Xác suất là mức độ (thước đo, đánh giá định lượng) khả năng xảy ra sự kiện nào đó.

Định nghĩa cổ điển của xác suất. Xác suất sự kiện ngẫu nhiên A là tỷ số giữa số n sự kiện sơ cấp có thể xảy ra như nhau tạo nên sự kiện A với số tất cả các sự kiện sơ cấp có thể có N:

Định nghĩa hình học của xác suất. Mặc dù thực tế là định nghĩa cổ điển là trực quan và bắt nguồn từ thực tiễn, ít nhất, nó không thể được áp dụng trực tiếp nếu số lượng các kết quả có thể xảy ra như nhau là vô hạn. Một ví dụ điển hình Vô số kết quả có thể xảy ra là một vùng hình học giới hạn G, ví dụ, trên một mặt phẳng, có diện tích S. Một "điểm" "ném" ngẫu nhiên với xác suất bằng nhau có thể ở bất kỳ điểm nào trong vùng này. Vấn đề là xác định xác suất một điểm rơi vào miền con g nào đó có diện tích s. Trong trường hợp này, tổng quát hóa định nghĩa cổ điển, chúng ta có thể đi đến định nghĩa hình học của xác suất, như tỷ số của s so với S:

Nếu các sự kiện B và C không thể xảy ra đồng thời, thì xác suất để một trong các sự kiện B hoặc C xảy ra bằng tổng các xác suất của các sự kiện này:

P (A + B) = P (A) + P (B).

Nếu sự kiện B không phụ thuộc vào sự kiện C, thì xác suất để cả hai sự kiện B và C xảy ra bằng tích các xác suất của các sự kiện này:

P (A B) = P (A) P (B).

Khi giải các bài toán tìm xác suất, người ta thường sử dụng thông tin từ tổ hợp, đặc biệt là các quy tắc về tổng và tích.

Quy tắc tính tổng. Nếu một số đối tượng A có thể được chọn từ một tập hợp các đối tượng bằng m cách và một đối tượng B khác có thể được chọn trong n cách, thì A hoặc B có thể được chọn trong m + n cách.

Quy tắc nhân. Nếu một số đối tượng A có thể được chọn từ một tập hợp các đối tượng theo m cách và sau mỗi lần chọn như vậy một đối tượng B khác có thể được chọn trong n cách, thì cặp đối tượng (A, B) theo thứ tự đã chỉ ra có thể được chọn trong m · N cách.

Các vấn đề với giải pháp

1. Lăn xúc xắc.

Một con xúc xắc thông thường có các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nó được ném ngẫu nhiên cho đến khi tổng điểm rơi ra trong quá trình ném vượt quá số 12. Cái gì tổng cộngđiểm sẽ có nhiều khả năng nhất?

Hãy xem xét lần ném áp chót. Sau đó, tổng số phải lấy một trong các các giá trị sau: 12, 11, 10, 9, 8, 7. Nếu là 12, thì kết quả chung sẽ có khả năng như nhau là 13, 14, 15, 16, 17, 18. Tương tự, nếu tổng là 11, kết quả cuối cùng có khả năng như nhau là 13, 14, 15, 16, 17, v.v. Con số 13 xuất hiện như một ứng cử viên bình đẳng trong mỗi trường hợp và là số ít thuộc loại như vậy. Như vậy, con số 13 là có khả năng xuất hiện cao nhất.

Nói chung, các đối số tương tự cho thấy rằng tổng có khả năng cao nhất vượt quá n lần đầu tiên (n bằng 6 trở lên) là n + 1.

2. Phù phiếm thành viên ban giám khảo.

Trong ban giám khảo ba thành viên, hai thành viên độc lập đưa ra quyết định chính xác với xác suất p và thành viên thứ ba tung đồng xu để đưa ra quyết định ( quyết định cuối cùng theo đa số phiếu). Ban giám khảo một người đưa ra quyết định công bằng với xác suất p. Bồi thẩm đoàn nào trong số này có nhiều khả năng đưa ra quyết định công bằng hơn?

p (1 - p) + (1 - p) p = 2p (1 - p),

sau đó để tìm xác suất quyết định đúng Con số này phải được nhân với 1/2. Vì vậy, xác suất đầy đủđưa ra quyết định công bằng bởi hội đồng giám khảo gồm ba người tương đương với

p 2 + p (1 – p) = p,

giống như xác suất tương ứng đối với bồi thẩm đoàn một người.

Trả lời: cả hai loại bồi thẩm đoàn đều có xác suất đưa ra quyết định đúng như nhau.

3. Các tam giác không giao nhau.

Từ những đỉnh núi n-gon thường xuyên(n> 5) hai bộ ba được chọn ngẫu nhiên các điểm khác nhau. Xác suất để hai tam giác có đỉnh là bộ ba đã chọn không cắt nhau là bao nhiêu?

Chúng tôi chia tất cả các cặp bộ ba đỉnh có thể có thành C n 6 nhóm, tập hợp vào một nhóm và chỉ những cặp bộ ba tạo thành sáu đỉnh giống nhau. Mặt khác, mỗi nhóm như vậy chứa bao nhiêu phần tử thì có cách chia sáu đỉnh cố định thành hai bộ ba, tức là C 6 3 = 20 phần tử. Mặt khác, có đúng 6 cách chia một số sáu thành hai bộ ba thỏa mãn điều kiện yêu cầu của bài toán. Do đó, xác suất mong muốn là 6/20 = 0,3.

Đáp số: 0,3.

4. Bóng trắng và đen.

Trong hai bình có hai bi trắng và đen, tổng số bi trong cả hai bình là 25. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi bình ra một bi. Biết rằng xác suất cả hai bi rút ra đều màu trắng là 0,54, tìm xác suất để cả hai bi rút ra đều có màu đen.

Gọi tổng số bi trong bình thứ nhất và bình thứ hai lần lượt bằng m 1 và m 2 (để xác định, ta giả sử m 1 không lớn hơn m 2) và số bi trắng trong các bình này bằng nhau đến k 1 và k 2, tương ứng. Khi đó xác suất để cả hai bi rút ra đều có màu trắng là

(k 1 / m 1) (k 2 / m 2).

Chúng tôi nhận được các tỷ lệ:

(k 1 / m 1) (k 2 / m 2) \ u003d 0,54 \ u003d 27/50,

27m 1 m 2 \ u003d 50k 1 k 2,

thì có ít nhất một trong các số m 1, m 2 chia hết cho 5. Nhưng tổng m 1 + m 2 cũng chia hết cho 5 nên mỗi số m 1, m 2 chia hết cho 5. Như vậy, ta có chỉ có hai khả năng:

hoặc m 1 = 5, m 2 = 20,

hoặc m 1 = 10, m 2 = 15.

Trong trường hợp m 1 = 5, m 2 = 20, ta nhận được k 1 k 2 = 54, trong đó k 1 không vượt quá 5 và k 2 không vượt quá 20. Sau khi xem qua tất cả các giá trị có thể có của k i, ta tìm được k 1 = 3, k 2 = 18. Khi đó bình thứ nhất chứa 2 bi đen, bình thứ hai cũng chứa 2 bi đen, xác suất để lấy được hai bi đen là (2/5) · (2/20) = 0,04.

Tương tự, trong trường hợp m 1 = 10, m 2 = 15, ta tìm được k 1 = 9, k 2 = 9. Khi đó trong bình thứ nhất có 1 bi đen, 6 bi đen trong bình thứ hai và xác suất để lấy được hai bi đen là (1/10) · (6/15) = 0,04 (trong cả hai trường hợp các câu trả lời đều giống nhau ).

Đáp số: 0,04.

5. Đấu tay đôi.

Ba mũi tên A, B, C quyết đấu tay đôi cùng một lúc. Chúng nằm ở trên cùng Tam giác đều và thống nhất những điều sau đây: lần bắn thứ nhất được thực hiện bởi A, lần thứ hai bởi B, lần thứ ba được thực hiện bởi C, và cứ tiếp tục như vậy trong một vòng tròn; nếu một trong hai người bắn bị loại, thì trận đấu sẽ tiếp tục giữa hai người còn lại. Được biết, người bắn A bắn trúng mục tiêu với xác suất 0,3, người bắn C với xác suất 0,5 và người bắn B không bao giờ bắn trượt. Mỗi người bắn vào một trong hai người còn lại hoặc lên không trung theo cách để có nhiều khả năng thắng cuộc đấu tay đôi nhất. Người bắn A nên bắn phát đầu tiên ở đâu: ở người bắn C, ở người bắn B, hay lên không trung?

Hãy xem xét ba sự kiện có thể xảy ra sau lần bắn đầu tiên của người bắn A.

C. Khi đó, với xác suất 1, người bắn A sẽ bị bắn trúng phát đầu tiên của B.

Struck by V. Sau đó:

hoặc với xác suất 0,5 người bắn C sẽ bắn trúng A với phát bắn đầu tiên của mình,

hoặc với xác suất (1 - 0,5) 0,3 người bắn A sẽ bắn trúng C bằng lượt bắn thứ hai,

hoặc với xác suất (1 - 0,5) * (1 - 0,3) * 0,5 người bắn C sẽ bắn trúng A bằng phát thứ hai,

hoặc với xác suất (1 - 0,5) * (1 - 0,3) * (1 - 0,5) * 0,3 người bắn A sẽ bắn trúng C với lần bắn thứ ba, v.v.

