Cách tính xác suất của biến cố. Các nguyên tắc cơ bản của cân bằng trò chơi: tính ngẫu nhiên và khả năng xảy ra các sự kiện khác nhau

Trong nền kinh tế, cũng như trong các lĩnh vực hoạt động khác của con người hoặc trong tự nhiên, chúng ta liên tục phải đối phó với những sự kiện không thể dự đoán chính xác. Do đó, khối lượng bán hàng hóa phụ thuộc vào nhu cầu, có thể thay đổi đáng kể và một số yếu tố khác mà hầu như không thể tính đến. Do đó, khi tổ chức sản xuất và bán hàng, người ta phải dự đoán kết quả của các hoạt động đó trên cơ sở kinh nghiệm trước đây của chính mình, hoặc kinh nghiệm tương tự của người khác, hoặc trực giác, phần lớn dựa trên dữ liệu thực nghiệm.

Để đánh giá bằng cách nào đó sự kiện đang xem xét, cần phải tính đến hoặc tổ chức đặc biệt các điều kiện mà sự kiện này được ghi lại.

Việc thực hiện các điều kiện hoặc hành động nhất định để xác định sự kiện được đề cập được gọi là trải qua hoặc cuộc thí nghiệm.

Sự kiện được gọi là ngẫu nhiên nếu, là kết quả của thử nghiệm, nó có thể xảy ra hoặc không.

Sự kiện được gọi là thật, nếu nó nhất thiết phải xuất hiện do trải nghiệm này, và Không thể nào nếu nó không thể xuất hiện trong trải nghiệm này.

Ví dụ, tuyết rơi ở Moscow vào ngày 30 tháng 11 là một sự kiện ngẫu nhiên. Mặt trời mọc hàng ngày có thể được coi là một sự kiện nhất định. Tuyết rơi tại đường xích đạo có thể được coi là một sự kiện không thể xảy ra.

Một trong những vấn đề chính trong lý thuyết xác suất là vấn đề xác định một thước đo định lượng về khả năng xảy ra một sự kiện.

Đại số các sự kiện

Các sự kiện được gọi là không tương thích nếu chúng không thể được quan sát cùng nhau trong cùng một trải nghiệm. Vì vậy, sự hiện diện của hai và ba chiếc xe trong một cửa hàng để bán cùng một lúc là hai sự kiện không tương thích.

Tổng sự kiện là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của ít nhất một trong những sự kiện này

Ví dụ về tổng hợp các sự kiện là sự hiện diện của ít nhất một trong hai sản phẩm trong cửa hàng.

công việc sự kiện được gọi là sự kiện bao gồm sự xuất hiện đồng thời của tất cả các sự kiện này

Một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của hai hàng hóa cùng một lúc trong cửa hàng là một sản phẩm của các sự kiện: - sự xuất hiện của một sản phẩm, - sự xuất hiện của sản phẩm khác.

Các sự kiện tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh nếu ít nhất một trong số chúng nhất thiết phải xảy ra trong trải nghiệm.

Ví dụ. Cảng có hai bến cho tàu. Ba sự kiện có thể được xem xét: - sự vắng mặt của tàu tại các bến, - sự hiện diện của một tàu tại một trong các bến, - sự hiện diện của hai tàu tại hai bến. Ba sự kiện này tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh.

Đối nghịch hai sự kiện có thể có duy nhất tạo thành một nhóm hoàn chỉnh được gọi.

Nếu một trong các sự kiện đối lập được ký hiệu bằng, thì sự kiện ngược lại thường được ký hiệu là.

Các định nghĩa cổ điển và thống kê về xác suất của một sự kiện

Mỗi kết quả thử nghiệm (thí nghiệm) bằng nhau có thể có được gọi là kết quả cơ bản. Chúng thường được ký hiệu bằng các chữ cái. Ví dụ, một con xúc xắc được ném. Có thể có sáu kết quả cơ bản theo số điểm của các bên.

Từ kết quả cơ bản, bạn có thể tạo ra một sự kiện phức tạp hơn. Vì vậy, sự kiện có một số điểm chẵn được xác định bởi ba kết quả: 2, 4, 6.

Một thước đo định lượng về khả năng xảy ra sự kiện đang được xem xét là xác suất.

Hai định nghĩa về xác suất của một sự kiện được sử dụng rộng rãi nhất: kinh điển và thống kê.

Định nghĩa cổ điển của xác suất có liên quan đến khái niệm về một kết quả thuận lợi.

Exodus được gọi là thuận lợi sự kiện này, nếu sự xuất hiện của nó kéo theo sự xuất hiện của sự kiện này.

Trong ví dụ đã cho, sự kiện đang được xem xét là một số điểm chẵn trên cạnh bị bỏ, có ba kết quả thuận lợi. Trong trường hợp này, tướng
số lượng kết quả có thể xảy ra. Vì vậy, ở đây bạn có thể sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất của một sự kiện.

Định nghĩa cổ điển bằng tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả có thể xảy ra

trong đó là xác suất của sự kiện, là số kết quả thuận lợi cho sự kiện, là tổng số kết quả có thể xảy ra.

Trong ví dụ được xem xét

Định nghĩa thống kê của xác suất gắn liền với khái niệm về tần suất xuất hiện tương đối của một sự kiện trong các thí nghiệm.

Tần suất xuất hiện tương đối của một sự kiện được tính bằng công thức

là số lần xuất hiện của một sự kiện trong một loạt các thí nghiệm (kiểm tra).

Định nghĩa thống kê. Xác suất của một sự kiện là số liên quan đến tần số tương đối được ổn định (được thiết lập) với sự gia tăng không giới hạn về số lượng thử nghiệm.

Trong các bài toán thực tế, tần suất tương đối của một số lượng thử nghiệm đủ lớn được coi là xác suất của một sự kiện.

Từ các định nghĩa này về xác suất của một sự kiện, có thể thấy rằng bất đẳng thức luôn giữ

Để xác định xác suất của một sự kiện dựa trên công thức (1.1), các công thức tổ hợp thường được sử dụng để tìm số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể xảy ra.

• Xác suất - mức độ (thước đo tương đối, đánh giá định lượng) khả năng xảy ra sự kiện nào đó. Khi các lý do cho một số sự kiện có thể xảy ra thực sự lớn hơn các lý do ngược lại, thì sự kiện này được gọi là có thể xảy ra, nếu không thì - không thể xảy ra hoặc không thể xảy ra. Mức độ ưu tiên của cơ sở tích cực hơn cơ sở tiêu cực, và ngược lại, có thể ở các mức độ khác nhau, do đó xác suất (và khả năng xảy ra) lớn hơn hoặc ít hơn. Do đó, xác suất thường được ước lượng ở mức định tính, đặc biệt trong trường hợp đánh giá định lượng ít nhiều chính xác là không thể hoặc cực kỳ khó khăn. Có thể có nhiều "cấp độ" xác suất khác nhau.

  Nghiên cứu xác suất theo quan điểm toán học là một chuyên ngành đặc biệt - lý thuyết xác suất. Trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học, khái niệm xác suất được hình thức hóa như một đặc tính số của một sự kiện - một phép đo xác suất (hoặc giá trị của nó) - một phép đo trên một tập hợp các sự kiện (tập con của một tập các sự kiện cơ bản), nhận các giá trị Từ

  (\ displaystyle 0)

  (\ displaystyle 1)

  Nghĩa

  (\ displaystyle 1)

  Tương ứng với một sự kiện hợp lệ. Một sự kiện bất khả thi có xác suất bằng 0 (điều ngược lại thường không phải lúc nào cũng đúng). Nếu xác suất của một sự kiện xảy ra là

  (\ displaystyle p)

  Khi đó xác suất không xảy ra của nó bằng

  (\ displaystyle 1-p)

  Đặc biệt, xác suất

  (\ displaystyle 1/2)

  Có nghĩa là xác suất xảy ra và không xảy ra của sự kiện bằng nhau.

  Định nghĩa cổ điển của xác suất dựa trên khái niệm về khả năng xảy ra tương đương của các kết quả. Xác suất là tỷ số giữa số kết quả có lợi cho một sự kiện nhất định trên tổng số kết quả có khả năng xảy ra như nhau. Ví dụ, xác suất nhận được "đầu" hoặc "đuôi" trong một lần tung đồng xu ngẫu nhiên là 1/2, nếu giả định rằng chỉ có hai khả năng này xảy ra và chúng có khả năng xảy ra như nhau. "Định nghĩa" xác suất cổ điển này có thể được khái quát cho trường hợp có vô số giá trị có thể có - ví dụ, nếu một sự kiện có thể xảy ra với xác suất bằng nhau tại bất kỳ điểm nào (số điểm là vô hạn) của một số khu vực giới hạn của Không gian (mặt phẳng), thì xác suất nó xảy ra ở một phần nào đó của khu vực được chấp nhận này bằng tỷ số giữa thể tích (diện tích) của phần này với thể tích (diện tích) của tất cả các điểm có thể có. .

  "Định nghĩa" xác suất theo kinh nghiệm có liên quan đến tần suất xuất hiện của một sự kiện, dựa trên thực tế là với một số lượng thử nghiệm đủ lớn, tần suất phải hướng đến mức độ khách quan của khả năng xảy ra sự kiện này. Trong cách trình bày hiện đại của lý thuyết xác suất, xác suất được định nghĩa theo tiên đề, như một trường hợp cụ thể của lý thuyết trừu tượng về độ đo của một tập hợp. Tuy nhiên, mối liên hệ giữa thước đo trừu tượng và xác suất, thể hiện mức độ có thể xảy ra của một sự kiện, chính là tần suất quan sát của nó.

  Mô tả xác suất của các hiện tượng nhất định đã trở nên phổ biến trong khoa học hiện đại, đặc biệt là trong kinh tế lượng, vật lý thống kê của các hệ thống vĩ mô (nhiệt động lực học), trong đó ngay cả trong trường hợp mô tả xác định cổ điển về chuyển động của các hạt, một mô tả xác định của toàn bộ hệ thống của các hạt là không thể thực hiện được và thích hợp trong thực tế. Trong vật lý lượng tử, bản thân các quá trình được mô tả có bản chất xác suất.

Không có nhiều người nghĩ về việc có thể tính toán các sự kiện ít nhiều ngẫu nhiên hay không. Nói một cách dễ hiểu, có thực tế không khi biết bên nào của con súc sắc sẽ rơi tiếp theo. Đó là câu hỏi mà hai nhà khoa học vĩ đại đã đặt ra, người đã đặt nền móng cho một ngành khoa học như lý thuyết xác suất, trong đó xác suất của một sự kiện được nghiên cứu khá sâu rộng.

Nguồn gốc

Nếu bạn cố gắng định nghĩa một khái niệm như lý thuyết xác suất, bạn sẽ nhận được như sau: đây là một trong những nhánh của toán học nghiên cứu tính không đổi của các sự kiện ngẫu nhiên. Tất nhiên, khái niệm này không thực sự bộc lộ toàn bộ bản chất nên cần phải xem xét cụ thể hơn.

Tôi muốn bắt đầu với những người tạo ra lý thuyết. Như đã đề cập ở trên, có hai người trong số họ, và chính họ là một trong những người đầu tiên cố gắng tính toán kết quả của một sự kiện bằng cách sử dụng các công thức và phép tính toán học. Nhìn chung, sự khởi đầu của khoa học này xuất hiện từ thời Trung cổ. Vào thời điểm đó, các nhà tư tưởng và nhà khoa học khác nhau đã cố gắng phân tích cờ bạc, chẳng hạn như roulette, craps, v.v., từ đó thiết lập một mô hình và tỷ lệ phần trăm của một con số cụ thể rơi ra. Nền tảng được đặt vào thế kỷ XVII bởi các nhà khoa học nói trên.

Lúc đầu, công việc của họ không thể được quy cho những thành tựu to lớn trong lĩnh vực này, bởi vì mọi thứ họ làm chỉ đơn giản là những dữ kiện thực nghiệm, và các thí nghiệm được thiết lập một cách trực quan, không sử dụng công thức. Theo thời gian, nó đã đạt được những kết quả tuyệt vời, xuất hiện như là kết quả của việc quan sát việc ném xúc xắc. Chính công cụ này đã giúp đưa ra những công thức đầu tiên dễ hiểu.

Những người cùng chí hướng

Không thể không nhắc đến một người như Christian Huygens, trong quá trình nghiên cứu đề tài mang tên “lý thuyết xác suất” (xác suất của một sự kiện được đề cập chính xác trong môn khoa học này). Người này rất thú vị. Ông, giống như các nhà khoa học đã trình bày ở trên, đã cố gắng suy ra tính đều đặn của các sự kiện ngẫu nhiên dưới dạng công thức toán học. Đáng chú ý là ông đã không làm điều này cùng với Pascal và Fermat, tức là tất cả các tác phẩm của ông không hề giao thoa với những tâm trí này. Huygens mang ra

Một sự thật thú vị là công trình của ông đã ra đời rất lâu trước kết quả công việc của những người khám phá ra, hay đúng hơn là hai mươi năm trước đó. Trong số các khái niệm được chỉ định, nổi tiếng nhất là:

• khái niệm xác suất như một độ lớn của cơ hội;
• kỳ vọng toán học cho các trường hợp rời rạc;
• định lý nhân và cộng các xác suất.

Cũng không thể không nhớ ai cũng có đóng góp đáng kể trong việc nghiên cứu vấn đề. Tiến hành các thử nghiệm của riêng mình, không phụ thuộc vào bất kỳ ai, anh ta đã đưa ra được bằng chứng về quy luật số lớn. Đổi lại, các nhà khoa học Poisson và Laplace, những người làm việc vào đầu thế kỷ 19, đã có thể chứng minh các định lý ban đầu. Chính từ thời điểm này, lý thuyết xác suất bắt đầu được sử dụng để phân tích các sai sót trong quá trình quan sát. Các nhà khoa học Nga, hay đúng hơn là Markov, Chebyshev và Dyapunov, cũng không thể qua mặt được khoa học này. Dựa trên công trình được thực hiện bởi các thiên tài vĩ đại, họ đã ấn định môn học này thành một nhánh của toán học. Những con số này đã hoạt động vào cuối thế kỷ XIX, và nhờ sự đóng góp của chúng, các hiện tượng như:

• luật số lớn;
• lý thuyết về chuỗi Markov;
• định lý giới hạn trọng tâm.

Vì vậy, với lịch sử ra đời của khoa học và với những con người chính là người chịu ảnh hưởng của nó, mọi thứ ít nhiều đã sáng tỏ. Bây giờ là lúc để cụ thể hóa tất cả các sự kiện.

