Số e thu được như thế nào. Hằng số thế giới "pi" và "e" trong các định luật vật lý và sinh lý học cơ bản

Trong HTML, màu có thể được chỉ định theo ba cách:

Đặt màu trong HTML theo tên của nó

Một số màu có thể được chỉ định bằng tên của chúng, sử dụng tên của màu trên Ngôn ngữ tiếng anh. Phổ biến nhất từ khóa: đen (đen), trắng (trắng), đỏ (đỏ), xanh lá cây (xanh lá cây), xanh lam (xanh lam), v.v.:

Màu văn bản - Đỏ

Các màu phổ biến nhất của World Wide Web Consortium (Thế giới tương tác web rộng Consortium, W3C):

Tên	Tên	Tên	Tên
Đen	Xám	Bạc	Trắng
Màu vàng	Vôi	Aqua	Fuchsia
Màu đỏ	Màu xanh lá	Màu xanh da trời	Màu tím
Bỏ rơi	Ôliu	Hải quân	Màu mòng két

Một ví dụ về việc sử dụng các tên màu khác nhau:

Ví dụ: đặt một màu theo tên của nó

Hãy tự mình thử "

Tiêu đề trên nền đỏ

Tiêu đề trên nền màu cam

Tiêu đề trên nền vôi

Văn bản màu trắng trên nền xanh lam

Tiêu đề trên nền đỏ

Tiêu đề trên nền màu cam

Tiêu đề trên nền vôi

Văn bản màu trắng trên nền xanh lam

Chỉ định màu với RGB

Khi hiển thị các màu khác nhau trên màn hình, bảng màu RGB được lấy làm cơ sở. Bất kỳ màu nào cũng có được bằng cách trộn ba màu chính: R - đỏ, G - xanh lục (xanh lục), B - blue (xanh lam). Độ sáng của mỗi màu được cho bởi một byte và do đó có thể nhận các giá trị từ 0 đến 255. Ví dụ: RGB (255,0,0) được hiển thị là màu đỏ vì màu đỏ được đặt thành màu riêng giá trị cao(255) và phần còn lại được đặt thành 0. Bạn cũng có thể đặt màu trong tỷ lệ phần trăm. Mỗi thông số cho biết mức độ sáng của màu tương ứng. Ví dụ: các giá trị rgb (127, 255, 127) và rgb (50%, 100%, 50%) sẽ đặt giống nhau màu xanh lụcđộ bão hòa trung bình:

Ví dụ: Chỉ định một màu với RGB

Hãy tự mình thử "

rgb (127, 255, 127)

rgb (50%, 100%, 50%)

rgb (127, 255, 127)

rgb (50%, 100%, 50%)

Đặt màu theo giá trị thập lục phân

Giá trị R G B cũng có thể được chỉ định bằng cách sử dụng các giá trị màu thập lục phân (HEX) ở dạng: #RRGGBB trong đó RR (đỏ), GG (xanh lục) và BB (xanh lam) là các giá trị thập lục phân từ 00 đến FF (giống như số thập phân 0- 255). Hệ thập lục phân, không giống như hệ thập phân, dựa trên số 16. Hệ thập lục phân sử dụng các ký tự sau: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Ở đây các số từ 10 đến 15 được thay thế bằng các chữ cái Latinh. Các số lớn hơn 15 trong hệ thập lục phân là sự kết hợp của hai ký tự thành một giá trị. Ví dụ: số cao nhất 255 trong hệ thập phân tương ứng với FF cao nhất trong hệ thập lục phân. Không giống như hệ thập phân, số thập lục phân được đặt trước dấu thăng. # , ví dụ: # FF0000 được hiển thị thành màu đỏ vì màu đỏ được đặt thành giá trị cao nhất (FF) và các màu còn lại được đặt thành giá trị tối thiểu(00). Các ký tự sau biểu tượng băm # có thể được gõ bằng cả chữ hoa và chữ thường. Hệ thống thập lục phân cho phép sử dụng một dạng rút gọn như #rgb, trong đó mỗi ký tự tương đương với hai lần. Do đó, mục nhập # f7O sẽ được coi là # ff7700.

