Tìm giá trị xác suất. Suy nghĩ về sự không chắc chắn hoặc cách tìm xác suất

như một phạm trù bản thể học phản ánh thước đo khả năng xuất hiện của bất kỳ thực thể nào trong bất kỳ điều kiện nào. Ngược lại với những cách giải thích toán học và lôgic của khái niệm này, bản thể học V. không tự liên hệ với sự cần thiết của một biểu thức định lượng. Giá trị của V. được bộc lộ trong bối cảnh hiểu được thuyết tất định và bản chất của sự phát triển nói chung.

Định nghĩa tuyệt vời

Định nghĩa không đầy đủ ↓

KHẢ NĂNG LỢI NHUẬN

một khái niệm đặc trưng cho các đại lượng. thước đo khả năng xuất hiện của một sự kiện nhất định tại một thời điểm nhất định. các điều kiện. Trong khoa học kiến thức có ba cách giải thích của V. Khái niệm cổ điển của V., nảy sinh từ toán học. phân tích cờ bạc và được phát triển đầy đủ nhất bởi B. Pascal, J. Bernoulli và P. Laplace, coi V. là tỷ số giữa số trường hợp thuận lợi trên tổng số tất cả các trường hợp có thể bằng nhau. Ví dụ, khi ném một con xúc xắc có 6 mặt, kỳ vọng mỗi mặt trong số chúng sẽ có V bằng 1/6, vì không bên nào có lợi thế hơn bên kia. Sự đối xứng như vậy của các kết quả của kinh nghiệm được đặc biệt coi trọng khi tổ chức trò chơi, nhưng tương đối hiếm khi nghiên cứu các sự kiện khách quan trong khoa học và thực tiễn. Cổ điển Cách giải thích của V. đã nhường chỗ cho thống kê. Các khái niệm của V., ở trung tâm của nó là có giá trị. quan sát về sự xuất hiện của một sự kiện nhất định trong thời gian. trải nghiệm trong các điều kiện cố định chính xác. Thực tiễn khẳng định rằng một sự kiện xảy ra càng thường xuyên, thì mức độ khách quan của khả năng xảy ra nó càng lớn, hay còn gọi là V. Do đó, thống kê. Cách giải thích của V. dựa trên khái niệm quan hệ. tần số, một lần cắt có thể được xác định theo kinh nghiệm. V. như lý thuyết. Tuy nhiên, khái niệm này không bao giờ trùng khớp với một tần số được xác định theo kinh nghiệm, theo nhiều cách. các trường hợp, nó thực tế khác một chút so với tương đối. tần suất được tìm thấy là kết quả của khoảng thời gian. quan sát. Nhiều nhà thống kê coi V. là một tham chiếu "kép". tần số, cạnh được xác định bằng thống kê. nghiên cứu kết quả quan sát

hoặc các thí nghiệm. Ít thực tế hơn là định nghĩa của V. vì giới hạn liên quan. tần số của các sự kiện hàng loạt, hoặc tập thể, do R. Mises đề xuất. Khi một sự phát triển tiếp theo của phương pháp tiếp cận tần số đối với V., một cách giải thích theo khuynh hướng, hay khuynh hướng, về V. được đưa ra (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Theo cách giải thích này, V. đặc trưng cho thuộc tính của các điều kiện phát sinh, chẳng hạn. cuộc thí nghiệm. cài đặt, để có được một chuỗi các sự kiện ngẫu nhiên lớn. Đó là thái độ làm phát sinh thể chất Các vị trí, hoặc khuynh hướng, V. to-rykh có thể được kiểm tra bằng phương pháp tương đối. tần số.

Thống kê Cách giải thích của V. chiếm ưu thế về mặt khoa học. kiến thức, bởi vì nó phản ánh cái cụ thể. bản chất của các mẫu vốn có trong các hiện tượng khối lượng có tính chất ngẫu nhiên. Trong nhiều lĩnh vực vật lý, sinh học, kinh tế, nhân khẩu học và các quá trình xã hội khác, cần phải tính đến hành động của nhiều yếu tố ngẫu nhiên, lúa mạch đen được đặc trưng bởi một tần suất ổn định. Xác định tần số và số lượng ổn định này. Đánh giá của nó với sự giúp đỡ của V. làm cho nó có thể tiết lộ sự cần thiết, điều này làm cho nó đi qua hành động tích lũy của nhiều vụ tai nạn. Đây là nơi mà phép biện chứng của sự chuyển hóa may rủi thành tất yếu được biểu hiện (xem F. Engels, trong cuốn sách: K. Marx và F. Engels, Soch., Tập 20, trang 535-36).

Suy luận logic hoặc quy nạp đặc trưng cho mối quan hệ giữa tiền đề và kết luận của suy luận không chứng minh và đặc biệt là quy nạp. Không giống như suy luận, tiền đề quy nạp không đảm bảo tính trung thực của kết luận, mà chỉ làm cho nó ít nhiều hợp lý. Độ tin cậy này, với các tiền đề được xây dựng chính xác, đôi khi có thể được ước tính với sự trợ giúp của V. Giá trị của V. này thường được xác định bằng cách so sánh. khái niệm (lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng), và đôi khi ở dạng số. Hợp lý diễn giải thường được sử dụng để phân tích suy luận quy nạp và xây dựng các hệ thống lôgic xác suất khác nhau (R. Carnap, R. Jeffrey). Theo ngữ nghĩa các khái niệm lôgic. V. thường được định nghĩa là mức độ xác nhận một tuyên bố của những người khác (ví dụ: giả thuyết về dữ liệu thực nghiệm của nó).

Liên quan đến sự phát triển của các lý thuyết về ra quyết định và trò chơi, cái gọi là. cách giải thích theo chủ nghĩa cá nhân của V. Mặc dù V. trong trường hợp này thể hiện mức độ tin tưởng của chủ thể và sự xuất hiện của một sự kiện nào đó, bản thân V. phải được lựa chọn sao cho các tiên đề của phép tính V. được thỏa mãn. , V. với cách giải thích như vậy không thể hiện quá nhiều mức độ chủ quan, nhưng khá hợp lý. Do đó, các quyết định được đưa ra trên cơ sở của V. như vậy sẽ là hợp lý, vì họ không tính đến tâm lý. đặc điểm và khuynh hướng của đối tượng.

Từ nhận thức luận t. sp. sự khác biệt giữa thống kê., lôgic. và những cách giải thích theo chủ nghĩa cá nhân của V. nằm ở chỗ: nếu cái đầu tiên mô tả các thuộc tính khách quan và các quan hệ của các hiện tượng khối lượng có tính chất ngẫu nhiên, thì hai cách cuối cùng phân tích các đặc điểm của cái chủ quan, nhận thức. hoạt động của con người trong điều kiện không chắc chắn.

KHẢ NĂNG LỢI NHUẬN

một trong những khái niệm quan trọng nhất của khoa học, đặc trưng cho một tầm nhìn hệ thống đặc biệt về thế giới, cấu trúc, sự tiến hóa và nhận thức của nó. Tính cụ thể của quan điểm xác suất về thế giới được bộc lộ thông qua việc đưa các khái niệm cơ hội, độc lập và thứ bậc (ý tưởng về các cấp trong cấu trúc và xác định hệ thống) vào trong các khái niệm cơ bản về hiện hữu.

Ý tưởng về xác suất bắt nguồn từ thời cổ đại và có liên quan đến các đặc điểm của kiến ​​thức của chúng ta, trong khi sự hiện diện của kiến ​​thức xác suất đã được công nhận, khác với kiến ​​thức đáng tin cậy và sai. Tác động của ý tưởng về xác suất đối với tư duy khoa học, đối với sự phát triển của tri thức có liên quan trực tiếp đến sự phát triển của lý thuyết xác suất như một bộ môn toán học. Nguồn gốc của học thuyết toán học về xác suất có từ thế kỷ 17, khi sự phát triển của cốt lõi của các khái niệm cho phép. các đặc điểm định lượng (số) và thể hiện một ý tưởng xác suất.

Các ứng dụng chuyên sâu của xác suất để phát triển kiến ​​thức nằm ở tầng 2. 19- Tầng 1. Thế kỷ 20 Xác suất đã đi vào cấu trúc của các ngành khoa học cơ bản về tự nhiên như vật lý thống kê cổ điển, di truyền học, lý thuyết lượng tử, điều khiển học (lý thuyết thông tin). Theo đó, xác suất nhân cách hóa giai đoạn đó trong sự phát triển của khoa học, mà ngày nay được định nghĩa là khoa học phi cổ điển. Để phát hiện ra tính mới, đặc điểm của lối tư duy xác suất, cần phải tiến hành phân tích chủ đề của lý thuyết xác suất và cơ sở của nhiều ứng dụng của nó. Lý thuyết xác suất thường được định nghĩa là một bộ môn toán học nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt trong những điều kiện nhất định. Tính ngẫu nhiên có nghĩa là trong khuôn khổ của tính chất đại chúng, sự tồn tại của mỗi hiện tượng cơ bản không phụ thuộc và không bị quyết định bởi sự tồn tại của các hiện tượng khác. Đồng thời, bản chất khối lượng rất lớn của sự vật hiện tượng có cấu trúc ổn định, chứa đựng những quy luật nhất định. Hiện tượng khối lượng được phân chia khá chặt chẽ thành các hệ thống con, và số lượng tương đối của các hiện tượng cơ bản trong mỗi hệ thống con (tần số tương đối) là rất ổn định. Sự ổn định này được so sánh với xác suất. Toàn bộ hiện tượng khối lượng được đặc trưng bởi sự phân bố các xác suất, tức là sự phân công các hệ thống con và các xác suất tương ứng của chúng. Ngôn ngữ của lý thuyết xác suất là ngôn ngữ của các phân phối xác suất. Theo đó, lý thuyết xác suất được định nghĩa là khoa học trừu tượng về hoạt động với các phân phối.

Xác suất đã làm nảy sinh các ý tưởng về quy định thống kê và hệ thống thống kê trong khoa học. Hệ thống sau là các hệ thống được hình thành từ các thực thể độc lập hoặc gần như độc lập, cấu trúc của chúng được đặc trưng bởi các phân bố xác suất. Nhưng làm thế nào để có thể hình thành các hệ thống từ các thực thể độc lập? Người ta thường giả định rằng để tạo thành các hệ thống có các đặc tính tích phân, thì giữa các phần tử của chúng cần tồn tại các liên kết đủ bền vững để gắn kết các hệ thống. Tính ổn định của hệ thống thống kê được đưa ra bởi sự hiện diện của các điều kiện bên ngoài, môi trường bên ngoài, bên ngoài chứ không phải là lực lượng bên trong. Chính định nghĩa của xác suất luôn dựa trên việc thiết lập các điều kiện để hình thành hiện tượng khối lượng ban đầu. Một ý tưởng quan trọng khác đặc trưng cho mô hình xác suất là ý tưởng về hệ thống phân cấp (sự phụ thuộc). Ý tưởng này thể hiện mối quan hệ giữa các đặc tính của các phần tử riêng lẻ và các đặc tính tích hợp của các hệ thống: cái sau, như nó vốn có, được xây dựng dựa trên cái trước.

Ý nghĩa của các phương pháp xác suất trong nhận thức nằm ở chỗ chúng cho phép chúng ta khám phá và thể hiện về mặt lý thuyết các mẫu cấu trúc và hành vi của các đối tượng và hệ thống có cấu trúc phân cấp, "hai cấp".

Phân tích bản chất của xác suất dựa trên tần suất của nó, giải thích thống kê. Đồng thời, trong một thời gian rất dài, sự hiểu biết về xác suất đã chiếm ưu thế trong khoa học, được gọi là xác suất logic, hay quy nạp. Xác suất logic quan tâm đến các câu hỏi về tính hợp lệ của một phán đoán riêng biệt, riêng lẻ trong những điều kiện nhất định. Có thể đánh giá mức độ xác nhận (độ tin cậy, chân lý) của một kết luận quy nạp (kết luận giả thiết) dưới dạng định lượng không? Trong quá trình hình thành lý thuyết xác suất, những câu hỏi như vậy đã được thảo luận nhiều lần, và họ bắt đầu nói về mức độ xác nhận của các kết luận giả thuyết. Phép đo xác suất này được xác định bởi thông tin theo ý muốn của một người nhất định, kinh nghiệm, quan điểm của anh ta về thế giới và tư duy tâm lý. Trong tất cả các trường hợp như vậy, độ lớn của xác suất không thể đáp ứng được với các phép đo nghiêm ngặt và thực tế nằm ngoài khả năng của lý thuyết xác suất như một bộ môn toán học nhất quán.

Một cách giải thích xác suất theo tần số, khách quan đã được thiết lập trong khoa học với một khó khăn đáng kể. Ban đầu, sự hiểu biết về bản chất của xác suất bị ảnh hưởng mạnh mẽ bởi những quan điểm triết học và phương pháp luận vốn là đặc trưng của khoa học cổ điển. Về mặt lịch sử, sự hình thành các phương pháp xác suất trong vật lý xảy ra dưới ảnh hưởng quyết định của các ý tưởng về cơ học: các hệ thống thống kê được coi đơn giản như những hệ thống cơ học. Vì các vấn đề tương ứng không được giải quyết bằng các phương pháp cơ học nghiêm ngặt, nên các phát biểu đã nảy sinh rằng sự hấp dẫn đối với các phương pháp xác suất và quy luật thống kê là kết quả của sự thiếu hiểu biết của chúng ta. Trong lịch sử phát triển của vật lý thống kê cổ điển, nhiều nỗ lực đã được thực hiện để biện minh cho nó trên cơ sở cơ học cổ điển, nhưng đều thất bại. Cơ sở của xác suất là nó thể hiện các đặc điểm về cấu trúc của một nhóm hệ thống nhất định, không phải là các hệ thống cơ học: trạng thái của các phần tử của các hệ thống này được đặc trưng bởi sự không ổn định và bản chất đặc biệt (không thể giảm được về mặt cơ học) của các tương tác. .

Sự xâm nhập của xác suất vào nhận thức dẫn đến việc phủ nhận khái niệm thuyết xác định cứng nhắc, phủ nhận mô hình cơ bản của bản thể và nhận thức được phát triển trong quá trình hình thành của khoa học cổ điển. Các mô hình cơ bản được đại diện bởi các lý thuyết thống kê có bản chất khác, tổng quát hơn: chúng bao gồm các ý tưởng về tính ngẫu nhiên và tính độc lập. Ý tưởng về xác suất được kết nối với việc tiết lộ các động lực bên trong của các đối tượng và hệ thống, mà không thể được xác định hoàn toàn bởi các điều kiện và hoàn cảnh bên ngoài.

Khái niệm về một tầm nhìn xác suất về thế giới, dựa trên sự tuyệt đối hóa các ý tưởng về tính độc lập (như trước đây là mô hình xác định cứng nhắc), hiện đã bộc lộ những hạn chế của nó, ảnh hưởng mạnh mẽ nhất đến quá trình chuyển đổi của khoa học hiện đại sang các phương pháp phân tích để nghiên cứu phức tạp. các hệ thống có tổ chức và các cơ sở vật lý và toán học của các hiện tượng tự tổ chức.

Định nghĩa tuyệt vời

Định nghĩa không đầy đủ ↓

Chúng ta đừng nghĩ về sự cao cả trong một thời gian dài - chúng ta hãy bắt đầu ngay với một định nghĩa.

Lược đồ Bernoulli là khi n thí nghiệm độc lập cùng loại được thực hiện, trong mỗi thí nghiệm có thể xuất hiện một sự kiện A mà chúng ta quan tâm và xác suất của sự kiện này là P (A) \ u003d p. Yêu cầu xác định xác suất để sự kiện A xảy ra đúng k lần trong n lần thử nghiệm.

Các nhiệm vụ được giải quyết theo sơ đồ Bernoulli vô cùng đa dạng: từ những nhiệm vụ đơn giản (chẳng hạn như “tìm xác suất người bắn trúng 1 lần trong số 10”) đến những nhiệm vụ rất khắc nghiệt (ví dụ: nhiệm vụ tính theo tỷ lệ phần trăm hoặc chơi bài) . Trong thực tế, sơ đồ này thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến kiểm soát chất lượng sản phẩm và độ tin cậy của các cơ chế khác nhau, tất cả các đặc tính của chúng phải được biết trước khi bắt đầu làm việc.