Các khái niệm cơ bản

Trước khi đề cập đến các định luật và định lý, cần nghiên cứu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Sự kiện có vai trò chủ đạo trong đó. Chủ đề này khá đồ sộ, nhưng nếu không có nó thì sẽ không thể hiểu được mọi thứ khác.

Một sự kiện trong lý thuyết xác suất là bất kỳ tập hợp kết quả nào của một thử nghiệm. Không có quá nhiều khái niệm về hiện tượng này. Vì vậy, nhà khoa học Lotman, người làm việc trong lĩnh vực này, nói rằng trong trường hợp này chúng ta đang nói về những gì "đã xảy ra, mặc dù nó có thể không xảy ra."

Sự kiện ngẫu nhiên (lý thuyết xác suất đặc biệt chú ý đến chúng) là khái niệm ám chỉ tuyệt đối bất kỳ hiện tượng nào có khả năng xảy ra. Hoặc, ngược lại, kịch bản này có thể không xảy ra khi nhiều điều kiện được đáp ứng. Cũng cần biết rằng đó là những sự kiện ngẫu nhiên nắm bắt toàn bộ khối lượng của các hiện tượng đã xảy ra. Lý thuyết xác suất chỉ ra rằng tất cả các điều kiện có thể được lặp lại liên tục. Đó là hành vi của họ được gọi là "thử nghiệm" hoặc "thử nghiệm".

Một sự kiện nhất định là một sự kiện sẽ xảy ra 100% trong một bài kiểm tra nhất định. Theo đó, một sự kiện không thể xảy ra là một sự kiện sẽ không xảy ra.

Sự kết hợp của một cặp hành động (có điều kiện là trường hợp A và trường hợp B) là một hiện tượng xảy ra đồng thời. Chúng được ký hiệu là AB.

Tổng các cặp sự kiện A và B là C, nói cách khác, nếu ít nhất một trong số chúng xảy ra (A hoặc B) thì sẽ thu được C. Công thức của hiện tượng được mô tả được viết như sau: C \ u003d A + B.

Các sự kiện rời rạc trong lý thuyết xác suất ngụ ý rằng hai trường hợp là loại trừ lẫn nhau. Chúng không bao giờ có thể xảy ra cùng một lúc. Các sự kiện chung trong lý thuyết xác suất là phản mã của chúng. Điều này ngụ ý rằng nếu A xảy ra, thì nó không ngăn cản B theo bất kỳ cách nào.

Các sự kiện trái ngược nhau (lý thuyết xác suất đề cập rất chi tiết đến chúng) rất dễ hiểu. Tốt nhất là đối phó với chúng để so sánh. Chúng gần giống như các sự kiện không tương thích trong lý thuyết xác suất. Nhưng sự khác biệt của chúng nằm ở chỗ, một trong nhiều hiện tượng trong bất kỳ trường hợp nào cũng phải xảy ra.

Các sự kiện có thể xảy ra như nhau là các hành động đó, khả năng lặp lại của chúng là ngang nhau. Để làm rõ hơn, chúng ta có thể hình dung việc tung một đồng xu: việc mất một bên của nó có khả năng rơi ra bên kia như nhau.

Một sự kiện thuận lợi dễ nhìn thấy hơn với một ví dụ. Giả sử có tập B và tập A. Đầu tiên là cuộn súc sắc với sự xuất hiện của một số lẻ, và thứ hai là sự xuất hiện của số năm trên súc sắc. Sau đó, hóa ra A ủng hộ B.

Các sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất chỉ được dự báo trên hai hoặc nhiều trường hợp và ngụ ý sự độc lập của bất kỳ hành động nào với hành động khác. Ví dụ, A - rơi đuôi khi ném một đồng xu, và B - nhận một jack cắm từ bộ bài. Chúng là những sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất. Tại thời điểm này, nó trở nên rõ ràng hơn.

Các sự kiện phụ thuộc trong lý thuyết xác suất cũng chỉ được chấp nhận đối với tập hợp của chúng. Chúng ngụ ý sự phụ thuộc của cái này vào cái kia, tức là hiện tượng B chỉ có thể xảy ra khi A đã xảy ra hoặc ngược lại, chưa xảy ra khi đây là điều kiện chính của B.

Kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên bao gồm một thành phần là các sự kiện cơ bản. Lý thuyết xác suất giải thích rằng đây là hiện tượng chỉ xảy ra một lần.

Công thức cơ bản

Vì vậy, các khái niệm "sự kiện", "lý thuyết xác suất" đã được xem xét ở trên, định nghĩa các thuật ngữ chính của khoa học này cũng đã được đưa ra. Bây giờ là lúc để làm quen trực tiếp với các công thức quan trọng. Các biểu thức này xác nhận về mặt toán học tất cả các khái niệm chính trong một chủ đề khó như lý thuyết xác suất. Xác suất của một sự kiện cũng đóng một vai trò rất lớn ở đây.

Tốt hơn là nên bắt đầu với những cái chính, và trước khi tiếp tục chúng, cần xem xét nó là gì.

Tổ hợp chủ yếu là một nhánh của toán học, nó liên quan đến việc nghiên cứu một số lượng lớn các số nguyên, cũng như các hoán vị khác nhau của cả bản thân các số và các phần tử của chúng, các dữ liệu khác nhau, v.v., dẫn đến sự xuất hiện của một số tổ hợp. Ngoài lý thuyết xác suất, nhánh này còn quan trọng đối với thống kê, khoa học máy tính và mật mã.

Vì vậy, bây giờ bạn có thể chuyển sang phần trình bày của chính các công thức và định nghĩa của chúng.

Đầu tiên trong số này sẽ là một biểu thức cho số hoán vị, nó trông giống như sau:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Phương trình chỉ áp dụng nếu các phần tử chỉ khác nhau về thứ tự của chúng.

Bây giờ công thức vị trí sẽ được xem xét, nó trông giống như sau:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Biểu thức này không chỉ áp dụng cho thứ tự của phần tử, mà còn cho thành phần của nó.

Phương trình thứ ba từ tổ hợp và cũng là phương trình cuối cùng, được gọi là công thức cho số lượng kết hợp:

C_n ^ m = n! : ((n - m))! : m!

Một tổ hợp được gọi là lựa chọn không được sắp xếp theo thứ tự, và quy tắc này áp dụng cho chúng.

Hóa ra thật dễ dàng để tìm ra các công thức của tổ hợp, bây giờ chúng ta có thể chuyển sang định nghĩa cổ điển về xác suất. Biểu thức này trông như thế này:

Trong công thức này, m là số điều kiện thuận lợi cho sự kiện A, và n là số lượng các kết quả cơ bản và hoàn toàn có thể có như nhau.

Có một số lượng lớn các biểu thức, bài viết sẽ không bao gồm tất cả chúng, nhưng quan trọng nhất trong số chúng sẽ được đề cập đến, chẳng hạn như xác suất của tổng các sự kiện:

P (A + B) = P (A) + P (B) - định lý này chỉ để cộng các sự kiện không tương thích;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - và cái này chỉ để thêm những cái tương thích.

Xác suất tạo ra các sự kiện:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - định lý này dành cho các sự kiện độc lập;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A∣B)) - và cái này dành cho người phụ thuộc.

Công thức sự kiện sẽ kết thúc danh sách. Lý thuyết xác suất cho chúng ta biết về định lý Bayes, có dạng như sau:

P (H_m∣A) = (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m = 1, ..., N

Trong công thức này, H 1, H 2,…, H n là nhóm giả thuyết đầy đủ.

Các ví dụ

Nếu bạn nghiên cứu kỹ bất kỳ nhánh nào của toán học, nó sẽ không hoàn chỉnh nếu không có bài tập và lời giải mẫu. Lý thuyết xác suất cũng vậy: các sự kiện, ví dụ ở đây là một bộ phận cấu thành khẳng định các phép tính khoa học.

Công thức về số hoán vị

Giả sử có ba mươi thẻ trong một bộ bài, bắt đầu bằng mệnh giá một. Câu hỏi tiếp theo. Có bao nhiêu cách xếp bộ bài để các quân bài có mệnh giá một và hai không nằm cạnh nhau?

Nhiệm vụ đã đặt ra, bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải quyết nó. Đầu tiên, bạn cần xác định số lượng hoán vị của ba mươi phần tử, đối với điều này, chúng tôi lấy công thức trên, hóa ra P_30 = 30 !.

Dựa trên quy tắc này, chúng ta sẽ tìm ra có bao nhiêu lựa chọn để gấp bộ bài theo các cách khác nhau, nhưng chúng ta cần trừ chúng đi những cách có quân bài thứ nhất và thứ hai. Để làm điều này, hãy bắt đầu với tùy chọn khi tùy chọn đầu tiên ở trên tùy chọn thứ hai. Nó chỉ ra rằng thẻ đầu tiên có thể có 29 vị trí - từ đầu tiên đến thứ hai mươi chín, và thẻ thứ hai từ thứ hai đến thứ ba mươi, nó chỉ có hai mươi chín vị trí cho một cặp thẻ. Đổi lại, phần còn lại có thể chiếm hai mươi tám vị trí, và theo bất kỳ thứ tự nào. Tức là, đối với một hoán vị của hai mươi tám thẻ, có hai mươi tám lựa chọn P_28 = 28!

Kết quả là, nếu chúng ta xem xét giải pháp khi thẻ thứ nhất ở trên thẻ thứ hai, thì có 29 ⋅ 28 khả năng phụ! = 29!

Sử dụng phương pháp tương tự, bạn cần tính toán số lượng các tùy chọn dư thừa cho trường hợp khi thẻ thứ nhất nằm dưới thẻ thứ hai. Nó cũng chỉ ra 29 ⋅ 28! = 29!

Từ đó, có 2 ⋅ 29! Tùy chọn bổ sung, trong khi có 30 cách cần thiết để xây dựng bộ bài! - 2 ⋅ 29 !. Nó vẫn chỉ để đếm.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Bây giờ bạn cần nhân tất cả các số từ một đến hai mươi chín với nhau, rồi cuối cùng nhân tất cả mọi thứ với 28. Câu trả lời là 2.4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Giải pháp ví dụ. Công thức cho số vị trí

Trong bài toán này, bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách xếp mười lăm tập trên một kệ, nhưng với điều kiện tổng cộng có ba mươi tập.

Trong bài toán này, giải pháp đơn giản hơn một chút so với bài trước. Sử dụng công thức đã biết, cần tính tổng số cách sắp xếp từ ba mươi tập là mười lăm.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Câu trả lời tương ứng sẽ bằng 202,843,204,931,727,360,000.

Bây giờ chúng ta hãy nhận nhiệm vụ khó hơn một chút. Bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp ba mươi quyển sách vào hai giá sách, với điều kiện chỉ được xếp mười lăm quyển sách trên một giá.

Trước khi bắt đầu giải pháp, tôi muốn nói rõ rằng một số vấn đề được giải quyết theo nhiều cách, vì vậy có hai cách trong cách này, nhưng cùng một công thức được sử dụng trong cả hai cách.

Trong bài toán này, bạn có thể lấy câu trả lời từ bài toán trước, bởi vì ở đó chúng tôi đã tính toán xem bạn có thể lấp đầy một kệ với mười lăm cuốn sách theo nhiều cách khác nhau bao nhiêu lần. Hóa ra A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Chúng tôi tính giá thứ hai theo công thức hoán vị, vì có mười lăm cuốn sách được đặt trong đó, trong khi chỉ còn lại mười lăm cuốn. Chúng tôi sử dụng công thức P_15 = 15 !.

Hóa ra tổng cộng sẽ có A_30 ^ 15 ⋅ P_15 cách, nhưng ngoài ra, tích của tất cả các số từ ba mươi đến mười sáu sẽ cần được nhân với tích của các số từ một đến mười lăm, do đó, sẽ nhận được tích của tất cả các số từ một đến ba mươi, nghĩa là, câu trả lời bằng 30!

Nhưng vấn đề này có thể được giải quyết theo một cách khác - dễ dàng hơn. Để làm điều này, bạn có thể tưởng tượng rằng có một giá đựng ba mươi cuốn sách. Tất cả chúng đều được đặt trên mặt phẳng này, nhưng vì điều kiện yêu cầu phải có hai giá, nên chúng tôi cắt đôi một cái dài một cái, mỗi cái có hai cái mười lăm cái. Từ đó nó chỉ ra rằng các tùy chọn vị trí có thể là P_30 = 30 !.

Giải pháp ví dụ. Công thức cho số kết hợp

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một biến thể của bài toán thứ ba từ tổ hợp. Bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách để sắp xếp mười lăm cuốn sách, với điều kiện là bạn phải chọn từ ba mươi cuốn hoàn toàn giống nhau.

Đối với giải pháp, tất nhiên, công thức cho số lượng kết hợp sẽ được áp dụng. Từ điều kiện, rõ ràng là thứ tự của mười lăm cuốn sách giống hệt nhau là không quan trọng. Do đó, ban đầu bạn cần phải tìm ra tổng số kết hợp của ba mươi cuốn sách là mười lăm.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : mười lăm ! = 155 117 520

Đó là tất cả. Sử dụng công thức này, trong thời gian ngắn nhất có thể giải được một bài toán như vậy, đáp số tương ứng là 155 117 520.

Giải pháp ví dụ. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Sử dụng công thức trên, bạn có thể tìm thấy câu trả lời trong một bài toán đơn giản. Nhưng nó sẽ giúp nhìn trực quan và theo dõi quá trình của các hành động.

Bài toán cho rằng có mười quả bóng hoàn toàn giống nhau trong bình. Trong số này, bốn chiếc màu vàng và sáu chiếc màu xanh lam. Một quả bóng được lấy từ cái bình. Bạn cần tìm ra xác suất nhận được màu xanh lam.

Để giải quyết vấn đề, cần chỉ định lấy được quả bóng xanh là sự kiện A. Trải nghiệm này có thể có mười kết quả, lần lượt, kết quả là cơ bản và có thể xảy ra như nhau. Đồng thời, sáu trong số mười là thuận lợi cho sự kiện A. Chúng tôi giải quyết bằng cách sử dụng công thức:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Bằng cách áp dụng công thức này, chúng tôi phát hiện ra rằng xác suất để lấy được một quả bóng màu xanh là 0,6.

Giải pháp ví dụ. Xác suất của tổng các sự kiện

Bây giờ một biến thể sẽ được trình bày, được giải bằng cách sử dụng công thức xác suất của tổng các sự kiện. Vì vậy, trong điều kiện đã cho, có hai hộp, hộp thứ nhất chứa một màu xám và năm quả bóng màu trắng, và hộp thứ hai chứa tám quả bóng màu xám và bốn quả bóng màu trắng. Kết quả là, một trong số chúng đã được lấy từ hộp thứ nhất và hộp thứ hai. Nó là cần thiết để tìm ra khả năng những quả bóng được lấy ra sẽ có màu xám và trắng.

