Để giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn, cần biết một tập hợp các điều kiện mà kết quả của tác động tổng hợp của một số lượng lớn các yếu tố ngẫu nhiên hầu như không phụ thuộc vào trường hợp. Các điều kiện này được mô tả trong một số định lý, được gọi chung là luật số lớn, trong đó biến ngẫu nhiên k bằng 1 hoặc 0, tùy thuộc vào kết quả của lần thử thứ k là thành công hay thất bại. Như vậy, Sn là tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau, mỗi biến nhận các giá trị 1 và 0 với các xác suất p và q.

Dạng đơn giản nhất của định luật số lớn là định lý Bernoulli, phát biểu rằng nếu xác suất của một sự kiện là như nhau trong tất cả các lần thử, thì khi số lần thử tăng lên, tần suất của sự kiện có xu hướng theo xác suất của sự kiện và không còn là ngẫu nhiên.

Định lý Poisson tuyên bố rằng tần suất của một sự kiện trong một loạt các thử nghiệm độc lập có xu hướng theo giá trị trung bình cộng của các xác suất của nó và không còn là ngẫu nhiên.

Các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất, các định lý của Moivre-Laplace giải thích bản chất của tính ổn định của tần suất xuất hiện của một sự kiện. Bản chất này bao gồm thực tế là phân phối giới hạn của số lần xuất hiện của một sự kiện với sự gia tăng không giới hạn của số lần thử (nếu xác suất của một sự kiện trong tất cả các lần thử là như nhau) là một phân phối chuẩn.

Định lý giới hạn trung tâm giải thích sự phân phối rộng rãi của phân phối chuẩn. Định lý nói rằng bất cứ khi nào một biến ngẫu nhiên được hình thành do kết quả của việc cộng một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên độc lập với phương sai hữu hạn, thì luật phân phối của biến ngẫu nhiên này thực tế trở thành luật chuẩn.

Định lý Lyapunov giải thích sự phân phối rộng rãi của luật phân phối chuẩn và giải thích cơ chế hình thành của nó. Định lý cho phép chúng ta khẳng định rằng bất cứ khi nào một biến ngẫu nhiên được hình thành do thêm một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên độc lập, phương sai của chúng nhỏ so với phương sai của tổng, thì luật phân phối của biến ngẫu nhiên này sẽ trở thành thực tế là một luật bình thường. Và vì biến ngẫu nhiên luôn được tạo ra bởi vô số nguyên nhân và hầu hết không có nguyên nhân nào có phương sai so sánh với phương sai của chính biến ngẫu nhiên, nên hầu hết các biến ngẫu nhiên gặp trong thực tế đều tuân theo luật phân phối chuẩn.

Các phát biểu định tính và định lượng của quy luật số lớn dựa trên Bất bình đẳng Chebyshev. Nó xác định giới hạn trên về xác suất độ lệch giá trị của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó lớn hơn một số nhất định. Điều đáng chú ý là bất đẳng thức Chebyshev đưa ra ước tính xác suất của một sự kiện đối với một biến ngẫu nhiên có phân phối chưa biết, chỉ biết kỳ vọng toán học và phương sai của nó.

Bất bình đẳng Chebyshev. Nếu một biến ngẫu nhiên x có phương sai, thì với bất kỳ x> 0 nào, bất đẳng thức sau đây sẽ xảy ra, trong đó M x và D x - kỳ vọng toán học và phương sai của biến ngẫu nhiên x.

Định lý Bernoulli. Gọi x n là số lần thành công trong n lần thử Bernoulli và p là xác suất thành công trong một lần thử. Khi đó với mọi s> 0 thì đúng.

Định lý Lyapunov. Gọi s 1, s 2,…, s n,… là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập không giới hạn với các kỳ vọng toán học m 1, m 2,…, m n,… và các phương sai s 1 2, s 2 2,…, s n 2…. Hãy biểu thị.

Khi đó = Ф (b) - Ф (a) với mọi số thực a và b, trong đó Ф (x) là hàm phân phối của luật chuẩn.