Hãy quay trở lại định nghĩa. Vì chúng ta đang nói về các thử nghiệm độc lập và trong mỗi thử nghiệm, xác suất của sự kiện A là như nhau, nên chỉ có hai kết quả có thể xảy ra:

1. A là lần xuất hiện biến cố A với xác suất p;
2. "not A" - sự kiện A không xuất hiện, xảy ra với xác suất q = 1 - p.

Điều kiện quan trọng nhất mà sơ đồ Bernoulli mất đi ý nghĩa của nó là điều kiện không đổi. Bất kể chúng ta tiến hành bao nhiêu thí nghiệm, chúng ta đều quan tâm đến cùng một biến cố A xảy ra với cùng một xác suất p.

Ngẫu nhiên, không phải tất cả các vấn đề trong lý thuyết xác suất đều có thể được rút gọn thành các điều kiện không đổi. Bất kỳ gia sư có năng lực về toán học cao hơn sẽ cho bạn biết về điều này. Ngay cả một việc đơn giản như lấy những quả bóng màu ra khỏi hộp cũng không phải là một thí nghiệm với các điều kiện không đổi. Họ lấy ra một quả bóng khác - tỷ lệ màu sắc trong hộp đã thay đổi. Do đó, các xác suất cũng đã thay đổi.

Nếu các điều kiện không đổi, người ta có thể xác định chính xác xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong số n có thể. Chúng tôi hình thành dữ kiện này dưới dạng một định lý:

Định lý Bernoulli. Gọi xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi thí nghiệm là không đổi và bằng p. Khi đó xác suất để trong n lần thử độc lập, sự kiện A xuất hiện đúng k lần được tính theo công thức:

trong đó C n k là số tổ hợp, q = 1 - p.

Công thức này được gọi là công thức Bernoulli. Có một điều thú vị là những vấn đề dưới đây hoàn toàn được giải quyết mà không cần sử dụng công thức này. Ví dụ, bạn có thể áp dụng các công thức cộng xác suất. Tuy nhiên, số lượng tính toán sẽ đơn giản là không thực tế.

Một nhiệm vụ. Xác suất để trên máy sản xuất ra một phế phẩm là 0,2. Xác định xác suất để một lô gồm mười bộ phận được sản xuất trên một máy đã cho có đúng k không có khuyết tật. Giải bài toán cho k = 0, 1, 10.

Theo điều kiện, ta quan tâm đến trường hợp A xuất xưởng sản phẩm không có khuyết tật, xảy ra mọi lúc với xác suất p = 1 - 0,2 = 0,8. Chúng ta cần xác định xác suất để sự kiện này xảy ra k lần. Sự kiện A đối lập với sự kiện “không phải A”, tức là sản xuất một sản phẩm bị lỗi.

Như vậy, ta có: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Vì vậy, chúng tôi tìm xác suất để tất cả các bộ phận trong lô bị lỗi (k = 0), chỉ một bộ phận bị lỗi (k = 1) và không có bộ phận nào bị lỗi (k = 10):

Một nhiệm vụ. Đồng xu được tung 6 lần. Việc mất quốc huy và đuôi cũng có thể xảy ra. Tìm xác suất để:

1. quốc huy sẽ rụng ba lần;
2. quốc huy sẽ rụng một lần;
3. quốc huy sẽ xuất hiện ít nhất hai lần.

Vì vậy, chúng tôi quan tâm đến sự kiện A khi quốc huy rơi. Xác suất của biến cố này là p = 0,5. Sự kiện A bị phản lại bởi sự kiện “không phải A”, khi nó xuất hiện các đầu đuôi, xảy ra với xác suất q = 1 - 0,5 = 0,5. Cần xác định xác suất để quốc huy rơi ra k lần.

Như vậy, ta có: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Hãy để chúng tôi xác định xác suất để quốc huy rơi ra ba lần, tức là k = 3:

Bây giờ chúng tôi xác định xác suất để quốc huy chỉ rơi ra một lần, tức là k = 1:

Việc xác định xem quốc huy sẽ rơi ra ít nhất hai lần với xác suất bao nhiêu. Điều khó khăn chính là trong cụm từ "không kém". Nó chỉ ra rằng bất kỳ k nào sẽ phù hợp với chúng ta, ngoại trừ 0 và 1, tức là bạn cần tìm giá trị của tổng X \ u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Lưu ý rằng tổng này cũng bằng (1 - P 6 (0) - P 6 (1)), tức là trong số tất cả các phương án khả thi, nó đủ để “cắt bỏ” những phương án khi quốc huy rơi ra 1 lần (k = 1) hoặc hoàn toàn không rơi ra (k = 0). Vì P 6 (1) chúng ta đã biết nên vẫn phải tìm P 6 (0):

Một nhiệm vụ. Xác suất để một TV có các khuyết tật tiềm ẩn là 0,2. Kho nhận được 20 TV. Sự kiện nào có khả năng xảy ra cao hơn: rằng có hai TV bị lỗi ẩn trong lô hoặc ba chiếc này?

Sự kiện quan tâm A là sự hiện diện của một khuyết tật tiềm ẩn. Tổng số TV n = 20, xác suất để khuyết tật p = 0,2. Theo đó, xác suất để được một chiếc TV không bị khuyết tật ẩn là q = 1 - 0,2 = 0,8.

Chúng ta nhận được các điều kiện bắt đầu cho lược đồ Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Hãy tìm xác suất để có được hai TV "bị lỗi" (k = 2) và ba (k = 3):

\ [\ begin (array) (l) (P_ (20)) \ left (2 \ right) = C_ (20) ^ 2 (p ^ 2) (q ^ (18)) = \ frac ((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Rõ ràng, P 20 (3)> P 20 (2), tức là xác suất nhận được ba TV có khuyết tật tiềm ẩn nhiều hơn khả năng chỉ nhận được hai TV như vậy. Hơn nữa, sự khác biệt không phải là yếu kém.

Một lưu ý nhỏ về giai thừa. Nhiều người gặp phải cảm giác khó chịu mơ hồ khi nhìn thấy mục nhập "0!" (đọc "giai thừa không"). Vì vậy, 0! = 1 theo định nghĩa.

P. S. Và xác suất lớn nhất trong nhiệm vụ cuối cùng là lấy được bốn chiếc TV có khuyết tật ẩn. Làm phép toán và xem cho chính mình.

Bạn có muốn biết cơ hội toán học để đặt cược thành công của bạn là bao nhiêu không? Sau đó, chúng tôi có hai tin tốt cho bạn. Thứ nhất: để tính patent, bạn không cần phải thực hiện các phép tính phức tạp và tốn nhiều thời gian. Chỉ cần sử dụng các công thức đơn giản, sẽ mất vài phút để làm việc. Thứ hai, sau khi đọc bài viết này, bạn sẽ dễ dàng tính toán xác suất vượt qua bất kỳ giao dịch nào của mình.

Để xác định chính xác bằng sáng chế, bạn cần thực hiện ba bước:

• Tính phần trăm xác suất của kết quả của một sự kiện theo văn phòng của nhà cái;
• Tự tính xác suất từ ​​dữ liệu thống kê;
• Tìm giá trị của đặt cược cho cả hai xác suất.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết từng bước, không chỉ sử dụng các công thức mà còn cả các ví dụ.

Đi nhanh

Tính toán xác suất được nhúng trong tỷ lệ cá cược

Bước đầu tiên là tìm hiểu xem nhà cái đánh giá xác suất của một kết quả cụ thể là bao nhiêu. Rốt cuộc, rõ ràng là các nhà cái không đặt cược tỷ lệ cược chỉ như vậy. Đối với điều này, chúng tôi sử dụng công thức sau:

PB= (1 / K) * 100%,

trong đó P B là xác suất của kết quả theo văn phòng của nhà cái;

K - tỷ lệ cược của nhà cái cá cược cho kết quả.

Giả sử tỷ lệ cược cho chiến thắng của Arsenal thành London là 4 trong cuộc đọ sức với Bayern. Điều này có nghĩa là xác suất chiến thắng của đội đó theo BC được coi là (1/4) * 100% = 25%. Hoặc Djokovic đấu với South. Hệ số cho chiến thắng của Novak là 1.2, cơ hội giành chiến thắng của anh ấy là (1 / 1.2) * 100% = 83%.

Đây là cách nhà cái tự đánh giá cơ hội thành công của mỗi người chơi và đội bóng. Sau khi hoàn thành bước đầu tiên, chúng ta chuyển sang bước thứ hai.

Tính xác suất của một sự kiện bởi người chơi

Điểm thứ hai trong kế hoạch của chúng tôi là đánh giá riêng của chúng tôi về xác suất của sự kiện. Vì chúng tôi không thể tính đến các thông số như động lực, giai điệu trận đấu về mặt toán học, nên chúng tôi sẽ sử dụng một mô hình đơn giản hóa và chỉ sử dụng số liệu thống kê của các cuộc họp trước đó. Để tính xác suất thống kê của một kết quả, chúng tôi sử dụng công thức:

PVà\ u003d (UM / M) * 100%,

ở đâuPVà- xác suất của sự kiện theo người chơi;

UM - số trận đấu thành công trong đó một sự kiện như vậy đã diễn ra;

M là tổng số trận đấu.

Để làm rõ hơn, chúng ta hãy đưa ra các ví dụ. Andy Murray và Rafael Nadal đã đấu 14 trận. Trong 6 trong số đó, tổng số dưới 21 trận được ghi, trong đó 8 - tổng số hơn. Cần tìm xác suất để trận đấu tiếp theo có tổng tài: (14/8) * 100 = 57%. Valencia đã chơi 74 trận tại Mestalla trước Atlético, trong đó họ ghi được 29 chiến thắng. Xác suất Valencia thắng: (29/74) * 100% = 39%.

Và tất cả chúng ta đều biết điều này chỉ nhờ vào số liệu thống kê của các trò chơi trước đó! Đương nhiên, xác suất như vậy không thể được tính cho một số đội hoặc người chơi mới, vì vậy chiến lược cá cược này chỉ phù hợp với các trận đấu mà đối thủ gặp nhau không phải lần đầu tiên. Bây giờ chúng ta biết cách xác định cá cược và xác suất riêng của kết quả, và chúng ta có tất cả kiến ​​thức để đi đến bước cuối cùng.

Xác định giá trị đặt cược

Giá trị (khả năng định giá) của đặt cược và khả năng vượt qua có liên quan trực tiếp: giá trị càng cao, cơ hội vượt qua càng cao. Giá trị được tính như sau:

V =PVà* K-100%,

với V là giá trị;

P I - xác suất của một kết quả theo chiều hướng tốt hơn;

K - tỷ lệ cược của nhà cái cá cược cho kết quả.

Giả sử chúng tôi muốn đặt cược vào Milan thắng trong trận đấu với Roma và chúng tôi đã tính toán rằng xác suất giành chiến thắng của Quỷ Đỏ-Đen là 45%. Nhà cái đưa ra hệ số 2,5 cho kết quả này. Đặt cược như vậy có giá trị không? Chúng tôi thực hiện các phép tính: V \ u003d 45% * 2,5-100% \ u003d 12,5%. Tuyệt vời, chúng tôi có một vụ cá cược có giá trị với nhiều cơ hội vượt qua.

Hãy lấy một trường hợp khác. Maria Sharapova đấu với Petra Kvitova. Chúng tôi muốn thực hiện một thỏa thuận để Maria thắng, mà theo tính toán của chúng tôi, xác suất có 60%. Các nhà cái đưa ra hệ số 1,5 cho kết quả này. Xác định giá trị: V = 60% * 1.5-100 = -10%. Như bạn có thể thấy, đặt cược này không có giá trị gì và nên hạn chế.

Ban đầu, chỉ là một tập hợp thông tin và những quan sát thực nghiệm về trò chơi xúc xắc, lý thuyết xác suất đã trở thành một khoa học vững chắc. Fermat và Pascal là những người đầu tiên cung cấp cho nó một khung toán học.

Từ những suy ngẫm về cái vĩnh cửu đến lý thuyết xác suất

Hai người mà lý thuyết xác suất có nhiều công thức cơ bản, Blaise Pascal và Thomas Bayes, được biết đến là những người sùng đạo sâu sắc, người sau này là một giáo sĩ Trưởng Lão. Rõ ràng, mong muốn của hai nhà khoa học này để chứng minh sự sai lầm của quan điểm về một Thần tài nào đó, mang lại may mắn cho những người yêu thích của cô ấy, đã thúc đẩy nghiên cứu trong lĩnh vực này. Suy cho cùng, trên thực tế, bất kỳ trò chơi may rủi nào, có thắng có thua, cũng chỉ là một bản giao hưởng của các nguyên lý toán học.

Cảm kích trước sự phấn khích của Chevalier de Mere, người không kém phần cờ bạc và là người không thờ ơ với khoa học, Pascal buộc phải tìm ra cách tính xác suất. De Mere quan tâm đến câu hỏi này: "Bạn cần ném hai con xúc xắc thành cặp bao nhiêu lần để xác suất nhận được 12 điểm vượt quá 50%?". Câu hỏi thứ hai khiến quý ông vô cùng quan tâm: "Làm thế nào để chia tiền cược cho những người tham gia trò chơi chưa hoàn thành?" Tất nhiên, Pascal đã trả lời thành công cả hai câu hỏi của de Mere, người đã vô tình trở thành người khởi xướng sự phát triển của lý thuyết xác suất. Điều thú vị là con người của de Mere vẫn được biết đến trong lĩnh vực này, chứ không phải trong văn học.

Trước đây, chưa có nhà toán học nào cố gắng tính toán xác suất của các sự kiện, vì người ta tin rằng đây chỉ là một giải pháp phỏng đoán. Blaise Pascal đã đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất của một sự kiện và chỉ ra rằng đây là một con số cụ thể có thể được chứng minh bằng toán học. Lý thuyết xác suất đã trở thành cơ sở cho thống kê và được sử dụng rộng rãi trong khoa học hiện đại.

Ngẫu nhiên là gì

Nếu chúng ta coi một phép thử có thể được lặp lại vô số lần, thì chúng ta có thể xác định một sự kiện ngẫu nhiên. Đây là một trong những kết quả có thể có của trải nghiệm.

Kinh nghiệm là việc thực hiện các hành động cụ thể trong những điều kiện không đổi.

Để có thể làm việc với kết quả của kinh nghiệm, các sự kiện thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C, D, E ...

Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên

Để có thể tiến tới phần toán học của xác suất, cần phải xác định tất cả các thành phần của nó.

Xác suất của một sự kiện là một số đo khả năng xuất hiện của một sự kiện nào đó (A hoặc B) do kết quả của một kinh nghiệm. Xác suất được ký hiệu là P (A) hoặc P (B).

Lý thuyết xác suất là:

• đáng tin cậy sự kiện được đảm bảo xảy ra do kết quả của thí nghiệm Р (Ω) = 1;
• Không thể nào sự kiện không bao giờ có thể xảy ra Р (Ø) = 0;
• ngẫu nhiên sự kiện nằm giữa chắc chắn và không thể xảy ra, nghĩa là xác suất xảy ra của nó là có thể, nhưng không được đảm bảo (xác suất của sự kiện ngẫu nhiên luôn nằm trong khoảng 0≤P (A) ≤1).

Mối quan hệ giữa các sự kiện

Cả một và tổng các sự kiện A + B đều được xem xét khi sự kiện được tính trong việc thực hiện ít nhất một trong các thành phần, A hoặc B, hoặc cả hai - A và B.

Trong mối quan hệ với nhau, các sự kiện có thể là:

• Như nhau có thể.
• tương thích.
• Không tương thích.
• Đối lập (loại trừ lẫn nhau).
• Sự phụ thuộc.

Nếu hai sự kiện có thể xảy ra với xác suất bằng nhau, thì chúng đều có thể.

Nếu sự xuất hiện của sự kiện A không làm vô hiệu xác suất xuất hiện của sự kiện B, thì chúng tương thích.

Nếu các sự kiện A và B không bao giờ xảy ra đồng thời trong cùng một thử nghiệm, thì chúng được gọi là không tương thích. Tung đồng xu là một ví dụ điển hình: việc sắp xếp sấp tự động không xuất hiện đầu.

Xác suất cho tổng các sự kiện không tương thích như vậy bao gồm tổng các xác suất của mỗi sự kiện:

P (A + B) = P (A) + P (B)

Nếu sự xuất hiện của một sự kiện này làm cho sự xuất hiện của một sự kiện khác không thể xảy ra, thì chúng được gọi là ngược lại. Sau đó, một trong số chúng được ký hiệu là A và cái còn lại - Ā (đọc là "không phải A"). Sự kiện A xuất hiện nghĩa là Ā đã không xảy ra. Hai sự kiện này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh với tổng xác suất bằng 1.

