Hình chiếu của một điểm lên ba mặt phẳng hình chiếu của góc tọa độ bắt đầu bằng việc thu được ảnh của nó trên mặt phẳng H - mặt phẳng nằm ngang của hình chiếu. Để thực hiện điều này, qua điểm A (Hình 4.12, a) người ta vẽ một chùm tia chiếu vuông góc với mặt phẳng H.

Trong hình bên, đường vuông góc với mặt phẳng H song song với trục Oz. Giao điểm của tia với mặt phẳng H (điểm a) được chọn tuỳ ý. Đoạn Aa xác định điểm A cách mặt phẳng H bao xa, do đó chỉ rõ vị trí của điểm A trong hình đối với mặt phẳng hình chiếu. Điểm a là hình chiếu chữ nhật của điểm A lên mặt phẳng H và được gọi là hình chiếu ngang của điểm A (Hình 4.12, a).

Để thu được ảnh của điểm A trên mặt phẳng V (Hình 4.12, b), người ta vẽ một tia chiếu qua điểm A vuông góc với mặt phẳng hình chiếu trực tiếp V. Trong hình bên, vuông góc với mặt phẳng V song song với Oy trục. Trên mặt phẳng H, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng V sẽ được biểu diễn bằng đoạn aa x, song song với trục Oy và vuông góc với trục Ox. Nếu ta tưởng tượng rằng chùm chiếu và ảnh của nó được thực hiện đồng thời theo phương của mặt phẳng V, thì khi ảnh của chùm cắt trục Ox tại điểm a x thì tia cắt mặt phẳng V tại điểm a. từ điểm a x trong mặt phẳng V vuông góc với trục Ox là ảnh của tia chiếu Aa trên mặt phẳng V lấy điểm a là giao điểm với tia chiếu. Điểm a ”là hình chiếu trực diện của điểm A, tức là ảnh của nó trên mặt phẳng V.

Ảnh của điểm A trên mặt phẳng hình chiếu (Hình 4.12, c) được dựng bằng tia chiếu vuông góc với mặt phẳng W. Trong hình vẽ, tia chiếu vuông góc với mặt phẳng W song song với trục Ox. Chùm tia chiếu từ điểm A đến mặt phẳng W trên mặt phẳng H sẽ được biểu diễn bằng đoạn aa y, song song với trục Ox và vuông góc với trục Oy. Từ điểm Oy song song với trục Oz và vuông góc với trục Oy dựng ảnh của tia chiếu aA và tại giao điểm với tia chiếu a ta được điểm a. Điểm a là hình chiếu lên của điểm A, tức là ảnh của điểm A trên mặt phẳng W.

Điểm a "có thể dựng bằng cách vẽ từ điểm a" đoạn a "a z (là ảnh của tia chiếu Aa" trên mặt phẳng V) song song với trục Ox và từ điểm a z - đoạn a "a z song song với trục Oy cho đến khi giao với tia chiếu.

Sau khi nhận được ba hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng chiếu, góc tọa độ được triển khai thành một mặt phẳng, như thể hiện trong Hình. 4.11, b, cùng với các hình chiếu của điểm A và các tia chiếu, và loại bỏ điểm A và các tia chiếu Aa, Aa "và Aa". Các cạnh của mặt phẳng hình chiếu kết hợp không được thực hiện mà chỉ thực hiện các trục hình chiếu Oz, Oy và Ox, Oy 1 (Hình 4.13).

Phân tích hình vẽ trực giao của một điểm cho thấy ba khoảng cách - Aa ", Aa và Aa" (Hình 4.12, c), đặc trưng cho vị trí của điểm A trong không gian, có thể được xác định bằng cách loại bỏ chính đối tượng chiếu - điểm A , trên một góc tọa độ được triển khai trong một mặt phẳng (Hình 4.13). Các đoạn a "a z, aa y và Oa x bằng Aa" là các cạnh đối diện của các hình chữ nhật tương ứng (Hình 4.12, c và 4.13). Chúng xác định khoảng cách tại đó điểm A nằm từ mặt phẳng hình chiếu của các hình chiếu. Đoạn a "a x, a" a y1 và Oa y bằng đoạn Aa, xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng nằm ngang của hình chiếu, đoạn aa x, a "a z và Oa y 1 bằng đoạn Aa", xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng chiếu trực diện.

Các đoạn Oa x, Oa y và Oa z nằm trên các trục hình chiếu là biểu thức đồ họa kích thước của các tọa độ X, Y và Z của điểm A. Tọa độ điểm được ký hiệu bằng chỉ số của chữ cái tương ứng. Bằng cách đo kích thước của các đoạn này, bạn có thể xác định vị trí của điểm trong không gian, tức là đặt tọa độ của điểm.

Trên sơ đồ, các đoạn a "a x và aa x được sắp xếp thành một đường vuông góc với trục Ox và các đoạn a" a z và a "a z - với trục Oz. Các đoạn thẳng này được gọi là các đường nối hình chiếu. Chúng cắt nhau các trục hình chiếu lần lượt tại các điểm a x và z. Đường nối hình chiếu nối hình chiếu ngang của điểm A với mặt cắt lần lượt bị “cắt” tại điểm a y.

Hai hình chiếu của cùng một điểm luôn nằm trên cùng một đường nối hình chiếu vuông góc với trục hình chiếu.

