Tìm tổng của một chuỗi thông qua tích phân và phân biệt. Tích hợp và phân biệt chuỗi công suất

Do đó, dựa trên tiêu chí so sánh, chúng tôi kết luận rằng chuỗi hội tụ, nghĩa là chuỗi

POWER SERIES Định lý Abel. Khoảng và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Sự hội tụ đồng nhất của chuỗi lũy thừa và tính liên tục của tổng Tích phân chuỗi lũy thừa Phân biệt chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor Điều kiện khai triển hàm thành chuỗi Taylor hàm cơ bản Bảng khai triển thành lũy thừa loạt (Maclaurin series) của các chức năng cơ bản cơ bản.

Định lý Abel. Khoảng và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng (o hoặc có dạng (2) trong đó các hệ số là hằng số. Chuỗi (2) bằng một phép thay thế chính thức x - x<> trên x giảm thành chuỗi (1). Chuỗi lũy thừa (1) luôn hội tụ tại điểm x = 0 và chuỗi (2) hội tụ tại điểm x0, và tổng của chúng tại các điểm này bằng co. Ví dụ. Các hàng là các hàng xếp chồng lên nhau. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu dạng miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Định lý 1 (Abel). Nếu một chuỗi lũy thừa hội tụ tại, thì nó hội tụ tuyệt đối với mọi x sao cho nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ tại x = xi, thì nó phân kỳ tại x bất kỳ mà để chuỗi lũy thừa CHUYỂN ĐỔI tại. dãy số hội tụ DÒNG ĐIỆN Định lý Abel. Khoảng và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Sự hội tụ đồng nhất của chuỗi lũy thừa và tính liên tục của tổng Tích phân chuỗi lũy thừa Phân biệt chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor Điều kiện khai triển hàm thành chuỗi Taylor hàm cơ bản Bảng khai triển thành lũy thừa loạt (Maclaurin series) của các chức năng cơ bản cơ bản. Từ đó suy ra và do đó, tồn tại một số sao cho M với mọi n. Hãy xem xét chuỗi số trong đó và ước lượng số hạng chung của nó. Chúng tôi đã whered =. Nhưng chuỗi được tạo thành từ các thành viên của một cấp tiến bộ hình học với mẫu số q, nơi nó có nghĩa là hội tụ. Dựa vào dấu hiệu của dãy số so sánh 2 | с „: гп | hội tụ tại bất kỳ điểm x mà. Do đó, chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối CHO Bây giờ là chuỗi lũy thừa của điểm O), tách các khoảng phân kỳ khỏi khoảng hội tụ. Định lý sau đây là đúng. Định lý 2. Cho chuỗi lũy thừa hội tụ tại điểm x Φ 0. Khi đó chuỗi này hội tụ tuyệt đối tại mỗi điểm thuộc đường thẳng thực, hoặc tồn tại một số R> 0 sao cho chuỗi hội tụ tuyệt đối tại và phân kỳ. Áp lực hội tụ phân kỳ d Hình. 1 Định nghĩa. Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa là khoảng (-R, R), trong đó R> 0, sao cho tại mỗi điểm x € (-A, R) chuỗi hội tụ tuyệt đối và tại các điểm x sao cho | n | > R, chuỗi phân kỳ. Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Nhận xét. Đối với các điểm cuối của khoảng hội tụ (-R, R), có thể xảy ra ba trường hợp sau: I) chuỗi lũy thừa đồng thời tại điểm x = -R và tại điểm x = R, 2) chuỗi lũy thừa phân kỳ tại cả hai điểm, 3) chuỗi lũy thừa hội tụ ở một đầu của khoảng hội tụ và phân kỳ ở điểm kia. Nhận xét. Chuỗi lũy thừa trong đó x φ 0 có cùng bán kính hội tụ với chuỗi Để chứng minh công thức (3), hãy xem xét một chuỗi gồm các giá trị tuyệt đối của các số hạng của chuỗi này Áp dụng tiêu chí d’Alembert cho chuỗi này, chúng ta find Nó theo sau rằng chuỗi (4) sẽ hội tụ, nếu và phân kỳ nếu. chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối với mọi x sao cho và phân kỳ tại. Theo định nghĩa của bán kính hội tụ, chúng ta thấy rằng bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa cũng có thể được tìm thấy bằng công thức nếu có một giới hạn hữu hạn. Công thức (5) có thể dễ dàng thu được bằng cách sử dụng tiêu chí Cauchy. Nếu chuỗi lũy thừa chỉ hội tụ tại điểm x = 0, thì họ nói rằng bán kính hội tụ của nó là R = 0 (điều này có thể xảy ra, chẳng hạn khi lim b ^ A = oo hoặc nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tại mọi điểm của trục thực, sau đó chúng ta đặt R = + oo (điều này xảy