Trong toán học, trung bình cộng của các số (hay đơn giản là trung bình cộng) là tổng của tất cả các số trong một tập hợp nhất định chia cho số của chúng. Đây là khái niệm khái quát và phổ biến nhất về giá trị trung bình. Như bạn đã hiểu, để tìm được, bạn cần tính tổng tất cả các số đã cho và chia kết quả cho số số hạng.

Trung bình cộng là gì?

Hãy xem một ví dụ.

ví dụ 1. Các số được cho là: 6, 7, 11. Bạn cần tìm giá trị trung bình của chúng.

Quyết định.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm tổng của tất cả các số đã cho.

Bây giờ chúng ta chia tổng kết quả cho số hạng. Vì chúng ta có ba số hạng tương ứng nên chúng ta sẽ chia hết cho ba.

Do đó, giá trị trung bình của 6, 7 và 11 là 8. Tại sao lại là 8? Có, bởi vì tổng của 6, 7 và 11 sẽ giống như ba số tám. Điều này được thấy rõ trong hình minh họa.

Giá trị trung bình phần nào gợi nhớ đến "sự liên kết" của một chuỗi số. Như bạn có thể thấy, đống bút chì đã trở thành một cấp.

Hãy xem xét một ví dụ khác để củng cố kiến ​​thức đã đạt được.

Ví dụ 2 Các số được cho là: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Bạn cần tìm trung bình cộng của chúng.

Quyết định.

Chúng tôi tìm thấy tổng.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Chia cho số số hạng (trong trường hợp này là 15).

Do đó, giá trị trung bình của dãy số này là 22.

Bây giờ hãy xem xét các số âm. Hãy nhớ cách tổng hợp chúng. Ví dụ, bạn có hai số 1 và -4. Hãy tìm tổng của chúng.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Biết được điều này, hãy xem xét một ví dụ khác.

Ví dụ 3 Tìm giá trị trung bình của dãy số: 3, -7, 5, 13, -2.

Quyết định.

Tìm tổng các số.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Vì có 5 số hạng nên ta chia tổng thu được cho 5.

Do đó, trung bình cộng của các số 3, -7, 5, 13, -2 là 2,4.

Trong thời đại công nghệ tiến bộ, việc sử dụng các chương trình máy tính để tìm giá trị trung bình thuận tiện hơn rất nhiều. Microsoft Office Excel là một trong số đó. Tìm giá trị trung bình trong Excel rất nhanh chóng và dễ dàng. Hơn nữa, chương trình này được bao gồm trong gói phần mềm từ Microsoft Office. Hãy xem xét một hướng dẫn ngắn gọn, giá trị bằng cách sử dụng chương trình này.

Để tính giá trị trung bình của một chuỗi số, bạn phải sử dụng hàm AVERAGE. Cú pháp cho hàm này là:
= Trung bình (đối số1, đối số2, ... đối số255)
trong đó đối số1, đối số2, ... đối số255 là số hoặc tham chiếu ô (ô có nghĩa là phạm vi và mảng).

Để làm rõ hơn, chúng ta hãy kiểm tra kiến ​​thức đã đạt được.

1. Nhập các số 11, 12, 13, 14, 15, 16 vào ô C1 - C6.
2. Chọn ô C7 bằng cách nhấp vào ô đó. Trong ô này, chúng tôi sẽ hiển thị giá trị trung bình.
3. Nhấp vào tab "Công thức".
4. Chọn Chức năng khác> Thống kê để mở
5. Chọn AVERAGE. Sau đó, một hộp thoại sẽ mở ra.
6. Chọn và kéo các ô C1-C6 ở đó để đặt phạm vi trong hộp thoại.
7. Xác nhận hành động của bạn bằng nút "OK".
8. Nếu bạn đã làm đúng mọi thứ, trong ô C7, bạn sẽ có câu trả lời - 13,7. Khi bạn nhấp vào ô C7, hàm (= Average (C1: C6)) sẽ được hiển thị trên thanh công thức.

Rất hữu ích khi sử dụng chức năng này cho kế toán, hóa đơn hoặc khi bạn chỉ cần tìm giá trị trung bình của một dãy số rất dài. Vì vậy, nó thường được sử dụng trong các văn phòng, công ty lớn. Điều này cho phép bạn giữ các hồ sơ theo thứ tự và giúp bạn có thể nhanh chóng tính toán một số thứ (ví dụ: thu nhập trung bình mỗi tháng). Bạn cũng có thể sử dụng Excel để tìm giá trị trung bình của một hàm.

