Giải phương trình y 0. Các phương pháp giải phương trình khác nhau
Chúng ta sẽ phân tích hai dạng giải hệ phương trình:
1. Lời giải của hệ thống theo phương pháp thay thế.
2. Nghiệm của hệ bằng phép cộng (trừ) từng số hạng của các phương trình của hệ.
Để giải hệ phương trình phương pháp thay thế bạn cần tuân theo một thuật toán đơn giản:
1. Chúng tôi bày tỏ. Từ bất kỳ phương trình, chúng tôi biểu thị một biến.
2. Thay thế. Chúng tôi thay thế trong một phương trình khác thay vì biến được biểu thị, giá trị kết quả.
3. Chúng tôi giải phương trình kết quả với một biến. Chúng tôi tìm ra giải pháp cho hệ thống.
Để giải quyết hệ thống theo thuật ngữ của phép cộng (phép trừ) nhu cầu:
1. Chọn một biến mà chúng ta sẽ tạo ra các hệ số giống nhau.
2. Chúng tôi cộng hoặc trừ các phương trình, kết quả là chúng tôi nhận được một phương trình với một biến.
3. Chúng tôi giải phương trình tuyến tính kết quả. Chúng tôi tìm ra giải pháp cho hệ thống.
Nghiệm của hệ là các giao điểm của các đồ thị của hàm số.
Chúng ta hãy xem xét chi tiết giải pháp của các hệ thống bằng cách sử dụng các ví dụ.
Ví dụ 1:
Hãy giải bằng phương pháp thay thế
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế2x + 5y = 1 (1 phương trình)
x-10y = 3 (phương trình thứ 2)
1. Express
Có thể thấy rằng trong phương trình thứ hai có một biến x với hệ số là 1, do đó việc biểu diễn biến x từ phương trình thứ hai trở nên dễ dàng nhất.
x = 3 + 10y
2. Sau khi biểu thị, ta thay 3 + 10y vào phương trình thứ nhất thay cho biến x.
2 (3 + 10y) + 5y = 1
3. Chúng tôi giải phương trình kết quả với một biến.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (mở ngoặc)
6 + 20y + 5y = 1
25y = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0,2
Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của các đồ thị, do đó ta cần tìm x và y, vì giao điểm gồm x và y Hãy tìm x, trong đoạn đầu tiên ta biểu diễn ta thay y vào đó.
x = 3 + 10y
x = 3 + 10 * (- 0,2) = 1
Thông thường khi viết điểm ở vị trí đầu tiên, chúng ta viết biến x, và ở vị trí thứ hai là biến y.
Trả lời: (1; -0,2)
Ví dụ số 2:
Hãy giải quyết bằng cách cộng (trừ) từng số hạng.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng3x-2y = 1 (1 phương trình)
2x-3y = -10 (phương trình thứ 2)
1. Chọn một biến, giả sử chúng ta chọn x. Trong phương trình đầu tiên, biến x có hệ số là 3, trong phương trình thứ hai - 2. Chúng ta cần làm cho các hệ số giống nhau, vì điều này, chúng ta có quyền nhân các phương trình hoặc chia cho bất kỳ số nào. Chúng ta nhân phương trình thứ nhất với 2 và phương trình thứ hai với 3 và nhận được tổng hệ số là 6.
3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2
2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30
2. Từ phương trình thứ nhất, trừ biến thứ hai để loại bỏ biến x. Giải phương trình tuyến tính.
__6x-4y = 2
5y = 32 | : 5
y = 6,4
3. Tìm x. Chúng ta thay y tìm được vào bất kỳ phương trình nào, giả sử trong phương trình đầu tiên.
3x-2y = 1
3x-2 * 6.4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6
Giao điểm sẽ là x = 4,6; y = 6,4
Trả lời: (4,6; 6,4)
Bạn có muốn chuẩn bị cho các kỳ thi miễn phí? Gia sư trực tuyến miễn phí. Không đua đâu.