ra, ví dụ, khi lim n ^ p = 0 hoặc Vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa có thể là khoảng (hoặc đoạn [, hoặc một trong các nửa khoảng (x0 - R, x0 + D) hoặc [. Nếu R = + oo, thì vùng hội tụ của chuỗi sẽ là toàn bộ trục số, tức là khoảng (-oo, + oo). tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa, trước tiên bạn phải tính bán kính hội tụ của nó R (ví dụ, sử dụng một trong các công thức trên) và tìm khoảng hội tụ của điểm O) tách các khoảng phân kỳ khỏi khoảng của Định lý sau đây là: Định lý 2. Cho chuỗi lũy thừa hội tụ tại điểm x Φ 0. Khi đó chuỗi này hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm trên đường thực hoặc tồn tại một số R> O sao cho chuỗi hội tụ tuyệt đối tại và phân kỳ ở | Tiêu dùng nó. Áp lực hội tụ phân kỳ Định nghĩa. Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa là khoảng (-R, R), trong đó R> 0, sao cho tại mỗi điểm x € (-A, R) chuỗi hội tụ tuyệt đối và tại các điểm x sao cho | n | > R, chuỗi phân kỳ. Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Nhận xét. Đối với các điểm cuối của khoảng hội tụ (-R, R), có thể xảy ra ba trường hợp sau: I) chuỗi lũy thừa đồng thời tại điểm x = -R và tại điểm x = R, 2) chuỗi lũy thừa phân kỳ tại cả hai điểm, 3) chuỗi lũy thừa hội tụ ở một đầu của khoảng hội tụ và phân kỳ ở điểm kia. Nhận xét. Chuỗi lũy thừa trong đó x φ 0 có cùng bán kính hội tụ với chuỗi Để chứng minh công thức (3), hãy xem xét một chuỗi gồm các giá trị tuyệt đối của các số hạng của chuỗi này Áp dụng tiêu chí d’Alembert cho chuỗi này, chúng ta find Nó theo sau rằng chuỗi (4) sẽ hội tụ, nếu \, và phân kỳ nếu, tức là, chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối với mọi x sao cho và phân kỳ đối với \. Theo định nghĩa của bán kính hội tụ, chúng ta thu được R = £, tức là DÒNG ĐIỆN. Định lý Abel. Khoảng và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Sự hội tụ đồng nhất của chuỗi lũy thừa và tính liên tục của tổng Tích phân chuỗi lũy thừa Phân biệt chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor Điều kiện khai triển hàm thành chuỗi Taylor hàm cơ bản Bảng khai triển thành lũy thừa loạt (Maclaurin series) của các chức năng cơ bản cơ bản. Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa cũng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức nếu có một giới hạn hữu hạn. Công thức (5) có thể dễ dàng thu được bằng cách sử dụng tiêu chí Cauchy. Nếu chuỗi lũy thừa chỉ hội tụ tại điểm x = 0, thì họ nói rằng bán kính hội tụ của nó là R = 0 (điều này có thể xảy ra, chẳng hạn khi lim b ^ A = oo hoặc. Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tại mọi điểm của trục thực, khi đó chúng ta giả sử R = + oo (điều này xảy ra, ví dụ, khi Vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa có thể là khoảng (hoặc đoạn] hoặc một trong các nửa khoảng (x0 - R, x0 + D) hoặc [. Nếu R = + oo, thì vùng hội tụ của chuỗi sẽ là toàn bộ trục số, tức là khoảng (-oo, + oo). Để tìm vùng hội tụ của một chuỗi lũy thừa, trước tiên bạn phải tính bán kính hội tụ R của nó (ví dụ: sử dụng một trong các công thức trên) và từ đó tìm khoảng hội tụ trong đó chuỗi hội tụ tuyệt đối, sau đó - để khảo sát. (3) Vì chúng ta sẽ có Chuỗi hội tụ tuyệt đối trên khoảng 2) Hãy để chúng tôi khảo sát Chúng tôi ước tính sự hội tụ của chuỗi (6) ở hai đầu của khoảng hội tụ. Đặt x = -1, chúng ta nhận được một chuỗi số có sự phân kỳ rõ ràng (tiêu chuẩn hội tụ cần thiết không được đáp ứng:. Với x - 1, chúng ta nhận được một chuỗi số không tồn tại, có nghĩa là chuỗi này phân kỳ. Vì vậy, miền tụ của chuỗi (6) là một khoảng Ví dụ 2. Tìm miền tụ của chuỗi M 1) Bán kính hội tụ được tìm bởi công thức (3). Chúng ta có Hàng (7) hội tụ tuyệt đối trên khoảng, khi đó Khi chúng ta nhận được một chuỗi số phân kỳ (chuỗi điều hòa). Với x = 0, chúng ta sẽ có một dãy số hội tụ có điều kiện. Như vậy, chuỗi (7) hội tụ trong miền Ví dụ 3. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi Vì = nên để tìm bán kính hội tụ ta áp dụng công thức Vùng đồng quy là khoảng Ví dụ 4. Tìm khoảng đồng quy của chuỗi, khi đó ta được Đẳng thức R = 0 nghĩa là chuỗi (8) chỉ hội tụ tại một điểm. tức là vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho bao gồm một điểm §2. Sự hội tụ đồng nhất của một chuỗi lũy thừa và tính liên tục của tổng của nó Định lý 1. Một chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối và đồng nhất trên bất kỳ đoạn nào nằm trong khoảng hội tụ của chuỗi Cho. Khi đó với mọi x thỏa mãn điều kiện và với n = bất kỳ. sẽ có. Nhưng do dãy số hội tụ nên theo tiêu chí Weierstrass, dãy số này hội tụ tuyệt đối và đồng nhất trên phân khúc. Định lý 2. Tổng của một chuỗi lũy thừa liên tục tại mỗi điểm x thuộc khoảng hội tụ của nó (4) Bất kỳ điểm x nào thuộc khoảng hội tụ (-D, R) có thể nằm trong một đoạn nào đó mà chuỗi này hội tụ đồng nhất. S ( x) sẽ liên tục trên đoạn [-a, a], và do đó cũng tại điểm x. Tích phân chuỗi lũy thừa Định lý 3 (về tích phân theo từng kỳ hạn của chuỗi lũy thừa) Một chuỗi lũy thừa có thể được tích hợp từng số hạng trong khoảng hội tụ của nó (-R, R), R> 0 và bán kính hội tụ của chuỗi số thu được bằng tích phân từng số hạng cũng bằng R. Đặc biệt, với bất kỳ x nào từ khoảng (-R, R) công thức có giá trị Bất kỳ điểm x nào từ khoảng hội tụ (-D, R) có thể được kết luận trong một số đoạn [-a, a], trong đó. Trên đoạn này, chuỗi đã cho sẽ hội tụ đồng nhất, và vì các số hạng của dãy là liên tục nên nó có thể được tích phân theo số hạng, ví dụ, trong phạm vi từ 0 đến x. Sau đó, theo Định lý 4 của Chương XVIII, Hãy tìm bán kính hội tụ R " của chuỗi thu được POWER P BÀI GIẢI Định lý Abel. Khoảng và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Sự hội tụ đồng nhất của chuỗi lũy thừa và tính liên tục của tổng Tích phân chuỗi lũy thừa Phân biệt chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor Điều kiện khai triển hàm thành chuỗi Taylor hàm cơ bản Bảng khai triển thành lũy thừa loạt (Maclaurin series) của các chức năng cơ bản cơ bản. trong điều kiện bổ sung của sự tồn tại của giới hạn hữu hạn R. Vì vậy, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa không thay đổi trong quá trình tích phân. Nhận xét. Khẳng định của định lý vẫn có giá trị đối với H = + oo. §4. Suy ra của chuỗi lũy thừa Định lý 4 (về sự phân biệt theo từng số hạng của chuỗi lũy thừa). Một chuỗi lũy thừa có thể được phân biệt theo số hạng tại bất kỳ điểm nào x thuộc khoảng hội tụ của nó 1) và (2) bằng nhau. Hãy biểu thị tổng của chuỗi (2) bởi Chuỗi (1) và (2) hội tụ đồng nhất trên bất kỳ khoảng nào [-a, a |, trong đó. Hơn nữa, tất cả các số hạng của dãy (2) là liên tục và là đạo hàm của các số hạng tương ứng của dãy (1). Do đó, theo Định lý 5 của Chương XVIII, đẳng thức tồn tại trên khoảng [-a, a) Theo tính tùy ý của a, đẳng thức cuối cùng cũng đồng thời trên khoảng C. Chuỗi lũy thừa Định nghĩa. Chúng ta sẽ nói rằng hàm f (x) khai triển thành một chuỗi lũy thừa] Γ) CnXn trên một khoảng Nếu chuỗi đã chỉ ra hội tụ trên khoảng này và tổng của nó bằng f (x): Trước tiên, chúng ta hãy chứng minh rằng hàm f (x) không thể có hai khai triển chuỗi lũy thừa khác nhau có dạng Định lý 5. Nếu hàm / (x) trên khoảng (-R, R) được khai triển thành chuỗi lũy thừa (1), thì khai triển này là duy nhất, tức là các hệ số của chuỗi (1) được xác định duy nhất bằng tổng của nó. Cho hàm trong khoảng được khai triển thành một chuỗi lũy thừa hội tụ Phân biệt chuỗi này theo từng số hạng n lần, ta thấy Với x = 0, ta nhận được từ khi nào Như vậy, các hệ số của chuỗi lũy thừa (1) được xác định duy nhất bởi công thức (2). Nhận xét. Nếu hàm / (x) được khai triển thành một chuỗi lũy thừa theo lũy thừa của hiệu x-zq, thì các hệ số cn của chuỗi này được xác định bằng công thức. Cho hàm / có dẫn xuất của tất cả các lệnh. có thể phân biệt vô hạn tại điểm jo. Hãy lập một chuỗi lũy thừa chính thức cho hàm này bằng cách tính các hệ số của nó bằng công thức (3). §5. Sự định nghĩa. Chuỗi Taylor của hàm / (x) đối với điểm x0 được gọi là chuỗi lũy thừa có dạng hàm / (x) khai triển thành chuỗi lũy thừa, khi đó chuỗi này là chuỗi Taylor của hàm / (x) . trong đó Pjn (i) là đa thức bậc 3n đối với j. