Hai con xúc xắc được ném ngẫu nhiên. Xác suất xúc xắc

Trong tất cả các tác vụ B6 bật lý thuyết xác suất, được trình bày trong Mở ngân hàng việc làm cho, nó được yêu cầu để tìm xác suất bất kỳ sự kiện nào.

Bạn chỉ cần biết một công thức, được sử dụng để tính toán xác suất:

Trong công thức này p là xác suất của sự kiện,

k- số lượng sự kiện làm "hài lòng" chúng tôi, bằng ngôn ngữ lý thuyết xác suất họ đã gọi kết quả thuận lợi.

N- số lượng tất cả các sự kiện có thể xảy ra, hoặc số tất cả các kết quả có thể có.

Rõ ràng, số lượng tất cả các sự kiện có thể xảy ra lớn hơn số lượng các kết quả thuận lợi, vì vậy xác suất là một giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Nếu một xác suất sự kiện bằng 1, có nghĩa là sự kiện này chắc chắn sẽ xảy ra. Sự kiện như vậy được gọi là thật. Ví dụ, thực tế là sau Chủ nhật sẽ có Thứ hai, thật không may, một sự kiện nào đó và xác suất của nó bằng 1.

Khó khăn lớn nhất trong việc giải các bài toán chính xác là việc tìm các số k và n.

Tất nhiên, khi giải quyết bất kỳ vấn đề nào, khi giải quyết vấn đề trên lý thuyết xác suất bạn cần phải đọc kỹ điều kiện để hiểu chính xác những gì được cung cấp và những gì được yêu cầu phải tìm thấy.

Hãy xem một số ví dụ về việc giải quyết vấn đề từ từ mở ngân hàng nhiệm vụ cho .

Ví dụ 1. Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, người ta ném hai con xúc xắc. Tìm xác suất để được tổng cộng 8 điểm. Làm tròn kết quả đến hàng trăm gần nhất.

Để một điểm rơi trên con đầu tiên, thì 6 điểm có thể rơi vào con thứ hai Các tùy chọn khác nhau. Do đó, vì xương đầu tiên có 6 mặt riêng biệt, Tổng số các tùy chọn khác nhau bằng 6x6 = 36.

Nhưng chúng tôi không hài lòng với mọi thứ. Theo điều kiện của bài toán, tổng số điểm bị rớt phải bằng 8. Hãy lập bảng kết quả thuận lợi:

Chúng tôi thấy rằng số lượng kết quả phù hợp với chúng tôi là 5.

Như vậy, xác suất để có tổng 8 điểm rơi ra là 5/36 = 0,13 (8).

Một lần nữa chúng ta đọc được câu hỏi của bài toán: yêu cầu phải làm tròn kết quả đến hàng trăm.

Xin hãy nhớ quy tắc làm tròn.

Chúng ta cần làm tròn đến hàng trăm. Nếu chữ số tiếp theo sau chữ số hàng trăm (nghĩa là chữ số hàng nghìn) là số lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta thêm 1 vào chữ số hàng trăm, nếu số này nhỏ hơn 5 thì số ở chữ số hàng trăm được giữ nguyên.

Trong trường hợp của chúng ta, 8 ở vị trí thứ nghìn, vì vậy số 3, ở vị trí hàng trăm, được tăng thêm 1.

Vậy p = 5/36 ≈0,14

Trả lời: 0,14

Ví dụ 2. 20 vận động viên tham gia giải vô địch thể dục dụng cụ: 8 người Nga, 7 người Mỹ, còn lại Trung Quốc. Thứ tự mà các vận động viên thể dục thực hiện được xác định theo lô. Tìm xác suất để vận động viên đi thi đấu trước là người Trung Quốc.

Trong bài toán này, số kết quả có thể xảy ra là 20 - đây là số tất cả các vận động viên.

Tìm số lượng các kết quả thuận lợi. Nó bằng với số lượng vận động viên đến từ Trung Quốc.

Vì vậy,

Đáp số: 0,25

Ví dụ 3: Trung bình trong số 1.000 máy bơm vườn được bán ra thì có 5 máy bị rò rỉ. Tìm xác suất để một máy bơm được chọn ngẫu nhiên không bị rò rỉ.

Trong bài toán này n = 1000.

Chúng tôi quan tâm đến máy bơm không bị rò rỉ. Số của chúng là 1000-5 = 995. Những thứ kia.