Do đó, xác suất để A thắng trong trường hợp này là

0,5 0,3 + 0,5 0,7 0,5 0,3 + 0,5 0,7 0,5 0,7 0,5 0,3 +. . . =

0,15 (1 + 0,35 + 0,35 2 +...) = 0,15 1 / (1 - 0,35) = (15/100) (100/65) = 3/13.

3) Không ai ngạc nhiên. Sau đó, B sẽ bắn vào C (càng chính xác của đối thủ) và bắn trúng anh ta. Khi đó A với xác suất là 0,3 sẽ bắn trúng B, thắng cuộc đấu tay đôi. Như vậy, vì 0,3> 3/13, tình huống thuận lợi nhất cho người bắn A là khi không có ai bị bắn sau cú đánh của anh ta. Vì vậy, trước tiên anh ta phải bắn trên không.

Trả lời: Lần đầu tiên A phải bắn lên không trung.

6. Quả bóng màu đỏ và xanh lá cây.

Túi đựng 6 quả bóng màu đỏ và 8 quả bóng màu xanh lá cây. 5 người trong số họ được rút ngẫu nhiên và đặt vào hộp màu đỏ, 9 viên bi còn lại được đặt vào hộp màu xanh lá cây. Tính xác suất để số bi đỏ trong hộp xanh cộng với số bi xanh trong hộp đỏ không phải là một số nguyên tố?

Ký hiệu bằng G số bi xanh trong hộp đỏ. Vì có 6 quả bóng màu đỏ và 8 quả bóng màu xanh lá cây nên màu sắc được phân bố giữa các hộp như sau:

Ô màu đỏ: G xanh, (5 - G) đỏ;

Ô xanh: (8 - G) xanh, (G + 1) đỏ.

Vậy số bi đỏ trong hộp xanh cộng với số bi xanh trong hộp đỏ là (G + 1) + G = 2G + 1, một số lẻ. Số G không vượt quá 5 - toàn bộ bóng trong một hộp màu đỏ. Do đó, tổng 2G + 1 có thể nhận các giá trị từ 1 (G = 0) đến 11 (G = 5).

Số tổng hợp lẻ duy nhất trong các giới hạn này là 9. Tuy nhiên, chúng ta cũng phải bao gồm số 1, không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số. Vì vậy, 2G + 1 phải là 0 hoặc 9, điều này có thể xảy ra với G = 0 hoặc G = 4.

Xác suất lấy được mẫu có G = 0 (số cách lấy có 5 màu đỏ chia cho tổng số mẫu) là C 6 5 / C 14 5.

Xác suất lấy được mẫu có G = 4 (số cách lấy 4 xanh và 1 đỏ chia hết cho tổng số mẫu) là C 8 4 C 6 1 / C 14 5.

Chúng tôi tìm xác suất của sự kiện mong muốn là tổng các xác suất được chỉ ra:

(C 6 5 + C 8 4 C 6 1) / C 14 5 \ u003d (6 + 420) / 2002 \ u003d 213/1001.

Đáp số: 213/1001.

7. Đầu hay đuôi?

Hai người chơi A và B đang quan sát một cậu bé tung đồng xu không ngừng. Kết quả của lần tung được ghi tuần tự bằng các chữ cái: on nơi thứ k trình tự, chữ O hoặc chữ P được đặt, tùy thuộc vào những gì rơi ra trong lần tung thứ k - tương ứng là “đại bàng” hoặc “đuôi”. Người chơi A tuyên bố rằng ba người của OOO sẽ gặp nhau trên bảng điểm trước ba người của ORO. Người chơi B đặt cược rằng điều ngược lại sẽ xảy ra. Người chơi nào có nhiều khả năng thắng cuộc tranh chấp này hơn?

Sau chữ O đầu tiên (kể từ lúc bắt đầu quan sát cậu bé, với xác suất là 1, chữ O sẽ xuất hiện ít nhất một lần) với cùng xác suất bằng 1/4, một trong các tổ hợp sau có thể theo sau:

RO, OO, RR, HOẶC.

Trong trường hợp đầu tiên, người chơi B thắng, trong trường hợp thứ hai, người chơi A thắng, và nếu trường hợp thứ ba được thực hiện, thì sau đó người chơi sẽ có cơ hội như lúc đầu trò chơi. Trong trường hợp thứ tư, với xác suất 1/2, chữ O sẽ đi theo và người chơi B sẽ thắng, và với xác suất 1/2, chữ P sẽ theo sau, sau đó người chơi sẽ có cơ hội tương tự như ở đầu trò chơi. Như vậy, với xác suất 1/4, A thắng, với xác suất

1/4 + 1/4 1/2 = 3/8

B sẽ thắng và với xác suất là 3/8 một tình huống sẽ phát sinh khi các cầu thủ có cơ hội như lúc đầu ván đấu. Do đó, người chơi B có nhiều khả năng chiến thắng hơn người chơi A.

Đáp án: người chơi B.

8. Trong rạp hát.

Tám chàng trai và bảy cô gái độc lập mua mỗi người một vé trong cùng một dãy rạp gồm 15 chỗ ngồi. Số vị trí liền kề trung bình của các cặp vợ chồng trong hàng này là bao nhiêu?

Ví dụ, nếu hàng được điền theo cách sau YYUDDDYUDYUDYYDD (ở đây Y là viết tắt của con trai và D là con gái), thì có 9 cặp YU và YU. Chúng tôi quan tâm đến số lượng trung bình của các cặp như vậy. Nếu hai vị trí đầu tiên trong hàng được chiếm bởi những người thuộc giới tính khác nhau, thì chúng ta đã có cặp mong muốn. Xác suất của sự kiện này là

(8/15) (14/7) + (7/15) (14/8) = 8/15.

Hơn nữa, 8/15 cũng là số cặp trung bình ở hai vị trí đầu tiên, vì

(8/15) 1 + (7/15) 0 = 8/15.

Lập luận tương tự áp dụng cho mọi cặp vị trí liền kề.

Để xác định số cặp thanh niên trung bình, giá trị này phải nhân với số vị trí liền kề, bằng 14, thu được 112/15.

Hơn Một cách tổng quát Nếu có b đồ vật cùng loại và m đồ vật khác được xếp ngẫu nhiên thành một hàng, thì số cặp trung bình tạo thành từ các đồ vật khác nhau bằng

Trong ví dụ của chúng tôi, b = 8, m = 7 và câu trả lời là 112/15.

Ở đây, về cơ bản chúng ta đã sử dụng thực tế rằng kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán họcđiều kiện. Chúng tôi tìm thấy số cặp DO hoặc DO trung bình cho mỗi hai vị trí liền kề và tổng hợp trên tất cả các cặp như vậy.

Trả lời: 112/15.

9. Trong một trong những trò chơi phổ biến ở Mỹ, người chơi ném một đồng xu từ một khoảng cách khá lớn lên bề mặt bàn, được phân chia thành các ô vuông một inch. Nếu đồng xu (đường kính 3/4 inch) rơi hoàn toàn vào bên trong hình vuông, thì người chơi sẽ nhận được phần thưởng, nếu không thì anh ta sẽ mất đồng xu của mình. Cơ hội chiến thắng nếu đồng xu rơi trên bàn là bao nhiêu?

Khi chúng ta tung đồng xu lên bàn, một số khu vực trọng tâm của đồng xu có nhiều khả năng hơn những khu vực khác, nhưng nếu hình vuông đủ nhỏ, chúng ta có thể cho rằng phân bố xác suất là đồng nhất. Điều này có nghĩa là xác suất tâm rơi vào bất kỳ khu vực nào của hình vuông tỷ lệ với diện tích của khu vực này; nó bằng diện tích của diện tích chia cho diện tích của hình vuông. Vì bán kính của đồng xu là 3/8 inch, tâm không được gần hơn 3/8 inch so với các cạnh của hình vuông để người chơi thắng.

Hạn chế này được đáp ứng bởi một hình vuông có cạnh 1/4 inch, bên trong có tâm của đồng xu phải nằm. Vì xác suất tỷ lệ thuận với các khu vực nên xác suất chiến thắng là (1/4) 2 = 1/16.

Tất nhiên, đồng xu có thể hoàn toàn không rơi xuống bàn, và xác suất chiến thắng thực sự thậm chí còn ít hơn. Hình vuông cũng có thể được giảm bớt bằng cách làm dày các đường phân chia. Nếu những đường này dày 1/16 inch, thì khu vực chiến thắng tương ứng với xác suất (3/16) 2 = 9/256, hoặc nhỏ hơn 1/28.

Đáp số: 1/16.

10. Tung đồng xu.

Người chơi A tung đồng xu n + 1 lần và người chơi B n lần. Xác suất để người chơi A có nhiều đầu hơn người chơi B là bao nhiêu?