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng tại điểm 2 = 0, hàm này cũng có đạo hàm bất kỳ và tất cả chúng đều bằng 0. Dựa vào định nghĩa của đạo hàm, chúng ta có Bằng cách tương tự, chúng ta có thể chứng minh rằng Như vậy, hàm đã cho có đạo hàm tất cả các bậc trên trục thực. tổng của chuỗi này giống hệt nhau bằng 0, trong khi bản thân hàm f (x) không giống nhau bằng 0. ^ Ví dụ này đáng ghi nhớ khi thảo luận về phân tích phức hợp (phân tích): một hàm bề ngoài hoàn toàn bình thường, cho thấy một đặc tính thất thường trên trục thực, là hệ quả của những rắc rối trên trục tưởng tượng. Chuỗi được xây dựng chính thức trong ví dụ cho một hàm phân biệt vô hạn đã cho hội tụ, nhưng tổng của nó không trùng với các giá trị của hàm này đối với x Ф 0. Liên quan đến điều này, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: hàm f nên điều kiện nào (x) thỏa mãn trên khoảng (xo - R, xo + R) sao cho nó có thể khai triển thành chuỗi Taylor hội tụ với nó? Điều kiện để khai triển một hàm thành một chuỗi Taylor Để đơn giản, chúng ta sẽ xét một chuỗi lũy thừa có dạng m. e. Chuỗi Maclaurin. Định lý 7. Để hàm số f (x) được khai triển thành một chuỗi lũy thừa trên khoảng (-R, R), thì cần và đủ rằng trên khoảng này hàm f (x) có đạo hàm theo mọi bậc và rằng trong công thức Taylor của nó, số hạng dư Rn (x) có xu hướng bằng không với mọi m Cần thiết. Giả sử trong khoảng (hàm f (x) có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa, tức là chuỗi (2) hội tụ và tổng của nó bằng f (x). Khi đó, theo Định lý 4 và hệ quả từ nó, hàm f (x) có trên khoảng (-R, R) đạo hàm f (n ^ (x) của tất cả các bậc. Theo Định lý 5 (công thức (2)) các hệ số của chuỗi (2) có dạng tức là chúng ta có thể viết đẳng thức Do sự hội tụ của chuỗi này trên khoảng (-R, R) phần dư 0 của nó có xu hướng bằng 0 với mọi x Tính đủ Cho hàm f (xr) trên khoảng (-R, R) có đạo hàm là tất cả các lệnh và trong công thức Taylor của nó, số hạng còn lại Rn (x) 0 là n oo với bất kỳ x € (-D, R). Vì đối với n - »oo. Vì tổng riêng phần thứ n của chuỗi Taylor được viết bằng dấu ngoặc vuông, công thức (4) có nghĩa là chuỗi Taylor của hàm f (x) hội tụ trên khoảng (-D, R) và tổng của nó là hàm f (x). Điều kiện đủ để khai triển hàm thành a chuỗi lũy thừa, thuận tiện cho việc sử dụng thực tế, được mô tả bằng định lý sau: Định lý 8. Để hàm f (x) có thể Chỉ cần thêm vào một chuỗi lũy thừa là đủ để hàm f (x) có đạo hàm tất cả các bậc trên khoảng này và tồn tại một hằng số M> 0 sao cho. Cho hàm số f (x) có đạo hàm đồng biến trên khoảng (-D, R). Sau đó, chúng ta có thể chính thức viết chuỗi Taylor cho nó. Hãy chứng minh rằng nó hội tụ đến hàm f (x). Để làm điều này, chỉ cần chứng tỏ rằng số hạng còn lại trong công thức Taylor (1) có xu hướng bằng 0 là n oo với mọi x € (-A, R). Thật vậy, cho rằng). Dãy số hội tụ theo tiêu chí d'Alembert: theo tiêu chí hội tụ cần thiết. Từ bất đẳng thức (3) ta thu được! Chuỗi hàm cơ bản của Taylor Hãy xem xét các khai triển thành một chuỗi các hàm cơ bản cơ bản. 6 Hàm này có đạo hàm của tất cả các bậc trên khoảng (- bất kỳ số nào và Do đó, hàm mũ ex khai triển thành chuỗi Taylor trên bất kỳ khoảng nào (-a, a) và do đó, trên toàn bộ trục Ox. Kể từ đó, chúng ta nhận được chuỗi Nếu trong khai triển (1) thay x bằng -a *, thì chúng ta có Hàm này có đạo hàm theo bậc bất kỳ, và hơn nữa, theo Định lý 8, hàm sin x khai triển thành chuỗi Taylor hội tụ với nó trên khoảng (-oo, + oo). Do đó chuỗi này có dạng sau Bán kính hội tụ của chuỗi Tương tự, chúng ta thu được rằng - bất kỳ số thực nào Hàm này thỏa mãn quan hệ và điều kiện. Chúng ta sẽ tìm một chuỗi lũy thừa có tổng 5 (g ) thỏa mãn quan hệ (4) và điều kiện 5 (0) = 1. Ta đặt Từ đây ta tìm Quan hệ thay thế (5) và (6) vào công thức (4), ta sẽ có Công thức các hệ số ở cùng lũy ​​thừa của x trong phần bên trái và bên phải của đẳng thức, từ đó ta tìm được CÔNG SUẤT SERIES Định lý Abel. Khoảng và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Sự hội tụ đồng nhất của chuỗi lũy thừa và tính liên tục của tổng Tích phân chuỗi lũy thừa Phân biệt chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor Điều kiện khai triển hàm thành chuỗi Taylor hàm cơ bản Bảng khai triển thành lũy thừa loạt (Maclaurin series) của các chức năng cơ bản cơ bản. Thay các giá trị này của các hệ số vào quan hệ (5), ta thu được chuỗi Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi (7) trong trường hợp a không phải là số tự nhiên. Ta có Vậy chuỗi (7) hội tụ tại. e. trên khoảng Hãy chứng minh rằng tổng 5 (x) của chuỗi (7) trên khoảng (-1,1) bằng (1 + x) °. Để làm điều này, hãy xem xét quan hệ Vì 5 (x) thỏa mãn quan hệ (khi đó đối với đạo hàm của hàm φ (x), chúng ta thu được: cho. Nó theo sau đó. Đặc biệt, với x = 0, chúng ta có và do đó chuỗi kết quả được gọi là nhị thức và hệ số của nó - hệ số nhị thức. Nhận xét. Nếu a là số tự nhiên (o = z "), hàm (1 + z) a sẽ là đa thức bậc n và Dn (x) = 0 với mọi n> a. Chúng tôi cũng lưu ý Nếu a = -1, chúng tôi sẽ có Thay w bằng -x vào đẳng thức cuối cùng, chúng tôi thu được một khai triển của hàm này trong một chuỗi Taylor theo lũy thừa của x, chúng tôi tích phân đẳng thức (9 ) trong o Đẳng thức (11) có giá trị trong khoảng Chúng ta có thể chứng minh rằng đẳng thức (11) cũng hợp lệ đối với x = 1: Bảng khai triển chuỗi lũy thừa (chuỗi Maclaurin) của các hàm cơ bản cơ bản. .Ví dụ 1. Khai triển hàm số 4 theo lũy thừa p độc trong vùng lân cận của điểm xq = 2, tức là, theo lũy thừa của sự khác biệt z -2. Hãy biến đổi hàm này để chúng ta có thể sử dụng chuỗi (10) cho hàm Chúng ta có. Thay x trong công thức (10) bằng ^. ta nhận được I I Khai triển này hợp lệ khi thỏa mãn bất kỳ bất đẳng thức tương đương nào. Ví dụ 2. Khai triển hàm theo lũy thừa của x bằng công thức (10). 4 Chia mẫu số thành thừa số, ta biểu diễn hàm số hữu tỉ này dưới dạng hiệu của hai phân số đơn giản. Sau các phép biến đổi đơn giản, chúng ta thu được Cả hai chuỗi (14) và (15) sẽ hội tụ đồng thời cho \. Vì chuỗi (14) và (15) hội tụ trong khoảng (-1,1), chúng có thể được trừ đi theo số hạng. Kết quả là, chúng ta nhận được chuỗi lũy thừa mong muốn có bán kính hội tụ là R = 1. Chuỗi này hội tụ tuyệt đối cho Ví dụ 3. Khai triển hàm arcsin x trong chuỗi Taylor trong vùng lân cận của điểm x0 = 0. 4 Được biết, Hãy để chúng tôi áp dụng cho hàm (công thức (8). Thay x bởi -x2 trong nó. Kết quả là chúng ta nhận được Tích phân cả hai phần của đẳng thức cuối cùng từ 0 đến x (tích phân theo từng số hạng là hợp pháp, vì chuỗi lũy thừa hội tụ đồng nhất trên bất kỳ đoạn nào có các điểm kết thúc tại các điểm 0 và x nằm trong khoảng (-1,1)), chúng ta tìm thấy hoặc Như vậy, cuối cùng chúng ta thu được Ví dụ 4. Tính tích phân (sin tích phân ), Người ta biết rằng đạo hàm cho hàm ^ không được biểu thị theo hàm cơ bản. t tại t f 0 là hợp pháp Đẳng thức (17) cũng được bảo toàn tại nếu chúng ta giả sử rằng tại t = 0, tỷ số - = 1. Do đó, chuỗi (17) hội tụ với mọi giá trị Tích phân theo số hạng, chúng ta thu được để dễ dàng ước tính được sai số khi thay thế tổng của nó bằng một phần tổng. Ví dụ 5. Tính tích phân Ở đây, đạo hàm của tích phân e cũng không phải là một hàm cơ bản. Để tính tích phân, chúng ta thay thế vào công thức Ta được Hãy tích cả hai phần của đẳng thức này trong phạm vi từ 0 đến x: Chuỗi này hội tụ với r bất kỳ (bán kính hội tụ của nó R \ u003d + oo) và xen kẽ ở Bài tập Tìm khu vực hội tụ của chuỗi lũy thừa: Mở rộng các chức năng sau trong một chuỗi Makloreya và chỉ ra các khu vực hội tụ của chuỗi thu được: Chỉ báo. Sử dụng bảng. Sử dụng bảng, khai triển các hàm đã cho trong chuỗi Taylor theo lũy thừa của x - x0 và chỉ ra khoảng thời gian hội tụ của chuỗi kết quả.