Cách tính giá trị trung bình của các số trong Excel

Bạn có thể tìm giá trị trung bình cộng của các số trong Excel bằng cách sử dụng hàm.

Cú pháp AVERAGE

= AVERAGE (number1, [number2],…) - Phiên bản tiếng Nga

Đối số AVERAGE

• số 1- số hoặc dải số đầu tiên, để tính giá trị trung bình cộng;
• số 2(Tùy chọn) - số thứ hai hoặc dải số để tính trung bình cộng. Số đối số hàm tối đa là 255.

Để tính toán, hãy làm theo các bước sau:

• Chọn bất kỳ ô nào;
• Viết một công thức trong đó = AVERAGE (
• Chọn phạm vi ô mà bạn muốn thực hiện phép tính;
• Nhấn phím "Enter" trên bàn phím

Hàm sẽ tính giá trị trung bình trong phạm vi được chỉ định giữa các ô có chứa số.

Cách tìm giá trị trung bình cho văn bản

Nếu có dòng hoặc văn bản trống trong phạm vi dữ liệu, thì hàm sẽ coi chúng là "không". Nếu có biểu thức logic FALSE hoặc TRUE trong số dữ liệu, thì hàm sẽ coi FALSE là "không" và TRUE là "1".

Cách tìm giá trị trung bình cộng theo điều kiện

Hàm được sử dụng để tính giá trị trung bình theo một điều kiện hoặc tiêu chí. Ví dụ: giả sử chúng tôi có dữ liệu bán sản phẩm:

Nhiệm vụ của chúng ta là tính toán doanh số bán bút trung bình. Để làm điều này, chúng tôi sẽ thực hiện các bước sau:

• Trong một phòng giam A13 viết tên sản phẩm “Bút”;
• Trong một phòng giam B13 hãy nhập công thức:

= AVERAGEIF (A2: A10, A13, B2: B10)

Phạm vi ô “ A2: A10”Trỏ đến danh sách các sản phẩm mà chúng tôi sẽ tìm kiếm từ“ Bút ”. Lý lẽ A13đây là một liên kết đến một ô có văn bản mà chúng tôi sẽ tìm kiếm trong toàn bộ danh sách sản phẩm. Phạm vi ô “ B2: B10”Là một phạm vi có dữ liệu bán sản phẩm, trong đó hàm sẽ tìm“ Bút ”và tính giá trị trung bình.

Giá trị trung bình là một chỉ tiêu khái quát đặc trưng cho mức độ điển hình của hiện tượng. Nó thể hiện giá trị của thuộc tính, liên quan đến đơn vị của dân số.

Giá trị trung bình là:

1) giá trị tiêu biểu nhất của thuộc tính đối với tập hợp;

2) khối lượng của dấu hiệu của dân số, được phân phối đều giữa các đơn vị của dân số.

Đặc điểm mà giá trị trung bình được tính được gọi là "trung bình" trong thống kê.

Giá trị trung bình luôn tổng quát sự biến đổi số lượng của tính trạng, tức là ở các giá trị trung bình, sự khác biệt riêng lẻ trong các đơn vị của dân số do các trường hợp ngẫu nhiên bị loại bỏ. Ngược lại với giá trị trung bình, giá trị tuyệt đối đặc trưng cho mức độ của một đối tượng của một đơn vị cá thể của quần thể không cho phép so sánh các giá trị của đối tượng cho các đơn vị thuộc các quần thể khác nhau. Vì vậy, nếu cần so sánh mức thù lao của người lao động ở hai doanh nghiệp thì trên cơ sở này không thể so sánh hai người lao động của các doanh nghiệp khác nhau. Mức lương của những công nhân được chọn để so sánh có thể không phải là điển hình cho các doanh nghiệp này. Nếu so sánh quy mô quỹ tiền lương của các doanh nghiệp đang xem xét thì chưa tính đến số lượng lao động và do đó không xác định được đâu là mức lương cao hơn. Cuối cùng, chỉ có thể so sánh mức trung bình, tức là Trung bình một công nhân kiếm được bao nhiêu ở mỗi công ty? Vì vậy, cần phải tính giá trị trung bình như một đặc điểm tổng quát của quần thể.