Để giải quyết vấn đề này, cần phải chỉ định các sự kiện.

• Vì vậy, A - lấy một viên bi màu xám từ hộp đầu tiên: P (A) = 1/6.
• A '- họ cũng lấy một quả bóng trắng từ ô đầu tiên: P (A ") \ u003d 5/6.
• B - một quả bóng màu xám được lấy ra từ hộp thứ hai: P (B) = 2/3.
• B '- họ lấy một viên bi màu xám từ hộp thứ hai: P (B ") = 1/3.

Theo điều kiện của đề bài, cần một trong các hiện tượng xảy ra là AB 'hoặc A'B. Sử dụng công thức, ta nhận được: P (AB ") = 1/18, P (A" B) = 10/18.

Bây giờ công thức nhân xác suất đã được sử dụng. Tiếp theo, để tìm ra câu trả lời, bạn cần áp dụng phương trình cho phép cộng của chúng:

P = P (AB "+ A" B) = P (AB ") + P (A" B) = 11/18.

Vì vậy, sử dụng công thức, bạn có thể giải quyết các vấn đề tương tự.

Kết quả

Bài báo đã cung cấp thông tin về chủ đề "Lý thuyết xác suất", trong đó xác suất của biến cố đóng một vai trò cốt yếu. Tất nhiên, không phải tất cả mọi thứ đều được tính đến, nhưng dựa trên văn bản được trình bày, về mặt lý thuyết, người ta có thể làm quen với phần này của toán học. Khoa học được đề cập có thể hữu ích không chỉ trong công việc chuyên môn mà còn trong cuộc sống hàng ngày. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể tính toán bất kỳ khả năng xảy ra bất kỳ sự kiện nào.

Văn bản cũng đề cập đến những ngày tháng quan trọng trong lịch sử hình thành lý thuyết xác suất như một khoa học, và tên của những người có công trình được đầu tư vào nó. Đây là cách mà sự tò mò của con người đã dẫn đến thực tế là con người đã học cách tính toán các sự kiện thậm chí ngẫu nhiên. Trước đây họ chỉ quan tâm đến nó, nhưng ngày nay mọi người đã biết về nó. Và không ai nói trước được điều gì đang chờ đợi chúng ta trong tương lai, những khám phá rực rỡ khác liên quan đến lý thuyết đang được xem xét sẽ được thực hiện. Nhưng có một điều chắc chắn - nghiên cứu không đứng yên!

Trong blog của mình, bản dịch bài giảng tiếp theo của khóa học "Nguyên tắc cân bằng trong trò chơi" của nhà thiết kế trò chơi Jan Schreiber, người đã làm việc cho các dự án như Marvel Trading Card Game và Playboy: the Mansion.

Cho đến hôm nay, hầu hết mọi thứ chúng ta nói đến đều mang tính xác định, và tuần trước chúng ta đã xem xét kỹ hơn về cơ học bắc cầu, phân tích nó càng chi tiết càng tốt mà tôi có thể giải thích. Nhưng cho đến nay, chúng ta vẫn chưa chú ý đến các khía cạnh khác của nhiều trò chơi, đó là những khoảnh khắc không xác định - hay nói cách khác là tính ngẫu nhiên.

Hiểu được bản chất của sự ngẫu nhiên là rất quan trọng đối với các nhà thiết kế trò chơi. Chúng tôi tạo ra các hệ thống ảnh hưởng đến trải nghiệm người dùng trong một trò chơi nhất định, vì vậy chúng tôi cần biết cách hoạt động của các hệ thống này. Nếu có sự ngẫu nhiên trong hệ thống, chúng ta cần hiểu bản chất của sự ngẫu nhiên này và biết cách thay đổi nó để có được kết quả mà chúng ta cần.

Xúc xắc

Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản - xúc xắc lăn. Khi hầu hết mọi người nghĩ đến xúc xắc, họ nghĩ đến một con xúc xắc sáu mặt được gọi là d6. Nhưng hầu hết các game thủ đã từng nhìn thấy nhiều con xúc xắc khác: bốn mặt (d4), tám mặt (d8), mười hai mặt (d12), hai mươi mặt (d20). Nếu bạn là một người đam mê thực sự, bạn có thể có 30- hoặc 100 hạt xúc xắc ở đâu đó.

Nếu bạn không quen thuộc với thuật ngữ này, d là viết tắt của một xúc xắc, và số đứng sau nó là số mặt của nó. Nếu số đứng trước d, thì nó cho biết số lượng xúc xắc khi ném. Ví dụ, trong Monopoly, bạn cuộn 2d6.

Vì vậy, trong trường hợp này, cụm từ "xúc xắc" là một chỉ định thông thường. Có một số lượng lớn các trình tạo số ngẫu nhiên khác trông không giống như các hình dẻo, nhưng thực hiện cùng một chức năng - chúng tạo ra một số ngẫu nhiên từ 1 đến n. Một đồng xu thông thường cũng có thể được biểu diễn như một khối d2 nhị diện.

Tôi thấy hai thiết kế của một con xúc xắc bảy mặt: một trong số chúng trông giống như một con xúc xắc, và thiết kế thứ hai trông giống một cây bút chì gỗ bảy mặt hơn. Một dreidel tứ diện, còn được gọi là titotum, là một chất tương tự của xương tứ diện. Bảng trò chơi với một mũi tên quay trong Chutes & Ladders, trong đó kết quả có thể từ 1 đến 6, tương ứng với một con xúc xắc sáu mặt.

Bộ tạo số ngẫu nhiên trong máy tính có thể tạo ra bất kỳ số nào từ 1 đến 19 nếu nhà thiết kế đưa ra lệnh như vậy, mặc dù máy tính không có xúc xắc 19 mặt (nói chung, tôi sẽ nói thêm về xác suất nhận được các số trên một máy tính vào tuần tới). Tất cả những mục này trông có vẻ khác nhau, nhưng trên thực tế, chúng tương đương nhau: bạn có cơ hội như nhau về từng kết quả có thể xảy ra.

Xúc xắc có một số đặc tính thú vị mà chúng ta cần biết. Đầu tiên, xác suất nhận được bất kỳ mặt nào là như nhau (tôi giả sử bạn đang ném một con xúc xắc hình học thông thường). Nếu bạn muốn biết giá trị trung bình của một cuộn (được gọi là kỳ vọng toán học đối với những người yêu thích lý thuyết xác suất), hãy tính tổng các giá trị trên tất cả các cạnh và chia số này cho số cạnh.

Tổng giá trị của tất cả các mặt của một viên xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn là 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Chia 21 cho số mặt và nhận giá trị trung bình của cuộn: 21 / 6 = 3,5. Đây là một trường hợp đặc biệt vì chúng tôi giả định rằng tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau.

Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn có xúc xắc đặc biệt? Ví dụ: tôi đã thấy một trò chơi với xúc xắc sáu mặt với các hình dán đặc biệt trên các mặt: 1, 1, 1, 2, 2, 3, vì vậy nó hoạt động giống như một viên xúc xắc ba mặt kỳ lạ, nhiều khả năng sẽ tung số 1 ​​nhiều hơn số 2 và có nhiều khả năng cuộn số 2 hơn số 3. Giá trị cuộn trung bình cho con súc sắc này là bao nhiêu? Vì vậy, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, chia cho 6 - bạn nhận được 5/3, hoặc khoảng 1,66. Vì vậy, nếu bạn có một viên xúc xắc đặc biệt và người chơi tung ba viên xúc xắc và sau đó cộng lại kết quả, bạn biết rằng tổng của họ sẽ là khoảng 5 và bạn có thể cân bằng trò chơi dựa trên giả định đó.

Xúc xắc và độc lập

Như tôi đã nói, chúng tôi tiếp tục giả định rằng tỷ lệ bỏ học của mỗi khuôn mặt đều có thể xảy ra như nhau. Bạn tung bao nhiêu viên xúc xắc ở đây không quan trọng. Mỗi cuộn của khuôn là độc lập, có nghĩa là các cuộn trước đó không ảnh hưởng đến kết quả của các cuộn tiếp theo. Với đủ số lần thử, bạn nhất định phải nhận thấy một loạt các con số — ví dụ: chủ yếu là các giá trị cao hơn hoặc thấp hơn — hoặc các tính năng khác, nhưng điều đó không có nghĩa là viên xúc xắc "nóng" hoặc "nguội". Chúng ta sẽ nói về điều này sau.

Nếu bạn tung một con xúc sắc sáu mặt tiêu chuẩn và con số 6 xuất hiện hai lần liên tiếp, thì xác suất kết quả của lần cuộn tiếp theo sẽ là con 6 cũng là 1/6. Xác suất không tăng vì con xúc xắc đã nóng lên ". Đồng thời, xác suất không giảm: không chính xác khi lập luận rằng số 6 đã rơi ra hai lần liên tiếp, có nghĩa là bây giờ phải rơi ra một mặt khác.

Tất nhiên, nếu bạn tung một con súc sắc hai mươi lần và số 6 xuất hiện mỗi lần, thì khả năng số 6 xuất hiện lần thứ 21 là khá cao: bạn có thể nhầm lẫn. Nhưng nếu súc sắc đúng thì xác suất lấy được của mỗi mặt là như nhau, không phụ thuộc vào kết quả của các lần cuộn khác. Bạn cũng có thể tưởng tượng rằng chúng tôi thay đổi con xúc xắc mỗi lần: nếu con số 6 lăn hai lần liên tiếp, hãy loại bỏ con súc sắc “nóng” khỏi trò chơi và thay nó bằng một con mới. Tôi xin lỗi nếu bất kỳ ai trong số các bạn đã biết về điều này, nhưng tôi cần phải làm rõ điều này trước khi tiếp tục.

Cách làm cho xúc xắc lăn nhiều hơn hoặc ít ngẫu nhiên hơn

Hãy nói về cách nhận được các kết quả khác nhau trên các viên xúc xắc khác nhau. Nếu bạn chỉ tung con súc sắc một hoặc vài lần, trò chơi sẽ có cảm giác ngẫu nhiên hơn khi con súc sắc có nhiều cạnh hơn. Bạn càng tung xúc xắc thường xuyên và càng tung xúc xắc nhiều thì kết quả càng tiệm cận với mức trung bình.

Ví dụ: trong trường hợp 1d6 + 4 (nghĩa là nếu bạn lăn một viên xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn một lần và thêm 4 vào kết quả), giá trị trung bình sẽ là một số từ 5 đến 10. Nếu bạn cuộn 5d2, giá trị trung bình cũng sẽ là một số từ 5 đến 10. Kết quả của lần quay 5d2 chủ yếu là các số 7 và 8, ít thường xuyên hơn các giá trị khác. Cùng một chuỗi, thậm chí cùng một giá trị trung bình (7,5 trong cả hai trường hợp), nhưng bản chất của độ ngẫu nhiên là khác nhau.

Đợi tí. Không phải tôi vừa nói rằng xúc xắc không "nóng lên" hay "nguội đi" sao? Và bây giờ tôi nói: nếu bạn tung nhiều xúc xắc, kết quả của các lần cuộn gần với giá trị trung bình. Tại sao?

Hãy để tôi giải thích. Nếu bạn tung một con xúc xắc duy nhất, xác suất của mỗi mặt xuất hiện là như nhau. Điều này có nghĩa là nếu bạn tung nhiều viên xúc xắc theo thời gian, mỗi mặt sẽ xuất hiện cùng một số lần. Bạn tung càng nhiều xúc xắc, thì tổng kết quả sẽ càng gần mức trung bình.

Đây không phải là vì số đã cuộn "gây ra" một số khác cuộn mà chưa được cuộn. Bởi vì một vệt nhỏ khi tung số 6 (hoặc 20, hoặc một số khác) cuối cùng sẽ không tạo ra nhiều khác biệt nếu bạn tung xúc xắc thêm mười nghìn lần nữa và nó chủ yếu là trung bình. Bây giờ bạn sẽ có một vài số lớn, và sau đó là một vài số nhỏ - và theo thời gian, chúng sẽ đạt đến giá trị trung bình.

Điều này không phải vì những lần cuộn trước đó ảnh hưởng đến viên xúc xắc (nghiêm túc mà nói, một viên xúc xắc được làm bằng nhựa, nó không có trí óc để nghĩ, "Ồ, đã lâu rồi kể từ khi có một con số 2"), mà vì nó thường xảy ra. với rất nhiều cuộn. chơi xúc xắc.

Vì vậy, khá dễ dàng để tính toán cho một cuộn ngẫu nhiên của một con súc sắc - ít nhất là tính giá trị trung bình của cuộn. Cũng có nhiều cách để tính "mức độ ngẫu nhiên" của một thứ gì đó và nói rằng kết quả của một cuộn 1d6 + 4 sẽ "ngẫu nhiên hơn" so với 5d2. Đối với 5d2, kết quả cuộn sẽ được phân phối đồng đều hơn. Để làm được điều này, bạn cần tính độ lệch chuẩn: giá trị càng lớn thì kết quả càng ngẫu nhiên. Hôm nay mình xin phép không đưa ra nhiều phép tính, mình sẽ giải thích chủ đề này sau.

Điều duy nhất tôi sẽ yêu cầu bạn nhớ là, theo nguyên tắc chung, bạn tung càng ít xúc xắc thì càng ngẫu nhiên. Và càng có nhiều mặt của súc sắc thì càng có nhiều ngẫu nhiên, vì có nhiều lựa chọn khả dĩ hơn cho giá trị.

Cách tính xác suất bằng cách đếm

Bạn có thể tự hỏi: làm thế nào chúng ta có thể tính toán xác suất chính xác của một kết quả cụ thể sắp xảy ra? Trên thực tế, điều này khá quan trọng đối với nhiều trò chơi: nếu bạn tung con súc sắc ban đầu, có khả năng sẽ có một số kết quả tối ưu. Câu trả lời là: chúng ta cần tính hai giá trị. Thứ nhất, tổng số kết quả khi ném một con xúc xắc, và thứ hai, số lượng kết quả thuận lợi. Bằng cách chia giá trị thứ hai cho giá trị đầu tiên, bạn sẽ có được xác suất mong muốn. Để nhận phần trăm, hãy nhân kết quả với 100.