Ví dụ: Màu HEX

Hãy tự mình thử "

đỏ: # FF0000

xanh lá cây: # 00FF00

xanh lam: # 0000FF

đỏ: # FF0000

xanh lá cây: # 00FF00

xanh lam: # 0000FF

đỏ + xanh lá cây = vàng: # FFFF00

đỏ + xanh dương = tím: # FF00FF

lục + lam = lục lam: # 00FFFF

Danh sách các màu thường được sử dụng (tên, HEX và RGB):

tên tiêng Anh	Tên nga	HEX	RGB
dền	dền	# E52B50	229	43	80
Hổ phách	Hổ phách	# FFBF00	255	191	0
Aqua	xanh xanh	# 00FFFF	0	255	255
Azure	Azure	# 007FFF	0	127	255
Đen	Đen	#000000	0	0	0
Màu xanh da trời	Màu xanh da trời	# 0000FF	0	0	255
Bondi Blue	Nước biển Bondi	# 0095B6	0	149	182
Thau	Thau	# B5A642	181	166	66
Màu nâu	Màu nâu	# 964B00	150	75	0
Cerulean	Azure	# 007BA7	0	123	167
mùa xuân xanh đậm	Mùa xuân xanh đậm	#177245	23	114	69
Ngọc lục bảo	Ngọc lục bảo	# 50C878	80	200	120
Cà tím	cà tím	#990066	153	0	102
Fuchsia	Fuchsia	# FF00FF	255	0	255
Vàng	Vàng	# FFD700	250	215	0
Xám	Xám	#808080	128	128	128
Màu xanh lá	Màu xanh lá	# 00FF00	0	255	0
xanh đậm	xanh đậm	# 4B0082	75	0	130
Ngọc bích	Ngọc bích	# 00A86B	0	168	107
Vôi	Chanh xanh	# CCFF00	204	255	0
Malachite	Malachite	# 0BDA51	11	218	81
Hải quân	Xanh hải quân	#000080	0	0	128
Ocher	Ocher	# CC7722	204	119	34
Ôliu	Ôliu	#808000	128	128	0
Quả cam	Quả cam	# FFA500	255	165	0
quả đào	Quả đào	# FFE5B4	255	229	180
Quả bí ngô	Quả bí ngô	# FF7518	255	117	24
Màu tím	màu tím	#800080	128	0	128
Màu đỏ	Màu đỏ	# FF0000	255	0	0
Nghệ tây	Nghệ tây	# F4C430	244	196	48
biển xanh	biển xanh	# 2E8B57	46	139	87
Đầm lầy xanh	Bolotny	# ACB78E	172	183	142
Màu mòng két	xanh xanh	#008080	0	128	128
Ultramarine	ultramarine	# 120A8F	18	10	143
màu tím	màu tím	# 8B00FF	139	0	255
Màu vàng	Màu vàng	# FFFF00	255	255	0

Mã màu (nền) theo độ bão hòa và màu sắc.

Mã màu trong CSS được sử dụng để chỉ định màu sắc. Thông thường, mã màu hoặc giá trị màu được sử dụng để đặt màu cho nền trước của phần tử (ví dụ: văn bản, màu liên kết) hoặc nền của phần tử (nền, màu khối). Chúng cũng có thể được sử dụng để thay đổi màu nút, đường viền, điểm đánh dấu, di chuột và các hiệu ứng trang trí khác.

Bạn có thể đặt các giá trị màu của mình ở nhiều định dạng khác nhau. Bảng sau liệt kê tất cả các định dạng có thể có:

Các định dạng này được mô tả chi tiết hơn bên dưới.

Màu CSS - Mã Hex

Mã màu thập lục phân là một biểu diễn màu gồm sáu chữ số. Hai chữ số đầu tiên (RR) là giá trị màu đỏ, hai chữ số tiếp theo là giá trị xanh(GG) và giá trị sau là giá trị màu xanh lam (BB).

Màu sắc CSS - Mã Hex ngắn

Mã màu thập lục phân ngắn là một dạng ký hiệu sáu ký tự ngắn hơn. Ở định dạng này, mỗi chữ số được lặp lại để tạo ra giá trị màu gồm sáu chữ số tương đương. Ví dụ: # 0F0 trở thành # 00FF00.

Giá trị thập lục phân có thể được lấy từ bất kỳ hình ảnh nào phần mềm, nhu la Adobe Photoshop, Core Draw, v.v.

Mỗi mã màu thập lục phân trong CSS sẽ được đặt trước dấu thăng "#". Sau đây là các ví dụ về việc sử dụng ký hiệu thập lục phân.