Điều quan trọng cần lưu ý là trong quá trình tính trung bình, giá trị tổng hợp của các mức thuộc tính hoặc giá trị cuối cùng của nó (trong trường hợp tính các mức trung bình trong một chuỗi thời gian) phải không thay đổi. Nói cách khác, khi tính giá trị trung bình, khối lượng của tính trạng đang nghiên cứu không được làm sai lệch và các biểu thức được thực hiện khi tính giá trị trung bình nhất thiết phải có ý nghĩa.

Tính giá trị trung bình là một trong những kỹ thuật tổng quát hóa phổ biến; chỉ tiêu trung bình phủ nhận cái chung là điển hình (tiêu biểu) cho tất cả các đơn vị của dân số nghiên cứu, đồng thời nó bỏ qua sự khác biệt giữa các đơn vị riêng lẻ. Trong mọi hiện tượng và sự phát triển của nó đều có sự kết hợp giữa may rủi và tất yếu. Khi tính số trung bình, do vận hành theo quy luật số lớn, ngẫu nhiên triệt tiêu nhau, lấy cân đối nên có thể trừu tượng hóa từ những nét không đáng kể của hiện tượng, từ những giá trị định lượng của thuộc tính trong từng trường hợp cụ thể. Trong khả năng trừu tượng hóa từ tính ngẫu nhiên của các giá trị riêng lẻ, các biến động, giá trị khoa học của giá trị trung bình nằm ở vị trí tổng quát các đặc điểm của tổng thể.

Để giá trị trung bình thực sự chính xác, nó phải được tính toán theo một số nguyên tắc nhất định.

Chúng ta hãy xem xét một số nguyên tắc chung để áp dụng số trung bình.

1. Giá trị trung bình cần được xác định cho các quần thể bao gồm các đơn vị đồng nhất về chất.

2. Giá trị trung bình phải được tính cho một quần thể bao gồm một số lượng đủ lớn các đơn vị.

3. Giá trị trung bình cần được tính cho dân số, các đơn vị của chúng ở trạng thái bình thường, tự nhiên.

4. Giá trị trung bình cần được tính đến nội dung kinh tế của chỉ tiêu đang nghiên cứu.

5.2. Các loại giá trị trung bình và phương pháp tính toán chúng

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các loại giá trị trung bình, các tính năng của tính toán và lĩnh vực ứng dụng của chúng. Giá trị trung bình được chia thành hai loại lớn: trung bình công suất, trung bình cấu trúc.

Giá trị trung bình theo luật lũy thừa bao gồm các loại nổi tiếng và thường được sử dụng nhất, chẳng hạn như trung bình hình học, trung bình số học và trung bình bình phương.

Chế độ và trung vị được coi là trung bình cơ cấu.

Hãy để chúng tôi xem xét mức trung bình công suất. Trung bình công suất, tùy thuộc vào cách trình bày dữ liệu ban đầu, có thể đơn giản và có trọng số. trung bình đơn giảnđược tính toán từ dữ liệu chưa được phân nhóm và có dạng chung sau:

,

trong đó X i là biến thể (giá trị) của đối tượng địa lý được tính trung bình;

n là số lựa chọn.

Bình quân gia quyềnđược tính toán theo dữ liệu được nhóm lại và có dạng chung

,

trong đó X i là biến thể (giá trị) của đối tượng địa lý được tính trung bình hoặc giá trị giữa của khoảng thời gian mà biến thể được đo lường;

m là số mũ của giá trị trung bình;

f i - tần suất hiển thị số lần giá trị i-e của đối tượng trung bình xuất hiện.

Nếu chúng ta tính toán tất cả các loại giá trị trung bình cho cùng một dữ liệu ban đầu, thì giá trị của chúng sẽ không giống nhau. Ở đây áp dụng quy tắc đa số trung bình: với sự tăng lên của số mũ m, giá trị trung bình tương ứng cũng tăng:

Trong thực hành thống kê, thường xuyên hơn các loại bình quân gia quyền khác, các bình quân gia quyền số học và điều hòa được sử dụng.

Các loại phương tiện điện

Loại quyền lực ở giữa	Chỉ báo độ (m)	Công thức tính
		Giản dị	có trọng lượng
điều hòa
Hình học
Môn số học
bậc hai
hình khối

Trung bình điều hòa có cấu trúc phức tạp hơn trung bình cộng. Giá trị trung bình điều hòa được sử dụng để tính toán khi trọng lượng không phải là đơn vị của tổng thể - vật mang đặc điểm, mà là tích của những đơn vị này và giá trị của đặc điểm (tức là m = Xf). Thời gian chết điều hòa trung bình nên được sử dụng trong các trường hợp xác định, ví dụ, chi phí lao động, thời gian, nguyên vật liệu trung bình trên một đơn vị sản lượng, trên một bộ phận cho hai (ba, bốn, v.v.) doanh nghiệp, công nhân tham gia sản xuất cùng một loại sản phẩm, cùng một bộ phận, sản phẩm.