Cho một biến ngẫu nhiên rời rạc được đưa ra. Xem xét sự phụ thuộc của số lần thành công Sn vào số lần thử n. Với mỗi lần thử, Sn tăng thêm 1 hoặc 0. Câu lệnh này có thể được viết như sau:

Sn = 1 +… + n. (1.1)

Luật số lớn. Gọi (k) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau có phân phối giống hệt nhau. Nếu kỳ vọng toán học = M (k) tồn tại, thì với bất kỳ> 0 nào đối với n

Nói cách khác, xác suất S n / n trung bình khác với kỳ vọng toán học ít hơn một giá trị cho trước tùy ý có xu hướng bằng một.

Định lý giới hạn trung tâm. Gọi (k) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau có phân phối giống hệt nhau. Hãy giả sử điều đó và tồn tại. Cho Sn = 1 +… + n, sau đó với mọi cố định

Ф () - Ф () (1.3)

Ở đây Φ (x) là hàm phân phối chuẩn. Định lý này được xây dựng và chứng minh bởi Linlberg. Lyapunov và các tác giả khác đã chứng minh điều đó sớm hơn, trong những điều kiện hạn chế hơn. Phải hình dung rằng định lý được hình thành trên đây chỉ là một trường hợp rất đặc biệt của một định lý tổng quát hơn nhiều, mà nó lại liên quan chặt chẽ đến nhiều định lý giới hạn khác. Lưu ý rằng (1.3) mạnh hơn nhiều so với (1.2), vì (1.3) đưa ra ước tính cho xác suất chênh lệch lớn hơn. Mặt khác, định luật số lớn (1.2) đúng ngay cả khi các biến ngẫu nhiên k không có phương sai hữu hạn, vì vậy nó áp dụng cho trường hợp tổng quát hơn là định lý giới hạn trung tâm (1.3). Chúng tôi minh họa hai định lý cuối cùng bằng các ví dụ.

Các ví dụ. a) Xét một chuỗi các lần ném độc lập của một con súc sắc đối xứng. Gọi k là số điểm lăn trên lần tung thứ k. sau đó

M (k) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) /6=3,5,

a D (k) = (1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2) / 6- (3.5) 2 = 35/12 và S n / n

là số điểm trung bình thu được từ n cuộn.

Quy luật số lớn phát biểu rằng điều hợp lý là đối với n lớn, mức trung bình này sẽ gần bằng 3,5. Định lý Giới hạn Trung tâm thiết lập xác suất sao cho | Sn - 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Mẫu. Giả sử rằng trong dân số chung,

gồm N gia đình, Nk gia đình có đúng k con

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Nếu một gia đình được chọn ngẫu nhiên, thì số trẻ em trong đó là một biến ngẫu nhiên nhận một giá trị với xác suất p = N / N. Với phép chọn đệ quy, người ta có thể coi mẫu cỡ n là tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập hoặc "quan sát" 1, ..., n đều có cùng phân phối; S n / n là giá trị trung bình của mẫu. Quy luật số lớn nói rằng đối với một mẫu ngẫu nhiên đủ lớn, giá trị trung bình của nó có khả năng gần với, tức là trung bình tổng thể. Định lý giới hạn trung tâm cho phép bạn ước tính lượng chênh lệch có thể xảy ra giữa các phương tiện này và xác định kích thước mẫu cần thiết để có một ước tính đáng tin cậy. Trong thực tế, và và thường là không rõ; tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, có thể dễ dàng có được một ước tính sơ bộ và luôn có thể được đặt trong giới hạn đáng tin cậy. Nếu chúng ta muốn giá trị trung bình của mẫu S n / n khác với giá trị trung bình của tổng thể chưa biết nhỏ hơn 1/10 với xác suất 0,99 hoặc hơn, thì kích thước mẫu phải được lấy sao cho

Căn x của phương trình Ф (х) - Ф (- x) = 0,99 bằng x = 2,57 ..., và do đó, n phải sao cho 2,57 hoặc n> 660. Ước tính trước cẩn thận giúp bạn có thể tìm được cỡ mẫu cần thiết.

c) Phân phối Poisson.

Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên k có phân phối Poisson (p (k;)). Khi đó Sn có phân phối Poisson với giá trị trung bình và phương sai bằng n.

Viết thay cho n, chúng tôi kết luận rằng với n

Tổng được thực hiện trên tất cả k từ 0 đến. F-la (1,5) cũng diễn ra khi tùy ý.

Hãy cho biết độ lệch chuẩn của một số biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau. Làm thế nào để tìm độ lệch chuẩn của tổng các đại lượng này? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý sau.

Định lý. Độ lệch chuẩn của tổng số hữu hạn các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau bằng căn bậc hai của tổng bình phương độ lệch chuẩn của các biến này.

Bằng chứng. Biểu thị bởi X tổng các đại lượng độc lập lẫn nhau được coi là:

Phương sai của tổng của một số biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau bằng tổng phương sai của các số hạng (xem § 5, hệ quả 1), do đó

hoặc cuối cùng

Các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau được phân phối đồng đều

Người ta đã biết rằng theo luật phân phối, người ta có thể tìm thấy các đặc trưng số của một biến ngẫu nhiên. Kết quả là nếu một số biến ngẫu nhiên có cùng phân phối, thì đặc tính số của chúng giống nhau.

Coi như P các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau X v X v ..., X fi, có cùng phân phối và do đó, có cùng đặc điểm (kỳ vọng toán học, phương sai, v.v.). Mối quan tâm lớn nhất là việc nghiên cứu các đặc trưng số học của trung bình cộng của các đại lượng này, mà chúng ta sẽ giải quyết trong phần này.

Hãy để chúng tôi biểu thị trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên được coi là X:

Ba điều khoản sau đây thiết lập mối liên hệ giữa các đặc tính số của giá trị trung bình cộng X và các đặc điểm tương ứng của từng đại lượng riêng biệt.

1. Kỳ vọng toán học về giá trị trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau có phân phối giống nhau bằng kỳ vọng toán học a của mỗi biến:

Bằng chứng. Sử dụng các tính chất của kỳ vọng toán học (hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu của kỳ vọng toán học; kỳ vọng toán học của tổng bằng tổng kỳ vọng toán học của các số hạng), chúng ta có

Có tính đến rằng kỳ vọng toán học của mỗi đại lượng theo điều kiện là bằng một, chúng tôi nhận được

2. Phương sai của trung bình cộng của n biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau có phân phối giống nhau nhỏ hơn n lần so với phương sai D của mỗi biến:

Bằng chứng. Sử dụng các thuộc tính của phương sai (nhân tố hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu phương sai bằng cách bình phương nó; phương sai của tổng các biến độc lập bằng tổng phương sai của các số hạng), chúng ta có

§ 9. Các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau được phân phối đều 97

Có tính đến phương sai của mỗi đại lượng có điều kiện bằng D, chúng ta thu được

3. Độ lệch chuẩn của trung bình cộng của n ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau có phân phối giống nhau

các giá trị nhỏ hơn 4n lần so với độ lệch chuẩn a của mỗi giá trị:

Bằng chứng. Như D (X) = Đ / n, sau đó là độ lệch chuẩn X bằng

Kết luận chung từ công thức (*) và (**): hãy nhớ rằng phương sai và độ lệch chuẩn đóng vai trò là thước đo mức độ phân tán của một biến ngẫu nhiên, chúng tôi kết luận rằng trung bình cộng của một số lượng đủ lớn các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau có

ít phân tán hơn nhiều so với từng giá trị riêng lẻ.

Hãy để chúng tôi giải thích bằng một ví dụ về tầm quan trọng của kết luận này đối với thực tế.

Ví dụ. Thông thường, để đo một đại lượng vật lý nhất định, người ta thực hiện một số phép đo, sau đó giá trị trung bình cộng của các số thu được sẽ được coi là giá trị gần đúng của đại lượng đo. Giả sử rằng các phép đo được thực hiện trong cùng điều kiện, hãy chứng minh:

• a) trung bình cộng cho kết quả đáng tin cậy hơn so với các phép đo riêng lẻ;
• b) với sự gia tăng số lượng phép đo, độ tin cậy của kết quả này tăng lên.