Các sự kiện phụ thuộc có ảnh hưởng lẫn nhau, làm giảm hoặc tăng xác suất của nhau.

Mối quan hệ giữa các sự kiện. Các ví dụ

Sẽ dễ dàng hơn nhiều khi hiểu các nguyên tắc của lý thuyết xác suất và sự kết hợp của các sự kiện bằng cách sử dụng các ví dụ.

Thí nghiệm sẽ được thực hiện là kéo các quả bóng ra khỏi hộp và kết quả của mỗi thí nghiệm là một kết quả cơ bản.

Một sự kiện là một trong những kết quả có thể có của một trải nghiệm - quả bóng màu đỏ, quả bóng màu xanh lam, quả bóng có số sáu, v.v.

Bài kiểm tra số 1. Có 6 quả bóng, trong đó ba quả bóng màu xanh ghi số lẻ và ba quả bóng màu đỏ ghi số chẵn.

Bài kiểm tra số 2. Có 6 quả bóng màu xanh với các số từ một đến sáu.

Dựa trên ví dụ này, chúng tôi có thể đặt tên cho các kết hợp:

• Sự kiện đáng tin cậy. Bằng tiếng tây ban nha Thứ 2, sự kiện "lấy được quả bóng màu xanh lam" là đáng tin cậy, vì xác suất xảy ra của nó là 1, vì tất cả các quả bóng màu xanh lam và không thể bỏ sót. Trong khi sự kiện "lấy được bóng có số 1" là ngẫu nhiên.
• Sự kiện bất khả thi. Bằng tiếng tây ban nha Số 1 với bi xanh và bi đỏ, biến cố "lấy được bi tím" là không thể xảy ra, vì xác suất xảy ra của nó là 0.
• Các sự kiện tương đương. Bằng tiếng tây ban nha Số 1, các sự kiện “nhận bóng với số 2” và “nhận bóng với số 3” có khả năng xảy ra như nhau, và các sự kiện “nhận bóng với số chẵn” và “nhận bóng với số 2 ”Có các xác suất khác nhau.
• Sự kiện tương thích. Nhận được số sáu trong quá trình ném xúc xắc hai lần liên tiếp là các sự kiện tương thích.
• Sự kiện không tương thích. Trong cùng một tiếng Tây Ban Nha Các sự kiện số 1 "lấy bóng đỏ" và "lấy bóng có số lẻ" không thể kết hợp trong cùng một trải nghiệm.
• các sự kiện trái ngược nhau. Ví dụ nổi bật nhất của việc này là tung đồng xu, trong đó việc vẽ đầu giống như không vẽ mặt sấp và tổng xác suất của chúng luôn là 1 (nhóm đầy đủ).
• Sự kiện phụ thuộc. Vì vậy, bằng tiếng Tây Ban Nha Số 1, bạn có thể đặt cho mình mục tiêu là giải bóng đỏ hai lần liên tiếp. Việc giải nén hay không giải nén lần đầu ảnh hưởng đến xác suất trích xuất lần thứ hai.

Có thể thấy rằng sự kiện đầu tiên ảnh hưởng đáng kể đến xác suất của sự kiện thứ hai (40% và 60%).

Công thức xác suất sự kiện

Quá trình chuyển đổi từ bói toán sang dữ liệu chính xác xảy ra bằng cách chuyển chủ đề sang bình diện toán học. Nghĩa là, các phán đoán về một sự kiện ngẫu nhiên như "xác suất cao" hoặc "xác suất tối thiểu" có thể được chuyển sang dữ liệu số cụ thể. Nó đã được phép đánh giá, so sánh và đưa các tài liệu đó vào các phép tính phức tạp hơn.

Theo quan điểm tính toán, định nghĩa xác suất của một sự kiện là tỷ số giữa số kết quả tích cực cơ bản với số tất cả các kết quả có thể có của trải nghiệm đối với một sự kiện cụ thể. Xác suất được ký hiệu là P (A), trong đó P có nghĩa là từ "xác suất", được dịch từ tiếng Pháp là "xác suất".

Vì vậy, công thức cho xác suất của một sự kiện là:

Trong đó m là số kết quả thuận lợi cho sự kiện A, n là tổng tất cả các kết quả có thể xảy ra cho kinh nghiệm này. Xác suất của một sự kiện luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1:

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Tính xác suất của một sự kiện. Thí dụ

Hãy học tiếng Tây Ban Nha. Số 1 với các quả bóng, được mô tả trước đó: 3 quả bóng màu xanh với số 1/3/5 và 3 quả bóng màu đỏ với số 2/4/6.

Dựa trên thử nghiệm này, một số nhiệm vụ khác nhau có thể được xem xét:

• A - quả bóng màu đỏ rơi. Có 3 bi đỏ và tổng cộng có 6 biến thể, đây là ví dụ đơn giản nhất, trong đó xác suất của một biến cố là P (A) = 3/6 = 0,5.
• B - giảm một số chẵn. Tổng cộng có 3 (2,4,6) số chẵn và tổng số cách chọn số có thể có là 6. Xác suất của biến cố này là P (B) = 3/6 = 0,5.
• C - mất một số lớn hơn 2. Có 4 lựa chọn như vậy (3,4,5,6) trong tổng số các kết quả có thể xảy ra 6. Xác suất của biến cố C là P (C) = 4/6 = 0,67.

Như có thể thấy từ các tính toán, sự kiện C có xác suất cao hơn, vì số lượng kết quả tích cực có thể xảy ra nhiều hơn trong A và B.

Sự kiện không tương thích

Những sự kiện như vậy không thể xuất hiện đồng thời trong cùng một trải nghiệm. Như trong tiếng Tây Ban Nha Số 1, không thể lấy một quả bóng màu xanh và một quả bóng màu đỏ cùng một lúc. Đó là, bạn có thể nhận được một quả bóng màu xanh hoặc màu đỏ. Theo cách tương tự, một số chẵn và một số lẻ không thể xuất hiện trong một con súc sắc cùng một lúc.

Xác suất của hai sự kiện được coi là xác suất của tổng hoặc tích của chúng. Tổng của các sự kiện A + B như vậy được coi là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của một sự kiện A hoặc B, và tích của AB của chúng - với sự xuất hiện của cả hai. Ví dụ, sự xuất hiện của hai con sáu cùng một lúc trên mặt của hai con xúc xắc trong một lần ném.

Tổng của một số sự kiện là một sự kiện ngụ ý sự xuất hiện của ít nhất một trong số chúng. Sản phẩm của một số sự kiện là sự xuất hiện chung của tất cả chúng.

Trong lý thuyết xác suất, như một quy luật, việc sử dụng kết hợp "và" biểu thị tổng, hợp "hoặc" - phép nhân. Công thức với các ví dụ sẽ giúp bạn hiểu logic của phép cộng và phép nhân trong lý thuyết xác suất.

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích

Nếu xác suất của các sự kiện không tương thích được xem xét, thì xác suất của tổng các sự kiện bằng tổng xác suất của chúng:

P (A + B) = P (A) + P (B)

Ví dụ: chúng tôi tính xác suất bằng tiếng Tây Ban Nha. Số 1 với các quả bóng màu xanh và đỏ sẽ giảm một số từ 1 đến 4. Chúng tôi sẽ tính không phải trong một hành động, mà tính bằng tổng xác suất của các thành phần cơ bản. Vì vậy, trong một thí nghiệm như vậy chỉ có 6 quả bóng hoặc 6 trong số tất cả các kết quả có thể xảy ra. Các số thoả mãn điều kiện là 2 và 3. Xác suất lấy được số 2 là 1/6, xác suất lấy được số 3 cũng là 1/6. Xác suất nhận được một số từ 1 đến 4 là:

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích của một nhóm hoàn chỉnh là 1.

Vì vậy, nếu trong thử nghiệm với một khối lập phương, chúng ta cộng các xác suất nhận được tất cả các số, thì kết quả là chúng ta nhận được một.

Điều này cũng đúng với các sự kiện ngược lại, ví dụ, trong thử nghiệm với đồng xu, trong đó một trong các mặt của nó là sự kiện A và mặt kia là sự kiện ngược lại Ā, như đã biết,

Р (А) + Р (Ā) = 1

Xác suất tạo ra các sự kiện không tương thích

Phép nhân xác suất được sử dụng khi xem xét sự xuất hiện của hai hoặc nhiều sự kiện không tương thích trong một lần quan sát. Xác suất để các sự kiện A và B xuất hiện đồng thời bằng tích các xác suất của chúng, hoặc:

P (A * B) = P (A) * P (B)

Ví dụ: xác suất mà trong Số 1 là kết quả của hai lần thử, một quả bóng màu xanh lam sẽ xuất hiện hai lần, bằng

Có nghĩa là, xác suất của một sự kiện xảy ra khi hai lần thử chiết xuất các quả bóng, chỉ có các quả bóng màu xanh sẽ được chiết xuất, là 25%. Rất dễ dàng để thực hiện các thí nghiệm thực tế về vấn đề này và xem liệu điều này có thực sự xảy ra hay không.

Sự kiện chung

Các sự kiện được coi là chung khi sự xuất hiện của một trong số chúng có thể trùng với sự xuất hiện của sự kiện kia. Mặc dù thực tế là chúng là chung, xác suất của các sự kiện độc lập được xem xét. Ví dụ, ném hai con xúc xắc có thể cho kết quả khi con số 6 rơi vào cả hai con. Mặc dù các sự kiện trùng khớp và xuất hiện đồng thời, chúng độc lập với nhau - chỉ một con sáu có thể rơi ra, con xúc xắc thứ hai không ảnh hưởng đến nó. .

Xác suất của các sự kiện chung được coi là xác suất của tổng của chúng.

Xác suất của tổng các sự kiện chung. Thí dụ

Xác suất của tổng các sự kiện A và B, có mối quan hệ chung với nhau, bằng tổng xác suất của sự kiện trừ đi xác suất của tích của chúng (nghĩa là, sự thực hiện chung của chúng):

R khớp. (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Giả sử rằng xác suất bắn trúng mục tiêu trong một lần bắn là 0,4. Sau đó là sự kiện A - bắn trúng mục tiêu trong lần thử đầu tiên, B - trong lần thứ hai. Những sự kiện này có liên quan đến nhau, vì có thể bắn trúng mục tiêu cả từ lần bắn đầu tiên và từ lần bắn thứ hai. Nhưng các sự kiện không phụ thuộc. Xác suất của trường hợp bắn trúng mục tiêu bằng hai viên (ít nhất một viên) là bao nhiêu? Theo công thức:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Câu trả lời cho câu hỏi là: "Xác suất bắn trúng mục tiêu trong hai lần bắn là 64%."

Công thức về xác suất của một sự kiện này cũng có thể được áp dụng cho các sự kiện không tương thích, trong đó xác suất xảy ra chung của một sự kiện P (AB) = 0. Điều này có nghĩa là xác suất của tổng các sự kiện không tương thích có thể được coi là một trường hợp đặc biệt. của công thức đề xuất.

Hình học xác suất cho rõ ràng

Điều thú vị là xác suất của tổng các sự kiện chung có thể được biểu diễn dưới dạng hai khu vực A và B giao nhau. Như bạn có thể thấy trong hình, diện tích của liên hiệp của chúng bằng tổng diện tích trừ đi diện tích của giao điểm của chúng. Giải thích hình học này làm cho công thức có vẻ phi logic dễ hiểu hơn. Lưu ý rằng các giải pháp hình học không phải là hiếm trong lý thuyết xác suất.

Định nghĩa về xác suất của tổng của một tập hợp (nhiều hơn hai) sự kiện chung là khá rườm rà. Để tính toán nó, bạn cần sử dụng các công thức được cung cấp cho những trường hợp này.

Sự kiện phụ thuộc

Các sự kiện phụ thuộc được gọi nếu sự xuất hiện của một (A) trong số chúng ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện của (B) kia. Hơn nữa, ảnh hưởng của cả sự kiện A và sự kiện không xảy ra đều được tính đến. Mặc dù các sự kiện được gọi là phụ thuộc theo định nghĩa, chỉ một trong số chúng là phụ thuộc (B). Xác suất thông thường được ký hiệu là P (B) hoặc xác suất của các sự kiện độc lập. Trong trường hợp phụ thuộc, một khái niệm mới được đưa ra - xác suất có điều kiện P A (B), là xác suất của sự kiện phụ thuộc B với điều kiện là sự kiện A (giả thuyết) đã xảy ra, mà nó phụ thuộc vào.

Nhưng sự kiện A cũng là ngẫu nhiên nên nó cũng có một xác suất phải và có thể được tính đến trong các phép tính. Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra cách làm việc với các sự kiện phụ thuộc và một giả thuyết.

Ví dụ về tính xác suất của các sự kiện phụ thuộc

Một ví dụ điển hình để tính toán các sự kiện phụ thuộc là một bộ bài tiêu chuẩn.

Trong ví dụ về bộ bài 36 lá, hãy xem xét các sự kiện phụ thuộc. Cần phải xác định xác suất để quân bài thứ hai rút ra từ bộ bài là một bộ đồ kim cương, nếu quân bài đầu tiên được rút ra là:

1. Lục lạc.
2. Một bộ đồ khác.

Rõ ràng, xác suất của sự kiện thứ hai B phụ thuộc vào sự kiện thứ nhất A. Vì vậy, nếu lựa chọn đầu tiên là đúng, trong đó có 1 lá bài (35) và 1 viên kim cương (8) ít hơn trong bộ bài, thì xác suất của sự kiện B là:

P A (B) \ u003d 8/35 \ u003d 0,23

Nếu phương án thứ hai là đúng, thì có 35 quân bài trong bộ bài và tổng số tambourin (9) vẫn được giữ nguyên, thì xác suất của biến cố sau là B:

P A (B) \ u003d 9/35 \ u003d 0,26.

Có thể thấy rằng nếu sự kiện A có điều kiện là thẻ đầu tiên là kim cương, thì xác suất của sự kiện B giảm, và ngược lại.

Nhân các sự kiện phụ thuộc

Dựa trên chương trước, chúng ta chấp nhận sự kiện đầu tiên (A) là một dữ kiện, nhưng về bản chất, nó có tính chất ngẫu nhiên. Xác suất của sự kiện này, cụ thể là việc trích xuất tambourine từ một bộ bài, bằng:

P (A) = 9/36 = 1/4

Vì lý thuyết không tồn tại tự nó, nhưng được kêu gọi để phục vụ các mục đích thực tế, nên công bằng mà nói, thường thì xác suất tạo ra các sự kiện phụ thuộc là cần thiết.

Theo định lý về tích xác suất của các sự kiện phụ thuộc, xác suất xuất hiện của các sự kiện phụ thuộc cùng nhau A và B bằng xác suất của một sự kiện A nhân với xác suất có điều kiện của sự kiện B (phụ thuộc vào A):

P (AB) \ u003d P (A) * P A (B)

Sau đó, trong ví dụ với một bộ bài, xác suất để rút ra hai quân bài có một bộ kim cương là:

9/36 * 8/35 = 0,0571 hoặc 5,7%

Và xác suất lấy ra không phải kim cương lúc đầu, và sau đó là kim cương, bằng:

27/36 * 9/35 = 0,19 hoặc 19%

Có thể thấy rằng xác suất xuất hiện của biến cố B càng lớn, với điều kiện là rút được một quân bài không phải là kim cương trước. Kết quả này khá logic và dễ hiểu.

Tổng xác suất của một sự kiện

Khi một bài toán với các xác suất có điều kiện trở nên nhiều mặt, nó không thể được tính toán bằng các phương pháp thông thường. Khi có nhiều hơn hai giả thuyết, cụ thể là A1, A2, ..., A n, .. tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh với điều kiện:

• P (A i)> 0, i = 1,2,…
• A i ∩ A j = Ø, i ≠ j.
• Σ k A k = Ω.

Vì vậy, công thức tính tổng xác suất cho sự kiện B với một nhóm đầy đủ các sự kiện ngẫu nhiên A1, A2, ..., A n là:

Nhìn về tương lai

Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên rất cần thiết trong nhiều lĩnh vực khoa học: kinh tế lượng, thống kê, vật lý, v.v. Vì một số quá trình không thể được mô tả một cách xác định, vì bản thân chúng là xác suất, nên cần có các phương pháp làm việc đặc biệt. Xác suất của lý thuyết sự kiện có thể được sử dụng trong bất kỳ lĩnh vực công nghệ nào như một cách để xác định khả năng xảy ra lỗi hoặc trục trặc.