Yêu cầu chính đối với công thức tính giá trị trung bình là tất cả các giai đoạn của phép tính đều có một sự biện minh có ý nghĩa thực sự; giá trị trung bình kết quả phải thay thế các giá trị riêng lẻ của thuộc tính cho từng đối tượng mà không phá vỡ kết nối giữa các chỉ số riêng lẻ và tóm tắt. Nói cách khác, giá trị trung bình phải được tính toán theo cách sao cho khi từng giá trị riêng lẻ của chỉ tiêu trung bình được thay thế bằng giá trị trung bình của nó, thì một số chỉ tiêu tóm tắt cuối cùng, được kết nối theo cách này hay cách khác với giá trị trung bình, vẫn không thay đổi. Kết quả này được gọi là xác định vì bản chất của mối quan hệ của nó với các giá trị riêng lẻ xác định công thức cụ thể để tính giá trị trung bình. Hãy chỉ ra quy tắc này trên ví dụ về giá trị trung bình hình học.

Công thức trung bình hình học

thường được sử dụng khi tính giá trị trung bình của các giá trị tương đối riêng lẻ của động lực học.

Giá trị trung bình hình học được sử dụng nếu một chuỗi các giá trị tương đối của chuỗi của động lực học được đưa ra, ví dụ, cho thấy sự gia tăng sản lượng so với mức của năm trước: i 1, i 2, i 3,…, i n. Rõ ràng, khối lượng sản xuất trong năm qua được xác định bởi mức ban đầu (q 0) và sự tăng trưởng tiếp theo trong những năm:

q n = q 0 × i 1 × i 2 ×… × i n.

Lấy q n làm chỉ số xác định và thay thế các giá trị riêng lẻ của các chỉ số động lực học bằng các giá trị trung bình, chúng ta đi đến mối quan hệ

Từ đây

Một loại giá trị trung bình đặc biệt - trung bình cấu trúc - được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc bên trong của chuỗi phân phối các giá trị thuộc tính, cũng như ước tính giá trị trung bình (loại công suất), nếu, theo dữ liệu thống kê có sẵn, tính toán của nó không thể được thực hiện (ví dụ, nếu không có dữ liệu trong ví dụ được xem xét). về khối lượng sản xuất và số lượng chi phí của các nhóm doanh nghiệp).

Các chỉ số thường được sử dụng làm trung bình cơ cấu. thời trang - giá trị tính năng được lặp lại thường xuyên nhất - và Trung bình - giá trị của một đối tượng địa lý chia dãy các giá trị có thứ tự của nó thành hai phần bằng nhau về số lượng. Kết quả là trong một nửa số đơn vị dân số, giá trị của thuộc tính không vượt quá mức trung bình và ở nửa còn lại, giá trị của thuộc tính không nhỏ hơn nó.

Nếu đối tượng địa lý đang nghiên cứu có các giá trị rời rạc thì không có khó khăn cụ thể nào trong việc tính toán chế độ và giá trị trung vị. Nếu dữ liệu về các giá trị của thuộc tính X được trình bày dưới dạng các khoảng thay đổi có thứ tự của nó (chuỗi khoảng), thì việc tính toán chế độ và giá trị trung vị sẽ trở nên phức tạp hơn một chút. Vì giá trị trung bình chia toàn bộ tổng thể thành hai phần bằng nhau về số lượng, nên nó kết thúc bằng một trong các khoảng của đối tượng X. Sử dụng phép nội suy, giá trị trung bình được tìm thấy trong khoảng trung bình này:

,

trong đó X Me là giới hạn dưới của khoảng trung vị;

h Tôi là giá trị của nó;

(Tổng m) / 2 - một nửa tổng số quan sát hoặc một nửa khối lượng của chỉ tiêu được sử dụng làm trọng số trong công thức tính giá trị trung bình (theo giá trị tuyệt đối hoặc tương đối);

S Me-1 là tổng số quan sát (hoặc khối lượng của đặc điểm trọng số) được tích lũy trước khi bắt đầu khoảng trung vị;

m Me là số lần quan sát hoặc khối lượng của đối tượng trọng số trong khoảng thời gian trung vị (cũng theo nghĩa tuyệt đối hoặc tương đối).