Để biểu diễn vị trí của một điểm trong không gian, hai trong số các hình chiếu của nó và một gốc cho trước (điểm O) là đủ. 4.14, b, hai hình chiếu của một điểm hoàn toàn xác định được vị trí của nó trong không gian. Sử dụng hai hình chiếu này, bạn có thể xây dựng hình chiếu bằng của điểm A. Do đó, trong tương lai, nếu không cần có hình chiếu bằng, các sơ đồ sẽ dựng trên hai mặt phẳng hình chiếu: V và H.

Cơm. 4,14. Cơm. 4,15.

Hãy xem xét một số ví dụ về việc xây dựng và đọc bản vẽ của một điểm.

ví dụ 1 Xác định tọa độ của điểm J cho trên giản đồ bằng hai phép chiếu (Hình 4.14). Ba đoạn được đo: đoạn Ov X (tọa độ X), đoạn b X b (tọa độ Y) và đoạn b X b "(tọa độ Z). Tọa độ được viết theo thứ tự sau: X, Y và Z, sau ký hiệu của điểm, ví dụ, B20; 30; 15.

Ví dụ 2. Dựng một điểm theo tọa độ cho trước. Điểm C cho bởi tọa độ C30; mười; 40. Trên trục Ox (Hình 4.15) tìm một điểm có hoành độ x, tại đó đường nối hình chiếu cắt trục hình chiếu. Để thực hiện điều này, tọa độ X (kích thước 30) được vẽ dọc theo trục Ox từ gốc tọa độ (điểm O) và thu được một điểm với x. Qua điểm này vuông góc với trục Ox kẻ một đường nối hình chiếu và kẻ tọa độ Y từ điểm (thước 10) ta được điểm c - hình chiếu ngang của điểm C. Tọa độ Z (thước 40) được vẽ hướng lên từ điểm c x dọc theo đường nối hình chiếu (khổ 40), điểm thu được c ”- hình chiếu chính diện của điểm C.

Ví dụ 3. Dựng hình chiếu bằng của một điểm theo các hình chiếu cho trước. Hình chiếu của các điểm D - d và d được thiết lập, qua điểm O vẽ các trục chiếu Oz, Oy và Oy 1 (Hình 4.16, a). Nó nằm ở bên phải phía sau trục Oz. Hình chiếu nghiêng của điểm D sẽ nằm trên đường thẳng này, nó sẽ nằm cách trục Oz cùng một khoảng cách với hình chiếu ngang của điểm d có vị trí: cách trục Ox, tức là cách trục x. Các đoạn d z d ”và dd x giống nhau, vì chúng xác định cùng một khoảng cách - khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng hình chiếu chính diện. Khoảng cách này là tọa độ Y của điểm D.

Về mặt đồ thị, đoạn thẳng d z d "được dựng bằng cách chuyển đoạn thẳng d x từ mặt phẳng nằm ngang của hình chiếu sang mặt phẳng hình 1. Để thực hiện, vẽ đường nối hình chiếu song song với trục Ox, lấy điểm d y trên trục Oy ( Hình 4.16, b) Sau đó chuyển kích thước của đoạn Od y sang trục Oy 1, vẽ từ điểm O một cung có bán kính bằng đoạn Od y, cho đến khi nó cắt với trục Oy 1 (Hình. 4.16, b), lấy điểm dy 1. Cũng có thể xây dựng điểm này, như trong Hình 4.16, c, bằng cách vẽ một đường thẳng nghiêng một góc 45o với trục Oy từ điểm d y. Từ điểm d y1 kẻ đường nối hình chiếu song song với trục Oz và nằm trên đó một đoạn bằng đoạn d "d x, lấy điểm d".

Việc chuyển giá trị của đoạn d x d sang mặt phẳng biên của hình chiếu có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một bản vẽ đường thẳng không đổi (Hình 4.16, d). Trong trường hợp này, đường nối hình chiếu dd y được vẽ qua hình chiếu ngang của điểm song song với trục Oy 1 cho đến khi nó cắt với một đường thẳng không đổi, rồi song song với trục Oy cho đến khi nó cắt với phần tiếp theo của hình chiếu đường nối d ”d z.

Các trường hợp cụ thể về vị trí của các điểm so với mặt phẳng chiếu

Vị trí của điểm so với mặt phẳng hình chiếu được xác định bởi tọa độ tương ứng, tức là giá trị của đoạn đường nối hình chiếu từ trục Ox đến hình chiếu tương ứng. Trên hình. 4.17 Tọa độ Y của điểm A được xác định bởi đoạn aa x - khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng V. Tọa độ Z của điểm A được xác định bởi đoạn a "a x - khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng H. Nếu một có tọa độ bằng 0 thì điểm nằm trên mặt phẳng hình chiếu Hình 4.17 cho thấy các ví dụ về các vị trí khác nhau của điểm so với mặt phẳng hình chiếu. Tọa độ Z của điểm B bằng 0, điểm nằm trong mặt phẳng H. Hình chiếu trực diện của nó. nằm trên trục Ox và trùng với điểm b x Tọa độ Y của điểm C bằng 0, điểm nằm trên mặt phẳng V, hình chiếu ngang c của nó lên trục x và trùng với điểm c x.

Do đó, nếu một điểm nằm trên mặt phẳng hình chiếu thì một trong các hình chiếu của điểm này nằm trên trục hình chiếu.

Trên hình. 4.17, toạ độ Z và Y của điểm D bằng 0 nên điểm D nằm trên trục hình chiếu Ox và hai hình chiếu của nó trùng nhau.