Cho người chơi A và B lần lượt lấy m và k đầu. Khi đó xác suất mong muốn p của biến cố m> k bằng xác suất q của biến cố

(n + 1) - m> n - k,

nghĩa là xác suất mà người chơi A sẽ nhận được nhiều đầu hơn người chơi B (vì đầu và đuôi có khả năng xuất hiện như nhau trên mỗi lần tung đồng xu).

Mặt khác, biến cố m> k xảy ra khi và chỉ khi

nghĩa là khi (n + 1) –m không vượt quá n – k (vì n – m và n – k là các số nguyên). Do đó p = 1 – q, khi đó ta có p = q = 1/2.

Trả lời: 1/2.

Các vấn đề không có giải pháp

1. Những trận thắng liên tiếp.

Để khuyến khích con trai đang tiến bộ trong môn quần vợt, cha của anh ta hứa cho anh ta một giải thưởng nếu anh ta thắng ít nhất hai trận quần vợt liên tiếp trước cha mình và nhà vô địch câu lạc bộ theo một trong các sơ đồ sau: cha - nhà vô địch - cha hoặc nhà vô địch - lựa chọn của cha - con trai vô địch. Nhà vô địch chơi tốt hơn cha. Con trai tôi nên chọn chương trình nào?

2. "Thử vận ​​may"

"Thử vận ​​may của bạn" bài bạc, thường được chơi trong các nhà cái cờ bạc và trong các lễ hội. Sau khi người chơi đặt cược vào một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ba xúc xắc. Nếu số của người chơi rơi vào một, hai hoặc ba viên xúc xắc, thì đối với mỗi lần xuất hiện của số này, người chơi sẽ được trả tiền cược ban đầu, đồng thời tiền của chính mình cũng được trả lại. Nếu không, người chơi sẽ thua cược. Mức thua lỗ trung bình của một người chơi trong một lần đặt cược là bao nhiêu? (Trên thực tế, bạn có thể đặt cược vào nhiều số cùng một lúc, nhưng mỗi lần đặt cược được xem xét riêng biệt.)

3. Một bộ bài.

Bộ bài của n khác nhau đang chơi bài, sắp xếp theo thứ tự ngẫu nhiên, chứa ba con át chủ bài. Các quân bài trên cùng của bộ bài được loại bỏ lần lượt cho đến khi quân bài thứ hai bị loại bỏ. Chứng minh rằng số quân bài trung bình được rút ra là (n + 1) / 2.

4. Bó hoa

Một bó hoa gồm có 5 bông hoa cúc và 10 bông hoa ngô đồng. Từ bó hoa này, mỗi bó hoa nhỏ gồm 3 bông được xếp ngẫu nhiên. Xác suất để mỗi bó nhỏ chứa một bông hoa cúc là bao nhiêu?

5. Hình tam giác.

Ba điểm A, B, C được chọn ngẫu nhiên trên đường tròn. Tính xác suất để tam giác ABC có góc nhọn là bao nhiêu?

Không phải là của Russell về thợ cắt tóc và lập luận về đường chéo, mà là của Joseph Louis Francois. Bao gồm những điều sau đây.
Nhiệm vụ: có một hình tròn, chúng tôi rút ngẫu nhiên một hợp âm ở đó. Xác suất của một sự kiện là gì
A \ u003d (hợp âm dài hơn cạnh của một tam giác đều nội tiếp trong một đường tròn)?

Câu trả lời phụ thuộc vào cách chúng ta chọn hợp âm này một cách chính xác như thế nào. Cụ thể, có ba phương pháp (có thể nhiều hơn, nhưng điều này là đủ cho bây giờ):

Phương pháp 1: Hợp âm - nó là gì? Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Không cần thêm gì nữa, chúng ta hãy lấy hai điểm ngẫu nhiên trên vòng tròn này (theo một cách độc lập) và vẽ một hợp âm giữa chúng. Vì mọi thứ ở đây đều đối xứng, nên điểm đầu tiên sẽ rơi trực tiếp vào Cực Bắc, và sự kiện NHƯNG xảy ra khi điểm thứ hai chạm vào vòng cung màu đỏ trong hình (tất cả các hợp âm trong bài đăng này là màu xanh lam):

Đó là, rõ ràng, xác suất mong muốn là 1/3.

Phương pháp 2. Bây giờ chúng ta hãy lấy nó và vẽ hợp âm như thế này. Đầu tiên chúng ta chọn một bán kính ngẫu nhiên (tức là nối tâm với một điểm ngẫu nhiên trên đường tròn), sau đó chúng ta chọn một điểm ngẫu nhiên trên đó, vẽ một đường vuông góc và lấy một hợp âm. Một lần nữa, BOOMS, bán kính này dẫn đến cực bắc (và tại sao tôi lại bị thu hút đến cực bắc ...) và cạnh của một tam giác đều (có đỉnh tại cực Nam) chia bán kính này đúng một nửa, và một lần nữa so với việc chiêm ngưỡng bức tranh

(Điều cần thiết là một điểm ngẫu nhiên trên bán kính rơi trên đoạn màu đỏ) thì rõ ràng xác suất mong muốn bằng 1/2.

Phương pháp 3. Nói chung chỉ cần chọn một điểm ngẫu nhiên bên trong vòng tròn. Rõ ràng là chúng ta không thể đi đúng tâm điểm, có nghĩa là có một hợp âm duy nhất có điểm chính giữa của nó trùng với điểm đã chọn. Hãy xem xét nó. Đúng hơn, hãy xem xét bức tranh

và với tất cả các bằng chứng, chúng tôi nhận được rằng xác suất mong muốn bằng 1/4 (bán kính của hình tròn bên trong, nơi điểm được chọn sẽ rơi, nhỏ hơn hai lần so với bán kính ban đầu).

Đây. Một vấn đề, ba câu trả lời khác nhau, 1/3, 1/2, 1/4. Và ở đây, lúc này thường kết luận bài toán được xây dựng sai công thức, yêu cầu phải chỉ ra chính xác ý của chúng ta là "chọn hợp âm ngẫu nhiên", nếu không thì không thể. Cho nên?

Nhưng không phải vậy! Chính xác hơn, không hoàn toàn như vậy. Đây là vấn đề: nếu chúng ta muốn hình thành tất cả các vấn đề xác suất một cách hoàn toàn chặt chẽ và chính xác, thì thay vì, ví dụ: "trong số mười người, chúng ta chọn ngẫu nhiên hai người", chúng ta sẽ phải viết một cái gì đó như "từ tập hợp của tất cả các cặp không có thứ tự các yếu tố khác nhauđặt (1, ..., 10) chúng tôi chọn một cặp có phân phối xác suất đồng đều. "Chà, cái quái gì vậy, tôi nghĩ thường rõ ràng là khi họ nói" chúng tôi chọn ngẫu nhiên "mà không cần giải thích thêm, điều này có nghĩa là lựa chọn là tương đương, tức là, được thực hiện với một phân phối đồng đều.

ĐƯỢC RỒI. Tốt. Nhưng ở đây tôi sẽ phản đối theo nghĩa là

Rõ ràng việc chọn một phần tử ngẫu nhiên của tập hợp từ N các phần tử (mỗi phần tử được lấy với một xác suất 1 / N)

Nó cũng trực quan rõ ràng thế nào là sự phân bố đồng đều trong một số khu vực, chẳng hạn, trên một mặt phẳng (hình tròn, hình vuông, ...).

Nhưng những đối tượng phức tạp hơn thì sao?

Và chúng tôi sẽ trả lời nó theo cách này. Về cơ bản, tôi thậm chí sẽ nói đặc tính tính chất của phân phối đồng đều. Để cho được H- một số tập hợp con của tập hợp G và chọn một đối tượng từ G một cách khó tin. Vì vậy, với điều kiện là kết quả là H- nó có một phân bố đồng đều ở đó, một bất biến như vậy thu được. Ví dụ, nếu một người được chọn ngẫu nhiên từ một nhóm 5 nam / 5 nữ và biết rằng đây là nữ, thì bất kỳ ai trong số 5 người đó đều có cơ hội được chọn như nhau (1/5). Và tất cả điều này cũng áp dụng cho việc lựa chọn đồng nhất một điểm từ một khu vực.

Vậy thì, chúng ta muốn gì từ một hợp âm ngẫu nhiên? Theo những điều trên, có vẻ hợp lý với tôi rằng chúng tôi muốn những điều sau:

với điều kiện là hợp âm ngẫu nhiên AB giao nhau giữa một vòng tròn nhỏ (tạo ra một hợp âm A "B"), hợp âm này A "B" có cùng phân phối xác suất chỉ là một "hợp âm ngẫu nhiên" (bất kể điều đó có nghĩa là gì, hiện tại) trong một vòng tròn nhỏ.

Vì vậy, nó chỉ ra rằng trong ba phương pháp trên để xây dựng một hợp âm ngẫu nhiên, chỉ có phương pháp 2 có tính chất này! Và không ai khác ngoài anh ta; tất cả những người khác đều không phù hợp. Tất cả điều này đã được biết từ lâu, hãy xem bài viết, tôi rất khuyên bạn nên làm như vậy.