Có thể nói, bằng cách nhìn nhận xác suất, chúng ta phần nào tiến một bước lý thuyết vào tương lai, nhìn nó qua lăng kính công thức.

Trong blog của anh ấy, bản dịch bài giảng tiếp theo của khóa học "Nguyên tắc cân bằng trò chơi" của nhà thiết kế trò chơi Jan Schreiber, người đã làm việc trong các dự án như Marvel Trading Card Game và Playboy: the Mansion.

Cho đến hôm nay, hầu hết mọi thứ chúng ta nói đến đều mang tính xác định, và tuần trước chúng ta đã xem xét kỹ hơn về cơ học bắc cầu, phân tích nó càng chi tiết càng tốt mà tôi có thể giải thích. Nhưng cho đến nay, chúng ta vẫn chưa chú ý đến các khía cạnh khác của nhiều trò chơi, đó là những khoảnh khắc không xác định - hay nói cách khác là tính ngẫu nhiên.

Hiểu được bản chất của sự ngẫu nhiên là rất quan trọng đối với các nhà thiết kế trò chơi. Chúng tôi tạo ra các hệ thống ảnh hưởng đến trải nghiệm người dùng trong một trò chơi nhất định, vì vậy chúng tôi cần biết cách hoạt động của các hệ thống này. Nếu có sự ngẫu nhiên trong hệ thống, chúng ta cần hiểu bản chất của sự ngẫu nhiên này và biết cách thay đổi nó để có được kết quả mà chúng ta cần.

Xúc xắc

Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản - xúc xắc lăn. Khi hầu hết mọi người nghĩ đến xúc xắc, họ nghĩ đến một con xúc xắc sáu mặt được gọi là d6. Nhưng hầu hết các game thủ đã từng nhìn thấy nhiều con xúc xắc khác: bốn mặt (d4), tám mặt (d8), mười hai mặt (d12), hai mươi mặt (d20). Nếu bạn là một người đam mê thực sự, bạn có thể có 30- hoặc 100 hạt xúc xắc ở đâu đó.

Nếu bạn không quen thuộc với thuật ngữ này, d là viết tắt của một xúc xắc, và số đứng sau nó là số mặt của nó. Nếu số đứng trước d, thì nó cho biết số lượng xúc xắc khi ném. Ví dụ, trong Monopoly, bạn cuộn 2d6.

Vì vậy, trong trường hợp này, cụm từ "xúc xắc" là một chỉ định thông thường. Có rất nhiều trình tạo số ngẫu nhiên khác ngoài kia trông không giống như hình dẻo nhưng thực hiện cùng một chức năng - chúng tạo ra một số ngẫu nhiên từ 1 đến n. Một đồng xu thông thường cũng có thể được biểu diễn như một khối d2 nhị diện.

Tôi thấy hai thiết kế của một con xúc xắc bảy mặt: một trong số chúng trông giống như một con xúc xắc, và thiết kế thứ hai trông giống một cây bút chì gỗ bảy mặt hơn. Một dreidel tứ diện, còn được gọi là titotum, là một chất tương tự của xương tứ diện. Bảng trò chơi với một mũi tên quay trong Chutes & Ladders, trong đó kết quả có thể từ 1 đến 6, tương ứng với một con xúc xắc sáu mặt.

Bộ tạo số ngẫu nhiên trong máy tính có thể tạo ra bất kỳ số nào từ 1 đến 19 nếu nhà thiết kế đưa ra lệnh như vậy, mặc dù máy tính không có xúc xắc 19 mặt (nói chung, tôi sẽ nói thêm về xác suất nhận được các số trên một máy tính vào tuần tới). Tất cả những mục này trông có vẻ khác nhau, nhưng trên thực tế, chúng tương đương nhau: bạn có cơ hội như nhau về từng kết quả có thể xảy ra.

Xúc xắc có một số đặc tính thú vị mà chúng ta cần biết. Đầu tiên, xác suất nhận được bất kỳ mặt nào là như nhau (tôi giả sử bạn đang ném một con xúc xắc hình học thông thường). Nếu bạn muốn biết giá trị trung bình của một cuộn (được gọi là kỳ vọng toán học đối với những người yêu thích lý thuyết xác suất), hãy tính tổng các giá trị trên tất cả các cạnh và chia số này cho số cạnh.

Tổng giá trị của tất cả các mặt của một viên xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn là 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Chia 21 cho số mặt và nhận giá trị trung bình của cuộn: 21 / 6 = 3,5. Đây là một trường hợp đặc biệt vì chúng tôi giả định rằng tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau.

Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn có xúc xắc đặc biệt? Ví dụ: tôi đã thấy một trò chơi với xúc xắc sáu mặt với các hình dán đặc biệt trên các mặt: 1, 1, 1, 2, 2, 3, vì vậy nó hoạt động giống như một viên xúc xắc ba mặt kỳ lạ, nhiều khả năng sẽ tung số 1 ​​nhiều hơn số 2 và có nhiều khả năng cuộn số 2 hơn số 3. Giá trị cuộn trung bình cho con súc sắc này là bao nhiêu? Vì vậy, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, chia cho 6 - bạn nhận được 5/3, hoặc khoảng 1,66. Vì vậy, nếu bạn có một viên xúc xắc đặc biệt và người chơi tung ba viên xúc xắc và sau đó cộng lại kết quả, bạn biết rằng tổng của họ sẽ là khoảng 5 và bạn có thể cân bằng trò chơi dựa trên giả định đó.

Xúc xắc và độc lập

Như tôi đã nói, chúng tôi tiếp tục giả định rằng tỷ lệ bỏ học của mỗi khuôn mặt đều có thể xảy ra như nhau. Bạn tung bao nhiêu viên xúc xắc ở đây không quan trọng. Mỗi cuộn của khuôn là độc lập, có nghĩa là các cuộn trước đó không ảnh hưởng đến kết quả của các cuộn tiếp theo. Với đủ số lần thử, bạn nhất định phải nhận thấy một loạt các con số — ví dụ: chủ yếu là các giá trị cao hơn hoặc thấp hơn — hoặc các tính năng khác, nhưng điều đó không có nghĩa là viên xúc xắc "nóng" hoặc "nguội". Chúng ta sẽ nói về điều này sau.

Nếu bạn tung một con xúc sắc sáu mặt tiêu chuẩn và con số 6 xuất hiện hai lần liên tiếp, thì xác suất kết quả của lần cuộn tiếp theo sẽ là con 6 cũng là 1/6. Xác suất không tăng vì con xúc xắc đã nóng lên ". Đồng thời, xác suất không giảm: không chính xác khi lập luận rằng số 6 đã rơi ra hai lần liên tiếp, có nghĩa là bây giờ phải rơi ra một mặt khác.

Tất nhiên, nếu bạn tung một con súc sắc hai mươi lần và số 6 xuất hiện mỗi lần, thì khả năng số 6 xuất hiện lần thứ 21 là khá cao: bạn có thể nhầm lẫn. Nhưng nếu súc sắc đúng thì xác suất lấy được của mỗi mặt là như nhau, không phụ thuộc vào kết quả của các lần cuộn khác. Bạn cũng có thể tưởng tượng rằng chúng ta thay súc sắc mỗi lần: nếu số 6 lăn hai lần liên tiếp, hãy loại bỏ súc sắc "nóng" khỏi trò chơi và thay nó bằng một con mới. Tôi xin lỗi nếu bất kỳ ai trong số các bạn đã biết về điều này, nhưng tôi cần phải làm rõ điều này trước khi tiếp tục.

Cách làm cho xúc xắc lăn nhiều hơn hoặc ít ngẫu nhiên hơn

Hãy nói về cách nhận được các kết quả khác nhau trên các viên xúc xắc khác nhau. Nếu bạn chỉ tung con súc sắc một hoặc vài lần, trò chơi sẽ có cảm giác ngẫu nhiên hơn khi con súc sắc có nhiều cạnh hơn. Bạn càng tung xúc xắc thường xuyên và càng tung xúc xắc nhiều thì kết quả càng tiệm cận với mức trung bình.

Ví dụ: trong trường hợp 1d6 + 4 (nghĩa là nếu bạn lăn một viên xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn một lần và thêm 4 vào kết quả), giá trị trung bình sẽ là một số từ 5 đến 10. Nếu bạn cuộn 5d2, giá trị trung bình cũng sẽ là một số từ 5 đến 10. Kết quả của lần quay 5d2 chủ yếu là các số 7 và 8, ít thường xuyên hơn các giá trị khác. Cùng một chuỗi, thậm chí cùng một giá trị trung bình (7,5 trong cả hai trường hợp), nhưng bản chất của độ ngẫu nhiên là khác nhau.

Đợi tí. Không phải tôi vừa nói rằng xúc xắc không "nóng lên" hay "nguội đi" sao? Và bây giờ tôi nói: nếu bạn tung nhiều xúc xắc, kết quả của các lần cuộn gần với giá trị trung bình. Tại sao?

Hãy để tôi giải thích. Nếu bạn tung một con xúc xắc duy nhất, xác suất của mỗi mặt xuất hiện là như nhau. Điều này có nghĩa là nếu bạn tung nhiều viên xúc xắc theo thời gian, mỗi mặt sẽ xuất hiện cùng một số lần. Bạn tung càng nhiều xúc xắc, thì tổng kết quả sẽ càng gần mức trung bình.

Đây không phải là vì số đã cuộn "gây ra" một số khác cuộn mà chưa được cuộn. Bởi vì một vệt nhỏ khi tung số 6 (hoặc 20, hoặc một số số khác) cuối cùng sẽ không tạo ra nhiều khác biệt nếu bạn tung xúc xắc thêm mười nghìn lần nữa và nó chủ yếu là số trung bình. Bây giờ bạn sẽ có một vài số lớn, và sau đó là một vài số nhỏ - và theo thời gian, chúng sẽ đạt đến giá trị trung bình.

Điều này không phải vì những lần cuộn trước đó ảnh hưởng đến viên xúc xắc (nghiêm túc mà nói, một viên xúc xắc được làm bằng nhựa, nó không có trí óc để nghĩ, "Ồ, đã lâu rồi kể từ khi có số 2"), mà vì nó thường xảy ra. với rất nhiều cuộn. chơi xúc xắc.

Vì vậy, khá dễ dàng để tính toán cho một cuộn ngẫu nhiên của một con súc sắc - ít nhất là tính giá trị trung bình của cuộn. Cũng có nhiều cách để tính "mức độ ngẫu nhiên" của một thứ gì đó và nói rằng kết quả của một cuộn 1d6 + 4 sẽ "ngẫu nhiên hơn" so với 5d2. Đối với 5d2, kết quả cuộn sẽ được phân phối đồng đều hơn. Để làm được điều này, bạn cần tính độ lệch chuẩn: giá trị càng lớn thì kết quả càng ngẫu nhiên. Hôm nay mình xin phép không đưa ra nhiều phép tính, mình sẽ giải thích chủ đề này sau.

Điều duy nhất tôi sẽ yêu cầu bạn nhớ là, theo nguyên tắc chung, bạn tung càng ít xúc xắc thì càng ngẫu nhiên. Và càng có nhiều mặt của súc sắc thì càng có nhiều ngẫu nhiên, vì có nhiều lựa chọn khả dĩ hơn cho giá trị.

Cách tính xác suất bằng cách đếm

Bạn có thể tự hỏi: làm thế nào chúng ta có thể tính toán xác suất chính xác của một kết quả cụ thể sắp xảy ra? Trên thực tế, điều này khá quan trọng đối với nhiều trò chơi: nếu bạn tung con súc sắc ban đầu, có khả năng sẽ có một số kết quả tối ưu. Câu trả lời là: chúng ta cần tính hai giá trị. Thứ nhất, tổng số kết quả khi ném một con xúc xắc, và thứ hai, số lượng kết quả thuận lợi. Bằng cách chia giá trị thứ hai cho giá trị đầu tiên, bạn sẽ có được xác suất mong muốn. Để nhận phần trăm, hãy nhân kết quả với 100.

Các ví dụ

Đây là một ví dụ rất đơn giản. Bạn muốn lăn một con 4 hoặc cao hơn và lăn một con xúc xắc sáu mặt một lần. Số kết quả tối đa là 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Trong số này, 3 kết quả (4, 5, 6) là thuận lợi. Vì vậy, để tính xác suất, chúng ta chia 3 cho 6 và được 0,5 hoặc 50%.

Đây là một ví dụ phức tạp hơn một chút. Bạn muốn cuộn 2d6 đến với một số chẵn. Số kết quả tối đa là 36 (6 lựa chọn cho mỗi lần chết, một lần chết không ảnh hưởng đến kết quả còn lại, vì vậy chúng tôi nhân 6 với 6 và nhận được 36). Khó khăn với dạng câu hỏi này là đếm hai lần rất dễ. Ví dụ: trên cuộn 2d6, có hai kết quả có thể xảy ra là 3: 1 + 2 và 2 + 1. Trông chúng giống nhau, nhưng sự khác biệt là số nào được hiển thị trên viên xúc xắc đầu tiên và số nào trên viên thứ hai.

Bạn cũng có thể tưởng tượng rằng các viên xúc xắc có các màu khác nhau: ví dụ, trong trường hợp này, một viên xúc xắc màu đỏ, viên còn lại màu xanh lam. Sau đó, đếm số lần xuất hiện có thể có của một số chẵn:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Nó chỉ ra rằng có 18 lựa chọn cho một kết quả thuận lợi trong số 36 - như trong trường hợp trước, xác suất là 0,5 hoặc 50%. Có lẽ bất ngờ, nhưng khá chính xác.

Mô phỏng Monte Carlo

Nếu bạn có quá nhiều xúc xắc cho phép tính này thì sao? Ví dụ, bạn muốn biết xác suất mà tổng số 15 hoặc nhiều hơn sẽ xuất hiện trên một cuộn 8d6. Có rất nhiều kết quả khác nhau cho tám viên xúc xắc và việc đếm chúng theo cách thủ công sẽ mất rất nhiều thời gian - ngay cả khi chúng ta có thể tìm ra giải pháp tốt nào đó để nhóm các chuỗi xúc xắc khác nhau.

Trong trường hợp này, cách đơn giản nhất là không đếm thủ công mà sử dụng máy tính. Có hai cách để tính xác suất trên máy tính. Cách đầu tiên có thể có câu trả lời chính xác, nhưng nó liên quan đến một chút lập trình hoặc kịch bản. Máy tính sẽ xem xét từng khả năng, đánh giá và đếm tổng số lần lặp và số lần lặp phù hợp với kết quả mong muốn, sau đó đưa ra câu trả lời. Mã của bạn có thể trông giống như sau:

Nếu bạn không phải là một lập trình viên và bạn không muốn một câu trả lời chính xác, nhưng một câu trả lời gần đúng, bạn có thể mô phỏng tình huống này trong Excel, nơi bạn lăn 8d6 vài nghìn lần và nhận được câu trả lời. Để cuộn 1d6 trong Excel, hãy sử dụng công thức = TẦNG (RAND () * 6) +1.

Có một cái tên cho tình huống mà bạn không biết câu trả lời và chỉ cần thử nhiều lần - mô phỏng Monte Carlo. Đây là một giải pháp tuyệt vời để quay lại khi quá khó để tính toán xác suất. Điều tuyệt vời là trong trường hợp này, chúng ta không cần phải hiểu cách thức hoạt động của phép toán và chúng ta biết rằng câu trả lời sẽ là "khá tốt" bởi vì, như chúng ta đã biết, càng nhiều cuộn, kết quả càng tiến gần đến giá trị trung bình.

Cách kết hợp các thử nghiệm độc lập

Nếu bạn hỏi về nhiều thử nghiệm lặp lại nhưng độc lập, thì kết quả của một cuộn không ảnh hưởng đến kết quả của các cuộn khác. Có một cách giải thích khác đơn giản hơn cho tình huống này.

Làm thế nào để phân biệt giữa một cái gì đó phụ thuộc và độc lập? Về nguyên tắc, nếu bạn có thể cô lập từng cuộn (hoặc loạt cuộn) của một con súc sắc như một sự kiện riêng biệt, thì nó là độc lập. Ví dụ, chúng ta tung 8d6 và muốn tung tổng cộng là 15. Sự kiện này không thể được chia thành nhiều lần tung xúc xắc độc lập. Để có được kết quả, bạn tính toán tổng của tất cả các giá trị, do đó, kết quả được cuộn trên một ô sẽ ảnh hưởng đến kết quả sẽ cuộn trên các ô khác.