Các yếu tố của cấu trúc ngữ nghĩa

Cấu trúc ngữ nghĩa của câu.

(Câu hỏi này dành cho nghiên cứu độc lập!)

Loại phân tích này liên hệ tổ chức ngữ nghĩa của một câu với tổ chức chính thức của nó. Hướng này đưa ra khái niệm về cấu trúc ngữ nghĩa của một câu (chủ yếu là N.Yu. Shvedova).

Một sơ đồ khối có ngữ nghĩa riêng, được tạo ra bởi các giá trị chính thức của các thành phần, các quy tắc cho nội dung từ vựng của chúng và mối quan hệ của các thành phần với nhau (trong sơ đồ không phải một thành phần).

Ý nghĩa ngôn ngữ của một câu cụ thể được xây dựng theo kiểu này hay kiểu khác được hình thành do tác động lẫn nhau giữa ngữ nghĩa của mẫu này và ngữ nghĩa từ vựng của những từ đã đảm nhiệm vị trí các thành phần của nó: Học sinh viết; đứa trẻ vui mừng với ngữ nghĩa chung của MSS (“mối quan hệ giữa chủ thể và tính năng tiên đoán của nó - hành động hoặc trạng thái thủ tục”) trong trường hợp đầu tiên, nghĩa là “mối quan hệ giữa chủ thể và hành động cụ thể của anh ta”, trong trường hợp thứ hai trường hợp - “mối quan hệ giữa chủ thể và trạng thái cảm xúc của anh ta”.

Chuỗi hàm có dạng trong đó (hệ số của chuỗi) và (tâm của chuỗi) là hằng số, một biến, được gọi là chuỗi lũy thừa. Rõ ràng là nếu chúng ta học được cách tính vùng hội tụ của một chuỗi lũy thừa (có tâm) thì chúng ta có thể dễ dàng tìm được vùng hội tụ của chuỗi gốc. xét chuỗi lũy thừa có dạng.

Định lý Abel.Nếu một chuỗi lũy thừa hội tụ tại một điểm, thì nó hội tụ tuyệt đối và trong khoảng Trên bất kỳ đoạn nào, chuỗi được chỉ ra hội tụ đồng nhất.

Bằng chứng. Vì chuỗi hội tụ, số hạng chung của nó do đó bị giới hạn, tức là có một hằng số như vậy

Hãy để ngay bây giờ. Sau đó, chúng tôi sẽ có

Vì cấp hình học hội tụ (), do đó định lý so sánh đầu tiên hội tụ và chuỗi Phần đầu tiên của định lý được chứng minh.

Vì chuỗi hội tụ bởi những gì đã được chứng minh và nó đa số là (xem) chuỗi, thì theo định lý Weierstrass, chuỗi cuối cùng hội tụ đồng nhất như. Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Theo định lý Abel, chúng ta có thể mở rộng khoảng thời gian cho đến thời điểm xuất hiện khi chuỗi phân kỳ tại điểm (hoặc thời điểm như vậy hoàn toàn không đến, tức là). Khi đó khoảng xác định sẽ là vùng hội tụ của chuỗi Vì vậy, bất kỳ chuỗi lũy thừa nào cũng có vùng hội tụ của nó không phải là một tập tùy ý, mà chính xác là một khoảng. Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa chính xác hơn về khoảng hội tụ.

Định nghĩa 2. Số được gọi là bán kính hội tụ chuỗi, nếu trong khoảng thời gian chuỗi này hội tụ chắc chắn rồi, và bên ngoài phân khúc, nó phân kỳ. Trong trường hợp này, khoảng thời gian được gọi là khoảng hội tụ hàng ngang.

Lưu ý rằng đối với, chuỗi lũy thừa được chỉ định chỉ hội tụ tại điểm và đối, nó hội tụ với tất cả các giá trị thực. Các ví dụ sau đây cho thấy rằng các trường hợp này không bị loại trừ: Ví dụ về chuỗi có bán kính hội tụ hữu hạn khác không có thể là một hình học cả hội tụ và phân kỳ. Ví dụ: chuỗi hội tụ có điều kiện tại một điểm và phân kỳ tại một điểm

Từ các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đồng nhất (Định lý 1-3), dễ dàng suy ra các tính chất sau của chuỗi lũy thừa.

Định lý 4.Gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Sau đó, các câu lệnh sau sẽ diễn ra:

1. Tổng của một chuỗi lũy thừa đã cho liên tục trong khoảng đồng biến;

2. Nếu là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, thì chuỗi đạo hàm sẽ có cùng bán kính hội tụ. Điều này ngụ ý rằng chuỗi lũy thừa có thể phân biệt bất kỳ số lần nào (tức là tổng của nó có thể phân biệt vô hạn trong khoảng của sự hội tụ), và sự bình đẳng

3. Một chuỗi lũy thừa có thể được tích hợp trên bất kỳ khoảng nào nằm bên trong khoảng hội tụ của nó, tức là

Bằng chứng, ví dụ, thuộc tính đầu tiên sẽ như thế này. Để một điểm tùy ý thuộc khoảng đồng quy . Bao quanh điểm này bằng một đoạn đối xứng. Theo định lý Abel, chuỗi hội tụ đồng nhất trên đoạn, do đó tổng của nó liên tục trên đoạn xác định và do đó liên tục, đặc biệt, và tại điểm Tính chất 1 được chứng minh. Các tính chất còn lại của định lý ta được chứng minh tương tự.

Bây giờ chúng ta hãy tính toán bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa từ các hệ số của nó.

Định lý 4 . Thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

a) có giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn)

b) Có một giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn) (giả thiết rằng tồn tại một số sao cho).

Khi đó số là bán kính hội tụ của chuỗi.

Bằng chứng chúng tôi sẽ thực hiện cho trường hợp a). Hãy áp dụng thử nghiệm Cauchy cho chuỗi mô-đun: Theo thử nghiệm được chỉ ra, chuỗi hội tụ tuyệt đối nếu số tức là nếu Nếu, tức là nếu sau đó chuỗi được chỉ định phân kỳ. Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi. Định lý đã được chứng minh.