Khi tính toán giá trị phương thức của một đối tượng địa lý theo dữ liệu của chuỗi khoảng thời gian, cần phải chú ý đến thực tế là các khoảng thời gian đều giống nhau, vì chỉ số tần số của các giá trị đối tượng địa lý X phụ thuộc vào điều này. một chuỗi khoảng thời gian với các khoảng thời gian bằng nhau, giá trị chế độ được xác định là

,

trong đó X Mo là giá trị thấp hơn của khoảng phương thức;

m Mo là số lần quan sát hoặc khối lượng của đối tượng trọng số trong khoảng phương thức (theo giá trị tuyệt đối hoặc tương đối);

m Mo-1 - tương tự đối với khoảng trước phương thức;

m Mo + 1 - tương tự đối với khoảng theo phương thức;

h là giá trị của khoảng thời gian thay đổi của tính trạng trong các nhóm.

NHIỆM VỤ 1

Dữ liệu sau đây có sẵn cho nhóm doanh nghiệp công nghiệp cho năm báo cáo

№ xí nghiệp	Khối lượng sản xuất, triệu rúp		Số lượng nhân viên trung bình, cá nhân.	Lợi nhuận, nghìn rúp
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Cần phải thực hiện một nhóm các doanh nghiệp để trao đổi sản phẩm, theo các khoảng thời gian sau:

lên đến 200 triệu rúp


từ 200 đến 400 triệu rúp


1. từ 400 đến 600 triệu rúp
   

   Đối với từng nhóm và cho tất cả cùng xác định số xí nghiệp, khối lượng sản xuất, số lao động bình quân, sản lượng bình quân trên một lao động. Kết quả phân nhóm nên được trình bày dưới dạng một bảng thống kê. Hình thành một kết luận.
   

   QUYẾT ĐỊNH
   

   Ta sẽ phân nhóm các xí nghiệp theo quy đổi sản phẩm, tính số xí nghiệp, khối lượng sản xuất, số lao động bình quân theo công thức bình quân đơn giản. Kết quả của việc phân nhóm và tính toán được tóm tắt trong một bảng.
   

   Các nhóm theo khối lượng sản xuất	№ xí nghiệp	Khối lượng sản xuất, triệu rúp	Nguyên giá tài sản cố định trung bình hàng năm, triệu rúp	giấc ngủ trung bình số lượng nhân viên ngon lành, cá nhân.	Lợi nhuận, nghìn rúp	Sản lượng trung bình trên mỗi công nhân
   1 nhóm lên đến 200 triệu rúp	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Cấp trung		198,3			24,9
   2 nhóm từ 200 đến 400 triệu rúp	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Cấp trung		282,3	37,6	1530	64,0
   3 nhóm từ 400 đến 600 triệu	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Cấp trung		512,9	34,4	1421	120,9
   Tổng cộng trong tổng số		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Trung bình tổng hợp		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Sự kết luận. Như vậy, trong tổng số doanh nghiệp đang xem xét, số doanh nghiệp lớn nhất về sản lượng rơi vào nhóm thứ ba - bảy, hoặc một nửa số doanh nghiệp. Giá trị TSCĐ bình quân hàng năm cũng thuộc nhóm này, cũng như giá trị lớn của số lao động bình quân - 9974 người, các doanh nghiệp thuộc nhóm đầu có lãi kém nhất.
   

   NHIỆM VỤ 2
   

   Chúng tôi có dữ liệu sau đây về các doanh nghiệp của công ty
   

   Số doanh nghiệp trực thuộc công ty	Tôi quý		Quý II
   	Sản lượng, nghìn rúp		Làm việc bằng ngày công lao động	Sản lượng bình quân một công nhân mỗi ngày, chà.
   	59390,13

Chủ đề 5. Giá trị trung bình là chỉ số thống kê

Khái niệm về số trung bình. Phạm vi của các giá trị trung bình trong một nghiên cứu thống kê

Giá trị trung bình được sử dụng ở giai đoạn xử lý và tóm tắt dữ liệu thống kê sơ cấp thu được. Sự cần thiết phải xác định các giá trị trung bình là do thực tế là đối với các đơn vị khác nhau của các quần thể nghiên cứu, các giá trị cá thể của cùng một tính trạng, theo quy luật, là không giống nhau.