Tuy nhiên, những gì chúng ta đã thảo luận ở đây gợi ý những suy nghĩ như vậy. Được rồi, bây giờ chúng ta biết rằng có một hợp âm ngẫu nhiên của vòng tròn. thế nào
những nhà toán học thực thụ, chúng tôi muốn tổng quát hóa nó, từ hình tròn đến hình elip, hình vuông, siêu ống, bất cứ thứ gì. Vâng, chúng ta hãy thử.

Nó có nghĩa là, lặp lại quá khứ, một hợp âm là một đoạn nối hai điểm trên biên giới của khu vực của chúng tôi. Thay vì chọn hai điểm này cùng một lúc, hãy thử làm theo cách khác: trước tiên chúng tôi chọn một điểm trên đường viền (theo một cách nào đó), và sau đó chúng tôi chọn hướng (theo một số cách khác), anh ấy sẽ đi đâu hợp âm từ thời điểm này. Và cô ấy sẽ đi đến điểm giao cắt với biên giới, nơi cô ấy sẽ đến - sẽ có điểm thứ hai.

Chỉ như bài tập đơn giản dựa trên kiến ​​thức về phép đo âm trường, hãy chứng minh rằng phương pháp 1 tương đương với quy trình sau: đầu tiên, chúng ta lấy một điểm cách đều trên đường tròn, và sau đó hướng của hợp âm cũng được chọn với phân bố đều, như thể tất cả các hướng đều có xác suất như nhau. .

Và với phương pháp quý giá 2 của chúng tôi, tình huống như sau: hướng của hợp âm được chọn theo định luật cosin, tức là mật độ phân bố của hướng này tỷ lệ với cosin của góc giữa nó và bán kính (chứng minh điều đó!). Điều gì sẽ xảy ra nếu một quy trình tương tự được thực hiện với một vùng tùy ý nhiều hơn hoặc ít hơn (chúng tôi sẽ không viết các nhận xét nhàm chán về độ trơn tru của ranh giới của nó ở đây), cụ thể là

(a) trước tiên chọn một điểm đồng nhất trên ranh giới

(b) chúng tôi chọn hướng từ đó theo định luật cosin (góc hợp với pháp tuyến đến biên tại điểm này), và hợp âm đã đi.

Nó chỉ ra rằng tất cả đều thực sự hoạt động, và thậm chí ở bất kỳ chiều không gian nào! Có thể chứng minh rằng


(gần như copy-paste, phiền bạn) đưa ra điều đó, đó là một hợp âm ngẫu nhiên AB giao nhau giữa vùng bên trong (tạo ra ở đó một hợp âm A "B"), hợp âm này A "B" có cùng phân phối xác suất chỉ là một hợp âm ngẫu nhiên bên trong ( khu vực bên ngoàiở đây nó ít nhiều là tùy ý, nhưng bên trong là lồi, để hợp âm "cảm ứng" luôn được xác định duy nhất). Tôi sẽ tận dụng cơ hội này và quảng cáo một bài báo ở đây, mặc dù chúng tôi đã phát minh ra bánh xe ở đây và ở đó. Ít nhất tôi nên đọc cuốn sách trước (và tôi thực sự khuyên bạn nên đọc cuốn sách đó, vâng).

________________________________________ _____________________________________

Jaynes, E.T. (Năm 1973). "Vấn đề được bố trí tốt". Tìm. Thể chất. 3 (4): 477-492.

F. Sao chổi, S. Popov, G.M. Schütz, M. Vachkovskaia (2009)
Bida trong một miền tổng quát với phản xạ ngẫu nhiên.
Lưu trữ cho Cơ học và Phân tích Hợp lý, 193 (3), pp. 737-738,
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-008-0120-x?LI=true
Xem thêm Erratum tại đây: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-009-0236-7?LI=true, vì họ đã sai.
Và tốt nhất bạn nên đọc tại đây: http://arxiv.org/abs/math/ 0612799, mọi thứ đã được khắc phục ở đó và truy cập miễn phí.

Kendall, Moran. (1972)
xác suất hình học.
Tôi nghĩ rằng mọi người sẽ tìm thấy nơi để tải xuống :)

Kế hoạch phác thảo được phát triển

Trofimova Ludmila Alekseevna

xác suất hình học

Mục tiêu và mục đích: 1) Giới thiệu cho học sinh một trong những những cách khả thi nhiệm vụ

xác suất;

2) Lặp lại quá khứ và củng cố các kỹ năng chính thức hóa

văn bản các bài toán xác suất với sự trợ giúp của các hình dạng hình học.

Kết quả học tập:

1) Biết định nghĩa xác suất hình học lựa chọn điểm

bên trong một hình trên một mặt phẳng và một đường thẳng;

2) Có thể giải các bài toán đơn giản nhất về xác suất hình học,

biết diện tích của các hình hoặc có thể tính toán chúng.

Tôi. Chọn một điểm từ một hình trên mặt phẳng.

ví dụ 1 Coi như thử nghiệm suy nghĩ: một chất điểm được ném ngẫu nhiên vào một hình vuông có cạnh bằng 1. Câu hỏi đặt ra là xác suất để khoảng cách từ điểm này đến cạnh gần nhất của hình vuông không lớn hơn là bao nhiêu?

Trong nhiệm vụ này chúng tôi đang nói chuyện về cái gọi là xác suất hình học.

Một điểm được ném ngẫu nhiên vào một mảnh F trên bề mặt. Xác suất để điểm rơi vào một hình dạng nào đó là bao nhiêu g, chứa trong hình F.

Câu trả lời phụ thuộc vào ý nghĩa mà chúng ta đặt trong biểu thức "ném ngẫu nhiên một điểm."

Biểu thức này thường được hiểu như sau:

1. Điểm ném có thể chạm vào bất kỳ phần nào của hình F.

2. Xác suất để điểm đó có hình dạng G bên trong hình F, tỷ lệ thuận với diện tích của hình G.

Tóm lại: hãy để và là diện tích của các hình F và G. Xác suất sự kiện NHƯNG"điểm X thuộc hình vẽ g, chứa trong hình F", bằng

Lưu ý rằng diện tích của hình G không nhiều hơn diện tích của hình F,Đó là lý do tại sao

Hãy quay trở lại nhiệm vụ của chúng ta. Nhân vật F trong ví dụ này là một hình vuông có cạnh 1. Do đó = 1.

Điểm bị xóa khỏi đường viền của hình vuông không nhiều hơn nếu nó rơi vào hình được tô bóng trong hình G.Để tìm diện tích, bạn cần từ diện tích \ u200b \ u200bình F trừ diện tích của hình vuông bên trong có cạnh.

Sau đó, xác suất để điểm chạm vào con số g, bằng

Ví dụ 2Điểm X được chọn ngẫu nhiên từ tam giác ABC, tìm xác suất để nó thuộc tam giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác.

Quyết định: Các đường trung trực của tam giác chia nó thành 4 tam giác bằng nhau. Có nghĩa,

Xác suất điểm X thuộc tam giác KMN là:

Sự kết luận. Xác suất của một điểm chạm vào một hình nào đó tỷ lệ thuận với diện tích của hình này.

Nhiệm vụ. Những kẻ đấu khẩu thiếu kiên nhẫn.

Những cuộc đấu tay đôi ở thành phố Caution hiếm khi kết thúc với một kết cục đáng buồn. Thực tế là mỗi đấu sĩ đến điểm hẹn vào một thời điểm ngẫu nhiên từ 5 đến 6 giờ sáng và sau khi đợi đối thủ 5 phút thì rời đi. Nếu người sau đến trong vòng 5 phút này, trận đấu sẽ diễn ra. Có bao nhiêu cuộc đấu tay đôi thực sự kết thúc trong trận chiến?

Quyết định:Để cho được X và tại biểu thị thời gian xuất hiện của t thứ nhất trong số những người đấu thứ 2, tương ứng, được đo bằng phần nhỏ của một giờ bắt đầu từ 5 giờ.

Các đấu sĩ gặp nhau nếu, tức là x - < y< x + .

Hãy thể hiện nó trên bản vẽ.

Phần bóng mờ của hình vuông tương ứng với trường hợp các tay đôi gặp nhau.

Diện tích toàn bộ hình vuông 1, diện tích phần tô bóng:

.

Do đó, cơ hội đấu tay đôi là ngang nhau.

II. Chọn một điểm từ một đoạn thẳng và một cung của đường tròn.

Hãy xem xét một thí nghiệm tinh thần, bao gồm sự lựa chọn ngẫu nhiên một điểm X từ một đoạn MN nào đó.

Điều này có thể được hiểu như thể điểm X ngẫu nhiên được "ném" vào phân đoạn. sự kiện sơ cấp trong thử nghiệm này, có thể trở thành lựa chọn bất kỳ điểm nào của phân khúc.

Cho đoạn thẳng CD nằm trong đoạn thẳng MN. Chúng tôi quan tâm đến sự kiện NHƯNG , bao gồm thực tế là điểm X được chọn thuộc đoạn CD.

Phương pháp tính xác suất này giống như đối với các hình trên mặt phẳng: xác suất tỷ lệ với độ dài của đoạn thẳng CD.

