏ nhất của các số 75 và 210, nghĩa là LCM (75, 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Ví dụ.

Sau khi cộng thừa số 441 và 700 thành các thừa số nguyên tố, hãy tìm bội số chung nhỏ nhất của các số này.

Quyết định.

Hãy phân tích các số 441 và 700 thành các thừa số nguyên tố:

Ta nhận được 441 = 3 3 7 7 và 700 = 2 2 5 5 7.

Bây giờ, hãy lập một tích của tất cả các thừa số liên quan đến khai triển của các số này: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Chúng ta hãy loại trừ khỏi sản phẩm này tất cả các yếu tố xuất hiện đồng thời trong cả hai lần mở rộng (chỉ có một yếu tố như vậy - đây là số 7): 2 2 3 3 5 5 7 7. Vì vậy, LCM (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Trả lời:

LCM (441, 700) = 44 100.

Quy tắc tìm LCM bằng cách sử dụng phân rã các số thành các thừa số nguyên tố có thể được xây dựng hơi khác một chút. Nếu ta thêm thừa số còn thiếu từ khai triển số b với thừa số từ khai triển số a, thì giá trị của tích thu được sẽ bằng bội chung nhỏ nhất của hai số a và b..

Ví dụ, chúng ta hãy lấy tất cả các số giống nhau 75 và 210, khai triển của chúng thành các thừa số nguyên tố như sau: 75 = 3 5 5 và 210 = 2 3 5 7. Với các thừa số 3, 5 và 5 từ khai triển số 75, ta thêm thừa số còn thiếu 2 và 7 từ khai triển số 210, ta được tích 2 3 5 5 7, giá trị của nó là LCM (75 , 210).

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của 84 và 648.

Quyết định.

Đầu tiên chúng ta nhận được sự phân rã của các số 84 và 648 thành các thừa số nguyên tố. Chúng có dạng 84 = 2 2 3 7 và 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Với các thừa số 2, 2, 3 và 7 từ khai triển của số 84, ta thêm các thừa số còn thiếu 2, 3, 3 và 3 từ khai triển của số 648, ta được tích 2 2 2 3 3 3 3 7, bằng 4 536. Do đó, bội số chung nhỏ nhất mong muốn của các số 84 và 648 là 4 536.

Trả lời:

LCM (84, 648) = 4 536.

Tìm LCM của ba số trở lên

Bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên có thể được tìm thấy bằng cách tìm liên tiếp LCM của hai số. Nhắc lại định lý tương ứng, nêu cách tìm LCM của ba số trở lên.

Định lý.

Cho các số nguyên dương a 1, a 2,…, a k, bội số chung nhỏ nhất m k của các số này được tìm thấy trong phép tính liên tiếp m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, m k = LCM (m k − 1, a k).

Hãy xem xét ứng dụng của định lý này trong ví dụ về tìm bội chung nhỏ nhất của bốn số.

Ví dụ.

Tìm ƯCLN của bốn số 140, 9, 54 và 250.

Quyết định.

Trong ví dụ này, a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Đầu tiên chúng tôi tìm thấy m 2 \ u003d LCM (a 1, a 2) \ u003d LCM (140, 9). Để làm điều này, sử dụng thuật toán Euclide, chúng tôi xác định gcd (140, 9), chúng tôi có 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4, do đó, gcd ( 140, 9) = 1, khi đó LCM (140, 9) = 140 9: LCM (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Tức là, m 2 = 1 260.

Bây giờ chúng tôi tìm thấy m 3 \ u003d LCM (m 2, a 3) \ u003d LCM (1 260, 54). Hãy tính toán nó thông qua GCD (1 260, 54), cũng được xác định bởi thuật toán Euclide: 1 260 = 54 23 + 18, 54 = 18 3. Khi đó gcd (1 260, 54) = 18, khi đó LCM (1 260, 54) = 1 260 54: gcd (1 260, 54) = 1 260 54: 18 = 3 780. Đó là, m 3 \ u003d 3 780.