4x3 - 19x2 + 19x + 6 = 0
Đầu tiên, bạn cần sử dụng phương pháp lựa chọn để tìm một gốc. Nó thường là ước của số hạng tự do. Trong trường hợp này, các ước của số 6 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ số 1
-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ số -1 không phải là căn của một đa thức
2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ số 2 là gốc của đa thức
Chúng tôi đã tìm thấy 1 trong các gốc của đa thức. Căn của đa thức là 2, có nghĩa là đa thức ban đầu phải chia hết cho x - 2. Để thực hiện phép chia các đa thức, chúng tôi sử dụng lược đồ của Horner:
4 | -19 | 19 | 6 | |
2 |
Dòng trên cùng chứa các hệ số của đa thức ban đầu. Trong ô đầu tiên của hàng thứ hai, chúng tôi đặt gốc mà chúng tôi tìm thấy 2. Dòng thứ hai chứa các hệ số của đa thức, sẽ nhận được kết quả của phép chia. Họ tính như thế này:
|
Trong ô thứ hai của hàng thứ hai, viết số 1, đơn giản bằng cách di chuyển nó từ ô tương ứng của hàng đầu tiên. | ||||||||||
|
2 ∙ 4 - 19 = -11 | ||||||||||
|
2 ∙ (-11) + 19 = -3 | ||||||||||
|
2 ∙ (-3) + 6 = 0 |
Số cuối cùng là phần còn lại của phép chia. Nếu nó bằng 0, thì chúng ta đã đếm mọi thứ một cách chính xác.
Do đó, chúng tôi đã tính thành nhân tử của đa thức ban đầu:
4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2) (4x 2 - 11x - 3)
Và bây giờ, tất cả những gì còn lại là tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai
4x2 - 11x - 3 = 0
D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) \ u003d 169
D> 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm
Chúng tôi đã tìm thấy tất cả các nghiệm nguyên của phương trình.
I. Phương trình tuyến tính
II. Phương trình bậc hai
cây rìu 2 + bx +c= 0, một≠ 0, nếu không thì phương trình trở thành tuyến tính
Các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai có thể được tính theo nhiều cách khác nhau, ví dụ:
Chúng tôi giỏi giải phương trình bậc hai. Nhiều phương trình có bậc cao hơn có thể được rút gọn thành bậc hai.
III. Phương trình Rút gọn thành bậc hai.
sự thay đổi của biến: a) phương trình bậc hai cây rìu 2n + bx n + c = 0,một ≠ 0,N ≥ 2
2) phương trình đối xứng bậc 3 - một phương trình có dạng
3) phương trình đối xứng bậc 4 - một phương trình có dạng
cây rìu 4 + bx 3 + cx 2 +bx + một = 0, một≠ 0, hệ số a b c b a hoặc
cây rìu 4 + bx 3 + cx 2 –bx + một = 0, một≠ 0, hệ số a b c (–b) a
Tại vì x= 0 không phải là nghiệm của phương trình thì có thể chia cả hai vế của phương trình cho x 2, sau đó chúng tôi nhận được:.
Sau khi thay thế, ta giải được phương trình bậc hai một(t 2 – 2) + bt + c = 0
Ví dụ, hãy giải phương trình x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x+ 1 = 0, chia cả hai phần cho x 2 ,
, sau khi thay thế, chúng tôi nhận được phương trình t 2 – 2t – 3 = 0
Phương trình vô nghiệm.
4) Một phương trình có dạng ( x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = Cây rìu 2, hệ số ab = cd
Ví dụ, ( x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x 2. Nhân 1–4 và 2–3 dấu ngoặc, ta được ( x 2 + 14x+ 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2, chúng tôi chia cả hai vế của phương trình cho x 2, chúng tôi nhận được:
Chúng ta có ( t+ 14)(t + 11) = 4.
5) Phương trình thuần nhất bậc 2 - một phương trình có dạng P (x, y) = 0, trong đó P (x, y) là một đa thức, mỗi số hạng có bậc là 2.
Đáp số: -2; -0,5; 0
IV. Tất cả các phương trình trên đều dễ nhận biết và điển hình, nhưng phương trình có dạng tùy ý thì sao?
Cho một đa thức đã cho P N ( x) = một N x n + một n-1 x n-1 + ... + một 1x + một 0, ở đâu một n ≠ 0
Xét phương pháp hạ bậc của một phương trình.
Được biết rằng nếu các hệ số một là số nguyên và một n = 1 thì nghiệm nguyên của phương trình P N ( x) = 0 nằm trong số các ước của số hạng tự do một 0. Ví dụ, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x+ 5 = 0 thì ước của số 5 là các số 5; -5; một; -một. sau đó P 4 (1) = 0, tức là x= 1 là nghiệm nguyên của phương trình. Hạ bậc của phương trình P 4 (x) = 0 bằng cách chia "góc" của đa thức cho thừa số x –1, chúng ta thu được
P 4 (x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).