Màu CSS - Giá trị RGB

Giá trị RGB là mã màu được đặt bằng thuộc tính rgb (). Thuộc tính này nhận ba giá trị: mỗi giá trị cho màu đỏ, xanh lục và xanh lam. Giá trị có thể là một số nguyên, từ 0 đến 255 hoặc một tỷ lệ phần trăm.

Ghi chú: Không phải tất cả các trình duyệt đều hỗ trợ thuộc tính màu rgb (), vì vậy bạn không nên sử dụng nó.

Dưới đây là một ví dụ hiển thị nhiều màu sử dụng các giá trị RGB.

Trình tạo mã màu

Bạn có thể tạo hàng triệu mã màu với dịch vụ của chúng tôi.

Màu trình duyệt an toàn

Dưới đây là bảng gồm 216 màu độc lập với máy tính và an toàn nhất. Những màu này trong CSS nằm trong khoảng từ 000000 đến mã hex FFFFFF. Chúng an toàn khi sử dụng vì chúng đảm bảo rằng tất cả các máy tính sẽ hiển thị màu chính xác khi làm việc với bảng màu 256.

Bảng màu "an toàn" trong CSS
#000000	#000033	#000066	#000099	# 0000CC	# 0000FF
#003300	#003333	#003366	#003399	# 0033CC	# 0033FF
#006600	#006633	#006666	#006699	# 0066CC	# 0066FF
#009900	#009933	#009966	#009999	# 0099CC	# 0099FF
# 00CC00	# 00CC33	# 00CC66	# 00CC99	# 00CCCC	# 00CCFF
# 00FF00	# 00FF33	# 00FF66	# 00FF99	# 00FFCC	# 00FFFF
#330000	#330033	#330066	#330099	# 3300CC	# 3300FF
#333300	#333333	#333366	#333399	# 3333CC	# 3333FF
#336600	#336633	#336666	#336699	# 3366CC	# 3366FF
#339900	#339933	#339966	#339999	# 3399CC	# 3399FF
# 33CC00	# 33CC33	# 33CC66	# 33CC99	# 33CCCC	# 33CCFF
# 33FF00	# 33FF33	# 33FF66	# 33FF99	# 33FFCC	# 33FFFF
#660000	#660033	#660066	#660099	# 6600CC	# 6600FF
#663300	#663333	#663366	#663399	# 6633CC	# 6633FF
#666600	#666633	#666666	#666699	# 6666CC	# 6666FF
#669900	#669933	#669966	#669999	# 6699CC	# 6699FF
# 66CC00	# 66CC33	# 66CC66	# 66CC99	# 66CCCC	# 66CCFF
# 66FF00	# 66FF33	# 66FF66	# 66FF99	# 66FFCC	# 66FFFF
#990000	#990033	#990066	#990099	# 9900CC	# 9900FF
#993300	#993333	#993366	#993399	# 9933CC	# 9933FF
#996600	#996633	#996666	#996699	# 9966CC	# 9966FF
#999900	#999933	#999966	#999999	# 9999CC	# 9999FF
# 99CC00	# 99CC33	# 99CC66	# 99CC99	# 99CCCC	# 99CCFF
# 99FF00	# 99FF33	# 99FF66	# 99FF99	# 99FFCC	# 99FFFF
# CC0000	# CC0033	# CC0066	# CC0099	# CC00CC	# CC00FF
# CC3300	# CC3333	# CC3366	# CC3399	# CC33CC	# CC33FF
# CC6600	# CC6633	# CC6666	# CC6699	# CC66CC	# CC66FF
# CC9900	# CC9933	# CC9966	# CC9999	# CC99CC	# CC99FF
# CCCC00	# CCCC33	# CCCC66	# CCCC99	#CCCCCC	#CCCCFF
# CCFF00	# CCFF33	# CCFF66	# CCFF99	#CCFFCC	#CCFFFF
# FF0000	# FF0033	# FF0066	# FF0099	# FF00CC	# FF00FF
# FF3300	# FF3333	# FF3366	# FF3399	# FF33CC	# FF33FF
# FF6600	# FF6633	# FF6666	# FF6699	# FF66CC	# FF66FF
# FF9900	# FF9933	# FF9966	# FF9999	# FF99CC	# FF99FF
# FFCC00	# FFCC33	# FFCC66	# FFCC99	#FFCCCC	#FFCCFF
# FFFF00	# FFFF33	# FFFF66	# FFFF99	#FFFFCC	#FFFFFF

Mọi người đều biết ý nghĩa hình học con số π là chu vi của hình tròn có đường kính đơn vị:

Và đây là ý nghĩa của một hằng số quan trọng khác, e, có xu hướng nhanh chóng bị lãng quên. Đó là, tôi không biết về bạn, nhưng tôi cần cố gắng để nhớ tại sao con số bằng 2,7182818284590 này lại đáng chú ý đến vậy ... (tuy nhiên, tôi đã ghi lại giá trị từ bộ nhớ). Vì vậy, tôi quyết định viết một ghi chú để nhiều hơn nữa không bay ra khỏi bộ nhớ.