Đây là một ví dụ về các lần tung độc lập: bạn đang chơi trò chơi xúc xắc và bạn đang tung xúc xắc sáu mặt một vài lần. Cuộn đầu tiên phải cuộn 2 hoặc cao hơn để bạn ở lại trò chơi. Đối với cuộn thứ hai - 3 hoặc cao hơn. Thứ ba yêu cầu 4 hoặc nhiều hơn, thứ tư yêu cầu 5 hoặc nhiều hơn và thứ năm yêu cầu 6. Nếu tất cả năm lần cuộn thành công, bạn thắng. Trong trường hợp này, tất cả các lần ném là độc lập. Có, nếu một cuộn không thành công, nó sẽ ảnh hưởng đến kết quả của toàn bộ trò chơi, nhưng một cuộn không ảnh hưởng đến cuộn kia. Ví dụ, nếu cuộn xúc xắc thứ hai của bạn rất tốt, điều đó không có nghĩa là các cuộn tiếp theo sẽ tốt như vậy. Do đó, chúng ta có thể xem xét xác suất của mỗi lần tung xúc xắc một cách riêng biệt.

Nếu bạn có các xác suất độc lập và muốn biết xác suất xảy ra tất cả các sự kiện là bao nhiêu, bạn xác định từng xác suất riêng lẻ và nhân chúng. Một cách khác: nếu bạn sử dụng kết hợp “và” để mô tả một số điều kiện (ví dụ: xác suất của một số sự kiện ngẫu nhiên và một số sự kiện ngẫu nhiên độc lập khác xảy ra là bao nhiêu?) - hãy tính các xác suất riêng lẻ và nhân chúng.

Bạn nghĩ gì không quan trọng - không bao giờ tính tổng các xác suất độc lập. Đây là một sai lầm phổ biến. Để hiểu tại sao điều này là sai, hãy tưởng tượng một tình huống mà bạn đang tung một đồng xu và bạn muốn biết xác suất nhận được hai lần liên tiếp là bao nhiêu. Xác suất rơi ra của mỗi bên là 50%. Nếu bạn tính tổng hai xác suất này, bạn có 100% cơ hội nhận được đầu, nhưng chúng tôi biết điều đó không đúng, bởi vì hai đuôi liên tiếp có thể xuất hiện. Thay vào đó, nếu bạn nhân hai xác suất, bạn nhận được 50% * 50% = 25% - đó là câu trả lời chính xác để tính xác suất nhận được đầu hai lần liên tiếp.

Thí dụ

Hãy quay lại trò chơi xúc xắc sáu mặt, trong đó trước tiên bạn cần tung một số lớn hơn 2, sau đó hơn 3 - và cứ thế lên đến 6. Cơ hội xảy ra trong một chuỗi năm lần tung nhất định, tất cả kết quả sẽ thuận lợi?

Như đã đề cập ở trên, đây là những thử nghiệm độc lập, vì vậy chúng tôi tính xác suất cho từng cuộn riêng lẻ, sau đó nhân chúng. Xác suất để kết quả của lần tung đầu tiên thuận lợi là 5/6. Lần thứ hai - 4/6. Thứ ba - 3/6. Thứ tư - 2/6, thứ năm - 1/6. Chúng tôi nhân tất cả các kết quả với nhau và nhận được khoảng 1,5%. Chiến thắng trong trò chơi này khá hiếm, vì vậy nếu bạn thêm yếu tố này vào trò chơi của mình, bạn sẽ cần một giải độc đắc khá lớn.

Phủ định

Đây là một gợi ý hữu ích khác: đôi khi rất khó để tính xác suất một sự kiện sẽ xảy ra, nhưng xác định khả năng một sự kiện sẽ không xảy ra sẽ dễ dàng hơn. Ví dụ, giả sử chúng ta có một trò chơi khác: bạn quay 6d6 và bạn thắng nếu bạn quay 6 ít nhất một lần. Xác suất chiến thắng là bao nhiêu?

Trong trường hợp này, có nhiều lựa chọn để xem xét. Có thể một con số 6 rơi ra, tức là con số 6 rơi vào một con xúc xắc, và các con số từ 1 đến 5 sẽ rơi vào những con khác, khi đó có 6 lựa chọn cho con xúc xắc nào. a 6. Bạn có thể lấy số 6 trên hai xương xúc xắc, hoặc ba, hoặc thậm chí nhiều hơn, và mỗi lần bạn sẽ cần thực hiện một phép tính riêng biệt, vì vậy rất dễ nhầm lẫn ở đây.

Nhưng hãy nhìn nhận vấn đề từ khía cạnh khác. Bạn sẽ thua nếu không có con xúc xắc nào quay được 6. Trong trường hợp này, chúng ta có 6 lần thử độc lập. Xác suất để mỗi con xúc xắc lăn được một số khác với 6 là 5/6. Nhân chúng - và nhận được khoảng 33%. Như vậy, xác suất thua là 1/3. Do đó, xác suất chiến thắng là 67% (hoặc hai đến ba).

Từ ví dụ này, rõ ràng là nếu bạn đang tính xác suất mà một sự kiện sẽ không xảy ra, bạn cần phải trừ kết quả đi 100%. Nếu xác suất thắng là 67%, thì xác suất thua là 100% trừ đi 67% hoặc 33% và ngược lại. Nếu khó tính một xác suất, nhưng dễ tính ngược lại, hãy tính ngược lại, rồi trừ số này đi 100%.

Kết nối các điều kiện cho một bài kiểm tra độc lập

Tôi đã nói trước đó một chút rằng bạn không bao giờ nên tính tổng xác suất trong các thử nghiệm độc lập. Có trường hợp nào có thể tính tổng các xác suất không? Có, trong một tình huống cụ thể.

Nếu bạn muốn tính xác suất của nhiều kết quả thuận lợi không liên quan đến cùng một thử nghiệm, hãy tính tổng xác suất của từng kết quả thuận lợi. Ví dụ: xác suất lăn 4, 5 hoặc 6 trên 1d6 bằng tổng xác suất lăn 4, xác suất lăn 5 và xác suất lăn 6. Tình huống này có thể được biểu diễn như sau: nếu bạn sử dụng kết hợp "hoặc" trong một câu hỏi về xác suất (ví dụ: xác suất của một hoặc một kết quả khác của một sự kiện ngẫu nhiên là bao nhiêu?) - tính các xác suất riêng lẻ và tổng hợp chúng.

Xin lưu ý: khi bạn tính toán tất cả các kết quả có thể có của trò chơi, tổng xác suất xuất hiện của chúng phải bằng 100%, nếu không, tính toán của bạn đã sai. Đây là một cách tốt để kiểm tra lại các phép tính của bạn. Ví dụ, bạn đã phân tích xác suất nhận được tất cả các kết hợp trong poker. Nếu bạn cộng tất cả các kết quả nhận được, bạn sẽ nhận được chính xác 100% (hoặc ít nhất là một giá trị khá gần 100%: nếu bạn đang sử dụng máy tính, có thể có một lỗi làm tròn nhỏ, nhưng nếu bạn đang cộng các con số chính xác bằng tay, mọi thứ sẽ cộng lại.). Nếu tổng không cộng lại, thì rất có thể bạn đã không tính đến một số kết hợp hoặc tính sai xác suất của một số kết hợp và các phép tính cần được kiểm tra lại.

Xác suất không bằng nhau

Cho đến nay, chúng ta vẫn giả định rằng mỗi mặt của con súc sắc rơi ra với tần suất như nhau, bởi vì đây là cách thức hoạt động của con súc sắc. Nhưng đôi khi bạn có thể gặp phải tình huống có thể xảy ra các kết quả khác nhau và khả năng xảy ra khác nhau.

Ví dụ, trong một trong những bổ sung của trò chơi bài Chiến tranh hạt nhân, có một sân chơi với một mũi tên, xác định kết quả của một vụ phóng tên lửa. Thông thường, nó gây sát thương bình thường, ít hoặc nhiều, nhưng đôi khi sát thương tăng gấp đôi hoặc gấp ba, hoặc tên lửa phát nổ trên bệ phóng và gây hại cho bạn, hoặc một số trường hợp khác xảy ra. Không giống như bảng mũi tên trong Chutes & Ladders hoặc A Game of Life, kết quả của bảng trong Chiến tranh hạt nhân không có khả năng xảy ra như nhau. Một số phần của sân chơi lớn hơn và mũi tên dừng trên chúng thường xuyên hơn, trong khi các phần khác rất nhỏ và hiếm khi mũi tên dừng trên chúng.

Vì vậy, thoạt nhìn, cái xương trông giống như thế này: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - chúng ta đã nói về nó, nó giống như 1d3 có trọng số. Do đó, chúng ta cần chia tất cả các phần này thành các phần bằng nhau, tìm đơn vị đo nhỏ nhất, số chia, mà mọi thứ là bội số, sau đó biểu diễn tình huống ở dạng d522 (hoặc một số khác), trong đó tập xúc xắc những khuôn mặt sẽ đại diện cho cùng một tình huống, nhưng với nhiều kết quả hơn. Đây là một cách để giải quyết vấn đề và nó khả thi về mặt kỹ thuật, nhưng có một lựa chọn dễ dàng hơn.

Hãy quay lại với xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn của chúng ta. Chúng tôi đã nói rằng để tính giá trị trung bình của một lần tung cho một viên xúc xắc thông thường, bạn cần phải tính tổng các giá trị \ u200b \ u200bof của tất cả các mặt và chia chúng cho số mặt, nhưng phép tính được thực hiện chính xác như thế nào? Bạn có thể diễn đạt nó theo cách khác. Đối với một con xúc xắc sáu mặt, xác suất mỗi mặt xuất hiện chính xác là 1/6. Bây giờ chúng ta nhân kết quả của mỗi khía cạnh với xác suất của kết quả đó (trong trường hợp này là 1/6 cho mỗi khía cạnh) và sau đó tính tổng các giá trị kết quả. Vậy tính tổng (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), chúng ta nhận được kết quả tương tự (3.5) như trong phép tính trên. Trên thực tế, chúng tôi tính toán điều này mọi lúc: chúng tôi nhân mỗi kết quả với xác suất của kết quả đó.

Chúng ta có thể thực hiện phép tính tương tự cho mũi tên trên bảng trò chơi trong Chiến tranh hạt nhân không? Tất nhiên là chúng ta có thể. Và nếu chúng tôi tổng hợp tất cả các kết quả tìm được, chúng tôi nhận được giá trị trung bình. Tất cả những gì chúng ta cần làm là tính xác suất của mỗi kết quả cho mũi tên trên sân chơi và nhân với giá trị của kết quả.

Một vi dụ khac

Phương pháp tính giá trị trung bình đã đề cập cũng thích hợp nếu các kết quả có khả năng xảy ra như nhau nhưng có những ưu điểm khác nhau - ví dụ: nếu bạn tung một con xúc xắc và giành chiến thắng ở một số mặt hơn những mặt khác. Ví dụ, hãy xem một trò chơi xảy ra trong sòng bạc: bạn đặt cược và quay 2d6. Nếu ba số có giá trị thấp (2, 3, 4) hoặc bốn số có giá trị cao (9, 10, 11, 12) xuất hiện, bạn sẽ thắng một số tiền bằng số tiền đặt cược của bạn. Các con số có giá trị thấp nhất và cao nhất là đặc biệt: nếu 2 hoặc 12 xuất hiện, bạn sẽ thắng gấp đôi số tiền đặt cược của mình. Nếu bất kỳ số nào khác xuất hiện (5, 6, 7, 8), bạn sẽ thua cược. Đây là một trò chơi khá đơn giản. Nhưng xác suất chiến thắng là bao nhiêu?

Hãy bắt đầu bằng cách đếm số lần bạn có thể giành chiến thắng. Số kết quả tối đa trên một cuộn 2d6 là 36. Số lượng kết quả thuận lợi là bao nhiêu?

• Có 1 tùy chọn sẽ cuộn 2 và 1 tùy chọn sẽ cuộn 12.
• Có 2 lựa chọn cho số 3 và 2 lựa chọn cho số 11.
• Có 3 tùy chọn cho điểm 4 và 3 tùy chọn cho điểm 10.
• Có 4 tùy chọn sẽ cuộn 9.

Tổng hợp tất cả các lựa chọn, chúng tôi nhận được 16 kết quả thuận lợi trong số 36. Như vậy, trong điều kiện bình thường, bạn sẽ thắng 16 lần trong số 36 lần có thể - xác suất chiến thắng hơi nhỏ hơn 50%.

Nhưng hai lần trong số mười sáu lần đó, bạn sẽ thắng gấp đôi - giống như chiến thắng hai lần. Nếu bạn chơi trò chơi này 36 lần, đặt cược 1 đô la mỗi lần và mỗi kết quả có thể xuất hiện một lần, bạn sẽ thắng tổng cộng 18 đô la (bạn thực sự thắng 16 lần, nhưng hai trong số đó được tính là hai lần thắng). Nếu bạn chơi 36 lần và giành được 18 đô la, điều đó không có nghĩa là xác suất là chẵn sao?

Hãy dành thời gian của bạn. Nếu bạn đếm số lần bạn có thể thua, bạn nhận được 20, không phải 18. Nếu bạn chơi 36 lần, đặt cược 1 đô la mỗi lần, bạn sẽ thắng tổng cộng 18 đô la khi tất cả tỷ lệ cược quay. Nhưng bạn sẽ mất tổng cộng $ 20 cho tất cả 20 kết quả xấu. Kết quả là, bạn sẽ bị tụt lại một chút: bạn mất trung bình $ 2 net cho mỗi 36 trận đấu (bạn cũng có thể nói rằng bạn mất trung bình $ 1/18 một ngày). Bây giờ bạn thấy việc mắc sai lầm trong trường hợp này và tính xác suất không chính xác là rất dễ dàng như thế nào.

hoán vị

Cho đến nay, chúng tôi đã giả định rằng thứ tự ném các con số không quan trọng khi tung xúc xắc. Cuộn 2 + 4 giống như cuộn 4 + 2. Trong hầu hết các trường hợp, chúng tôi đếm thủ công số kết quả thuận lợi, nhưng đôi khi phương pháp này không thực tế và tốt hơn là sử dụng công thức toán học.

Một ví dụ của tình huống này là từ trò chơi xúc xắc Farkle. Đối với mỗi vòng mới, bạn cuộn 6d6. Nếu bạn may mắn và tất cả các kết quả có thể xảy ra của 1-2-3-4-5-6 (Thẳng), bạn sẽ nhận được một khoản tiền thưởng lớn. Xác suất điều này sẽ xảy ra là bao nhiêu? Trong trường hợp này, có nhiều lựa chọn cho sự mất mát của sự kết hợp này.

Giải pháp như sau: trên một con xúc xắc (và chỉ trên một con) con số 1. Có bao nhiêu phương án để con số 1 rơi ra một con xúc xắc? Có 6 lựa chọn, vì có 6 con xúc xắc và con số 1 có thể rơi vào bất kỳ con nào trong số chúng. Theo đó, lấy một con xúc xắc và đặt nó sang một bên. Bây giờ số 2 sẽ rơi vào một trong những viên xúc xắc còn lại. Có 5 lựa chọn cho việc này. Lấy một con xúc xắc khác và đặt nó sang một bên. Sau đó 4 trong số các viên xúc xắc còn lại có thể hạ cánh trên một viên 3, 3 viên xúc xắc còn lại có thể hạ cánh trên một viên 4 và 2 trong số các viên xúc xắc còn lại có thể hạ cánh trên một viên 5. Kết quả là bạn chỉ còn lại một viên xúc xắc, trên đó có số 6 sẽ rơi (trong trường hợp sau, một viên xúc xắc chỉ có một xương, và không có sự lựa chọn nào khác).

Để đếm số lượng kết quả thuận lợi cho một kết hợp thẳng hàng, chúng tôi nhân tất cả các phương án độc lập khác nhau: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - dường như có một số lượng khá lớn các phương án cho sự kết hợp này để đưa ra.

Để tính xác suất nhận được một kết hợp thẳng, chúng ta cần chia 720 cho số tất cả các kết quả có thể xảy ra khi quay 6d6. Số lượng tất cả các kết quả có thể xảy ra là bao nhiêu? Mỗi con xúc xắc có thể lăn 6 mặt, vì vậy chúng ta nhân 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (một số lớn hơn nhiều so với cái trước đó). Chúng tôi chia 720 cho 46656 và chúng tôi nhận được xác suất bằng khoảng 1,5%. Nếu bạn đang thiết kế trò chơi này, sẽ rất hữu ích cho bạn khi biết điều này để bạn có thể tạo ra một hệ thống tính điểm thích hợp. Giờ thì chúng ta đã hiểu tại sao trong Farkle, bạn lại nhận được phần thưởng lớn như vậy nếu bạn đánh một tổ hợp thẳng: trường hợp này khá hiếm.