Tương tự như vậy, P 3 (1) = 0, sau đó P 4 (x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x+5), tức là phương trình P 4 (x) = 0 có gốc x 1 = x 2 = 1. Hãy để chúng tôi chỉ ra một nghiệm ngắn hơn của phương trình này (sử dụng sơ đồ của Horner).
1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
có nghĩa, x 1 = 1 nghĩa là x 2 = 1.
Cho nên, ( x– 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0
Chúng tôi đã làm gì? Hạ cấp của phương trình.
V. Xét phương trình đối xứng bậc 3 và bậc 5.
một) cây rìu 3 + bx 2 + bx + một= 0 rõ ràng x= –1 là nghiệm nguyên của phương trình thì hạ bậc của phương trình xuống hai nghiệm.
b) cây rìu 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + một= 0 rõ ràng x= –1 là nghiệm nguyên của phương trình thì hạ bậc của phương trình xuống hai nghiệm.
Ví dụ, hãy chỉ ra nghiệm của phương trình 2 x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0
2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
–1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
x = –1
Chúng tôi nhận được ( x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x+ 2) = 0. Do đó, nghiệm nguyên của phương trình: 1; một; -một; –2; -0,5.
VI. Đây là danh sách các phương trình khác nhau để giải trong lớp học và ở nhà.
Tôi mời bạn đọc tự giải phương trình 1-7 và nhận câu trả lời ...
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Đầu tiên, bạn cần sử dụng phương pháp lựa chọn để tìm một gốc. Nó thường là ước của số hạng tự do. Trong trường hợp này, các ước của số 12 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12. Hãy bắt đầu thay thế chúng lần lượt:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ số 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ số -1 không phải là căn của một đa thức
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ số 2 là gốc của đa thức
Chúng tôi đã tìm thấy 1 trong các gốc của đa thức. Căn của đa thức là 2, có nghĩa là đa thức ban đầu phải chia hết cho x - 2. Để thực hiện phép chia các đa thức, chúng tôi sử dụng lược đồ của Horner:
2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
2 |
Dòng trên cùng chứa các hệ số của đa thức ban đầu. Trong ô đầu tiên của hàng thứ hai, chúng tôi đặt gốc mà chúng tôi tìm thấy 2. Dòng thứ hai chứa các hệ số của đa thức, sẽ nhận được kết quả của phép chia. Họ tính như thế này:
|
Trong ô thứ hai của hàng thứ hai, viết số 2, đơn giản bằng cách di chuyển nó từ ô tương ứng của hàng đầu tiên. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Số cuối cùng là phần còn lại của phép chia. Nếu nó bằng 0, thì chúng ta đã đếm mọi thứ một cách chính xác.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Nhưng đây không phải là kết thúc. Bạn có thể thử mở rộng đa thức theo cách tương tự 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Một lần nữa, chúng tôi đang tìm kiếm gốc trong số các ước của số hạng tự do. Bộ chia số -6 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ số 1 không phải là căn của một đa thức
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ số -1 không phải là căn của một đa thức
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ số 2 không phải là căn của một đa thức
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ số -2 là gốc của đa thức
Hãy viết gốc tìm thấy vào lược đồ Horner của chúng tôi và bắt đầu điền vào các ô trống:
|
Trong ô thứ hai của hàng thứ ba, viết số 2, đơn giản bằng cách di chuyển nó từ ô tương ứng của hàng thứ hai. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Do đó, chúng tôi đã tính thành nhân tử của đa thức ban đầu:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (2x 2 + 5x - 3)
Đa thức 2x 2 + 5x - 3 cũng có thể được tính toán. Để làm điều này, bạn có thể giải phương trình bậc hai thông qua số phân biệt, hoặc bạn có thể tìm căn giữa các ước của số -3. Bằng cách này hay cách khác, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng căn của đa thức này là số -3
|
Trong ô thứ hai của hàng thứ tư, viết số 2, đơn giản bằng cách chuyển nó từ ô tương ứng của hàng thứ ba. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Do đó, chúng tôi đã phân tách đa thức ban đầu thành các nhân tử tuyến tính:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (x + 3) (2x - 1)
Và nghiệm nguyên của phương trình là.