Con số e theo định nghĩa - giới hạn của một hàm y = (1 + 1 / x) x tại x → ∞:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim × → ∞	= 2,7182818284590...

Thật không may, định nghĩa này không rõ ràng. Không rõ tại sao giới hạn này là đáng chú ý (mặc dù thực tế là nó được gọi là "đáng chú ý thứ hai"). Chỉ nghĩ rằng, họ đã lấy một số chức năng vụng về, tính toán giới hạn. Một chức năng khác sẽ có một chức năng khác.

Nhưng số e vì một lý do nào đó xuất hiện trong một loạt các Những tình huống khác nhau Trong toán học.

Cho tôi điểm chính con số eđược tiết lộ trong hoạt động của một chức năng khác, thú vị hơn nhiều, y = k x. Tính năng này có tài sản độc nhất tại k = e, có thể được hiển thị bằng đồ thị như sau:

Tại điểm 0, hàm nhận giá trị e 0 = 1. Nếu chúng ta vẽ một tiếp tuyến tại điểm x= 0, sau đó nó sẽ truyền tới trục x một góc với tiếp tuyến 1 (trong tam giác vàng tỷ số của chân đối diện 1 với chân đối diện 1 là 1). Tại điểm 1, hàm nhận giá trị e 1 = e. Nếu chúng ta vẽ một tiếp tuyến tại một điểm x= 1, sau đó nó sẽ đi qua một góc với tiếp tuyến e(trong tam giác màu xanh lá cây tỷ lệ chân đối diện eđến liền kề 1 là bằng e). Tại điểm 2, giá trị e 2 hàm số lại trùng với tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến với nó. Do đó, đồng thời các tiếp tuyến cắt trục x chính xác tại các điểm −1, 0, 1, 2, v.v.

Trong số tất cả các tính năng y = k x(ví dụ: 2 x , 10 x , π x vv), chức năng e x- cái duy nhất có vẻ đẹp đến mức tiếp tuyến của hệ số góc tại mỗi điểm của nó trùng với giá trị của chính hàm. Vì vậy, theo định nghĩa, giá trị của hàm này tại mỗi điểm trùng với giá trị của đạo hàm tại điểm này: ( e x)´ = e x. Vì một số lý do số e= 2.7182818284590 ... phải được nâng lên các mức độ khác nhauđể có được bức tranh này.

Đó, theo tôi, là ý nghĩa của nó.

Con số π và eđược đưa vào công thức yêu thích của tôi - công thức của Euler, kết nối 5 hằng số quan trọng nhất - không, một, một hằng số tưởng tượng tôi và thực tế là những con số π và e:

ê-kip + 1 = 0

Tại sao số 2.7182818284590 ... trong mức độ phức tạp 3,1415926535...tôiđột ngột bằng trừ một? Câu trả lời cho câu hỏi này nằm ngoài phạm vi của một ghi chú và có thể hình thành nội dung của một cuốn sách nhỏ đòi hỏi một số hiểu biết ban đầu về lượng giác, giới hạn và chuỗi số.

Tôi đã luôn ngạc nhiên trước vẻ đẹp của công thức này. Có lẽ trong toán học có nhiều sự thật đáng kinh ngạc, nhưng đối với cấp độ của tôi (ba trong Lyceum Vật lý và Toán học và năm cho phân tích phức tạp tại trường đại học) là phép màu quan trọng nhất.

Giống như một cái gì đó không đáng kể. Điều này xảy ra vào năm 1618. Trong phụ lục cho công trình của Napier về logarit, một bảng logarit tự nhiên đã được đưa ra những con số khác nhau. Tuy nhiên, không ai hiểu rằng đây là những logarit cơ số, vì một thứ như một cơ số không được bao gồm trong khái niệm về logarit của thời đó. Đây là cái mà chúng ta gọi là logarit là lũy thừa mà cơ số phải được nâng lên để có được số cần thiết. Chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau. Bảng trong phần phụ lục rất có thể do Ougthred thực hiện, mặc dù tác giả không được ghi công. Vài năm sau, vào năm 1624, lại xuất hiện trong tài liệu toán học, nhưng lại bị che đậy. Năm nay Briggs đã đưa ra một ước tính số lôgarit thập phân, nhưng bản thân con số không được đề cập trong tác phẩm của ông.