Một điểm trong không gian được xác định bởi bất kỳ hai phép chiếu nào của nó. Nếu cần xây dựng hình chiếu thứ ba theo hai hình chiếu đã cho, cần sử dụng sự tương ứng của các đoạn của các đường nối hình chiếu thu được khi xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hình chiếu (xem Hình 2.27 và Hình. 2.28).

Ví dụ về cách giải quyết vấn đề trong bát độ I

Cho A 1; A 2	Xây dựng A 3
Cho A 2; A 3	Xây dựng A 1
Cho A 1; A 3	Xây dựng A 2

Xem xét thuật toán xây dựng điểm A (Bảng 2.5)

Bảng 2.5

Thuật toán xây dựng điểm A
theo tọa độ đã cho A ( x = 5, y = 20, z = -9)

Trong các chương sau, chúng ta sẽ xem xét các hình ảnh: đường thẳng và mặt phẳng chỉ trong phần tư đầu tiên. Mặc dù tất cả các phương pháp đang được xem xét có thể được áp dụng trong bất kỳ quý nào.

phát hiện

Như vậy, dựa vào lý thuyết của G. Monge, có thể biến ảnh không gian của ảnh (điểm) thành ảnh phẳng.

Lý thuyết này dựa trên những điểm sau:

1. Toàn bộ không gian được chia thành 4 phần tư với sự trợ giúp của hai mặt phẳng vuông góc với nhau p 1 và p 2, hoặc thành 8 phần tám bằng cách thêm một mặt phẳng thứ ba vuông góc với nhau p 3.

2. Ảnh của một hình không gian trên các mặt phẳng này thu được bằng phép chiếu hình chữ nhật (trực giao).

3. Để chuyển ảnh không gian thành ảnh phẳng, người ta coi mặt phẳng p 2 đứng yên, mặt phẳng p 1 quay quanh trục. x sao cho nửa mặt phẳng dương p 1 trùng với nửa mặt phẳng âm p 2, phần âm của p 1 trùng với phần dương p 2.

4. Mặt phẳng p 3 quay quanh trục z(đường giao tuyến của các mặt phẳng) cho đến khi thẳng hàng với mặt phẳng p 2 (xem Hình 2.31).

Hình thu được trên các mặt phẳng p 1, p 2, p 3 có hình chiếu bằng là hình chữ nhật được gọi là hình chiếu bằng.

Các mặt phẳng p 1, p 2 và p 3 cùng với các hình chiếu được mô tả trên chúng tạo thành một bản vẽ hoặc sơ đồ phức hợp phẳng.

Các đường nối các hình chiếu của hình ^ với các trục x, y, z, được gọi là các đường chiếu.

Để xác định chính xác hơn ảnh trong không gian, có thể áp dụng hệ thống gồm ba mặt phẳng vuông góc với nhau p 1, p 2, p 3.

Tùy thuộc vào điều kiện của bài toán, bạn có thể chọn cho ảnh hệ thống p 1, p 2 hoặc p 1, p 2, p 3.

Hệ thống các mặt phẳng p 1, p 2, p 3 có thể được kết nối với hệ tọa độ Descartes, cho phép xác định các đối tượng không chỉ bằng đồ thị hoặc (bằng lời nói) mà còn bằng cách phân tích (sử dụng số).

Cách mô tả hình ảnh, đặc biệt là các điểm, giúp giải quyết các vấn đề về vị trí như:

• vị trí của điểm so với các mặt phẳng hình chiếu (vị trí chung, thuộc mặt phẳng, trục);
• vị trí của điểm trong các phần tư (điểm nằm trong phần tư nào);
• vị trí của các điểm so với nhau (cao hơn, thấp hơn, gần hơn, xa hơn so với mặt phẳng của hình chiếu và người xem);
• vị trí của các hình chiếu điểm so với các mặt phẳng hình chiếu (khoảng cách bằng nhau, gần hơn, xa hơn).

Nhiệm vụ chỉ số:

• cách đều của hình chiếu với các mặt phẳng chiếu;
• tỷ lệ loại bỏ hình chiếu khỏi các mặt phẳng hình chiếu (2–3 lần, nhiều hơn, ít hơn);
• xác định khoảng cách của một điểm so với mặt phẳng hình chiếu (khi đưa vào hệ tọa độ).

Câu hỏi để xem xét nội tâm

1. Đường giao tuyến của những mặt phẳng nào là trục z?

2. Đường giao tuyến của những mặt phẳng nào là trục y?

3. Đường nối hình chiếu của hình chiếu bằng và hình chiếu bằng của điểm có vị trí như thế nào? Thể hiện.

4. Tọa độ nào xác định vị trí của hình chiếu điểm: hoành độ, chính diện, hình chiếu?

5. Điểm F (10; -40; -20) nằm ở phần tư nào? Từ mặt phẳng chiếu nào điểm F xa nhất?

6. Khoảng cách từ hình chiếu đến trục nào xác định khoảng cách của điểm từ mặt phẳng p 1? Tọa độ của điểm là bao nhiêu trong khoảng cách này?

Xét hình chiếu của các điểm lên hai mặt phẳng, chúng ta lấy hai mặt phẳng vuông góc với nhau (Hình 4), chúng ta gọi là mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng. Đường giao tuyến của các mặt phẳng này được gọi là trục hình chiếu. Ta chiếu một điểm A lên mặt phẳng đã xét bằng phép chiếu phẳng. Để làm được điều này, cần phải hạ các đường vuông góc Aa và A từ điểm đã cho xuống các mặt phẳng đã xét.