Nhận xét 1.Định lý 1-4 có thể được chuyển sang chuỗi lũy thừa có dạng mà hầu như không thay đổi từ ngữ (với một sự điều chỉnh nhỏ trong trường hợp này vùng hội tụ là khoảng).

ví dụ 1 Tìm vùng tụ của chuỗi ( nhiệm vụ 10, T.R., Kuznetsov L.A.)

Quyết định. Chúng tôi áp dụng một tương tự của a) của định lý Cauchy: bán kính hội tụ của một chuỗi cho trước. Vì vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối trong khu vực

Chúng tôi khảo sát sự hội tụ của chuỗi ở các điểm cuối của khoảng. Chúng ta có

khác nhau, bởi vì

khác nhau, bởi vì

Do đó, vùng hội tụ của dãy số ban đầu là khoảng.

Sự định nghĩa. Chuỗi chức năng của biểu mẫu

ở đâu ... là các số thực, được gọi là một chuỗi lũy thừa.

Miền hội tụ tuyệt đối của chuỗi là khoảng , số ở đâu R là bán kính hội tụ.

Cho chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R> 0. Khi đó các phát biểu sau là đúng:

1. Tổng của chuỗi là một hàm liên tục của x trong suốt khoảng hội tụ.

2. Chuỗi hội tụ đồng nhất trên bất kỳ đoạn nào mà .

3. Chuỗi có thể được tích hợp theo từng kỳ trong bất kỳ khoảng nào nằm trong khoảng đó.

4. Một chuỗi có thể được phân biệt theo từng kỳ tại bất kỳ thời điểm nào Bất cứ lúc nào.

Ghi chú:

1. Khi tích phân hoặc phân biệt một số hạng của chuỗi lũy thừa theo số hạng, sẽ thu được chuỗi lũy thừa mới, trong khi bán kính hội tụ của chúng không đổi.

2. Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng một trong các công thức:

, (10)

(11)

với điều kiện là tồn tại các giới hạn được chỉ ra, là hệ số của chuỗi.

Nhiệm vụ 17.31

Tìm tổng của một chuỗi .

Quyết định:

Tôi đường. Tìm khoảng đồng biến của dãy số:

, , .

Đơn giản hóa phân số hữu tỉ , .

Sau đó, chuỗi có thể được biểu diễn bằng hiệu của hai chuỗi:

Sự hội tụ của mỗi người trong số họ vẫn như nhau (xem cho chính mình). Vì vậy, có sự bình đẳng. Biểu thị các tổng của chuỗi tương ứng bằng và, và tổng mong muốn bằng,.

Hãy tìm tổng của hàng đầu tiên:

Phân biệt số hạng theo số hạng của chuỗi bên trong khoảng hội tụ, ta thu được:; là một cấp tiến hình học với mẫu số.

Khi tiến trình hội tụ, và tổng là: ; . Bây giờ, tích phân trên khoảng nằm bên trong khoảng hội tụ, chúng ta thu được:

.

Tìm tổng của hàng thứ hai:

Hãy thực hiện chuyển đổi:

Hãy để chúng tôi biểu thị tổng của chuỗi trong ngoặc đơn và phân biệt trong khoảng:

Đây cũng là một tiến trình hình học.

, , ;

.

Vậy tổng của dãy số ban đầu là:

hoặc
vì .

Phương pháp II. Không lặp lại các chi tiết của phương pháp đầu tiên liên quan đến khoảng hội tụ của chuỗi này, chúng tôi đưa ra phương án thứ hai để giải quyết vấn đề. Hãy biểu thị tổng của chuỗi bằng: .

Nhân với hàng này: . Phân biệt các chuỗi hai lần thu được:

,

Biểu diễn một tiến trình hình học với một mẫu số , sau đó . Hãy tích hợp trên khoảng thời gian:

Tích hợp theo các bộ phận, chúng tôi nhận được:

vì .

Nhiệm vụ 18.31

Tìm tổng của một chuỗi .

Quyết định:

Chuỗi này hội tụ trong khoảng thời gian (tự xem). Hãy viết lại nó, trình bày nó dưới dạng tổng của ba hàng:

Điều này là có thể, vì mỗi chuỗi đều có cùng vùng hội tụ - khoảng. Biểu thị tổng của ba chuỗi lần lượt bằng, và tổng mong muốn bằng.

dưới dạng tổng các số hạng của một cấp tiến hình học với một mẫu số

Hãy thực hiện chuyển đổi:

Biểu thị bằng tổng của chuỗi.

Tích hợp từng số hạng của chuỗi này trên một đoạn bên trong khoảng hội tụ, chúng ta thu được:

Để tìm, chúng ta cần phân biệt các phân số:

.

Vì thế, .

Bây giờ chúng ta hãy tìm:

Hãy lấy nó ra khỏi dấu ngoặc:

Biểu thị bằng tổng của chuỗi trong ngoặc đơn. sau đó

Trong các dấu ngoặc này có một chuỗi, tổng của chúng được tìm thấy: . Chúng tôi nhận được: .

Nhưng , . Sau đó, tổng của chuỗi ban đầu

Cho nên, vì .

Chuỗi Taylor

Sự định nghĩa. Hàng ngang

được gọi là chuỗi Taylor theo lũy thừa của hàm.