Kết quả cũng thú vị vì một lý do khác. Ví dụ cho thấy hiếm khi kết quả tương ứng với xác suất rơi ra trong một khoảng thời gian ngắn. Tất nhiên, nếu chúng ta tung vài nghìn viên xúc xắc, các mặt khác nhau của xúc xắc sẽ xuất hiện khá thường xuyên. Nhưng khi chúng ta chỉ tung sáu viên xúc xắc, hầu như không bao giờ có chuyện mỗi một viên xúc xắc xuất hiện. Rõ ràng là thật ngu xuẩn khi kỳ vọng rằng bây giờ sẽ rơi ra một khuôn mặt chưa thành, bởi vì “lâu rồi chúng ta chưa bỏ con số 6”. Hãy nhìn xem, trình tạo số ngẫu nhiên của bạn bị hỏng.

Điều này dẫn chúng ta đến một quan niệm sai lầm phổ biến rằng tất cả các kết quả đều xảy ra với tỷ lệ như nhau trong một khoảng thời gian ngắn. Nếu chúng ta tung xúc xắc nhiều lần, tần suất xuất hiện của mỗi mặt sẽ không giống nhau.

Nếu bạn đã từng làm việc trên một trò chơi trực tuyến với một số loại trình tạo số ngẫu nhiên trước đây, thì rất có thể bạn đã gặp phải tình huống người chơi viết thư cho bộ phận hỗ trợ kỹ thuật với khiếu nại rằng trình tạo số ngẫu nhiên không hiển thị số ngẫu nhiên. Anh ta đi đến kết luận này bởi vì anh ta đã giết 4 con quái vật liên tiếp và nhận được 4 phần thưởng giống hệt nhau, và những phần thưởng này chỉ nên giảm 10% thời gian, vì vậy điều này rõ ràng là gần như không bao giờ xảy ra.

Bạn đang làm toán. Xác suất là 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, tức là 1 kết quả trên 10 nghìn là một trường hợp khá hiếm. Đó là những gì người chơi đang cố gắng nói với bạn. Có một vấn đề trong trường hợp này?

Mọi thứ phụ thuộc vào hoàn cảnh. Có bao nhiêu người chơi trên máy chủ của bạn bây giờ? Giả sử bạn có một trò chơi khá phổ biến và mỗi ngày có 100.000 người chơi nó. Có bao nhiêu người chơi sẽ giết bốn con quái vật liên tiếp? Có thể là mọi thứ, vài lần một ngày, nhưng hãy giả sử rằng một nửa trong số họ chỉ đang giao dịch các vật phẩm khác nhau tại các cuộc đấu giá, trò chuyện trên máy chủ RP hoặc thực hiện các hoạt động trò chơi khác - vì vậy chỉ một nửa trong số họ là săn quái vật. Xác suất mà một người nào đó sẽ nhận được phần thưởng tương tự là gì? Trong tình huống này, bạn có thể mong đợi điều này xảy ra ít nhất một vài lần một ngày.

Nhân tiện, đó là lý do tại sao cứ vài tuần lại có người trúng số, ngay cả khi người đó chưa bao giờ là bạn hoặc người bạn biết. Nếu đủ người chơi thường xuyên, rất có thể ở đâu đó sẽ có ít nhất một người may mắn. Nhưng nếu bạn tự chơi xổ số, thì bạn chưa chắc đã trúng thưởng, bạn có nhiều khả năng được mời làm việc tại Infinity Ward.

Bản đồ và chứng nghiện

Chúng tôi đã thảo luận về các sự kiện độc lập, chẳng hạn như ném một con súc sắc, và bây giờ chúng tôi biết nhiều công cụ mạnh mẽ để phân tích tính ngẫu nhiên trong nhiều trò chơi. Việc tính toán xác suất phức tạp hơn một chút khi rút các quân bài từ bộ bài, bởi vì mỗi quân bài chúng ta lấy ra sẽ ảnh hưởng đến những lá bài còn lại trong bộ bài.

Nếu bạn có một bộ bài tiêu chuẩn gồm 52 lá, bạn rút 10 trái tim từ nó và bạn muốn biết xác suất để quân bài tiếp theo sẽ giống hệt bộ đó - xác suất đã thay đổi so với ban đầu vì bạn đã lấy một quân bài trái tim ra khỏi boong tàu. Mỗi thẻ bạn loại bỏ sẽ thay đổi xác suất của thẻ tiếp theo xuất hiện trong bộ bài. Trong trường hợp này, sự kiện trước ảnh hưởng đến sự kiện tiếp theo, vì vậy chúng ta gọi điều này là phụ thuộc xác suất.

Lưu ý rằng khi tôi nói "thẻ", tôi muốn nói đến bất kỳ công cụ trò chơi nào có một tập hợp các đối tượng và bạn loại bỏ một trong các đối tượng mà không thay thế nó. “Bộ bài” trong trường hợp này tương tự như một túi chip mà từ đó bạn lấy ra một con chip hoặc một chiếc bình mà từ đó các quả bóng màu được lấy ra (tôi chưa bao giờ thấy trò chơi nào với một cái bình mà từ đó các quả bóng màu sẽ được lấy ra ra, nhưng các giáo viên dạy lý thuyết xác suất vì lý do gì, ví dụ này được ưu tiên hơn).

Thuộc tính phụ thuộc

Tôi muốn nói rõ rằng khi nói đến các quân bài, tôi cho rằng bạn rút các quân bài, nhìn vào chúng và loại bỏ chúng khỏi bộ bài. Mỗi hành động này là một thuộc tính quan trọng. Nếu tôi có một bộ bài, chẳng hạn, sáu thẻ được đánh số từ 1 đến 6, tôi sẽ xáo trộn chúng và rút một thẻ, sau đó xáo trộn tất cả sáu thẻ lại - điều này tương tự như khi tung một con xúc xắc sáu mặt, bởi vì một kết quả không ảnh hưởng ở đây cho những người tiếp theo. Và nếu tôi rút thẻ và không thay thế chúng, thì bằng cách rút 1 thẻ, tôi tăng xác suất lần tiếp theo tôi rút thẻ có số 6. Xác suất sẽ tăng cho đến khi tôi rút được thẻ này hoặc xáo trộn bộ bài.

Thực tế là chúng tôi đang xem xét các thẻ cũng rất quan trọng. Nếu tôi lấy một lá bài ra khỏi bộ bài và không nhìn vào nó, tôi sẽ không có thêm thông tin và thực tế là xác suất sẽ không thay đổi. Điều này nghe có vẻ phi logic. Làm thế nào chỉ cần lật một lá bài có thể thay đổi tỷ lệ cược một cách kỳ diệu? Nhưng điều đó có thể xảy ra vì bạn chỉ có thể tính toán xác suất cho các mục chưa biết dựa trên những gì bạn biết.

Ví dụ: nếu bạn xáo trộn một bộ bài tiêu chuẩn, để lộ 51 lá bài và không có lá nào trong số đó là nữ hoàng của các câu lạc bộ, thì bạn có thể chắc chắn 100% rằng quân bài còn lại là nữ hoàng của các câu lạc bộ. Nếu bạn xáo một bộ bài tiêu chuẩn và rút ra 51 quân bài mà không cần nhìn vào chúng, thì xác suất để quân bài còn lại là quân hậu của các câu lạc bộ vẫn là 1/52. Khi bạn mở mỗi thẻ, bạn sẽ có thêm thông tin.

Tính xác suất cho các sự kiện phụ thuộc tuân theo các nguyên tắc tương tự như cho các sự kiện độc lập, ngoại trừ việc phức tạp hơn một chút, vì xác suất thay đổi khi bạn tiết lộ các thẻ. Vì vậy, bạn cần nhân nhiều giá trị khác nhau, thay vì nhân cùng một giá trị. Trên thực tế, điều này có nghĩa là chúng ta cần kết hợp tất cả các phép tính mà chúng ta đã thực hiện thành một tổ hợp.

Thí dụ

Bạn xáo trộn một bộ bài tiêu chuẩn gồm 52 lá và rút hai lá. Xác suất mà bạn sẽ lấy ra một cặp là bao nhiêu? Có một số cách để tính xác suất này, nhưng có lẽ đơn giản nhất là như sau: xác suất mà sau khi rút một thẻ, bạn sẽ không thể rút được một cặp là bao nhiêu? Xác suất này là 0, vì vậy bạn rút lá bài đầu tiên nào không quan trọng, miễn là nó trùng với lá bài thứ hai. Không quan trọng lá bài nào chúng ta rút trước, chúng ta vẫn có cơ hội rút ra một cặp. Do đó, xác suất ra một cặp sau khi rút thẻ đầu tiên là 100%.

Xác suất để thẻ thứ hai trùng với thẻ thứ nhất là bao nhiêu? Có 51 lá bài còn lại trong bộ bài, và 3 trong số đó khớp với lá đầu tiên (thực tế là 4 trên 52, nhưng bạn đã bỏ một trong những lá phù hợp khi rút lá đầu tiên), vì vậy xác suất là 1 / 17. Vì vậy, trong lần tiếp theo bạn chơi Texas Hold'em, anh chàng ngồi đối diện với bạn trong bàn nói, "Tuyệt, một cặp khác? Hôm nay tôi thật may mắn ”, bạn sẽ biết rằng với khả năng cao là anh ta đang lừa đảo.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thêm hai quân joker, vì vậy chúng ta có 54 quân bài trong bộ bài, và chúng ta muốn biết xác suất để rút ra một cặp là bao nhiêu? Lá đầu tiên có thể là một lá joker, và sau đó sẽ chỉ có một lá trong bộ bài trùng khớp, không phải ba. Làm thế nào để tìm xác suất trong trường hợp này? Chúng tôi chia các xác suất và nhân từng khả năng.

Lá bài đầu tiên của chúng ta có thể là một lá joker hoặc một số quân bài khác. Xác suất rút được một con joker là 2/54, xác suất để rút ra một số con bài khác là 52/54. Nếu quân bài thứ nhất là một con joker (2/54), thì xác suất để quân bài thứ hai trùng với quân bài thứ nhất là 1/53. Chúng tôi nhân các giá trị (chúng tôi có thể nhân chúng vì chúng là các sự kiện riêng biệt và chúng tôi muốn cả hai sự kiện xảy ra) và chúng tôi nhận được 1/1431 - ít hơn một phần mười phần trăm.

Nếu bạn rút một số thẻ khác trước (52/54), xác suất để trùng với thẻ thứ hai là 3/53. Chúng tôi nhân các giá trị và nhận được 78/1431 (hơn 5,5% một chút). Chúng ta làm gì với hai kết quả này? Chúng không cắt nhau và chúng tôi muốn biết xác suất của từng chúng, vì vậy chúng tôi tổng hợp các giá trị. Chúng tôi nhận được kết quả cuối cùng là 79/1431 (vẫn còn khoảng 5,5%).

Nếu chúng ta muốn chắc chắn về độ chính xác của câu trả lời, chúng ta có thể tính toán xác suất của tất cả các kết quả có thể xảy ra khác: rút quân pha và không khớp với lá thứ hai, hoặc rút một số lá khác và không khớp với lá thứ hai. Tổng hợp các xác suất này và xác suất chiến thắng, chúng ta sẽ nhận được chính xác 100%. Tôi sẽ không đưa ra phép toán ở đây, nhưng bạn có thể thử toán để kiểm tra lại.

Nghịch lý hội trường Monty

Điều này đưa chúng ta đến một nghịch lý khá nổi tiếng thường khiến nhiều người nhầm lẫn, Nghịch lý Monty Hall. Đối với những ai chưa từng xem chương trình truyền hình này, tôi sẽ nói rằng nó ngược lại với Giá Đúng Như Ý.

Trong The Price Is Right, người dẫn chương trình (trước đây do Bob Barker dẫn chương trình, nay là Drew Carey? Nevermind) là bạn của bạn. Anh ấy muốn bạn giành được tiền hoặc những giải thưởng hấp dẫn. Nó cố gắng cung cấp cho bạn mọi cơ hội để giành chiến thắng, miễn là bạn có thể đoán được giá trị thực sự của các vật phẩm được tài trợ là bao nhiêu.

Monty Hall hành xử khác. Anh ta giống như anh em sinh đôi độc ác của Bob Barker. Mục đích của anh ấy là khiến bạn trông giống như một tên ngốc trên truyền hình quốc gia. Nếu bạn có mặt trong chương trình, anh ấy là đối thủ của bạn, bạn đấu với anh ấy và tỷ lệ cược nghiêng về anh ấy. Có lẽ tôi đang quá khắt khe, nhưng nhìn vào một chương trình, bạn có nhiều khả năng tham gia hơn nếu bạn mặc một bộ trang phục lố bịch, đó chính xác là điều tôi đang đến.

Một trong những meme nổi tiếng nhất của chương trình là thế này: có ba cánh cửa trước mặt bạn, cửa số 1, cửa số 2 và cửa số 3. Bạn có thể chọn một cửa miễn phí. Đằng sau một trong số chúng là một giải thưởng lớn - ví dụ như một chiếc ô tô mới. Không có giải thưởng nào phía sau hai cánh cửa kia, cả hai đều không có giá trị gì. Họ được cho là để làm bẽ mặt bạn, vì vậy đằng sau họ không chỉ là không có gì, mà còn là thứ gì đó ngu ngốc, chẳng hạn như một con dê hoặc một tuýp kem đánh răng khổng lồ - bất cứ thứ gì ngoại trừ một chiếc ô tô mới.

Bạn chọn một trong những cánh cửa, Monty chuẩn bị mở nó cho bạn biết bạn có thắng hay không ... nhưng hãy chờ đợi. Trước khi chúng ta biết, chúng ta hãy nhìn vào một trong những cánh cửa mà bạn đã không chọn. Monty biết phía sau giải thưởng là cánh cửa nào, và anh ta luôn có thể mở ra cánh cửa không có giải thưởng. “Bạn có chọn cửa số 3 không? Vậy thì hãy mở cửa số 1 để chứng tỏ rằng không có giải thưởng nào đằng sau nó. " Và bây giờ, với sự hào phóng, anh ấy cho bạn cơ hội đổi cánh cửa số 3 đã chọn lấy thứ nằm sau cánh cửa số 2.

Tại thời điểm này, câu hỏi về xác suất được đặt ra: liệu cơ hội này có làm tăng xác suất chiến thắng của bạn, hay hạ thấp nó xuống, hay nó không thay đổi? Bạn nghĩ sao?

Câu trả lời đúng: khả năng chọn cửa khác tăng khả năng thắng từ 1/3 lên 2/3. Điều này là phi logic. Nếu bạn chưa gặp phải nghịch lý này trước đây, thì rất có thể bạn đang nghĩ: khoan đã, nó thế nào: bằng cách mở một cánh cửa, chúng ta đã thay đổi xác suất một cách kỳ diệu? Như chúng ta đã thấy với ví dụ về bản đồ, đây chính xác là những gì sẽ xảy ra khi chúng ta có thêm thông tin. Rõ ràng khi bạn chọn lần đầu thì xác suất thắng là 1/3. Khi một cửa mở ra, nó không làm thay đổi xác suất chiến thắng của lựa chọn đầu tiên: xác suất vẫn là 1/3. Nhưng xác suất đặt cửa kia đúng lúc này là 2/3.

Hãy xem ví dụ này từ phía bên kia. Bạn chọn một cánh cửa. Xác suất thắng là 1/3. Tôi đề nghị bạn thay đổi hai cánh cửa khác, đó là những gì Monty Hall làm. Tất nhiên, anh ta mở một trong những cánh cửa để chứng tỏ rằng không có giải thưởng nào đằng sau nó, nhưng anh ta luôn có thể làm điều này, vì vậy nó không thực sự thay đổi bất cứ điều gì. Tất nhiên, bạn sẽ muốn chọn một cánh cửa khác.

Nếu bạn không hiểu rõ câu hỏi và cần một lời giải thích thuyết phục hơn, hãy nhấp vào liên kết này để chuyển đến một ứng dụng Flash nhỏ tuyệt vời cho phép bạn khám phá nghịch lý này chi tiết hơn. Bạn có thể bắt đầu với khoảng 10 cửa và sau đó dần dần chuyển sang trò chơi có ba cửa. Ngoài ra còn có một trình mô phỏng nơi bạn có thể chơi với bất kỳ số lượng cửa nào từ 3 đến 50 hoặc chạy vài nghìn mô phỏng và xem bạn sẽ thắng bao nhiêu lần nếu chơi.