Phép chiếu lên mặt phẳng nằm ngang được gọi là chế độ xem kế hoạchđiểm NHƯNG, và phép chiếu một? trên mặt phẳng chính diện được gọi là chiếu phía trước.

Các điểm sẽ được chiếu trong hình học mô tả thường được biểu thị bằng các chữ cái Latinh viết hoa. A, B, C. Các chữ cái nhỏ được sử dụng để chỉ định các hình chiếu ngang của các điểm. a, b, c... Các hình chiếu từ phía trước được biểu thị bằng các chữ cái nhỏ với một nét ở trên cùng a ?, b ?, c?…

Việc chỉ định các điểm với các chữ số La Mã I, II, ... cũng được sử dụng và cho các phép chiếu của chúng - với các chữ số Ả Rập 1, 2 ... và 1?, 2? ...

Khi quay mặt phẳng nằm ngang một góc 90 °, ta có thể thu được hình vẽ trong đó cả hai mặt phẳng nằm trong cùng một mặt phẳng (Hình 5). Bức tranh này được gọi là âm mưu điểm.

Qua các đường vuông góc Ah và Ah? vẽ một mặt phẳng (Hình 4). Mặt phẳng tạo thành vuông góc với mặt phẳng trực diện và mặt phẳng ngang vì nó chứa các đường vuông góc với các mặt phẳng này. Do đó, mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến của các mặt phẳng. Đường thẳng thu được cắt mặt phẳng nằm ngang theo một đường thẳng aa x, và mặt phẳng trực diện - trên một đường thẳng Huh? X. Thẳng thắn và Huh? x vuông góc với trục giao tuyến của các mặt phẳng. I E Aaah? là một hình chữ nhật.

Khi kết hợp mặt phẳng chiếu ngang và mặt phẳng chiếu chính diện một và một? sẽ nằm trên một vuông góc với trục giao của các mặt phẳng, vì khi mặt phẳng nằm ngang quay, độ vuông góc của các đoạn aa x và Huh? x không bị hỏng.

Chúng tôi nhận được điều đó trên sơ đồ chiếu một và một? một số điểm NHƯNG luôn nằm trên cùng một phương vuông góc với trục giao tuyến của các mặt phẳng.

Hai phép chiếu a và một? của một số điểm A có thể xác định duy nhất vị trí của nó trong không gian (Hình 4). Điều này được khẳng định bởi khi dựng một đường vuông góc từ hình chiếu a xuống mặt phẳng nằm ngang thì nó sẽ đi qua điểm A. Tương tự, đường vuông góc từ hình chiếu một?đến mặt phẳng trực diện sẽ đi qua điểm NHƯNG, tức là điểm NHƯNGđồng thời nằm trên hai đường thẳng xác định. Điểm A là giao điểm của chúng, tức là nó là xác định.

Xem xét một hình chữ nhật Aaa X một?(Hình 5), các câu sau đây là đúng:

1) Khoảng cách điểm NHƯNG từ mặt phẳng chính diện bằng khoảng cách của hình chiếu ngang a từ trục giao của các mặt phẳng, tức là

Ah? = aa X;

2) khoảng cách điểm NHƯNG từ mặt phẳng nằm ngang của các hình chiếu bằng khoảng cách của hình chiếu chính diện của nó một? từ trục giao của các mặt phẳng, tức là

Ah = Huh? X.

Nói cách khác, ngay cả khi không có chính điểm trên biểu đồ, chỉ sử dụng hai hình chiếu của nó, bạn có thể tìm ra điểm này nằm ở khoảng cách nào từ mỗi mặt phẳng chiếu.

Giao tuyến của hai mặt phẳng hình chiếu chia không gian thành bốn phần gọi là quý(Hình 6).

Trục giao của các mặt phẳng chia mặt phẳng nằm ngang thành hai phần - phía trước và phía sau, và mặt phẳng phía trước thành phần trên và phần dưới. Phần trên của mặt phẳng trán và phần trước của mặt phẳng ngang được coi là ranh giới của phần tư thứ nhất.

Khi nhận được sơ đồ, mặt phẳng nằm ngang sẽ quay và trùng với mặt phẳng phía trước (Hình 7). Trong trường hợp này, mặt trước của mặt phẳng ngang sẽ trùng với đáy của mặt phẳng chính diện và mặt sau của mặt phẳng ngang với đỉnh của mặt phẳng chính diện.

Hình 8-11 cho thấy các điểm A, B, C, D, nằm trong các phần khác nhau của không gian. Điểm A ở phần tư thứ nhất, điểm B ở phần thứ hai, điểm C ở phần thứ ba, và điểm D ở phần tư.

Khi các điểm nằm trong phần tư đầu tiên hoặc phần tư của phép chiếu ngang nằm ở phía trước của mặt phẳng nằm ngang, và trên sơ đồ chúng sẽ nằm bên dưới trục giao của các mặt phẳng. Khi một điểm nằm ở phần tư thứ hai hoặc thứ ba, hình chiếu ngang của nó sẽ nằm trên mặt sau của mặt phẳng nằm ngang và trên biểu đồ, nó sẽ nằm trên trục giao của các mặt phẳng.

Các phép chiếu phía trước các điểm nằm trong phần tư thứ nhất hoặc thứ hai sẽ nằm ở phần trên của mặt phẳng chính diện, và trên sơ đồ, chúng sẽ nằm ở phía trên trục giao của các mặt phẳng. Khi một điểm nằm trong góc phần tư thứ ba hoặc thứ tư, hình chiếu trực diện của nó nằm dưới trục giao của các mặt phẳng.