Các ví dụ

Đây là một ví dụ rất đơn giản. Bạn muốn lăn một con 4 hoặc cao hơn và lăn một con xúc xắc sáu mặt một lần. Số kết quả tối đa là 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Trong số này, 3 kết quả (4, 5, 6) là thuận lợi. Vì vậy, để tính xác suất, chúng ta chia 3 cho 6 và được 0,5 hoặc 50%.

Đây là một ví dụ phức tạp hơn một chút. Bạn muốn cuộn 2d6 đến với một số chẵn. Số kết quả tối đa là 36 (6 lựa chọn cho mỗi lần chết, một lần chết không ảnh hưởng đến kết quả còn lại, vì vậy chúng tôi nhân 6 với 6 và nhận được 36). Khó khăn với dạng câu hỏi này là đếm hai lần rất dễ. Ví dụ: trên cuộn 2d6, có hai kết quả có thể xảy ra là 3: 1 + 2 và 2 + 1. Trông chúng giống nhau, nhưng sự khác biệt là số nào được hiển thị trên viên xúc xắc đầu tiên và số nào trên viên thứ hai.

Bạn cũng có thể tưởng tượng rằng các viên xúc xắc có các màu khác nhau: ví dụ, trong trường hợp này, một viên xúc xắc màu đỏ, viên còn lại màu xanh lam. Sau đó, đếm số lần xuất hiện có thể có của một số chẵn:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Nó chỉ ra rằng có 18 lựa chọn cho một kết quả thuận lợi trong số 36 - như trong trường hợp trước, xác suất là 0,5 hoặc 50%. Có lẽ bất ngờ, nhưng khá chính xác.

Mô phỏng Monte Carlo

Nếu bạn có quá nhiều xúc xắc cho phép tính này thì sao? Ví dụ, bạn muốn biết xác suất mà tổng số 15 hoặc nhiều hơn sẽ xuất hiện trên một cuộn 8d6. Có rất nhiều kết quả khác nhau cho tám viên xúc xắc và việc đếm chúng theo cách thủ công sẽ mất rất nhiều thời gian - ngay cả khi chúng ta có thể tìm ra giải pháp tốt nào đó để nhóm các chuỗi xúc xắc khác nhau.

Trong trường hợp này, cách đơn giản nhất là không đếm thủ công mà sử dụng máy tính. Có hai cách để tính xác suất trên máy tính. Cách đầu tiên có thể nhận được câu trả lời chính xác, nhưng nó liên quan đến một chút lập trình hoặc kịch bản. Máy tính sẽ xem xét từng khả năng, đánh giá và đếm tổng số lần lặp và số lần lặp phù hợp với kết quả mong muốn, sau đó đưa ra câu trả lời. Mã của bạn có thể trông giống như sau:

Nếu bạn không phải là một lập trình viên và bạn không muốn một câu trả lời chính xác, nhưng một câu trả lời gần đúng, bạn có thể mô phỏng tình huống này trong Excel, nơi bạn lăn 8d6 vài nghìn lần và nhận được câu trả lời. Để cuộn 1d6 trong Excel, hãy sử dụng công thức = TẦNG (RAND () * 6) +1.

Có một cái tên cho tình huống mà bạn không biết câu trả lời và chỉ cần thử nhiều lần - mô phỏng Monte Carlo. Đây là một giải pháp tuyệt vời để quay lại khi quá khó để tính toán xác suất. Điều tuyệt vời là trong trường hợp này, chúng ta không cần phải hiểu cách thức hoạt động của phép toán và chúng ta biết rằng câu trả lời sẽ là "khá tốt" bởi vì, như chúng ta đã biết, càng nhiều cuộn, kết quả càng tiến gần đến giá trị trung bình.

Cách kết hợp các thử nghiệm độc lập

Nếu bạn hỏi về nhiều thử nghiệm lặp lại nhưng độc lập, thì kết quả của một cuộn không ảnh hưởng đến kết quả của các cuộn khác. Có một cách giải thích khác đơn giản hơn cho tình huống này.

Làm thế nào để phân biệt giữa một cái gì đó phụ thuộc và độc lập? Về nguyên tắc, nếu bạn có thể cô lập từng cuộn (hoặc loạt cuộn) của một con súc sắc như một sự kiện riêng biệt, thì nó là độc lập. Ví dụ, chúng ta tung 8d6 và muốn tung tổng cộng là 15. Sự kiện này không thể được chia thành nhiều lần tung xúc xắc độc lập. Để có được kết quả, bạn tính toán tổng của tất cả các giá trị, do đó, kết quả được cuộn trên một ô sẽ ảnh hưởng đến kết quả sẽ cuộn trên các ô khác.

Đây là một ví dụ về các lần tung độc lập: bạn đang chơi trò chơi xúc xắc và bạn đang tung xúc xắc sáu mặt một vài lần. Cuộn đầu tiên phải cuộn 2 hoặc cao hơn để bạn ở lại trò chơi. Đối với cuộn thứ hai - 3 hoặc cao hơn. Thứ ba yêu cầu 4 hoặc nhiều hơn, thứ tư yêu cầu 5 hoặc nhiều hơn và thứ năm yêu cầu 6. Nếu tất cả năm lần cuộn thành công, bạn thắng. Trong trường hợp này, tất cả các lần ném là độc lập. Có, nếu một cuộn không thành công, nó sẽ ảnh hưởng đến kết quả của toàn bộ trò chơi, nhưng một cuộn không ảnh hưởng đến cuộn kia. Ví dụ, nếu cuộn xúc xắc thứ hai của bạn rất tốt, điều đó không có nghĩa là các cuộn tiếp theo sẽ tốt như vậy. Do đó, chúng ta có thể xem xét xác suất của mỗi lần tung xúc xắc một cách riêng biệt.

Nếu bạn có các xác suất độc lập và muốn biết xác suất xảy ra tất cả các sự kiện là bao nhiêu, bạn xác định từng xác suất riêng lẻ và nhân chúng. Một cách khác: nếu bạn sử dụng “và” để mô tả một số điều kiện (ví dụ: xác suất của một số sự kiện ngẫu nhiên và một số sự kiện ngẫu nhiên độc lập khác là bao nhiêu?) - hãy tính các xác suất riêng lẻ và nhân chúng.

Bạn nghĩ gì không quan trọng - không bao giờ tính tổng các xác suất độc lập. Đây là một sai lầm phổ biến. Để hiểu tại sao điều này là sai, hãy tưởng tượng một tình huống mà bạn đang tung một đồng xu và bạn muốn biết xác suất nhận được hai lần liên tiếp là bao nhiêu. Xác suất rơi ra của mỗi bên là 50%. Nếu bạn tính tổng hai xác suất này, bạn có 100% cơ hội nhận được đầu, nhưng chúng tôi biết điều đó không đúng, bởi vì hai đuôi liên tiếp có thể xuất hiện. Thay vào đó, nếu bạn nhân hai xác suất, bạn nhận được 50% * 50% = 25% - đó là câu trả lời chính xác để tính xác suất nhận được đầu hai lần liên tiếp.

Ví dụ

Hãy quay lại trò chơi xúc xắc sáu mặt, trong đó trước tiên bạn cần tung một số lớn hơn 2, sau đó hơn 3 - và cứ tiếp tục như vậy lên đến 6. Cơ hội xảy ra trong một chuỗi năm lần tung nhất định, tất cả kết quả sẽ thuận lợi?

Như đã đề cập ở trên, đây là những thử nghiệm độc lập, vì vậy chúng tôi tính xác suất cho từng cuộn riêng lẻ, sau đó nhân chúng. Xác suất để kết quả của lần tung đầu tiên thuận lợi là 5/6. Lần thứ hai - 4/6. Thứ ba - 3/6. Thứ tư - 2/6, thứ năm - 1/6. Chúng tôi nhân tất cả các kết quả với nhau và nhận được khoảng 1,5%. Chiến thắng trong trò chơi này khá hiếm, vì vậy nếu bạn thêm yếu tố này vào trò chơi của mình, bạn sẽ cần một giải độc đắc khá lớn.

Phủ định

Đây là một gợi ý hữu ích khác: đôi khi rất khó để tính toán xác suất một sự kiện xảy ra, nhưng xác định khả năng một sự kiện sẽ không xảy ra sẽ dễ dàng hơn. Ví dụ, giả sử chúng ta có một trò chơi khác: bạn quay 6d6 và bạn thắng nếu bạn quay 6 ít nhất một lần. Xác suất chiến thắng là bao nhiêu?

Trong trường hợp này, có nhiều lựa chọn để xem xét. Có thể một con số 6 sẽ rơi ra, tức là con số 6 rơi vào một con xúc xắc, và các con số từ 1 đến 5 sẽ rơi vào những con khác, khi đó có 6 lựa chọn cho con xúc xắc nào. a 6. Bạn có thể nhận được số 6 trên hai xương xúc xắc, hoặc ba, hoặc thậm chí nhiều hơn, và mỗi lần bạn sẽ cần thực hiện một phép tính riêng biệt, vì vậy rất dễ nhầm lẫn ở đây.

Nhưng hãy nhìn nhận vấn đề từ khía cạnh khác. Bạn sẽ thua nếu không có con xúc xắc nào quay được 6. Trong trường hợp này, chúng ta có 6 lần thử độc lập. Xác suất để mỗi con xúc xắc lăn được một số khác với 6 là 5/6. Nhân chúng lên - và nhận được khoảng 33%. Như vậy, xác suất thua là 1/3. Do đó, xác suất chiến thắng là 67% (hoặc hai đến ba).

Từ ví dụ này, rõ ràng là nếu bạn đang tính xác suất mà một sự kiện sẽ không xảy ra, bạn cần phải trừ kết quả đi 100%. Nếu xác suất thắng là 67%, thì xác suất thua là 100% trừ đi 67% hoặc 33% và ngược lại. Nếu khó tính một xác suất, nhưng dễ tính ngược lại, hãy tính ngược lại, rồi trừ số này đi 100%.

Kết nối các điều kiện cho một bài kiểm tra độc lập

Tôi đã nói trước đó một chút rằng bạn không bao giờ nên tính tổng xác suất trong các thử nghiệm độc lập. Có trường hợp nào có thể tính tổng các xác suất không? Có, trong một tình huống cụ thể.

Nếu bạn muốn tính xác suất của nhiều kết quả thuận lợi không liên quan đến cùng một thử nghiệm, hãy tính tổng xác suất của từng kết quả thuận lợi. Ví dụ: xác suất lăn được 4, 5 hoặc 6 trên 1d6 bằng tổng xác suất lăn 4, xác suất lăn 5 và xác suất lăn 6. Tình huống này có thể được biểu diễn dưới dạng sau: xác suất của một hay một kết quả khác của một sự kiện ngẫu nhiên?) - tính các xác suất riêng lẻ và tổng hợp chúng lại.

Xin lưu ý: khi bạn tính toán tất cả các kết quả có thể có của trò chơi, tổng xác suất xuất hiện của chúng phải bằng 100%, nếu không, tính toán của bạn đã sai. Đây là một cách tốt để kiểm tra lại các tính toán của bạn. Ví dụ, bạn đã phân tích xác suất nhận được tất cả các kết hợp trong poker. Nếu bạn cộng tất cả các kết quả nhận được, bạn sẽ nhận được chính xác 100% (hoặc ít nhất là một giá trị khá gần 100%: nếu bạn đang sử dụng máy tính, có thể có một lỗi làm tròn nhỏ, nhưng nếu bạn đang cộng các con số chính xác bằng tay, mọi thứ sẽ cộng lại.). Nếu tổng không cộng lại, thì rất có thể bạn đã không tính đến một số kết hợp hoặc tính sai xác suất của một số kết hợp và các phép tính cần được kiểm tra lại.

Xác suất không bằng nhau

Cho đến nay, chúng ta vẫn giả định rằng mỗi mặt của con súc sắc rơi ra với tần suất như nhau, bởi vì đây là cách thức hoạt động của con súc sắc. Nhưng đôi khi bạn có thể gặp phải tình huống có thể xảy ra các kết quả khác nhau và khả năng xảy ra khác nhau.

Ví dụ, trong một trong những bổ sung của trò chơi bài Chiến tranh hạt nhân, có một sân chơi với một mũi tên, xác định kết quả của một vụ phóng tên lửa. Thông thường, nó gây sát thương bình thường, ít hoặc nhiều, nhưng đôi khi sát thương tăng gấp đôi hoặc gấp ba, hoặc tên lửa phát nổ trên bệ phóng và gây hại cho bạn, hoặc một số trường hợp khác xảy ra. Không giống như bảng mũi tên trong Chutes & Ladders hoặc A Game of Life, kết quả của bảng trong Chiến tranh hạt nhân không có khả năng xảy ra như nhau. Một số phần của sân chơi lớn hơn và mũi tên dừng trên chúng thường xuyên hơn, trong khi các phần khác rất nhỏ và hiếm khi mũi tên dừng trên chúng.

Vì vậy, thoạt nhìn, cái xương trông giống như thế này: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - chúng ta đã nói về nó, nó giống như 1d3 có trọng số. Do đó, chúng ta cần chia tất cả các phần này thành các phần bằng nhau, tìm đơn vị đo nhỏ nhất, số chia, mà mọi thứ đều là bội số, và sau đó biểu diễn tình huống dưới dạng d522 (hoặc một số khác), trong đó tập các mặt xúc xắc sẽ đại diện cho cùng một tình huống, nhưng với nhiều kết quả hơn. Đây là một cách để giải quyết vấn đề và nó khả thi về mặt kỹ thuật, nhưng có một lựa chọn dễ dàng hơn.

Hãy quay lại với xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn của chúng ta. Chúng tôi đã nói rằng để tính giá trị trung bình của một lần tung cho một viên xúc xắc thông thường, bạn cần phải tính tổng các giá trị \ u200b \ u200bof của tất cả các mặt và chia chúng cho số mặt, nhưng phép tính được thực hiện chính xác như thế nào? Bạn có thể diễn đạt nó theo cách khác. Đối với một con xúc xắc sáu mặt, xác suất mỗi mặt xuất hiện chính xác là 1/6. Bây giờ chúng ta nhân kết quả của mỗi khía cạnh với xác suất của kết quả đó (trong trường hợp này là 1/6 cho mỗi khía cạnh) và sau đó tính tổng các giá trị kết quả. Vậy tính tổng (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), chúng ta nhận được kết quả tương tự (3.5) như trong phép tính trên. Trên thực tế, chúng tôi tính toán điều này mọi lúc: chúng tôi nhân mỗi kết quả với xác suất của kết quả đó.