Sự xuất hiện tiếp theo của con số một lần nữa gây nghi ngờ. Năm 1647, Saint-Vincent tính diện tích của một cung hyperbol. Liệu anh ta có hiểu mối liên hệ với logarit hay không, người ta chỉ có thể đoán, nhưng ngay cả khi anh ta hiểu, cũng không chắc anh ta có thể tự tìm ra con số. Mãi đến năm 1661, Huygens mới hiểu được mối liên hệ giữa hyperbol cân bằng và logarit. Ông đã chứng minh rằng diện tích dưới đồ thị của một hyperbol cân của một hyperbol cân trên khoảng từ đến bằng. Tính chất này làm cơ sở của logarit tự nhiên, nhưng các nhà toán học thời đó không hiểu điều này, nhưng họ đã từ từ tiếp cận sự hiểu biết này.

Huygens thực hiện bước tiếp theo vào năm 1661. Ông đã xác định một đường cong mà ông gọi là logarit (theo thuật ngữ của chúng tôi, chúng tôi sẽ gọi nó là hàm mũ). Đây là đường cong khung nhìn. Và một lần nữa, có một lôgarit thập phân, mà Huygens tìm thấy với độ chính xác là 17 chữ số thập phân. Tuy nhiên, nó có nguồn gốc từ Huygens như một loại hằng số và không liên quan đến lôgarit của số (vì vậy, một lần nữa chúng lại gần giống nhau, nhưng bản thân số vẫn không được công nhận).

Trong nghiên cứu sâu hơn về logarit, một lần nữa, con số không xuất hiện một cách rõ ràng. Tuy nhiên, nghiên cứu về logarit vẫn tiếp tục. Năm 1668, Nicolaus Mercator xuất bản một tác phẩm Logarithmotechnia, chứa một chuỗi mở rộng. Trong tác phẩm này, Mercator lần đầu tiên sử dụng tên “ lôgarit tự nhiên”Đối với lôgarit cơ số. Con số rõ ràng không xuất hiện trở lại, nhưng vẫn khó nắm bắt ở đâu đó.

Đáng ngạc nhiên là lần đầu tiên con số ở dạng tường minh không liên quan đến logarit, mà liên quan đến tích vô hạn. Năm 1683, Jacob Bernoulli cố gắng tìm

Ông sử dụng định lý nhị thức để chứng minh rằng giới hạn này nằm giữa và, và điều này chúng ta có thể coi đây là một số gần đúng đầu tiên. Mặc dù chúng tôi coi đây là một định nghĩa, nhưng đây là lần đầu tiên một số được định nghĩa là một giới hạn. Bernoulli, tất nhiên, không hiểu mối liên hệ giữa công việc của mình và công việc về lôgarit.

Trước đây, người ta đã đề cập rằng logarit khi bắt đầu nghiên cứu của họ không được liên kết với số mũ theo bất kỳ cách nào. Tất nhiên, từ phương trình chúng ta tìm thấy điều đó, nhưng đây là một cách suy nghĩ muộn hơn nhiều. Ở đây chúng tôi thực sự có nghĩa là lôgarit là một hàm, trong khi lúc đầu, lôgarit chỉ được coi là một số hỗ trợ trong các phép tính. Có lẽ Jacob Bernoulli là người đầu tiên nhận ra rằng hàm logarit là cấp số nhân nghịch đảo. Mặt khác, người đầu tiên liên kết logarit và lũy thừa có thể là James Gregory. Năm 1684, ông chắc chắn nhận ra mối liên hệ giữa logarit và lũy thừa, nhưng có thể ông không phải là người đầu tiên.

Chúng ta biết rằng con số xuất hiện như bây giờ vào năm 1690. Trong một bức thư gửi cho Huygens, Leibniz đã sử dụng ký hiệu cho nó. Cuối cùng, một sự chỉ định đã xuất hiện (mặc dù nó không trùng với cái hiện đại), và sự chỉ định này đã được công nhận.