Do đó, xác suất của một sự kiện NHƯNG "Điểm X thuộc đoạn thẳng CD nằm trong đoạn thẳng MN" là ,.

ví dụ 1 Một điểm X được chọn ngẫu nhiên bên trong đoạn thẳng MN Tìm xác suất để điểm X gần điểm N hơn điểm M.

Quyết định: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Sự kiện của chúng ta sẽ xảy ra khi điểm X nằm bên trong đoạn ON.

sau đó .

Không có gì thay đổi nếu điểm X được chọn không phải từ một đoạn mà từ một cung của một đường cong nào đó.

Ví dụ 2 Các điểm A và B nằm trên một đường tròn và các điểm này không đối nhau theo đường kính. Chọn điểm C trên cùng một đường tròn Tìm xác suất để đoạn thẳng BC cắt đường kính của đường tròn đi qua điểm A.

Quyết định: Cho chu vi bằng L. Sự kiện mà chúng ta quan tâm Đến "Đoạn BC cắt đường kính DA" chỉ xảy ra khi điểm C nằm trên DA hình bán nguyệt không chứa điểm B. Độ dài của hình bán nguyệt này là L.

.

Ví dụ 3Điểm A được lấy trên đường tròn, điểm B được “ném” vào đường tròn. Tính xác suất để độ dài của dây AB nhỏ hơn bán kính của đường tròn.

Quyết định: Gọi r là bán kính của hình tròn.

Để dây cung AB ngắn hơn bán kính đường tròn thì điểm B phải nằm trên cung B1AB2 có độ dài bằng chu vi hình tròn.

Xác suất để độ dài của dây AB nhỏ hơn bán kính của đường tròn là:

III. Chọn một điểm từ một đường số

Xác suất hình học có thể được áp dụng cho khoảng số. Giả sử rằng một số X được chọn ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện. Trải nghiệm này có thể được thay thế bằng trải nghiệm trong đó một điểm có tọa độ X được chọn từ một đoạn trên một đường số.

Hãy xem xét một sự kiện bao gồm thực tế là một điểm có tọa độ X được chọn từ đoạn chứa trong đoạn. Hãy biểu thị sự kiện này. Xác suất của nó bằng tỷ số độ dài của các đoạn và.

.

ví dụ 1 Tìm xác suất để một điểm được chọn ngẫu nhiên từ phân đoạn thuộc phân đoạn.

Quyết định: Theo công thức xác suất hình học, ta thấy:

.

Ví dụ 2 Theo các quy tắc giao thông, người đi bộ có thể băng qua đường tại một nơi không xác định nếu không có đường dành cho người đi bộ sang đường trong tầm nhìn. Tại thành phố Mirgorod, khoảng cách giữa băng qua đường dành cho người đi bộ trên đường Solnechnaya bằng 1 km. Một người đi bộ băng qua Phố Solnechnaya ở đâu đó giữa hai ngã tư. Anh ta có thể nhìn thấy biển báo băng qua cách anh ta không quá 100 m. Tìm xác suất để người đi bộ không vi phạm nội quy.

Quyết định: Hãy sử dụng phương pháp hình học. Hãy sắp xếp dãy số để phần đường giữa các đường giao nhau sẽ là một đoạn. Để người đi bộ tiếp cận đường phố tại một số điểm có tọa độ X. Người đi bộ không vi phạm các quy tắc nếu anh ta cách xa mỗi vạch sang đường hơn 0,1 km, tức là 0,1

.

Ví dụ 3 Tàu đi qua sân ga trong nửa phút nữa. Tại một thời điểm nào đó, khá tình cờ, khi nhìn ra cửa sổ khoang của mình, Ivan Ivanovich thấy rằng đoàn tàu đang đi qua sân ga. Ivan Ivanovich nhìn ra ngoài cửa sổ đúng 10 giây rồi quay đi. Tìm xác suất để người đó nhìn thấy Ivan Nikiforovich đứng chính giữa sân ga.

Quyết định: Hãy sử dụng phương pháp hình học. Hãy tính bằng giây. Trong 0 giây, chúng ta sẽ ghi lại khoảnh khắc khi Ivan Ivanovich bắt kịp phần đầu của sân ga. Sau đó, anh ta đến cuối sân ga ở thời điểm 30 giây. Đối với X giây. Hãy để chúng tôi xác định thời điểm mà Ivan Ivanovich nhìn ra cửa sổ. Do đó, số X được chọn ngẫu nhiên từ phân đoạn. Tôi bắt kịp Ivan ở thời điểm 15 giây. Anh ta chỉ nhìn thấy Ivan Nikiforovich nếu anh ta nhìn ra cửa sổ không muộn hơn khoảnh khắc này, nhưng không sớm hơn 10 giây trước đó. Do đó, chúng ta cần tìm xác suất hình học của sự kiện. Theo công thức chúng tôi tìm thấy

.

"Nền tảng xác suất"

Ở phần đầu của bài thơ "Những linh hồn chết", hai người đàn ông đang tranh cãi về việc bánh xe sẽ di chuyển bao xa trong xe của Chichikov:

“... hai nông dân Nga, đứng ở cửa quán rượu đối diện khách sạn, đã đưa ra một số nhận xét, tuy nhiên, liên quan nhiều đến cỗ xe hơn là người ngồi trong đó. “Hãy nhìn bạn này,” một người nói với người kia: “Thật là một cái bánh xe! Bạn nghĩ gì, liệu bánh xe đó, nếu nó xảy ra, sẽ đến được Matxcova, hay sẽ không tới được Matxcova? - "Nó sẽ đến," người kia trả lời. "Nhưng tôi không nghĩ rằng anh ấy sẽ đến được với Kazan?" "Anh ấy sẽ không đến được với Kazan," một người khác trả lời.

Các nhiệm vụ cần giải quyết.

1. Tìm xác suất để một điểm được ném ngẫu nhiên vào hình vuông ABCD có cạnh 4 sẽ rơi vào hình vuông A1B1C1D1 có cạnh 3, nằm trong hình vuông ABCD.

Trả lời. 16/9.

2. Hai người A và B đồng ý gặp nhau tại một địa điểm nhất định trong khoảng thời gian từ 900 đến 1000. Mỗi người đến một cách ngẫu nhiên (vào khoảng thời gian xác định), không phụ thuộc vào người kia và đợi 10 phút. Xác suất họ gặp nhau là bao nhiêu?

Trả lời. 11/36.

3. Một điểm C xuất hiện ngẫu nhiên trên đoạn thẳng AB có độ dài 3. Xác định xác suất để khoảng cách từ điểm C đến B lớn hơn 1.

Trả lời. 2/3.

4. Một tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp được trong đường tròn bán kính bằng 5. Xác định xác suất để một điểm được ném ngẫu nhiên vào vòng tròn sẽ lọt vào tam giác.

5. Pinocchio trồng một đốm tròn có bán kính 1 cm trên một tấm hình chữ nhật có kích thước 20 cm x 25 cm. Ngay sau đó, Pinocchio đã trồng một đốm màu tương tự khác và kết thúc hoàn toàn trên tấm giấy. Tìm xác suất để hai đốm màu này không chạm vào nhau.

6. Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn. Một điểm M được chọn ngẫu nhiên trên đường tròn này Tìm xác suất để điểm này nằm trên: a) Cung nhỏ hơn AB; b) dây cung AB lớn hơn.

Trả lời. a) 1/4; b) 3/4.

7. Một chất điểm X được ném ngẫu nhiên lên đoạn với xác suất nào thì thỏa mãn bất đẳng thức: a); b); trong) ?

Trả lời. a) 1/3; b) 1/3; c) 1/3.

8. Điều duy nhất được biết về ngôi làng Ivanovo là nó nằm ở đâu đó trên đường cao tốc giữa Mirgorod và Stargorod. Chiều dài của đường cao tốc là 200 km. Tìm xác suất để:

a) Từ Mirgorod đến Ivanovo dọc theo đường cao tốc dưới 20 km;

b) từ Stargorod đến Ivanovo dọc theo đường cao tốc hơn 130 km;

c) Ivanovo nằm cách trung đường giữa các thành phố chưa đầy 5 km.

Trả lời. a) 0,1; b) 0,35; c) 0,05.

Tài liệu bổ sung

Cách tiếp cận hình học đối với xác suất của một sự kiện không phụ thuộc vào loại kích thước của không gian hình học: điều quan trọng là tập hợp các sự kiện cơ bản F và tập hợp G, đại diện cho sự kiện A, phải cùng loại và cùng kích thước.

2. Điểm ngẫu nhiên X phân bố đều trong một hình vuông . Tìm xác suất để một hình vuông có tâm X và các cạnh có độ dài b song song với các trục tọa độ được chứa hoàn toàn trong hình vuông A.

Văn chương:

1. Lý thuyết xác suất và thống kê / ,. - Lần xuất bản thứ 2, sửa đổi. - M.: MTSNMO: sách giáo khoa, 2008. - 256 tr: bệnh.

2. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học trong các ví dụ và bài toán sử dụng Excel / ,. - Ed. lần thứ 4. - Rostov n / a: Phoenix, 2006. - 475 p: bệnh. - (Giáo dục đại học).