Giá trị trung bình gọi một chỉ số đặc trưng cho giá trị khái quát của một đối tượng hoặc một nhóm đối tượng trong quần thể nghiên cứu.

Nếu một quần thể có các đặc điểm đồng nhất về chất đang được nghiên cứu, thì giá trị trung bình xuất hiện ở đây là trung bình điển hình. Ví dụ, đối với các nhóm người lao động trong một ngành cụ thể có mức thu nhập cố định, mức chi tiêu trung bình điển hình cho các nhu cầu thiết yếu được xác định, tức là giá trị trung bình điển hình khái quát các giá trị đồng nhất về chất của thuộc tính trong dân số nhất định, là tỷ lệ chi phí của người lao động trong nhóm này đối với các mặt hàng thiết yếu.

Trong nghiên cứu một quần thể có các đặc điểm không đồng nhất về chất, các chỉ số trung bình không điển hình có thể được quan tâm hàng đầu. Chẳng hạn, đó là các chỉ số trung bình về thu nhập quốc dân được sản xuất trên đầu người (các nhóm tuổi khác nhau), năng suất trung bình của các loại cây có hạt trên toàn nước Nga (các khu vực có khí hậu khác nhau và các loại cây ngũ cốc khác nhau), tỷ lệ sinh trung bình của dân số ở tất cả các vùng của đất nước, nhiệt độ trung bình trong một thời kỳ nhất định, v.v. Ở đây, giá trị trung bình khái quát các giá trị không đồng nhất về mặt chất lượng của các đối tượng địa lý hoặc tổng hợp không gian hệ thống (cộng đồng quốc tế, lục địa, tiểu bang, khu vực, quận, huyện, v.v.) hoặc tổng động lực kéo dài theo thời gian (thế kỷ, thập kỷ, năm, mùa, v.v. ). Các mức trung bình này được gọi là hệ thống trung bình.

Do đó, ý nghĩa của các giá trị trung bình bao gồm chức năng tổng quát hóa của chúng. Giá trị trung bình thay thế một số lượng lớn các giá trị riêng lẻ của thuộc tính, tiết lộ các thuộc tính chung vốn có trong tất cả các đơn vị của tổng thể. Do đó, điều này giúp tránh được các nguyên nhân ngẫu nhiên và xác định được các dạng chung do các nguyên nhân chung.

Các loại giá trị trung bình và phương pháp tính toán chúng

Ở giai đoạn xử lý thống kê, nhiều nhiệm vụ nghiên cứu có thể được đặt ra, đối với giải pháp cần chọn giá trị trung bình thích hợp. Trong trường hợp này, cần phải được hướng dẫn bởi quy tắc sau: các giá trị \ u200b \ u200bt đại diện cho tử số và mẫu số của số trung bình phải có quan hệ logic với nhau.

công suất trung bình;

trung bình cấu trúc.

Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu sau:

Các giá trị mà giá trị trung bình được tính toán;

Trung bình, trong đó dòng ở trên chỉ ra rằng diễn ra trung bình của các giá trị riêng lẻ;

Tần số (độ lặp lại của các giá trị tính trạng riêng lẻ).

Các phương tiện khác nhau được suy ra từ công thức trung bình công suất chung:

(5.1)

for k = 1 - trung bình cộng; k = -1 - trung bình điều hòa; k = 0 - trung bình hình học; k = -2 - bình phương căn bậc hai.

Giá trị trung bình là đơn giản hoặc có trọng số. trung bình có trọng sốđược gọi là các đại lượng có tính đến một số biến thể của các giá trị thuộc tính có thể có các số khác nhau, và do đó mỗi biến thể phải được nhân với số này. Nói cách khác, "quyền số" là số lượng các đơn vị dân số trong các nhóm khác nhau, tức là mỗi tùy chọn được "tính trọng số" bởi tần suất của nó. Tần số f được gọi là trọng lượng thống kê hoặc trọng lượng trung bình.

Trung bình số học- loại phương tiện phổ biến nhất. Nó được sử dụng khi tính toán được thực hiện trên dữ liệu thống kê chưa được phân nhóm, nơi bạn muốn lấy tổng trung bình. Giá trị trung bình số học là một giá trị trung bình của một đối tượng địa lý, khi nhận được tổng khối lượng của đối tượng địa lý trong tổng thể không thay đổi.