Chúng ta có thể thực hiện phép tính tương tự cho mũi tên trên bảng trò chơi trong Chiến tranh hạt nhân không? Tất nhiên là chúng ta có thể. Và nếu chúng tôi tổng hợp tất cả các kết quả tìm được, chúng tôi nhận được giá trị trung bình. Tất cả những gì chúng ta cần làm là tính xác suất của mỗi kết quả cho mũi tên trên sân chơi và nhân với giá trị của kết quả.

Một vi dụ khac

Phương pháp tính giá trị trung bình đã đề cập cũng thích hợp nếu các kết quả có khả năng xảy ra như nhau nhưng có những ưu điểm khác nhau - ví dụ: nếu bạn tung một con xúc xắc và giành chiến thắng ở một số mặt hơn những mặt khác. Ví dụ, hãy xem một trò chơi xảy ra trong sòng bạc: bạn đặt cược và quay 2d6. Nếu ba số có giá trị thấp (2, 3, 4) hoặc bốn số có giá trị cao (9, 10, 11, 12) xuất hiện, bạn sẽ thắng một số tiền bằng số tiền đặt cược của bạn. Các con số có giá trị thấp nhất và cao nhất là đặc biệt: nếu 2 hoặc 12 xuất hiện, bạn sẽ thắng gấp đôi số tiền đặt cược của mình. Nếu bất kỳ số nào khác xuất hiện (5, 6, 7, 8), bạn sẽ thua cược. Đây là một trò chơi khá đơn giản. Nhưng xác suất chiến thắng là bao nhiêu?

Hãy bắt đầu bằng cách đếm số lần bạn có thể giành chiến thắng. Số kết quả tối đa trên một cuộn 2d6 là 36. Số lượng kết quả thuận lợi là bao nhiêu?

• Có 1 tùy chọn sẽ cuộn 2 và 1 tùy chọn sẽ cuộn 12.
• Có 2 lựa chọn cho số 3 và 2 lựa chọn cho số 11.
• Có 3 tùy chọn cho điểm 4 và 3 tùy chọn cho điểm 10.
• Có 4 tùy chọn sẽ cuộn 9.

Tổng hợp tất cả các lựa chọn, chúng tôi nhận được 16 kết quả thuận lợi trong số 36. Như vậy, trong điều kiện bình thường, bạn sẽ thắng 16 lần trong số 36 lần có thể - xác suất chiến thắng hơi nhỏ hơn 50%.

Nhưng hai lần trong số mười sáu lần đó, bạn sẽ thắng gấp đôi - giống như chiến thắng hai lần. Nếu bạn chơi trò chơi này 36 lần, đặt cược 1 đô la mỗi lần và mỗi kết quả có thể xuất hiện một lần, bạn sẽ thắng tổng cộng 18 đô la (bạn thực sự thắng 16 lần, nhưng hai trong số đó được tính là hai lần thắng). Nếu bạn chơi 36 lần và giành được 18 đô la, điều đó không có nghĩa là xác suất là chẵn sao?

Không phải vội. Nếu bạn đếm số lần bạn có thể thua, bạn nhận được 20, không phải 18. Nếu bạn chơi 36 lần, đặt cược 1 đô la mỗi lần, bạn sẽ thắng tổng cộng 18 đô la khi tất cả tỷ lệ cược quay. Nhưng bạn sẽ mất tổng cộng $ 20 cho tất cả 20 kết quả xấu. Kết quả là, bạn sẽ bị tụt lại một chút: bạn mất trung bình $ 2 net cho mỗi 36 trận đấu (bạn cũng có thể nói rằng bạn mất trung bình $ 1/18 một ngày). Bây giờ bạn thấy việc mắc sai lầm trong trường hợp này và tính xác suất không chính xác là rất dễ dàng như thế nào.

Hoán vị

Cho đến nay, chúng tôi đã giả định rằng thứ tự ném các con số không quan trọng khi tung xúc xắc. Cuộn 2 + 4 giống như cuộn 4 + 2. Trong hầu hết các trường hợp, chúng tôi đếm thủ công số kết quả thuận lợi, nhưng đôi khi phương pháp này không thực tế và tốt hơn là sử dụng công thức toán học.

Một ví dụ về tình huống này là từ trò chơi xúc xắc Farkle. Đối với mỗi vòng mới, bạn cuộn 6d6. Nếu bạn may mắn và tất cả các kết quả có thể xảy ra của 1-2-3-4-5-6 (Thẳng), bạn sẽ nhận được một khoản tiền thưởng lớn. Xác suất điều này sẽ xảy ra là bao nhiêu? Trong trường hợp này, có nhiều lựa chọn cho sự mất mát của sự kết hợp này.

Bài giải như sau: trên một con xúc xắc (và chỉ trên một con) con số 1. Có bao nhiêu phương án để con số 1 rơi ra một con xúc xắc? Có 6 lựa chọn, vì có 6 con xúc xắc và con số 1 có thể rơi vào bất kỳ con nào trong số chúng. Theo đó, lấy một con xúc xắc và đặt nó sang một bên. Bây giờ số 2 sẽ rơi vào một trong những viên xúc xắc còn lại. Có 5 lựa chọn cho việc này. Lấy một con xúc xắc khác và đặt nó sang một bên. Sau đó 4 trong số các viên xúc xắc còn lại có thể hạ cánh trên một viên 3, 3 viên xúc xắc còn lại có thể hạ cánh trên một viên 4 và 2 trong số các viên xúc xắc còn lại có thể hạ cánh trên một viên 5. Kết quả là bạn chỉ còn lại một viên xúc xắc, trên đó có số 6 sẽ rơi (trong trường hợp sau, một viên xúc xắc chỉ có một xương, và không có sự lựa chọn nào khác).

Để đếm số lượng kết quả thuận lợi cho một kết hợp thẳng hàng, chúng tôi nhân tất cả các phương án độc lập khác nhau: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - dường như có một số lượng khá lớn các phương án cho sự kết hợp này để đưa ra.

Để tính xác suất nhận được một kết hợp thẳng, chúng ta cần chia 720 cho số tất cả các kết quả có thể xảy ra khi quay 6d6. Số lượng tất cả các kết quả có thể xảy ra là bao nhiêu? Mỗi con xúc xắc có thể lăn 6 mặt, vì vậy chúng ta nhân 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (một số lớn hơn nhiều so với cái trước đó). Chúng tôi chia 720 cho 46656 và chúng tôi nhận được xác suất bằng khoảng 1,5%. Nếu bạn đang thiết kế trò chơi này, sẽ rất hữu ích cho bạn khi biết điều này để bạn có thể tạo ra một hệ thống tính điểm thích hợp. Giờ thì chúng ta đã hiểu tại sao trong Farkle, bạn lại nhận được phần thưởng lớn như vậy nếu bạn đánh một tổ hợp thẳng: trường hợp này khá hiếm.

Kết quả cũng thú vị vì một lý do khác. Ví dụ cho thấy hiếm khi kết quả tương ứng với xác suất rơi ra trong một khoảng thời gian ngắn. Tất nhiên, nếu chúng ta tung vài nghìn viên xúc xắc, các mặt khác nhau của xúc xắc sẽ xuất hiện khá thường xuyên. Nhưng khi chúng ta chỉ tung sáu viên xúc xắc, hầu như không bao giờ có chuyện mỗi một viên xúc xắc xuất hiện. Rõ ràng là thật ngu xuẩn khi mong đợi rằng bây giờ sẽ rơi ra một mặt chưa được như ý, bởi vì “lâu rồi chúng ta vẫn chưa bỏ con số 6”. Hãy nhìn xem, trình tạo số ngẫu nhiên của bạn bị hỏng.

Điều này dẫn chúng ta đến một quan niệm sai lầm phổ biến rằng tất cả các kết quả đều xảy ra với tỷ lệ như nhau trong một khoảng thời gian ngắn. Nếu chúng ta tung xúc xắc nhiều lần, tần suất xuất hiện của mỗi mặt sẽ không giống nhau.

Nếu bạn đã từng làm việc trên một trò chơi trực tuyến với một số loại trình tạo số ngẫu nhiên trước đây, thì rất có thể bạn đã gặp phải tình huống trong đó người chơi viết thư cho bộ phận hỗ trợ kỹ thuật với khiếu nại rằng trình tạo số ngẫu nhiên không hiển thị số ngẫu nhiên. Anh ta đi đến kết luận này bởi vì anh ta đã giết 4 con quái vật liên tiếp và nhận được 4 phần thưởng giống hệt nhau, và những phần thưởng này chỉ nên giảm 10% thời gian, vì vậy điều này rõ ràng là gần như không bao giờ xảy ra.

Bạn đang làm toán. Xác suất là 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, tức là 1 kết quả trên 10 nghìn là một trường hợp khá hiếm. Đó là những gì người chơi đang cố gắng nói với bạn. Có một vấn đề trong trường hợp này?

Mọi thứ phụ thuộc vào hoàn cảnh. Có bao nhiêu người chơi trên máy chủ của bạn bây giờ? Giả sử bạn có một trò chơi khá phổ biến và mỗi ngày có 100.000 người chơi nó. Có bao nhiêu người chơi sẽ giết bốn con quái vật liên tiếp? Có thể là mọi thứ, vài lần một ngày, nhưng hãy giả sử rằng một nửa trong số họ chỉ đang giao dịch các vật phẩm khác nhau tại các cuộc đấu giá, trò chuyện trên máy chủ RP hoặc thực hiện các hoạt động trò chơi khác - vì vậy chỉ một nửa trong số họ là săn quái vật. Xác suất để một người nào đó sẽ nhận được phần thưởng tương tự là gì? Trong tình huống này, bạn có thể mong đợi điều này xảy ra ít nhất một vài lần một ngày.

Thật ngẫu nhiên, đây là lý do tại sao cứ vài tuần lại có người trúng số, ngay cả khi người đó chưa bao giờ là bạn hoặc người bạn biết. Nếu đủ người chơi thường xuyên, rất có thể ở đâu đó sẽ có ít nhất một người may mắn. Nhưng nếu bạn tự chơi xổ số, thì bạn chưa chắc đã trúng thưởng, bạn có nhiều khả năng được mời làm việc tại Infinity Ward.

Bản đồ và chứng nghiện

Chúng tôi đã thảo luận về các sự kiện độc lập, chẳng hạn như ném một con súc sắc, và bây giờ chúng tôi biết nhiều công cụ mạnh mẽ để phân tích tính ngẫu nhiên trong nhiều trò chơi. Việc tính toán xác suất phức tạp hơn một chút khi rút các quân bài từ bộ bài, bởi vì mỗi quân bài chúng ta lấy ra sẽ ảnh hưởng đến những lá bài còn lại trong bộ bài.

Nếu bạn có một bộ bài tiêu chuẩn gồm 52 lá, bạn rút 10 trái tim từ nó và bạn muốn biết xác suất để quân bài tiếp theo sẽ giống hệt bộ đó - xác suất đã thay đổi so với ban đầu vì bạn đã lấy một quân bài trái tim ra khỏi boong tàu. Mỗi thẻ bạn loại bỏ sẽ thay đổi xác suất của thẻ tiếp theo xuất hiện trong bộ bài. Trong trường hợp này, sự kiện trước ảnh hưởng đến sự kiện tiếp theo, vì vậy chúng ta gọi điều này là phụ thuộc xác suất.

Lưu ý rằng khi tôi nói "thẻ", tôi muốn nói đến bất kỳ công cụ trò chơi nào có một tập hợp các đối tượng và bạn loại bỏ một trong các đối tượng mà không thay thế nó. “Bộ bài” trong trường hợp này tương tự như một túi chip mà từ đó bạn lấy ra một con chip hoặc một cái bình mà từ đó các quả bóng màu được lấy ra (tôi chưa bao giờ thấy trò chơi nào với một cái bình mà từ đó các quả bóng màu sẽ được lấy ra ra, nhưng các giáo viên dạy lý thuyết xác suất vì lý do gì, ví dụ này được ưu tiên hơn).

Thuộc tính phụ thuộc

Tôi muốn nói rõ rằng khi nói đến các quân bài, tôi cho rằng bạn rút các quân bài, nhìn vào chúng và loại bỏ chúng khỏi bộ bài. Mỗi hành động này là một thuộc tính quan trọng. Nếu tôi có một bộ bài, chẳng hạn, sáu lá được đánh số từ 1 đến 6, tôi sẽ xáo trộn chúng và rút một lá, sau đó xáo lại tất cả sáu lá - điều này tương tự như khi tung một con xúc xắc sáu mặt, bởi vì một kết quả không ảnh hưởng ở đây cho những người tiếp theo. Và nếu tôi rút thẻ và không thay thế chúng, thì bằng cách rút 1 thẻ, tôi tăng xác suất lần tiếp theo tôi rút thẻ có số 6. Xác suất sẽ tăng cho đến khi tôi rút được thẻ này hoặc xáo trộn bộ bài.

Thực tế là chúng tôi đang xem xét các thẻ cũng rất quan trọng. Nếu tôi lấy một lá bài ra khỏi bộ bài và không nhìn vào nó, tôi sẽ không có thêm thông tin và thực tế là xác suất sẽ không thay đổi. Điều này nghe có vẻ phi logic. Làm thế nào chỉ cần lật một lá bài có thể thay đổi tỷ lệ cược một cách kỳ diệu? Nhưng điều đó có thể xảy ra vì bạn chỉ có thể tính toán xác suất cho các mục chưa biết dựa trên những gì bạn biết.

Ví dụ: nếu bạn xáo trộn một bộ bài tiêu chuẩn, để lộ 51 lá bài và không có lá nào trong số đó là nữ hoàng của các câu lạc bộ, thì bạn có thể chắc chắn 100% rằng quân bài còn lại là nữ hoàng của các câu lạc bộ. Nếu bạn xáo một bộ bài tiêu chuẩn và rút ra 51 quân bài mà không cần nhìn vào chúng, thì xác suất để quân bài còn lại là quân hậu của các câu lạc bộ vẫn là 1/52. Khi bạn mở mỗi thẻ, bạn sẽ có thêm thông tin.

Tính xác suất cho các sự kiện phụ thuộc tuân theo các nguyên tắc tương tự như cho các sự kiện độc lập, ngoại trừ việc phức tạp hơn một chút, vì xác suất thay đổi khi bạn tiết lộ các thẻ. Vì vậy, bạn cần nhân nhiều giá trị khác nhau, thay vì nhân cùng một giá trị. Trên thực tế, điều này có nghĩa là chúng ta cần kết hợp tất cả các phép tính mà chúng ta đã thực hiện thành một tổ hợp.