3. Năm mươi vấn đề xác suất thú vị với các giải pháp. Mỗi. từ tiếng Anh / Ed. . Ấn bản thứ 3. - M.: Nauka, Ấn bản chính của tài liệu vật lý và toán học, 1985. - 88 tr.

4. Tuyển tập các bài toán lý thuyết xác suất: Proc. Sách hướng dẫn cho các trường đại học. /, - Xuất bản lần thứ 2, Rev. Và bổ sung. - M.: Khoa học. Ch. ed. Vật lý-Toán học. Lít - Năm 1989. - Những năm 320.

5. Khóa học tùy chọn về toán học: Lý thuyết xác suất: Proc. Phụ cấp cho 9-11 ô. trung bình trường học / - ấn bản thứ 3. sửa lại - M.: Khai sáng, 1990. - 160 tr.

Định nghĩa hình học của xác suất. Các vấn đề với giải pháp

Ngoài cửa sổ là những ngày chớm thu, những tán lá vàng trên cây gợi lên một tâm trạng trữ tình pha chút buồn…. Nhưng vẫn còn cả một năm học ở phía trước và vào những thời điểm như vậy, cần phải điều chỉnh để làm việc hiệu quả! Tôi rất nhanh để làm hài lòng tất cả độc giả lau nhà bằng công thức độc quyền của tôi, cho phép bạn nhanh chóng tăng độ săn chắc cho cơ thể. Để làm được điều này, chỉ cần nhớ một chút là đủ hình học... ... không, tôi đồng ý rằng đôi khi nó ru bạn ngủ, nhưng với liều lượng nhỏ, nó đặc biệt tiếp thêm sinh lực! Và, quan trọng nhất, nó rất hiệu quả - ngay khi bạn bắt đầu tham gia các phần kiến ​​thức được tiếp thêm sinh lực, thì bạn sẽ không bị trầm cảm theo mùa ngay lập tức!

Ngay trong bài học đầu tiên về chủ đề này, chúng tôi đã gặp định nghĩa cổ điển của xác suất sự xuất hiện của một số sự kiện trong thử nghiệm và công thức đơn giản nhất, trong đó tổng số tất cả có thể đều có thể , sơ cấp kết quả của bài kiểm tra này, và - số lượng kết quả cơ bản có lợi cho sự kiện.

Bạn gặp khó khăn với thuật ngữ và / hoặc cách hiểu? Hãy bắt đầu với những điều cơ bản của lý thuyết xác suất.

Chúng tôi đi xa hơn: định nghĩa cổ điển của xác suất hóa ra lại có hiệu quả để giải quyết toàn bộ các vấn đề, nhưng mặt khác, nó cũng có một số nhược điểm. Nói không phải khuyết điểm mà là hạn chế thì càng đúng hơn. Một hạn chế như vậy là nó không áp dụng cho các thử nghiệm có vô số kết quả. Ví dụ đơn giản nhất:

Một điểm đói được ném ngẫu nhiên vào phân khúc. Xác suất để nó rơi vào khoảng thời gian là bao nhiêu?

Vì có vô số điểm trên đoạn nên không thể áp dụng công thức ở đây (do giá trị lớn vô hạn của "en") và do đó, một cách tiếp cận khác để giải cứu, được gọi là định nghĩa hình học của xác suất.

Mọi thứ đều rất giống nhau: xác suất xuất hiện của một số sự kiện trong thử nghiệm bằng tỷ lệ, trong đó - thước đo hình học thể hiện tổng số tất cả có thể và đều có thể kết quả của bài kiểm tra này và - đo lường thể hiện số lượng kết quả thuận lợi cho sự kiện. Trong thực tế, một số đo hình học như vậy thường là chiều dài hoặc diện tích, ít hơn là thể tích.

Hãy xem xét sự kiện: - một điểm ném trên một đoạn, rơi vào khoảng. Rõ ràng, tổng số kết quả được biểu thị bằng độ dài của phân đoạn lớn hơn: và các kết quả thuận lợi cho sự kiện - theo độ dài của đoạn lồng nhau: Theo định nghĩa hình học của xác suất:

Quá dễ dàng? Như trong trường hợp với định nghĩa cổ điển, đây là một ấn tượng gây hiểu lầm. Chúng tôi hiểu kỹ lưỡng và tận tâm các ví dụ thực tế:

Nhiệm vụ 1

Một thước dây được cắt ngẫu nhiên bằng kéo. Tìm xác suất để chiều dài của vết cắt ít nhất là 80 cm.

Quyết định: “Có gì mà khó thế? Xác suất là 1/5. ” Đây là một lỗi tự động được thực hiện do sơ suất. Vâng, đúng vậy - chiều dài cắt ít nhất sẽ là 80 cm, nếu không quá 20 cm được cắt khỏi băng. Nhưng ở đây người ta thường quên rằng có thể tạo ra vết cắt mong muốn như từ mộtđoạn cuối của cuộn băng vì vậy từ cái khác:

Hãy xem xét sự kiện: - chiều dài cắt ít nhất là 0,8 m.

Vì có thể cắt băng ở bất cứ đâu, nên tổng số kết quả tương ứng với độ dài của nó: Các phần của vết cắt thuận lợi cho sự kiện được đánh dấu màu đỏ trong hình và tổng chiều dài của chúng bằng:

Trả lời: 0,4

Kết luận có thể là gì? Ngay cả khi nhiệm vụ có vẻ rất đơn giản đối với bạn, ĐỪNG NGẦN NGẠI. Tính bốc đồng nói chung là một điều xấu - đó là những sai lầm, mua sắm không cần thiết, trang phục da hư hỏng, v.v. ... nhưng chúng ta đừng nói về những điều đáng buồn!

Khi viết nhiệm vụ, cần chỉ ra chiều (đơn vị, mét, đơn vị vuông, mét vuông, v.v.). Nhân tiện, xin lưu ý rằng ở giai đoạn cuối cùng của phép tính, số đo hình học được giảm xuống. Vì vậy, trong ví dụ được xem xét, mét đã giảm:, dẫn đến xác suất không thứ nguyên thông thường.

Nhiệm vụ 2

Sau cơn bão, đoạn đường dây điện thoại nằm giữa km 40 và 70 đã xảy ra sự cố đứt dây. Xác suất nó xảy ra giữa km thứ 50 và 55 của đoạn thẳng là bao nhiêu?

Tóm tắt và lời giải và đáp án ở cuối bài.

Phổ biến hơn nhiều là các ví dụ về các khu vực xuất hiện:

Nhiệm vụ 3

Một đường tròn nội tiếp trong một tam giác có các cạnh. Điểm được đặt tùy ý trong một tam giác. Tìm xác suất để điểm đó nằm trong đường tròn.

Tôi nhắc bạn rằng đường tròn nội tiếp nằm bên trong tam giác và tiếp xúc với các cạnh của nó tại 3 điểm

Quyết định: vì điểm được đặt trong một tam giác và hình tròn nằm bên trong, nên diện tích của tam giác tương ứng với tổng số kết quả và diện tích của hình tròn nội tiếp tương ứng với tập hợp các kết quả thuận lợi. Tôi có thể nói gì? Tìm kiếm không gian:

Nếu độ dài các cạnh của một tam giác được cho trước, thì diện tích của nó được tìm thấy một cách thuận tiện bằng Công thức của Heron:
, độ dài các cạnh của tam giác là ở đâu và là bán kinh nghiệm.

Đầu tiên, chúng tôi tính bán kinh nghiệm của tam giác: , và sau đó là khu vực của nó:

Tôi đã đề cập đến phương pháp loại bỏ các yếu tố từ bên dưới gốc rễ trong thời cổ đại trong một bài học giới thiệu về hình học phân tích.

Diện tích của đường tròn nội tiếp được tìm theo công thức, trong đó là bán kính của nó.

Lấy công thức hình học ở đâu? Các công thức cần thiết có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa của trường hoặc các nguồn thông tin khác. Đồng thời, không cần phải tìm hiểu cụ thể chúng, cá nhân tôi chỉ ghi nhớ và trong vài phút, tôi đã tìm thấy mọi thứ khác trên Wikipedia. Và trong một vài phút nữa, tôi sẽ quên tất cả những điều này một cách an toàn =)

Vậy diện tích hình tròn nội tiếp là:

Theo định nghĩa hình học:
là xác suất để điểm đó nằm trong đường tròn nội tiếp.

Trả lời:

Một ví dụ đơn giản hơn cho giải pháp tự làm:

Nhiệm vụ 4

Trong hình tròn có bán kính 10 cm là tam giác vuông có chân 12 và 7 cm.Một điểm được đặt ngẫu nhiên trong một đường tròn. Tìm xác suất để nó không rơi vào tam giác đã cho.

Cần lưu ý rằng trong bài toán này, tam giác không nhất thiết phải tiếp xúc với đường tròn, nó chỉ đơn giản nằm bên trong đường tròn và thế là xong. Hãy cẩn thận!