Năm 1697, Johann Bernoulli bắt đầu nghiên cứu hàm mũ và xuất bản Principia Calculi exponentialum seu percurrentium. Trong bài báo này, tổng của các chuỗi số mũ khác nhau được tính toán và một số kết quả thu được bằng cách tích phân chúng theo từng số hạng.

Euler đã giới thiệu rất nhiều ký hiệu toán học, Cái gì
không ngạc nhiên, việc chỉ định cũng thuộc về anh ta. Có vẻ nực cười khi nói rằng anh ấy đã sử dụng một chữ cái vì nó là chữ cái đầu tiên trong tên của anh ấy. Điều này có lẽ thậm chí không phải vì nó được lấy từ từ "mũ", mà chỉ đơn giản vì nó là nguyên âm tiếp theo sau "a", và Euler đã sử dụng ký hiệu "a" trong tác phẩm của mình. Bất kể lý do là gì, tên gọi này lần đầu tiên xuất hiện trong một bức thư từ Euler gửi Goldbach vào năm 1731. Giới thiệu trong Analysin infinitorumông đã đưa ra một cơ sở lý luận đầy đủ cho tất cả các ý tưởng liên quan đến. Anh ấy đã cho thấy rằng

Euler cũng tìm thấy 18 chữ số thập phân đầu tiên của một số:

tuy nhiên, mà không giải thích làm thế nào anh ta có được chúng. Có vẻ như anh ấy đã tự mình tính toán giá trị này. Trên thực tế, nếu bạn lấy khoảng 20 số hạng của chuỗi (1), bạn sẽ có được độ chính xác mà Euler có được. Trong so nhung nguoi khac kết quả thú vị trong công việc của mình, mối quan hệ giữa các hàm sin và côsin và phức hàm số mũ, mà Euler rút ra từ công thức của De Moivre.

Điều thú vị là Euler thậm chí còn tìm thấy sự mở rộng của một số thành các phân số liên tục và đưa ra các ví dụ về sự mở rộng đó. Đặc biệt, anh nhận được
và
Euler đã không cung cấp bằng chứng rằng những phân số này tiếp tục theo cùng một cách, nhưng ông biết rằng nếu có một bằng chứng như vậy, thì nó sẽ chứng minh là không hợp lý. Thật vậy, nếu phân số tiếp tục đối với tiếp tục theo cùng một cách như trong mẫu trên (mỗi lần chúng ta thêm vào), thì nó sẽ không bao giờ bị gián đoạn, và (do đó, và) không thể là hợp lý. Rõ ràng, đây là nỗ lực đầu tiên để chứng minh tính phi lý.

Người đầu tiên tính toán khá con số lớn vị trí thập phân, là Shanks vào năm 1854. Glaisher cho thấy rằng 137 chữ số đầu tiên được Shanks tính toán là đúng, nhưng sau đó phát hiện ra một lỗi. Shanks đã sửa nó và thu được 205 chữ số thập phân. Trên thực tế, bạn cần về
120 số hạng khai triển (1) để có 200 chữ số đúng.

Năm 1864, Benjamin Pierce (Peirce) đứng trên chiếc bảng đen có viết

Trong các bài giảng của mình, ông có thể nói với các sinh viên của mình, "Các quý ông, chúng tôi không biết điều này có nghĩa là gì, nhưng chúng tôi có thể chắc chắn rằng nó có ý nghĩa rất quan trọng."

Hầu hết đều tin rằng Euler đã chứng minh sự phi lý của con số. Tuy nhiên, điều này đã được Hermite thực hiện vào năm 1873. Nó vẫn còn câu hỏi mở cho dù số đó là đại số. Kết quả cuối cùng theo hướng này là ít nhất một trong các số là siêu việt.

Tiếp theo, các vị trí thập phân tiếp theo của số đã được tính toán. Năm 1884, Boorman đã tính được 346 chữ số của con số, trong đó 187 chữ số đầu tiên trùng với các dấu hiệu của Shanks, nhưng những chữ số tiếp theo thì khác. Năm 1887, Adams tính toán 272 chữ số của lôgarit thập phân.

| Số Euler (E)

e - cơ số của lôgarit tự nhiên, hằng số toán học, số vô tỉ và siêu việt. Khoảng bằng 2,71828. Đôi khi số được gọi là Số Euler hoặc Số Napier. Được biểu thị bằng chữ thường Chữ cái la tinh « e».