Ví dụ

Bạn xáo trộn một bộ bài tiêu chuẩn gồm 52 lá và rút hai lá. Xác suất mà bạn sẽ lấy ra một cặp là bao nhiêu? Có một số cách để tính xác suất này, nhưng có lẽ đơn giản nhất là như sau: xác suất mà sau khi rút một thẻ, bạn sẽ không thể rút được một cặp là bao nhiêu? Xác suất này là 0, vì vậy bạn rút lá bài đầu tiên nào không quan trọng, miễn là nó trùng với lá bài thứ hai. Không quan trọng lá bài nào chúng ta rút trước, chúng ta vẫn có cơ hội rút ra một cặp. Do đó, xác suất ra một cặp sau khi rút thẻ đầu tiên là 100%.

Xác suất để thẻ thứ hai trùng với thẻ thứ nhất là bao nhiêu? Còn lại 51 lá trong bộ bài và 3 trong số đó khớp với lá đầu tiên (thực tế sẽ là 4 trên 52, nhưng bạn đã bỏ một trong những quân phù hợp khi rút lá đầu tiên), vì vậy xác suất là 1 / 17. Vì vậy, lần tới khi người đàn ông đối diện với bạn trong bàn chơi Texas Hold'em, anh ta sẽ nói, "Tuyệt, một cặp khác? Hôm nay tôi thật may mắn ”, bạn sẽ biết rằng với khả năng cao là anh ta đang lừa đảo.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thêm hai quân joker, vì vậy chúng ta có 54 quân bài trong bộ bài, và chúng ta muốn biết xác suất để rút ra một cặp là bao nhiêu? Lá đầu tiên có thể là một lá joker, và sau đó sẽ chỉ có một lá trong bộ bài trùng khớp, không phải ba. Làm thế nào để tìm xác suất trong trường hợp này? Chúng tôi chia các xác suất và nhân từng khả năng.

Lá bài đầu tiên của chúng ta có thể là một lá joker hoặc một số quân bài khác. Xác suất rút được một con joker là 2/54, xác suất để rút ra một số con bài khác là 52/54. Nếu quân bài thứ nhất là một con joker (2/54), thì xác suất để quân bài thứ hai trùng với quân bài thứ nhất là 1/53. Chúng tôi nhân các giá trị (chúng tôi có thể nhân chúng vì chúng là các sự kiện riêng biệt và chúng tôi muốn cả hai sự kiện xảy ra) và chúng tôi nhận được 1/1431 - ít hơn một phần mười phần trăm.

Nếu bạn rút một số thẻ khác trước (52/54), xác suất để trùng với thẻ thứ hai là 3/53. Chúng tôi nhân các giá trị và nhận được 78/1431 (hơn 5,5% một chút). Chúng ta làm gì với hai kết quả này? Chúng không cắt nhau và chúng tôi muốn biết xác suất của từng chúng, vì vậy chúng tôi tổng hợp các giá trị. Chúng tôi nhận được kết quả cuối cùng là 79/1431 (vẫn còn khoảng 5,5%).

Nếu chúng ta muốn chắc chắn về độ chính xác của câu trả lời, chúng ta có thể tính toán xác suất của tất cả các kết quả có thể xảy ra khác: rút quân pha và không khớp với lá thứ hai, hoặc rút một số lá khác và không khớp với lá thứ hai. Tổng hợp các xác suất này và xác suất chiến thắng, chúng ta sẽ nhận được chính xác 100%. Tôi sẽ không đưa ra phép toán ở đây, nhưng bạn có thể thử toán để kiểm tra lại.

Nghịch lý hội trường Monty

Điều này đưa chúng ta đến một nghịch lý khá nổi tiếng thường khiến nhiều người bối rối, đó là nghịch lý Monty Hall. Đối với những ai chưa từng xem chương trình truyền hình này, tôi sẽ nói rằng nó ngược lại với Giá Đúng Như Ý.

Trong The Price Is Right, người dẫn chương trình (trước đây do Bob Barker dẫn chương trình, nay là Drew Carey? Nevermind) là bạn của bạn. Anh ấy muốn bạn giành được tiền hoặc những giải thưởng hấp dẫn. Nó cố gắng tạo cho bạn mọi cơ hội để giành chiến thắng, miễn là bạn có thể đoán được giá trị thực sự của các vật phẩm được tài trợ là bao nhiêu.

Monty Hall hành xử khác. Anh ta giống như anh em sinh đôi độc ác của Bob Barker. Mục đích của anh ấy là khiến bạn trông giống như một tên ngốc trên sóng truyền hình quốc gia. Nếu bạn có mặt trong chương trình, anh ấy là đối thủ của bạn, bạn đấu với anh ấy và tỷ lệ cược nghiêng về anh ấy. Có lẽ tôi đang quá khắt khe, nhưng nhìn vào một chương trình, bạn có nhiều khả năng tham gia hơn nếu bạn mặc một bộ trang phục lố bịch, đó chính xác là điều tôi đang đến.

Một trong những meme nổi tiếng nhất của chương trình là thế này: có ba cánh cửa trước mặt bạn, cửa số 1, cửa số 2 và cửa số 3. Bạn có thể chọn một cửa miễn phí. Đằng sau một trong số chúng là một giải thưởng lớn - ví dụ như một chiếc ô tô mới. Không có giải thưởng nào phía sau hai cánh cửa kia, cả hai đều không có giá trị gì. Họ được cho là để làm bẽ mặt bạn, vì vậy đằng sau họ không chỉ là không có gì, mà còn là thứ gì đó ngu ngốc, chẳng hạn như một con dê hoặc một tuýp kem đánh răng khổng lồ - bất cứ thứ gì ngoại trừ một chiếc ô tô mới.

Bạn chọn một trong những cánh cửa, Monty chuẩn bị mở nó cho bạn biết bạn có thắng hay không ... nhưng hãy chờ đợi. Trước khi chúng ta biết, chúng ta hãy nhìn vào một trong những cánh cửa mà bạn đã không chọn. Monty biết phía sau giải thưởng là cánh cửa nào, và anh ta luôn có thể mở ra cánh cửa không có giải thưởng. “Bạn có chọn cửa số 3 không? Vậy thì hãy mở cửa số 1 để chứng tỏ rằng không có giải thưởng nào đằng sau nó. " Và bây giờ, với sự hào phóng, anh ấy cho bạn cơ hội đổi cánh cửa số 3 đã chọn lấy thứ nằm sau cánh cửa số 2.

Tại thời điểm này, câu hỏi về xác suất được đặt ra: liệu cơ hội này có làm tăng xác suất chiến thắng của bạn, hay hạ thấp nó xuống, hay nó không thay đổi? Bạn nghĩ sao?

Câu trả lời đúng: khả năng chọn cửa khác tăng khả năng thắng từ 1/3 lên 2/3. Điều này là phi logic. Nếu bạn chưa gặp phải nghịch lý này trước đây, thì rất có thể bạn đang nghĩ: khoan đã, nó thế nào: bằng cách mở một cánh cửa, chúng ta đã thay đổi xác suất một cách kỳ diệu? Như chúng ta đã thấy với ví dụ về bản đồ, đây chính xác là những gì sẽ xảy ra khi chúng ta có thêm thông tin. Rõ ràng khi bạn chọn lần đầu thì xác suất thắng là 1/3. Khi một cửa mở ra, nó không làm thay đổi xác suất chiến thắng của lựa chọn đầu tiên: xác suất vẫn là 1/3. Nhưng xác suất đặt cửa kia đúng lúc này là 2/3.

Hãy xem ví dụ này từ phía bên kia. Bạn chọn một cánh cửa. Xác suất thắng là 1/3. Tôi đề nghị bạn thay đổi hai cánh cửa khác, đó là những gì Monty Hall làm. Tất nhiên, anh ta mở một trong những cánh cửa để chứng tỏ rằng không có giải thưởng nào đằng sau nó, nhưng anh ta luôn có thể làm điều này, vì vậy nó không thực sự thay đổi bất cứ điều gì. Tất nhiên, bạn sẽ muốn chọn một cánh cửa khác.

Nếu bạn không hiểu rõ câu hỏi và cần một lời giải thích thuyết phục hơn, hãy nhấp vào liên kết này để chuyển đến một ứng dụng Flash nhỏ tuyệt vời sẽ cho phép bạn khám phá nghịch lý này chi tiết hơn. Bạn có thể bắt đầu với khoảng 10 cửa và sau đó dần dần chuyển sang trò chơi có ba cửa. Ngoài ra còn có một trình mô phỏng, nơi bạn có thể chơi với bất kỳ số lượng cửa nào từ 3 đến 50 hoặc chạy vài nghìn mô phỏng và xem bạn sẽ thắng bao nhiêu lần nếu chơi.

Chọn một trong ba cửa - xác suất thắng là 1/3. Bây giờ bạn có hai chiến lược: thay đổi lựa chọn sau khi mở sai cánh cửa hoặc không. Nếu bạn không thay đổi lựa chọn của mình, thì xác suất vẫn là 1/3, vì sự lựa chọn chỉ ở giai đoạn đầu, và bạn phải đoán ngay lập tức. Nếu bạn thay đổi, thì bạn có thể thắng nếu lần đầu tiên bạn chọn sai cửa (sau đó họ mở sai cửa khác, cửa đúng vẫn còn - thay đổi quyết định, bạn chỉ cần lấy). Xác suất chọn sai cửa lúc đầu là 2/3 - vì vậy hóa ra chỉ cần thay đổi quyết định của mình, bạn đã nhân đôi xác suất chiến thắng.

Một nhận xét từ một giáo viên toán cao hơn và một chuyên gia về cân bằng trò chơi Maxim Soldatov - tất nhiên, Schreiber đã không có nó, nhưng nếu không có nó thì khá khó để hiểu được sự biến đổi kỳ diệu này

Xem lại Nghịch lý Monty Hall

Đối với bản thân chương trình, ngay cả khi các đối thủ của Monty Hall không giỏi toán, anh ấy vẫn giỏi nó. Đây là những gì anh ấy đã làm để thay đổi trò chơi một chút. Nếu bạn chọn cửa đứng sau giải thưởng, với xác suất là 1/3, anh ta luôn đề nghị bạn chọn cửa khác. Bạn chọn một chiếc ô tô và sau đó đổi nó lấy một con dê và trông bạn khá ngu ngốc - đó chính xác là những gì bạn cần, bởi vì Hall là một kẻ xấu xa.

Nhưng nếu bạn chọn một cửa không có giải thưởng, anh ta sẽ chỉ cho bạn một cửa khác trong nửa thời gian, hoặc anh ta sẽ chỉ cho bạn con dê mới của bạn và bạn sẽ rời sân khấu. Hãy phân tích trò chơi mới này, nơi Monty Hall có thể quyết định có cho bạn cơ hội chọn cửa khác hay không.

Giả sử anh ta làm theo thuật toán này: nếu bạn chọn cửa có thưởng, anh ta luôn cho bạn cơ hội chọn cửa khác, ngược lại anh ta cũng có khả năng đề nghị bạn chọn cửa khác hoặc cho bạn một con dê. Xác suất chiến thắng của bạn là bao nhiêu?

Trong một trong ba tùy chọn, bạn ngay lập tức chọn cánh cửa phía sau có giải thưởng, và người dẫn chương trình mời bạn chọn một cánh khác.

Trong số hai lựa chọn còn lại trong số ba lựa chọn (ban đầu bạn chọn cửa không có giải thưởng), một nửa số trường hợp chủ nhà sẽ đề nghị bạn thay đổi quyết định của mình và nửa số trường hợp còn lại thì không.

Một nửa của 2/3 là 1/3, nghĩa là trong ba trường hợp, bạn sẽ có một con dê, trong ba trường hợp, bạn sẽ chọn sai cửa và chủ nhà sẽ đề nghị bạn chọn một con khác, và trong một trong ba trường hợp bạn sẽ chọn đúng cửa, nhưng anh ta lại đưa ra một cửa khác.

Nếu điều hành viên đề nghị chọn cửa khác, chúng tôi đã biết rằng một trong ba trường hợp khi anh ta đưa cho chúng tôi một con dê và chúng tôi rời đi đã không xảy ra. Đây là thông tin hữu ích: nó có nghĩa là cơ hội chiến thắng của chúng tôi đã thay đổi. Hai trong ba trường hợp mà chúng tôi có quyền lựa chọn: trong một trường hợp có nghĩa là chúng tôi đoán đúng, và trong trường hợp khác, chúng tôi đoán sai, vì vậy nếu chúng tôi được đưa ra một lựa chọn nào đó, thì xác suất chiến thắng của chúng tôi là 1 / 2, và về mặt toán học, không quan trọng là bạn có giữ nguyên sự lựa chọn của mình hay chọn một cửa khác.

Giống như poker, nó là một trò chơi tâm lý, không phải là một trò chơi toán học. Tại sao Monty đưa ra cho bạn một sự lựa chọn? Anh ta có nghĩ rằng bạn là một người đơn giản không biết rằng lựa chọn một cánh cửa khác là quyết định “đúng đắn” và sẽ cố chấp giữ sự lựa chọn của mình (suy cho cùng, tình hình tâm lý phức tạp hơn khi bạn chọn một chiếc xe và sau đó mất nó) ?

Hay anh ta, quyết định rằng bạn thông minh và chọn một cánh cửa khác, cho bạn cơ hội này, vì anh ta biết rằng ban đầu bạn đã đoán đúng và rơi vào bẫy? Hoặc có thể anh ấy tốt bụng một cách lạ thường và thúc ép bạn làm điều gì đó có lợi cho bạn, bởi vì anh ấy đã không tặng xe từ lâu và nhà sản xuất nói rằng khán giả đã chán, và tốt hơn là nên trao giải thưởng lớn sớm như vậy. điều đó đã làm giảm xếp hạng?

Do đó, Monty đôi khi đưa ra một lựa chọn, trong khi xác suất thắng chung cuộc vẫn bằng 1/3. Hãy nhớ rằng xác suất bạn sẽ thua ngay lập tức là 1/3. Có 1/3 cơ hội là bạn đoán ngay và 50% số lần đó bạn sẽ thắng (1/3 x 1/2 = 1/6).

Xác suất bạn đoán sai lúc đầu, nhưng sau đó có cơ hội chọn cửa khác là 1/3, và một nửa số trường hợp này bạn sẽ thắng (cũng là 1/6). Cộng hai khả năng chiến thắng độc lập và bạn nhận được xác suất là 1/3, vì vậy không thành vấn đề nếu bạn ở lại lựa chọn của mình hay chọn cửa khác - tổng xác suất chiến thắng của bạn trong suốt trò chơi là 1/3.