Lời giải, a) Biết rằng các phép đo riêng lẻ cho các giá trị khác nhau của đại lượng đo. Kết quả của mỗi lần đo phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên (thay đổi nhiệt độ, dao động của thiết bị, v.v.), không thể hoàn toàn tính trước được.

Do đó, chúng ta có quyền xem xét các kết quả có thể xảy ra P các phép đo riêng lẻ dưới dạng các biến ngẫu nhiên X v X 2,..., X p(chỉ số cho biết số đo). Các đại lượng này có cùng phân bố xác suất (các phép đo được thực hiện bằng cách sử dụng cùng một kỹ thuật và cùng một công cụ), và do đó, các đặc tính số giống nhau; Ngoài ra, chúng độc lập lẫn nhau (kết quả của mỗi phép đo riêng lẻ không phụ thuộc vào các phép đo khác).

Chúng ta đã biết rằng trung bình cộng của các giá trị như vậy có độ phân tán ít hơn so với từng giá trị riêng lẻ. Nói cách khác, giá trị trung bình số học gần với giá trị thực của giá trị đo hơn là kết quả của một phép đo đơn lẻ. Điều này có nghĩa là trung bình cộng của một số phép đo cho kết quả nhiều trường hợp hơn so với một phép đo đơn lẻ.

b) Chúng ta đã biết rằng khi số lượng các biến ngẫu nhiên riêng lẻ tăng lên thì mức độ lan truyền của trung bình cộng giảm đi. Điều này có nghĩa là với sự gia tăng số lượng phép đo, giá trị trung bình cộng của một số phép đo khác nhau ngày càng ít so với giá trị thực của đại lượng được đo. Do đó, bằng cách tăng số lượng phép đo, sẽ thu được kết quả đáng tin cậy hơn.

Ví dụ: nếu độ lệch chuẩn của một phép đo đơn lẻ là a = 6 m và tổng P= 36 phép đo, thì độ lệch chuẩn của trung bình cộng của các phép đo này chỉ là 1 m. Thật vậy,

Chúng ta thấy rằng giá trị trung bình cộng của một số phép đo, như mong đợi, hóa ra gần với giá trị thực của giá trị được đo hơn là kết quả của một phép đo đơn lẻ.

Khóa học làm việc

về chủ đề: "Quy luật số lớn"

Các biến ngẫu nhiên được phân phối đều

Để giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn, cần biết một tập hợp các điều kiện mà kết quả của tác động tổng hợp của một số lượng lớn các yếu tố ngẫu nhiên hầu như không phụ thuộc vào trường hợp. Các điều kiện này được mô tả trong một số định lý, được gọi chung là luật số lớn, trong đó biến ngẫu nhiên k bằng 1 hoặc 0, tùy thuộc vào kết quả của lần thử thứ k là thành công hay thất bại. Như vậy, Sn là tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau, mỗi biến nhận các giá trị 1 và 0 với các xác suất p và q.

Dạng đơn giản nhất của định luật số lớn là định lý Bernoulli, phát biểu rằng nếu xác suất của một sự kiện là như nhau trong tất cả các lần thử, thì khi số lần thử tăng lên, tần suất của sự kiện có xu hướng theo xác suất của sự kiện và không còn là ngẫu nhiên.

Định lý Poisson phát biểu rằng tần suất của một sự kiện trong một loạt các thử nghiệm độc lập có xu hướng theo giá trị trung bình cộng của các xác suất của nó và không còn là ngẫu nhiên.

Các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất, các định lý của Moivre-Laplace giải thích bản chất của tính ổn định của tần suất xuất hiện của một sự kiện. Bản chất này bao gồm thực tế là phân phối giới hạn của số lần xuất hiện của một sự kiện với sự gia tăng không giới hạn của số lần thử (nếu xác suất của một sự kiện trong tất cả các lần thử là như nhau) là một phân phối chuẩn.