Còn lại để tìm m 4 \ u003d LCM (m 3, a 4) \ u003d LCM (3 780, 250). Để làm điều này, chúng tôi tìm GCD (3 780, 250) bằng cách sử dụng thuật toán Euclid: 3 780 = 250 15 + 30, 250 = 30 8 + 10, 30 = 10 3. Do đó, gcd (3 780, 250) = 10, khi đó gcd (3 780, 250) = 3 780 250: gcd (3 780, 250) = 3 780 250: 10 = 94 500. Đó là, m 4 \ u003d 94 500.

Vì vậy, bội số chung nhỏ nhất của bốn số ban đầu là 94.500.

Trả lời:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Trong nhiều trường hợp, bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên được tìm thấy một cách thuận tiện bằng cách sử dụng thừa số nguyên tố của các số đã cho. Trong trường hợp này, cần tuân theo quy tắc sau. Bội số chung nhỏ nhất của một số số bằng tích, được cấu tạo như sau: các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai được cộng với tất cả các thừa số từ khai triển của số thứ nhất, thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ ba được thêm vào các hệ số thu được, v.v.

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách sử dụng phép chia nhỏ các số thành thừa số nguyên tố.

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của năm số 84, 6, 48, 7, 143.

Quyết định.

Đầu tiên, chúng ta thu được các khai triển của các số này thành các thừa số nguyên tố: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7 thừa số nguyên tố) và 143 = 11 13.

Để tìm LCM của các số này, với các thừa số của số đầu tiên 84 (chúng là 2, 2, 3 và 7), bạn cần thêm các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai 6. Sự mở rộng của số 6 không chứa thừa số, vì cả 2 và 3 đều đã có mặt trong sự khai triển của số 84 đầu tiên. Thêm vào các thừa số 2, 2, 3 và 7, chúng ta thêm các thừa số 2 và 2 còn thiếu từ khai triển của số thứ ba 48, chúng ta nhận được một tập hợp các thừa số 2, 2, 2, 2, 3 và 7. Không cần thêm hệ số vào tập hợp này trong bước tiếp theo, vì 7 đã được chứa trong đó. Cuối cùng, đối với các thừa số 2, 2, 2, 2, 3 và 7, chúng ta thêm các thừa số còn thiếu 11 và 13 từ khai triển số 143. Ta nhận được tích 2 2 2 2 3 7 11 13 bằng 48 048.

Hãy xem xét ba cách để tìm bội số chung nhỏ nhất.

Tìm bằng bao thanh toán

Cách đầu tiên là tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách tính các số đã cho thành thừa số nguyên tố.

Giả sử chúng ta cần tìm LCM của các số: 99, 30 và 28. Để thực hiện việc này, chúng ta phân tích từng số này thành các thừa số nguyên tố:

Để số mong muốn chia hết cho 99, 30 và 28, điều cần thiết và đủ là nó bao gồm tất cả các thừa số nguyên tố của các số chia này. Để làm điều này, chúng ta cần lấy tất cả các thừa số nguyên tố của những số này đến lũy thừa xuất hiện cao nhất và nhân chúng với nhau:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Vậy LCM (99, 30, 28) = 13,860. Không có số nào nhỏ hơn 13,860 chia hết cho 99, 30 hoặc 28.

Để tìm bội số chung nhỏ nhất của các số đã cho, bạn cần phân tách chúng thành các thừa số nguyên tố, sau đó lấy mỗi thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất mà nó xuất hiện và nhân các thừa số này với nhau.

Vì các số nguyên tố không có thừa số nguyên tố chung nên bội số chung nhỏ nhất của chúng bằng tích của các số này. Ví dụ, ba số: 20, 49 và 33 là số nguyên tố. Cho nên

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Điều tương tự cũng cần được thực hiện khi tìm bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên tố khác nhau. Ví dụ, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Tìm theo lựa chọn

Cách thứ hai là tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách so khớp.