Thông thường, trong các công trình xây dựng thực tế, hình vẽ được đặt ở phần tư không gian đầu tiên.

Trong một số trường hợp cụ thể, điểm ( E) có thể nằm trên một mặt phẳng nằm ngang (Hình 12). Trong trường hợp này, hình chiếu ngang e và điểm chính nó sẽ trùng nhau. Hình chiếu trực diện của một điểm như vậy sẽ nằm trên trục của giao tuyến của các mặt phẳng.

Trong trường hợp điểm Đến nằm trên mặt phẳng phía trước (Hình 13), hình chiếu ngang của nó k nằm trên trục giao của các mặt phẳng và mặt trước k? hiển thị vị trí thực tế của điểm đó.

Đối với các điểm như vậy, dấu hiệu cho thấy nó nằm trên một trong các mặt phẳng hình chiếu là một trong các hình chiếu của nó nằm trên trục giao của các mặt phẳng.

Nếu một điểm nằm trên trục giao của các mặt phẳng hình chiếu thì điểm đó và cả hai hình chiếu của nó trùng nhau.

Khi một điểm không nằm trên mặt phẳng chiếu, nó được gọi là điểm của vị trí chung. Trong phần tiếp theo, nếu không có điểm đặc biệt nào thì điểm đang xét là điểm ở vị trí chung.

2. Thiếu trục chiếu

Để giải thích cách thu được hình chiếu mô hình của một điểm lên mặt phẳng chiếu vuông góc (Hình 4), cần lấy một tờ giấy dày có dạng một hình chữ nhật dài. Nó cần được uốn cong giữa các phép chiếu. Đường gấp sẽ mô tả trục của giao tuyến của các mặt phẳng. Nếu sau đó mảnh giấy bị uốn cong được duỗi thẳng trở lại, ta được một sơ đồ tương tự như trong hình.

Kết hợp hai mặt phẳng hình chiếu với mặt phẳng hình vẽ, bạn không thể hiển thị đường gấp khúc, tức là không vẽ được trục giao của các mặt phẳng trên sơ đồ.

Khi xây dựng trên một sơ đồ, bạn phải luôn đặt các phép chiếu một và một?điểm A trên một đường thẳng đứng (Hình 14), vuông góc với trục giao của các mặt phẳng. Do đó, ngay cả khi vị trí của trục giao của các mặt phẳng không xác định được, nhưng đã xác định được phương của nó thì trục của giao tuyến của các mặt phẳng chỉ có thể vuông góc với đường thẳng trên giản đồ. Ah?.

Nếu không có trục chiếu trên giản đồ điểm, như trong hình 14 a đầu tiên, bạn có thể hình dung vị trí của điểm này trong không gian. Để làm điều này, hãy vẽ ở bất kỳ vị trí nào vuông góc với đường thẳng Ah? trục chiếu, như trong hình thứ hai (Hình 14) và uốn cong hình vẽ dọc theo trục này. Nếu chúng ta khôi phục các đường vuông góc tại các điểm một và một? trước khi chúng giao nhau, bạn có thể nhận được một điểm NHƯNG. Khi thay đổi vị trí của trục hình chiếu ta thu được các vị trí khác nhau của điểm so với mặt phẳng hình chiếu, nhưng độ không đảm bảo của vị trí trục hình chiếu không ảnh hưởng đến vị trí tương đối của một số điểm hoặc hình trong không gian.

3. Hình chiếu của một điểm lên ba mặt phẳng hình chiếu

Xem xét mặt phẳng biên dạng của các hình chiếu. Các phép chiếu trên hai mặt phẳng vuông góc thường xác định vị trí của hình và giúp ta có thể tìm ra kích thước và hình dạng thực của nó. Nhưng có những lúc hai phép chiếu là không đủ. Sau đó áp dụng việc xây dựng hình chiếu thứ ba.

Mặt phẳng hình chiếu thứ ba được thực hiện sao cho đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 15). Mặt phẳng thứ ba được gọi là Hồ sơ.

Trong các cấu tạo như vậy, đường thẳng chung của mặt phẳng nằm ngang và mặt trước được gọi là trục X , đường chung của mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng biên dạng - trục tại , và đường thẳng chung của mặt phẳng chính diện và mặt phẳng biên - trục z . Chấm O, thuộc cả ba mặt phẳng, được gọi là điểm gốc.

Hình 15a cho thấy điểm NHƯNG và ba trong số các phép chiếu của nó. Chiếu lên mặt phẳng biên dạng ( một??) được gọi là chiếu hồ sơ và biểu thị một??.

Để có được một sơ đồ của điểm A, bao gồm ba hình chiếu a, a a, cần phải cắt khối tam diện được tạo thành bởi tất cả các mặt phẳng dọc theo trục y (Hình 15b) và kết hợp tất cả các mặt phẳng này với mặt phẳng của hình chiếu chính diện. Mặt phẳng nằm ngang phải được quay quanh trục X và mặt phẳng biên dạng gần trục z theo hướng được chỉ ra bởi mũi tên trong Hình 15.

Hình 16 cho thấy vị trí của các phép chiếu à, hả? và một??điểm NHƯNG, thu được là kết quả của việc kết hợp cả ba mặt phẳng với mặt phẳng vẽ.