Nhiệm vụ cho xác suất xúc xắc phổ biến không kém vấn đề tung đồng xu. Điều kiện của một vấn đề như vậy thường giống như sau: khi ném một hoặc nhiều xúc xắc(2 hoặc 3), xác suất để tổng số điểm là 10, hoặc số điểm là 4, hoặc tích của số điểm, hoặc chia hết cho 2 tích của số điểm, v.v. trên.

Việc áp dụng công thức xác suất cổ điển là phương pháp chính để giải các bài toán dạng này.

Một cái chết, xác suất.

Tình huống khá đơn giản với một viên xúc xắc. được xác định theo công thức: P = m / n, trong đó m là số kết quả thuận lợi cho sự kiện và n là số tất cả các kết quả cơ bản có thể có của thử nghiệm tung con súc sắc hoặc con súc sắc.

Bài toán 1. Một con súc sắc được ném một lần. Xác suất nhận được một số điểm chẵn là bao nhiêu?

Vì xúc xắc là một khối lập phương (hay còn gọi là xúc xắc thông thường, khối sẽ rơi vào tất cả các mặt với xác suất như nhau, vì nó cân bằng), nên súc sắc có 6 mặt (số điểm từ 1 đến 6, thường được biểu thị bằng dấu chấm), có nghĩa là trong nhiệm vụ, tổng số kết quả: n = 6. Sự kiện chỉ được ưu tiên bởi các kết quả trong đó một mặt có điểm chẵn 2,4 và 6 rơi ra, đối với một hình lập phương có các mặt như vậy: m = 3. Bây giờ chúng ta có thể xác định xác suất mong muốn của một viên xúc xắc: P = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Nhiệm vụ 2. Một con xúc xắc được ném một lần. Xác suất đạt ít nhất 5 điểm là bao nhiêu?

Một vấn đề như vậy được giải quyết bằng cách tương tự với ví dụ được chỉ ra ở trên. Khi ném một con xúc xắc, tổng số kết quả bằng nhau có thể xảy ra là: n = 6, và thỏa mãn điều kiện của bài toán (ít nhất 5 điểm rơi ra, tức là 5 hoặc 6 điểm rơi ra) chỉ có 2 kết quả, nghĩa là m = 2. Tiếp theo, chúng ta tìm xác suất mong muốn: P = 2/6 = 1/3 = 0,333.

Hai con xúc xắc, xác suất.

Khi giải các bài toán ném 2 con xúc xắc, rất tiện lợi khi sử dụng bảng điểm đặc biệt. Trên đó, số điểm rơi trên viên xúc xắc thứ nhất được vẽ theo chiều ngang và số điểm rơi trên viên xúc xắc thứ hai được vẽ theo chiều dọc. Phôi trông như thế này:

Nhưng câu hỏi được đặt ra, những gì sẽ có trong các ô trống của bảng? Nó phụ thuộc vào nhiệm vụ được giải quyết. Nếu trong một nhiệm vụ chúng tôi đang nói chuyện về tổng điểm, sau đó tổng được ghi lại ở đó, và nếu về sự khác biệt, thì sự khác biệt được ghi lại, v.v.

Bài toán 3. Người ta ném đồng thời 2 con xúc xắc. Xác suất nhận được tổng nhỏ hơn 5 điểm là bao nhiêu?

Trước tiên, bạn cần tìm ra tổng số kết quả của thử nghiệm. Mọi thứ đã rõ ràng khi ném một cái chết 6 mặt của khối lập phương - 6 kết quả của thí nghiệm. Nhưng khi đã có hai viên xúc xắc, thì các kết quả có thể xảy ra có thể được biểu diễn dưới dạng các cặp số có thứ tự có dạng (x, y), trong đó x cho biết có bao nhiêu điểm rơi trên viên xúc xắc đầu tiên (từ 1 đến 6) và y - có bao nhiêu điểm rơi trên con súc sắc thứ hai (từ 1 đến 6). Tổng cộng sẽ có các cặp số như vậy: n = 6 * 6 = 36 (36 ô tương ứng với chúng trong bảng kết quả).

Bây giờ bạn có thể điền vào bảng, đối với điều này, số tổng điểm rơi trên viên xúc xắc thứ nhất và thứ hai được nhập vào mỗi ô. Bảng đã hoàn thành trông như thế này:

Nhờ bảng, chúng tôi sẽ xác định số lượng kết quả có lợi cho sự kiện "giảm tổng số điểm dưới 5". Hãy đếm số ô, giá trị của tổng sẽ là ít hơn số 5 (đó là 2, 3 và 4). Để thuận tiện, chúng tôi tô lên các ô như vậy, chúng sẽ là m = 6:

Với dữ liệu bảng, xác suất xúc xắc bằng: P = 6/36 = 1/6.