Định lý giới hạn trung tâm giải thích việc sử dụng rộng rãi luật phân phối chuẩn. Định lý nói rằng bất cứ khi nào một biến ngẫu nhiên được hình thành do kết quả của việc cộng một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên độc lập với phương sai hữu hạn, thì luật phân phối của biến ngẫu nhiên này thực tế trở thành luật chuẩn.

Định lý Lyapunov giải thích sự phân bố rộng của luật phân phối chuẩn và giải thích cơ chế hình thành của nó. Định lý cho phép chúng ta khẳng định rằng bất cứ khi nào một biến ngẫu nhiên được hình thành do thêm một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên độc lập, phương sai của chúng nhỏ so với phương sai của tổng, thì luật phân phối của biến ngẫu nhiên này sẽ trở thành thực tế là một luật bình thường. Và vì biến ngẫu nhiên luôn được tạo ra bởi vô số nguyên nhân và hầu hết không có nguyên nhân nào có phương sai so sánh với phương sai của chính biến ngẫu nhiên, nên hầu hết các biến ngẫu nhiên gặp trong thực tế đều tuân theo luật phân phối chuẩn.

Các phát biểu định tính và định lượng của quy luật số lớn dựa trên Bất bình đẳng Chebyshev. Nó xác định giới hạn trên về xác suất độ lệch giá trị của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó lớn hơn một số nhất định. Điều đáng chú ý là bất đẳng thức Chebyshev đưa ra ước tính xác suất của một sự kiện đối với một biến ngẫu nhiên có phân phối chưa biết, chỉ biết kỳ vọng toán học và phương sai của nó.

Bất đẳng thức Chebyshev. Nếu một biến ngẫu nhiên x có phương sai, thì với mọi x> 0, bất đẳng thức đúng, trong đó M x và D x - kỳ vọng toán học và phương sai của biến ngẫu nhiên x.

Định lý Bernoulli. Gọi x n là số lần thành công trong n lần thử Bernoulli và p là xác suất thành công trong một lần thử. Sau đó, với bất kỳ s> 0,.

Định lý Lyapunov. Gọi s 1, s 2,…, s n,… là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập không giới hạn với các kỳ vọng toán học m 1, m 2,…, m n,… và các phương sai s 1 2, s 2 2,…, s n 2…. Chứng tỏ , , , .

Khi đó = Ф (b) - Ф (a) với mọi số thực a và b, trong đó Ф (x) là hàm phân phối của luật chuẩn.

Cho một biến ngẫu nhiên rời rạc được đưa ra. Xem xét sự phụ thuộc của số lần thành công Sn vào số lần thử n. Với mỗi lần thử, Sn tăng thêm 1 hoặc 0. Câu lệnh này có thể được viết như sau:

Sn = 1 +… + n. (1.1)

Quy luật số lớn. Gọi (k) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau có phân phối giống hệt nhau. Nếu kỳ vọng toán học = M (k) tồn tại, thì với bất kỳ> 0 nào đối với n

Nói cách khác, xác suất mà giá trị trung bình S n / n khác với kỳ vọng toán học ít hơn mức tùy ý cho trước có xu hướng là một.

Định lý giới hạn trung tâm. Gọi (k) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau có phân phối giống hệt nhau. Hãy giả sử điều đó và tồn tại. Cho Sn = 1 +… + n, sau đó với mọi cố định

F () - F () (1.3)

Ở đây Φ (x) là hàm phân phối chuẩn. Định lý này được xây dựng và chứng minh bởi Linlberg. Lyapunov và các tác giả khác đã chứng minh điều đó sớm hơn, trong những điều kiện hạn chế hơn. Cần phải hình dung rằng định lý được xây dựng trên đây chỉ là một trường hợp rất đặc biệt của một định lý tổng quát hơn nhiều, nó lại có liên quan chặt chẽ đến nhiều định lý giới hạn khác. Lưu ý rằng (1.3) mạnh hơn nhiều so với (1.2), vì (1.3) đưa ra ước tính xác suất chênh lệch lớn hơn. Mặt khác, định luật số lớn (1.2) đúng ngay cả khi các biến ngẫu nhiên k không có phương sai hữu hạn, vì vậy nó áp dụng cho trường hợp tổng quát hơn là định lý giới hạn trung tâm (1.3). Chúng tôi minh họa hai định lý cuối cùng bằng các ví dụ.