Bây giờ hãy xem xét vấn đề cuộc họp nổi tiếng:

Nhiệm vụ 5

Hai xe tải có thể đến bốc hàng trong khoảng thời gian từ 19 giờ đến 20 giờ 30. Xếp ô tô thứ nhất kéo dài 10 phút, ô tô thứ hai - 15 phút. Tính xác suất để một xe phải chờ xe kia xếp hàng xong là bao nhiêu?

Hãy suy nghĩ về điều kiện một chút. Thứ nhất, ô tô có thể đến xếp hàng theo bất kỳ thứ tự nào và thứ hai, bất kỳ lúc nào trong vòng một tiếng rưỡi. Thoạt nhìn, quyết định có vẻ khá khó khăn. Và đối với một người không chuẩn bị, nó thực sự sẽ trở nên “quá khó khăn”. Ví dụ, bạn có thể tìm thấy phân tích chi tiết về phương pháp giải bài toán này trong sách giáo khoa của Gmurman, nhưng tôi sẽ giới hạn bản thân ở một mức độ nhất định đối với một thuật toán chính thức:

Quyết định: Đầu tiên, hãy tìm hiểu khoảng thời gian mà cuộc họp có thể diễn ra. Trong trường hợp này, như đã nói ở trên, đó là một giờ rưỡi hoặc 90 phút. Đồng thời, khung giờ thực tế không thực sự quan trọng ở đây - việc xếp xe có thể diễn ra, ví dụ, vào buổi sáng từ 8h30 đến 10h00, và quyết định sẽ hoàn toàn giống nhau.

Các phép tính có thể được thực hiện theo từng phần nhỏ của một giờ và trong vài phút. Theo tôi, trong hầu hết các trường hợp, làm việc theo phút sẽ thuận tiện hơn - ít nhầm lẫn hơn.

Hãy để chúng tôi tinh chỉnh giới hạn thấp hơn của tích hợp một cách phân tích (tìm giao điểm của hyperbol và trực tiếp):

Đoạn thẳng nằm trên đoạn không ít hơn cường điệu,
theo công thức tương ứng:

Theo định nghĩa hình học:
- xác suất để tích của hai số được đoán trong phạm vi từ 0 đến 5 sẽ lớn hơn hai.

Trả lời:

Một ví dụ tương tự cho một giải pháp độc lập.

Tôi cần tạo một điểm ngẫu nhiên đồng nhất trong một vòng tròn bán kính R.

Tôi hiểu điều đó đơn giản bằng cách chọn một góc ngẫu nhiên đồng nhất trong khoảng, cho khoảng cách từ tâm. Tam giác của chúng ta là một dải mỏng nên AB và BC thực chất là song song. Vậy điểm Z cách gốc tọa độ một khoảng x + y. Nếu x + y> R chúng ta ném lại.

Đây là thuật toán hoàn chỉnh cho R = 1. Tôi hy vọng bạn đồng ý rằng nó khá đơn giản. Nó sử dụng một trình kích hoạt, nhưng bạn có thể đảm bảo thời gian mất bao lâu và thời gian cần ngẫu nhiên (), trái ngược với lấy mẫu chọn lọc.

T = 2 * pi * random () u = random () + random () r = if u> 1 then 2-u else u

Đây là trong Mathematica.

F: = Block [(u, t, r), u = Random + Random; t = Ngẫu nhiên 2 Pi; r = Nếu; (r Cos [t], r Sin [t])] ListPlot, AspectRatio -> Automatic]

Đây là một giải pháp nhanh chóng và dễ dàng.

Chọn hai Số ngẫu nhiên trong khoảng (0, 1), cụ thể là a và b. Nếu b< a , замените их. Ваша точка (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)) .

Bạn có thể nghĩ về giải pháp này như sau. Nếu bạn lấy một hình tròn, cắt nó, và sau đó kéo thẳng nó, bạn sẽ có một tam giác vuông. Thu nhỏ hình tam giác và bạn sẽ có một hình tam giác từ (0, 0) đến (1, 0) thành (1, 1) và quay lại (0, 0). Tất cả các phép biến đổi này làm thay đổi mật độ một cách đồng nhất. Những gì bạn đã làm là chọn đồng nhất một điểm ngẫu nhiên trong một tam giác và đảo ngược quá trình để lấy một điểm trong một hình tròn.

Lưu ý rằng mật độ điểm tỷ lệ với bình phương nghịch đảo của bán kính, vì vậy thay vì chọn r, hãy chọn từ, sau đó tính tọa độ của bạn như sau:

X = sqrt (r) * cos (góc) y = sqrt (r) * sin (góc)

Điều này sẽ cung cấp cho bạn sự phân bố đồng đều các điểm trên đĩa.

Nghĩ theo cách này. Nếu bạn có một hình chữ nhật trong đó một trục là bán kính và một là góc, và bạn lấy các điểm bên trong hình chữ nhật đó gần với bán kính 0. Tất cả chúng sẽ rất gần với điểm gốc (gần với một hình tròn). Tuy nhiên, tất cả các điểm gần bán kính R sẽ nằm gần mép của hình tròn (tức là xa nhau).

Điều này có thể cung cấp cho bạn một số ý tưởng tại sao bạn lại có hành vi này.

Tiền đề cơ bản là bạn có thể tạo một biến có phân phối mong muốn từ phân phối đồng nhất bằng cách so khớp hàm nghịch đảo đồng nhất với hàm phân phối tích lũy của hàm mật độ xác suất mong muốn. Để làm gì? Cứ coi đó là điều hiển nhiên, nhưng đó là một sự thật.

Đây là lời giải thích hơi trực quan của tôi về toán học. Hàm mật độ f (r) trên r phải tỷ lệ với chính r. Hiểu được thực tế này là một phần của bất kỳ cuốn sách giải tích cơ bản nào. Xem các phần về các phần tử cực. Một số áp phích khác đã đề cập đến điều này.

Vì vậy, chúng ta hãy gọi nó là f (r) = C * r;

Điều này, khi nó hóa ra, hầu hết công việc. Bây giờ, vì f (r) phải là mật độ xác suất, không khó để thấy rằng bằng cách tích phân f (r) trên khoảng (0, R), bạn nhận được rằng C = 2 / R ^ 2 (đây là một bài tập cho người đọc.)

Vậy f (r) = 2 * r / R ^ 2

Sau đó, phần cuối cùng đến từ biến ngẫu nhiên đồng nhất u trong (0,1), mà bạn phải ánh xạ nghịch đảo của hàm phân phối tích lũy từ mật độ bắt buộc f (r) đó. Để hiểu tại sao lại như vậy, bạn cần tìm một văn bản xác suất mở rộng như Papoulis (hoặc tự lấy).

Tích phân f (r) bạn nhận được F (r) = r ^ 2 / R ^ 2

Để tìm chức năng trái ngược trong số này, bạn cho u = r ^ 2 / R ^ 2 và sau đó giải cho r, cho bạn r = R * sqrt (u)

Điều này cũng có ý nghĩa trực quan, u = 0 nên được ánh xạ thành r = 0. Ngoài ra, u = 1 ánh xạ shoudl thành r = R. Ngoài ra, đây là một hàm căn bậc hai, có ý nghĩa và phù hợp với liên kết.

Lý do giải pháp ngây thơ không hoạt động là vì nó mang lại nhiều hơn mật độ cao xác suất điểm gần tâm của hình tròn hơn. Nói cách khác, một hình tròn có bán kính r / 2 có xác suất r / 2 nhận được một điểm được chọn trong đó, nhưng có diện tích (số điểm) pi * r ^ 2/4.

Vì vậy, chúng tôi muốn mật độ xác suất bán kính có thuộc tính sau:

Xác suất chọn bán kính nhỏ hơn hoặc bằng r cho trước phải tỷ lệ với diện tích hình tròn có bán kính r. (bởi vì chúng tôi muốn có sự phân bố đồng đều trên các điểm, và khu vực rộng lớn- nhiều điểm hơn)

Nói cách khác, chúng ta muốn xác suất chọn bán kính ở giữa bằng phần nhỏ của tổng diện tích hình tròn. Tổng diện tích của hình tròn là pi * R ^ 2 và diện tích của hình tròn có bán kính r là pi * r ^ 2. Vì vậy, chúng tôi muốn xác suất chọn bán kính giữa là (pi * r ^ 2) / (pi * R ^ 2) = r ^ 2 / R ^ 2.

Bây giờ đến bài toán:

Xác suất chọn bán kính giữa là tích phân của p (r) dr từ 0 đến r (điều này chỉ là do chúng ta đang cộng tất cả các xác suất của bán kính nhỏ hơn). Vì vậy, chúng ta muốn tích phân (p (r) dr) = r ^ 2 / R ^ 2. Chúng ta có thể thấy rõ ràng rằng R ^ 2 là một hằng số, vì vậy chúng ta chỉ cần tìm ra cái nào trong số p (r), khi tích phân sẽ cung cấp cho chúng tôi một cái gì đó giống như r ^ 2. Câu trả lời rõ ràng là r * hằng số. tích phân (r * const dr) = r ^ 2/2 * hằng số. Nó phải bằng r ^ 2 / R ^ 2, do đó hằng số = 2 / R ^ 2. Vì vậy, bạn có phân phối xác suất p (r) = r * 2 / R ^ 2

Ghi chú. Một cách trực quan khác để suy nghĩ về vấn đề là tưởng tượng rằng bạn đang cố gắng cung cấp cho mỗi hình tròn một bán kính xác suất bằng tỷ lệ của số điểm mà nó có trên chu vi của nó. Vì vậy, một hình tròn có bán kính r sẽ có 2 * pi * r "điểm" xung quanh chu vi của nó. Tổng sốđiểm pi * R ^ 2. Vì vậy, bạn phải cung cấp cho vòng tròn r một xác suất bằng (2 * pi * r) / (pi * R ^ 2) = 2 * r / R ^ 2. Điều này dễ hiểu và trực quan hơn nhiều nhưng đó không phải là điều tuyệt vời về mặt toán học.