Chọn một trong ba cửa - xác suất thắng là 1/3. Bây giờ bạn có hai chiến lược: thay đổi lựa chọn sau khi mở sai cánh cửa hoặc không. Nếu bạn không thay đổi lựa chọn của mình, thì xác suất vẫn là 1/3, vì sự lựa chọn chỉ ở giai đoạn đầu, và bạn phải đoán ngay lập tức. Nếu bạn thay đổi, thì bạn có thể thắng nếu lần đầu tiên bạn chọn sai cửa (sau đó họ mở sai cửa khác, cửa đúng vẫn còn - thay đổi quyết định, bạn chỉ cần lấy). Xác suất chọn sai cửa lúc đầu là 2/3 - vì vậy hóa ra chỉ cần thay đổi quyết định của mình, bạn đã nhân đôi xác suất chiến thắng.

Một nhận xét từ một giáo viên toán cao hơn và một chuyên gia về cân bằng trò chơi Maxim Soldatov - tất nhiên, Schreiber đã không có nó, nhưng nếu không có nó thì khá khó để hiểu được sự biến đổi kỳ diệu này

Xem lại Nghịch lý Monty Hall

Đối với bản thân chương trình, ngay cả khi các đối thủ của Monty Hall không giỏi toán, anh ấy vẫn giỏi nó. Đây là những gì anh ấy đã làm để thay đổi trò chơi một chút. Nếu bạn chọn cửa đứng sau giải thưởng, với xác suất là 1/3, anh ta luôn đề nghị bạn chọn cửa khác. Bạn chọn một chiếc ô tô và sau đó đổi nó lấy một con dê và trông bạn khá ngu ngốc - đó chính xác là những gì bạn cần, bởi vì Hall là một kẻ xấu xa.

Nhưng nếu bạn chọn một cửa không có giải thưởng, anh ta sẽ chỉ cho bạn một cửa khác trong nửa thời gian, hoặc anh ta sẽ chỉ cho bạn con dê mới của bạn và bạn sẽ rời sân khấu. Hãy phân tích trò chơi mới này, nơi Monty Hall có thể quyết định có cho bạn cơ hội chọn cửa khác hay không.

Giả sử anh ta làm theo thuật toán này: nếu bạn chọn cửa có thưởng, anh ta luôn cho bạn cơ hội chọn cửa khác, ngược lại anh ta cũng có khả năng đề nghị bạn chọn cửa khác hoặc cho bạn một con dê. Xác suất chiến thắng của bạn là bao nhiêu?

Trong một trong ba tùy chọn, bạn ngay lập tức chọn cánh cửa phía sau có giải thưởng, và người dẫn chương trình mời bạn chọn một cánh khác.

Trong số hai lựa chọn còn lại trong số ba lựa chọn (ban đầu bạn chọn cửa không có giải thưởng), trong một nửa số trường hợp chủ nhà sẽ đề nghị bạn thay đổi quyết định của mình, nửa còn lại thì không.

Một nửa của 2/3 là 1/3, nghĩa là trong ba trường hợp, bạn sẽ có một con dê, trong ba trường hợp, bạn sẽ chọn sai cửa và chủ nhà sẽ đề nghị bạn chọn một con khác, và trong một trong ba trường hợp bạn sẽ chọn đúng cửa, nhưng anh ta lại đưa ra một cửa khác.

Nếu điều hành viên đề nghị chọn cửa khác, chúng tôi đã biết rằng một trong ba trường hợp khi anh ta đưa cho chúng tôi một con dê và chúng tôi rời đi đã không xảy ra. Đây là thông tin hữu ích: nó có nghĩa là cơ hội chiến thắng của chúng tôi đã thay đổi. Hai trong ba trường hợp mà chúng tôi có quyền lựa chọn: một trường hợp có nghĩa là chúng tôi đoán đúng, và trong trường hợp khác, chúng tôi đoán sai, vì vậy nếu chúng tôi được đưa ra một lựa chọn nào đó, thì xác suất chiến thắng của chúng tôi là 1 / 2, và về mặt toán học, không quan trọng là bạn có giữ nguyên sự lựa chọn của mình hay chọn một cửa khác.

Giống như poker, nó là một trò chơi tâm lý, không phải là một trò chơi toán học. Tại sao Monty đưa ra cho bạn một sự lựa chọn? Anh ta có nghĩ rằng bạn là một người đơn giản không biết rằng chọn một cánh cửa khác là quyết định “đúng đắn” và sẽ cố chấp giữ sự lựa chọn của mình (suy cho cùng, tình hình tâm lý phức tạp hơn khi bạn chọn một chiếc xe và sau đó mất nó. )?

Hay anh ta, quyết định rằng bạn thông minh và chọn một cánh cửa khác, cho bạn cơ hội này, bởi vì anh ta biết rằng ban đầu bạn đã đoán đúng và rơi vào bẫy? Hoặc có thể anh ấy tốt bụng một cách lạ thường và thúc ép bạn làm điều gì đó có lợi cho bạn, bởi vì anh ấy đã không tặng xe từ lâu và nhà sản xuất nói rằng khán giả đã chán, và tốt hơn là nên trao giải thưởng lớn sớm như vậy. xếp hạng có giảm không?

Do đó, Monty đôi khi đưa ra một lựa chọn, trong khi xác suất thắng chung cuộc vẫn bằng 1/3. Hãy nhớ rằng xác suất bạn sẽ thua ngay lập tức là 1/3. Có 1/3 cơ hội là bạn đoán ngay và 50% số lần đó bạn sẽ thắng (1/3 x 1/2 = 1/6).

Xác suất bạn đoán sai lúc đầu, nhưng sau đó có cơ hội chọn cửa khác là 1/3, và một nửa số trường hợp này bạn sẽ thắng (cũng là 1/6). Cộng hai khả năng chiến thắng độc lập và bạn nhận được xác suất là 1/3, vì vậy không thành vấn đề nếu bạn ở lại lựa chọn của mình hay chọn cửa khác - tổng xác suất chiến thắng của bạn trong suốt trò chơi là 1/3.

Xác suất sẽ không lớn hơn trong tình huống khi bạn đoán ra cửa và người dẫn chương trình chỉ cho bạn thấy điều gì ẩn sau nó, mà không đề nghị chọn một cửa khác. Mục đích của đề xuất không phải là thay đổi xác suất, mà là làm cho quá trình ra quyết định trở nên thú vị hơn khi xem truyền hình.

Nhân tiện, đây là một trong những lý do tại sao poker có thể rất thú vị: trong hầu hết các định dạng giữa các vòng, khi đặt cược (ví dụ: flop, turn và river trong Texas Hold'em), các quân bài dần dần được tiết lộ, và nếu ngay từ đầu trò chơi bạn có một cơ hội chiến thắng, thì sau mỗi vòng cược, khi có nhiều quân bài được mở hơn, xác suất này sẽ thay đổi.

Nghịch lý trai gái

Điều này đưa chúng ta đến một nghịch lý nổi tiếng khác có xu hướng đánh đố mọi người, nghịch lý trai-gái. Điều duy nhất tôi viết hôm nay không liên quan trực tiếp đến trò chơi (mặc dù tôi đoán tôi chỉ cần thúc giục bạn tạo ra cơ chế trò chơi thích hợp). Đây là một câu đố nhiều hơn, nhưng là một câu đố thú vị, và để giải được nó, bạn cần phải hiểu xác suất có điều kiện mà chúng ta đã nói ở trên.

Nhiệm vụ: Tôi có một người bạn có hai đứa con, ít nhất một đứa là con gái. Tính xác suất để đứa con thứ hai cũng là gái? Hãy giả sử rằng trong bất kỳ gia đình nào, cơ hội sinh con gái và con trai là 50/50, và điều này đúng với mọi đứa trẻ.

Trên thực tế, một số nam giới có nhiều tinh trùng hơn với nhiễm sắc thể X hoặc nhiễm sắc thể Y trong tinh dịch của họ, do đó, tỷ lệ khác nhau một chút. Nếu biết một đứa là gái thì khả năng sinh con gái thứ hai cao hơn một chút, ngoài ra còn có các bệnh lý khác, chẳng hạn như chứng lưỡng tính. Nhưng để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ không tính đến điều này và cho rằng sự ra đời của một đứa trẻ là một sự kiện độc lập và việc sinh con trai và con gái là như nhau.

Vì chúng ta đang nói về cơ hội 1/2, chúng ta trực giác mong đợi câu trả lời là 1/2 hoặc 1/4, hoặc bội số khác của hai ở mẫu số. Nhưng câu trả lời là 1/3. Tại sao?

Khó khăn trong trường hợp này là thông tin mà chúng tôi có làm giảm số lượng khả năng. Giả sử cha mẹ là fan của Sesame Street và bất kể giới tính của những đứa trẻ đặt tên là A và B. Ở điều kiện bình thường, có bốn khả năng xảy ra như nhau: A và B là hai bé trai, A và B là hai bé gái, A là a boy và B là girl, A là girl và B là boy. Vì chúng ta biết rằng có ít nhất một đứa trẻ là con gái, chúng ta có thể loại trừ khả năng A và B là hai bé trai. Vì vậy, chúng tôi còn lại ba khả năng - vẫn có khả năng như nhau. Nếu tất cả các khả năng đều có khả năng xảy ra như nhau và có ba khả năng xảy ra thì xác suất của mỗi khả năng đó là 1/3. Chỉ có một trong ba phương án này đều là trẻ em gái nên câu trả lời là 1/3.

Và một lần nữa về nghịch lý của một chàng trai và một cô gái

Giải pháp cho vấn đề thậm chí còn trở nên phi logic hơn. Hãy tưởng tượng rằng bạn của tôi có hai đứa con và một trong số chúng là một bé gái sinh vào thứ Ba. Chúng ta hãy giả định rằng trong điều kiện bình thường, một đứa trẻ có khả năng được sinh ra vào mỗi ngày trong số bảy ngày trong tuần như nhau. Tính xác suất để đứa con thứ hai cũng là gái?

Bạn có thể nghĩ rằng câu trả lời vẫn sẽ là 1/3: Thứ Ba có nghĩa là gì? Nhưng trong trường hợp này, trực giác không cho chúng ta biết. Câu trả lời là 13/27, không chỉ là không trực quan mà còn rất lạ. Vấn đề là gì trong trường hợp này?

Trên thực tế, Thứ Ba thay đổi xác suất vì chúng ta không biết em bé nào sinh vào Thứ Ba, hoặc có lẽ cả hai đều sinh vào Thứ Ba. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng cùng một logic: chúng tôi đếm tất cả các kết hợp có thể có khi ít nhất một đứa trẻ là gái sinh vào thứ Ba. Như trong ví dụ trước, giả sử các con được đặt tên là A và B. Các kết hợp trông như thế này:

• A là bé gái sinh vào thứ Ba, B là bé trai (trong tình huống này có 7 khả năng xảy ra, mỗi ngày trong tuần có thể sinh một bé trai).
• B - một cô gái sinh vào thứ ba, A - một cậu bé (cũng có 7 khả năng).
• A là một cô gái sinh vào thứ ba, B là một cô gái sinh vào một ngày khác trong tuần (6 khả năng).
• B - một cô gái sinh vào thứ ba, A - một cô gái không sinh vào thứ ba (cũng là 6 xác suất).
• A và B là 2 bạn nữ sinh vào thứ 3 (1 khả năng là các bạn cần chú ý điều này để không bị tính 2 lần nhé).

Chúng tôi tổng hợp và nhận được 27 sự kết hợp khác nhau có thể có của việc sinh con và ngày có ít nhất một khả năng sinh con gái vào thứ Ba. Trong số này, có 13 khả năng là khi sinh hai bé gái. Nó cũng trông hoàn toàn phi logic - có vẻ như nhiệm vụ này được phát minh ra chỉ để gây đau đầu. Nếu bạn vẫn còn phân vân, trang web của nhà lý thuyết trò chơi Jesper Juhl có một lời giải thích tốt về điều này.

Nếu bạn hiện đang làm việc trên một trò chơi

Nếu có sự ngẫu nhiên trong trò chơi bạn đang thiết kế, đây là cơ hội tuyệt vời để phân tích nó. Chọn bất kỳ yếu tố nào bạn muốn phân tích. Đầu tiên, hãy tự hỏi bản thân rằng bạn mong đợi xác suất của một phần tử nhất định là bao nhiêu trong bối cảnh của trò chơi.

Ví dụ: nếu bạn đang làm một game nhập vai và đang suy nghĩ về khả năng người chơi có thể đánh bại một con quái vật trong trận chiến, hãy tự hỏi bản thân xem phần trăm chiến thắng phù hợp với bạn như thế nào. Thông thường, trong trường hợp chơi game nhập vai trên hệ máy console, người chơi sẽ rất khó chịu khi thua cuộc, vì vậy tốt hơn là họ thua không thường xuyên - 10% thời gian hoặc ít hơn. Nếu bạn là một nhà thiết kế game nhập vai, bạn có thể hiểu rõ hơn tôi, nhưng bạn cần phải có một ý tưởng cơ bản về xác suất nên là bao nhiêu.

Sau đó, hãy tự hỏi bản thân xem xác suất của bạn là phụ thuộc (như với thẻ) hay độc lập (như với xúc xắc). Thảo luận về tất cả các kết quả có thể xảy ra và xác suất của chúng. Đảm bảo rằng tổng của tất cả các xác suất là 100%. Và, tất nhiên, so sánh kết quả của bạn với mong đợi của bạn. Có thể tung xúc xắc hoặc rút thẻ như bạn dự định, hoặc rõ ràng là các giá trị cần được điều chỉnh. Và, tất nhiên, nếu bạn tìm thấy sai sót, bạn có thể sử dụng các phép tính tương tự để xác định mức độ bạn cần thay đổi các giá trị.

Bài tập về nhà

"Bài tập về nhà" của bạn trong tuần này sẽ giúp bạn trau dồi kỹ năng xác suất của mình. Đây là hai trò chơi xúc xắc và một trò chơi bài mà bạn phải phân tích bằng cách sử dụng xác suất, cũng như một công cụ trò chơi kỳ lạ mà tôi đã từng phát triển - bạn sẽ thử nghiệm phương pháp Monte Carlo trên ví dụ của nó.

Game # 1 - Dragon Bones

Đây là một trò chơi xúc xắc mà tôi và các đồng nghiệp đã từng nghĩ ra (nhờ Jeb Havens và Jesse King) - nó cố tình thổi vào tâm trí mọi người những xác suất của nó. Đây là một trò chơi sòng bạc đơn giản được gọi là "Dragon Dice" và nó là một cuộc cạnh tranh xúc xắc cờ bạc giữa người chơi và cơ sở.

Bạn được cung cấp một xúc xắc 1d6 thông thường. Mục tiêu của trò chơi là cuộn một số cao hơn của nhà cái. Tom được đưa ra 1d6 không chuẩn - giống như của bạn, nhưng trên một trong các khuôn mặt của nó thay vì một - hình ảnh một con rồng (do đó, sòng bạc có một con rồng-2-3-4-5-6 chết). Nếu tổ chức có được một con rồng, nó sẽ tự động thắng và bạn sẽ thua. Nếu cả hai nhận được cùng một số, đó là một kết quả hòa và bạn lại tung xúc xắc. Người nào cuộn được số cao nhất sẽ chiến thắng.

Tất nhiên, mọi thứ không hoàn toàn có lợi cho người chơi, bởi sòng bài có lợi thế hơn về hình thức mặt rồng. Nhưng nó thực sự như vậy? Đây là những gì bạn phải tính toán. Nhưng trước hết hãy kiểm tra trực giác của bạn.

Giả sử chiến thắng là 2 ăn 1. Vì vậy, nếu bạn thắng, bạn giữ lại tiền đặt cược của mình và nhận được gấp đôi số tiền. Ví dụ: nếu bạn đặt 1 đô la và giành chiến thắng, bạn giữ lại đồng đô la đó và nhận thêm 2 đô la nữa, với tổng số tiền là 3 đô la. Nếu bạn thua, bạn chỉ mất tiền cược của mình. Bạn sẽ chơi? Bạn có trực giác cảm thấy rằng xác suất lớn hơn 2 đến 1 hay bạn vẫn nghĩ rằng nó nhỏ hơn? Nói cách khác, trung bình trong 3 trận đấu, bạn có mong muốn thắng nhiều hơn một lần, hoặc ít hơn, hoặc một lần?