Xác suất sẽ không lớn hơn trong tình huống khi bạn đoán được cửa và người dẫn chương trình chỉ cho bạn thấy điều gì ẩn sau nó, mà không đề nghị chọn một cửa khác. Mục đích của đề xuất không phải là thay đổi xác suất, mà là làm cho quá trình ra quyết định trở nên thú vị hơn khi xem truyền hình.

Nhân tiện, đây là một trong những lý do tại sao poker có thể rất thú vị: trong hầu hết các định dạng giữa các vòng, khi đặt cược (ví dụ: flop, turn và river trong Texas Hold'em), các quân bài dần dần được tiết lộ, và nếu ngay từ đầu trò chơi bạn có một cơ hội chiến thắng, thì sau mỗi vòng cược, khi có nhiều quân bài được mở hơn, xác suất này sẽ thay đổi.

Nghịch lý trai gái

Điều này đưa chúng ta đến một nghịch lý nổi tiếng khác có xu hướng đánh đố mọi người, nghịch lý trai-gái. Điều duy nhất tôi viết hôm nay không liên quan trực tiếp đến trò chơi (mặc dù tôi đoán tôi chỉ cần thúc giục bạn tạo ra cơ chế trò chơi thích hợp). Đây là một câu đố nhiều hơn, nhưng là một câu đố thú vị, và để giải được nó, bạn cần phải hiểu xác suất có điều kiện mà chúng ta đã nói ở trên.

Nhiệm vụ: Tôi có một người bạn có hai đứa con, ít nhất một đứa là con gái. Tính xác suất để đứa con thứ hai cũng là gái? Hãy giả sử rằng trong bất kỳ gia đình nào, cơ hội sinh con gái và con trai là 50/50, và điều này đúng với mọi đứa trẻ.

Trên thực tế, một số nam giới có nhiều tinh trùng hơn với nhiễm sắc thể X hoặc nhiễm sắc thể Y trong tinh dịch của họ, do đó, tỷ lệ khác nhau một chút. Nếu biết một đứa là gái thì khả năng sinh con gái thứ hai cao hơn một chút, ngoài ra còn có các bệnh lý khác, chẳng hạn như chứng lưỡng tính. Nhưng để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ không tính đến điều này và cho rằng sự ra đời của một đứa trẻ là một sự kiện độc lập và việc sinh con trai và con gái là như nhau.

Vì chúng ta đang nói về cơ hội 1/2, chúng ta trực giác mong đợi câu trả lời là 1/2 hoặc 1/4, hoặc bội số khác của hai ở mẫu số. Nhưng câu trả lời là 1/3. Tại sao?

Khó khăn trong trường hợp này là thông tin mà chúng tôi có làm giảm số lượng khả năng. Giả sử cha mẹ là fan của Sesame Street và bất kể giới tính của những đứa trẻ đặt tên cho chúng là A và B. Ở điều kiện bình thường, có bốn khả năng xảy ra như nhau: A và B là hai bé trai, A và B là hai bé gái, A là a boy và B là girl, A là girl và B là boy. Vì chúng ta biết rằng có ít nhất một đứa trẻ là con gái, chúng ta có thể loại trừ khả năng A và B là hai bé trai. Vì vậy, chúng tôi còn lại ba khả năng - vẫn có khả năng như nhau. Nếu tất cả các khả năng đều có khả năng xảy ra như nhau và có ba khả năng xảy ra thì xác suất của mỗi khả năng đó là 1/3. Chỉ có một trong ba phương án này đều là trẻ em gái nên câu trả lời là 1/3.

Và một lần nữa về nghịch lý của một chàng trai và một cô gái

Giải pháp cho vấn đề thậm chí còn trở nên phi logic hơn. Hãy tưởng tượng rằng bạn của tôi có hai đứa con và một trong số chúng là một bé gái sinh vào thứ Ba. Chúng ta hãy giả định rằng trong điều kiện bình thường, một đứa trẻ có khả năng được sinh ra vào mỗi ngày trong số bảy ngày trong tuần như nhau. Tính xác suất để đứa con thứ hai cũng là gái?

Bạn có thể nghĩ rằng câu trả lời vẫn sẽ là 1/3: Thứ Ba có nghĩa là gì? Nhưng trong trường hợp này, trực giác làm chúng ta thất vọng. Câu trả lời là 13/27, không chỉ là không trực quan mà còn rất lạ. Vấn đề là gì trong trường hợp này?

Trên thực tế, Thứ Ba thay đổi xác suất vì chúng ta không biết em bé nào sinh vào Thứ Ba, hoặc có lẽ cả hai đều sinh vào Thứ Ba. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng cùng một logic: chúng tôi đếm tất cả các kết hợp có thể có khi ít nhất một đứa trẻ là gái sinh vào thứ Ba. Như trong ví dụ trước, giả sử các con được đặt tên là A và B. Các kết hợp trông như thế này:

• A là bé gái sinh vào thứ Ba, B là bé trai (trong tình huống này có 7 khả năng xảy ra, mỗi ngày trong tuần có thể sinh một bé trai).
• B - một cô gái sinh vào thứ ba, A - một cậu bé (cũng có 7 khả năng).
• A là một cô gái sinh vào thứ ba, B là một cô gái sinh vào một ngày khác trong tuần (6 khả năng).
• B - một cô gái sinh vào thứ ba, A - một cô gái không sinh vào thứ ba (cũng là 6 xác suất).
• A và B là 2 bạn nữ sinh vào thứ 3 (1 khả năng là các bạn cần chú ý điều này để không bị tính 2 lần nhé).

Chúng tôi tổng hợp và nhận được 27 sự kết hợp khác nhau có thể có của việc sinh con và ngày có ít nhất một khả năng sinh con gái vào thứ Ba. Trong số này, có 13 khả năng là khi sinh hai bé gái. Nó cũng trông hoàn toàn phi logic - có vẻ như nhiệm vụ này được phát minh ra chỉ để gây đau đầu. Nếu bạn vẫn còn phân vân, trang web của nhà lý thuyết trò chơi Jesper Juhl có một lời giải thích tốt về điều này.

Nếu bạn hiện đang làm việc trên một trò chơi

Nếu có sự ngẫu nhiên trong trò chơi bạn đang thiết kế, đây là cơ hội tuyệt vời để phân tích nó. Chọn bất kỳ yếu tố nào bạn muốn phân tích. Đầu tiên, hãy tự hỏi bản thân rằng bạn mong đợi xác suất của một phần tử nhất định là bao nhiêu trong bối cảnh của trò chơi.

Ví dụ: nếu bạn đang làm một game nhập vai và bạn đang suy nghĩ về khả năng người chơi có thể đánh bại một con quái vật trong trận chiến, hãy tự hỏi bản thân xem tỷ lệ phần trăm chiến thắng phù hợp với bạn như thế nào. Thông thường, trong trường hợp chơi game nhập vai trên hệ máy console, người chơi sẽ rất khó chịu khi thua cuộc, vì vậy tốt hơn là họ thua không thường xuyên - 10% thời gian hoặc ít hơn. Nếu bạn là một nhà thiết kế game nhập vai, bạn có thể hiểu rõ hơn tôi, nhưng bạn cần phải có một ý tưởng cơ bản về xác suất nên là bao nhiêu.

Sau đó, hãy tự hỏi bản thân xem xác suất của bạn là phụ thuộc (như với thẻ) hay độc lập (như với xúc xắc). Thảo luận về tất cả các kết quả có thể xảy ra và xác suất của chúng. Đảm bảo rằng tổng của tất cả các xác suất là 100%. Và, tất nhiên, so sánh kết quả của bạn với mong đợi của bạn. Có thể tung xúc xắc hoặc rút thẻ như bạn dự định, hoặc rõ ràng là các giá trị cần được điều chỉnh. Và, tất nhiên, nếu bạn tìm thấy sai sót, bạn có thể sử dụng các phép tính tương tự để xác định mức độ bạn cần thay đổi các giá trị.

Bài tập về nhà

"Bài tập về nhà" của bạn trong tuần này sẽ giúp bạn trau dồi kỹ năng xác suất của mình. Đây là hai trò chơi xúc xắc và một trò chơi bài mà bạn phải phân tích bằng cách sử dụng xác suất, cũng như một công cụ trò chơi kỳ lạ mà tôi đã từng phát triển - bạn sẽ thử nghiệm phương pháp Monte Carlo trên ví dụ của nó.

Game # 1 - Dragon Bones

Đây là một trò chơi xúc xắc mà tôi và các đồng nghiệp đã từng nghĩ ra (nhờ Jeb Havens và Jesse King) - nó cố tình thổi vào tâm trí mọi người những xác suất của nó. Đây là một trò chơi sòng bạc đơn giản được gọi là "Dragon Dice" và nó là một cuộc cạnh tranh xúc xắc cờ bạc giữa người chơi và cơ sở.

Bạn được cung cấp một xúc xắc 1d6 thông thường. Mục tiêu của trò chơi là cuộn một số cao hơn của nhà cái. Tom được đưa ra 1d6 không chuẩn - giống như của bạn, nhưng trên một trong các khuôn mặt của nó thay vì một - hình ảnh một con rồng (do đó, sòng bạc có một con rồng-2-3-4-5-6 chết). Nếu tổ chức có được một con rồng, nó sẽ tự động thắng và bạn sẽ thua. Nếu cả hai nhận được cùng một số, đó là một kết quả hòa và bạn lại tung xúc xắc. Người nào cuộn được số cao nhất sẽ thắng.

Tất nhiên, mọi thứ không hoàn toàn có lợi cho người chơi, bởi sòng bài có lợi thế hơn về hình thức mặt rồng. Nhưng nó thực sự như vậy? Đây là những gì bạn phải tính toán. Nhưng trước hết hãy kiểm tra trực giác của bạn.

Giả sử rằng tiền thắng là 2 ăn 1. Vì vậy, nếu bạn thắng, bạn giữ lại tiền cược của mình và nhận được gấp đôi số tiền. Ví dụ: nếu bạn đặt 1 đô la và giành chiến thắng, bạn giữ lại đồng đô la đó và nhận thêm 2 đô la nữa, với tổng số tiền là 3 đô la. Nếu bạn thua, bạn chỉ mất tiền cược của mình. Bạn sẽ chơi chứ? Bạn có trực giác cảm thấy rằng xác suất lớn hơn 2 đến 1 hay bạn vẫn nghĩ rằng nó nhỏ hơn? Nói cách khác, trung bình trong 3 trận đấu, bạn có mong muốn thắng nhiều hơn một lần, hoặc ít hơn, hoặc một lần?

Khi bạn đã nắm bắt được trực giác của mình, hãy áp dụng phép toán. Chỉ có 36 vị trí có thể cho cả hai viên xúc xắc, vì vậy bạn có thể dễ dàng đếm tất cả. Nếu bạn không chắc chắn về ưu đãi 2 ăn 1 này, hãy cân nhắc điều này: Giả sử bạn đã chơi trò chơi 36 lần (đặt cược 1 đô la mỗi lần). Đối với mỗi trận thắng, bạn nhận được 2 đô la, với mỗi lần thua bạn mất 1 đô la và kết quả hòa không thay đổi bất cứ điều gì. Đếm tất cả các chiến thắng và thua lỗ có thể xảy ra của bạn và quyết định xem bạn sẽ mất một số đô la hay lãi. Sau đó, hãy tự hỏi trực giác của bạn đã trở nên đúng đắn như thế nào. Và rồi nhận ra mình là kẻ xấu xa nào.

Và, vâng, nếu bạn đã nghĩ về câu hỏi này - tôi cố tình làm bạn bối rối bằng cách bóp méo cơ chế thực của trò chơi xúc xắc, nhưng tôi chắc rằng bạn có thể vượt qua trở ngại này chỉ với một ý nghĩ tốt. Cố gắng tự giải quyết vấn đề này.

Game # 2 - Roll of Luck

Đây là một trò chơi xúc xắc có tên Roll of Luck (cũng là Lồng chim vì đôi khi xúc xắc không được cuộn mà được đặt trong một lồng dây lớn, gợi nhớ đến lồng Bingo). Trò chơi rất đơn giản, về cơ bản nó tóm gọn ở điều này: Đặt cược, giả sử, $ 1 cho một số từ 1 đến 6. Sau đó, bạn quay 3d6. Đối với mỗi con xúc xắc trúng số của bạn, bạn nhận được 1 đô la (và giữ nguyên tiền cược ban đầu của bạn). Nếu số của bạn không chạm vào bất kỳ viên xúc xắc nào, sòng bạc sẽ nhận được đô la của bạn và bạn không nhận được gì. Vì vậy, nếu bạn đặt cược vào 1 và bạn nhận được 1 trên mặt ba lần, bạn sẽ nhận được 3 đô la.

Theo trực giác, có vẻ như trong trò chơi này, cơ hội là thậm chí. Mỗi viên xúc xắc là một trong 6 cơ hội chiến thắng riêng lẻ, vì vậy cơ hội chiến thắng của bạn là 3 đến 6 trên ba lần cuộn. Tuy nhiên, tất nhiên, hãy nhớ rằng bạn đang xếp ba viên xúc xắc riêng biệt và bạn chỉ được phép thêm nếu chúng ta nói về các kết hợp chiến thắng riêng biệt của cùng một viên xúc xắc. Một cái gì đó bạn sẽ cần để nhân lên.

Khi bạn đã tính toán tất cả các kết quả có thể xảy ra (có thể dễ dàng thực hiện trong Excel hơn bằng tay, có 216 kết quả trong số đó), trò chơi thoạt nhìn vẫn có vẻ chẵn lẻ. Trên thực tế, sòng bạc vẫn có nhiều khả năng thắng hơn - thêm bao nhiêu? Cụ thể, bạn dự đoán sẽ thua bao nhiêu tiền trung bình mỗi vòng chơi?

Tất cả những gì bạn phải làm là cộng số tiền thắng và thua của tất cả 216 kết quả và sau đó chia cho 216, điều này sẽ khá dễ dàng. Nhưng như bạn có thể thấy, có một số cạm bẫy mà bạn có thể rơi vào, đó là lý do tại sao tôi nói rằng nếu bạn nghĩ rằng có cơ hội chiến thắng trong trò chơi này, thì bạn đã hiểu lầm.

Game # 3 - 5 quân bài

Nếu bạn đã thích các trò chơi trước đó, hãy kiểm tra những gì chúng tôi biết về xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng trò chơi thẻ này làm ví dụ. Hãy tưởng tượng poker với một bộ bài 52 lá. Chúng ta cũng hãy tưởng tượng 5 stud thẻ mà mỗi người chơi chỉ nhận được 5 thẻ. Không thể loại bỏ một quân bài, không thể rút một quân bài mới, không có bộ bài chung - bạn chỉ nhận được 5 quân bài.