Ví dụ 1. Khi số lớn nhất của các số đã cho chia hết cho các số đã cho khác thì CTPT của các số này bằng số lớn hơn của chúng. Ví dụ, đã cho bốn số: 60, 30, 10 và 6. Mỗi số đều chia hết cho 60, do đó:

NOC (60, 30, 10, 6) = 60

Trong các trường hợp khác, để tìm bội số chung nhỏ nhất, quy trình sau được sử dụng:

Xác định số lớn nhất trong các số đã cho.
Tiếp theo, tìm các số là bội số số lớn nhất, nhân nó với số nguyên theo thứ tự tăng dần và kiểm tra xem các số đã cho còn lại có chia hết cho tích thu được hay không.

Ví dụ 2. Cho ba số 24, 3 và 18. Hãy xác định số lớn nhất trong số đó - đây là số 24. Tiếp theo, tìm các số là bội của 24, kiểm tra xem mỗi số đó có chia hết cho 18 và cho 3 hay không:

24 1 = 24 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 18.

24 2 = 48 - chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 18.

24 3 \ u003d 72 - chia hết cho 3 và 18.

Vậy LCM (24, 3, 18) = 72.

Tìm bằng cách Tìm tuần tự LCM

Cách thứ ba là tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách tìm LCM liên tiếp.

LCM của hai số đã cho bằng tích của những số này chia cho ước chung lớn nhất của chúng.

Ví dụ 1. Tìm ƯCM của hai số đã cho: 12 và 8. Xác định ước chung lớn nhất của chúng: GCD (12, 8) = 4. Nhân các số này:

Chúng tôi chia sản phẩm thành GCD của họ:

Vậy LCM (12, 8) = 24.

Để tìm LCM của ba số trở lên, quy trình sau được sử dụng:

Đầu tiên, LCM của bất kỳ hai trong số các số đã cho được tìm thấy.
Sau đó, LCM của bội số chung ít nhất được tìm thấy và bội số thứ ba số đã cho.
Sau đó, LCM của bội số chung nhỏ nhất kết quả và số thứ tư, v.v.
Vì vậy, tìm kiếm LCM tiếp tục miễn là có số.

Ví dụ 2. Tìm LCM ba dữ liệu số: 12, 8 và 9. LCM của số 12 và 8 mà chúng ta đã tìm thấy trong ví dụ trước (đây là số 24). Vẫn phải tìm bội chung nhỏ nhất của 24 và số đã cho thứ ba - 9. Xác định ước chung lớn nhất của chúng: gcd (24, 9) = 3. Nhân LCM với số 9:

Chúng tôi chia sản phẩm thành GCD của họ:

Vậy LCM (12, 8, 9) = 72.

GCD là ước số chung lớn nhất.

Để tìm ước số chung lớn nhất của một số số:

xác định các thừa số chung cho cả hai số;
tìm tích của các thừa số chung.

Một ví dụ về cách tìm GCD:

Tìm GTĐB của các số 315 và 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Viết thừa số chung của cả hai số:

3. Tìm tích của các thừa số chung:

gcd (315; 245) = 5 * 7 = 35.

Đáp số: GCD (315; 245) = 35.

Tìm NOC

LCM là bội số ít phổ biến nhất.

Để tìm bội số chung nhỏ nhất của một số số:

phân tích số thành thừa số nguyên tố;
viết ra các thừa số có trong khai triển của một trong các số;
bổ sung cho họ các yếu tố còn thiếu từ sự mở rộng của số thứ hai;
tìm tích của các yếu tố kết quả.

Một ví dụ về việc tìm NOC:

Tìm LCM của các số 236 và 328:

1. Chúng tôi phân tích các số thành thừa số nguyên tố:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Viết các thừa số có trong khai triển của một trong các số và thêm vào chúng các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Tìm tích của các yếu tố tạo thành:

LCM (236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Đáp số: LCM (236; 328) = 19352.

Để tìm GCD (ước chung lớn nhất) của hai số, bạn cần:

2. Tìm (gạch chân) tất cả các thừa số nguyên tố chung trong các khai triển thu được.

3. Tìm tích của các thừa số nguyên tố chung.

Để tìm LCM (bội số chung nhỏ nhất) của hai số, bạn cần:

1. Phân tích các số này thành thừa số nguyên tố.

2. Bổ sung khai triển của một trong số chúng với các thừa số của khai triển của số khác, không có trong khai triển của số thứ nhất.

3. Tính tích của các thừa số thu được.