Câu chuyện

Con số e lần đầu tiên xuất hiện trong toán học như một cái gì đó không đáng kể. Điều này xảy ra vào năm 1618. Trong phần phụ lục cho công trình của John Napier về lôgarit, một bảng lôgarit tự nhiên của các số khác nhau đã được đưa ra. Tuy nhiên, không ai hiểu rằng đây là logarit cơ số e , vì một thứ như một cơ số không được bao gồm trong khái niệm lôgarit của thời đó. Đây là cái mà chúng ta gọi là logarit là lũy thừa mà cơ số phải được nâng lên để có được số cần thiết. Chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau. Bảng trong phần phụ lục rất có thể do Ougthred thực hiện, mặc dù tác giả không được ghi công. Một vài năm sau, vào năm 1624, tài liệu toán học xuất hiện trở lại e , nhưng lại bị che đậy. Năm nay, Briggs đã đưa ra một giá trị xấp xỉ bằng số của lôgarit cơ số 10 e , nhưng chính con số e không được đề cập trong công việc của mình.

Lần xuất hiện tiếp theo của số e một lần nữa nghi ngờ. Năm 1647, Saint-Vincent tính diện tích của một cung hyperbol. Cho dù anh ta có hiểu mối liên hệ với logarit hay không, người ta chỉ có thể đoán, nhưng ngay cả khi anh ta hiểu, không chắc anh ta có thể đi đến chính con số e . Mãi đến năm 1661, Huygens mới hiểu được mối liên hệ giữa hyperbol cân bằng và logarit. Ông đã chứng minh rằng diện tích dưới đồ thị của một hyperbol cân xy = 1 cân bằng hyperbola trên khoảng từ 1 đến e là 1. Thuộc tính này làm cho e cơ sở của logarit tự nhiên, nhưng các nhà toán học thời đó không hiểu điều này, nhưng họ đã từ từ tiếp cận sự hiểu biết này.

Huygens thực hiện bước tiếp theo vào năm 1661. Ông đã xác định một đường cong mà ông gọi là logarit (theo thuật ngữ của chúng tôi, chúng tôi sẽ gọi nó là hàm mũ). Đây là một đường cong có dạng y = ka x . Và một lần nữa có một lôgarit thập phân e , mà Huygens tìm thấy trong vòng 17 chữ số thập phân. Tuy nhiên, nó xuất hiện trong Huygens như một loại hằng số và không liên quan đến logarit của một số (vì vậy, một lần nữa chúng lại gần với e , nhưng chính con số e Vẫn chưa được biết).

Trong nghiên cứu sâu hơn về logarit, một lần nữa, số e không xuất hiện một cách rõ ràng. Tuy nhiên, nghiên cứu về logarit vẫn tiếp tục. Năm 1668, Nicolaus Mercator xuất bản một tác phẩm Logarithmotechnia, chứa phần mở rộng chuỗi log (1 + x) . Trong công trình này, Mercator lần đầu tiên sử dụng tên "logarit tự nhiên" cho logarit cơ số e . Con số e rõ ràng là không xuất hiện nữa, nhưng vẫn ẩn hiện ở một nơi nào đó ở phía xa.

Đáng ngạc nhiên, con số e Lần đầu tiên phát sinh một cách rõ ràng không liên quan đến logarit, mà liên quan đến các tích vô hạn. Năm 1683, Jacob Bernoulli cố gắng tìm

Ông sử dụng định lý nhị thức để chứng minh rằng giới hạn này nằm trong khoảng từ 2 đến 3, và điều này chúng ta có thể coi đây là ước lượng gần đúng đầu tiên của số e . Mặc dù chúng tôi coi đây là một định nghĩa e , đây là lần đầu tiên một số được xác định là giới hạn. Bernoulli, tất nhiên, không hiểu mối liên hệ giữa công việc của mình và công việc về lôgarit.

Trước đây, người ta đã đề cập rằng logarit khi bắt đầu nghiên cứu của họ không được liên kết với số mũ theo bất kỳ cách nào. Tất nhiên, từ phương trình x = a t chúng tôi thấy rằng t = log x , nhưng đây là một cách nhận thức muộn hơn nhiều. Ở đây chúng tôi thực sự có nghĩa là lôgarit là một hàm, trong khi lúc đầu, lôgarit chỉ được coi là một số hỗ trợ trong các phép tính. Có lẽ Jacob Bernoulli là người đầu tiên nhận ra rằng hàm logarit là hàm số mũ nghịch biến. Mặt khác, người đầu tiên liên kết logarit và lũy thừa có thể là James Gregory. Năm 1684, ông chắc chắn nhận ra mối liên hệ giữa logarit và lũy thừa, nhưng có thể ông không phải là người đầu tiên.