Công thức trung bình cộng (đơn giản) có dạng

với n là quy mô dân số.

Ví dụ, tiền lương bình quân của người lao động trong doanh nghiệp được tính bằng bình quân số học:

Các chỉ tiêu xác định ở đây là tiền lương của từng người lao động và số lượng lao động của doanh nghiệp. Khi tính mức trung bình, tổng số tiền lương vẫn giữ nguyên, nhưng được phân bổ như nhau cho tất cả người lao động. Ví dụ, cần tính mức lương trung bình của nhân viên một công ty nhỏ có 8 người làm việc:

Khi tính giá trị trung bình, các giá trị riêng lẻ của thuộc tính được lấy giá trị trung bình có thể được lặp lại, do đó, giá trị trung bình được tính bằng cách sử dụng dữ liệu được nhóm. Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về việc sử dụng trung bình cộng có trọng số, trông giống như

(5.3)

Vì vậy, chúng ta cần tính giá cổ phiếu bình quân của một công ty cổ phần trên sàn giao dịch chứng khoán. Được biết, giao dịch được thực hiện trong vòng 5 ngày (5 giao dịch), số lượng cổ phiếu bán ra theo tỷ lệ bán được phân bổ như sau:

1 - 800 ac. - 1010 rúp

2 - 650 ac. - 990 chà.

3 - 700 ak. - 1015 rúp.

4 - 550 ac. - 900 chà.

5 - 850 ak. - 1150 rúp.

Tỷ lệ ban đầu để xác định giá cổ phiếu bình quân là tỷ lệ giữa tổng lượng giao dịch (TCA) trên số lượng cổ phiếu bán được (KPA):

OSS = 1010 800 + 990 650 + 1015 700 + 900 550 + 1150 850 = 3 634 500;

CPA = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3550.

Trong trường hợp này, giá cổ phiếu bình quân bằng

Cần phải biết các tính chất của giá trị trung bình cộng, điều này rất quan trọng cho việc sử dụng và tính toán. Có ba đặc tính chính dẫn đến việc sử dụng rộng rãi giá trị trung bình số học trong các phép tính thống kê và kinh tế.

Thuộc tính một (không): tổng độ lệch dương của các giá trị riêng lẻ của một đối tượng địa lý so với giá trị trung bình của nó bằng tổng độ lệch âm. Đây là một tính chất rất quan trọng, vì nó cho thấy rằng bất kỳ sai lệch nào (cả với + và với -) do các nguyên nhân ngẫu nhiên sẽ bị hủy bỏ lẫn nhau.

Bằng chứng:

Thuộc tính thứ hai (tối thiểu): tổng các độ lệch bình phương của các giá trị riêng lẻ của thuộc tính từ giá trị trung bình số học nhỏ hơn bất kỳ số nào khác (a), tức là là số tối thiểu.

Bằng chứng.

Tính tổng bình phương độ lệch từ biến a:

(5.4)

Để tìm điểm cực trị của hàm này, cần phải cân bằng đạo hàm của nó đối với từ a đến 0:

Từ đây chúng tôi nhận được:

(5.5)

Do đó, cực đại của tổng các độ lệch bình phương đạt được tại. Cực trị này là cực tiểu, vì hàm không thể có cực đại.

Tính chất thứ ba: trung bình cộng của một hằng số bằng hằng số này: at a = const.

Ngoài ba tính chất quan trọng nhất này của giá trị trung bình cộng, còn có cái gọi là thuộc tính thiết kế, đang dần mất đi ý nghĩa do việc sử dụng máy tính điện tử:

nếu nhân hoặc chia giá trị riêng của từng đơn vị với một số không đổi, thì trung bình cộng sẽ tăng hoặc giảm cùng một lượng;

giá trị trung bình số học sẽ không thay đổi nếu trọng số (tần số) của mỗi giá trị đối tượng được chia cho một số không đổi;

nếu các giá trị riêng lẻ của thuộc tính của mỗi đơn vị bị giảm hoặc tăng lên cùng một lượng, thì trung bình cộng sẽ giảm hoặc tăng lên cùng một lượng.

Sóng hài trung bình. Giá trị trung bình này được gọi là trung bình cộng nghịch đảo, vì giá trị này được sử dụng khi k = -1.