Các ví dụ. a) Xét một chuỗi các lần ném độc lập của một con súc sắc đối xứng. Gọi k là số điểm ghi được trên lần tung thứ k. sau đó

M (k) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) /6=3,5,

a D (k) = (1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2) / 6- (3.5) 2 = 35/12 và S n / n

là số điểm trung bình thu được từ n cuộn.

Quy luật số lớn phát biểu rằng điều hợp lý là đối với n lớn, giá trị trung bình này sẽ gần bằng 3,5. Định lý Giới hạn Trung tâm thiết lập xác suất sao cho | Sn - 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Mẫu. Giả sử rằng trong dân số chung,

gồm N gia đình, Nk gia đình có đúng k con

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Nếu một gia đình được chọn ngẫu nhiên, thì số trẻ em trong đó là một biến ngẫu nhiên nhận một giá trị với xác suất p = N / N. Với phép chọn đệ quy, người ta có thể coi mẫu cỡ n là tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập hoặc "quan sát" 1, ..., n đều có cùng phân phối; S n / n là giá trị trung bình của mẫu. Quy luật số lớn nói rằng đối với một mẫu ngẫu nhiên đủ lớn, giá trị trung bình của nó có thể gần bằng, tức là giá trị trung bình của tổng thể. Định lý giới hạn trung tâm cho phép bạn ước tính lượng chênh lệch có thể xảy ra giữa các phương tiện này và xác định kích thước mẫu cần thiết để có một ước tính đáng tin cậy. Trong thực tế, và và thường là không rõ; tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, có thể dễ dàng có được một ước tính sơ bộ và luôn có thể được đặt trong giới hạn đáng tin cậy. Nếu chúng ta muốn giá trị trung bình của mẫu S n / n khác với giá trị trung bình của tổng thể chưa biết nhỏ hơn 1/10 với xác suất 0,99 hoặc hơn, thì kích thước mẫu phải được lấy sao cho

Căn x của phương trình Ф (х) - Ф (- x) = 0,99 bằng x = 2,57 ..., và do đó, n phải sao cho 2,57 hoặc n> 660. Ước tính trước cẩn thận giúp bạn có thể tìm được cỡ mẫu cần thiết.

c) Phân phối Poisson.

Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên k có phân phối Poisson (p (k;)). Khi đó Sn có phân phối Poisson với giá trị trung bình và phương sai bằng n.

Viết thay cho n, chúng tôi kết luận rằng với n

Tổng được thực hiện trên tất cả k từ 0 đến. F-la (1,5) cũng diễn ra khi tùy ý.

Ở trên, chúng tôi đã xem xét câu hỏi tìm PDF cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê. Trong phần này, chúng tôi sẽ lại xem xét tổng của các biến độc lập thống kê, nhưng cách tiếp cận của chúng tôi sẽ khác và không phụ thuộc vào PDF từng phần của các biến ngẫu nhiên trong tổng. Cụ thể, giả sử rằng các số hạng của tổng là các biến ngẫu nhiên độc lập về mặt thống kê và phân phối giống hệt nhau, mỗi biến có giá trị trung bình bị giới hạn và phương sai giới hạn.

Để được định nghĩa là một tổng chuẩn hóa được gọi là giá trị trung bình mẫu

Đầu tiên, chúng tôi xác định giới hạn trên của xác suất xuất hiện, và sau đó chúng tôi chứng minh một định lý rất quan trọng xác định PDF trong giới hạn khi nó có xu hướng đến vô cùng.