Chúng tôi biết rằng số e xuất hiện ở dạng như bây giờ, vào năm 1690. Leibniz, trong một bức thư gửi cho Huygens, đã sử dụng tên gọi này b . Cuối cùng e một sự chỉ định đã xuất hiện (mặc dù nó không trùng với cái hiện đại), và sự chỉ định này đã được công nhận.

Leonhard Euler đã đưa ra nhiều ký hiệu toán học đến nỗi không có gì ngạc nhiên khi ký hiệu e cũng thuộc về anh ấy. Có vẻ nực cười khi nói rằng anh ấy đã sử dụng chữ cái e bởi vì nó là chữ cái đầu tiên của tên anh ta. Nó có lẽ thậm chí không phải bởi vì e được lấy từ từ “lũy thừa”, nhưng chỉ đơn giản là nguyên âm tiếp theo sau “a”, và Euler đã sử dụng ký hiệu “a” trong tác phẩm của mình. Bất kể lý do là gì, tên gọi này lần đầu tiên xuất hiện trong một bức thư từ Euler gửi Goldbach vào năm 1731. Ông đã có nhiều khám phá bằng cách nghiên cứu e muộn hơn, nhưng chỉ vào năm 1748 ở Giới thiệu trong Analysin infinitorum anh ấy đã đưa ra lời biện minh đầy đủ cho tất cả các ý tưởng liên quan đến e . Anh ấy đã cho thấy rằng

Euler cũng tìm thấy 18 chữ số thập phân đầu tiên của một số e :

Đúng, không cần giải thích làm thế nào anh ta có được chúng. Có vẻ như anh ấy đã tự mình tính toán giá trị này. Trên thực tế, nếu bạn lấy khoảng 20 số hạng của chuỗi (1), bạn sẽ có được độ chính xác mà Euler có được. Trong số các kết quả thú vị khác, công trình của ông chỉ ra mối quan hệ giữa hàm sin và hàm cosin và hàm mũ phức, Euler suy ra từ công thức của De Moivre.

Điều thú vị là Euler thậm chí còn tìm thấy sự phân hủy của số e thành các phân số tiếp tục và đưa ra các ví dụ về các khai triển đó. Đặc biệt, anh nhận được

Euler đã không cung cấp bằng chứng rằng những phân số này tiếp tục theo cùng một cách, nhưng ông biết rằng nếu có một bằng chứng như vậy, thì nó sẽ chứng minh sự không hợp lý. e . Thật vậy, nếu phân số tiếp tục cho (e - 1) / 2 , tiếp tục theo cách tương tự như trong mẫu trên, 6,10,14,18,22,26, (mỗi lần chúng ta thêm 4), sau đó nó sẽ không bao giờ bị gián đoạn, và (e-1) / 2 (và do đó e ) không thể hợp lý. Rõ ràng, đây là nỗ lực đầu tiên để chứng minh sự phi lý e .

Người đầu tiên tính toán một số lượng khá lớn các vị trí thập phân e , là Shanks vào năm 1854. Glaisher cho thấy 137 ký tự đầu tiên được Shanks tính toán là đúng, nhưng sau đó phát hiện ra lỗi. Shanks đã sửa nó và nhận được 205 chữ số thập phân e . Trên thực tế, cần khoảng 120 số hạng của khai triển (1) để có 200 chữ số chính xác của số e .

Năm 1864, Benjamin Pierce (Peirce) đứng trên chiếc bảng đen có viết

Hầu hết đều tin rằng Euler đã chứng minh sự phi lý của con số e . Tuy nhiên, điều này đã được Hermite thực hiện vào năm 1873. Vẫn còn là một câu hỏi bỏ ngỏ liệu con số e e đại số. Kết quả cuối cùng theo hướng này là ít nhất một trong các số e e và e e 2 là siêu việt.

Tiếp theo, các vị trí thập phân sau đây đã được tính toán e . Năm 1884, Boorman đã tính được 346 chữ số của một số e , trong đó 187 cái đầu tiên trùng với dấu hiệu của Shanks, nhưng những cái tiếp theo thì khác. Năm 1887, Adams tính toán 272 chữ số của lôgarit thập phân e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Con số e.