Một hàm có thể được mở rộng thành một chuỗi Taylor nếu nó có các đạo hàm của tất cả các lệnh tại điểm đang xét và nếu số hạng còn lại tại điểm tại có xu hướng bằng không. Chuỗi Taylor đôi khi được gọi là chuỗi Maclaurin.

Định lý

Nếu một hàm mở rộng thành một chuỗi lũy thừa, thì chuỗi này là duy nhất cho nó và là một chuỗi Taylor.

Ghi chú. Bằng cách tìm liên tiếp các đạo hàm của hàm và giá trị của chúng tại điểm, người ta có thể viết ra chuỗi Taylor. Nhưng đồng thời, việc nghiên cứu thuật ngữ dư cũng gặp khó khăn lớn. Do đó, họ thường đi theo hướng khác: họ sử dụng các khai triển sẵn có của các hàm cơ bản cơ bản thành chuỗi lũy thừa kết hợp với các quy tắc cộng, trừ, nhân chuỗi và các định lý về tích phân và phân biệt của chúng, chẳng hạn như đã được trình bày. trong các bài toán 17.31 và 18.31.

Nhiệm vụ 19.31

Mở rộng chức năng trong một chuỗi Taylor về quyền hạn của.

Quyết định:

X 0 = 0. Hãy sử dụng ghi chú. Như

thì hàm được đơn giản hóa nếu chúng ta áp dụng phương pháp hệ số không xác định:

.

Tổng các số hạng của một cấp tiến hình học có mẫu số là: . Trong trường hợp của chúng ta . là bán kính hội tụ của chuỗi này. Kỳ hạn ,

Thêm các hàng, chúng tôi nhận được: hoặc , đâu là vùng hội tụ chung. nằm hoàn toàn trong vùng hội tụ của chuỗi.

Để tính tích phân này với độ chính xác 0,001, chúng ta cần lấy hai số hạng của nó trong chuỗi kết quả (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

Vì vậy,

Câu hỏi tự kiểm tra

Dãy số

1. Đưa ra định nghĩa về chuỗi số hội tụ và chuỗi phân kỳ.

2. Lập tiêu thức cần thiết cho sự hội tụ của dãy số.

3. Hình thành đầy đủ các dấu hiệu về sự hội tụ của dãy số với số hạng dương: so sánh dãy số với số hạng dương; dấu hiệu của d'Alembert; dấu Cauchy căn, dấu Cauchy tích phân.

4. Định nghĩa một chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nêu các tính chất của dãy số hội tụ tuyệt đối.

5. Hình thành dấu hiệu Leibniz.

hàng chức năng

6. Xác định miền hội tụ của chuỗi hàm.

7. Dãy nào được gọi là hội tụ đồng chất?

8. Lập công thức kiểm tra Weierstrass.

9. Điều kiện để khai triển một hàm số thành một chuỗi Taylor.

10. Hình thành các định lý về tích phân và phân biệt của chuỗi lũy thừa.

11. Nêu phương pháp tính gần đúng các tích phân xác định bằng dãy số.

1. Kudryavtsev L.D. Một khóa học ngắn hạn về phân tích toán học. - M.: Nauka, 1989. - 736 tr.

2. Bugrov Ya.S. Phép tính vi phân và tích phân / Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolsky. - M.: Nauka, 1984. - 432 tr.

3. Shmelev P.A. Lý thuyết về chuỗi trong các nhiệm vụ và bài tập. - M.: Trường Cao đẳng, 1983. - 176 tr.

4. Piskunov N.S. Phép tính vi phân và tích phân dành cho các trường cao đẳng kỹ thuật. T. 2. - M.: Nauka, 1985. - 576 tr.

5. Fikhtengolts G.M. Khóa học của phép tính vi phân và tích phân. T. 2. - M.: Fizmatgiz, 1962. - 808 tr.

6. Zaporozhets G.I. Hướng dẫn giải toán trong phân tích toán học. - M.: Trường trung học, 1966. - 460 tr.

7. Kuznetsov L.A. Tập hợp các nhiệm vụ trong toán học cao hơn (TR). - M.: Cao học, 1983. - 174 tr.

8. Danko P.E. Toán học cao hơn trong các bài tập và nhiệm vụ. Phần 2 / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikov. - M.: Trường Cao học, 1986. - 415 tr.

9. Bronstein I.N. Sổ tay toán học cho kỹ sư và sinh viên của các cơ sở giáo dục đại học / I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev. - M.: Nauka, 1986. - 544 tr.

Ấn bản giáo dục

Borodin Nikolai Pavlovich

Cối xay Varvara Viktorovna

Shumetova Lyudmila Viktorovna

Shorkin Vladimir Sergeevich

ROWS

Dụng cụ trợ giảng

Biên tập viên T.D. Vasiliev

Biên tập viên kỹ thuật T.P. Prokudin

Đại học Kỹ thuật Bang Orel

Giấy phép số 00670 ngày 01/05/2000

Ký xuất bản ngày 26 tháng 8 năm 2004. Khổ 60 x 84 1/16.

In offset. Uch.-ed. l. 1.9. Ch.đổi lò l. 2.4. Lưu hành 500 bản.

Đơn đặt hàng số .____

Được in từ bố cục ban đầu đã hoàn thành

tại cơ sở in ấn OrelGTU,

302030, Orel, st. Mátxcơva, 65.