Một lần đổ hoàng gia là 10-J-Q-K-A trong một tay, tổng cộng là bốn, vì vậy có bốn cách có thể để nhận được một lần đổ hoàng gia. Tính xác suất để bạn nhận được một trong các kết hợp này.

Tôi có một điều cần cảnh báo với bạn: hãy nhớ rằng bạn có thể rút năm thẻ này theo bất kỳ thứ tự nào. Có nghĩa là, lúc đầu bạn có thể rút một quân Át hoặc một điểm mười, điều đó không quan trọng. Vì vậy, khi thực hiện các phép tính của bạn, hãy nhớ rằng thực tế có hơn bốn cách để có được một lần đổ hoàng gia, giả sử các quân bài được chia theo thứ tự.

Trận # 4 - Xổ số IMF

Nhiệm vụ thứ tư sẽ không dễ giải quyết bằng các phương pháp mà chúng ta đã nói hôm nay, nhưng bạn có thể dễ dàng mô phỏng tình huống bằng cách sử dụng lập trình hoặc Excel. Đó là ví dụ của vấn đề này, bạn có thể tìm ra phương pháp Monte Carlo.

Tôi đã đề cập trước đó về trò chơi Chron X mà tôi đã từng làm, và có một lá bài rất thú vị - xổ số IMF. Đây là cách nó hoạt động: bạn đã sử dụng nó trong một trò chơi. Sau khi vòng chơi kết thúc, các quân bài được phân phối lại và có 10% khả năng quân bài đó sẽ hết hiệu lực và một người chơi ngẫu nhiên sẽ nhận được 5 đơn vị của mỗi loại tài nguyên có trên lá bài đó. Một lá bài được đưa vào chơi mà không có một mã thông báo nào, nhưng mỗi lần nó vẫn tiếp tục chơi ở đầu vòng tiếp theo, nó sẽ nhận được một mã thông báo.

Vì vậy, có 10% cơ hội bạn sẽ đặt nó vào chơi, vòng chơi sẽ kết thúc, lá bài sẽ rời khỏi cuộc chơi và không ai nhận được gì cả. Nếu không (với 90% cơ hội), có 10% cơ hội (thực tế là 9%, vì đó là 10% của 90%) rằng cô ấy sẽ rời trò chơi ở vòng tiếp theo và ai đó sẽ nhận được 5 tài nguyên. Nếu lá bài rời khỏi trò chơi sau một vòng (10% trong số 81% khả dụng, do đó xác suất là 8,1%), ai đó sẽ nhận được 10 đơn vị, vòng khác - 15, 20 khác, v.v. Câu hỏi: giá trị mong đợi của số tài nguyên mà bạn sẽ nhận được từ thẻ này khi nó cuối cùng rời khỏi trò chơi là bao nhiêu?

Thông thường, chúng tôi sẽ cố gắng giải quyết vấn đề này bằng cách tính xác suất của mỗi kết quả và nhân với số của tất cả các kết quả. Có 10% khả năng bạn sẽ nhận được 0 (0,1 * 0 = 0). 9% mà bạn sẽ nhận được 5 đơn vị tài nguyên (9% * 5 = 0,45 tài nguyên). 8,1% những gì bạn nhận được là 10 (8,1% * 10 = 0,81 tài nguyên - nói chung là giá trị mong đợi). Vân vân. Và sau đó chúng tôi sẽ tổng hợp lại tất cả.

Và bây giờ bạn đã thấy rõ vấn đề: luôn có khả năng lá bài sẽ không rời khỏi trò chơi, nó có thể ở lại trò chơi mãi mãi, với số vòng vô hạn, vì vậy không có cách nào để tính toán bất kỳ xác suất nào. Các phương pháp chúng ta đã học ngày nay không cho phép chúng ta tính toán đệ quy vô hạn, vì vậy chúng ta sẽ phải tạo nó một cách nhân tạo.

Nếu bạn đủ giỏi về lập trình, hãy viết một chương trình mô phỏng thẻ này. Bạn nên có một vòng lặp thời gian đưa biến về vị trí ban đầu bằng 0, hiển thị một số ngẫu nhiên và với 10% cơ hội biến đó thoát khỏi vòng lặp. Nếu không, nó sẽ thêm 5 vào biến và vòng lặp lặp lại. Cuối cùng khi nó thoát khỏi vòng lặp, hãy tăng tổng số lần chạy thử lên 1 và tổng số tài nguyên (bao nhiêu tùy thuộc vào vị trí biến dừng). Sau đó đặt lại biến và bắt đầu lại.

Chạy chương trình vài nghìn lần. Cuối cùng, hãy chia tổng tài nguyên cho tổng số lần chạy - đây sẽ là giá trị mong đợi của bạn về phương pháp Monte Carlo. Chạy chương trình nhiều lần để đảm bảo các con số bạn nhận được gần giống nhau. Nếu mức chênh lệch vẫn còn lớn, hãy tăng số lần lặp lại ở vòng ngoài cho đến khi bạn bắt đầu nhận được các trận đấu. Bạn có thể chắc chắn rằng bất kỳ con số nào bạn kết thúc sẽ gần đúng.

Nếu bạn là người mới học lập trình (ngay cả khi bạn đang sử dụng), đây là một bài tập nhỏ để kiểm tra kỹ năng Excel của bạn. Nếu bạn là một nhà thiết kế trò chơi, những kỹ năng này sẽ không bao giờ là thừa.

Bây giờ các hàm if và rand sẽ rất hữu ích cho bạn. Rand không yêu cầu giá trị, nó chỉ tạo ra một số thập phân ngẫu nhiên từ 0 đến 1. Chúng tôi thường kết hợp nó với giá trị sàn và điểm cộng và điểm nhỏ để mô phỏng một cuộn xúc xắc, mà tôi đã đề cập trước đó. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng tôi chỉ để lại 10% khả năng thẻ đó sẽ rời khỏi trò chơi, vì vậy chúng tôi chỉ cần kiểm tra xem rand có nhỏ hơn 0,1 hay không và không phải lo lắng về điều đó nữa.

Nếu có ba giá trị. Theo thứ tự, điều kiện đúng hoặc không, sau đó giá trị được trả về nếu điều kiện đúng và giá trị được trả về nếu điều kiện sai. Vì vậy, hàm sau sẽ trả về 5% thời gian và 0 còn lại là 90% thời gian: = IF (RAND ()<0.1,5,0) .

Có nhiều cách để đặt lệnh này, nhưng tôi sẽ sử dụng công thức này cho ô đại diện cho vòng đầu tiên, giả sử đó là ô A1: = IF (RAND ()<0.1,0,-1) .

Ở đây tôi đang sử dụng một biến phủ định có nghĩa là "thẻ này chưa rời khỏi trò chơi và chưa cung cấp bất kỳ tài nguyên nào". Vì vậy, nếu vòng đầu tiên kết thúc và hết bài, A1 là 0; nếu không thì nó là -1.

Đối với ô tiếp theo đại diện cho vòng thứ hai: = IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1)) . Vì vậy, nếu vòng đầu tiên kết thúc và thẻ ngay lập tức rời khỏi trò chơi, A1 là 0 (số tài nguyên) và ô này sẽ chỉ cần sao chép giá trị đó. Nếu không, A1 là -1 (thẻ chưa rời khỏi trò chơi) và ô này tiếp tục di chuyển ngẫu nhiên: 10% thời gian nó sẽ trả về 5 đơn vị tài nguyên, thời gian còn lại giá trị của nó vẫn là - 1. Nếu chúng tôi áp dụng công thức này cho các ô bổ sung, chúng tôi sẽ nhận được các vòng bổ sung và bất kỳ ô nào bạn kết thúc, bạn sẽ nhận được kết quả cuối cùng (hoặc -1 nếu thẻ vẫn chưa rời khỏi trò chơi sau tất cả các vòng bạn đã chơi).

Lấy hàng ô này, là ô tròn duy nhất có thẻ này, sao chép và dán một vài trăm (hoặc hàng nghìn) hàng. Chúng tôi có thể không thực hiện kiểm tra vô hạn cho Excel (có một số ô giới hạn trong bảng), nhưng ít nhất chúng tôi có thể bao gồm hầu hết các trường hợp. Sau đó, chọn một ô nơi bạn sẽ đặt giá trị trung bình của các kết quả của tất cả các vòng - Excel vui lòng cung cấp hàm trung bình () cho việc này.

Trên Windows, ít nhất bạn có thể nhấn F9 để tính toán lại tất cả các số ngẫu nhiên. Như trước đây, hãy làm điều này một vài lần và xem liệu bạn có nhận được các giá trị tương tự hay không. Nếu chênh lệch quá lớn, hãy nhân đôi số lần chạy và thử lại.

Các vấn đề chưa được giải quyết

Nếu bạn có bằng lý thuyết xác suất và các bài toán trên có vẻ quá dễ đối với bạn - đây là hai bài toán mà tôi đã vò đầu bứt tai trong nhiều năm, nhưng, than ôi, tôi không giỏi toán đến mức giải được chúng.

Vấn đề chưa được giải quyết # 1: Xổ số IMF

Vấn đề đầu tiên chưa được giải quyết là việc giao bài tập về nhà trước đó. Tôi có thể dễ dàng sử dụng phương pháp Monte Carlo (sử dụng C ++ hoặc Excel) và chắc chắn về câu trả lời cho câu hỏi "người chơi sẽ nhận được bao nhiêu tài nguyên", nhưng tôi không biết chính xác làm thế nào để đưa ra câu trả lời chính xác có thể chứng minh được về mặt toán học (đây là một chuỗi vô hạn).

Vấn đề chưa được giải quyết # 2: Trình tự hình dạng

Nhiệm vụ này (nó cũng vượt xa các nhiệm vụ được giải quyết trong blog này) được ném cho tôi bởi một game thủ quen thuộc hơn mười năm trước. Trong khi chơi blackjack ở Vegas, anh ấy nhận thấy một tính năng thú vị: rút quân bài từ một chiếc giày 8 bộ, anh ấy nhìn thấy mười quân cờ liên tiếp (quân bài hoặc quân bài mặt là 10, Joker, King hoặc Queen, vì vậy tổng cộng có 16 quân trong một bộ bài tiêu chuẩn gồm 52 lá hoặc 128 trong bộ bài 416).

Xác suất để chiếc giày này chứa ít nhất một dãy gồm mười chiếc trở lên là bao nhiêu? Hãy giả sử rằng chúng đã được xáo trộn một cách trung thực, theo thứ tự ngẫu nhiên. Hoặc, nếu bạn thích, xác suất để không có chuỗi mười hình dạng trở lên ở bất kỳ đâu là bao nhiêu?

Chúng tôi có thể đơn giản hóa nhiệm vụ. Đây là một chuỗi gồm 416 phần. Mỗi phần là 0 hoặc 1. Có 128 cái và 288 số không nằm rải rác ngẫu nhiên trong dãy số. Có bao nhiêu cách để xen kẽ ngẫu nhiên 128 cái với 288 số không, và bao nhiêu lần sẽ có ít nhất một nhóm gồm mười hoặc nhiều hơn những cách này?

Bất cứ khi nào tôi đặt ra vấn đề giải quyết vấn đề này, nó có vẻ dễ dàng và hiển nhiên đối với tôi, nhưng ngay khi tôi đi sâu vào chi tiết, nó đột nhiên sụp đổ và dường như đơn giản là không thể.

Vì vậy, hãy dành thời gian để đưa ra câu trả lời: ngồi xuống, suy nghĩ kỹ càng, nghiên cứu các điều kiện, thử kết nối với các con số thực, bởi vì tất cả những người tôi đã nói chuyện về vấn đề này (bao gồm một số nghiên cứu sinh làm việc trong lĩnh vực này) đều phản ứng giống nhau cách: “Hoàn toàn rõ ràng… ồ không, chờ đã, không rõ ràng chút nào.” Đây là trường hợp tôi không có phương pháp tính tất cả các lựa chọn. Tất nhiên, tôi có thể xử lý vấn đề thông qua một thuật toán máy tính, nhưng sẽ thú vị hơn nhiều nếu tìm ra cách toán học để giải nó.

Tôi hiểu rằng mọi người đều muốn biết trước một sự kiện thể thao sẽ kết thúc như thế nào, ai sẽ thắng và ai sẽ thua. Với thông tin này, bạn có thể đặt cược vào các sự kiện thể thao mà không sợ hãi. Nhưng liệu nó có thể xảy ra không, và nếu vậy, làm thế nào để tính xác suất của một sự kiện?

Xác suất là một giá trị tương đối, do đó nó không thể nói chính xác về bất kỳ sự kiện nào. Giá trị này cho phép bạn phân tích và đánh giá nhu cầu đặt cược vào một cuộc thi cụ thể. Định nghĩa về xác suất là cả một khoa học đòi hỏi sự nghiên cứu và hiểu biết cẩn thận.

Hệ số xác suất trong lý thuyết xác suất

Trong cá cược thể thao, có một số lựa chọn cho kết quả của cuộc thi:

• chiến thắng của đội đầu tiên;
• chiến thắng của đội thứ hai;
• vẽ tranh;
• toàn bộ

Mỗi kết quả của cuộc thi đều có xác suất và tần suất xảy ra sự kiện này riêng với điều kiện là các đặc điểm ban đầu được bảo toàn. Như đã đề cập trước đó, không thể tính toán chính xác xác suất của bất kỳ sự kiện nào - nó có thể trùng hợp hoặc không. Vì vậy, đặt cược của bạn có thể thắng hoặc thua.

Không thể có dự đoán chính xác 100% về kết quả thi đấu, bởi rất nhiều yếu tố ảnh hưởng đến kết quả trận đấu. Đương nhiên, nhà cái không biết trước kết quả trận đấu và chỉ giả định kết quả đó, đưa ra quyết định trên hệ thống phân tích của họ và đưa ra những tỷ lệ cá cược nhất định.

Làm thế nào để tính toán xác suất của một sự kiện?

Giả sử tỷ lệ cược của nhà cái là 2.1 / 2 - chúng tôi nhận được 50%. Nó chỉ ra rằng hệ số 2 bằng xác suất 50%. Theo nguyên tắc tương tự, bạn có thể nhận được tỷ lệ xác suất hòa vốn - 1 / xác suất.

Nhiều người chơi nghĩ rằng sau nhiều lần thua liên tiếp thì chắc chắn sẽ thắng - đây là một quan điểm sai lầm. Xác suất thắng cược không phụ thuộc vào số lần thua. Ngay cả khi bạn ném nhiều đầu liên tiếp trong một trò chơi đồng xu, xác suất ném sấp vẫn giữ nguyên - 50%.