Bài toán 4. Người ta ném hai con xúc xắc. Xác định xác suất để tích của số điểm đó chia hết cho 3.

Để giải quyết vấn đề, chúng ta sẽ lập một bảng tích điểm rơi trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai. Trong đó, chúng tôi chọn ngay các số là bội số của 3:

Chúng ta viết ra tổng số kết quả của thí nghiệm n = 36 (lý luận giống như trong bài toán trước) và số kết quả thuận lợi (số ô được tô bóng trong bảng) m = 20. Xác suất của biến cố là: P = 20/36 = 5/9.

Bài toán 5. Một con xúc xắc được ném hai lần. Xác suất để sự khác biệt giữa số điểm trên viên xúc xắc thứ nhất và thứ hai là từ 2 đến 5 là bao nhiêu?

Để xác định xác suất xúc xắc Hãy viết ra bảng chênh lệch điểm và chọn những ô trong đó, giá trị của sự khác biệt sẽ nằm trong khoảng từ 2 đến 5:

Số kết quả thuận lợi (số ô tô bóng trong bảng) bằng m = 10, tổng số khả năng xảy ra như nhau kết quả sơ cấp sẽ là n = 36. Xác định xác suất của một biến cố: P = 10/36 = 5/18.

Trong trường hợp một sự kiện đơn giản và khi ném 2 con xúc xắc, bạn cần phải xây dựng một bảng, sau đó chọn các ô cần thiết trong đó và chia số của chúng cho 36, đây sẽ được coi là một xác suất.

Câu trả lời còn lại Khách

Với một viên xúc xắc, tình huống thật đơn giản. Hãy để tôi nhắc bạn rằng xác suất được tìm thấy bởi công thức P = m / n
P
=
m
N
, nơi n
N
- số tất cả các kết quả cơ bản có thể có của thử nghiệm với việc tung một con súc sắc hoặc một con súc sắc, và m
m
- số lượng kết quả có lợi cho sự kiện.

Ví dụ 1. Một con súc sắc được ném một lần. Xác suất nhận được một số điểm chẵn là bao nhiêu?

Vì xúc xắc là một khối lập phương (họ cũng nói là một con xúc xắc thông thường, tức là một con xúc xắc cân đối, sao cho nó rơi vào tất cả các mặt với xác suất như nhau), các mặt của con súc sắc là 6 (với một số điểm từ 1 đến 6, thường được biểu thị bằng điểm), sau đó và tổng số kết quả trong nhiệm vụ n = 6
N
=
6
. Chỉ những kết quả như vậy là thuận lợi cho sự kiện khi một mặt có 2, 4 hoặc 6 điểm (chỉ những điểm chẵn) rơi ra, các mặt đó là m = 3
m
=
3
. Khi đó xác suất mong muốn là P = 3/6 = 1/2 = 0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Ví dụ 2. Một con xúc xắc được ném. Tìm xác suất để được ít nhất 5 điểm.

Chúng ta lập luận theo cách tương tự như trong ví dụ trước. Tổng số kết quả có khả năng xảy ra như nhau khi ném một con xúc xắc n = 6
N
=
6
và điều kiện "giảm ít nhất 5 điểm", tức là "mất 5 hoặc 6 điểm" được thỏa mãn bởi 2 kết quả, m = 2
m
=
2
. Xác suất yêu cầu là P = 2/6 = 1/3 = 0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Tôi thậm chí không thấy điểm nào trong việc đưa ra nhiều ví dụ hơn, hãy chuyển sang hai viên xúc xắc, nơi mọi thứ thú vị hơn và khó hơn.

Hai viên xúc xắc

Khi gặp vấn đề với việc tung 2 viên xúc xắc, rất tiện lợi khi sử dụng bảng tỷ số. Hãy vẽ biểu đồ số điểm trên con súc sắc thứ nhất theo chiều ngang và số điểm trên con xúc xắc thứ hai theo chiều dọc. Hãy để trống như vậy (thông thường tôi làm điều đó trong Excel, bạn có thể tải xuống tệp bên dưới):

bàn ghi điểm khi ném 2 viên xúc xắc
Và những gì về các ô trong bảng, bạn hỏi? Và nó phụ thuộc vào vấn đề mà chúng tôi sẽ giải quyết. Sẽ có một nhiệm vụ về tổng điểm - chúng tôi sẽ viết ra tổng ở đó, về sự khác biệt - chúng tôi sẽ viết ra sự khác biệt, v.v. Chúng ta đang bắt đầu?