Khi bạn đã nắm bắt được trực giác của mình, hãy áp dụng phép toán. Chỉ có 36 vị trí có thể cho cả hai viên xúc xắc, vì vậy bạn có thể dễ dàng đếm tất cả. Nếu bạn không chắc chắn về ưu đãi 2 ăn 1 này, hãy cân nhắc điều này: Giả sử bạn đã chơi trò chơi 36 lần (đặt cược 1 đô la mỗi lần). Đối với mỗi trận thắng, bạn nhận được 2 đô la, với mỗi lần thua bạn mất 1 đô la và kết quả hòa không thay đổi bất cứ điều gì. Đếm tất cả các chiến thắng và thua lỗ có thể xảy ra của bạn và quyết định xem bạn sẽ mất một số đô la hay lãi. Sau đó, hãy tự hỏi trực giác của bạn đã trở nên đúng đắn như thế nào. Và rồi nhận ra mình là kẻ xấu xa nào.

Và, vâng, nếu bạn đã nghĩ về câu hỏi này - tôi cố tình làm bạn bối rối bằng cách bóp méo cơ chế thực của trò chơi xúc xắc, nhưng tôi chắc rằng bạn có thể vượt qua trở ngại này chỉ với một ý nghĩ tốt. Cố gắng tự giải quyết vấn đề này.

Game # 2 - Roll of Luck

Đây là một trò chơi xúc xắc có tên Roll of Luck (hay còn gọi là Lồng chim, vì đôi khi xúc xắc không được cuộn mà được đặt trong một lồng dây lớn, gợi nhớ đến lồng Bingo). Trò chơi rất đơn giản, về cơ bản nó tóm gọn ở điều này: Đặt cược, giả sử, $ 1 cho một số từ 1 đến 6. Sau đó, bạn quay 3d6. Đối với mỗi con xúc xắc trúng số của bạn, bạn nhận được 1 đô la (và giữ nguyên tiền cược ban đầu của bạn). Nếu số của bạn không chạm vào bất kỳ viên xúc xắc nào, sòng bạc sẽ nhận được đô la của bạn và bạn không nhận được gì. Vì vậy, nếu bạn đặt cược vào 1 và bạn nhận được 1 trên mặt ba lần, bạn sẽ nhận được 3 đô la.

Theo trực giác, có vẻ như trong trò chơi này, cơ hội là thậm chí. Mỗi viên xúc xắc là một cá nhân có 1 trong 6 cơ hội chiến thắng, vì vậy cơ hội chiến thắng của bạn là 3 đến 6 trên ba lần cuộn. Tuy nhiên, tất nhiên, hãy nhớ rằng bạn đang xếp ba viên xúc xắc riêng biệt và bạn chỉ được phép thêm nếu chúng ta đang nói về các kết hợp chiến thắng riêng biệt của cùng một viên xúc xắc. Một cái gì đó bạn sẽ cần để nhân lên.

Khi bạn đã tính toán tất cả các kết quả có thể xảy ra (có thể dễ dàng thực hiện trong Excel hơn bằng tay, có 216 kết quả trong số đó), trò chơi thoạt nhìn vẫn có vẻ chẵn lẻ. Trên thực tế, sòng bạc vẫn có nhiều khả năng thắng hơn - thêm bao nhiêu? Cụ thể, bạn dự đoán sẽ thua bao nhiêu tiền trung bình mỗi vòng chơi?

Tất cả những gì bạn phải làm là cộng số tiền thắng và thua của tất cả 216 kết quả và sau đó chia cho 216, điều này sẽ khá dễ dàng. Nhưng như bạn có thể thấy, có một số cạm bẫy mà bạn có thể rơi vào, đó là lý do tại sao tôi nói rằng nếu bạn nghĩ rằng có cơ hội chiến thắng trong trò chơi này, thì bạn đã hiểu lầm.

Game # 3 - 5 quân bài

Nếu bạn đã thích các trò chơi trước đó, hãy kiểm tra những gì chúng tôi biết về xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng trò chơi thẻ này làm ví dụ. Hãy tưởng tượng poker với một bộ bài 52 lá. Chúng ta cũng hãy tưởng tượng 5 stud thẻ mà mỗi người chơi chỉ nhận được 5 thẻ. Không thể loại bỏ một quân bài, không thể rút một quân bài mới, không có bộ bài chung - bạn chỉ nhận được 5 quân bài.

Một lần đổ hoàng gia là 10-J-Q-K-A trong một tay, tổng cộng là bốn, vì vậy có bốn cách có thể để nhận được một lần đổ hoàng gia. Tính xác suất để bạn nhận được một trong các kết hợp này.

Tôi có một điều cần cảnh báo với bạn: hãy nhớ rằng bạn có thể rút năm thẻ này theo bất kỳ thứ tự nào. Có nghĩa là, lúc đầu bạn có thể rút một quân Át hoặc một điểm mười, điều đó không quan trọng. Vì vậy, khi thực hiện các phép tính của bạn, hãy nhớ rằng thực tế có hơn bốn cách để có được một lần đổ hoàng gia, giả sử các quân bài được chia theo thứ tự.

Trận # 4 - Xổ số IMF

Nhiệm vụ thứ tư sẽ không dễ giải quyết bằng các phương pháp mà chúng ta đã nói hôm nay, nhưng bạn có thể dễ dàng mô phỏng tình huống bằng cách sử dụng lập trình hoặc Excel. Đó là ví dụ của vấn đề này, bạn có thể tìm ra phương pháp Monte Carlo.

Tôi đã đề cập trước đó về trò chơi Chron X mà tôi đã từng làm, và có một lá bài rất thú vị - xổ số IMF. Đây là cách nó hoạt động: bạn đã sử dụng nó trong một trò chơi. Sau khi vòng chơi kết thúc, các quân bài được phân phối lại và có 10% khả năng quân bài đó sẽ hết hiệu lực và một người chơi ngẫu nhiên sẽ nhận được 5 đơn vị của mỗi loại tài nguyên có trên lá bài đó. Một lá bài được đưa vào chơi mà không có một mã thông báo nào, nhưng mỗi lần nó vẫn tiếp tục chơi ở đầu vòng tiếp theo, nó sẽ nhận được một mã thông báo.

Vì vậy, có 10% cơ hội bạn sẽ đặt nó vào chơi, vòng chơi sẽ kết thúc, lá bài sẽ rời khỏi cuộc chơi và không ai nhận được gì cả. Nếu không (với 90% cơ hội), có 10% cơ hội (thực tế là 9%, vì đó là 10% của 90%) rằng cô ấy sẽ rời trò chơi ở vòng tiếp theo và ai đó sẽ nhận được 5 tài nguyên. Nếu lá bài rời khỏi trò chơi sau một vòng (10% trong số 81% khả dụng, do đó xác suất là 8,1%), ai đó sẽ nhận được 10 đơn vị, vòng khác - 15, 20 khác, v.v. Câu hỏi: giá trị mong đợi của số tài nguyên mà bạn sẽ nhận được từ thẻ này khi nó cuối cùng rời khỏi trò chơi là bao nhiêu?

Thông thường, chúng tôi sẽ cố gắng giải quyết vấn đề này bằng cách tính xác suất của mỗi kết quả và nhân với số của tất cả các kết quả. Có 10% khả năng bạn sẽ nhận được 0 (0,1 * 0 = 0). 9% mà bạn sẽ nhận được 5 đơn vị tài nguyên (9% * 5 = 0,45 tài nguyên). 8,1% những gì bạn nhận được là 10 (8,1% * 10 = 0,81 tài nguyên - nói chung là giá trị mong đợi). Và như thế. Và sau đó chúng tôi sẽ tổng hợp lại tất cả.

Và bây giờ bạn đã thấy rõ vấn đề: luôn có khả năng lá bài sẽ không rời khỏi trò chơi, nó có thể ở lại trò chơi mãi mãi, với số vòng vô hạn, vì vậy không có cách nào để tính toán bất kỳ xác suất nào. Các phương pháp chúng ta đã học ngày nay không cho phép chúng ta tính toán đệ quy vô hạn, vì vậy chúng ta sẽ phải tạo nó một cách nhân tạo.

Nếu bạn đủ giỏi về lập trình, hãy viết một chương trình mô phỏng thẻ này. Bạn nên có một vòng lặp thời gian đưa biến về vị trí ban đầu bằng 0, hiển thị một số ngẫu nhiên và với 10% cơ hội biến đó thoát khỏi vòng lặp. Nếu không, nó sẽ thêm 5 vào biến và vòng lặp lặp lại. Cuối cùng khi nó thoát khỏi vòng lặp, hãy tăng tổng số lần chạy thử lên 1 và tổng số tài nguyên (bao nhiêu tùy thuộc vào vị trí dừng của biến). Sau đó đặt lại biến và bắt đầu lại.

Chạy chương trình vài nghìn lần. Cuối cùng, hãy chia tổng tài nguyên cho tổng số lần chạy - đây sẽ là giá trị mong đợi của bạn về phương pháp Monte Carlo. Chạy chương trình nhiều lần để đảm bảo các con số bạn nhận được gần giống nhau. Nếu mức chênh lệch vẫn còn lớn, hãy tăng số lần lặp lại ở vòng ngoài cho đến khi bạn bắt đầu nhận được các trận đấu. Bạn có thể chắc chắn rằng bất kỳ con số nào bạn kết thúc sẽ gần đúng.

Nếu bạn không quen với lập trình (ngay cả khi bạn có), đây là một bài tập nhỏ để bạn kiểm tra kỹ năng của mình với Excel. Nếu bạn là một nhà thiết kế trò chơi, những kỹ năng này sẽ không bao giờ là thừa.

Bây giờ các hàm if và rand sẽ rất hữu ích cho bạn. Rand không yêu cầu giá trị, nó chỉ tạo ra một số thập phân ngẫu nhiên từ 0 đến 1. Chúng tôi thường kết hợp nó với giá trị sàn và điểm cộng và điểm nhỏ để mô phỏng một cuộn xúc xắc, mà tôi đã đề cập trước đó. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng tôi chỉ để lại 10% khả năng thẻ đó sẽ rời khỏi trò chơi, vì vậy chúng tôi chỉ cần kiểm tra xem rand có nhỏ hơn 0,1 hay không và không phải lo lắng về điều đó nữa.

Nếu có ba giá trị. Theo thứ tự, điều kiện đúng hoặc không, sau đó giá trị được trả về nếu điều kiện đúng và giá trị được trả về nếu điều kiện sai. Vì vậy, hàm sau sẽ trả về 5% thời gian và 0 còn lại là 90% thời gian: = IF (RAND ()<0.1,5,0) .

Có nhiều cách để đặt lệnh này, nhưng tôi sẽ sử dụng công thức này cho ô đại diện cho vòng đầu tiên, giả sử đó là ô A1: = IF (RAND ()<0.1,0,-1) .

Ở đây tôi đang sử dụng một biến phủ định có nghĩa là "thẻ này chưa rời khỏi trò chơi và chưa cung cấp bất kỳ tài nguyên nào". Vì vậy, nếu vòng đầu tiên kết thúc và hết bài, A1 là 0; nếu không thì nó là -1.

Đối với ô tiếp theo đại diện cho vòng thứ hai: = IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1)) . Vì vậy, nếu vòng đầu tiên kết thúc và thẻ ngay lập tức rời khỏi trò chơi, A1 là 0 (số tài nguyên) và ô này sẽ chỉ cần sao chép giá trị đó. Nếu không, A1 là -1 (thẻ chưa rời khỏi trò chơi) và ô này tiếp tục di chuyển ngẫu nhiên: 10% thời gian nó sẽ trả về 5 đơn vị tài nguyên, thời gian còn lại giá trị của nó vẫn là - 1. Nếu chúng tôi áp dụng công thức này cho các ô bổ sung, chúng tôi sẽ nhận được các vòng bổ sung và bất kỳ ô nào bạn kết thúc, bạn sẽ nhận được kết quả cuối cùng (hoặc -1 nếu thẻ vẫn chưa rời khỏi trò chơi sau tất cả các vòng bạn đã chơi).

Lấy hàng ô này, là ô tròn duy nhất có thẻ này, sao chép và dán một vài trăm (hoặc hàng nghìn) hàng. Chúng tôi có thể không thực hiện kiểm tra vô hạn cho Excel (có một số ô giới hạn trong bảng), nhưng ít nhất chúng tôi có thể bao gồm hầu hết các trường hợp. Sau đó, chọn một ô nơi bạn sẽ đặt giá trị trung bình của các kết quả của tất cả các vòng - Excel vui lòng cung cấp hàm trung bình () cho việc này.

Trên Windows, ít nhất bạn có thể nhấn F9 để tính toán lại tất cả các số ngẫu nhiên. Như trước đây, hãy làm điều này một vài lần và xem liệu bạn có nhận được các giá trị tương tự hay không. Nếu chênh lệch quá lớn, hãy nhân đôi số lần chạy và thử lại.

Các vấn đề chưa được giải quyết

Nếu bạn có bằng lý thuyết xác suất và các bài toán trên có vẻ quá dễ đối với bạn - đây là hai bài toán mà tôi đã vò đầu bứt tai trong nhiều năm, nhưng, than ôi, tôi không giỏi toán đến mức giải được chúng.

Vấn đề chưa được giải quyết # 1: Xổ số IMF

Vấn đề đầu tiên chưa được giải quyết là việc giao bài tập về nhà trước đó. Tôi có thể dễ dàng sử dụng phương pháp Monte Carlo (sử dụng C ++ hoặc Excel) và chắc chắn về câu trả lời cho câu hỏi "người chơi sẽ nhận được bao nhiêu tài nguyên", nhưng tôi không biết chính xác làm thế nào để đưa ra câu trả lời chính xác có thể chứng minh được về mặt toán học (đây là một chuỗi vô hạn).

Vấn đề chưa được giải quyết # 2: Trình tự hình dạng

Nhiệm vụ này (nó cũng vượt xa các nhiệm vụ được giải quyết trong blog này) đã được ném cho tôi bởi một game thủ quen thuộc hơn mười năm trước. Trong khi chơi blackjack ở Vegas, anh ấy nhận thấy một tính năng thú vị: rút quân bài từ một chiếc giày 8 bộ, anh ấy nhìn thấy mười quân cờ liên tiếp (quân bài hoặc quân bài mặt là 10, Joker, King hoặc Queen, vì vậy tổng cộng có 16 quân trong một bộ bài tiêu chuẩn gồm 52 lá hoặc 128 trong bộ bài 416).

Xác suất để chiếc giày này chứa ít nhất một dãy gồm mười chiếc trở lên là bao nhiêu? Hãy giả sử rằng chúng đã được xáo trộn một cách trung thực, theo thứ tự ngẫu nhiên. Hoặc, nếu bạn thích, xác suất để không có dãy mười hoặc nhiều hơn ở bất kỳ đâu là bao nhiêu?

Chúng tôi có thể đơn giản hóa nhiệm vụ. Đây là một chuỗi gồm 416 phần. Mỗi phần là 0 hoặc 1. Có 128 cái và 288 số không nằm rải rác ngẫu nhiên trong dãy số. Có bao nhiêu cách để xen kẽ ngẫu nhiên 128 cái với 288 số không, và bao nhiêu lần sẽ có ít nhất một nhóm gồm mười hoặc nhiều hơn những cách này?

Bất cứ khi nào tôi đặt ra vấn đề giải quyết vấn đề này, nó có vẻ dễ dàng và hiển nhiên đối với tôi, nhưng ngay sau khi tôi đi sâu vào chi tiết, nó đột nhiên sụp đổ và dường như đơn giản là không thể.

Vì vậy, hãy dành thời gian để đưa ra câu trả lời: ngồi xuống, suy nghĩ kỹ càng, nghiên cứu các điều kiện, thử kết nối với các con số thực, bởi vì tất cả những người tôi đã nói chuyện về vấn đề này (bao gồm một số nghiên cứu sinh làm việc trong lĩnh vực này) đều phản ứng giống nhau cách: “Hoàn toàn rõ ràng… ồ không, chờ đã, không rõ ràng chút nào.” Đây là trường hợp tôi không có phương pháp tính tất cả các lựa chọn. Tất nhiên, tôi có thể xử lý vấn đề thông qua một thuật toán máy tính, nhưng sẽ thú vị hơn nhiều nếu tìm ra cách toán học để giải nó.