Kết quả của việc cắt, trục y xuất hiện trên sơ đồ ở hai vị trí khác nhau. Trên mặt phẳng nằm ngang (Hình 16), nó có vị trí thẳng đứng (vuông góc với trục X), và trên mặt phẳng biên dạng - nằm ngang (vuông góc với trục z).

Hình 16 cho thấy ba phép chiếu à, hả? và một?? Các điểm A có một vị trí xác định chặt chẽ trên sơ đồ và tuân theo các điều kiện rõ ràng:

một và một? phải luôn nằm trên một đường thẳng thẳng đứng vuông góc với trục X;

một? và một?? phải luôn nằm trên cùng một đường ngang vuông góc với trục z;

3) khi được vẽ qua hình chiếu ngang và đường nằm ngang, nhưng qua hình chiếu nghiêng một??- một đường thẳng thẳng đứng, các đường thẳng xây dựng nhất thiết phải cắt nhau trên đường phân giác của góc giữa các trục hình chiếu, kể từ hình Oa tại một 0 một n là hình vuông.

Khi xây dựng ba hình chiếu của một điểm, cần phải kiểm tra việc đáp ứng cả ba điều kiện của mỗi điểm.

4. Tọa độ điểm

Vị trí của một điểm trong không gian có thể được xác định bằng cách sử dụng ba số được gọi là tọa độ. Mỗi tọa độ tương ứng với khoảng cách của một điểm từ mặt phẳng hình chiếu nào đó.

Khoảng cách điểm NHƯNG mặt phẳng biên dạng là tọa độ X, trong đó X = Huh?(Hình 15), khoảng cách đến mặt phẳng chính diện - theo tọa độ y, và y = Huh?, và khoảng cách đến mặt phẳng nằm ngang là tọa độ z, trong đó z = aA.

Trong Hình 15, điểm A chiếm chiều rộng của một hình hộp chữ nhật và các số đo của hình hộp này tương ứng với tọa độ của điểm này, tức là mỗi tọa độ được trình bày trong Hình 15 bốn lần, tức là:

x \ u003d a? a \ u003d Oa x \ u003d a y a \ u003d a z a ?;

y \ u003d a? a \ u003d Oa y \ u003d a x a \ u003d a z a ?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Trên biểu đồ (Hình 16), tọa độ x và z xảy ra ba lần:

x \ u003d a z a? \ u003d Oa x \ u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Tất cả các phân đoạn tương ứng với tọa độ X(hoặc z) song song với nhau. Danh từ: Tọa độ tạiđược biểu diễn hai lần bởi trục tung:

y \ u003d Oa y \ u003d a x a

và hai lần - nằm theo chiều ngang:

y \ u003d Oa y \ u003d a z a ?.

Sự khác biệt này xuất hiện do trục y hiện diện trên biểu đồ ở hai vị trí khác nhau.

Cần lưu ý rằng vị trí của mỗi hình chiếu được xác định trên sơ đồ chỉ bằng hai tọa độ, đó là:

1) ngang - tọa độ X và tại,

2) phía trước - tọa độ x và z,

3) hồ sơ - tọa độ tại và z.

Sử dụng tọa độ x, y và z, bạn có thể xây dựng các hình chiếu của một điểm trên sơ đồ.

Nếu điểm A được cho bởi tọa độ, bản ghi của chúng được xác định như sau: A ( X; y; z).

Khi xây dựng các phép chiếu điểm NHƯNG các điều kiện sau phải được kiểm tra:

1) phép chiếu ngang và chiếu trực diện một và một? X X;

2) các hình chiếu trực diện và sơ lược một? và một? nên nằm trên cùng vuông góc với trục z, vì chúng có một tọa độ chung z;

3) hình chiếu ngang và cũng được loại bỏ khỏi trục X, giống như bản chiếu hồ sơ một xa trục z, kể từ khi chiếu ah? và hả? có một tọa độ chung tại.

Nếu điểm nằm trong bất kỳ mặt phẳng hình chiếu nào, thì một trong các tọa độ của nó bằng không.

Khi một điểm nằm trên trục hình chiếu thì hai tọa độ của nó bằng không.

Nếu một điểm nằm tại gốc tọa độ thì cả ba tọa độ của nó đều bằng không.

Các bề mặt của khối đa diện được biết đến là giới hạn trong các hình phẳng. Do đó, các điểm cho trên bề mặt của một hình đa diện bởi ít nhất một hình chiếu, trong trường hợp tổng quát, là các điểm xác định. Điều tương tự cũng áp dụng cho các bề mặt của các khối hình học khác: hình trụ, hình nón, quả bóng và hình xuyến, được giới hạn bởi các bề mặt cong.

Chúng ta hãy đồng ý mô tả các điểm nhìn thấy được nằm trên bề mặt của cơ thể dưới dạng vòng tròn, các điểm không nhìn thấy là các vòng tròn bị bôi đen (chấm); Các đường có thể nhìn thấy sẽ được hiển thị dưới dạng đường liền nét và đường không nhìn thấy là đường đứt nét.

Cho hình chiếu ngang A 1 của điểm A nằm trên mặt của lăng trụ tam giác thẳng đã cho (Hình 162, a).

TBegin -> TEnd ->

Như hình vẽ bên có thể thấy, mặt trước và mặt sau của lăng trụ đều song song với mặt phẳng chiếu chính diện P 2 và được chiếu lên nó không bị biến dạng, mặt bên dưới của lăng trụ song song với mặt phẳng hình chiếu ngang P 1 và cũng được chiếu mà không bị biến dạng. Các cạnh bên của lăng trụ là hình chiếu của các đường thẳng, do đó chúng được chiếu lên mặt phẳng hình chiếu trực diện P 2 dưới dạng các điểm.