Nó thực sự phụ thuộc vào những gì bạn có nghĩa là "đồng nhất ngẫu nhiên". Đây là một điểm tinh tế và bạn có thể đọc thêm về nó trên trang wiki tại đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29 trong đó cùng một vấn đề đưa ra các cách hiểu khác nhau về "ngẫu nhiên đồng nhất" cho các câu trả lời khác nhau !

Tùy thuộc vào cách bạn chọn các điểm, sự phân bố có thể thay đổi, mặc dù chúng có phần đồng nhất.

Bài đăng trên blog dường như đang cố gắng làm cho nó ngẫu nhiên đồng nhất theo nghĩa sau: nếu bạn lấy một đường tròn phụ của một đường tròn có cùng tâm, thì xác suất của một điểm rơi vào khu vực đó tỷ lệ với diện tích của vùng đó. . Tôi tin rằng điều này cố gắng tuân theo cách diễn giải tiêu chuẩn hiện nay về "ngẫu nhiên đồng nhất" cho các vùng 2D với các vùng được xác định trên chúng: xác suất của một điểm rơi vào bất kỳ vùng nào (với một vùng được xác định rõ) tỷ lệ với diện tích của Vùng đó.

Đây là mã Python của tôi để tạo num điểm ngẫu nhiên từ một vòng tròn bán kính rad:

Nhập matplotlib.pyplot dưới dạng plt nhập numpy dưới dạng np rad = 10 num = 1000 t = np.random.uniform (0.0, 2.0 * np.pi, num) r = rad * np.sqrt (np.random.uniform (0.0, 1,0, num)) x = r * np.cos (t) y = r * np.sin (t) plt.plot (x, y, "ro", ms = 1) plt.axis ([- 15, 15 , -15, 15]) plt.show ()

Gọi ρ (bán kính) và φ (phương vị) là hai biến ngẫu nhiên tương ứng tọa độ cực điểm tùy ý bên trong vòng tròn. Nếu các điểm phân bố đều thì hàm phân bố của hai hàm ρ và φ là bao nhiêu?

Đối với bất kỳ r: 0

P [ρ

Trong đó S1 và S0 lần lượt là diện tích của hình tròn bán kính r và R. Vì vậy, CDF có thể được chỉ định là:

0 nếu r<=0 CDF = (r/R)**2 if 0 < r <= R 1 if r >R

PDF = d / dr (CDF) = 2 * (r / R ** 2) (0< r <= R).

Lưu ý rằng đối với R = 1 biến ngẫu nhiên sqrt (X), trong đó X là đồng nhất trên = P = y * * 2 tại 0

Phân phối của φ rõ ràng là đồng nhất từ ​​0 đến 2 * π. Bây giờ bạn có thể tạo các tọa độ cực ngẫu nhiên và chuyển đổi chúng thành Descartes bằng cách sử dụng các phương trình lượng giác:

X = ρ * cos (φ) y = ρ * sin (φ)

Không thể cưỡng lại việc đăng mã python cho R = 1.

Từ matplotlib nhập pyplot dưới dạng plt nhập numpy dưới dạng np rho = np.sqrt (np.random.uniform (0, 1, 5000)) phi = np.random.uniform (0, 2 * np.pi, 5000) x = rho * np.cos (phi) y = rho * np.sin (phi) plt.scatter (x, y, s = 4)

Bạn sẽ nhận được

Giải pháp trong Java và Ví dụ về phân phối (2000 điểm)

Public void getRandomPointInCircle () (double t = 2 * Math.PI * Math.random (); double r = Math.sqrt (Math.random ()); double x = r * Math.cos (t); double y = r * Math.sin (t); System.out.println (x); System.out.println (y);)

Đầu tiên, chúng tôi sẽ tạo cdf [x] là

Tính xác suất để điểm cách tâm đường tròn một khoảng nhỏ hơn x. Giả sử đường tròn có bán kính R.

rõ ràng, nếu x bằng 0, thì cdf = 0

rõ ràng nếu x bằng R thì cdf [R] = 1

rõ ràng, nếu x = r, thì cdf [r] = (Pi r ^ 2) / (Pi R ^ 2)

Điều này là do mọi "khu vực nhỏ" trên hình tròn đều có xác suất được chọn như nhau, do đó xác suất tỷ lệ thuận với diện tích đó. Và diện tích đã cho tại khoảng cách x từ tâm của hình tròn là Pi r ^ 2

do đó cdf [x] = x ^ 2 / R ^ 2 vì Pi triệt tiêu lẫn nhau

chúng ta có cdf [x] = x ^ 2 / R ^ 2 trong đó x đi từ 0 đến R

Vì vậy, chúng tôi giải quyết cho x

R ^ 2 cdf [x] = x ^ 2 x = R Sqrt [cdf [x]]

Bây giờ chúng ta có thể thay thế cdf bằng một số ngẫu nhiên từ 0 đến 1

X = R Sqrt [RandomReal [(0,1)]]

R = R Sqrt [RandomReal [(0,1)]]; theta = 360 độ * RandomReal [(0,1)]; (r, theta)

chúng tôi nhận được tọa độ cực (0,601168 R, 311,915 độ)

Tôi đã sử dụng phương pháp này: Phương pháp này có thể hoàn toàn không được tối ưu hóa (tức là sử dụng một mảng điểm, vì vậy nó không phù hợp với các vòng kết nối lớn), nhưng đưa ra một phân phối ngẫu nhiên. Bạn có thể bỏ qua việc tạo ma trận và vẽ trực tiếp nếu muốn. Phương pháp là lấy ngẫu nhiên tất cả các điểm trong hình chữ nhật nằm bên trong hình tròn.

Bool [,] getMatrix (System.Drawing.Rectangle r) (bool [,] matrix = new bool; return matrix;) void fillMatrix (ref bool [,] matrix, Vector center) (double radius = center.X; r ngẫu nhiên = new Random (); for (int y = 0; y< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { double distance = (center - new Vector(x, y)).Length; if (distance < radius) { matrix = r.NextDouble() >0,5; )))) private void drawMatrix (Vector centerPoint, double radius, bool [,] matrix) (var g = this.CreateGraphics (); Bitmap pixel = new Bitmap (1,1); pixel.SetPixel (0, 0, Color .black); for (int y = 0; y< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { if (matrix) { g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y))); } } } g.Dispose(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200); double radius = r.Width / 2; Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius); Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius); bool[,] matrix = getMatrix(r); fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter); drawMatrix(center, radius, matrix); }

Phần tử diện tích trong hình tròn là dA = rdr * dphi. Yếu tố phụ này đã làm hỏng ý tưởng của bạn để chọn ngẫu nhiên r và phi. Trong khi phi được phân phối bằng phẳng, r thì không, nhưng bằng phẳng ở 1 / r (có nghĩa là bạn có nhiều khả năng chạm biên hơn là hồng tâm).

Vì vậy, để tạo ra các điểm phân bố đều xung quanh hình tròn, hãy chọn phi từ phân bố phẳng và r từ phân bố 1 / r.

Ngoài ra, có thể sử dụng phương pháp Monte Carlo do Mehrdad đề xuất.

THAY ĐỔI

Để chọn một mặt phẳng r ngẫu nhiên tại 1 / r, bạn có thể chọn một x ngẫu nhiên từ khoảng đó và tính r = 1 / x. sau đó r được phân phối dày đặc thành 1 / r.

Để tính một phi ngẫu nhiên, hãy chọn một x ngẫu nhiên từ khoảng và tính phi = 2 * pi * x.

Bạn cũng có thể sử dụng trực giác của mình.

Diện tích hình tròn là pi * r ^ 2

Điều này cho chúng ta diện tích pi. Giả sử chúng ta có một số hàm f phân phối đều N = 10 điểm bên trong đường tròn. Tỷ lệ ở đây là 10 / pi

Bây giờ chúng ta nhân đôi diện tích và số điểm

Với r = 2 và N = 20

Điều này cho diện tích 4pi và tỷ lệ hiện là 20 / 4pi hoặc 10 / 2pi. Tỷ lệ sẽ ngày càng nhỏ khi bán kính lớn hơn, vì tốc độ tăng trưởng của nó là bậc hai, trong khi N là tuyến tính.

Để khắc phục điều này, chúng ta chỉ có thể nói

X = r ^ 2 sqrt (x) = r

Nếu bạn tạo một vectơ ở tọa độ cực như thế này