Biến ngẫu nhiên, được định nghĩa (2.1.187), thường xuất hiện khi ước tính giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên qua một loạt các quan sát ,. Nói cách khác, có thể được coi là các nhận thức mẫu độc lập từ phân phối và là một ước tính của giá trị trung bình.

Kỳ vọng toán học là

.

Sự phân tán là

Nếu được coi là một ước lượng của giá trị trung bình, chúng ta thấy rằng kỳ vọng toán học của nó bằng và phương sai của nó giảm khi kích thước mẫu tăng lên. Nếu nó tăng vô hạn, phương sai có xu hướng bằng không. Ước tính của một tham số (trong trường hợp này,) thỏa mãn các điều kiện mà kỳ vọng toán học của nó hướng đến giá trị thực của tham số và phương sai hoàn toàn bằng 0, được gọi là ước lượng nhất quán.

Xác suất đuôi của một biến ngẫu nhiên có thể được ước tính từ phía trên bằng cách sử dụng các giới hạn cho trong Phần. 2.1.5. Bất đẳng thức Chebyshev được áp dụng có dạng

,

. (2.1.188)

Trong giới hạn khi, từ (2.1.188) nó theo sau

. (2.1.189)

Do đó, xác suất mà ước tính của giá trị trung bình khác với giá trị thực nhiều hơn, có xu hướng bằng không nếu nó tăng vô hạn. Quy định này là một dạng của quy luật số đông. Vì giới hạn trên hội tụ về 0 tương đối chậm, tức là nghịch đảo. biểu thức (2.1.188) được gọi là luật yếu về số lượng lớn.

Nếu chúng ta áp dụng giới hạn Chernoff có chứa sự phụ thuộc hàm mũ vào một biến ngẫu nhiên, thì chúng ta thu được giới hạn trên dày đặc cho xác suất của một đuôi. Theo quy trình được nêu trong Sect. 2.1.5, chúng tôi thấy rằng xác suất đuôi cho là

ở đâu và . Tuy nhiên, độc lập về mặt thống kê và phân bổ công bằng. Vì thế,

đâu là một trong những đại lượng. Tham số, cho giới hạn trên chính xác nhất, thu được bằng cách phân biệt (2.1.191) và đặt đạo hàm bằng 0. Điều này dẫn đến phương trình

(2.1.192)

Ký hiệu giải pháp (2.1.192) bằng cách. Sau đó, giới hạn cho xác suất của đuôi trên

, . (2.1.193)

Tương tự, chúng ta sẽ thấy rằng xác suất đuôi thấp hơn có giới hạn

, . (2.1.194)

Ví dụ 2.1.7. Giả sử, là một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập về mặt thống kê được xác định như sau:

Chúng tôi muốn xác định một giới hạn trên chặt chẽ về xác suất mà tổng của lớn hơn 0. Do đó, tổng sẽ có giá trị âm đối với kỳ vọng toán học (trung bình), do đó, chúng ta sẽ tìm xác suất của đuôi trên. Đối với trong (2.1.193), chúng tôi có

, (2.1.195)

nghiệm của phương trình ở đâu

Vì thế,

. (2.1.197)

Do đó, đối với ranh giới trong (2.1.195), chúng tôi thu được

Chúng tôi thấy rằng giới hạn trên giảm theo cấp số nhân so với dự kiến. Ngược lại, theo ranh giới Chebyshev, xác suất đuôi giảm tỷ lệ nghịch với.

Định lý giới hạn trung tâm. Trong phần này, chúng ta xem xét một định lý cực kỳ hữu ích liên quan đến IGF của tổng các biến ngẫu nhiên trong giới hạn khi số hạng trong tổng tăng lên mà không bị ràng buộc. Có một số phiên bản của định lý này. Chúng ta hãy chứng minh định lý cho trường hợp khi các biến tổng ngẫu nhiên, độc lập về mặt thống kê và phân phối giống nhau, mỗi biến trong số chúng có giá trị trung bình giới hạn và phương sai giới hạn.

Để thuận tiện, chúng tôi xác định một biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

Do đó, nó không có giá trị trung bình và phương sai đơn vị.