Vì hình chiếu A 1. được mô tả bởi một vòng tròn ánh sáng, khi đó điểm A có thể nhìn thấy được và do đó, nằm ở mặt bên phải của lăng kính. Mặt này là một mặt phẳng chiếu chính diện, và hình chiếu chính diện A2 của điểm phải trùng với hình chiếu chính diện của mặt phẳng biểu diễn bằng một đoạn thẳng.

Sau khi vẽ đường thẳng k 123 không đổi, ta tìm được hình chiếu thứ ba A 3 của điểm A. Khi chiếu lên mặt phẳng hình chiếu của hình chiếu, điểm A sẽ không nhìn thấy được, do đó điểm A 3 là hình tròn màu đen. Việc xác định một điểm bằng hình chiếu trực diện B 2 là không xác định, vì nó không xác định khoảng cách của điểm B từ mặt trước của hình lăng trụ.

Hãy dựng hình chiếu đẳng áp của lăng trụ và điểm A (Hình 162, b). Nó là thuận tiện để bắt đầu xây dựng từ cơ sở phía trước của lăng kính. Chúng tôi xây dựng một tam giác của cơ sở theo các kích thước lấy từ bản vẽ phức tạp; dọc theo trục y "ta dành kích thước của cạnh lăng trụ sang một bên. Ta dựng ảnh axonometric A" của điểm A bằng cách sử dụng đường đa giác tọa độ được khoanh trong cả hai hình vẽ bằng một nét mảnh kép.

Cho hình chiếu qua C 2 của điểm C, nằm trên mặt phẳng của hình chóp tứ giác đều, cho bởi hai hình chiếu chính (Hình 163, a). Yêu cầu xây dựng ba hình chiếu của điểm C.

Từ hình chiếu chính diện có thể thấy đỉnh của hình chóp cao hơn so với mặt đáy hình vuông. Trong điều kiện này, tất cả bốn mặt bên sẽ hiển thị khi chiếu lên mặt phẳng chiếu ngang П 1. Khi chiếu lên mặt phẳng hình chiếu cạnh P 2 thì chỉ được mặt trước của hình chóp. Vì hình chiếu C 2 trong hình vẽ bên là một đường tròn sáng nên điểm C là ánh sáng và thuộc thiết diện của hình chóp. Để dựng hình chiếu ngang C 1, ta kẻ đường phụ D 2 E 2 đi qua điểm C 2, song song với đường sinh của đáy hình chóp. Ta tìm được hình chiếu ngang D 1 E 1 và điểm C 1 của nó, nếu có hình chiếu thứ ba của hình chóp thì ta tìm hình chiếu ngang của điểm C 1 đơn giản hơn: sau khi tìm được hình chiếu cắt C 3, ta dựng được hình thứ ba. một bằng cách sử dụng hai phép chiếu sử dụng các đường giao tiếp ngang và ngang-dọc. Tiến độ xây dựng được thể hiện trên bản vẽ bằng các mũi tên.

TBegin ->
Xu hướng ->

Hãy dựng một hình chiếu vuông góc của hình chóp và điểm C (Hình 163, b). Chúng tôi xây dựng cơ sở của kim tự tháp; đối với điều này, thông qua điểm O "lấy trên trục r", chúng tôi vẽ các trục x "và y"; trên trục x "chúng tôi dành các kích thước thực tế của cơ sở và trên trục y" - giảm một nửa. Qua các điểm thu được ta kẻ các đường thẳng song song với các trục x "và y". Trên trục z, chúng tôi vẽ đồ thị chiều cao của hình chóp; chúng tôi nối điểm thu được với các điểm của đáy, có tính đến khả năng hiển thị của các cạnh. Để tạo điểm C, chúng tôi sử dụng polyline tọa độ được khoanh tròn trong các hình vẽ bằng một đường mảnh gấp đôi. Để kiểm tra độ chính xác của lời giải, ta kẻ đường thẳng D "E" đi qua điểm C tìm được, song song với trục x ". Độ dài của nó phải bằng độ dài đoạn thẳng D 2 E 2 (hoặc D 1 E 1).

Vị trí của một điểm trong không gian có thể được xác định bằng hai phép chiếu trực giao của nó, ví dụ, ngang và trực diện, chính diện và mặt cắt. Sự kết hợp của hai phép chiếu trực giao bất kỳ cho phép bạn tìm ra giá trị của tất cả các tọa độ của một điểm, xây dựng hình chiếu thứ ba, xác định bát phân mà nó nằm trong đó. Chúng ta hãy xem xét một số nhiệm vụ điển hình trong quá trình mô tả hình học.