Trung bình hài đơn giảnđược sử dụng khi trọng số của các giá trị đặc trưng giống nhau. Công thức của nó có thể được suy ra từ công thức cơ bản bằng cách thay thế k = -1:

Ví dụ, chúng ta cần tính tốc độ trung bình của hai ô tô đã đi trên cùng một đoạn đường, nhưng ở các tốc độ khác nhau: chiếc thứ nhất với tốc độ 100 km / h, chiếc thứ hai ở tốc độ 90 km / h. Sử dụng phương pháp trung bình điều hòa, chúng tôi tính tốc độ trung bình:

Trong thực hành thống kê, trọng số hài thường được sử dụng nhiều hơn, công thức của nó có dạng

Công thức này được sử dụng trong trường hợp trọng số (hoặc khối lượng của hiện tượng) cho mỗi thuộc tính không bằng nhau. Trong tỷ lệ ban đầu, tử số được biết để tính trung bình, nhưng mẫu số thì chưa biết.

Trung bình cộng đơn giản là thuật ngữ trung bình, để xác định tổng khối lượng của một thuộc tính nhất định trong tổng hợp dữ liệu được phân bổ đồng đều giữa tất cả các đơn vị có trong tập hợp này. Vì vậy, sản lượng sản xuất bình quân hàng năm trên mỗi công nhân là giá trị của khối lượng sản xuất sẽ rơi vào mỗi người lao động nếu toàn bộ khối lượng sản phẩm được phân phối đều cho tất cả các nhân viên của tổ chức. Giá trị đơn giản trung bình cộng được tính theo công thức:

trung bình cộng đơn giản- Bằng tỷ lệ giữa tổng các giá trị riêng lẻ của thuộc tính với số thuộc tính trong tổng thể

ví dụ 1. Một đội gồm 6 công nhân nhận được 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 nghìn rúp mỗi tháng.

Tìm mức lương trung bình Giải: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3,32 nghìn rúp.

Bình quân gia quyền số học

Nếu khối lượng của tập dữ liệu lớn và đại diện cho một chuỗi phân phối, thì giá trị trung bình số học có trọng số sẽ được tính. Đây là cách xác định giá bình quân gia quyền trên một đơn vị sản xuất: tổng chi phí sản xuất (tổng số lượng sản phẩm của nó và giá một đơn vị sản xuất) được chia cho tổng số lượng sản xuất.

Chúng tôi biểu diễn điều này dưới dạng công thức sau:

Trung bình cộng có trọng số- bằng tỷ số giữa (tổng các tích của giá trị thuộc tính với tần suất lặp lại của thuộc tính này) với (tổng các tần số của tất cả các thuộc tính). Nó được sử dụng khi các biến thể của tổng thể được nghiên cứu xảy ra số lần không bằng nhau.

Ví dụ 2. Tìm mức lương trung bình của công nhân cửa hàng mỗi tháng

Mức lương của một công nhân nghìn rúp; X	Số lượng công nhân F

Mức lương trung bình có thể được tính bằng cách lấy tổng số tiền lương chia cho tổng số công nhân:

Trả lời: 3,35 nghìn rúp.

Trung bình số học cho một chuỗi khoảng thời gian

Khi tính giá trị trung bình cộng cho một chuỗi biến thiên theo khoảng, giá trị trung bình của mỗi khoảng trước tiên được xác định là tổng nửa của giới hạn trên và giới hạn dưới, sau đó là trung bình của toàn bộ chuỗi. Trong trường hợp các khoảng mở, giá trị của khoảng dưới hoặc trên được xác định bằng giá trị của các khoảng liền kề với chúng.

Giá trị trung bình được tính từ chuỗi khoảng thời gian là gần đúng.

Ví dụ 3. Xác định tuổi trung bình của sinh viên khoa buổi tối.

Tuổi tính bằng năm !! x ??	Số học sinh	Trung bình khoảng thời gian	Tích số giữa khoảng (tuổi) và số học sinh
		(18 + 20) / 2 = 19 18 trong trường hợp này là biên của khoảng dưới. Được tính là 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 trở lên		(30 + 34) / 2 = 32

Giá trị trung bình được tính từ chuỗi khoảng thời gian là gần đúng. Mức độ gần đúng của chúng phụ thuộc vào mức độ mà phân bố thực tế của các đơn vị dân số trong khoảng tiếp cận đồng nhất.

Khi tính giá trị trung bình, không chỉ giá trị tuyệt đối mà cả giá trị tương đối (tần suất) có thể được sử dụng làm trọng số.