Bây giờ hãy để

Vì mỗi số hạng của tổng không có trung bình và phương sai đơn vị bằng không, nên giá trị chuẩn hóa (theo hệ số) không có trung bình và phương sai đơn vị. Chúng tôi muốn xác định IDF trong giới hạn khi.

Chức năng đặc trưng là

, (2.1.200).

,

hoặc, tương đương,

. (2.1.206)

Nhưng đây chỉ là hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên Gaussian với phương sai đơn vị và giá trị trung bình bằng 0. Vì vậy, chúng tôi có một kết quả quan trọng; PDF của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê và phân phối giống hệt nhau với giá trị trung bình và phương sai hạn chế tiếp cận Gaussian tại. Kết quả này được gọi là định lý giới hạn trung tâm.

Mặc dù chúng tôi đã giả định rằng các biến ngẫu nhiên trong tổng được phân phối như nhau, nhưng giả định này có thể bị suy yếu với điều kiện là vẫn áp đặt một số hạn chế bổ sung đối với các thuộc tính của biến tổng ngẫu nhiên. Có một phiên bản của định lý, ví dụ, khi giả định về cùng một phân phối của các biến ngẫu nhiên bị loại bỏ theo điều kiện áp dụng cho thời điểm tuyệt đối thứ ba của các biến ngẫu nhiên của tổng. Để thảo luận về điều này và các phiên bản khác của định lý giới hạn trung tâm, người đọc được tham khảo Cramer (1946).

Định lý giới hạn trung tâm là một nhóm các định lý nhằm thiết lập các điều kiện phát sinh luật phân phối chuẩn và vi phạm luật đó dẫn đến phân phối khác với chuẩn. Các dạng khác nhau của định lý giới hạn trung tâm khác nhau bởi các điều kiện đặt ra đối với phân phối của các số hạng ngẫu nhiên tạo thành tổng. Hãy để chúng tôi chứng minh một trong những dạng đơn giản nhất của định lý này, đó là, định lý giới hạn trung tâm cho các số hạng phân bố giống nhau độc lập.

Hãy xem xét một chuỗi các biến ngẫu nhiên được phân phối giống hệt nhau độc lập với kỳ vọng toán học. Cũng giả sử rằng có một phương sai. Hãy giới thiệu một ký hiệu. Quy luật số lớn của dãy số này có thể được biểu diễn dưới dạng sau:

trong đó hội tụ có thể được hiểu theo cả nghĩa hội tụ theo xác suất (luật yếu của số lớn) và theo nghĩa hội tụ với xác suất bằng một (luật mạnh của số lớn).

Định lý (định lý giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên có phân phối giống nhau độc lập). Giả sử là một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập được phân phối giống hệt nhau,. Sau đó, có một sự đồng nhất đối với () hội tụ

đâu là hàm phân phối chuẩn chuẩn (với các tham số):

Nếu điều kiện của sự hội tụ như vậy được thỏa mãn, dãy được gọi là tiệm cận chuẩn.

Định lý của Lyapunov và Lindeberg

Hãy xem xét trường hợp khi các biến ngẫu nhiên có phân phối khác nhau - độc lập với các phân phối khác nhau.

Định lý (Lindeberg). Cho là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với phương sai hữu hạn. Nếu chuỗi này thỏa mãn điều kiện Lindeberg:

ở đó, định lý giới hạn trung tâm phù hợp với nó.

Vì rất khó để xác minh trực tiếp điều kiện Lindeberg, chúng tôi xem xét một số điều kiện khác mà định lý giới hạn trung tâm nắm giữ, đó là điều kiện của định lý Lyapunov.

Định lý (Lyapunov). Nếu điều kiện Lyapunov được thỏa mãn cho một chuỗi các biến ngẫu nhiên:

thì chuỗi là tiệm cận bình thường, tức là định lý giới hạn trung tâm nắm giữ.

Sự thỏa mãn điều kiện Lyapunov ngụ ý sự thỏa mãn điều kiện Lindeberg, và định lý giới hạn trung tâm được hình thành từ nó.