Theo cách vẽ phức đã cho của điểm A và điểm B, cần:

Đầu tiên chúng ta hãy xác định tọa độ của điểm A, tọa độ này có thể được viết dưới dạng A (x, y, z). Hình chiếu ngang của điểm A là điểm A ", có toạ độ x, y. Vẽ từ điểm A" các đường vuông góc với các trục x, y và lần lượt tìm A x, A y. Tọa độ x của điểm A bằng độ dài đoạn thẳng A x O với một dấu cộng, vì A x nằm trong vùng các giá trị dương của trục x. Tính đến tỷ lệ của hình vẽ, chúng tôi tìm thấy x \ u003d 10. Tọa độ y bằng độ dài của đoạn A y O với một dấu trừ, vì t. A y nằm trong vùng giá trị âm của trục y . Cho tỉ lệ của hình vẽ, y = -30. Hình chiếu qua của điểm A - điểm A "" có tọa độ x, z. Hãy thả vuông góc từ A "" xuống trục z và tìm A z. Tọa độ z của điểm A bằng độ dài đoạn thẳng A z O với dấu trừ, vì A z nằm trong vùng giá trị âm của trục z. Cho tỉ lệ của hình vẽ, z = -10. Như vậy, tọa độ của điểm A là (10, -30, -10).

Tọa độ của điểm B có thể được viết dưới dạng B (x, y, z). Xét hình chiếu ngang của điểm B - điểm B. "Vì nó nằm trên trục x nên B x \ u003d B" và toạ độ B y \ u003d 0. hoành độ x của điểm B bằng độ dài đoạn B x O bằng dấu cộng. Tính tỉ lệ hình vẽ, x = 30. Hình chiếu chính diện của điểm B - điểm B˝ có toạ độ x, z. Vẽ một đường vuông góc từ B "" với trục z, do đó tìm thấy B z. Ứng z của điểm B bằng độ dài của đoạn B z O với một dấu trừ, vì B z nằm trong vùng các giá trị âm của trục z. Có tính đến tỷ lệ của bản vẽ, chúng tôi xác định giá trị z = -20. Vậy tọa độ B là (30, 0, -20). Tất cả các cấu tạo cần thiết được hiển thị trong hình dưới đây.

Xây dựng các phép chiếu của các điểm

Các điểm A, B trong mặt phẳng P 3 có tọa độ như sau: A "" "(y, z); B" "" (y, z). Trong trường hợp này, A "" và A "" "nằm trên cùng một vuông góc với trục z, vì chúng có một tọa độ z chung. Theo cách tương tự, B" "và B" "" nằm trên một đường vuông góc chung đến trục z. Để tìm hình chiếu biên dạng của t A, chúng ta đặt giá trị của tọa độ tương ứng được tìm thấy trước đó dọc theo trục y. Trong hình bên, điều này được thực hiện bằng cách sử dụng một cung tròn bán kính A y O. Sau đó, chúng ta vẽ một đường vuông góc từ A y đến giao điểm với đường vuông góc khôi phục từ điểm A "" đến trục z. Giao điểm của hai đường vuông góc này xác định vị trí của A "" ".

Điểm B "" "nằm trên trục z, vì hoành độ y của điểm này bằng 0. Để tìm hình chiếu bằng của điểm B trong bài toán này, chỉ cần vẽ một đường vuông góc từ B" "đến z - trục. Giao điểm của vuông góc này với trục z là B "" ".

Xác định vị trí của các điểm trong không gian

Hình dung bằng mắt thường một bố cục không gian bao gồm các mặt phẳng chiếu P 1, P 2 và P 3, vị trí của các bát phân, cũng như thứ tự chuyển đổi bố cục thành sơ đồ, bạn có thể trực tiếp xác định rằng t. A nằm trong bát phân III, và t B nằm trong mặt phẳng P 2.

Một lựa chọn khác để giải quyết vấn đề này là phương pháp ngoại lệ. Ví dụ, tọa độ của điểm A là (10, -30, -10). Abscissa dương x giúp ta có thể phán đoán rằng điểm nằm trong bốn quãng tám đầu tiên. Tọa độ y âm chỉ ra rằng điểm đang ở trong bát phân thứ hai hoặc thứ ba. Cuối cùng, áp dụng phủ định của z chỉ ra rằng điểm A đang ở trong bát phân thứ ba. Lý do đưa ra được minh họa rõ ràng bằng bảng sau.

Octants	Dấu hiệu tọa độ
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Tọa độ điểm B (30, 0, -20). Vì hoành độ của t B bằng 0 nên điểm này nằm trong mặt phẳng hình chiếu П 2. Áp dụng dương và áp âm của điểm B chỉ ra rằng nó nằm trên biên giới của bát phân thứ ba và thứ tư.

Dựng hình ảnh trực quan của các điểm trong hệ các mặt phẳng P 1, P 2, P 3

Sử dụng phép chiếu đẳng áp phía trước, chúng tôi đã xây dựng một bố cục không gian của bát phân thứ ba. Nó là một khối tam diện đều là hình chữ nhật, có các mặt là các mặt phẳng P 1, P 2, P 3 và góc (-y0x) là 45º. Trong hệ thống này, các phân đoạn dọc theo các trục x, y, z sẽ được vẽ với kích thước đầy đủ mà không bị biến dạng.

Việc xây dựng hình ảnh trực quan của điểm A (10, -30, -10) sẽ bắt đầu bằng hình chiếu ngang của nó ". giao điểm của các đường vuông góc được khôi phục từ A x và A y tương ứng với các trục x và y xác định vị trí của điểm A ”. Đặt kẻ từ A "song song với trục z về phía các giá trị âm của nó đoạn AA" có độ dài bằng 10, ta tìm được vị trí của điểm A.

Hình ảnh trực quan của điểm B (30, 0, -20) được xây dựng theo cách tương tự - trong mặt phẳng P 2, các tọa độ tương ứng phải được vẽ dọc theo các trục x và z. Giao điểm của các đường vuông góc được dựng lại từ B x và B z sẽ xác định vị trí của điểm B.