Ví dụ 3. 2 con xúc xắc được ném cùng một lúc. Tìm xác suất để tổng số cuộn nhỏ hơn 5.

Đầu tiên, hãy xem xét tổng số kết quả của thử nghiệm. khi chúng ta lăn một con chết, mọi thứ đều hiển nhiên, 6 mặt - 6 kết cục. Đã có hai xương ở đây, vì vậy kết quả có thể được biểu diễn dưới dạng các cặp số có thứ tự có dạng (x, y)
x
,
y
, trong đó x
x
- có bao nhiêu điểm rơi vào con súc sắc đầu tiên (từ 1 đến 6), y
y
- có bao nhiêu điểm rơi vào con súc sắc thứ hai (từ 1 đến 6). Rõ ràng sẽ có n = 6⋅6 = 36 cặp số như vậy
N
=
6
⋅
6
=
36
(và chúng chỉ tương ứng với 36 ô trong bảng kết quả).

Bây giờ là lúc điền vào bảng. Trong mỗi ô, chúng ta sẽ nhập tổng số điểm rơi trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai và chúng ta sẽ nhận được hình ảnh sau:

bàn ghi điểm khi ném 2 viên xúc xắc
Bây giờ bảng này sẽ giúp chúng ta tìm số lượng kết quả có lợi cho sự kiện có "tổng số kết quả nhỏ hơn 5". Để thực hiện việc này, chúng tôi đếm số ô có giá trị tổng nhỏ hơn 5 (nghĩa là 2, 3 hoặc 4). Để rõ ràng, chúng ta sẽ tô lên các ô này, chúng sẽ là m = 6
m
=
6
:

bảng tổng điểm nhỏ hơn 5 khi ném 2 con xúc xắc
Khi đó xác suất là: P = 6/36 = 1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Ví dụ 4. Hai con súc sắc được ném. Tìm xác suất để tích của số điểm đó chia hết cho 3.

Chúng tôi lập một bảng về tích của các điểm rơi trên viên xúc xắc thứ nhất và thứ hai. Chọn ngay trong đó những số là bội số của 3:

bàn ghi điểm khi ném 2 viên xúc xắc
Chỉ cần viết ra rằng tổng số kết quả n = 36
N
=
36
(xem ví dụ trước, cách lập luận giống nhau), và số lượng kết quả thuận lợi (số ô được điền trong bảng trên) m = 20
m
=
20
. Khi đó xác suất của biến cố sẽ bằng P = 20/36 = 5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Như bạn có thể thấy, loại nhiệm vụ này, với sự chuẩn bị thích hợp (sắp xếp thêm một vài nhiệm vụ), có thể được giải quyết một cách nhanh chóng và dễ dàng. Để thay đổi, hãy thực hiện thêm một tác vụ với một bảng khác (tất cả các bảng có thể được tải xuống ở cuối trang).

Ví dụ 5. Một con súc sắc được ném hai lần. Tìm xác suất để hiệu số giữa số điểm trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai từ 2 đến 5.

Hãy viết bảng chênh lệch điểm, chọn các ô trong đó, giá trị của chênh lệch sẽ nằm trong khoảng từ 2 đến 5:

bảng hiệu số điểm khi ném 2 viên xúc xắc
Sao cho tổng số kết quả sơ cấp có thể có như nhau n = 36
N
=
36
, và số kết quả thuận lợi (số ô được điền trong bảng trên) là m = 10
m
=
10
. Khi đó xác suất của biến cố sẽ bằng P = 10/36 = 5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Vì vậy, trong trường hợp ném 2 con xúc xắc và sự kiện đơn giản, bạn cần phải xây dựng một bảng, chọn các ô cần thiết trong đó và chia số của chúng cho 36, đây sẽ là xác suất. Ngoài các nhiệm vụ về tổng, tích và hiệu số của số điểm, còn có các nhiệm vụ về mô-đun của sự khác biệt, số điểm nhỏ nhất và lớn nhất đã giảm (bạn có thể tìm bảng phù hợp trong tệp Excel) .